Trigonometric Identities. - Ang mga ito ay pantay-pantay na nagtatag ng isang link sa pagitan ng sine, cosine, tangent at catangent ng isang anggulo, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang alinman sa mga function na ito, sa kondisyon na ang anumang iba ay kilala.

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ Enspace ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ Sin \\ ALPHA)

tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1

Ang pagkakakilanlan na ito ay nagpapahiwatig na ang kabuuan ng parisukat ng sinus ng isang anggulo at ang cosine square ng isang anggulo ay katumbas ng isa, na sa pagsasanay ito ay ginagawang posible upang kalkulahin ang sine ng isang anggulo kapag ang cosine ay kilala at vice versa.

Kapag nagko-convert ang mga trigonometriko na expression, ang pagkakakilanlan na ito ay kadalasang ginagamit, na nagbibigay-daan sa yunit na palitan ang halaga ng cosine at sinus squares ng isang anggulo at gumawa din ng isang kapalit na operasyon sa reverse order.

Paghahanap ng padaplis at kotangence sa pamamagitan ng sinus at cosine.

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace

Ang mga pagkakakilanlan na ito ay nabuo mula sa mga kahulugan ng sinus, cosine, padaplis at catangens. Pagkatapos ng lahat, kung malaman mo ito, pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng ordinate y ay sinus, at ang x-cosine abscissa. Pagkatapos ay ang padaplis ay katumbas ng saloobin \\ Frac (y) (x) \u003d \\ frac (kasalanan \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)at saloobin \\ Frac (x) (y) \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ Sin \\ ALPHA) - ay magiging isang catangent.

Idinagdag namin na para lamang sa mga anggulo \\ alpha, kung saan ang mga trigonometriko function na kasama sa kanila ay may katuturan, ang pagkakakilanlan ay magaganap, ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha).

Halimbawa: tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) ay para lamang sa mga anggulo \\ alpha, na iba sa \\ Frac (\\ pi) (2) + \\ pi z, ngunit. ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - Para sa isang anggulo \\ alpha, naiiba mula sa \\ pi z, z - ay isang integer.

Depende sa pagitan ng padaplis at kotangen

tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1

Ang pagkakakilanlan na ito ay may bisa lamang para sa mga anggulo \\ alpha, na iba sa \\ Frac (\\ pi) (2) z. Kung hindi man o cotangent o tangent ay hindi matutukoy.

Umaasa sa mga item sa itaas, nakukuha namin iyon tg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x), ngunit. ctg \\ alpha \u003d \\ frac (x) (y). Samakatuwid ito ay sumusunod na tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x) \\ cdot \\ frac (x) (y) \u003d 1. Kaya, tangent at catangenes ng isang anggulo, kung saan sila ay may kahulugan ay kapwa reverse numero.

Dependencies sa pagitan ng padaplis at cosine, catangenes at sine.

tg ^ (2) \\ alpha + 1 \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ (2) \\ alpha) - Ang kabuuan ng parisukat ng padapuan ng anggulo \\ alpha at 1 ay katumbas ng reverse square ng cosine ng anggulo na ito. Ang pagkakakilanlan na ito ay totoo para sa lahat ng alpha, maliban sa \\ Frac (\\ pi) (2) + \\ pi z.

1 + ctg ^ (2) \\ alpha \u003d \\ frac (1) (\\ Sin ^ (2) \\ alpha) - Halaga 1 at ang parisukat ng sulok ng anggulo \\ alpha ay katumbas ng reverse square ng sinus ng anggulo na ito. Ang pagkakakilanlan na ito ay may bisa para sa anumang \\ alpha, naiiba mula sa \\ pi z.

Mga halimbawa na may mga solusyon sa gawain para sa paggamit ng mga trigonometriko na pagkakakilanlan

Halimbawa 1.

Hanapin ang \\ Sin \\ ALPHA at TG \\ ALPHA kung \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ frac12. at \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi ;

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Mga Pag-andar \\ Sin \\ Alpha at \\ cos \\ alpha binds formula \\ Sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. Substituting sa formula na ito \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ frac12.Kukunin namin:

\\ Sin ^ (2) \\ alpha + \\ left (- \\ frac12 \\ right) ^ 2 \u003d 1

Ang equation na ito ay may 2 solusyon:

\\ Sin \\ ALPHA \u003d \\ PM \\ SQRT (1- \\ FRAC14) \u003d \\ PM \\ FRAC (\\ SQRT 3) (2)

Sa kondisyon \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . Sa ikalawang quarter sinus ay positibo, So. \\ Sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2).

Upang makahanap ng TG \\ ALPHA, ginagamit namin ang formula tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2): \\ frac12 \u003d \\ sqrt 3

Halimbawa 2.

Hanapin \\ cos \\ alpha at ctg \\ alpha, kung \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi .

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Substituting sa formula \\ Sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1 na ibinigay ng numero ng kondisyon \\ Sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt3) (2)Tumanggap \\ iniwan (\\ frac (\\ sqrt3) (2) \\ right) ^ (2) + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. Ang equation na ito ay may dalawang solusyon \\ Cos \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1- \\ \\ FRAC34) \u003d \\ p PM \\ SQRT \\ FRAC14.

Sa kondisyon \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . Sa ikalawang quarter, ang cosine ay negatibo, kaya \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ sqrt \\ frac14 \u003d - \\ frac12.

Upang makahanap ng CTG \\ ALPHA, ginagamit namin ang formula ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha). Ang mga naaangkop na halaga ay kilala sa amin.

ctg \\ alpha \u003d - \\ frac12: \\ frac (\\ sqrt3) (2) \u003d - \\ frac (1) (\\ sqrt 3).

Noong ikalimang siglo BC, binuo ng sinaunang pilosopong Griyego na si Zenon Elayky ang kanyang mga tanyag na apiorial, ang pinaka sikat na kung saan ay Achilles at Turtle Aritia. Ito ay kung paano ito tunog:

Ipagpalagay na ang Achilles ay tumatakbo nang sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong, at nasa likod nito sa distansya ng isang libong hakbang. Para sa oras, kung saan ang Achilles ay tumatakbo sa pamamagitan ng distansya na ito, isang daang hakbang ay crash sa parehong panig. Kapag ang Achilles ay nagpapatakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay mag-crawl tungkol sa sampung hakbang, at iba pa. Ang proseso ay patuloy sa kawalang-hanggan, ang Achilles ay hindi makukuha sa pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... lahat ng ito sa paanuman ay itinuturing na apriology ng Zenon. Shock ay naging napakalakas na " ... Mga talakayan Magpatuloy at sa kasalukuyan, upang pumunta sa pangkalahatang opinyon sa kakanyahan ng paradoxes sa pang-agham na komunidad ay hindi pa posible ... isang matematika pagtatasa, ang teorya ng set, bagong pisikal at pilosopiko diskarte ay kasangkot sa pag-aralan ang isyu; Wala sa kanila ang naging karaniwang tinatanggap na isyu ng isyu ..."[Wikipedia," Yenon Apriya "]. Ang bawat tao'y nauunawaan na sila ay naharang, ngunit walang naiintindihan kung ano ang panlilinlang.

Mula sa pananaw ng matematika, malinaw na ipinakita ni Zeno sa kanyang aproria ang paglipat mula sa halaga sa. Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng aplikasyon sa halip na pare-pareho. Hangga't naiintindihan ko, ang mathematical apparatus ng paggamit ng mga variable ng mga yunit ng pagsukat ay hindi pa pa binuo, o hindi ito inilapat sa Aporisyon ng Zenon. Ang paggamit ng aming ordinaryong lohika ay humahantong sa amin sa isang bitag. Kami, sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos ng pag-iisip, gumamit ng mga permanenteng yunit ng pagsukat ng oras sa inverter. Mula sa isang pisikal na pananaw, mukhang isang paghina sa oras sa kumpletong paghinto sa sandaling ito kapag ang Achilles ay pinalamanan ng isang pagong. Kung tumigil ang oras, hindi na maabutan ng Achilles ang pagong.

Kung bubuksan mo ang lohika kadalasan, ang lahat ay nagiging lugar. Ang Achilles ay tumatakbo sa isang pare-pareho ang bilis. Ang bawat kasunod na segment ng landas nito ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nakaraang isa. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa overcoming nito, sampung beses na mas mababa kaysa sa nakaraang isa. Kung ilalapat mo ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, ito ay tama sabihin "Achilles infinitely ay mabilis na abutin ang pagong."

Paano maiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa mga permanenteng yunit ng pagsukat ng oras at huwag lumipat sa mga reverse value. Sa wika ng Zenon, mukhang ito:

Para sa oras na iyon, kung saan ang Achilles ay nagpapatakbo ng isang libong mga hakbang, ang isang daang hakbang ay pumutok sa pagong sa parehong panig. Para sa susunod na agwat ng oras, katumbas ng una, ang Achilles ay tatakbo ng isa pang libong mga hakbang, at ang pagong ay pumutok ng isang daang hakbang. Ngayon Achilles ay isang walong daang hakbang bago ang pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan ng katotohanan nang walang anumang lohikal na paradoxes. Ngunit ito ay hindi isang kumpletong solusyon sa problema. Sa Zenonian Agrac of Achilles at Turtle ay halos katulad sa pahayag ni Einstein sa kawalan ng kakayahan ng bilis ng liwanag. Kailangan pa rin nating pag-aralan ang problemang ito, pag-isipang muli at malutas. At ang desisyon ay dapat na hinahangad hindi sa walang hanggan malaking bilang, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling Yenon Aprroria ay nagsasabi tungkol sa mga lumilipad na arrow:

Ang lumilipad na arrow ay pa rin, dahil sa bawat sandali siya ay nakasalalay, at dahil ito ay nakasalalay sa bawat sandali ng oras, ito ay laging nakasalalay.

Sa Apentistry na ito lohikal na kabalintunaan Napakadaling linawin na sa bawat sandali ang lumilipad na arrow ay nagpapahinga sa iba't ibang mga punto ng espasyo, na, sa katunayan, ay ang kilusan. Narito kailangan mong tandaan ang isa pang sandali. Ayon sa isang larawan ng kotse sa kalsada, imposibleng matukoy ang katotohanan ng kilusan nito, ni ang distansya dito. Upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw ng kotse, kailangan mo ng dalawang mga larawan na ginawa mula sa isang punto sa iba't ibang mga punto sa oras, ngunit imposible upang matukoy ang distansya. Upang matukoy ang distansya sa kotse, dalawang mga larawan na ginawa mula sa iba't ibang mga punto ng espasyo sa isang punto sa oras, ngunit imposible upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw (natural, karagdagang data ay kailangan pa rin para sa mga kalkulasyon, trigonometrya upang makatulong sa iyo). Ano ang gusto kong bayaran. espesyal na pansinKaya para sa katunayan na ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa espasyo ay iba't ibang mga bagay na hindi dapat malito, dahil nagbibigay sila ng iba't ibang mga pagkakataon para sa pananaliksik.

miyerkules, Hulyo 4, 2018.

Ang napakahusay na pagkakaiba sa pagitan ng marami at multiset ay inilarawan sa Wikipedia. Tumingin kami.

Tulad ng makikita mo, "hindi magkakaroon ng dalawang magkaparehong elemento sa isang set", ngunit kung ang mga magkaparehong elemento ay nasa set, tulad ng isang hanay ay tinatawag na "Mix". Ang isang katulad na lohika ng mga makatwirang tao ay hindi kailanman nauunawaan. Ito ang antas ng pagsasalita ng mga parrot at sinanay na mga monkey, na nawawala mula sa salitang "sa lahat." Ang matematika ay kumikilos bilang mga ordinaryong trainer, nangangaral ng aming mga walang katotohanan na mga ideya.

Sa sandaling ang mga inhinyero na nagtayo ng tulay sa panahon ng mga pagsubok ng tulay ay nasa bangka sa ilalim ng tulay. Kung ang tulay ay bumagsak, ang talentless engineer ay namatay sa ilalim ng pagwasak ng kanyang paglikha. Kung ang tulay ay nakalampas sa pag-load, isang talentadong engineer ang nagtayo ng iba pang mga tulay.

Tulad ng sinabi ng matematika sa likod ng pariralang "Chur, ako ay nasa isang bahay", mas tiyak, "ang mga pag-aaral ng matematika ay mga konsepto ng abstract," may isang umbilical cord, na kung saan ay hindi nagtataguyod sa kanila ng katotohanan. Ang umbilical cord na ito ay pera. Ilapat ang teorya ng matematika ng mga hanay sa matematika mismo.

Nagturo kami ng matematika nang mahusay at ngayon kami umupo sa checkout, nag-isyu kami ng suweldo. Na dumating sa amin ang dalub-agbilang para sa iyong pera. Binibilang namin ito sa buong halaga at inilatag sa iyong talahanayan sa iba't ibang mga stack, kung saan nagdaragdag kami ng mga bill ng isang dignidad. Pagkatapos ay kumuha kami mula sa bawat stack sa isang bill at ibigay ang matematika ng kanyang "matematiko na hanay ng suweldo". Ipaliwanag ang matematika na ang natitirang mga bill ay tatanggap lamang kapag nagpapatunay na ang set na walang parehong mga elemento ay hindi katumbas ng set na may parehong mga elemento. Narito ang pinaka-kagiliw-giliw na magsisimula.

Una sa lahat, ang lohika ng mga deputies ay gagana: "Posible na ilapat ito sa iba, sa akin - mababa!". Magkakaroon ng karagdagang mga assurances sa atin na may iba't ibang mga numero sa mga singil ng pantay na dignidad, na nangangahulugan na hindi sila maaaring isaalang-alang ang parehong mga elemento. Well, bilangin ang suweldo na may mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito, ang mathematician ay magsisimulang hindi gusto ang Physics: Mayroong iba't ibang mga halaga ng dumi sa iba't ibang mga barya, crystal structure. At ang lokasyon ng mga atoms bawat barya ay natatangi ...

At ngayon ay mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: kung saan ay ang linya, sa likod kung saan ang mga elemento ng multisament ay nagiging mga elemento ng set at vice versa? Ang ganitong mukha ay hindi umiiral - lahat ay malulutas ang mga shamans, ang agham dito at hindi nakahiga.

Narito ang hinahanap. Kumuha kami ng mga football stadium na may parehong lugar ng field. Ang lugar ng field ay pareho - nangangahulugan ito na mayroon kaming isang multipart. Ngunit kung isaalang-alang natin ang mga pangalan ng parehong istadyum - marami tayong, dahil ang mga pangalan ay iba. Tulad ng makikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong naka-set at multiset. Paano tama? At dito ang mathematician-shaman-shuller ay hinila ang Trump Ace mula sa manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa hanay o tungkol sa multiset. Sa anumang kaso, siya ay kumbinsihin sa amin ng kanyang karapatan.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shamans ang teorya ng mga set, itali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: Paano naiiba ang mga elemento ng isang hanay mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip na hindi isang buong kabuuan" o "hindi nag-isip sa kabuuan."

linggo, Marso 18, 2018.

Ang halaga ng mga numero ay isang sayaw ng mga shamans na may tamburin, na walang kaugnayan sa matematika. Oo, sa mga aralin ng matematika, tinuturuan kami upang mahanap ang dami ng mga bilang ng mga numero at gamitin ito, ngunit sila ay mga shamans upang sanayin ang iyong mga inapo sa kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi man ay malinis ang mga shamans.

Kailangan mo ba ng katibayan? Buksan ang Wikipedia at subukan upang mahanap ang bilang ng mga pahina ng numero. Hindi ito umiiral. Walang formula sa matematika kung saan maaari mong mahanap ang halaga ng mga numero ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga simbolo ng graphic, kung saan nagsusulat kami ng mga numero at sa wika ng matematika, ang gawain ay katulad nito: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic character na naglalarawan ng anumang numero". Ang matematika ay hindi maaaring malutas ang gawaing ito, ngunit ang mga shamans ay elementarya.

Harapin natin kung ano at kung paano namin ginagawa upang mahanap ang halaga ng mga bilang ng tinukoy na numero. At kaya, magkaroon tayo ng 12345. Ano ang dapat gawin upang mahanap ang dami ng bilang ng numerong ito? Isaalang-alang ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.

1. I-record ang numero sa piraso ng papel. Ano ang ginawa namin? Binago namin ang numero sa simbolo ng graphic ng numero. Ito ay hindi isang pagkilos sa matematika.

2. Pinutol namin ang isang imahe na nakuha sa ilang mga larawan na naglalaman ng mga indibidwal na numero. Ang pagputol ng mga larawan ay hindi isang matematikal na pagkilos.

3. I-convert namin ang mga indibidwal na graphic character sa mga numero. Ito ay hindi isang pagkilos sa matematika.

4. Naka-fold namin ang mga numero. Ito ay matematika.

Ang halaga ng mga numero ng 12345 ay 15. Ang mga ito ay ang "cutter at sewing courses" mula sa shamans apply mathematicians. Ngunit hindi iyon lahat.

Mula sa pananaw ng matematika, hindi mahalaga kung aling sistema ang isulat namin ang numero. Kaya, sa iba't ibang mga sistema ng numero, ang halaga ng mga bilang ng parehong numero ay magkakaiba. Sa matematika, ang sistema ng numero ay nakalagay sa anyo ng mas mababang index sa kanan ng numero. Sa isang malaking bilang ng 12345, hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang ang bilang 26 ng artikulo tungkol sa. Isinulat namin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal na mga sistema ng numero. Hindi namin isasaalang-alang ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo, nagawa na namin. Tingnan natin ang resulta.

Tulad ng makikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero, ang kabuuan ng mga bilang ng parehong numero ay nakuha iba't ibang. Ang resulta para sa matematika ay walang kinalaman. Ito ay tulad ng pagtukoy sa lugar ng rektanggulo sa metro at sentimetro makakakuha ka ng ganap na iba't ibang mga resulta.

Ang zero sa lahat ng mga sistema ng pag-agos ay mukhang pareho at ang halaga ng mga numero ay wala. Ito ay isa pang argumento na pabor sa kung ano. Tanong sa mga mathematician: Paano ipinahiwatig ang matematika na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematicians, walang anuman kundi ang mga numero ay hindi umiiral? Para sa mga shamans, maaari kong pahintulutan, ngunit para sa mga siyentipiko - hindi. Ang katotohanan ay binubuo hindi lamang ng mga numero.

Ang resulta na nakuha ay dapat isaalang-alang bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi namin maaaring ihambing ang mga numero na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang isa at ang parehong mga pagkilos na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong halaga ay humantong sa iba't ibang mga resulta Pagkatapos ng kanilang paghahambing, nangangahulugan ito na wala itong kinalaman sa matematika.

Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng pagkilos ng matematika ay hindi nakasalalay sa halaga ng bilang na ginagamit ng yunit ng pagsukat at kung sino ang gumaganap ng pagkilos na ito.

Plato sa mga pinto Bubukas ang pinto at nagsabi:

Oh! Hindi ba isang babaeng banyo?
- Batang babae! Ito ay isang laboratoryo para sa pag-aaral ng walang kulay na kabanalan ng mga kaluluwa sa pag-akyat sa langit! Nimbi mula sa itaas at arrow up. Ano pa ang toilet?

Babae ... Nimbi mula sa itaas at mapagmataas down - ito ay isang lalaki.

Kung ikaw ay nasa harap ng iyong mga mata ilang beses sa isang araw flashes ito ay ang gawain ng designer art,

Pagkatapos ay hindi nakakagulat na sa iyong kotse ay biglang nakakahanap ka ng isang kakaibang icon:

Sa personal, ako ay gumagawa ng isang pagsisikap sa aking sarili upang maging sa isang cuffing tao (isang larawan), upang makita ang isang minus apat degrees (isang komposisyon ng ilang mga larawan: isang minus sign, isang numero apat, pagtatalaga ng degrees). At hindi sa tingin ko ang batang babae na ito ay isang tanga na hindi alam pisika. Ito ay isang arc stereotype ng pang-unawa ng mga graphic na imahe. At matematika Patuloy kaming tinuturuan. Narito ang isang halimbawa.

1a ay hindi "minus apat degrees" o "isa a". Ito ay isang "cuffing person" o ang bilang ng "dalawampu't anim" sa isang sistema ng numero ng hexadecimal. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistema ng numerong ito ay awtomatikong nakikita ang figure at sulat bilang isang simbolo ng graphic.

Sa artikulong ito, malalaman namin. Ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan ay mga equivals na nagtatatag ng relasyon sa pagitan ng sine, cosine, tangent at catangent ng isang anggulo, at nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang alinman sa mga trigonometriko function sa pamamagitan ng isang kilalang iba.

Agad na ilista ang mga pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan na susuriin natin sa artikulong ito. Isinulat namin sila sa mesa, at sa ibaba ay ibibigay namin ang output ng mga formula na ito at bigyan ang mga kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate ng pahina.

Komunikasyon sa pagitan ng sine at cosine ng isang sulok

Minsan sinasabi nila hindi tungkol sa pangunahing trigonometriko Identities.ah, nakalista sa talahanayan sa itaas, at tungkol sa isa lamang ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan View. . Ang paliwanag ng katotohanang ito ay medyo simple: Ang pagkakapantay-pantay ay nakuha mula sa pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan pagkatapos paghati sa parehong bahagi nito sa at, naaayon, at pagkakapantay-pantay at Sundin ang mga kahulugan ng sinus, cosine, padaplis at catangens. Susubukan natin ito sa mga sumusunod na talata.

Iyon ay, ito ay partikular na interes sa pagkakapantay-pantay na ang pangalan ng pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan ay ibinigay.

Bago patunayan ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan, ibibigay namin ito sa mga salita: ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at ang cosine ng isang anggulo ay magkatulad na katumbas ng isa. Ngayon pinatutunayan namin ito.

Ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan ay madalas na ginagamit kapag pagbabagong-anyo ng mga trigonometriko na expression. Pinapayagan nito ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at ang cosine ng isang anggulo upang palitan ang yunit. Walang mas madalas ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan ay ginagamit sa reverse order: ang yunit ay pinalitan ng kabuuan ng sinus squares at ang cosine ng anumang sulok.

Tangent at kotangenes sa pamamagitan ng sinus at cosine

Pagkakakilanlan bonding padaplis at catangenes na may sine at cosine ng isang anggulo ng uri at Agad na sundin ang mga kahulugan ng sinus, cosine, padaplis at catangent. Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan sinus mayroong isang order y, cosine ay ang abscissa x, tangent ay ang ratio ng ordinate sa abscissa, iyon ay, , at ang KOTHANGENCE ay ang abscissa ratio upang ordinado, iyon ay, .

Dahil sa katibayan ng pagkakakilanlan at Kadalasan ang mga kahulugan ng padapuan at kotangenes ay hindi nagbibigay sa pamamagitan ng ratio ng abscissa at ordinate, ngunit sa pamamagitan ng ratio ng sinus at cosine. Kaya ang isang padaplis ng anggulo ay tinatawag na ratio ng sinus sa cosine ng anggulo na ito, at Kotangent ay ang saloobin ng cosine sa sinus.

Sa pagtatapos ng item na ito, dapat itong pansinin na ang mga pagkakakilanlan at Nagaganap ang mga ito para sa lahat ng mga anggulo kung saan ang mga trigonometriko function sa kanila ay may katuturan. Kaya ang formula ay may bisa para sa anumang iba pang kaysa (kung hindi man sa denamineytor ay magiging zero, at hindi namin tinukoy ang dibisyon sa zero), at ang formula - Para sa lahat maliban sa Z - anumang.

Komunikasyon sa pagitan ng padaplis at kotangen

Ang isang mas maliwanag na trigonometriko pagkakakilanlan kaysa sa dalawang naunang mga ito ay isang pagkakakilanlan na nag-uugnay sa padaplis at cotangent ng isang anggulo ng uri . Ito ay malinaw na ito ay tumatagal ng lugar para sa anumang mga anggulo maliban sa, sa kung hindi Alinman sa tangent, o cotangenes hindi tinukoy.

Katunayan ng Formula. napaka-simple. Sa pamamagitan ng kahulugan at kung saan . Posible na gumastos ng patunay at isang maliit na naiiba. Tulad ng I. T. .

Kaya, tangent at kotnence ng parehong anggulo, kung saan sila ay may kahulugan.

Maaari kang mag-order detalyadong solusyon Iyong gawain !!!

Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang hindi kilalang trigonometriko function (`sin x, cos x, tg x` o` ctg x`) ay tinatawag na trigonometriko equation, isaalang-alang namin ang kanilang mga formula sa karagdagang.

Ang pinakasimpleng ay tinatawag na equations `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, kung saan` x` ang anggulo upang mahanap,` A` - anumang numero. Isinulat namin para sa bawat isa sa kanila ang mga ugat ng formula.

1. Equation `sin x \u003d a`.

Sa `| a |\u003e 1` ay walang mga solusyon.

May `| a |. \\ LEQ 1` ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Formula Roots: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in z`

2. Equation `cos x \u003d a`

Sa `| a |\u003e 1` - tulad ng sa kaso ng sinus, walang mga solusyon sa mga wastong numero.

May `| a |. \\ LEQ 1` ay may walang katapusan na set solusyon.

Formula Roots: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in z`

Mga pribadong kaso para sa sinus at cosine sa mga chart.

3. Equation `TG X \u003d A`

Mayroon itong walang katapusang hanay ng mga solusyon para sa anumang mga halaga ng `A`.

Formula ng Roots: `x \u003d arctg a + \\ pi n, n \\ in z`

4. Equation `ctg x \u003d a`

Mayroon din itong walang katapusang hanay ng mga solusyon para sa anumang mga halaga ng `A`.

Formula Roots: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in z`

Ang mga formula ng mga ugat ng trigonometriko equation sa talahanayan

Para sa sinus:
Para sa cosine:
Para sa Tangent at Kotnence:
Mga formula para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng kabaligtaran trigonometriko function:

Mga Paraan para sa Paglutas ng Trigonometriko Equations.

Ang solusyon ng anumang trigonometriko equation ay binubuo ng dalawang yugto:

• sa pamamagitan ng pag-convert ito sa pinakasimpleng;
• upang malutas ang nagreresultang pinakasimpleng equation, gamit ang nakasulat na mga formula sa itaas ng mga ugat at mga talahanayan.

Isaalang-alang ang mga pangunahing pamamaraan ng mga solusyon sa mga halimbawa.

Algebraic method.

Sa pamamaraang ito, ang variable ay pinalitan at ang pagpapalit nito sa pagkakapantay-pantay.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0``

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`

gumagawa kami ng kapalit: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, pagkatapos` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

nakita namin ang mga ugat: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, mula sa kung saan sundin ang dalawang kaso:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ p \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Sagot: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ p isang frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Factorization.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `Sin x + cos x \u003d 1`.

Desisyon. Ilipat ang kaliwa lahat ng mga miyembro ng pagkakapantay-pantay: `Sin X + Cos X-1 \u003d 0`. Paggamit, binago namin at binubugbog ang kaliwang bahagi:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`

1. `Sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctg 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Sagot: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Nagdadala sa isang homogenous equation

Sa una, ang trigonometriko equation na ito ay dapat dalhin sa isa sa dalawang uri:

`isang kasalanan x + b cos x \u003d 0 (homogenous equation ng unang degree) o` isang kasalanan ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (homogenous equation ng ikalawang degree).

Pagkatapos ay hatiin ang parehong mga bahagi sa `cos x \\ ne 0` - para sa unang kaso, at sa` cos ^ 2 x \\ ne 0` - para sa pangalawang. Nakukuha namin ang equation na may kaugnayan sa TG X`: `A TG X + B \u003d 0 at` A TG ^ 2 x + B TG X + C \u003d 0`, na kailangan mo upang malutas ang mga kilalang pamamaraan.

Halimbawa. Lutasin ang equation: `2 Sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Desisyon. Isinulat namin kanang bahagitulad ng `1 \u003d kasalanan ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 Sin ^ 2 x + Sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 Sin ^ 2 x + Sin x Cos X - Cos ^ 2 X -`` SIN ^ 2 X - COS ^ 2 x \u003d 0`

`Sin ^ 2 x + Sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Ito ay isang homogenous trigonometriko equation ng ikalawang antas, hatiin namin ang kaliwa at kanang bahagi para sa `cos ^ 2 x \\ ne 0`, nakukuha namin:

`\\ Frac (Sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (Sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0``

`TG ^ 2 x + TG X - 2 \u003d 0`. Ipinapakilala namin ang kapalit na `TG X \u003d T`, bilang resulta ng` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Ang mga ugat ng equation na ito: `T_1 \u003d -2` at` t_2 \u003d 1`. Pagkatapos:

1. `TG x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in z`
2. `TG x \u003d 1`,` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Sagot. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Paglipat sa isang kalahating sulok

Halimbawa. Lutasin ang equation: `11 Sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Desisyon. Ilagay ang mga formula ng double anggulo, bilang isang resulta: `22 Sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 Sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 Sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`.

`4 TG ^ 2 x / 2 - 11 TG x / 2 + 6 \u003d 0`

Ang paglalapat ng pamamaraan ng algebraic na inilarawan sa itaas, nakukuha namin ang:

1. `TG x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`,
2. `TG x / 2 \u003d 3 / 4`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.

Sagot. `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`.

Ang pagpapakilala ng auxiliary corner.

Sa trigonometriko equation `isang sin x + b cos x \u003d c`, kung saan ang isang, b, c - coefficients, at x ay isang variable, hatiin namin ang parehong mga bahagi sa` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)`:

`\\ Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) Sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `\\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Ang mga coefficients sa kaliwang bahagi ay may mga katangian ng sinus at cosine, lalo na ang kabuuan ng kanilang mga parisukat na katumbas ng 1 at ang kanilang mga module ay hindi higit sa 1. Ipahiwatig ang mga ito tulad ng sumusunod: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi`, `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d Sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d c `, pagkatapos:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d c`.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado sa sumusunod na halimbawa:

Halimbawa. Lutasin ang equation: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Desisyon. Ibinahagi namin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, nakukuha namin:

`\\ Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 Sin x + 4/5 cos x \u003d 2 / 5`.

Nagtatakda ng `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d Sin \\ varphi`. Dahil `kasalanan \\ varphi\u003e 0,` cos \\ varphi\u003e 0, pagkatapos bilang isang auxiliary angle, kumuha `\\ varphi \u003d arcsin 4 / 5`. Kung gayon ang aming pagkakapantay-pantay ay magsusulat sa anyo:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

Sa pamamagitan ng paglalapat ng kabuuan ng kabuuan ng mga sulok para sa sinus, isulat namin ang aming pagkakapantay-pantay sa sumusunod na form:

`Sin (x + \\ varphi) \u003d 2 / 5`

`X + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`,

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Sagot. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`.

Fractional-rational trigonometric equations.

Ang mga ito ay pagkakapantay-pantay na may mga fraction, sa mga numerator at denominador na may mga trigonometriko function.

Halimbawa. Lutasin ang equation. `\\ Frac (Sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Desisyon. Multiply at hatiin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay sa `(1 + cos x)`. Bilang resulta, nakukuha namin ang:

`\\ Frac (Sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (Sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Isinasaalang-alang na ang denamineytor ay katumbas ng pagiging zero ay hindi maaaring, nakakakuha kami ng `1 + cos x \\ ne 0,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z`.

Katumbas kami sa zero ang fraction ng numerator: `Sin x-Sin ^ 2 x \u003d 0`,` Sin x (1-sin x) \u003d 0`. Pagkatapos ay `sin x \u003d 0` o` 1-sin x \u003d 0`.

1. `sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z`.

Isinasaalang-alang na `x \\ n \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ sa z`, ang mga solusyon ay magiging` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in z` at` x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ in z`.

Sagot. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ in z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in z`.

Ang mga trigonometrya, at trigonometriko equation sa partikular, ay ginagamit sa halos lahat ng mga spheres ng geometry, physics, engineering. Ang pag-aaral sa ika-10 baitang ay nagsisimula, ang mga gawain ay kinakailangang naroroon para sa pagsusulit, kaya subukang tandaan ang lahat ng mga formula ng mga trigonometriko equation - tiyak na gagamitin ka nila!

Gayunpaman, hindi kinakailangan na tandaan ang mga ito, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan, at magagawang bawiin. Ito ay hindi mahirap, tulad ng tila. Tiyaking panoorin ang video.

Ang mga ratio sa pagitan ng mga pangunahing trigonometriko function - sine, cosine, tangent at catangent - ay nakatakda trigonometric formula.. At dahil maraming mga koneksyon sa pagitan ng mga trigonometriko function, pagkatapos ay ang kasaganaan ng Trigonometric formula ay ipinaliwanag din ito. Ang ilang mga formula ay nagbubuklod ng mga trigonometriko na pag-andar ng parehong anggulo, iba pa - ang mga function ng isang maramihang anggulo, ang ikatlong - ay nagbibigay-daan upang mabawasan ang antas, ang ikaapat - upang ipahayag ang lahat ng mga function sa pamamagitan ng kalahating anggulo padaplis, atbp.

Sa artikulong ito ay ilista namin ang lahat ng pangunahing trigonometric formula.na sapat upang malutas ang napakaraming problema sa trigonometrya. Para sa kadalian ng memorization at paggamit, ipapangkat namin ang mga ito sa layunin, at ipasok ang talahanayan.

Pag-navigate ng pahina.

Pangunahing Trigonometric Identities.

Pangunahing Trigonometric Identities. Itakda ang relasyon sa pagitan ng sinus, cosine, tangent at catangent ng isang sulok. Lumalampas sila sa kahulugan ng sinus, cosine, padaplis at catangent, pati na rin ang mga konsepto ng isang bilog. Pinapayagan ka nila na ipahayag ang isang trigonometriko na pag-andar sa anumang iba pang.

Ang isang detalyadong paglalarawan ng mga formula ng trigonometrya, ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay nakikita ang artikulo.

Mga formula ng cast

Mga formula ng cast Sundin mula sa mga katangian ng sinus, cosine, padaplis at catangent, iyon ay, sumasalamin sila sa mga katangian ng dalas ng mga trigonometriko function, ang property ng simetrya, pati na rin ang shift ari-arian para sa anggulo. Ang mga trigonometriko na formula ay nagbibigay-daan sa iyo upang gumana sa arbitrary angles upang lumipat sa operasyon sa mga anggulo mula sa zero hanggang 90 degrees.

Ang makatwirang paliwanag para sa mga formula na ito, ang mnemonic rule para sa kanilang memorization at mga halimbawa ng kanilang aplikasyon ay maaaring tuklasin sa artikulo.

Pormula karagdagan

Trigonometric formula karagdagan Ipakita, bilang trigonometriko function ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang anggulo, ay ipinahayag sa pamamagitan ng trigonometriko function ng mga angles. Ang mga formula ay nagsisilbing base para sa konklusyon na sumusunod sa mga trigonometriko na formula.

Formula double, triple, atbp. Anggulo

Formula double, triple, atbp. Ang anggulo (sila ay tinatawag ding maramihang mga sulok formula) ipakita kung paano trigonometriko function ng double, triple, atbp. Ang mga anggulo () ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga trigonometriko function ng solong anggulo. Ang kanilang konklusyon ay batay sa mga formula ng karagdagan.

Ang mas detalyadong impormasyon ay nakolekta sa artikulo ng formula ng double, triple, atbp. sulok.

Mga formula ng kalahati ng anggulo.

Mga formula ng kalahati ng anggulo. Ipakita, bilang trigonometriko function ng isang kalahating anggulo ay ipinahayag sa pamamagitan ng isang Kosineus ng isang buong anggulo. Ang mga trigonometriko na formula ay sumusunod mula sa mga formula ng double angle.

Ang kanilang konklusyon at mga halimbawa ng aplikasyon ay maaaring matingnan sa artikulo.

Degree reduction formula.

Trigonometric degree reduction formula. Ito ay tinawag para sa pagtataguyod ng paglipat mula sa mga natural na degree ng trigonometriko function sa sinus at cosine sa unang antas, ngunit maraming mga sulok. Sa ibang salita, pinapayagan nila upang mabawasan ang mga antas ng trigonometriko function sa una.

Mga formula ng kabuuan at pagkakaiba ng mga trigonometriko function

Pangunahing patutunguhan mga formula ng kabuuan at pagkakaiba ng mga trigonometriko function Ito ay upang lumipat sa produkto ng mga function, na kung saan ay lubhang kapaki-pakinabang kapag pinasimple ang trigonometriko expression. Ang mga formula na ito ay malawakang ginagamit din sa paglutas ng mga trigonometriko equation, dahil pinapayagan nila kaming ilatag ang kabuuan at ang pagkakaiba sa sinus at cosine.

Mga gawa sa mga sinuses, cosine at sine sa cosine

Ang paglipat mula sa produkto ng mga trigonometriko function sa halaga o pagkakaiba ay isinasagawa ng mga formula ng mga gawa ng sinuses, cosine at sinus sa cosine.

Bashmakov M. I. Algebra at pagsisimula ng pagtatasa: pag-aaral. para sa 10-11 cl. mga kapaligiran shk. - 3rd ed. - M.: Paliwanag, 1993. - 351 c.: Il. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra. at pagsisimula ng pagtatasa: pag-aaral. para sa 10-11 cl. Pangkalahatang edukasyon. institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn, atbp; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed. - M.: Paliwanag, 2004.- 384 c.: Il.- ISBN 5-09-013651-3.

GUSEV V. A., MORDKOVICH A. G. Matematika (benepisyo para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): pag-aaral. benepisyo. - m.; Mas mataas. Shk., 1984.-351 p., IL.

Copyright sa pamamagitan ng cleverstudents.

Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Guards Copyright Law. Walang bahagi ng site www.site, kabilang ang. mga panloob na materyales At ang panlabas na disenyo ay hindi maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.