8 mga halimbawa ng factorization ng polynomials ay ibinigay. Kasama sa mga ito ang mga halimbawa sa paglutas ng mga quadratic at biquadratic na equation, mga halimbawa na may paulit-ulit na polynomial, at mga halimbawa sa paghahanap ng mga integer na ugat ng ikatlo at ikaapat na degree na polynomial.

1. Mga halimbawa na may solusyon ng isang quadratic equation

Halimbawa 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Desisyon

Ilabas ang x 2 para sa mga bracket:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Mga ugat ng equation:
, .

.

Sagot

Halimbawa 1.2

Pag-factor ng third-degree polynomial:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Desisyon

Inalis namin ang x sa mga bracket:
.
Lutasin namin ang quadratic equation x 2 + 6 x + 9 = 0:
Ang discriminant nito ay .
Dahil ang discriminant ay katumbas ng zero, ang mga ugat ng equation ay multiple: ;
.

Mula dito nakukuha natin ang agnas ng polynomial sa mga salik:
.

Sagot

Halimbawa 1.3

Pag-factor ng fifth-degree polynomial:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Desisyon

Ilabas ang x 3 para sa mga bracket:
.
Lutasin namin ang quadratic equation x 2 - 2 x + 10 = 0.
Ang discriminant nito ay .
Dahil ang discriminant ay mas mababa sa zero, ang mga ugat ng equation ay kumplikado: ;
, .

Ang factorization ng isang polynomial ay may anyo:
.

Kung kami ay interesado sa factoring na may totoong coefficients, kung gayon:
.

Sagot

Mga halimbawa ng factoring polynomial gamit ang mga formula

Mga halimbawa na may biquadratic polynomial

Halimbawa 2.1

I-factor ang biquadratic polynomial:
x 4 + x 2 - 20.

Desisyon

Ilapat ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Sagot

Halimbawa 2.2

Pag-factor ng isang polynomial na bumababa sa isang biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.

Desisyon

Ilapat ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Sagot

Halimbawa 2.3 na may recursive polynomial

Pag-factor ng recursive polynomial:
.

Desisyon

Ang recursive polynomial ay may kakaibang antas. Samakatuwid ito ay may ugat x = - 1 . Hinahati namin ang polynomial sa x - (-1) = x + 1. Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.
Gumagawa kami ng pagpapalit:
, ;
;


;
.

Sagot

Mga Halimbawa ng Factoring Polynomial na may Integer Roots

Halimbawa 3.1

Pag-factor ng isang polynomial:
.

Desisyon

Ipagpalagay na ang equation

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Kaya, natagpuan namin ang tatlong ugat:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Dahil ang orihinal na polynomial ay nasa ikatlong antas, ito ay hindi hihigit sa tatlong mga ugat. Dahil natagpuan namin ang tatlong ugat, ang mga ito ay simple. Pagkatapos
.

Sagot

Halimbawa 3.2

Pag-factor ng isang polynomial:
.

Desisyon

Ipagpalagay na ang equation

ay may hindi bababa sa isang integer na ugat. Pagkatapos ito ay ang divisor ng numero 2 (isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
-2, -1, 1, 2 .
Palitan ang mga halagang ito nang paisa-isa:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2 (isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2 .
Palitan ang x = -1 :
.

Kaya nakahanap kami ng isa pang ugat x 2 = -1 . Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit papangkatin natin ang mga termino:
.

Dahil ang equation x 2 + 2 = 0 ay walang tunay na mga ugat, kung gayon ang factorization ng polynomial ay may anyo.

Pagbuo ng isang bukas na aralin

Algebra sa ika-8 baitang

sa paksang: “Square trinomial. Pagbulok ng isang parisukat na trinomial sa mga salik.

Mathematics teacher KSU secondary school No. 16 ng Karaganda

Bekenova G.M.

Karaganda 2015

"Hindi matututuhan ang matematika sa pamamagitan ng pagmamasid."

Larry Niven - Propesor ng Matematika

Paksa ng aralin:

Square trinomial.

Factorization ng isang square trinomial.

Layunin ng Aralin:

1. Upang makamit mula sa lahat ng mga mag-aaral ng klase ang matagumpay na pag-unlad at aplikasyon ng kaalaman sa pagkabulok ng square trinomial sa mga salik.

2. Isulong ang: a) ang pagbuo ng pagpipigil sa sarili at pag-aaral sa sarili,

b) ang kakayahang gumamit ng interactive na whiteboard,

c) ang pagbuo ng matematikal na literacy, kawastuhan.

3. Upang linangin ang kakayahang mahusay, maikli ang pagpapahayag ng mga saloobin, mapagparaya sa pananaw ng mga kaklase, at makatanggap ng kasiyahan mula sa mga resultang nakamit.

Uri ng aralin: isang pinagsamang aralin na may naiiba at indibidwal na diskarte, na may mga elemento ng pag-unlad at advanced na pag-aaral.

Lokasyon ng aralin: ang ikatlong aralin sa paksang ito (pangunahing), sa unang dalawang mag-aaral ay natutunan ang kahulugan ng isang square trinomial, natutunan kung paano hanapin ang mga ugat nito, nakilala ang algorithm para sa factoring ng square trinomial, at makakatulong ito sa hinaharap paglutas ng mga equation, pagbabawas ng mga fraction, pagbabago ng algebraic expression.

Istraktura ng aralin:

1 Pag-update ng kaalaman na may kakaibang diskarte sa mga mag-aaral.

2 Ang kontrol ay isang pagsusuri sa sarili ng dating nakuhang kaalaman.

3 Ang pagtatanghal ng bagong materyal ay bahagyang isang paraan ng paghahanap.

4 Pangunahing pagsasama-sama ng pinag-aralan, indibidwal na naiibang diskarte.

5 Pag-unawa, paglalahat ng kaalaman.

6 Pagtatakda ng takdang-aralin sa pamamagitan ng pag-aaral na nakabatay sa problema.

Kagamitan: interactive na board, regular na board, mga task card, Algebra 8 textbook, carbon paper at malinis na sheet, mga simbolo ng physiognostic.

Sa panahon ng mga klase

Oras ng pag-aayos (1 minuto).

1. Pagbati sa mga mag-aaral; sinusuri ang kanilang kahandaan para sa aralin.

2. Komunikasyon ng layunin ng aralin.

stage ako.

“Ang pag-uulit ay ang ina ng pag-aaral.”

1. Pagsusuri ng takdang-aralin. 476 (b, d), No. 474, No. 475

2. Indibidwal na trabaho sa mga card (4 na tao) (sa pagsuri ng takdang-aralin) (5 minuto)

II yugto.

"Magtiwala ngunit suriin"

Pagsubok sa trabaho nang may pagpipigil sa sarili.

Test work (sa pamamagitan ng carbon paper) na may self-test.

Opsyon ko m II variant

1) 2)

2. I-factorize ang square trinomial:

Mga sagot

upang subukan ang trabaho

"Magtiwala ngunit suriin."

1. Hanapin ang mga ugat ng isang square trinomial:

I opsyon II opsyon nt

2. I-factorize ang square trinomial:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Ilang malinaw na sagot na dapat tandaan.

Tanong para sa mga mag-aaral:

Saan sa tingin mo maaari mong ilapat ang factorization ng isang square trinomial?

Tama: kapag nilulutas ang mga equation,

kapag binabawasan ang mga fraction,

sa pagbabago ng algebraic expression.

III yugto

” Ang kasanayan at paggawa ay gumiling ng lahat ”(10 minuto)

1. Isaalang-alang ang aplikasyon ng factorization ng isang square trinomial sa pagbabawas ng mga fraction. Ang gawain ng mga mag-aaral sa pisara.

Bawasan ang fraction:

2. Ngayon isaalang-alang natin ang paggamit ng factorization ng isang square trinomial sa mga pagbabagong-anyo ng algebraic expression.

Teksbuk. Algebra 8. p. 126 No. 570 (b)

Ngayon ipakita kung paano mo ilalapat ang factorization ng isang square trinomial.

IV yugto

"Hampasin mo habang mainit ang plantsa!"

Malayang gawain (13 minuto)

І opsyon І Opsyon ko

Bawasan ang fraction:

5. Napagtanto ko na…….

6. Ngayon ay kaya ko na……

7. Naramdaman ko na....

8. Bumili ako….

9. Natutunan ko…….

10. Nakuha ko ………

11. Nagawa kong….

12. Susubukan ko……

13. Nagulat ako....

14. Aral na ibinigay sa akin habang buhay….

15. Nais kong ....

Impormasyon sa Takdang-Aralin: Dalhin ang iyong takdang-aralin sa susunod na aralin pansariling gawain natanggap noong isang linggo.

Malayang gawain sa bahay.

І opsyon І Opsyon ko

№ 560 (a, c) No. 560 (b, d)

№ 564 (a, c) No. 564 (b, d)

№ 566 (a) No. 566 (b)

№ 569 (a) No. 569 (b)

№ 571 (a, c) No. 571 (b, d)

Tapos na ang lesson.

Ang factorization ng square trinomals ay isa sa mga takdang-aralin sa paaralan na kinahaharap ng lahat maaga o huli. Paano ito gagawin? Ano ang formula para sa factoring ng square trinomial? Sagutan natin ito nang sunud-sunod na may mga halimbawa.

Pangkalahatang pormula

Ang factorization ng square trinomals ay isinasagawa sa pamamagitan ng paglutas quadratic equation. Ito ay isang simpleng gawain na maaaring malutas sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan - sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant, gamit ang Vieta theorem, mayroon ding isang graphical na paraan upang malutas ito. Ang unang dalawang pamamaraan ay pinag-aralan sa mataas na paaralan.

Ang pangkalahatang formula ay ganito ang hitsura:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritmo ng pagpapatupad ng gawain

Upang ma-factorize ang square trinomals, kailangan mong malaman ang Wit's theorem, magkaroon ng isang programa para sa paglutas sa kamay, magagawang makahanap ng solusyon sa graphic na paraan o hanapin ang mga ugat ng isang equation ng pangalawang degree sa pamamagitan ng discriminant formula. Kung ang isang parisukat na trinomial ay ibinigay at dapat itong i-factor, ang algorithm ng mga aksyon ay ang mga sumusunod:

1) Equate ang orihinal na expression sa zero upang makuha ang equation.

2) Magbigay ng mga katulad na termino (kung kinakailangan).

3) Hanapin ang mga ugat sa pamamagitan ng anumang kilalang pamamaraan. Ang graphical na paraan ay pinakamahusay na ginagamit kung ito ay kilala nang maaga na ang mga ugat ay integer at maliliit na numero. Dapat tandaan na ang bilang ng mga ugat ay katumbas ng pinakamataas na antas ng equation, iyon ay, ang quadratic equation ay may dalawang ugat.

4) Kapalit na halaga X sa pagpapahayag (1).

5) Isulat ang factorization ng square trinomals.

Mga halimbawa

Binibigyang-daan ka ng pagsasanay na maunawaan sa wakas kung paano ginagawa ang gawaing ito. Ang mga halimbawa ay naglalarawan ng factorization ng isang square trinomial:

kailangan mong palawakin ang expression:

Gamitin natin ang ating algorithm:

1) x 2 -17x+32=0

2) ang mga katulad na termino ay nabawasan

3) ayon sa pormula ng Vieta, mahirap hanapin ang mga ugat para sa halimbawang ito, kaya mas mainam na gamitin ang expression para sa discriminant:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Palitan ang mga ugat na nakita namin sa pangunahing pormula para sa pagpapalawak:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Kung gayon ang sagot ay:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

Suriin natin kung ang mga solusyon na natagpuan ng discriminant ay tumutugma sa mga formula ng Vieta:

14,845 . 2,155=32

Para sa mga ugat na ito, ang Vieta theorem ay inilapat, sila ay natagpuan nang tama, na nangangahulugan na ang factorization na nakuha namin ay tama din.

Katulad nito, pinalawak namin ang 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Sa nakaraang kaso, ang mga solusyon ay hindi integer, ngunit tunay na mga numero, na madaling mahanap gamit ang isang calculator sa harap mo. Ngayon isaalang-alang ang higit pa kumplikadong halimbawa, kung saan ang mga ugat ay magiging kumplikado: factorize x 2 + 4x + 9. Ayon sa formula ng Vieta, ang mga ugat ay hindi mahanap, at ang discriminant ay negatibo. Ang mga ugat ay nasa kumplikadong eroplano.

D=-20

Batay dito, nakukuha namin ang mga ugat na interesado kami sa -4 + 2i * 5 1/2 at -4-2i * 5 1/2 dahil (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Nakukuha namin ang nais na pagpapalawak sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ugat sa pangkalahatang formula.

Isa pang halimbawa: kailangan mong i-factor ang expression na 23x 2 -14x + 7.

Mayroon kaming equation 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Kaya ang mga ugat ay 14+21,166i at 14-21,166i. Ang magiging sagot ay:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Magbigay tayo ng isang halimbawa na maaaring malutas nang walang tulong ng discriminant.

Hayaang kailanganin na mabulok ang quadratic equation x 2 -32x + 255. Malinaw, maaari rin itong lutasin ng discriminant, ngunit mas mabilis sa kasong ito upang mahanap ang mga ugat.

x 1 =15

x2=17

ibig sabihin x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Sa araling ito, malalaman natin kung paano i-decompose ang mga square trinomal sa mga linear na salik. Para dito, kinakailangan na alalahanin ang teorama ni Vieta at ang kabaligtaran nito. Ang kasanayang ito ay makakatulong sa amin na mabilis at maginhawang mabulok ang mga square trinomal sa mga linear na kadahilanan, at pasimplehin din ang pagbabawas ng mga fraction na binubuo ng mga expression.

Kaya bumalik sa quadratic equation , kung saan .

Ang mayroon tayo sa kaliwang bahagi ay tinatawag na square trinomial.

Ang teorama ay totoo: Kung ang mga ugat ng isang square trinomial, kung gayon ang pagkakakilanlan ay totoo

Nasaan ang nangungunang koepisyent, ang mga ugat ng equation.

Kaya, mayroon kaming isang quadratic equation - isang square trinomial, kung saan ang mga ugat ng quadratic equation ay tinatawag ding mga ugat ng quadratic trinomial. Samakatuwid, kung mayroon tayong mga ugat ng isang square trinomial, ang trinomial na ito ay nabubulok sa mga linear na kadahilanan.

Patunay:

Ang patunay ng katotohanang ito ay isinasagawa gamit ang Vieta theorem, na aming isinasaalang-alang sa mga nakaraang aralin.

Tandaan natin kung ano ang sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta:

Kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial kung saan , kung gayon .

Ang teorama na ito ay nagpapahiwatig ng sumusunod na assertion na .

Nakikita namin na, ayon sa teorama ni Vieta, ibig sabihin, ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula sa itaas, nakukuha namin ang sumusunod na expression

Q.E.D.

Alalahanin na napatunayan namin ang teorama na kung ang mga ugat ng isang parisukat na trinomial, kung gayon ang agnas ay wasto.

Ngayon alalahanin natin ang isang halimbawa ng isang quadratic equation, kung saan pinili natin ang mga ugat gamit ang teorem ng Vieta. Mula sa katotohanang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na pagkakapantay-pantay salamat sa napatunayang teorama:

Ngayon suriin natin ang kawastuhan ng katotohanang ito sa pamamagitan lamang ng pagpapalawak ng mga bracket:

Nakikita namin na kami ay nakapag-factorize nang tama, at anumang trinomial, kung ito ay may mga ugat, ay maaaring i-factor ayon sa theorem na ito sa mga linear na kadahilanan ayon sa formula

Gayunpaman, suriin natin kung posible ang naturang factorization para sa anumang equation:

Kunin natin ang equation bilang halimbawa. Una, suriin natin ang senyales ng discriminant

At naaalala namin na upang matupad ang teorama na aming natutunan, ang D ay dapat na mas malaki kaysa sa 0, samakatuwid, sa kasong ito, ang factorization ayon sa pinag-aralan na teorama ay imposible.

Samakatuwid, bumubuo kami ng isang bagong teorama: kung ang isang parisukat na trinomial ay walang mga ugat, kung gayon hindi ito mabulok sa mga linear na kadahilanan.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang Vieta theorem, ang posibilidad na mabulok ang isang square trinomial sa mga linear na kadahilanan, at ngayon ay malulutas namin ang ilang mga problema.

Gawain 1

Sa grupong ito, talagang malulutas natin ang problema na kabaliktaran sa ipinupunta. Nagkaroon kami ng equation, at nakita namin ang mga ugat nito, nabubulok sa mga salik. Dito gagawin natin ang kabaligtaran. Sabihin nating mayroon tayong mga ugat ng isang quadratic equation

Ang kabaligtaran na problema ay ito: sumulat ng isang parisukat na equation upang ang mga ugat nito.

Mayroong 2 paraan upang malutas ang problemang ito.

Dahil ang mga ugat ng equation, kung gayon ay isang quadratic equation na ang mga ugat ay binibigyan ng mga numero. Ngayon buksan natin ang mga bracket at suriin:

Ito ang unang paraan na gumawa kami ng quadratic equation na may ibinigay na mga ugat na walang iba pang mga ugat, dahil ang anumang quadratic equation ay may hindi hihigit sa dalawang ugat.

Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng paggamit ng inverse Vieta theorem.

Kung ang mga ugat ng equation, kung gayon natutugunan nila ang kundisyon na .

Para sa pinababang quadratic equation , , ibig sabihin, sa kasong ito, at .

Kaya, nakagawa kami ng isang quadratic equation na may ibinigay na mga ugat.

Gawain #2

Kailangan mong bawasan ang fraction.

Mayroon kaming trinomial sa numerator at trinomial sa denominator, at ang mga trinomial ay maaaring maging factorized o hindi. Kung pareho ang numerator at denominator ay factorized, kung gayon sa mga ito ay maaaring may pantay na mga kadahilanan na maaaring mabawasan.

Una sa lahat, kinakailangang i-factor ang numerator.

Una, kailangan mong suriin kung ang equation na ito ay maaaring i-factorize, hanapin ang discriminant . Dahil , kung gayon ang tanda ay nakasalalay sa produkto ( dapat na mas mababa sa 0), sa halimbawang ito , ibig sabihin, ang ibinigay na equation ay may mga ugat.

Upang malutas, ginagamit namin ang Vieta theorem:

Sa kasong ito, dahil pinag-uusapan natin ang mga ugat, magiging mahirap na kunin lamang ang mga ugat. Ngunit nakikita natin na ang mga coefficient ay balanse, ibig sabihin, kung ipagpalagay natin na , at palitan ang halagang ito sa equation, kung gayon ang sumusunod na sistema ay nakuha: ibig sabihin, 5-5=0. Kaya, napili namin ang isa sa mga ugat ng quadratic equation na ito.

Hahanapin natin ang pangalawang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit ng alam na sa sistema ng mga equation, halimbawa, , i.e. .

Kaya, natagpuan namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation at maaaring palitan ang kanilang mga halaga sa orihinal na equation upang i-factor ito:

Alalahanin ang orihinal na problema, kailangan naming bawasan ang fraction.

Subukan nating lutasin ang problema sa pamamagitan ng pagpapalit sa halip ng numerator .

Kinakailangan na huwag kalimutan na sa kasong ito ang denominator ay hindi maaaring katumbas ng 0, ibig sabihin,.

Kung matutugunan ang mga kundisyong ito, binawasan namin ang orihinal na fraction sa anyo .

Gawain #3 (gawain na may parameter)

Sa anong mga halaga ng parameter ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation

Kung ang mga ugat ng equation na ito ay umiiral, kung gayon , ang tanong ay kailan .