Uri ng gawain: 7.

Kondisyon

Ang tuwid na linya Y \u003d 3x + 2 ay padaplis sa graph ng function na Y \u003d -12x ^ 2 + BX-10. Hanapin b, isinasaalang-alang na ang abscissa ng touch point ay mas mababa sa zero.

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Hayaan X_0 maging ang abscissa ng punto sa graph ng function y \u003d -12x ^ 2 + BX-10, kung saan ang padaplis ng iskedyul na ito ay pumasa.

Ang halaga ng derivative sa punto x_0 ay katumbas ng angular koepisyent ng padaplis, iyon ay, y "(x_0) \u003d - 24x_0 + b \u003d 3. Sa kabilang banda, ang touch point ay kabilang sa function at chart ng ang function at padaplis, iyon ay, -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 \u003d 3x_0 + 2. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \\ Simulan (mga kaso) -24x_0 + b \u003d 3, \\\\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 \u003d 3x_0 + 2. \\ End (mga kaso)

Paglutas ng sistemang ito, nakakuha kami ng x_0 ^ 2 \u003d 1, nangangahulugan ito ng alinman sa x_0 \u003d -1, o x_0 \u003d 1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang touch point ay mas mababa sa zero, samakatuwid x_0 \u003d -1, pagkatapos b \u003d 3 + 24x_0 \u003d -21.

Sagot.

Uri ng gawain: 7.
Paksa: Geometric meaning derivative. Tangent sa graphics function.

Kondisyon

Direct y \u003d -3x + 4 parallel sa tangential to graphics function y \u003d -x ^ 2 + 5x-7. Hanapin ang touch point abscissa.

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Ang angular koepisyent ng direktang sa graph ng function na Y \u003d -x ^ 2 + 5x-7 sa isang arbitrary point x_0 ay y "(x_0) ngunit y" \u003d - 2x + 5, nangangahulugan ito na y "(x_0) \u003d - 2x_0 + 5. Corner ang koepisyent ng direktang Y \u003d -3x + 4, tinukoy sa kondisyon, ay -3. Parallel tuwid na mga linya ay may parehong angular coefficients. Samakatuwid, nakita namin ang isang halaga X_0, na \u003d -2x_0 + 5 \u003d -3.

Nakukuha namin: x_0 \u003d 4.

Sagot.

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa EEG-2017. Antas ng profile. " Ed. Ff lysenko, S. yu. Kulabukhova.

Uri ng gawain: 7.
Paksa: Geometric meaning derivative. Tangent sa graphics function.

Kondisyon

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Sa figure, tinutukoy namin na ang padaplis ay dumadaan sa mga punto ng isang (-6; 2) at b (-1; 1). Nagtatakda ng C (-6; 1) ang punto ng intersection ng direktang x \u003d -6 at y \u003d 1, at sa pamamagitan ng \\ alpha anggulo ABC (sa figure ito ay malinaw na ito ay matalim). Pagkatapos ay ang direktang AB form na may positibong direksyon ng ox axis angle \\ pi - \\ alpha, na mapurol.

Tulad ng kilala, TG (\\ Pi - \\ alpha) at magiging halaga ng derivative function f (x) sa puntong x_0. Pansinin, iyon tg \\ alpha \u003d \\ frac (AC) (cb) \u003d \\ frac (2-1) (- 1 - (- 6)) \u003d \\ frac15. Mula dito sa pamamagitan ng mga formula makuha namin: tG (\\ pi - \\ alpha) \u003d -tg \\ alpha \u003d - \\ frac15 \u003d -0.2.

Sagot.

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa EEG-2017. Antas ng profile. " Ed. Ff lysenko, S. yu. Kulabukhova.

Uri ng gawain: 7.
Paksa: Geometric meaning derivative. Tangent sa graphics function.

Kondisyon

Ang tuwid na linya Y \u003d -2x-4 ay padaplis sa graph ng function na y \u003d 16x ^ 2 + bx + 12. Hanapin b, isinasaalang-alang na ang abscissa ng touch point ay mas malaki kaysa sa zero.

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Hayaan ang x_0 maging abscissa ng punto sa graph ng function y \u003d 16x ^ 2 + bx + 12 kung saan

passion sa graphics na ito.

Ang halaga ng derivative sa punto X_0 ay katumbas ng angular koepisyent ng padaplis, iyon ay, y "(x_0) \u003d 32x_0 + b \u003d -2. Sa kabilang banda, ang touch point ay kabilang sa function at padaplis at padaplis , Iyon ay, 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 \u003d - 2x_0-4. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation \\ Simulan (mga kaso) 32x_0 + b \u003d -2, \\\\ 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 \u003d -2x_0-4. \\ End (mga kaso)

Paglutas ng sistema, nakakuha kami ng x_0 ^ 2 \u003d 1, nangangahulugan ito ng alinman sa x_0 \u003d -1, o x_0 \u003d 1. Ayon sa kondisyon ng abscissa, ang touch point ay mas malaki kaysa sa zero, samakatuwid x_0 \u003d 1, pagkatapos b \u003d -2-32x_0 \u003d -34.

Sagot.

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa EEG-2017. Antas ng profile. " Ed. Ff lysenko, S. yu. Kulabukhova.

Uri ng gawain: 7.
Paksa: Geometric meaning derivative. Tangent sa graphics function.

Kondisyon

Ang figure ay nagpapakita ng graph ng function na y \u003d f (x) na tinukoy sa agwat (-2; 8). Tukuyin ang bilang ng mga punto kung saan ang function na padapuan sa function ay parallel sa direct y \u003d 6.

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Direktang Y \u003d 6 parallel sa Axis ng baka. Samakatuwid, nakita namin ang mga puntong ito kung saan ang function na padapuan sa function ay parallel sa axis ng baka. Sa ganitong graphics, may mga punto ng extremum (maximum o minimum na puntos). Tulad ng nakikita namin, extremum point 4.

Sagot.

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa EEG-2017. Antas ng profile. " Ed. Ff lysenko, S. yu. Kulabukhova.

Uri ng gawain: 7.
Paksa: Geometric meaning derivative. Tangent sa graphics function.

Kondisyon

Direktang y \u003d 4x-6 parallel sa tangential sa graph ng function y \u003d x ^ 2-4x + 9. Hanapin ang touch point abscissa.

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Ang angular koepient tangent sa graph ng function y \u003d x ^ 2-4x + 9 sa isang arbitrary point x_0 ay y "(x_0) ngunit y" \u003d 2x-4, nangangahulugan ito na y "(x_0) \u003d 2x_0- 4. Corner Tangential y \u003d 4x-7, tinukoy sa kondisyon na katumbas ng 4. Parallel tuwid na mga linya ay may parehong mga angular coefficients. Samakatuwid, nakita namin ang isang halaga X_0, na 2x_0-4 \u003d 4. Nakukuha namin: x_0 \u003d 4.

Sagot.

Pinagmulan: "Matematika. Paghahanda para sa EEG-2017. Antas ng profile. " Ed. Ff lysenko, S. yu. Kulabukhova.

Uri ng gawain: 7.
Paksa: Geometric meaning derivative. Tangent sa graphics function.

Kondisyon

Ang figure ay nagpapakita ng graph ng function y \u003d f (x) at padapuan dito sa isang punto na may isang x_0 abscissa. Hanapin ang halaga ng derivative function f (x) sa puntong x_0.

Magpakita ng desisyon

Desisyon

Sa figure, tinutukoy namin na ang padaplis ay dumadaan sa mga punto A (1; 1) at b (5; 4). Nagtatakda ng C (5; 1) ang punto ng intersection ng direktang x \u003d 5 at y \u003d 1, at sa pamamagitan ng \\ alpha anggulo ng BAC (sa figure ito ay malinaw na ito ay matalim). Pagkatapos ay ang direktang AB ay bumubuo ng anggulo \\ alpha na may positibong direksyon ng axis ng baka.

Isaalang-alang ang sumusunod na pagguhit:

Inilalarawan nito ang ilang mga function na y \u003d f (x), na kung saan ay naiiba sa punto a. Ang punto m ay kilala sa mga coordinate (a; f (a)). Sa pamamagitan ng isang arbitrary point p (a + δx; f (a + δx)), ang iskedyul ay nagsagawa ng isang pag-secure ng mr.

Kung ngayon ang punto p upang ilipat ayon sa graph sa punto m, pagkatapos ay ang direktang Mr ay i-paligid ang punto M. Sa kasong ito, δδ ay magsisikap para sa zero. Mula dito maaari kang bumuo ng isang kahulugan ng isang function padaplis.

Tangent sa graphics function.

Tangential sa function ng function ay ang limitasyon posisyon ng sequential sa pagnanais ng pagdagdag ng argumento sa zero. Dapat itong maunawaan na ang pagkakaroon ng derivative function f sa point x0 ay nangangahulugan na sa puntong ito ay may isang graphics padaplis sa kanya.

Sa kasong ito, ang angular koepisyent ng padaplis ay magiging katumbas ng derivative ng function na ito sa puntong ito f '(x0). Ito ang geometriko na kahulugan ng derivative. Ang tangent sa iskedyul ay naiiba sa punto X0 function F - ito ay ilang tuwid, na dumadaan sa punto (x0; f (x0)) at pagkakaroon ng isang angular koepisyent f '(x0).

Equation padaplis

Susubukan naming makakuha ng equation padaplis sa graph ng ilang mga function f sa punto A (x0; f (x0)). Ang equation ng direktang may isang angular koepisyent K ay may sumusunod na form:

Dahil mayroon kaming isang angular koepisyent na katumbas ng hinalaw f '(x0)Ang equation ay kukuha ng sumusunod na form: y \u003d f '(x0)* x + b.

Ngayon kinakalkula namin ang halaga b. Upang gawin ito, ginagamit namin ang katotohanan na ang function ay pumasa sa punto A.

f (x0) \u003d f '(x0) * x0 + b, ipahayag namin ito mula sa b at nakakuha kami ng b \u003d f (x0) - f' (x0) * x0.

Pinapalitan namin ang halaga na nakuha sa equation ng padaplis:

y \u003d f '(x0) * x + b \u003d f' (x0) * x + f (x0) - f '(x0) * x0 \u003d f (x0) + f' (x0) * (x - x0).

y \u003d f (x0) + f '(x0) * (x - x0).

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa: Hanapin ang equation padaplis sa mga graphics ng function f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 sa point x \u003d 2.

2. f (x0) \u003d f (2) \u003d 2 2 - 2 * 2 2 + 1 \u003d 1.

3. F '(x) \u003d 3 * x 2 - 4 * x.

4. F '(x0) \u003d f' (2) \u003d 3 * 2 2 - 4 * 2 \u003d 4.

5. Pinapalit namin ang nakuha na mga halaga sa tangent formula, nakuha namin: Y \u003d 1 + 4 * (x - 2). Ang pagbubukas ng bracket at pagdadala ng mga naturang termino na nakukuha namin: y \u003d 4 * x - 7.

Sagot: y \u003d 4 * x - 7.

Pangkalahatang pamamaraan na pumipilit sa equation ng padaplis sa graph ng function y \u003d f (x):

1. Tukuyin ang x0.

2. Kalkulahin ang f (x0).

3. Kalkulahin ang f '(x)

Pagtuturo

Tinutukoy namin ang angular koepisyent ng padapuan sa curve sa punto M.
Ang curve na kumakatawan sa graph ng function na y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa ilang kapitbahayan ng punto m (kabilang ang punto m).

Kung ang mga halaga F '(x0) ay hindi umiiral, ito ay alinman sa walang tangent, o ito ay pumasa patayo. Dahil dito, ang pagkakaroon ng isang gumagawang function sa point x0 ay dahil sa pagkakaroon ng isang di-sertipikadong padaplis, na nagmumula sa isang function graph sa punto (x0, f (x0)). Sa kasong ito, ang angular koepisyent ng tangential ay f "(x0). Kaya, ang geometrical na kahulugan ng derivative ay malinaw - ang pagkalkula ng angular koepisyent ng padaplis.

Hanapin ang abscissa ng touch point, na ipinahiwatig ng titik na "A". Kung ito ay kasabay ng isang ibinigay na punto ng padaplis, pagkatapos ay "A" ay magiging X-coordinate nito. Matukoy ang halaga mga Pag-andar F (a), substituting sa equation. mga Pag-andar Ang magnitude ng abscissa.

Matukoy ang unang derivative equation. mga Pag-andar f '(x) at palitan ang halaga ng punto na "A".

Kumuha ng isang pangkalahatang equation ng tangential, na kung saan ay tinukoy bilang y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a), at kapalit ang nahanap na mga halaga a, f (a), f "(a). Bilang isang Resulta, ang solusyon ay matatagpuan. At padaplis.

Magpasya ang gawain sa ibang paraan kung punto Tangent hindi coincided sa isang punto ng touch. Sa kasong ito, kinakailangan upang palitan ang "A" sa equation sa halip ng mga numero. Pagkatapos nito, sa halip na ang mga titik na "x" at "y" ay kapalit ng halaga ng coordinate ng tinukoy na punto. Magpasya ang nagreresultang equation kung saan ang "A" ay hindi kilala. Ilagay ang halaga sa equation ng padaplis.

Gumawa ng isang equation ng padaplis sa titik na "A", kung ang equation ay tinukoy sa problema ng problema mga Pag-andar at ang equation ng isang parallel na linya na may kaugnayan sa nais na padaplis. Pagkatapos nito, kinakailangan ang derivative. mga Pag-andar Upang ang coordinate ng punto "A". Isumite ang naaangkop na halaga sa equation padaplis at malutas ang function.

Ang programang ito ng matematika ay nakakahanap ng equation padaplis sa graph ng function \\ (f (x) \\) sa isang tinukoy na punto ng gumagamit (a \\).

Ang programa ay hindi lamang nagpapakita ng equation ng padaplis, kundi pati na rin ang nagpapakita ng proseso ng paglutas ng problema.

Ang online calculator na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang bilang mga estudyante sa mataas na paaralan. mga sekundaryong paaralan Kapag naghahanda K. kontrolin ang trabaho at pagsusulit, kapag nag-check ng kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang ay makontrol ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O marahil ikaw ay masyadong mahal upang umarkila ng isang tutor o bumili ng mga bagong aklat? O gusto mo lamang gawin sa lalong madaling panahon takdang aralin sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Kaya, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at / o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga nalutas na gawain ay nagdaragdag.

Kung kailangan mong makahanap ng isang derivative function, pagkatapos ay para sa mga ito kami ay may gawain upang mahanap ang derivative.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga function, inirerekumenda namin ang iyong sarili sa kanila.

Ipasok ang expression ng function \\ (f (x) \\) at ang numero \\ (a \\)

f (x) \u003d.
a \u003d.

Hanapin ang equation padaplis

Ito ay natagpuan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaari kang magkaroon ng adblock.
Sa kasong ito, idiskonekta ito at i-update ang pahina.

Mayroon kang JavaScript execution sa iyong browser.
Upang lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin, kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

Dahil Nais na malutas ang gawain ay napaka, ang iyong kahilingan ay nasa linya.
Pagkatapos ng ilang segundo, ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec ...

kung ikaw napansin ang isang pagkakamali sa paglutasMaaari mong isulat ang tungkol dito sa form ng feedback.
Huwag kalimutan tukuyin kung ano ang gawain Magpasya ka at kung ano pumasok sa field.

Ang aming mga laro, mga puzzle, emulator:

Isang bit ng teorya.

Angular Coefficient Direct.

Alalahanin na ang tiyempo ng linear function \\ (y \u003d kx + b \\) ay tuwid. Ang numero \\ (k \u003d tg \\ alpha \\) ay tinatawag angular Coefficient Direct., at anggulo \\ (\\ alpha \\) - isang anggulo sa pagitan ng tuwid at axis na ito

Kung \\ (k\u003e 0 \\), pagkatapos ay \\ (0 kung \\ (Kuravda padaplis sa graphics

Kung ang punto m (a; f (a)) ay kabilang sa graph ng function na y \u003d f (x) at kung sa puntong ito sa graphics ng function ay maaaring isagawa sa pamamagitan ng padaplis, non-perpendicular axis ng Ang abscissa, pagkatapos ay mula sa geometric na kahulugan, ang derivative ay sumusunod na ang angular koepisyent ng tangent ay f "(a). Susunod, gumawa kami ng algorithm para sa paghahanda ng equation ng padaplis sa graph ng anumang function.

Hayaan ang function y \u003d f (x) at ang punto m (a; f (a)) sa graph ng function na ito; Ipaalam ito na may f "(a). Gagawa kami ng equation padaplis sa iskedyul tinukoy na pag-andar Sa isang punto. Ang equation na ito, bilang equation ng anumang direktang, di-parallel axis ng ordinate, ay may form y \u003d kx + b, kaya ang gawain ay upang mahanap ang mga halaga ng coefficients k at b.

Sa pamamagitan ng isang angular koepisyent K, lahat ng bagay ay malinaw: ito ay kilala na k \u003d f "(a). Upang kalkulahin ang halaga B, ginagamit namin ang katunayan na ang nais na direktang pass sa pamamagitan ng punto m (a; f (a)). Nangangahulugan ito na kung papalitan natin ang mga coordinate ng punto m ang equation ay direktang, nakakuha tayo ng totoong pagkakapantay-pantay: \\ (f (a) \u003d ka + b \\), i.e. \\ (b \u003d f (a) - ka \\).

Ito ay nananatiling upang palitan ang nahanap na mga halaga ng mga coefficients K at B sa direktang equation:

$ y \u003d kx + b $$$$ y \u003d kx + f (a) - ka $$$$ y \u003d f (a) + k (xa) $$$$ y \u003d f (a) + f "( a) (xa) $$.

Natanggap na namin equation padaplis sa graphics function. \\ (y \u003d f (x) \\) sa punto \\ (x \u003d a \\).

Algorithm para sa paghahanap ng isang equation padaplis sa graphics function \\ (y \u003d f (x) \\)
1. Pagtatalaga ng abscissa ng touch point ng sulat \\ (a \\)
2. Kalkulahin ang \\ (f (a) \\)
3. Hanapin \\ (f "(x) \\) at kalkulahin ang \\ (f" (a) \\)
4. Kapalit ang nahanap na mga numero \\ (a, f (a), f "(a) \\) sa formula \\ (y \u003d f (a) + f" (a) (x-a) \\)

Mga Aklat (Mga aklat-aralin) Mga Abstracts EGE at OGE Mga Pagsubok Mga Online Game, Mga puzzle Mga Tsinong Mga Pag-andar ng Mga Pag-andar Mga Diksiyonaryo ng Russian Diksyunaryo ng Kabataan Slang School Katalogo ng Paaralan Russian Catalog ng Russia Katalogo ng Palamuti Ng Polynomial (Multiplication of Polynomials Tama

Ang artikulo ay nagbibigay ng isang detalyadong paliwanag ng mga kahulugan, ang geometrical na kahulugan ng derivative na may graphic notation. Ang equation ng tangent direct ay isasaalang-alang sa conversion ng mga halimbawa, ang equation tangent sa curve 2 ay natagpuan.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Kahulugan 1.

Ang anggulo ng pagkahilig direktang Y \u003d K X + B ay tinatawag na anggulo α, na kung saan ay binibilang mula sa positibong direksyon ng axis tungkol sa x sa isang tuwid y \u003d k x + b sa positibong direksyon.

Sa figure, ang direksyon ng X ay tinutukoy ng berdeng arrow at sa anyo ng isang berdeng arko, at ang anggulo ng pagkahilig sa tulong ng isang pulang arko. Ang asul na linya ay tumutukoy sa isang tuwid na linya.

Kahulugan 2.

Ang angular koepisyent ng direktang y \u003d k x + B ay tinatawag na numerical coefficient k.

Ang angular koepisyent ay katumbas ng tilt tilt tuwid, sa ibang salita k \u003d t g α.

• Ang anggulo ng pagkahilig ay katumbas ng 0 lamang na may parallelism ng x at isang angular koepisyent na katumbas ng zero, dahil ang zero padaplis ay 0. Kaya, ang uri ng equation ay y \u003d b.
• Kung ang anggulo ng tuwid na linya Y \u003d K X + B ay matalim, pagkatapos ay ang mga kondisyon ay nasiyahan 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0, at mayroong isang pagtaas sa graph.
• Kung α \u003d π 2, pagkatapos ay ang lokasyon ng tuwid na patayo tungkol sa x. Ang pagkakapantay-pantay ay nakatakda gamit ang pagkakapantay-pantay X \u003d C na may halaga ng isang wastong numero.
• Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y \u003d k x + b stupid, pagkatapos ay tumutugma sa mga kondisyon π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Kahulugan 3.

Ang sequential ay tinatawag na direktang, na dumadaan sa 2 puntos ng function f (x). Sa madaling salita, ang sunud ay direktang, na isinasagawa sa pamamagitan ng dalawang punto ng graph ng isang naibigay na function.

Ang figure ay nagpapakita na ang isang in ay ang yunit, at f (x) ay isang itim na curve, α - pulang arko, ibig sabihin ang anggulo ng pagkahilig ng seksyon.

Kapag ang coefficient ng sulok ay katumbas ng padaplis ng anggulo ng pagkahilig, maaari itong makita na ang padaplis mula sa hugis-parihaba tatsulok A sa C ay matatagpuan na may kaugnayan sa kabaligtaran kategorya sa katabi.

Kahulugan 4.

Nakukuha namin ang isang formula para sa paghahanap ng isang pag-secure ng hitsura:

k \u003d tg α \u003d bcac \u003d f (x b) - fx a x b - x a, kung saan ang abscissions ng mga puntos A at B ay ang mga halaga x a, x b, at f (x a), f (x b) ay mga function sa mga puntong ito .

Malinaw, ang angular koepisyent ng seksyon ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay k \u003d f (x b) - f (x a) x b - x a o k \u003d f (x a) - f (x b) x a - x b, at ang equation na kinakailangan Sumulat bilang y \u003d f (xb) - f (xa) xb - xa · x - xa + f (xa) o
y \u003d f (x a) - f (x b) x a - x b · x - x b + f (x b).

Ang sequential ay naghihiwalay sa graph biswal sa 3 bahagi: sa kaliwa ng punto A, mula A hanggang B, sa kanan ng V. Sa figure sa ibaba, ang figure ay nagpapakita na mayroong tatlong mga sequers na itinuturing na coinciding, na ay, sila ay nakatakda gamit ang isang katulad na equation.

Sa pamamagitan ng kahulugan, maaari itong makita na ang direktang at ang sunud-sunod sa kasong ito ay nag-tutugma.

Ang sequential ay maaaring crush ang graph ng tinukoy na function plural. Kung mayroong isang equation ng form y \u003d 0 para sa yunit, pagkatapos ay ang bilang ng mga puntos ng intersection na may sinusoid ay walang katapusan.

Kahulugan 5.

Tangent sa graphics function f (x) sa point x 0; f (x 0) ay tinatawag na tuwid, dumadaan sa isang tinukoy na punto x 0; F (x 0), na may pagkakaroon ng isang segment na may isang pluralidad ng x, malapit sa x 0.

Halimbawa 1.

Isaalang-alang nang detalyado sa ibaba ang halimbawa sa itaas. Pagkatapos ay makikita na ang tuwid na linya, na ibinigay ng function na Y \u003d X + 1, ay itinuturing na padaplis sa y \u003d 2 x sa punto na may mga coordinate (1; 2). Para sa kalinawan, kinakailangan upang isaalang-alang ang mga graph na may tinatayang (1; 2) mga halaga. Ang function na Y \u003d 2 x ay minarkahan ng itim, ang asul na linya ay isang padaplis, ang pulang punto ay ang intersection point.

Malinaw, y \u003d 2 x merges na may isang tuwid na linya y \u003d x + 1.

Upang matukoy ang tangential isa ay dapat isaalang-alang ang pag-uugali ng padaplis A B na may isang walang katapusang approximation ng punto sa point A. Para sa kalinawan, binibigyan namin ang pagguhit.

Ang secant at B, na itinalaga sa tulong ng isang asul na linya, ay may posibilidad na ang posisyon ng padaplis mismo, at ang anggulo ng pagkahilig ay magsisikap na magsikap para sa anggulo ng ikiling ng tangent α x.

Kahulugan 6.

Tangential sa mga graphics ng function y \u003d f (x) sa punto A ay itinuturing na limitasyon posisyon ng sequential at sa kapag sa isang malambot sa isang, iyon ay, b → a.

Namin ngayon ang pagsasaalang-alang ng geometriko kahulugan ng derivative function sa punto.

Binuksan namin ang pagsasaalang-alang ng sequential ab para sa function f (x), kung saan a at b sa coordinates x 0, f (x 0) at x 0 + δ x, f (x 0 + δ x), at δ x Tinutukoy namin bilang isang argument increment. Ngayon ang function ay kukuha ng form δ y \u003d δ f (x) \u003d f (x 0 + δ x) - f (δ x). Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang halimbawa ng pagguhit.

Isaalang-alang ang natanggap kanan tatsulok At sa C. Ginagamit namin ang kahulugan ng padaplis upang malutas, iyon ay, nakuha namin ang ratio δ y δ x \u003d t g α. Mula sa pagpapasiya ng padaplis, ito ay sumusunod na lim δ x → 0 δ y δ x \u003d t g α x. Ayon sa panuntunan ng derivative sa punto, mayroon kaming na ang derivative f (x) sa punto x 0 ay tinatawag na limitasyon ng relasyon ng function sa pagdagdag ng argumento, kung saan δ x → 0, pagkatapos ay tumutukoy bilang f (x 0) \u003d lim δ x → 0 δ y δ x.

Sinusunod nito na f "(x 0) \u003d lim δ x → 0 δ y δ x \u003d t g α x \u003d k x, kung saan ang k x ay tinutukoy bilang isang angular koepisyent ng tangential.

Iyon ay, nakuha namin na f '(x) ay maaaring umiiral sa point x 0 at bilang padaplis sa tinukoy na graphics ng function sa touch point ng x 0, f 0 (x 0), kung saan ang halaga ng angular koepisyent ng Ang padaplis sa punto ay nagmula sa punto x 0. Pagkatapos ay makuha namin ang k x \u003d f "(x 0).

Ang geometriko na kahulugan ng pinagmulang pag-andar sa punto ay ang konsepto ng pagkakaroon ng padaplis sa iskedyul ay ibinigay sa parehong punto.

Upang i-record ang equation ng anumang direktang sa eroplano, dapat kang magkaroon ng isang angular koepisyent na may isang punto kung saan ito pumasa. Ang pagtatalaga nito ay tinanggap bilang x 0 kapag tumatawid.

Ang equation padaplis sa graph ng function y \u003d f (x) sa point x 0, f 0 (x 0) ay tumatagal ng form y \u003d f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0).

Ito ay nasa isip na ang huling halaga ng derivative F "(x 0) ay maaaring matukoy ang posisyon ng padaplis, iyon ay, patayo, sa ilalim ng kondisyon lim x → x 0 + 0 f" (x) \u003d ∞ at lim x → x 0 - 0 f "(x) \u003d ∞ o ang kawalan sa lahat, ibinigay Lim X → x 0 + 0 F" (x) ≠ Lim x → x 0 - 0 f "(x).

Ang lokasyon ng tangent ay depende sa halaga ng kanyang angular koepisyent kx \u003d F "(x 0). Kapag parallelizing sa axis, makuha namin na kk \u003d 0, na may parallelism sa O - kx \u003d ∞, at ang uri ng equation ng tangent x \u003d x 0 ay nagdaragdag kx\u003e 0, bumababa sa kx< 0 .

Halimbawa 2.

Upang itala ang equation padaplis sa graph ng function na Y \u003d E x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 sa punto na may mga coordinate (1; 3) sa kahulugan ng isang anggulo ng pagkahilig.

Desisyon

Sa kondisyon, mayroon kaming ang function ay tinutukoy para sa lahat ng wastong mga numero. Nakukuha namin na ang punto na may mga coordinate na tinukoy ng kondisyon (1; 3) ay isang touch point, pagkatapos x 0 \u003d - 1, f (x 0) \u003d - 3.

Kinakailangan upang mahanap ang derivative sa punto na may halaga - 1. Nakukuha namin iyon

y "\u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" \u003d \u003d ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" \u003d ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) \u003d y" (- 1) \u003d E - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 \u003d 3 3

Ang halaga f '(x) sa touch point ay isang angular koepisyent ng padaplis, na katumbas ng tilt padaplis.

Pagkatapos k x \u003d t g α x \u003d y "(x 0) \u003d 3 3

Ito ay sumusunod na α x \u003d a r c t g 3 3 \u003d π 6

Sagot:ang equation ng tangent acquires ang view.

y \u003d f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng halimbawa sa graphic illustration.

Ang itim na kulay ay ginagamit para sa graph ng source function, asul na kulay - Imahe ng padaplis, pulang tuldok - touch point. Ang pagguhit, na matatagpuan sa kanan, ay nagpapakita sa isang pinalaki na form.

Halimbawa 3.

Alamin ang pagkakaroon ng isang padaplis sa iskedyul ng isang naibigay na function.
y \u003d 3 · x - 1 5 + 1 sa punto na may mga coordinate (1; 1). Gawin ang equation at tukuyin ang anggulo ng pagkahilig.

Desisyon

Sa kondisyon, mayroon kami na ang lugar ng kahulugan ng isang ibinigay na function ay itinuturing na ang hanay ng lahat ng wastong mga numero.

Tulungan natin ang paghahanap ng isang hinalaw

y "\u003d 3 · x - 1 5 + 1" \u003d 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 \u003d 3 5 · 1 (x - 1) 4 5

Kung x 0 \u003d 1, pagkatapos f '(x) ay hindi tinukoy, ngunit ang mga limitasyon ay naitala bilang lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 \u003d 3 5 · 1 + 0 \u003d + ∞ at lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 · 1 (- 0) 4 \u003d 3 5 · 1 + 0 \u003d + ∞, na nangangahulugan ng pagkakaroon ng vertical padaplis sa punto (1; 1).

Sagot: Ang equation ay kukuha ng form X \u003d 1, kung saan ang anggulo ng pagkahilig ay katumbas ng π 2.

Para sa kalinawan, ilarawan ang graphically.

Halimbawa 4.

Hanapin ang punto ng iskedyul ng function y \u003d 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kung saan

1. Ang tangency ay hindi umiiral;
2. Ang tangency ay matatagpuan sa parallel tungkol sa x;
3. Tanner parallel direct y \u003d 8 5 x + 4.

Desisyon

Kinakailangang bigyang-pansin ang kahulugan ng lugar. Sa kondisyon, mayroon kaming ang function ay tinutukoy sa hanay ng lahat ng wastong mga numero. Ipakita ang module at lutasin ang sistema na may mga puwang X ∈ - ∞; 2 at [- 2; + ∞). Nakukuha namin iyon

y \u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Kinakailangang direktang tanggalin ang pag-andar. Mayroon kaming

y "\u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", X ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) ⇔ y" \u003d - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Kapag x \u003d - 2, pagkatapos ay ang derivative ay hindi umiiral, dahil ang isang panig na mga limitasyon ay hindi katumbas sa puntong ito:

lim x → - 2 - 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 \u003d - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 \u003d - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 \u003d 3

Kalkulahin ang halaga ng function sa point x \u003d - 2, kung saan nakuha namin iyon

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, iyon ay, tangent sa point (- 2 ; - 2) ay hindi umiiral.
2. Tanner parallel tungkol sa X, kapag ang isang angular koepisyent ay zero. Pagkatapos kx \u003d tg α x \u003d f "(x 0). Ibig sabihin, ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng naturang x, kapag ang derivative ng function ay lumiliko ito sa zero. Iyon ay, ang mga halaga f ' (x) at magiging isang touch point kung saan ang padaplis ay parallel sa x.

Kapag x ∈ - ∞; - 2, pagkatapos - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0, at sa X ∈ (- 2; + ∞) Nakukuha namin ang 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0 d \u003d 12 2 - 4 · 35 \u003d 144 - 140 \u003d 4 x 1 \u003d - 12 + 4 2 \u003d - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 \u003d - 12 - 4 2 \u003d - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0 d \u003d 4 2 - 4 · 3 \u003d 4 x 3 \u003d 4 - 4 2 \u003d 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 \u003d 4 + 4 2 \u003d 3 ∈ - 2; + ∞.

Kalkulahin ang kaukulang mga halaga ng pag-andar

y 1 \u003d Y - 5 \u003d 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 \u003d 8 5 Y 2 \u003d Y (- 7) \u003d 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 \u003d 4 3 y 3 \u003d y (1) \u003d 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 \u003d 8 5 y 4 \u003d Y (3) \u003d 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 \u003d 4 3

Kaya - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 ay itinuturing na nais na mga punto ng function graphics.

Isaalang-alang graphic na imahe mga solusyon.

Black Line - Function graph, Red Dots - Touch Points.

1. Kapag ang mga tuwid na linya ay parallel, pagkatapos ay ang angular coefficients ay pantay. Pagkatapos ay kinakailangan upang maghanap ng mga punto ng graph ng function, kung saan ang coefficient ng sulok ay katumbas ng halaga ng 8 5. Upang gawin ito, ito ay kinakailangan upang malutas ang equation ng form y "(x) \u003d 8 5. Pagkatapos, kung x ∈ - ∞; - 2, nakuha namin iyon - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 8 5, at kung x ∈ (- 2; + ∞), pagkatapos ay 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5.

Ang unang equation ay walang mga ugat, dahil ang discriminant ay mas mababa sa zero. Isinulat namin kung ano

1 5 x 2 + 12 x + 35 \u003d 8 5 x 2 + 12 x + 43 \u003d 0 d \u003d 12 2 - 4 · 43 \u003d - 28< 0

Ang isa pang equation ay may dalawang wastong ugat, pagkatapos

1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5 x 2 - 4 x - 5 \u003d 0 d \u003d 4 2 - 4 · (- 5) \u003d 36 x 1 \u003d 4 - 36 2 \u003d - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 \u003d 4 + 36 2 \u003d 5 ∈ - 2; + ∞.

Hayaan nating buksan ang paghahanap ng mga halaga ng pag-andar. Nakukuha namin iyon

y 1 \u003d y (- 1) \u003d 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 \u003d 4 15 y 2 \u003d y (5) \u003d 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 \u003d 8 3

Mga puntos na may mga halaga - 1; 4 15, 5; 8 3 ay mga punto kung saan ang tangent parallel tuwid y \u003d 8 5 x + 4.

Sagot:itim na linya - graph ng function, pulang linya - graph y \u003d 8 5 x + 4, asul na linya - tangents sa mga puntos - 1; 4 15, 5; 8 3.

Ang pagkakaroon ng isang walang katapusang bilang ng mga tangents para sa tinukoy na mga function ay posible.

Halimbawa 5.

Sumulat ng mga equation ng lahat ng magagamit na tangential function y \u003d 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, na kung saan ay patayo sa tuwid na linya y \u003d - 2 x + 1 2.

Desisyon

Upang ipunin ang equation ng padaplis, kinakailangan upang mahanap ang koepisyent at coordinates ng punto ng touch, batay sa kondisyon ng perpendicularity ng direktang. Ang kahulugan tunog tulad nito: ang produkto ng angular coefficients na patayo sa direktang, katumbas ng 1, iyon ay, nakasulat bilang k x · k ⊥ \u003d - 1. Mula sa kondisyon, mayroon kaming ang angular koepisyent ay patayo sa linya at katumbas ng K ⊥ \u003d - 2, pagkatapos k x \u003d - 1 k ⊥ \u003d - 1 - 2 \u003d 1 2.

Ngayon kailangan mong mahanap ang mga coordinate ng punto ng touch. Kinakailangan upang mahanap ang x, pagkatapos nito ang halaga nito ay para sa isang naibigay na function. Tandaan na mula sa geometriko na kahulugan ng derivative sa punto
x 0 makuha namin na k x \u003d y "(x 0). Mula sa pagkakapantay-pantay, makikita namin ang mga halaga ng x para sa mga touch point.

Nakukuha namin iyon

y "(x 0) \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" \u003d 3 · - Sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 "\u003d \u003d - 3 · Sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 \u003d - 9 2 · Sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 · Sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ Sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d - 1 9.

Ang trigonometriko equation na ito ay gagamitin upang kalkulahin ang dami ng mga touch point.

3 2 x 0 - π 4 \u003d a r c sin - 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 \u003d π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 \u003d - a r c sin 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 \u003d π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 \u003d 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk o x 0 \u003d 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk, k ∈ z

Z - maraming integer.

Natagpuan ang x points ng touch. Ngayon kailangan mong pumunta sa paghahanap para sa mga halaga mula sa:

y 0 \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 · 1 - Sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 o Y 0 \u003d 3 · - 1 - Sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 o Y 0 \u003d 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 \u003d 4 5 - 1 3 o Y 0 \u003d - 4 5 + 1 3

Mula dito makuha namin na 2 3 π 4 - A R C Sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + A R c Sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 ay mga touch point.

Sagot: Ang mga kinakailangang equation ay itatala bilang.

y \u003d 1 2 x - 2 3 π 4 - Arc Sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y \u003d 1 2 x - 2 3 5 π 4 + Arc Sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , K ∈ Z.

Para sa isang visual na imahe, isinasaalang-alang namin ang function at padaplis sa direktang coordinate.

Ang pagguhit ay nagpapakita na ang lokasyon ng function ay napupunta sa agwat [- 10; 10], kung saan ang itim na strap ay isang function graph, asul na linya - tangents, na matatagpuan patayo sa isang ibinigay na direktang form y \u003d 2 x + 1 2. Ang mga pulang tuldok ay mga touch point.

Ang mga canonical equation ng curves 2 order ay hindi malabo na mga tampok. Ang mga equation ng tangents para sa kanila ay pinagsama-sama ng mga kilalang scheme.

Padapuan ng bilog

Upang tukuyin ang bilog na may sentro sa punto x c e n t e r; Y c e n t e r at r radius ay ginagamit ng formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 \u003d r 2.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring maitala bilang isang kumbinasyon ng dalawang function:

y \u003d r 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y \u003d - r 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Ang unang function ay matatagpuan sa itaas, at ang pangalawang ibaba, tulad ng ipinapakita sa figure.

Upang ipunin ang equation ng bilog sa point x 0; Y 0, na matatagpuan sa itaas o mas mababang kalahati ng bilog, dapat itong matagpuan equation ng isang graph ng function ng form Y \u003d R 2 - X - X Center 2 + Ycenter o Y \u003d - R 2 - X - XCenter 2 + YCenter sa tinukoy na punto.

Kapag sa mga punto x c e n t e r; y c e n t e r + r at x c e n t e r; y c e n t e r - r tangents ay maaaring itakda sa pamamagitan ng mga equation y \u003d y c e n t e r + r at y \u003d y c e n t e r - r, at sa mga puntos x c e n t e r + r; y c e n t e r and
X c e n t e r - r; Y c e n t e r ay magkakaiba tungkol sa y, pagkatapos ay makuha namin ang equation ng form x \u003d x c e n t e r + r at x \u003d x c e n t e r - r.

Tangent to Ellipse.

Kapag ang ellipse ay may sentro sa punto x c e n t e r; Y c e n t e r with semi-axles a and b, pagkatapos ay maaari itong itakda gamit ang x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1.

Ellipse at Circle ay maaaring itakda sa pamamagitan ng pagsasama ng dalawang function, lalo: upper at lower half-elix. Pagkatapos ay makuha namin iyon

y \u003d b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y \u003d - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r r) 2 + y c e n t e r r

Kung ang mga tangents ay matatagpuan sa vertices ng tambilugan, pagkatapos ay magkapareho sa X o O. Sa ibaba para sa kalinawan, isaalang-alang ang pagguhit.

Halimbawa 6.

Isulat ang equation padaplis sa ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 sa mga punto na may mga halaga ng x katumbas ng x \u003d 2.

Desisyon

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga touch point na tumutugma sa halaga x \u003d 2. Gumawa kami ng pagpapalit sa umiiral na equation ng ellipse at makuha iyon

x - 3 2 4 x \u003d 2 + y - 5 2 25 \u003d 1 1 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 ⇒ y - 5 2 \u003d 3 4 · 25 ⇒ y \u003d ± 5 3 2 + 5

Pagkatapos ay 2; 5 3 2 + 5 at 2; - 5 3 2 + 5 ay mga touchpoint na nabibilang sa itaas at mas mababang semi-ellipse.

Ipaalam sa amin upang mahanap at malutas ang ellipse equation tungkol sa Y. Nakukuha namin iyon

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 y - 5 2 25 \u003d 1 - x - 3 2 4 (Y - 5) 2 \u003d 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 \u003d ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y \u003d 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Ito ay malinaw na ang itaas na half-Elix ay nakatakda gamit ang function ng form y \u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2, at mas mababa y \u003d 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Mag-apply ng isang karaniwang algorithm upang gumuhit ng equation padaplis sa mga graphics ng function sa punto. Isinulat namin na ang equation ay para sa unang padapuan sa Point 2; 5 3 2 + 5 ay makikita

y "\u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2" \u003d 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d - 5 2 · x - 3 4 - ( x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Makuha namin na ang equation ng ikalawang padaplis na may halaga sa punto
2; - 5 3 2 + 5 tumatagal

y "\u003d 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" \u003d - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d - 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graphically tangents ay tinutukoy bilang:

Tangent sa hyperbole.

Kapag ang hyperbole ay may sentro sa punto x c e n t e r; y c e n t e r at ang vertex x c e n t e r + α; y c e n t e r at x c e n t e r - α; y c e n t e r, may isang setting ng hindi pagkakapantay-pantay x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1, kung may mga vertex x c e n t e r; y c e n t e r + b at x c e n t e r; Y c e n t e r - b, pagkatapos ay itakda ang paggamit ng isang hindi pagkakapantay-pantay na x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d - 1.

Ang hyperbole ay maaaring kinakatawan bilang dalawang pinagsamang mga function ng form.

y \u003d ba · (x - xCenter) 2 - isang 2 + ycentery \u003d - Ba · (x - xCenter) 2 - isang 2 + ycenter o y \u003d ba · (x-xCenter) 2 + isang 2 + ycentery \u003d - BA ( X - xCenter) 2 + a 2 + ycenter

Sa unang kaso, mayroon kaming mga tangents na parallel sa Y, at sa ikalawang parallel sa x.

Sinusunod nito na upang mahanap ang equation ng padaplis ng hyperbola, ito ay kinakailangan upang malaman kung aling function ay kabilang sa touch point. Upang matukoy ito, kinakailangan upang makagawa ng pagpapalit sa equation at suriin ang mga ito para sa pagkakakilanlan.

Halimbawa 7.

Gumawa ng isang equation padaplis sa hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 sa punto 7; - 3 3 - 3.

Desisyon

Ito ay kinakailangan upang ibahin ang anyo ng pag-record ng solusyon upang makahanap ng hyperboles gamit ang 2 function. Nakukuha namin iyon

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 ⇒ y + 3 2 9 \u003d x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 \u003d 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 \u003d 3 2 · x - 3 2 - 4 at l at y + 3 \u003d - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y \u003d 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y \u003d - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3.

Kinakailangang kilalanin kung anong pag-andar ang tinukoy na punto na may mga coordinate 7; - 3 3 - 3.

Malinaw, upang subukan ang unang function, ito ay kinakailangan Y (7) \u003d 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, pagkatapos ang punto ay hindi nabibilang sa graph , dahil ang pagkakapantay-pantay ay hindi ginaganap.

Para sa ikalawang pag-andar, mayroon kaming y (7) \u003d - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, nangangahulugan ito na ang punto ay kabilang sa tinukoy na graph. Mula dito dapat kang makahanap ng isang angular koepisyent.

Nakukuha namin iyon

y "\u003d - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3" \u003d - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) \u003d - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 \u003d 7 \u003d - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 \u003d - 3

Sagot: Ang equation ng tangent ay maaaring kinakatawan bilang.

y \u003d - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 \u003d - 3 · x + 4 3 - 3

Malinaw na itinatanghal tulad nito:

Padapuan sa parabole.

Upang gumawa ng isang equation padaplis sa parabole y \u003d palakol 2 + bx + c sa point x 0, y (x 0), ito ay kinakailangan upang gumamit ng isang karaniwang algorithm, pagkatapos ay ang equation ay kukuha ng form y \u003d y "(x 0) · X - x 0 + y (x 0). Ang nasabing padaplis sa itaas na parallel sa x.

Dapat mong tukuyin ang parabola x \u003d a y 2 + b y + c bilang isang kumbinasyon ng dalawang function. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang malutas ang equation kamag-anak sa y. Nakukuha namin iyon

x \u003d ay 2 + sa pamamagitan ng + c ⇔ ay 2 + sa pamamagitan ng + c - x \u003d 0 d \u003d b 2 - 4 a (c - x) y \u003d - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay \u003d - B - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Graphically ipinapakita tulad ng:

Upang linawin ang mga accessory ng point x 0, y (x 0) function, malumanay kumilos ayon sa karaniwang algorithm. Ang ganitong tangen ay magkapareho sa relatibong parabola.

Halimbawa 8.

Sumulat ng isang equation padaplis sa graph x - 2 y 2 - 5 y + 3, kapag mayroon kaming isang anggulo ng pagkahilig ng 150 °.

Desisyon

Nagsisimula kami ng isang solusyon mula sa view ng parabola bilang dalawang function. Nakukuha namin iyon

2 y 2 - 5 y + 3 - x \u003d 0 d \u003d (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) \u003d 49 - 8 xy \u003d 5 + 49 - 8 x - 4 y \u003d 5 - 49 - 8 x - 4.

Ang halaga ng angular koepisyent ay katumbas ng halaga ng derivative sa punto x 0 ng function na ito at katumbas ng padaplis ng anggulo ng pagkahilig.

Nakukuha namin:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Mula dito tinutukoy namin ang halaga ng X para sa punto ng pagpindot.

Ang unang pag-andar ay itatala bilang.

y "\u003d 5 + 49 - 8 x - 4" \u003d 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3

Malinaw, walang wastong mga ugat, dahil nakakuha sila ng negatibong halaga. Napagpasyahan namin na walang tangent sa isang anggulo ng 150 ° para sa naturang function.

Ang ikalawang pag-andar ay itatala bilang.

y "\u003d 5 - 49 - 8 x - 4" \u003d - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d - 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3 x 0 \u003d 23 4 ⇒ y (x 0) \u003d 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 \u003d - 5 + 3 4

Mayroon kaming mga touchpoint na 23 4; - 5 + 3 4.

Sagot: Ang tangent equation ay tumatagal ng form.

y \u003d - 1 3 · x - 23 4 + - 5 + 3 4

Graphically ay ipapakita ito sa ganitong paraan:

Kung napansin mo ang isang pagkakamali sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter