Ang artikulong ito ay nagpapatuloy sa paksa ng pagbabagong-anyo algebraic fractions.: Isaalang-alang ang ganitong pagkilos bilang pagbawas sa mga algebraic fraction. Ibigay natin ang kahulugan ng termino mismo, binubuo natin ang panuntunan sa pagbabawas at pag-aralan ang mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1.

Ang kahulugan ng pagbawas ng algebraic fraction.

Sa mga materyales sa ordinaryong bahagi, isinasaalang-alang namin ang pagbawas nito. Natukoy namin ang pagbawas ng ordinaryong bahagi bilang isang dibisyon ng numero nito at denamineytor para sa isang karaniwang kadahilanan.

Ang pagbawas ng algebraic fraction ay isang katulad na pagkilos.

Kahulugan 1.

Pagbawas ng algebraic fractions. - Ito ang dibisyon ng numerator at denamineytor nito para sa pangkalahatang kadahilanan. Kasabay nito, sa kaibahan sa pagbawas ng isang ordinaryong bahagi (ang kabuuang denamineytor ay maaari lamang maging isang numero), ang kabuuang multiplier ng numerator at denominador ng algebraic fraction ay maaaring magsilbing polinomyal, lalo na, o isang numero.

Halimbawa, ang algebraic fraction 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · Y + 12 · x 2 · Y 2 ay maaaring mabawasan ng numero 3, bilang isang resulta, nakuha namin: x 2 + 2 · x · Y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Maaari naming i-cut ang parehong bahagi sa variable x, at ito ay magbibigay sa amin ng expression 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2. Ang isang ibinigay na bahagi ay maaaring mabawasan ng isang panig 3 · X.o alinman sa mga polynomials X + 2 · Y., 3 · x + 6 · y, x 2 + 2 · x · y o 3 · x 2 + 6 · x · y.

Ang tunay na layunin ng pagbawas ng mga algebraic fraction ay ang bahagi ng higit pa simpleng pagtingin, sa pinakamagandang kaso - Hindi matatag na bahagi.

Ang lahat ng algebraic fractions ay napapailalim sa pagbabawas?

Muli, mula sa mga materyales sa mga ordinaryong fraction, alam namin na may mga pagbawas at di-interpekto na mga fraction. Ang hindi matatag ay isang bahagi na walang karaniwang mga multiplier ng numerator at denamineytor na naiiba mula sa 1.

Sa algebraic fractions, ang lahat ay pareho: maaaring mayroon silang mga karaniwang multiplier ng numerator at denamineytor, maaaring wala. Ang pagkakaroon ng mga pangkalahatang kadahilanan ay ginagawang posible upang gawing simple ang unang bahagi sa pamamagitan ng pagbawas. Kapag walang mga pangkalahatang multiplier, imposibleng i-optimize ang tinukoy na bahagi ng pagbawas.

Sa pangkalahatang mga kaso itakda Ang fraction ay lubos na mahirap maunawaan kung ito ay napapailalim sa isang pagbawas. Siyempre, sa ilang mga kaso, ang pagkakaroon ng isang karaniwang multiplier ng numerator at denamineytor ay halata. Halimbawa, sa algebraic fractions 3 · x 2 3 · Y, ganap na malinaw na ang kabuuang kadahilanan ay ang bilang 3.

Sa fraction - x · y 5 · x · y · z 3 agad naming naiintindihan na posible na bawasan ito sa x, o y, o sa x · y. Gayunpaman, ito ay mas karaniwang mga halimbawa ng algebraic fractions, kapag ang pangkalahatang multiplier ng numerator at ang denamineytor ay hindi madaling makita, at mas madalas - siya ay wala lamang.

Halimbawa, ang fraction ng x 3 - 1 x 2 - 1 maaari naming i-cut sa x - 1, habang ang tinukoy na pangkalahatang multiplier sa rekord ay nawawala. Ngunit ang fraction x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ay imposible upang ilantad ang pagbawas, dahil ang numerator at ang denamineytor ay walang karaniwang kadahilanan.

Kaya, ang tanong ng paghahanap ng pagbabawas ng algebraic fraction ay hindi kasing simple, at kadalasan ay mas madaling magtrabaho sa bahagi ng isang naibigay na species kaysa sa pagsisikap na malaman kung ito ay nabawasan. Kasabay nito, may mga pagbabagong ito na sa partikular na mga kaso ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang kabuuang multiplier ng numerator at ang denamineytor o upang tapusin ang kahinaan ng fraction. Susuriin namin nang detalyado ang tanong na ito sa susunod na talata ng artikulo.

Ang panuntunan ng pagbawas ng algebraic fractions.

Ang panuntunan ng pagbawas ng algebraic fractions. binubuo ng dalawang magkakasunod na pagkilos:

• paghahanap ng mga karaniwang multiplier ng numerator at denamineytor;
• kung gayon, ang pagpapatupad ng pagputol epekto ng fraction ay direkta.

Ang pinaka-maginhawang paraan ng paghahanap ng mga karaniwang denominador ay ang agnas ng mga polynomial na umiiral sa numerator at denominador ng isang ibinigay na algebraic fraction. Pinapayagan ka nitong agad na makita ang presensya o kawalan ng mga pangkalahatang multiplier.

Ang epekto ng pagbabawas ng algebraic fraction ay batay sa pangunahing ari-arian ng isang algebraic fraction na ipinahayag ng hindi natukoy na pagkakapantay-pantay, kung saan ang isang, b, c ay ilang polynomials, at b at c - non-zero. Ang unang hakbang, ang bahagi ay ibinibigay sa form A · C B · C, kung saan agad naming napapansin ang pangkalahatang kadahilanan c. Ang ikalawang hakbang ay upang mabawasan, i.e. Paglipat sa fraction ng form a b.

Mga halimbawa ng katangian

Sa kabila ng ilang katibayan, linawin ang tungkol pribadong kasoKapag ang numerator at denominator ng algebraic fraction ay pantay. Ang mga katulad na fraction ay magkatulad na katumbas ng 1 sa buong kakaibang variable ng fraction na ito:

5 5 \u003d 1; - 2 3 - 2 3 \u003d 1; x x \u003d 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 \u003d 1; 1 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Dahil ang mga ordinaryong fraction ay isang espesyal na kaso ng algebraic fractions, ipapaalala namin sa iyo kung paano bawasan ang mga ito. Ang mga natural na numero na naitala sa isang numerator at denamineytor ay inilalagay sa mga simpleng multiplier, pagkatapos ay ang mga pangkalahatang kadahilanan ay nabawasan (kung mayroon man).

Halimbawa, 24 1260 \u003d 2 · 2 · 5 · 7 \u003d 2 3 · 5 · 7 \u003d 2 105

Ang gawain ng mga simpleng kaparehong mga kadahilanan ay maaaring nakasulat bilang degree, at sa proseso ng pagbawas ng bahagi upang gamitin ang ari-arian ng degree sa degree na may parehong mga base. Kung gayon ang desisyon sa itaas ay magiging:

24 1260 \u003d 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 \u003d 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 \u003d 2 105

(Ang numerator at denamineytor ay nahahati sa isang karaniwang kadahilanan 2 2 · 3.). O para sa kalinawan, umaasa sa mga katangian ng pagpaparami at dibisyon, ibibigay namin ang ganitong uri ng desisyon:

24 1260 \u003d 2 3 · 3 2 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 \u003d 2 1 · 1 3 · 1 35 \u003d 2 105

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang mga algebraic fraction ay nabawasan, kung saan ang numeric at ang denamineytor ay may unibersal na may integer coefficients.

Halimbawa 1.

Ang algebraic fraction ay ibinigay - 27 · isang 2 · b 2 · c 7 · Z. Ito ay kinakailangan upang mabawasan ito.

Desisyon

Posible na magsulat ng numerator at denominador ng isang naibigay na bahagi bilang isang produkto ng mga simpleng multiplier at variable, pagkatapos nito ang pagbawas:

27 · Ang 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · Aarekoras 3 · Aarias caricel: \u003d \u003d 3 · 3 · A · c · c · c · c · c \u003d - 9 · Isang 3 2 · c 6

Gayunpaman, ang isang mas makatuwirang paraan ay magtatala ng isang solusyon sa anyo ng mga expression na may degree:

27 · 2 · 7 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · z \u003d - 3 3 2 · 3 · 1 isang 2 · b 2 b 2 · cc 7 · zz \u003d \u003d - 3 3 - 1 2 · 1 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 \u003d · - - 3 · 3 · c 6 \u003d · - 9 · 3 · c 6.

Sagot: - 27 · Isang 5 · b 2 · c · 6 · isang 2 · b 2 · c 7 · z \u003d - 9 · 3 · c 6

Kapag ang algebraic fraction sa numerator at denamineytor, may mga fractional numerical coefficients, mayroong dalawang paraan ng mga karagdagang pagkilos: o hiwalay na hatiin ang mga fractional coefficients, o upang ma-pre-mapupuksa ang fractional coefficients, multiply ang numerator at denominator para sa isang uri ng natural numero. Ang huling pagbabagong-anyo ay isinasagawa dahil sa mga pangunahing katangian ng algebraic fraction (posible na basahin ang tungkol dito sa artikulong "Pagpapatakbo ng isang algebraic fraction para sa isang bagong denamineytor").

Halimbawa 2.

Ang fraction 2 5 · x 0, 3 · x 3 ay ibinigay. Ito ay kinakailangan upang mabawasan ito.

Desisyon

Posible upang mabawasan ang fraction sa ganitong paraan:

2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 2 5 3 10 · x x 3 \u003d 4 3 · 1 x 2 \u003d 4 3 · x 2

Subukan nating malutas ang problema kung hindi man, pre-pagkuha ng mga fractional coefficients - multiply ang numerator at denominador sa pinakamaliit na pangkalahatang maramihang denominador ng mga coefficients, i.e. sa NOC (5, 10) \u003d 10. Pagkatapos ay nakukuha namin:

2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 10 · 2 5 · x 3 \u003d 4 · x 3 · x 3 \u003d 4 3 · x 2.

Sagot: 2 5 · x 0, 3 · x 3 \u003d 4 3 · x 2

Kapag binawasan natin ang mga algebraic fractions. pangkalahatang pagtinginKung saan ang mga numerong at denominador ay maaaring maging parehong single-wing at polynomials, isang problema ay posible kapag ang pangkalahatang kadahilanan ay hindi laging nakikita kaagad. O bukod pa rito, wala siyang umiiral. Pagkatapos, upang matukoy ang pangkalahatang kadahilanan o pag-aayos ng katotohanan tungkol sa kawalan nito, ang numerator at ang denamineytor ng algebraic fraction ay nakalagay sa mga multiplier.

Halimbawa 3.

Ang Rational Fraction 2 · A 2 · B 2 + 28 · A · B 2 + 98 · B 2 Ang 2 · B 3 - 49 · B 3 ay ibinigay. Ito ay kinakailangan upang i-cut ito.

Desisyon

I-decompose namin ang polynomials sa isang numerator at denamineytor. Ipatupad para sa mga tirante:

2 · B 2 + 28 · A · B 2 + 98 · b 2 isang 2 · b 3 - 49 · b 3 \u003d 2 · b 2 · (A 2 + 14 · A + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Nakita namin na ang expression sa bracket ay maaaring convert gamit ang mga formula ng abbreviated multiplikasyon:

2 · B 2 · (A 2 + 14 · A + 49) b 3 · (A 2 - 49) \u003d 2 · B 2 · (A + 7) 2 b 3 · (A - 7) · (A + 7)

Ito ay malinaw na kapansin-pansin na posible upang mabawasan ang bahagi sa pangkalahatang pabrika B 2 · (A + 7). Babawasan namin:

2 · B 2 · (A + 7) 2 b 3 · (A - 7) · (A + 7) \u003d 2 · (A + 7) B · (A - 7) \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · B.

Isang maikling desisyon na walang paliwanag na isulat namin bilang isang kadena ng mga pantay-pantay:

2 · B 2 + 28 · A · b 2 + 98 · b 2 isang 2 · b 3 - 49 · b 3 \u003d 2 · b 2 · (A 2 + 14 A + 49) b 3 · (A 2 - 49) \u003d \u003d 2 · b 2 · (A + 7) 2 b 3 · (A - 7) · (A + 7) \u003d 2 · (A + 7) B · (A - 7) \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · B.

Sagot: 2 · B 2 + 28 · A · b 2 + 98 · b 2 isang 2 · b 3 - 49 · b 3 \u003d 2 · A + 14 A · B - 7 · b.

Ito ay nangyayari na ang mga karaniwang kadahilanan ay nakatago ng mga numerong coefficients. Pagkatapos, kapag pinutol ang mga fraction, ang pinakamainam na numerical na mga kadahilanan sa mga senior degree ng numerator at ang denamineytor na maganap sa likod ng mga braket.

Halimbawa 4.

Dana algebraic fraction 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2. Kinakailangan upang isagawa ang pagbawas nito, kung maaari.

Desisyon

Sa unang sulyap, ang numerator at denamineytor ay hindi umiiral sa isang karaniwang denamineytor. Gayunpaman, subukan nating i-convert ang isang naibigay na bahagi. Dadalhin ko ang isang multiplier x sa isang numerator:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Ngayon ay isang pagkakatulad ng mga expression sa mga braket at expression sa denamineytor dahil sa x 2 · y . Magdadala ako ng mga de-numerong coefficients para sa bracket na may mga senior degree ng mga polynomial na ito:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 \u003d - - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Ngayon ang pangkalahatang multiplier ay nakikita, ginagawa namin ang pagbawas:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 \u003d - 2 7 · x 5 \u003d - 2 35 · x

Sagot: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 \u003d - 2 35 · x.

Hayaan ang diin sa katotohanan na ang kakayahan ng pagbabawas ng nakapangangatwiran fractions ay depende sa kakayahan upang kumalat polynomials sa multiplier.

Kung napansin mo ang isang pagkakamali sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Paggawa gamit ang mga fraction, maraming estudyante ang umamin sa parehong mga pagkakamali. At lahat dahil nakalimutan nila ang mga alituntunin sa elementarya aritmetika.. Ngayon ay ulitin natin ang mga tuntunin na ito sa mga partikular na gawain na ibinibigay ko sa aking mga klase.

Narito ang gawain na nag-aalok ako sa lahat na naghahanda para sa pagsusulit sa matematika:

Isang gawain. Ang baboy ng dagat ay kumakain ng 150 gramo ng feed kada araw. Ngunit lumaki siya at nagsimulang kumain ng 20% \u200b\u200bpa. Gaano karaming gramo ng feed ngayon kumakain ng isang baboy?

Maling solusyon. Ito ang gawain ng interes, na bumaba sa equation:

Maraming (napakarami) bawasan ang numero 100 sa numerator at denomoter ng fraci:

Ang pagkakamali na iyon ay pinahihintulutan ng aking estudyante mismo sa araw ng pagsulat ng artikulong ito. Reds minarkahan numero na nabawasan.

Hindi na kailangang sabihin na ang sagot ay mali. Hukom para sa iyong sarili: ang baboy ay kumain ng 150 gramo, at naging 3150 gramo. Ang pagtaas ay hindi 20%, ngunit 21 beses, i.e. para sa 2000%.

Upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan, tandaan ang pangunahing panuntunan:

Maaaring i-cut lamang ang mga multiplier. Hindi maaaring i-cut ang pagkansela!

Kaya, ang tamang desisyon ng nakaraang gawain ay ganito ang hitsura:

Reds minarkahan numero na nabawasan sa isang numerator at denamineytor. Tulad ng makikita mo, ang numerator ay may piraso, denamineytor - isang ordinaryong numero. Samakatuwid, ang pagbawas ay ganap na legal.

Gumana sa mga sukat

Isa pang problemang lugar - proporsyon. Lalo na kapag ang variable ay nakatayo sa magkabilang panig. Halimbawa:

Isang gawain. Lutasin ang equation:

Maling solusyon - ang ilang mga literal na kamay ay i-cut upang i-cut ang lahat sa m:

Ang nabawasan na mga variable ay ipinapakita sa pula. Ito ay lumiliko ang isang expression 1/4 \u003d 1/5 - kumpletong bagay na walang kapararakan, ang mga numerong ito ay hindi katumbas.

At ngayon - ang tamang desisyon. Mahalagang ordinaryong ito linear equation. . Ito ay nalutas sa pamamagitan ng paglipat ng lahat ng mga elemento sa isang direksyon, o sa pamamagitan ng pangunahing ari-arian ng proporsyon:

Maraming mga mambabasa ang babalik: "Nasaan ang error sa unang solusyon?" Well, maunawaan natin. Alalahanin ang panuntunan ng trabaho sa mga equation:

Anumang equation ay maaaring hatiin at multiplied ng anumang numero non-zero..

Lumabas ba ang chip? Maaari lamang nahahati sa mga numero non-zero.. Sa partikular, maaari itong nahahati sa isang variable m, kung m! \u003d 0. At kung ano ang gagawin, kung pa rin m \u003d 0? Kapalit at suriin:

Kinakailangan ang tamang de-numerong pagkakapantay-pantay, i.e. M \u003d 0 - ang ugat ng equation. Para sa natitirang m! \u003d 0 makuha namin ang pagpapahayag ng form 1/4 \u003d 1/5, kung saan, natural, ay hindi tama. Kaya, walang mga ugat maliban sa zero.

Mga konklusyon: Kolektahin ang lahat ng sama-sama

Kaya, para sa paglutas ng mga fractional rational equation, tandaan ang tatlong panuntunan:

1. Maaaring i-cut lamang ang mga multiplier. Imposible ang mga bahagi. Samakatuwid, matutong ilatag ang numerator at denamineytor para sa mga multiplier;
2. Ang pangunahing ari-arian ng proporsyon: ang produkto ng mga matinding elemento ay katumbas ng produkto ng average;
3. Ang mga equation ay maaaring multiply at hinati lamang sa mga numero k, naiiba mula sa zero. Ang kaso K \u003d 0 ay dapat na naka-check nang hiwalay.

Tandaan ang mga panuntunang ito at huwag pahintulutan ang mga pagkakamali.

Upang maunawaan kung paano i-cut ang mga fraction, isaalang-alang muna ang isang halimbawa.

Bawasan ang bahagi ay nangangahulugan upang hatiin ang numerator at ang denamineytor sa parehong bagay. At 360, at 420 ay nagtatapos sa figure, kaya maaari naming bawasan ang fraction na ito sa 2. Sa bagong bahagi at 180, at 210 ay nahahati din sa 2, bawasan ang bahaging ito sa 2. Sa mga numero 90 at 105, ang halaga ng mga numero ay nahahati ng 3, kaya parehong mga numerong ito ay nahahati sa 3, binabawasan namin ang bahagi ng 3. Sa bagong bahagi ng 30 at 35 dulo 0 at 5 hanggang 0 at 5, nangangahulugan ito na ang parehong mga numero ay nahahati sa 5, kaya binabawasan namin Ang maliit na bahagi ng 5. Ang nagresultang pagbaril anim na ikapitong ay hindi itinayo. Ito ang huling sagot.

Maaari naming dumating sa parehong sagot sa ganitong paraan.

At 360, at 420 ay nagtatapos sa zero, nangangahulugan ito na nahahati sila sa 10. Pagbabawas ng bahagi ng 10. Sa isang bagong bahagi at numerator 36, at ang denominator 42 ay nahahati sa 2. Pagbawas ng fraction sa 2. Sa mga sumusunod Ang fraction at numerator 18, at ang denamineytor 21 ay nahahati 3, nangangahulugan ito na binabawasan natin ang bahagi sa 3. Sila ay dumating sa resulta - anim na ikapito.

At isa pang solusyon solusyon.

Susunod na oras na isaalang-alang namin ang mga halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction.

Kung hindi alam kung paano bawasan ang bahagi, at ang pagkakaroon ng isang matatag na kasanayan sa paglutas ng mga halimbawa ay napakahirap na pag-aralan ang algebra sa paaralan. Ang karagdagang, mas malaki ang pangunahing kaalaman sa pagbawas ng mga ordinaryong fractions ay superimposed sa pamamagitan ng bagong impormasyon. Una, lumilitaw ang mga degree, pagkatapos ay multiplier na naging polynomials.

Paano hindi nalilito? Ito ay lubusang pinagsasama ang mga kasanayan sa mga nakaraang paksa at unti-unting maghanda para sa kaalaman kung paano bawasan ang bahagi ng isang komplikadong taon mula sa taon.

Pangunahing kaalaman

Kung wala ang mga ito, hindi posible na makayanan ang mga gawain ng anumang antas. Upang maunawaan, kailangan mong maunawaan ang dalawang simpleng punto. Una: ang mga multiplier lamang ang maaaring i-cut. Ang numance na ito ay napakahalaga kapag lumilitaw ang polynomials sa isang numerator o denamineytor. Pagkatapos ay kailangan mong malinaw na makilala, kung saan mayroong isang multiplier, at kung saan nakatayo ang termino.

Ang ikalawang punto ay nagpapahiwatig na ang anumang numero ay maaaring katawanin bilang mga multiplier. Bukod dito, ang resulta ng pagbawas ay tulad ng isang bahagi, ang numerator at ang denamineytor na hindi na posible upang mabawasan.

Mga panuntunan para sa pagbawas ng mga ordinaryong fractions.

Upang magsimula sa, ito ay nagkakahalaga ng pag-check kung ang numerator ay nahahati sa isang denamineytor o kabaligtaran. Pagkatapos ay para sa numerong ito na kailangan mong bawasan. Ito ang pinakamadaling pagpipilian.

Ang pangalawa ay ang pagtatasa panlabas na pagtingin numero. Kung ang parehong ay isang enemed sa isa o higit pang mga noles, pagkatapos ay maaari silang mabawasan ng 10, 100 o thousand. Dito makikita mo kung ang mga numero ay kahit na. Kung gayon, maaari mong ligtas na i-cut sa dalawa.

Ang ikatlong panuntunan kung paano bawasan ang bahagi, ang agnas ng mga simpleng multiplier ng numerator at ang denamineytor ay nagiging. Sa oras na ito, kailangan mong aktibong gamitin ang lahat ng kaalaman sa mga palatandaan ng divisibility ng mga numero. Matapos ang isang agnas, ito ay nananatiling lamang upang mahanap ang lahat ng paulit-ulit, multiply ang mga ito at mabawasan ang resultang numero.

Paano maging kung ang fraction ay isang algebraic expression?

Lumitaw ang mga unang paghihirap dito. Dahil dito na lumilitaw ang mga tuntunin, na maaaring magkapareho sa mga multiplier. Gusto nilang i-cut, at imposible. Bago pagputol ang algebraic fraction, kailangang baguhin ito upang magkaroon ng mga multiplier.

Ito ay nangangailangan ng ilang mga pagkilos. Maaaring kailanganin upang ipasa ang lahat ng ito, o marahil ang una ay magbibigay ng naaangkop na opsyon.

Suriin kung ang numerator at denominador ay hindi nakikilala o isang expression sa kanila para sa isang tanda. Sa kasong ito, kailangan mo lamang gumawa ng minus unit para sa mga bracket. Kaya ang parehong mga multiplier ay nakuha na maaaring mabawasan.

Posible upang tingnan kung ang isang pangkalahatang multiplier ay maaaring makuha sa polinomyal. Posible na ito ay isang bracket, na maaari ring mabawasan, o ito ay gagawin unrochene.

Subukan upang isagawa ang isang pagpapangkat ng isang-pakpak upang pagkatapos ay ang pangkalahatang pabrika ay dadalhin sa kanila. Pagkatapos nito, maaaring lumitaw ang mga multiplier, na maaaring mabawasan, o muling ulitin ang pagsusumite ng mga karaniwang elemento para sa mga braket.

Subukan na isaalang-alang sa rekord ng formula ng abbreviated multiplikasyon. Sa kanilang tulong, madaling i-convert ang isang polinomyal sa mga multiplier.

Pagkakasunud-sunod ng pagkilos na may mga fraction na may degree.

Upang madaling maunawaan ang tanong kung paano bawasan ang bahagi na may degree, kinakailangan upang matandaan ang mga pangunahing pagkilos sa kanila. Ang una sa kanila ay nauugnay sa pagpaparami ng mga degree. Sa kasong ito, kung ang mga base ay pareho, ang mga tagapagpahiwatig ay dapat na nakatiklop.

Ikalawang - dibisyon. Muli, ang mga may parehong mga base, ang mga tagapagpahiwatig ay kailangang bawasan. Bukod dito, ito ay kinakailangan upang mabawasan mula sa bilang na nakatayo sa delim, at hindi vice versa.

Ang ikatlo ay ang katapusan ng antas. Sa sitwasyong ito, ang mga tagapagpahiwatig ay variable.

Para sa isang matagumpay na pagbabawas, ang kakayahang magbigay ng degree sa parehong mga lugar ay kailangan din. Iyon ay, tingnan na apat ay dalawa sa parisukat. O 27 kubo tatlo. Dahil ang pagputol ng 9 sa parisukat at 3 sa Cuba ay mahirap. Ngunit kung convert mo ang unang expression bilang (3 2) 2, pagkatapos ay ang pagdadaglat ay magiging matagumpay.

Kung kailangan nating hatiin ang 497 hanggang 4, pagkatapos kapag naghahati, makikita natin na 497 ay hindi nahahati sa 4 na naglalayong, i.e. Ang balanse ay nananatili mula sa dibisyon. Sa ganitong mga kaso, sinasabi nila iyon dibisyon sa ibaAt ang solusyon ay nakasulat sa form na ito:
497: 4 \u003d 124 (1 residue).

Ang mga bahagi ng dibisyon sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay tinatawag na katulad ng paghahati nang walang nalalabi: 497 - dividend, 4 - divider.. Ang resulta ng dibisyon kapag ang paghati sa nalalabi ay tinatawag hindi kumpleto na pribado. Sa aming kaso, ito ang bilang 124. At sa wakas, ang huling bahagi na wala sa karaniwang dibisyon - nalalabi. Sa mga kaso kung saan ang nalalabi ay hindi, sinasabi nila na ang isang numero ay nahahati sa isa pa walang nalalabi, o layunin. Ito ay pinaniniwalaan na sa dibisyong ito, ang nalalabi ay zero. Sa aming kaso, ang nalalabi ay 1.

Ang nalalabi ay laging mas mababa kaysa sa divider.

Ang pag-verify check ay maaaring gawin multiplikasyon. Kung, halimbawa, mayroong pagkakapantay-pantay 64: 32 \u003d 2, pagkatapos ay ang tseke ay maaaring gawin tulad nito: 64 \u003d 32 * 2.

Madalas sa mga kaso kung saan ang dibisyon sa nalalabi ay ginanap, ito ay maginhawa upang gamitin ang pagkakapantay-pantay
a \u003d b * n + r,
Kung saan ang isang ay divisible, b - divider, n - hindi kumpleto pribado, r ay ang nalalabi.

Ang pribadong mula sa paghahati ng mga likas na numero ay maaaring nakasulat sa anyo ng isang bahagi.

Ang fraction ay divisible, at ang denamineytor ay isang divider.

Dahil ang fraction numerator ay divisible, at ang denamineytor ay isang divider, naniniwala na ang katangian ng katangian ay nangangahulugan ng pagkilos ng dibisyon. Minsan ito ay maginhawa upang i-record ang dibisyon sa anyo ng isang bahagi, nang hindi ginagamit ang ":" sign.

Ang pribado mula sa dibisyon ng mga natural na numero m at n ay maaaring nakasulat sa anyo ng mga fractions \\ (\\ frac (m) (n) \\), kung saan ang numerator m ay mahahati, at ang denamineytors ay isang divider:
\\ (M: n \u003d \\ frac (m) (n) \\)

Ang mga sumusunod na alituntunin ay totoo:

Upang makakuha ng isang fraction \\ (\\ frac (m) (n) \\), ito ay kinakailangan upang hatiin ang yunit sa n ng pantay na mga bahagi (fraction) at kumuha m ng naturang mga bahagi.

Upang makakuha ng isang fraction \\ (\\ frac (m) (n) \\), ito ay kinakailangan upang hatiin ang numero n.

Upang makahanap ng isang bahagi ng kabuuan, ang bilang na naaayon sa kabuuan, hatiin ang denamineytor at ang resulta ay multiply sa fluster numerator, na nagpapahayag ng bahaging ito.

Upang makahanap ng isang integer sa bahagi nito, ito ay kinakailangan ng isang numero na naaayon sa bahaging ito, hatiin sa numerator at ang resulta multiply sa denomoter ng fraction, na nagpapahayag ng bahaging ito.

Kung ang numerator at ang denominador ng fraction ay pinarami ng parehong numero (maliban sa zero), ang fraction ay hindi magbabago:
\\ (Malaki \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (isang \\ cdot n) (b \\ cdot n) \\)

Kung ang numerator, at ang denomoter denomoter ay nahahati sa isa at parehong numero (maliban sa zero), ang fraction ay hindi magbabago:
\\ (Malaki \\ frac (a) (b) \u003d \\ frac (a: m) (b: m) \\)
Ang ari-arian na ito ay tinatawag na. ang pangunahing ari-arian ng fraci..

Ang huling dalawang pagbabago ay tinatawag na. pagbabawas ng fraci..

Kung ang fraction ay kailangang kinakatawan sa anyo ng mga fraction na may parehong denamineytor, pagkatapos ay ang naturang aksyon ay tinatawag nagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denamineytor.

Tama at hindi tamang mga fraction. Mixed Numbers.

Alam mo na ang fraction ay maaaring makuha kung ito ay nahahati sa isang bahagi ng integer at kumuha ng ilang mga bahagi. Halimbawa, ang fraction \\ (\\ frac (3) (4) \\) ay nangangahulugang tatlong ikaapat na pagbabahagi ng yunit. Sa maraming mga gawain ng nakaraang talata, ang mga ordinaryong fraction ay ginamit upang ipahiwatig ang isang bahagi ng buo. Ang karaniwang kahulugan ay nagpapahiwatig na ang bahagi ay dapat palaging mas mababa kaysa sa kabuuan, ngunit pagkatapos ay may tulad na mga fraction, bilang, halimbawa, \\ (\\ frac (8) (5) \\)? Ito ay malinaw na ito ay hindi bahagi ng yunit. Marahil, samakatuwid, tulad fraction, na may isang numerator mas denominador o katumbas sa kanya, tinatawag maling fractions.. Iba pang mga fraction, i.e., ang mga fraction, na numerator mas mababa denominador, Tumawag regular fractions..

Paano mo alam ang sinuman ordinaryong fraction., at ang tama, at hindi tama, ay maaaring isaalang-alang bilang resulta ng paghahati ng numerator sa denamineytor. Samakatuwid, sa matematika, sa kaibahan sa karaniwang wika, ang salitang "maling bahagi" ay nangangahulugang hindi nagkamali kami, ngunit ang katotohanan lamang na ang fraction na ito ay isang numerator na mas denominador o katumbas sa kanya.

Kung ang bilang ay binubuo ng isang buong bahagi at mga fraction, pagkatapos ay tulad ang mga fraction ay tinatawag na halo-halong..

Halimbawa:
(5: 3 \u003d 1 \\ frac (2) (3) \\): 1 ay isang buong bahagi, isang \\ (\\ frac (2) (3) \\) - praksyonal na bahagi.

Kung ang fractional numerator \\ (\\ frac (a) (b) \\) ay nahahati sa isang natural na numero n, pagkatapos ay hatiin ang bahaging ito sa n, kinakailangan upang hatiin ang numerator nito sa:
\\ (Malaki \\ frac (a) (b): n \u003d \\ frac (a: n) (b) \\)

Kung ang fractional numerator \\ (\\ frac (a) (b) \\) ay hindi nahahati sa isang likas na numero n, pagkatapos ay hatiin ang bahaging ito sa n, kinakailangan upang i-multiply ang denamineytor nito:
\\ (Malaki \\ frac (a) (b): n \u003d \\ frac (a) (bn) \\)

Tandaan na ang ikalawang panuntunan ay may bisa at sa kaso kapag ang numerator ay nahahati sa N. Samakatuwid, maaari naming ilapat ito kapag mahirap upang matukoy sa unang sulyap, ang fraction numerator ay nahahati sa n o hindi.

Mga pagkilos na may mga fraction. Karagdagan fractions.

Na may mga fractional number, tulad ng natural na mga numero, ang mga pagkilos ng aritmetika ay maaaring isagawa. Isaalang-alang ang unang pagdaragdag ng mga fraction. Madaling tiklop ang mga fraction na may parehong denominador. Nakita namin, halimbawa, ang halaga \\ (\\ frac (2) (7) \\) at \\ (\\ frac (3) (7) \\). Madaling maunawaan na \\ (\\ frac (2) (7) + \\ frac (2) (7) \u003d \\ frac (5) (7) \\)

Upang tiklop ang mga fraction na may parehong denominador, kailangan mong tiklop ang kanilang mga numerong, at ang denamineytor ay naiwan para sa parehong.

Paggamit ng mga titik, ang bahagi ng mga fraction na may parehong denamineytor ay maaaring maisulat bilang mga sumusunod:
\\ (Malaki \\ frac (a) (c) + \\ frac (b) (c) \u003d \\ frac (a + b) (c) \\)

Kung kailangan mong tiklop ang mga fractions na may iba't ibang denominador, dapat silang maging pre-humantong sa isang karaniwang denamineytor. Halimbawa:
\\ (Malaki \\ frac (2) (3) + \\ frac (4) (5) \u003d \\ frac (2 \\ cdot 5) (3 \\ cdot 5) + \\ frac (4 \\ cdot 3) (5 \\ cdot 3 ) \u003d \\ Frac (10) (15) + \\ frac (12) (15) \u003d \\ frac (10 + 12) (15) \u003d \\ frac (22) (15) \\)

Para sa mga fraction, para sa natural na mga numero, ang transisyonal at kumbinasyon na mga katangian ng karagdagan ay wasto.

Pagdaragdag ng mixed fractions.

Ang ganitong mga rekord bilang \\ (2 \\ frac (2) (3) \\) ay tinatawag mixed fractions.. Sa kasong ito, ang numero 2 ay tinatawag na. buong bahagi mixed fraction, at ang numero \\ (\\ frac (2) (3) \\) - ito praksyonal na bahagi. Ang rekord \\ (2 \\ frac (2) (3) \\) ay binabasa tulad nito: "dalawa at dalawang ikatlong".

Kapag binabahagi ang numero 8 hanggang sa bilang 3, maaaring makuha ang dalawang sagot: \\ (\\ frac (8) (3) \\) at \\ (2 \\ frac (2) (3) \\). Ipinahayag nila ang isang parehong fractional number, i.e. \\ (\\ frac (8) (3) \u003d 2 \\ frac (2) (3) \\)

Kaya, ang maling fraction \\ (\\ frac (8) (3) \\) ay kinakatawan bilang isang mixed fraction \\ (2 \\ frac (2) (3) \\). Sa ganitong mga kaso, sinasabi nila na mula sa maling bahagi inilalaan ang isang buong bahagi.

Pagbabawas ng mga fraction (fractional numbers)

Pagbabawas fractional Numbers., pati na rin ang natural, tinutukoy batay sa pagkilos ng karagdagan: upang mabawasan ang isang numero - nangangahulugan ito upang mahanap ang gayong bilang na, kapag nagdadagdag sa pangalawang, ay nagbibigay ng una. Halimbawa:
\\ (\\ Frac (8) (9) - \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (7) (9) \\) Dahil \\ (\\ frac (7) (9) + \\ frac (1) (9) \u003d \\ Frac (8) (9) \\)

Ang pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominador ay katulad ng panuntunan ng pagdaragdag ng naturang mga praksiyon:
upang mahanap ang pagkakaiba sa mga fraction na may parehong denominador, ito ay kinakailangan mula sa numerator ng unang bahagi upang mahanap ang numerator ng pangalawang, at ang denamineytor ay naiwan para sa parehong.

Sa tulong ng mga titik, ang panuntunang ito ay isinulat tulad ng sumusunod:
\\ (Malaki \\ frac (a) (c) - \\ frac (b) (c) \u003d \\ frac (a-b) (c) \\)

Pagpaparami ng mga praksiyon

Upang multiply ang fraction sa fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominador at ang unang produkto upang i-record ang numerator, at ang pangalawa ay ang denamineytor.

Sa tulong ng mga titik, ang kakulangan ng mga praksiyon ay maaaring nakasulat bilang:
\\ (Malaki \\ frac (a) (b) \\ cdot \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (isang \\ cdot c) (b \\ cdot d) \\)

Pagkuha ng bentahe ng formulated rule, pagpaparami ng fraction sa isang likas na numero, sa isang halo-halong bahagi, pati na rin ang multiply mixed fractions. Upang gawin ito, ito ay kinakailangan upang magsulat ng isang likas na numero sa anyo ng isang bahagi na may isang denamineytor 1, halo-halong bahagi - bilang isang hindi tamang fraction.

Ang resulta ng pagpaparami ay dapat na pinasimple (kung posible), pagbabawas ng bahagi at pag-highlight sa buong bahagi ng hindi tamang fraction.

Para sa mga fraction, pati na rin para sa mga natural na numero, isang variable at pinagsamang mga pag-aari ng multiplikasyon, pati na rin ang pamamahagi ng ari-arian ng pagpaparami kamag-anak sa karagdagan.

Dibisyon ng mga praksiyon

Dalhin ang fraction \\ (\\ frac (2) (3) \\) at "baligtarin" ito, binabago ang numerator at denamineytor sa mga lugar. Nakukuha namin ang fraction \\ (\\ frac (3) (2) \\). Ang fraction na ito ay tinatawag na. kabaligtaran fractions \\ (\\ frac (2) (3) \\).

Kung kami ngayon ay "i-on" ang fraction \\ (\\ frac (3) (2) \\), pagkatapos ay makuha namin ang unang bahagi \\ (\\ frac (2) (3) \\). Samakatuwid, tulad fractions, bilang \\ (\\ frac (2) (3) \\) at \\ (\\ frac (3) (2) \\) ay tinatawag na kapwa pabalik.

Ang magkabilang kabaligtaran ay, halimbawa, fractions \\ (\\ frac (6) (5) \\) at \\ (\\ frac (5) (6) \\), \\ (\\ frac (7) (18) \\) at \\ (\\ \\ Frac (18) (7) \\).

Sa tulong ng mga titik, ang magkabilang kabaligtaran fractions ay maaaring nakasulat tulad ng sumusunod: \\ (\\ frac (a) (b) \\) at \\ (\\ frac (b) (a) \\)

Ito ay malinaw na ang gawain ng kapwa reverse fractions ay 1.. Halimbawa: \\ (\\ frac (2) (3) \\ cdot \\ frac (3) (2) \u003d 1 \\)

Ang paggamit ng kapwa kabaligtaran fractions, posible na hatiin ang mga klase ng nabawasan sa pagpaparami.

Ang division rule ng fraction sa fraction:
upang hatiin ang isang bahagi sa isa pa, kailangan mong multiply sa pamamagitan ng fraction, ang reverse divider.

Paggamit ng mga titik, ang dibisyon ng mga fraction ay maaaring nakasulat bilang:
\\ (Malaki \\ frac (a) (b): \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (a) (b) \\ cdot \\ frac (d) (c) \\)

Kung ang isang divider o divider ay natural na numero O. mixed fraction., Upang samantalahin ang dibisyon ng mga fraction, dapat itong pre-present sa anyo ng hindi tamang fraction.