5x (x - 4) \u003d 0.

5 x \u003d 0 o x - 4 \u003d 0

x \u003d ± √ 25/4.

Ang pagkakaroon ng natutunan upang malutas ang mga equation ng unang bansa, siyempre, gusto kong makipagtulungan sa iba, lalo na, na may mga equation ng ikalawang antas, na naiiba na tinatawag na parisukat.

Ang mga equation ng square ay mga equation ng uri ah ² + bx + c \u003d 0, kung saan ang variable ay x, ang mga numero ay magiging - a, b, с, kung saan sa halip ay katumbas ng zero.

Kung ang isa o isa pang koepisyent (C o B) ay zero sa square equation, pagkatapos ay ang equation na ito ay tumutukoy sa isang hindi kumpletong square equation.

Paano malutas ang isang hindi kumpletong square equation kung alam pa rin ng mga estudyante kung paano malutas lamang ang unang equation ng degree? Isaalang-alang ang hindi kumpletong square equation. iba't ibang uri ng hayop at simpleng paraan upang malutas ang mga ito.

a) Kung ang koepisyent C ay katumbas ng 0, at ang koepisyent b ay hindi magiging zero, pagkatapos ah ² + bx + 0 \u003d 0 ay nabawasan sa equation ng form ah ² + bx \u003d 0.

Upang malutas ang naturang equation, kailangan mong malaman ang formula para sa paglutas ng isang hindi kumpletong square equation, na kung saan ay upang mabulok ito upang mabulok ito sa multiplier at mamaya upang gamitin ang kondisyon pagkakapantay-pantay kondisyon zero.

Halimbawa, 5x ² - 20x \u003d 0. Unchedule ang kaliwang bahagi ng equation ng mga kadahilanan, habang gumagawa ng isang conventional matematiko operasyon: ang transaksyon ng isang karaniwang kadahilanan para sa mga bracket

5x (x - 4) \u003d 0.

Ginagamit namin ang kondisyon na ang mga gawa ay katumbas ng zero.

5 x \u003d 0 o x - 4 \u003d 0

Ang sagot ay: ang unang ugat - 0; Ang ikalawang ugat ay 4.

b) Kung b \u003d 0, at ang libreng termino ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay ang equation ah ² + 0x + c \u003d 0 ay nabawasan sa equation ng form ah ² + c \u003d 0. Lutasin ang mga equation sa dalawang paraan: a) decaying ang polinomyal equation sa kaliwang bahagi ng multipliers; b) gamit ang mga katangian ng isang aritmetika square root. Ang ganitong isang equation ay nalutas sa pamamagitan ng isa sa mga pamamaraan, halimbawa:

x \u003d ± √ 25/4.

x \u003d ± 5/2. Ang sagot ay: ang unang ugat ay 5/2; Ang ikalawang ugat ay katumbas - 5/2.

c) Kung ang B ay katumbas ng 0 at c ay 0, pagkatapos ah ² + 0 + 0 \u003d 0 ay nabawasan sa equation ng form ah ² \u003d 0. Sa equation x ay 0.

Tulad ng makikita mo, ang mga hindi kumpletong square equation ay maaaring walang higit sa dalawang ugat.

Ang mga parisukat na equation ay pinag-aralan sa grade 8, kaya walang mahirap dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay ganap na kinakailangan.

Ang parisukat na equation ay ang equation ng form AX 2 + BX + C \u003d 0, kung saan ang mga coefficients A, B at C ay arbitrary na numero, at isang ≠ 0.

Bago mag-aral ng mga partikular na pamamaraan ng desisyon, tandaan namin na ang lahat ng mga equation ng parisukat ay maaaring nahahati sa tatlong klase:

1. Walang mga ugat;
2. May eksaktong isang ugat;
3. Magkaroon ng dalawang magkakaibang ugat.

Ito ay isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga square equation mula sa linear, kung saan ang ugat ay laging umiiral at natatangi. Paano matukoy kung gaano karaming mga ugat ang may equation? Para sa mga ito ay isang kahanga-hangang bagay - discriminant.

Discriminant

Hayaan ang square equation ax 2 + bx + c \u003d 0. Pagkatapos ang diskriminant ay ang bilang lamang d \u003d b 2 - 4ac.

Ang formula na ito ay dapat na kilala sa pamamagitan ng puso. Kung saan siya tumatagal - ngayon hindi mahalaga. Iba pang mga ito ay mahalaga: ang discriminant sign ay maaaring tinutukoy kung gaano karaming mga Roots ay may isang parisukat equation. Namely:

1. Kung D.< 0, корней нет;
2. Kung d \u003d 0, may eksaktong isang ugat;
3. Kung d\u003e 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Pakitandaan: Ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat sa kanilang mga palatandaan, tulad ng ilang kadahilanan, maraming isaalang-alang. Tingnan ang mga halimbawa - at mauunawaan mo ang lahat:

Isang gawain. Gaano karaming mga ugat ang mga parisukat na equation:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Tinatanggal namin ang mga coefficients para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Kaya, ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkakaibang ugat. Katulad nito, i-disassemble ang pangalawang equation:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation ay nananatiling:
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Ang discriminant ay zero - ang ugat ay magiging isa.

Mangyaring tandaan na para sa bawat equation ang mga coefficients ay pinalabas. Oo, mahabang panahon, oo, ito ay isang nakakapagod - ngunit hindi mo malito ang mga coefficients at huwag payagan ang mga nakakatakot na pagkakamali. Piliin ang iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung "punan mo ang kamay", pagkatapos ng ilang sandali ay hindi na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficients. Ang ganitong mga operasyon ay gagawin mo sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos ng 50-70 solved equation - sa pangkalahatan, hindi kaya magkano.

Roots square equation.

Namin ngayon, talagang, sa desisyon. Kung ang diskriminant d\u003e 0, ang mga ugat ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:

Ang pangunahing formula ng mga ugat ng square equation

Kapag d \u003d 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - ito ay ang parehong bilang na ang magiging sagot. Sa wakas, kung D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Unang equation:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d -2; c \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ Ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin sila:

Pangalawang equation:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; b \u003d -2; c \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ Ang equation muli ay may dalawang Roots. Natagpuan namin sila

\\ [magsimula (align) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d 3. \\\\ \\ end (ihanay) \\]

Sa wakas, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ Ang equation ay may isang ugat. Maaari mong gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng makikita mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang formula at magagawang isaalang-alang, walang problema. Kadalasan, ang mga pagkakamali ay nangyayari sa panahon ng pagpapalit sa formula ng mga negatibong coefficients. Dito, muli, ang reception na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula sa literal, pintura bawat hakbang - at sa lalong madaling panahon mapupuksa ang mga error.

Hindi kumpletong square equation.

Ito ay nangyayari na ang parisukat na equation ay medyo naiiba mula sa kung ano ang ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Madaling makita na sa mga equation na ito walang isa sa mga tuntunin. Ang mga parisukat na equation ay mas madali kaysa sa pamantayan: hindi nila kailangang isaalang-alang ang diskriminasyon. Kaya, ipinakilala namin ang isang bagong konsepto:

Ang AX 2 + BX + C \u003d 0 equation ay tinatawag na isang hindi kumpletong square equation kung b \u003d 0 o c \u003d 0, i.e. Ang koepisyent na may variable x o ang libreng elemento ay zero.

Siyempre, ang isang ganap na mahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficients ay zero: B \u003d c \u003d 0. Sa kasong ito, ang equation ay tumatagal ng form ax 2 \u003d 0. Malinaw, tulad ng isang equation ay may isang solong ugat: x \u003d 0 .

Isaalang-alang ang natitirang mga kaso. Hayaan b \u003d 0 maging 0, pagkatapos ay kumuha kami ng isang hindi kumpletong parisukat equation ng form ax 2 + c \u003d 0. I-convert namin ito ng kaunti:

Mula noong aritmetika square root. Mayroon lamang no. negatibong numeroAng huling pagkakapantay-pantay ay nagbibigay ng eksklusibo sa (-c / a) ≥ 0. Konklusyon:

1. Kung sa isang hindi kumpletong parisukat na equation ng form na AX 2 + C \u003d 0, ang hindi pagkakapantay-pantay (-c / a) ay ginaganap ≥ 0, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
2. Kung (-c / a)< 0, корней нет.

Tulad ng makikita mo, ang discriminant ay hindi kailangan - sa hindi kumpleto square equation walang kumplikadong computing. Sa katunayan, kahit na hindi kinakailangan na matandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (-c / a) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga ng x 2 at tingnan kung ano ang nakatayo sa kabilang panig ng sign ng pagkakapantay-pantay. Kung may positibong numero - ang mga ugat ay dalawa. Kung negatibo - ang mga ugat ay hindi magiging sa lahat.

Ngayon ay mauunawaan namin ang mga equation ng form AX 2 + BX \u003d 0, kung saan ang libreng elemento ay zero. Ang lahat ay simple dito: ang mga ugat ay laging dalawa. Ito ay sapat na upang mabulok ang isang polinomyal sa mga multiplier:

Multiplier para sa bracket.

Ang trabaho ay zero, kapag hindi bababa sa isa sa mga multiplier ay zero. Mula dito may mga ugat. Sa konklusyon, susuriin natin ang ilang mga naturang equation:

Isang gawain. Square square equation:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Walang mga ugat, dahil Ang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng negatibong numero.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d -1.5.

Parisukat equation. Discriminant. Solusyon, mga halimbawa.

Pansin!
Ang paksang ito ay may karagdagang
Mga materyales sa isang espesyal na seksyon 555.
Para sa mga taong malakas "hindi masyadong ..."
At para sa mga "napaka ...")

Mga uri ng mga square equation.

Ano ang isang parisukat na equation? Anong itsura? Sa mga tuntunin quadratic equation. Keyword ay. "Square". Nangangahulugan ito na sa equation bago Ay dapat nasa parisukat sa parisukat. Bukod sa kanya, sa equation ay maaaring (at maaaring hindi!) Simpleng x (sa unang degree) at lamang ang numero (libreng miyembro). At dapat na walang ICs sa isang degree, higit pa dalawa.

Nagsasalita ng matematikal na wika, ang parisukat na equation ay ang equation ng form:

Dito a, B at may - Ang ilang mga numero. b at C. - lahat ng anuman, at ngunit.- kahit sino ngunit zero. Halimbawa:

Dito ngunit. =1; b. = 3; c. = -4

Dito ngunit. =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Dito ngunit. =-3; b. = 6; c. = -18

Well, naiintindihan mo ...

Sa mga parisukat na equation, ang kaliwa ay naroroon buong set. mga miyembro. X square na may koepisyent. ngunit,x sa unang antas na may koepisyent b. at libreng titi sa.

Ang mga parisukat na equation ay tinatawag na. buong.

Paano kung b. \u003d 0, ano ang ginagawa namin? Meron kami ang X ay ang unang degree nawawala. Mula sa pagpaparami hanggang sa zero ito ay nangyayari.) Ito ay lumiliko, halimbawa:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0.

Atbp. At kung parehong koepisyent, b. at c. katumbas ng zero, mas simple pa rin ito:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0.

Ang ganitong mga equation kung saan ang isang bagay ay nawawala ay tinatawag na. hindi kumpleto square equation. Ano ang lubos na lohikal.) Hinihiling ko sa iyo na mapansin na ang x ay naroroon sa parisukat sa lahat ng mga equation.

Sa pamamagitan ng paraan, bakit ngunit. Hindi maaaring maging zero? At kapalit mo sa halip ngunit. Nolik.) Mawawala kami sa parisukat! Ang equation ay magiging linear. At ito ay nalutas na medyo naiiba ...

Iyon ang lahat ng mga pangunahing uri ng mga square equation. Puno at hindi kumpleto.

Solusyon ng mga square equation.

Paglutas ng mga full square equation.

Square equation ay lutasin lamang. Ayon sa mga formula at malinaw hindi komplikadong mga panuntunan. Sa unang yugto, ang isang ibinigay na equation ay dapat dalhin sa standard.. Sa isip:

Kung ang equation ay ibinigay sa iyo sa form na ito - ang unang yugto ay hindi kinakailangan.) Ang pangunahing bagay ay upang maayos na tukuyin ang lahat ng mga coefficients, ngunit., b. at c..

Ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng square equation ay mukhang ganito:

Ang pananalita sa ilalim ng tanda ng ugat ay tinatawag discriminant. Ngunit tungkol dito - sa ibaba. Tulad ng makikita mo, upang mahanap ang ICA, ginagamit namin isang, b at may. Mga iyon. Ang mga coefficients ng square equation. Maayos na kapalit ng mga halaga a, B at may Sa formula na ito at isinasaalang-alang namin. Kapalit sa iyong mga palatandaan! Halimbawa, sa equation:

ngunit. =1; b. = 3; c. \u003d -4. Dito at isulat:

Ang isang halimbawa ay halos malulutas:

Ito ang sagot.

Lahat ay napaka-simple. At ano sa palagay mo ang imposibleng magkamali? Well, oo, paano ...

Ang pinaka-karaniwang mga pagkakamali - pagkalito sa mga palatandaan ng mga halaga a, B at may. Sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan may nalilito?), At sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Narito ang isang detalyadong pagpasok ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa computing, gawin mo!

Ipagpalagay na kailangan mong malutas ang isang ito:

Dito a. = -6; b. = -5; c. = -1

Ipagpalagay na alam mo na bihira kang may mga sagot mula sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Magsulat ng labis na linya ay magdadala ng mga segundo 30. At ang bilang ng mga error masakit na hiwa. Narito kami ay nagsusulat nang detalyado, kasama ang lahat ng mga braket at palatandaan:

Tila hindi kapani-paniwala mahirap, kaya maingat na pintura. Ngunit tila lamang. Subukan. Well, o pumili. Ano ang mas mahusay, mabilis, o tama? Gayundin, kukunin ko kayo. Pagkaraan ng ilang sandali, magkakaroon ng maingat upang ipinta ang lahat. Mismo ay tama. Lalo na kung nag-aplay ka ng mga praktikal na diskarte, na inilarawan sa ibaba lamang. Ang masamang halimbawa na ito sa isang grupo ng mga minus ay malulutas madali at walang mga pagkakamali!

Ngunit, kadalasan, ang mga equation ng parisukat ay mukhang bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Alamin?) Oo! ito hindi kumpletong square equation..

Desisyon ng hindi kumpleto square equation.

Maaari rin silang malutas ng pangkalahatang pormula. Ito ay kinakailangan lamang upang maayos na isipin kung ano ang katumbas ng a, B at may.

Naitama? Sa unang halimbawa a \u003d 1; b \u003d 4; Ngunit. c.? Walang sinuman! Well, oo, tama. Sa matematika, nangangahulugan ito na c \u003d 0. Labanan! Iyon lang. Palitan namin sa zero formula sa halip c, At lahat ng bagay ay magiging out. Katulad nito, na may pangalawang halimbawa. Lamang zero dito hindi. mula sa., ngunit. b. !

Ngunit hindi kumpleto ang mga equation ng parisukat ay maaaring malutas nang mas madali. Nang walang anumang mga formula. Isaalang-alang ang unang hindi kumpleto na equation. Ano ang maaaring gawin doon sa kaliwang bahagi? Maaari mong gawin ang ay para sa mga bracket! Ilabas natin.

At ano mula dito? At ang katunayan na ang trabaho ay zero pagkatapos, at lamang kapag ang ilan sa mga multiplier ay katumbas ng zero! Hindi naniniwala? Well, makabuo ng dalawang non-zero na mga numero, na magbibigay zero na may multiply!
Hindi gumagana? Iyan ay isang bagay ...
Dahil dito, maaari mong confidently sumulat: x 1 \u003d 0., x 2 \u003d 4..

Lahat. Ito ang magiging mga ugat ng aming equation. Ang parehong ay angkop. Kapag substituting ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakakuha kami ng isang tapat na pagkakakilanlan 0 \u003d 0. Tulad ng makikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa pangkalahatang formula. Tandaan ko, sa pamamagitan ng paraan, kung saan X ang magiging una, at kung aling pangalawang ay ganap na walang malasakit. Maginhawa upang mag-record sa ilang, x 1. - Ano ang mas mababa, at x 2. - Ano ang higit pa.

Ang pangalawang equation ay maaari ring lutasin lamang. Dalhin namin ang 9 B. kanang bahagi. Nakukuha namin:

Ito ay nananatiling ugat upang kunin mula sa 9, at iyan. Iyon pala:

Din dalawang roots . x 1 \u003d -3., x 2 \u003d 3..

Kaya lahat ng hindi kumpletong square equation ay malulutas. Alinman sa pamamagitan ng paggawa ng isang bracket, o sa pamamagitan lamang ng paglilipat ng numero sa kanan, na sinusundan ng pagkuha ng ugat.
Napakahirap na lituhin ang mga pamamaraan na ito. Dahil sa unang kaso kailangan mong kunin ang ugat mula sa XCA, na kung saan ay sa paanuman ito ay hindi malinaw, at sa pangalawang kaso, ito ay wala para sa mga braket ...

Discriminant. Discriminant formula.

Magic Word. discriminant Labanan! Ang isang bihirang estudyante sa mataas na paaralan ay hindi nakarinig ng salita! Ang pariralang "magpasiya sa pamamagitan ng discriminant" ay magtatag ng pagtitiwala at naghihikayat. Dahil hindi kinakailangan na maghintay para sa mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema sa sirkulasyon.) Ipaalala ko sa iyo ang pinaka pangkalahatang pormula para sa paglutas sinuman Square equation:

Ang pagpapahayag sa ilalim ng tanda ng ugat ay tinatawag na discriminant. Karaniwan ang discriminant ay ipinahiwatig ng sulat D.. Discriminant formula:

D \u003d b 2 - 4ac

At ano ang kapansin-pansin na pagpapahayag? Bakit karapat-dapat ang isang espesyal na pangalan? Sa ano kahulugan ng discriminant? Pagkatapos ng lahat -b, O. 2a. Sa pormula na ito, hindi sila partikular na tumawag sa ... mga titik at mga titik.

Ang bagay ay kung ano. Kapag nilulutas ang isang parisukat na equation para sa formula na ito, posible kabuuang tatlong kaso.

1. positibo sa diskriminasyon. Nangangahulugan ito na posible na kunin ang ugat. Ang mahusay na ugat ay nakuha, o masama - ang tanong ay naiiba. Mahalaga na ito ay nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong square equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay makakakuha ka ng isang solusyon. Dahil ang zero pagbabawas sa numerator ay hindi nagbabago ng anumang bagay. Mahigpit na nagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkatulad. Ngunit, B. pinasimpleng bersyon, kaugalian na makipag-usap tungkol isang solusyon.

3. Ang diskriminasyon ay negatibo. Ng negatibong numero, ang square root ay hindi inalis. Well, okay. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Matapat, kailan simpleng desisyon Square equation, ang konsepto ng discriminant ay hindi partikular na kinakailangan. Pinapalit namin ang mga halaga ng mga coefficients sa formula, oo, naniniwala kami. Ang lahat ay nangyayari lahat ng bagay, parehong dalawang ugat, at isa, at hindi isa. Gayunpaman, kapag paglutas ng mas kumplikadong mga gawain, nang hindi nalalaman kahulugan at formula discriminant hindi sapat. Lalo na - sa mga equation na may mga parameter. Ang ganitong mga equation ay ang pinakamataas na pilot sa Gia at Ege!)

Kaya, paano malutas ang mga equation ng parisukat Sa pamamagitan ng discriminant na iyong naalaala. O natutunan na ito ay hindi masama.) Alam ko kung paano maayos na matukoy a, B at may. Kaalaman maingat palitan ang mga ito sa root formula at maingat bilangin ang resulta. Natanto mo iyan keyword. dito - maingat?

At ngayon tandaan ang mga praktikal na diskarte na kapansin-pansing bawasan ang bilang ng mga error. Ang pinaka na dahil sa kawalan ng pansin. ... kung saan pagkatapos ay ito mangyari saktan at nasaktan ...

Unang reception. . Huwag maging tamad bago malutas ang parisukat na equation upang dalhin ito sa karaniwang form. Ano ang ibig sabihin nito?
Ipagpalagay, pagkatapos ng lahat ng pagbabago, natanggap mo ang gayong equation:

Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos marahil, nalilito mo ang mga coefficients. A, B at s. Bumuo ng isang halimbawa ng tama. Una, X ay nasa parisukat, pagkatapos ay walang isang parisukat, pagkatapos ay isang libreng titi. Ganito:

At huwag magmadali! Ang minus sa harap ng IX sa parisukat ay maaaring maging malusog upang mapahamak ka. Kalimutan itong madali ... mapupuksa ang isang minus. Paano? Oo, tulad ng itinuro sa nakaraang paksa! Ito ay kinakailangan upang i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na i-record ang formula para sa mga ugat, isaalang-alang ang discriminant at ang halimbawa. Dore iyong sarili. Dapat kang magkaroon ng Roots 2 at -1.

Dalawang reception. Suriin ang mga ugat! Sa Vieta theorem. Huwag takutin, ipapaliwanag ko ang lahat! Check. huling bagay ang equation. Mga iyon. Na naitala namin ang mga ugat na formula. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) koepisyent a \u003d 1., Madaling suriin ang mga ugat. Sapat na upang multiply ang mga ito. Dapat ay isang libreng miyembro, i.e. Sa aming kaso -2. Tandaan, hindi 2, A -2! Free Dick. sa iyong pag-sign . Kung hindi ito gumana, nangangahulugan ito sa isang lugar na naipon nila. Maghanap ng isang error.

Kung ito ay nangyari - ito ay kinakailangan upang tiklop ang mga ugat. Huling at pangwakas na tseke. Dapat mangyari ang koepisyent. b. mula sa. kabaligtaran tanda. Sa aming kaso -1 + 2 \u003d +1. At koepisyent. b.na nasa harap ng IX, katumbas ng -1. Kaya, tama ang lahat!
Ito ay isang awa na ito ay sobrang simple para sa mga halimbawa, kung saan X ay malinis, na may isang koepisyent a \u003d 1. Ngunit hindi bababa sa suriin sa naturang mga equation! Magkakaroon ng mas kaunting mga pagkakamali.

Pagkakasakit . Kung may mga fractional coefficients sa iyong equation, - mapupuksa ang mga fraction! Maramihang equation batay sa karaniwang denominadorTulad ng inilarawan sa aralin "Paano malutas ang mga equation? Magkaparehong pagbabagong-anyo". Kapag nagtatrabaho sa mga fraction ng error, para sa ilang kadahilanan at umakyat ...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko ang isang masamang halimbawa sa isang grupo ng mga minus upang gawing simple. Walang anuman! Heto na.

Upang hindi malito sa mga minus, ang equation sa -1 ay nangingibabaw. Nakukuha namin:

Iyon lang! Magpasya - isang kasiyahan!

Kaya, ibuod ang paksa.

Praktikal na payo:

1. Bago paglutas, nagbibigay kami ng isang parisukat na equation sa karaniwang form, itayo ito tama.

2. Kung ang isang negatibong koepisyent ay nagkakahalaga ng negatibong koepisyent bago x, alisin ang pagpaparami ng buong equation sa -1.

3. Kung ang fractional coefficients ay inaalis ang fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa kaukulang multiplier.

4. Kung x ay nasa square - malinis, ang koepisyent ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng Vieta theorem. Gawin mo!

Ngayon posible na kalkulahin.)

Lutasin ang mga equation:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0.

x 2 + 3x + 8 \u003d 0.

x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Mga sagot (sa disorder):

x 1 \u003d 0.
x 2 \u003d 5.

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2.
x 2 \u003d -0.5.

x - Anumang numero

x 1 \u003d -3.
x 2 \u003d 3.

walang Solusyon

x 1 \u003d 0.25.
x 2 \u003d 0.5.

Lahat ay nagtatagpo? Mahusay! Ang mga equation ng parisukat ay hindi ang iyong sakit ng ulo. Ang unang tatlong naka-out, at ang iba pa - hindi? Kung gayon ang problema ay wala sa mga square equation. Ang problema ay nasa magkaparehong pagbabago ng mga equation. Maglakad sa pamamagitan ng reference, ito ay kapaki-pakinabang.

Hindi talaga nakakakuha? O hindi gumagana sa lahat? Pagkatapos ay kailangan mo upang makatulong sa pagkahati 555. Mayroong lahat ng mga halimbawang ito disassembled sa paligid ng mga buto. Nagpapakita pangunahing Mga error sa paglutas. Ito ay inilarawan, siyempre, ang paggamit ng magkaparehong pagbabagong-anyo sa paglutas ng iba't ibang mga equation. Tumutulong ng maraming!

Kung gusto mo ang site na ito ...

Sa pamamagitan ng paraan, mayroon akong isa pang pares ng mga kagiliw-giliw na mga site para sa iyo.)

Maaari itong ma-access sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok sa instant check. Alamin - may interes!)

Maaari mong pamilyar sa mga tampok at derivatives.

Ang mga hamon sa bawat parisukat na equation ay pinag-aralan programa ng Paaralan at sa mga unibersidad. Sa ilalim ng mga ito maunawaan ang mga equation ng form A * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kung saan x - variable, a, b, c - constants; A.<>0. Ang gawain ay upang mahanap ang mga ugat ng equation.

Geometriko kahulugan ng square equation.

Ang graph ng function, na kinakatawan ng square equation ay parabola. Ang mga solusyon (mga ugat) ng square equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis (x). Sinusunod ito mula dito na may tatlong posibleng mga kaso:
1) Parabola ay walang mga intersection point sa isang abscissa axis. Nangangahulugan ito na ito ay nasa itaas na eroplano na may mga sangay o ibaba na may mga sanga. Sa ganitong mga kaso, ang square equation ay walang wastong mga ugat (may dalawang kumplikadong ugat).

2) Parabola ay may isang intersection point sa axis oh. Ang ganitong punto ay tinatawag na pearabol vertex, at ang parisukat na equation dito ay nakakuha nito ng minimum o maximum na halaga. Sa kasong ito, ang parisukat na equation ay may isang wastong ugat (o dalawang magkatulad na ugat).

3) Ang huling kaso sa pagsasanay ay kagiliw-giliw na higit pa - mayroong dalawang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang wastong ugat ng equation.

Batay sa pag-aaral ng mga coefficients sa degree ng mga variable, posible na gumawa ng mga kagiliw-giliw na konklusyon tungkol sa paglalagay ng parabola.

1) Kung ang koepisyent ay mas zero, ang parabola ay nakadirekta paitaas, kung negatibo - ang mga sanga ng parabola ay itinuturo.

2) Kung ang koepisyent B ay mas malaki kaysa sa zero, pagkatapos ay ang tuktok ng parabola ay namamalagi sa kaliwang kalahating eroplano, kung ito ay tumatagal ng isang negatibong halaga - pagkatapos ay sa kanan.

Output ng formula para sa paglutas ng isang parisukat equation.

Inililipat namin ang pare-pareho mula sa square equation.

Sa bawat tanda ng pagkakapantay-pantay, nakukuha namin ang pagpapahayag

Multiply parehong bahagi sa 4A.

Upang makuha ang kaliwa ng buong parisukat na idagdag sa parehong bahagi b ^ 2 at ipatupad ang pagbabagong-anyo

Mula dito upang mahanap

Ang formula ng discriminant at ang mga ugat ng square equation

Ang discriminant ay tinatawag na halaga ng nakakondisyon na pagpapahayag, ito ay positibo, ang equation ay may dalawang wastong ugat na kinakalkula ng formula Sa isang zero discriminant, ang square equation ay may isang solusyon (dalawang coinciding root), na maaaring madaling makuha mula sa formula sa itaas para sa d \u003d 0 na may negatibong discriminant ng equation ng wastong mga ugat. Gayunpaman, upang mapanatili ang mga solusyon ng square equation sa kumplikadong eroplano, at ang kanilang halaga ay kinakalkula ng formula

Vieta theorem

Isaalang-alang ang dalawang ugat ng square equation at bumuo sa kanilang batayan ang square equation. Ang rekord mismo ay madaling sinusundan ng Vieta theorem mismo: kung mayroon kaming isang parisukat na equation ng uri ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng koepisyent ng P, na kinuha sa kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino Q. Ang mga formula ng rekord ng nasa itaas ay makikita sa klasikong equation ng isang pare-pareho ang isang ay naiiba mula sa zero, pagkatapos ay ang lahat ng equation ay dapat na nahahati sa ito, at pagkatapos ay ilapat ang teorama ng Vieta.

Iskedyul ng isang parisukat na equation para sa mga multiplier

Hayaan ang gawain: mabulok ang square equation sa multipliers. Upang matupad ito, una naming malutas ang equation (nakita namin ang mga ugat). Dagdag pa, ang mga ugat na nahanap na pinalitan sa formula ng agnas ng square equation na ito ay papayagan.

Square equation.

Gawain 1. Hanapin ang mga ugat ng square equation.

x ^ 2-26x + 120 \u003d 0.

Solusyon: Isinulat namin ang mga coefficients at kapalit sa formula ng discriminant

Ang ugat ng halagang ito ay 14, madali upang mahanap ito sa isang calculator, o tandaan na may madalas na paggamit, gayunpaman, para sa kaginhawahan, sa dulo ng artikulo, bibigyan kita ng isang listahan ng mga numero ng mga parisukat na maaaring madalas na matugunan tulad ng mga gawain.
Ang pundasyon ay pinalitan sa root formula

At kumuha

Task 2. Lutasin ang equation

2x 2 + x-3 \u003d 0.

Solusyon: Mayroon kaming isang kumpletong square equation, isinulat namin ang mga coefficients at hanapin ang diskriminasyon


Ayon sa mga sikat na formula nakita namin ang mga ugat ng square equation

Task 3. Lutasin ang equation

9x 2 -12x + 4 \u003d 0.

Solusyon: Mayroon kaming isang kumpletong square equation. Matukoy ang diskriminant

Nakatanggap kami ng isang kaso kapag ang mga ugat ay nag-tutugma. Hanapin ang mga halaga ng mga ugat sa pamamagitan ng formula

Task 4. Lutasin ang equation

x ^ 2 + x-6 \u003d 0.

Solusyon: Sa mga kaso kung saan may mga maliit na coefficients sa x ito ay maipapayo na ilapat ang teorama ng Vieta. Ayon sa kanya, nakakakuha kami ng dalawang equation.

Mula sa ikalawang kondisyon, nakukuha namin na ang gawain ay dapat na katumbas ng -6. Nangangahulugan ito na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Mayroon kaming mga sumusunod na posibleng pares ng mga solusyon (-3; 2), (3; -2). Isinasaalang-alang ang unang kondisyon, ang pangalawang pares ng mga solusyon ay tinatanggihan.
Ang mga equation ng ugat ay pantay

Task 5. Hanapin ang haba ng gilid ng rektanggulo, kung ang perimeter nito ay 18 cm, at ang lugar ay 77 cm 2.

Solusyon: kalahati ng perimeter ng rektanggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga kalapit na panig. Nagtatanghal ng X - pinaka panig, pagkatapos ay 18-x ay isang mas maliit na bahagi. Ang lugar ng rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga haba na ito:
x (18-x) \u003d 77;
O.
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Natagpuan namin ang discriminant ng equation.

Kalkulahin ang mga ugat ng equation

Kung ang x \u003d 11,iyon 18h \u003d 7, Sa kabaligtaran, totoo rin ito (kung x \u003d 7, pagkatapos ay 21-x \u003d 9).

Task 6. Square Square 10x 2 -11x + 3 \u003d 0 equation para sa multiplier.

Solusyon: Kalkulahin ang mga ugat ng equation, para sa mga ito mahanap namin ang diskriminasyon

Pinapalit namin ang halaga na natagpuan sa root formula at kalkulahin

Ilapat ang formula ng agnas ng square equation kasama ang mga ugat

Ang layout ng bracket ay makakatanggap ng pagkakakilanlan.

Parisukat na equation na may parameter.

Halimbawa 1. Sa ilalim ng anong mga halaga ng parameter Ngunit, Equation (A-3) x 2 + (3-a) x-1/4 \u003d 0 ay may isang ugat?

Solusyon: Isang direktang pagpapalit ng halaga A \u003d 3 Nakita namin na wala itong solusyon. Susunod, ginagamit namin iyon sa zero discriminant, ang equation ay may isang ugat ng multiplicity 2. Uminom ng diskriminant

Pasimplehin ito at katumbas sa zero.

Nakatanggap ng isang parisukat na equation sa parameter A, ang solusyon na madaling makuha sa Vieta theorem. Ang halaga ng mga ugat ay 7, at ang kanilang trabaho 12. Simple bust sa pamamagitan ng pag-install na ang mga numero 3.4 ay root equation. Dahil ang solusyon A \u003d 3, na tinanggihan na namin sa simula ng mga kalkulasyon, ang tanging karapatan ay - a \u003d 4.Kaya, kapag ang isang \u003d 4, ang equation ay may isang ugat.

Halimbawa 2. Sa ilalim ng kung anong mga halaga ng parameter. ngunit, ang equation a (A + 3) x ^ 2 + (2a + 6) X-3A-9 \u003d 0may higit sa isang ugat?

Solusyon: Isaalang-alang ang mga unang singular na puntos, magiging halaga sila ng \u003d 0 at A \u003d -3. Kapag ang isang \u003d 0, ang equation ay pinasimple sa form 6x-9 \u003d 0; x \u003d 3/2 at magkakaroon ng isang ugat. Kapag a \u003d -3, nakuha namin ang pagkakakilanlan 0 \u003d 0.
Kalkulahin ang diskriminant

at maghanap ng mga halaga at kung saan ito ay positibo

Mula sa unang kondisyon makakakuha tayo ng\u003e 3. Para sa pangalawang nakita namin ang discriminant at Roots ng equation


Tinutukoy namin ang mga puwang kung saan ang function ay tumatagal ng mga positibong halaga. Figure point a \u003d 0 get. 3>0 . Kaya, lampas sa agwat (-3; 1/3) ang function ay negatibo. Huwag kalimutan ang tungkol sa punto. a \u003d 0,ito ay dapat na hindi kasama dahil ang unang equation sa ito ay may isang ugat.
Bilang resulta, nakakuha kami ng dalawang agwat na nakakatugon sa kalagayan ng gawain

Magkakaroon ng maraming katulad na mga gawain sa pagsasanay, subukan upang harapin ang mga gawain sa iyong sarili at huwag kalimutang isaalang-alang ang mga kondisyon na kapwa eksklusibo. Basta basahin ang formula para sa paglutas ng mga square equation, sila ay madalas na kinakailangan kapag kinakalkula sa iba't ibang mga gawain at agham.

Ang conversion ng isang kumpletong square equation sa hindi kumpleto mukhang na (para sa kaso \\ (b \u003d 0 \\)):

Para sa mga kaso kapag \\ (c \u003d 0 \\) o kapag ang parehong mga coefficients ay zero - lahat ng bagay ay katulad.

Tandaan na walang pagsasalita tungkol sa pagkakapantay-pantay ng zero \\ (a \\), hindi ito maaaring maging zero, dahil sa kasong ito ay naging:

Desisyon ng hindi kumpleto square equation.

Una sa lahat, kinakailangan upang maunawaan na ang hindi kumpletong square equation ay pa rin, samakatuwid ito ay maaaring malutas pati na rin ang karaniwang parisukat (sa pamamagitan ng). Upang gawin ito, idagdag lamang ang nawawalang bahagi ng equation na may zero koepisyent.

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \\ (3x ^ 2-27 \u003d 0 \\)
Desisyon :

		Mayroon kaming isang hindi kumpletong square equation na may koepisyent \\ (b \u003d 0 \\). Iyon ay, maaari naming isulat ang equation sa sumusunod na form:
\\ (3x ^ 2 + 0 \\ CDOT X-27 \u003d 0 \\)		Sa katunayan, narito ang parehong equation tulad ng sa simula, ngunit ngayon maaari itong malutas bilang isang ordinaryong parisukat. Una naming isulat ang mga coefficients.
\\ (a \u003d 3; \\) \\ (b \u003d 0; \\) \\ (c \u003d -27; \\)		Kalkulahin ang discriminant sa pamamagitan ng formula \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\)
\\ (D \u003d 0 ^ 2-4 \\ cdot3 \\ cdot (-27) \u003d \\) \(=0+324=324\)		Hanapin ang mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga formula \\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b + \\ sqrt (d)) (2a) \\) at \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ frac (-b- \\ sqrt (d )) (2a) \\)
\\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0+ \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (18) (6) \\) \\ (\u003d 3 \\) \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0- \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-18) (6) \\) \\ (\u003d - 3 \\)		I-record ang sagot

Sagot. : \\ (x_ (1) \u003d 3 \\); \\ (x_ (2) \u003d - 3 \\)

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \\ (- x ^ 2 + x \u003d 0 \\)
Desisyon :

		Muli, ang isang hindi kumpletong square equation, ngunit ngayon zero ay katumbas ng koepisyent \\ (C \\). Record equation bilang kumpleto.