Ang potensyal para sa pagkamalikhain ay kadalasang iniuugnay sa mga humanidad, na iniiwan ang mga natural na agham na may pagsusuri, isang praktikal na diskarte at isang tuyong wika ng mga formula at numero. Ang matematika ay hindi maaaring maiugnay sa mga asignaturang humanitarian. Ngunit kung walang pagkamalikhain sa "reyna ng lahat ng agham" hindi ka makakarating sa malayo - alam ng mga tao ang tungkol dito sa mahabang panahon. Mula noong panahon ni Pythagoras, halimbawa.

Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay karaniwang hindi nagpapaliwanag na sa matematika ay mahalaga hindi lamang sa pag-cram ng mga theorems, axioms at formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras subukang palayain ang iyong isip mula sa mga cliches at elementarya na mga katotohanan - tanging sa gayong mga kondisyon ang lahat ng mahusay na pagtuklas ay ipinanganak.

Kasama sa mga pagtuklas na ito ang alam natin ngayon bilang Pythagorean theorem. Sa tulong nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang magagawa, ngunit dapat maging kapana-panabik. At na ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang para sa mga nerd na may makapal na salamin, ngunit para sa lahat na malakas ang isip at malakas ang espiritu.

Mula sa kasaysayan ng isyu

Sa mahigpit na pagsasalita, kahit na ang teorama ay tinatawag na "Pythagorean theorem", si Pythagoras mismo ay hindi nakatuklas nito. Ang right-angled triangle at ang mga espesyal na katangian nito ay pinag-aralan nang matagal bago ito. Mayroong dalawang magkasalungat na pananaw sa isyung ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakahanap ng kumpletong patunay ng theorem. Ayon sa isa pa, ang patunay ay hindi kabilang sa may-akda ni Pythagoras.

Ngayon hindi mo masusuri kung sino ang tama at kung sino ang mali. Nalaman lamang na ang patunay ng Pythagoras, kung mayroon man, ay hindi nakaligtas. Gayunpaman, may mga mungkahi na ang sikat na patunay mula sa "Mga Elemento" ni Euclid ay maaaring pag-aari ni Pythagoras, at naitala lamang ito ni Euclid.

Alam din ngayon na ang mga problema tungkol sa isang right-angled triangle ay matatagpuan sa Egyptian sources ng panahon ni Pharaoh Amenemkhet I, sa Babylonian clay tablets noong panahon ng paghahari ni Haring Hammurabi, sa sinaunang Indian treatise na "Sulva sutra" at ang sinaunang Chinese. komposisyon "Zhou-bi suan jin".

Tulad ng makikita mo, ang Pythagorean theorem ay sumasakop sa isip ng mga mathematician mula noong sinaunang panahon. Mayroong humigit-kumulang 367 iba't ibang piraso ng ebidensya na umiiral din ngayon. Dito, walang ibang theorem ang makakalaban dito. Kabilang sa mga kilalang manunulat na patunay ang Leonardo da Vinci at ang ikadalawampung Pangulo ng Estados Unidos, si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagsasalita ng matinding kahalagahan ng theorem na ito para sa matematika: karamihan sa mga theorems ng geometry ay nagmula dito o sa isang paraan o iba pang konektado dito.

Patunay ng Pythagorean theorem

Sa mga aklat-aralin sa paaralan, karamihan sa mga algebraic na patunay ay ibinibigay. Ngunit ang kakanyahan ng teorama ay nasa geometry, kaya isaalang-alang muna natin ang lahat ng mga patunay ng sikat na teorama, na batay sa agham na ito.

Patunay 1

Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagorean theorem para sa isang right-angled triangle, kailangan mong magtakda ng mga ideal na kondisyon: hayaan ang triangle ay hindi lamang right-angled, kundi pati na rin ang isosceles. May dahilan upang maniwala na ang tatsulok na ito ay orihinal na isinasaalang-alang ng mga mathematician noong unang panahon.

Pahayag "Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ng isang right-angled triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga binti nito" maaaring ilarawan ng sumusunod na pagguhit:

Tumingin sa isang isosceles right-angled triangle ABC: Sa hypotenuse AC, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa mga binti AB at BC ito ay itinayo sa isang parisukat, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang magkatulad na tatsulok.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay nabuo ang batayan ng maraming mga anekdota at mga cartoon na nakatuon sa Pythagorean theorem. Marahil ang pinakasikat ay "Ang Pythagorean na pantalon ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon":

Patunay 2

Pinagsasama ng pamamaraang ito ang algebra at geometry at makikita bilang isang variant ng sinaunang Indian na patunay ng mathematician na si Bhaskari.

Bumuo ng isang right-angled na tatsulok na may mga gilid a, b at c(fig. 1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang parisukat na may mga gilid na katumbas ng kabuuan ng mga haba ng dalawang binti, - (a + b)... Sa bawat isa sa mga parisukat, bumuo tulad ng sa Figures 2 at 3.

Sa unang parisukat, bumuo ng apat na parehong tatsulok tulad ng sa Figure 1. Bilang resulta, makakakuha ka ng dalawang parisukat: ang isa ay may gilid a, ang isa ay may gilid b.

Sa pangalawang parisukat, apat na magkakatulad na itinayo na tatsulok ang bumubuo ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse c.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga itinayong parisukat sa Fig. 2 ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo namin sa gilid c sa Fig. 3. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat sa Fig. 2 sa pamamagitan ng formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng apat na pantay na nakasulat sa isang square right triangles mula sa lugar ng isang malaking square na may gilid (a + b).

Sinusulat ang lahat ng ito, mayroon kaming: a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab... Palawakin ang mga bracket, isagawa ang lahat ng kinakailangang algebraic na kalkulasyon at kunin iyon a 2 + b 2 = a 2 + b 2... Sa kasong ito, ang lugar na nakasulat sa Fig. 3. parisukat ay maaaring kalkulahin gamit ang tradisyonal na formula S = c 2... Yung. a 2 + b 2 = c 2- napatunayan mo ang Pythagorean theorem.

Patunay 3

Ang parehong sinaunang patunay ng India ay inilarawan noong ika-12 na siglo sa treatise na "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani") at bilang pangunahing argumento ay ginagamit ng may-akda ang apela na tinutugunan sa mga talento sa matematika at pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: " Tingnan mo!"

Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:

Sa loob ng parisukat, gumuhit ng apat na right-angled na tatsulok gaya ng ipinahiwatig sa pagguhit. Ang gilid ng malaking parisukat, ito rin ang hypotenuse, tinutukoy namin kasama... Ang mga binti ng tatsulok ay tinatawag a at b... Ayon sa pagguhit, ang gilid ng panloob na parisukat ay (a-b).

Gamitin ang lugar ng isang parisukat na formula S = c 2 upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras, kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lugar ng panloob na parisukat at ang mga lugar ng lahat ng apat na right-angled triangles: (a-b) 2 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b.

Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian para sa pagkalkula ng lugar ng isang parisukat upang matiyak na nagbibigay sila ng parehong resulta. At binibigyan ka niyan ng karapatang isulat iyon c 2 = (a-b) 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b... Bilang resulta ng solusyon, matatanggap mo ang formula ng Pythagorean theorem c 2 = a 2 + b 2... Ang teorama ay napatunayan.

Patunay 4

Ang kakaibang sinaunang Chinese na patunay na ito ay tinatawag na "Bride's Chair" - dahil sa hugis ng upuan na nakuha bilang resulta ng lahat ng mga constructions:

Ginagamit nito ang drawing na nakita na natin sa Figure 3 sa pangalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may gilid c ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian na patunay na ibinigay sa itaas.

Kung sa pag-iisip ay pinutol ang dalawang berdeng right-angled triangles mula sa pagguhit sa Fig. 1, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid c at hypotenuses, ilakip sa hypotenuses ng lilac triangles, makakakuha ka ng figure na tinatawag na "bride's chair" (Larawan 2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat na papel at tatsulok. Makikita mo na ang "upuan ng nobya" ay binubuo ng dalawang parisukat: maliit na may gilid b at malaki na may gilid a.

Ang mga konstruksyon na ito ay nagpapahintulot sa mga sinaunang Tsino na mathematician at pagkatapos ng mga ito na magkaroon ng konklusyon na c 2 = a 2 + b 2.

Patunay 5

Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon sa Pythagorean theorem, na umaasa sa geometry. Ito ay tinatawag na The Garfield Method.

Bumuo ng tamang tatsulok ABC... Kailangan nating patunayan iyon BC 2 = AC 2 + AB 2.

Upang gawin ito, ipagpatuloy ang binti AS at gumuhit ng segment ng linya CD na katumbas ng binti AB... Ibaba ang patayo AD seksyon ED... Mga segment ED at AS ay pantay-pantay. Ikonekta ang mga tuldok E at V, at E at SA at kunin ang drawing tulad ng nasa larawan sa ibaba:

Upang patunayan ang tore, muli naming ginagamit ang pamamaraan na sinubukan na namin: hanapin ang lugar ng nagresultang figure sa dalawang paraan at ipantay ang mga expression sa bawat isa.

Hanapin ang lugar ng isang polygon ISANG KAMA ito ay posible sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng tatlong tatsulok na bumubuo nito. At isa sa kanila, Mga ERU, ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. Hindi rin namin nakakalimutan iyon AB = CD, AC = ED at BC = CE- ito ay magbibigay-daan sa amin upang pasimplehin ang pag-record at hindi mag-overload ito. Kaya, S ABED = 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Bukod dito, ito ay malinaw na ISANG KAMA Ay isang trapezoid. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito sa pamamagitan ng formula: S ABED = (DE + AB) * 1 / 2AD... Para sa aming mga kalkulasyon, mas maginhawa at malinaw na kumatawan sa segment AD bilang kabuuan ng mga segment AS at CD.

Isulat natin ang parehong mga paraan upang makalkula ang lugar ng isang figure, paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan nila: AB * AC + 1 / 2BC 2 = (DE + AB) * 1/2 (AC + CD)... Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na alam na namin at inilarawan sa itaas upang pasimplehin kanang bahagi mga tala: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1/2 (AB + AC) 2... Ngayon palawakin natin ang mga bracket at baguhin ang pagkakapantay-pantay: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1 / 2AC 2 + 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2AB 2... Matapos makumpleto ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang eksaktong kailangan namin: BC 2 = AC 2 + AB 2... Napatunayan namin ang teorama.

Siyempre, malayong kumpleto ang listahan ng ebidensyang ito. Ang Pythagorean theorem ay maaari ding patunayan gamit ang mga vectors, complex number, differential equation, stereometry, atbp. At kahit na pisika: kung, halimbawa, ang likido ay ibinuhos sa parisukat at tatsulok na mga volume na katulad ng ipinapakita sa mga guhit. Sa pamamagitan ng pagbuhos ng likido, mapapatunayan ng isa ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar at ang teorama mismo bilang isang resulta.

Ilang salita tungkol sa Pythagorean triplets

Ang isyung ito ay maliit o hindi pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Samantala, siya ay napaka-interesante at mayroon pinakamahalaga sa geometry. Ang Pythagorean triplets ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema sa matematika. Ang ideya ng mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa iyong karagdagang edukasyon.

Kaya ano ang Pythagorean triplets? Ito ang tawag nila mga integer, na nakolekta sa tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa sa mga ito ay katumbas ng pangatlong numerong parisukat.

Ang mga triplet ng Pythagorean ay maaaring:

• primitive (lahat ng tatlong numero ay parehong prime);
• hindi primitive (kung ang bawat numero ng triple ay pinarami ng parehong numero, makakakuha ka ng bagong triplet, na hindi primitive).

Bago pa man ang ating panahon, ang mga sinaunang Egyptian ay nabighani sa kahibangan ng mga bilang ng Pythagorean triplets: sa mga problema ay itinuturing nilang isang right-angled triangle na may mga gilid ng 3,4 at 5 units. Sa pamamagitan ng paraan, ang anumang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagorean triplet ay hugis-parihaba bilang default.

Mga halimbawa ng Pythagorean triplets: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50), atbp.

Praktikal na aplikasyon ng teorama

Ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng aplikasyon hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at konstruksiyon, astronomiya at maging sa panitikan.

Una, tungkol sa pagtatayo: ang Pythagorean theorem ay matatagpuan dito malawak na aplikasyon sa mga gawain ng iba't ibang antas ng kahirapan. Halimbawa, tingnan ang isang Romanesque window:

Tukuyin natin ang lapad ng window bilang b, kung gayon ang radius ng kalahating bilog ay maaaring tukuyin bilang R at ipahayag sa pamamagitan ng b: R = b / 2... Ang radius ng mas maliliit na kalahating bilog ay maaari ding ipahayag sa pamamagitan ng b: r = b / 4... Sa problemang ito, interesado kami sa radius ng panloob na bilog ng window (tawagan natin ito p).

Ang Pythagorean theorem ay madaling gamitin upang makalkula R... Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang right-angled na tatsulok, na ipinahiwatig ng isang tuldok na linya sa figure. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay binubuo ng dalawang radii: b / 4 + p... Ang isang paa ay isang radius b / 4, isa pa b / 2-p... Gamit ang Pythagorean theorem, isinusulat namin: (b / 4 + p) 2 = (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2... Susunod, binuksan namin ang mga bracket at kumuha b 2/16 + bp / 2 + p 2 = b 2/16 + b 2/4-bp + p 2... Binabago namin ang ekspresyong ito sa bp / 2 = b 2/4-bp... At pagkatapos ay hatiin ang lahat ng mga termino sa pamamagitan ng b, nagbibigay kami ng mga katulad na makukuha 3/2 * p = b / 4... At sa huli ay mahahanap natin iyon p = b / 6- na kung ano ang kailangan namin.

Gamit ang theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng rafter para sa bubong ng kabalyete... Tukuyin kung gaano kataas ang tore mga komunikasyon sa mobile ito ay kinakailangan para sa signal upang maabot ang isang tiyak na kasunduan. At kahit na steadily set christmas tree sa plaza ng lungsod. Tulad ng nakikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, ngunit kadalasang kapaki-pakinabang sa totoong buhay.

Tulad ng para sa panitikan, ang Pythagorean theorem ay nagbigay inspirasyon sa mga manunulat mula noong unang panahon at patuloy na ginagawa ito sa ating panahon. Halimbawa, ang ikalabinsiyam na siglong Aleman na manunulat na si Adelbert von Chamisso ay nabigyang inspirasyon na magsulat ng isang soneto:

Ang liwanag ng katotohanan ay hindi maglalaho sa lalong madaling panahon,
Ngunit, nagniningning, halos hindi ito mawawala
At, tulad ng millennia na nakalipas,
Hindi magdudulot ng pagdududa at pagtatalo.

Ang pinakamatalino kapag nakadikit sa mata
Ang liwanag ng katotohanan, salamat sa mga diyos;
At isang daang toro, sinaksak, nagsinungaling -
Isang ganting regalo mula sa masuwerteng Pythagoras.

Mula noon, ang mga toro ay umaatungal nang desperadong:
Magpakailanman na naalarma ng tribo ng toro
Ang kaganapang binanggit dito.

Tila sa kanila: ang oras ay malapit nang dumating
At muli sila ay isasakripisyo
Ilang mahusay na teorama.

(pagsasalin ni Viktor Toporov)

At noong ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet na si Yevgeny Veltistov ay nagtalaga ng isang buong kabanata sa patunay ng Pythagorean theorem sa kanyang aklat na "The Adventures of Electronics". At kalahating kabanata pa sa kuwento ng dalawang-dimensional na mundo, na maaaring umiral kung ang Pythagorean theorem ay naging pangunahing batas at maging relihiyon para sa isang mundo. Mas madaling manirahan dito, ngunit mas nakakabagot din: halimbawa, walang nakakaintindi sa kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol".

At sa aklat na "The Adventures of Electronics" ang may-akda, sa pamamagitan ng bibig ng guro ng matematika na si Taratar, ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ang malikhaing paglipad ng pag-iisip na ito ang nagbubunga ng Pythagorean theorem - hindi para sa wala na mayroon itong napakaraming iba't ibang mga patunay. Nakakatulong ito na lumampas sa mga hangganan ng pamilyar, at tumingin sa mga pamilyar na bagay sa isang bagong paraan.

Konklusyon

Ang artikulong ito ay nilikha upang tumingin ka sa kabila ng kurikulum ng paaralan sa matematika at malaman hindi lamang ang mga patunay ng Pythagorean theorem, na ibinigay sa mga aklat-aralin na "Geometry 7-9" (L. S. Atanasyan, V. N. Rudenko) at "Geometry 7 -11 "(AV Pogorelov), kundi pati na rin ang iba pang mga kakaibang paraan upang patunayan ang sikat na theorem. At tingnan din ang mga halimbawa kung paano mailalapat ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay.

Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo na maging kuwalipikado para sa mas mataas na mga marka sa mga aralin sa matematika - ang impormasyon sa paksa mula sa mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.

Pangalawa, gusto naming tulungan kang madama kung gaano kalaki ang matematika kawili-wiling agham... Tiyaking naka-on tiyak na mga halimbawa na laging may lugar para sa pagkamalikhain dito. Umaasa kami na ang Pythagorean Theorem at ang artikulong ito ay magbibigay inspirasyon sa iyong independiyenteng paggalugad at kapana-panabik na mga pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.

Sabihin sa amin sa mga komento kung nakita mong kawili-wili ang ebidensya sa artikulong ito. Nakatulong ba sa iyo ang impormasyong ito sa iyong pag-aaral? Sumulat sa amin kung ano ang iyong iniisip tungkol sa Pythagorean theorem at ang artikulong ito - ikalulugod naming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.

blog. site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Alam ng bawat mag-aaral na ang parisukat ng hypotenuse ay palaging katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat. Ang pahayag na ito ay tinatawag na Pythagorean theorem. Ito ay isa sa mga pinakatanyag na teorema sa trigonometrya at matematika sa pangkalahatan. Isaalang-alang natin ito nang mas detalyado.

Ang konsepto ng isang tamang tatsulok

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng Pythagorean theorem, kung saan ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti na parisukat, dapat isaalang-alang ang konsepto at mga katangian ng isang right-angled triangle kung saan ang theorem ay wasto.

Triangle - patag na pigura may tatlong sulok at tatlong panig. Ang isang right-angled triangle, gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan nito, ay may isang tamang anggulo, iyon ay, ang anggulong ito ay 90 o.

Mula sa mga pangkalahatang katangian para sa lahat ng mga tatsulok, alam na ang kabuuan ng lahat ng tatlong anggulo ng figure na ito ay 180 o, na nangangahulugang para sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng dalawang anggulo na hindi tuwid ay 180 o - 90 o = 90 o . Ang huling katotohanan ay nangangahulugan na ang anumang anggulo sa isang right-angled na tatsulok na hindi tama ay palaging mas mababa sa 90 o.

Ang panig na namamalagi laban tamang anggulo, kaugalian na tawagan ang hypotenuse. Ang iba pang dalawang panig ay ang mga binti ng tatsulok, maaari silang pantay-pantay sa bawat isa, o maaari silang magkaiba. Ito ay kilala mula sa trigonometrya na ang mas malaki ang anggulo kung saan ang gilid sa tatsulok ay namamalagi, mas malaki ang haba ng panig na ito. Nangangahulugan ito na sa isang right-angled triangle, ang hypotenuse (nakahiga sa tapat ng 90 o angle) ay palaging mas malaki kaysa sa alinman sa mga binti (nakahiga sa tapat ng mga anggulo< 90 o).

Mathematical notation ng Pythagorean theorem

Ang teorem na ito ay nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay dating parisukat. Para mathematically isulat ang formulation na ito, isaalang-alang ang isang right-angled triangle kung saan ang mga side a, b, at c ay dalawang paa at hypotenuse, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang theorem, na binabalangkas bilang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, ay maaaring katawanin ng sumusunod na formula: c 2 = a 2 + b 2. Mula dito, maaaring makuha ang iba pang mahahalagang pormula para sa pagsasanay: a = √ (c 2 - b 2), b = √ (c 2 - a 2) at c = √ (a 2 + b 2).

Tandaan na sa kaso ng isang right-angled equilateral triangle, iyon ay, a = b, ang pagbabalangkas: ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat, ay nakasulat sa matematika tulad ng sumusunod: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, na nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay: c = a√2.

Makasaysayang sanggunian

Ang Pythagorean theorem, na nagsasabing ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat, ay kilala nang matagal bago ang sikat. pilosopong Griyego... Maraming papiro Sinaunang egypt at pinatutunayan ng mga tapyas na luwad ng mga Babilonyo na ginamit ng mga taong ito ang kilalang pag-aari ng mga gilid ng isang tatsulok na pakanan. Halimbawa, ang isa sa mga unang Egyptian pyramids, ang pyramid of Khafre, na ang pagtatayo ay itinayo noong XXVI century BC (2000 taon bago ang buhay ni Pythagoras), ay itinayo batay sa kaalaman ng aspect ratio sa isang right-angled triangle 3x4x5.

Bakit, kung gayon, ang teorama ay ipinangalan na ngayon sa Griyego? Ang sagot ay simple: Si Pythagoras ang unang nagpatunay sa teorama na ito sa matematika. Ang nakaligtas na Babylonian at Egyptian na nakasulat na mga mapagkukunan ay nagsasalita lamang tungkol sa paggamit nito, ngunit walang mathematical proof na ibinigay.

Ito ay pinaniniwalaan na pinatunayan ni Pythagoras ang teorama na isinasaalang-alang sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian ng mga katulad na tatsulok, na nakuha niya sa pamamagitan ng pagguhit ng taas sa isang right-angled na tatsulok mula sa isang anggulo na 90 o hanggang sa hypotenuse.

Isang halimbawa ng paggamit ng Pythagorean theorem

Isaalang-alang ang isang simpleng problema: kinakailangan upang matukoy ang haba ng isang hilig na hagdanan L kung alam na ito ay may taas na H = 3 metro, at ang distansya mula sa dingding kung saan ang hagdanan ay nakasalalay sa paa nito ay P = 2.5 metro.

Sa kasong ito, ang H at P ay mga binti, at ang L ay hypotenuse. Dahil ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, nakukuha natin ang: L 2 = H 2 + P 2, kung saan ang L = √ (H 2 + P 2) = √ (3 2 + 2.5 2) = 3.905 metro o 3 m at 90, 5 cm.

Iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem

mag-aaral ng grade 9 "A"

MOU SOSH №8

Superbisor:

guro sa matematika,

MOU SOSH №8

Art. Novorozhdestvenskaya

Teritoryo ng Krasnodar.

Art. Novorozhdestvenskaya

ANNOTASYON.

Ang Pythagorean theorem ay nararapat na itinuturing na pinakamahalaga sa kurso ng geometry at nararapat na masusing pansin. Ito ang batayan para sa paglutas ng maraming mga problemang geometriko, ang batayan para sa pag-aaral ng teoretikal at praktikal na kurso ng geometry sa hinaharap. Ang teorama ay napapalibutan ng pinakamayamang makasaysayang materyal na may kaugnayan sa hitsura nito at mga pamamaraan ng patunay. Ang pag-aaral sa kasaysayan ng pag-unlad ng geometry ay nagbubunsod ng pagmamahal sa paksa, nagtataguyod ng pag-unlad ng interes sa pag-iisip, pangkalahatang kultura at pagkamalikhain, at nagkakaroon din ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Bilang resulta ng aktibidad sa paghahanap, nakamit ang layunin ng gawain, na lagyang muli at gawing pangkalahatan ang kaalaman sa patunay ng Pythagorean theorem. Nagawa kong hanapin at isaalang-alang iba't ibang paraan patunay at palalimin ang kaalaman sa paksa, lampas sa mga pahina ng isang aklat-aralin sa paaralan.

Ang nakolektang materyal ay higit na nakakumbinsi na ang Pythagorean theorem ay ang dakilang theorem ng geometry, ay may malaking teoretikal at praktikal na kahalagahan.

Panimula. Makasaysayang sanggunian 5 Pangunahing bahagi 8

3. Konklusyon 19

4. Gamit na panitikan 20
1. PANIMULA. HISTORIKAL NA SANGGUNIAN.

Ang kakanyahan ng katotohanan ay para sa atin magpakailanman,

Kapag nakita natin ang liwanag kahit isang beses sa kanyang pananaw,

At ang Pythagorean theorem pagkatapos ng napakaraming taon

Para sa amin, para sa kanya, ito ay hindi mapag-aalinlanganan, walang kamali-mali.

Upang pasayahin ang mga diyos, gumawa si Pythagoras ng isang panata:

Dahil nahawakan ang walang katapusang karunungan,

Pumatay siya ng isang daang toro, salamat sa walang hanggan;

Nag-alay siya ng panalangin at papuri sa biktima pagkatapos niya.

Mula noon, ang mga toro, kapag sila ay naaamoy, nagtutulak,

Na ang landas ay muling umaakay sa mga tao sa bagong katotohanan,

Sila ay umuungal nang galit, kaya't walang ihi na makinig,

Ang gayong Pythagoras ay nagtanim ng takot sa kanila magpakailanman.

Mga toro, walang kapangyarihang labanan ang bagong katotohanan,

Ano ang natitira? - Nakapikit lang, umungol, nanginginig.

Hindi alam kung paano pinatunayan ni Pythagoras ang kanyang teorama. Ano ang tiyak ay natuklasan niya ito sa ilalim ng malakas na impluwensya ng Egyptian science. Isang espesyal na kaso Ang mga teorema ni Pythagoras - ang mga katangian ng isang tatsulok na may panig na 3, 4 at 5 - ay kilala ng mga tagabuo ng mga pyramids bago pa ang kapanganakan ni Pythagoras, ngunit siya mismo ay nag-aral ng higit sa 20 taon kasama ang mga pari ng Egypt. Ang isang alamat ay nakaligtas, na nagsasabing, na napatunayan ang kanyang tanyag na teorama, si Pythagoras ay naghain ng isang toro sa mga diyos, at ayon sa iba pang mga mapagkukunan, kahit na 100 mga toro. Ito, gayunpaman, ay sumasalungat sa impormasyon tungkol sa moral at relihiyosong pananaw ni Pythagoras. Sa mga mapagkukunang pampanitikan, mababasa mo na "ipinagbawal niya kahit na pumatay ng mga hayop, at higit pa sa pagpapakain sa kanila, dahil ang mga hayop ay may kaluluwa, tulad natin." Pukyutan, tinapay, gulay at isda paminsan-minsan ang kinakain ni Pythagoras. Kaugnay ng lahat ng ito, ang sumusunod na entry ay maaaring ituring na mas makatwiran: "... at kahit na natuklasan niya na sa isang right-angled triangle ang hypotenuse ay may korespondensiya sa mga binti, nagsakripisyo siya ng isang toro na gawa sa kuwarta ng trigo."

Ang katanyagan ng Pythagorean theorem ay napakahusay na ang mga patunay nito ay matatagpuan kahit na sa fiction, halimbawa, sa kuwento ng sikat na Ingles na manunulat na si Huxley "Young Archimedes". Ang parehong Patunay, ngunit para sa partikular na kaso ng isang isosceles right-angled triangle, ay ibinigay sa Menon dialogue ni Plato.

Fairy tale "Bahay".

"Malayo, malayo, kung saan kahit na ang mga eroplano ay hindi lumilipad, ay ang bansa ng Geometry. Sa hindi pangkaraniwang bansang ito mayroong isang kamangha-manghang lungsod - ang lungsod ng Theorem. Minsang dumating ako sa lungsod na ito magandang babae pinangalanang Hypotenuse. Sinubukan niyang umupa ng isang silid, ngunit kahit saan siya lumingon, siya ay tinanggihan kahit saan. Sa wakas ay pumunta siya sa rickety house at kumatok. Binuksan siya ng isang lalaki na tinawag ang kanyang sarili na Right Angle, at inanyayahan niya si Hypotenuse na tumira kasama niya. Nanatili ang hypotenuse sa bahay kung saan nakatira si Right Angle at ang kanyang dalawang anak na lalaki na nagngangalang Cathety. Simula noon, ang buhay sa House of Right Angle ay nagbago sa isang bagong paraan. Ang hypotenuse ay nagtanim ng mga bulaklak sa bintana, at mga pulang rosas sa harap na hardin. Ang bahay ay kinuha ang hugis ng isang right-angled triangle. Ang magkabilang binti ay talagang nagustuhan ng Hypotenuse at hiniling sa kanya na manatili nang tuluyan sa kanilang bahay. Narito sa gabi, ang magiliw na pamilyang ito ay nagtitipon sa hapag ng pamilya. Minsan naglalaro ang Right Angle ng taguan kasama ang kanyang mga anak. Kadalasan kailangan niyang tumingin, at ang Hypotenuse ay nagtatago nang napakahusay na maaaring napakahirap na hanapin siya. Minsan sa panahon ng laro, napansin ng Right Angle ang isang kawili-wiling pag-aari: kung mahahanap niya ang mga binti, kung gayon hindi mahirap hanapin ang Hypotenuse. Kaya ginagamit ng Right Angle ang pattern na ito, dapat kong sabihin, napaka-matagumpay. Ang Pythagorean theorem ay nakabatay sa pag-aari nitong right-angled triangle."

(Mula sa aklat ni A. Okunev "Salamat sa aralin, mga bata").

Isang mapaglarong pagbabalangkas ng theorem:

Kung bibigyan tayo ng tatsulok

At, bukod dito, na may tamang anggulo,

Pagkatapos ay ang parisukat ng hypotenuse

Palagi naming madaling mahanap:

Itinayo namin ang mga binti sa isang parisukat,

Nahanap namin ang kabuuan ng mga degree -

At sa simpleng paraan

Darating tayo sa resulta.

Pag-aaral ng algebra at ang simula ng pagsusuri at geometry sa grade 10, naging kumbinsido ako na bilang karagdagan sa paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem na isinasaalang-alang sa grade 8, may iba pang mga paraan ng pagpapatunay. Iniharap ko sila para sa iyong pagsusuri.
2. PANGUNAHING BAHAGI.

Teorama. Sa isang kanang tatsulok, isang parisukat

ang hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

1 PARAAN.

Gamit ang mga katangian ng mga lugar ng polygons, magtatatag kami ng isang kahanga-hangang relasyon sa pagitan ng hypotenuse at mga binti ng isang right-angled triangle.

Patunay.

a, sa at hypotenuse kasama(Larawan 1, a).

Patunayan natin yan c² = a² + b².

Patunay.

Bumuo tayo ng isang tatsulok sa isang parisukat na may gilid a + b tulad ng ipinapakita sa fig. 1, b. Ang lugar S ng parisukat na ito ay katumbas ng (a + b) ². Sa kabilang banda, ang parisukat na ito ay binubuo ng apat na pantay na right-angled na tatsulok, bawat isa ay ½ aw, at isang parisukat na may gilid kasama, samakatuwid si S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

kaya,

(a + b) ² = 2 av + s²,

c² = a² + b².

Ang teorama ay napatunayan.
2 PARAAN.

Matapos pag-aralan ang paksang "Katulad na mga tatsulok" nalaman ko na posibleng ilapat ang pagkakatulad ng mga tatsulok sa patunay ng Pythagorean theorem. Ibig sabihin, ginamit ko ang pahayag na ang binti ng isang right-angled triangle ay ang proporsyonal na average para sa hypotenuse at ang segment ng hypotenuse na nakapaloob sa pagitan ng binti at ang taas na iginuhit mula sa tuktok ng kanang anggulo.

Isaalang-alang ang isang right-angled triangle na may tamang anggulo С, СD– height (Fig. 2). Patunayan natin yan AS² + CB² = AB² .

Patunay.

Batay sa pahayag tungkol sa binti ng isang right-angled triangle:

AC =, SV =.

I-square natin at idagdag ang mga resultang pagkakapantay-pantay:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), kung saan AD + DB = AB, pagkatapos

AC² + SV² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Kumpleto na ang patunay.
3 PARAAN.

Ang kahulugan ng cosine ay maaaring ilapat sa patunay ng Pythagorean theorem matinding anggulo kanang tatsulok. Isaalang-alang ang fig. 3.

Patunay:

Hayaang ang ABC ay isang ibinigay na right-angled triangle na may right angle C. Iguhit ang taas na CD mula sa vertex ng right angle C.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng cosine ng isang anggulo:

cos A = AD / AC = AC / AB. Kaya AB * AD = AC²

Gayundin,

dahil B = BD / BC = BC / AB.

Kaya AB * BD = BC².

Pagdaragdag ng nakuhang equalities term sa pamamagitan ng term at pagpuna na AD + DB = AB, nakukuha natin ang:

AS² + araw² = AB (AD + DB) = AB²

Kumpleto na ang patunay.
4 PARAAN.

Ang pagkakaroon ng pag-aaral sa paksang "Mga ugnayan sa pagitan ng mga gilid at anggulo ng isang right-angled triangle", sa palagay ko ang Pythagorean theorem ay maaaring patunayan sa ibang paraan.

Isaalang-alang ang isang right-angled triangle na may mga binti a, sa at hypotenuse kasama... (fig. 4).

Patunayan natin yan c² = a² + b².

Patunay.

kasalanan B = a / c ; cos B = a/s , pagkatapos, pag-squaring ng mga nakuhang pagkakapantay-pantay, makuha natin ang:

kasalanan² B =в² / с²; cos² V= a² / c².

Pagdaragdag ng mga ito nang sama-sama, nakukuha namin:

kasalanan² V+ cos² B = b² / s² + a² / c², kung saan sin² V+ cos² B = 1,

1 = (b² + a²) / c², samakatuwid

c² = a² + b².

Kumpleto na ang patunay.

5 PARAAN.

Ang patunay na ito ay batay sa pagputol ng mga parisukat na binuo sa mga binti (Larawan 5), at pagsasalansan ng mga resultang bahagi sa parisukat na binuo sa hypotenuse.

6 PARAAN.

Para sa patunay sa binti Araw magtayo BCD ABC(fig. 6). Alam namin na ang mga lugar ng naturang mga figure ay nauugnay bilang mga parisukat ng kanilang mga katulad na linear na sukat:

Ang pagbabawas ng pangalawang pagkakapantay-pantay mula sa una, nakukuha natin

c2 = a2 + b2.

Kumpleto na ang patunay.

7 PARAAN.

Ibinigay(fig. 7):

ABC,= 90 ° , Araw= a, AC =b, AB = c.

Patunayan:c2 = a2 +b2.

Patunay.

Hayaan ang binti b a. Ituloy natin ang segment SV bawat punto V at bumuo ng isang tatsulok BMD upang ang mga puntos M at A humiga sa isang gilid ng isang tuwid na linya CD at bukod sa, BD =b, BDM= 90 °, DM= a, pagkatapos BMD= ABC sa magkabilang gilid at sa sulok sa pagitan nila. Puntos A at M kumonekta sa pamamagitan ng mga segment AM. Meron kami MD CD at AC CD, nangangahulugang tuwid AS parallel sa tuwid na linya MD. kasi MD< АС, tapos diretso CD at AM hindi parallel. Dahil dito, AMDC - hugis-parihaba na trapezoid.

Sa kanang triangles ABC at BMD 1 + 2 = 90 ° at 3 + 4 = 90 °, ngunit dahil = =, pagkatapos ay 3 + 2 = 90 °; pagkatapos AVM= 180 ° - 90 ° = 90 °. Ito ay naka-out na ang trapezoid AMDC ay nahahati sa tatlong hindi magkakapatong na right-angled na tatsulok, pagkatapos ay ayon sa mga axiom ng mga lugar

(a + b) (a + b)

Ang paghahati sa lahat ng mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng, nakukuha namin

ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Kumpleto na ang patunay.

8 PARAAN.

Ang pamamaraang ito ay batay sa hypotenuse at mga binti ng isang right-angled triangle. ABC. Binubuo niya ang kaukulang mga parisukat at pinatutunayan na ang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na itinayo sa mga binti (Larawan 8).

Patunay.

1) DBC= FBA= 90 °;

DBC + ABC= FBA + ABC, ibig sabihin, FBC = DBA.

kaya, FBC=ABD(sa magkabilang gilid at sa sulok sa pagitan nila).

2) , kung saan ang AL DE, dahil ang BD ay karaniwang lupa, DL - pangkalahatang taas.

3) , dahil foundation ang FB, AB- pangkalahatang taas.

4)

5) Katulad nito, mapapatunayan iyon ng isa

6) Pagdaragdag ng termino ayon sa termino, makukuha natin ang:

, BC2 = AB2 + AC2 . Kumpleto na ang patunay.

9 PARAAN.

Patunay.

1) Hayaan ABDE- isang parisukat (Larawan 9), ang gilid nito ay katumbas ng hypotenuse ng isang right-angled triangle ABC (AB= s, BC = a, AC =b).

2) Hayaan DK BC at DK = BC, dahil 1 + 2 = 90 ° (tulad ng mga talamak na sulok ng isang kanang tatsulok), 3 + 2 = 90 ° (tulad ng sulok ng isang parisukat), AB= BD(mga gilid ng parisukat).

Ibig sabihin, ABC= BDK(sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle).

3) Hayaan EL DK, AM EL. Madali mong mapapatunayan na ang ABC = BDK = DEL = EAM (na may mga binti a at b). Pagkatapos KS= CM= ML= LK= a-b.

4) SKB = 4S + SKLMC= 2ab+ (a - b),kasama2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Kumpleto na ang patunay.

10 PARAAN.

Ang patunay ay maaaring iguhit sa isang pigura na pabirong tinatawag na "Pythagorean pants" (Larawan 10). Ang ideya nito ay gawing pantay na tatsulok ang mga parisukat na itinayo sa mga binti na magkakasamang bumubuo sa parisukat ng hypotenuse.

ABC gumagalaw kami, tulad ng ipinapakita ng arrow, at ito ay tumatagal ng posisyon KDN. Ang natitirang figure AKTCB pantay na lugar ng isang parisukat AKDC - ito ay isang paralelogram AKNB.

Ginawa ang paralelogram na modelo AKNB... Inilipat namin ang paralelogram bilang sketch sa nilalaman ng trabaho. Upang ipakita ang pagbabago ng isang paralelogram sa isang equal-area triangle, sa harap ng mga mata ng mga mag-aaral, putulin ang isang tatsulok sa modelo at ilipat ito pababa. Kaya, ang lugar ng parisukat AKDC naging katumbas ng lugar ng parihaba. Katulad nito, i-convert ang lugar ng parisukat sa lugar ng rektanggulo.

Gumawa tayo ng pagbabago para sa isang parisukat na binuo sa isang binti a(Larawan 11, a):

a) ang parisukat ay binago sa isang pantay na lawak na paralelogram (Larawan 11.6):

b) ang paralelogram ay pinaikot ng isang-kapat ng isang pagliko (Larawan 12):

c) ang paralelogram ay binago sa isang pantay na laki ng rektanggulo (Larawan 13): 11 PARAAN.

Patunay:

PCL - tuwid na linya (Larawan 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Tapos na ang patunay .

12 PARAAN.

kanin. 15 ay naglalarawan ng isa pang orihinal na patunay ng Pythagorean theorem.

Dito: tatsulok ABC na may tamang anggulo C; seksyon Bf patayo SV at katumbas nito, ang segment MAGING patayo AB at katumbas nito, ang segment AD patayo AS at kapantay niya; puntos F, C,D nabibilang sa isang tuwid na linya; quadrangles ADFB at ACBE ay pantay-pantay, dahil ABF = ECB; mga tatsulok ADF at ACE pantay na mga lugar; ibawas sa magkaparehong laki ng quadrangles ang karaniwang tatsulok para sa kanila ABC, makuha

, c2 = a2 + b2.

Kumpleto na ang patunay.

13 PARAAN.

Ang lugar ng right-angled triangle na ito, sa isang banda, ay katumbas ng , kasamang iba, ,

3. KONKLUSYON.

Bilang resulta ng aktibidad sa paghahanap, nakamit ang layunin ng gawain, na lagyang muli at gawing pangkalahatan ang kaalaman sa patunay ng Pythagorean theorem. Nagawa kong maghanap at isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang patunayan ito at palalimin ang kaalaman sa paksa, na lampas sa mga pahina ng isang aklat-aralin sa paaralan.

Ang materyal na aking nakolekta ay higit pang nakakumbinsi na ang Pythagorean theorem ay ang dakilang theorem ng geometry, ay may napakalaking teoretikal at praktikal na kahalagahan. Sa konklusyon, nais kong sabihin: ang dahilan para sa katanyagan ng Pythagorean triplet theorem ay kagandahan, pagiging simple at kahalagahan!

4. GINAMIT NA LITERATURA.

1. Nakakaaliw na algebra. ... Moscow "Science", 1978.

2. Lingguhang pang-edukasyon at pamamaraan na suplemento sa pahayagan na "Setyembre 1", 24/2001.

3. Geometry 7-9. at iba pa.

4. Geometry 7-9. at iba pa.

Average na antas

Kanang tatsulok. The Complete Illustrated Guide (2019)

KARAPATAN TRIANGLE. UNANG ANTAS.

Sa mga gawain, ang isang tamang anggulo ay hindi kinakailangan - ang ibabang kaliwa, kaya kailangan mong matutunan kung paano makilala ang isang right-angled na tatsulok sa form na ito,

at sa ganyan,

at sa ganyan

Ano ang pakinabang sa right triangle? Well ... una, may mga espesyal magagandang pangalan para sa kanyang mga partido.

Pansin sa pagguhit!

Tandaan at huwag malito: binti - dalawa, at ang hypotenuse - isa lamang(ang nag-iisa at ang pinakamahaba)!

Buweno, ang mga pangalan ay tinalakay, ngayon ang pinakamahalagang bagay: ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem.

Ang theorem na ito ay ang susi sa paglutas ng maraming problema na kinasasangkutan ng isang right-angled triangle. Ito ay pinatunayan ni Pythagoras sa ganap na sinaunang panahon, at mula noon ay nagdulot ito ng maraming benepisyo sa mga nakakaalam nito. At ang pinakamagandang bagay sa kanya ay simple siya.

Kaya, Pythagorean theorem:

Naaalala mo ba ang biro: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig!"?

Iguhit natin ang parehong Pythagorean na pantalon at tingnan ang mga ito.

Hindi ba ito mukhang isang uri ng shorts? Buweno, saang panig at saan sila pantay? Bakit at saan nanggaling ang biro? At ang biro na ito ay tiyak na konektado sa Pythagorean theorem, mas tiyak, sa paraan mismo ni Pythagoras na bumalangkas ng kanyang theorem. At binabalangkas niya ito tulad ng sumusunod:

"Sum mga parisukat binuo sa mga binti ay katumbas ng parisukat na lugar itinayo sa hypotenuse ”.

Hindi ba medyo iba ang tunog nito? At kaya, nang iguhit ni Pythagoras ang pahayag ng kanyang teorama, isang larawan lamang ang lumabas.

Sa larawang ito, ang kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat. At upang mas matandaan ng mga bata na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, isang taong matalino at nag-imbento ng biro na ito tungkol sa pantalon ng Pythagorean.

Bakit natin ngayon binabalangkas ang Pythagorean theorem

Nagdusa ba si Pythagoras at nagsalita tungkol sa mga parisukat?

Kita mo, noong sinaunang panahon walang ... algebra! Walang mga pagtatalaga at iba pa. Walang mga inskripsiyon. Naiisip mo ba kung gaano kakila-kilabot para sa mga mahihirap na sinaunang disipulo na kabisaduhin ang lahat gamit ang mga salita??! At maaari tayong matuwa na mayroon tayong simpleng pormulasyon ng Pythagorean theorem. Ulitin natin itong muli upang mas matandaan ito:

Dapat ay madali na ngayon:

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Well, ang pinakamahalagang teorama tungkol sa isang right-angled triangle ay tinalakay na. Kung interesado ka sa kung paano ito napatunayan, basahin ang susunod na mga antas ng teorya, at ngayon ay pumunta pa tayo ... sa madilim na kagubatan ... ng trigonometrya! Sa mga katakut-takot na salita sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle.

Kung tutuusin, hindi naman ganoon katakot. Siyempre, ang "tunay" na mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay dapat matagpuan sa artikulo. Pero ayoko talaga diba? Maaari tayong magalak: upang malutas ang mga problema tungkol sa isang right-angled na tatsulok, maaari mong punan ang mga sumusunod na simpleng bagay:

Bakit puro kanto lang? Saan ang sulok? Upang maunawaan ito, kailangan mong malaman kung paano isinusulat sa mga salita ang mga pahayag 1 - 4. Tingnan, unawain at tandaan!

1.
Sa katunayan, ito ay parang ganito:

At paano ang kanto? Mayroon bang isang binti na nasa tapat ng sulok, iyon ay, ang kabaligtaran (para sa sulok) na binti? Syempre meron! Ito ay isang paa!

Ngunit paano ang anggulo? Tingnan mong mabuti. Aling paa ang katabi ng sulok? Siyempre, ang binti. Samakatuwid, para sa anggulo, ang binti ay katabi, at

Ngayon, pansin! Tingnan kung ano ang nakuha namin:

Nakikita mo kung gaano kahusay:

Ngayon ay lumipat tayo sa tangent at cotangent.

Paano ko ito isusulat sa mga salita ngayon? Ano ang paa na may kaugnayan sa sulok? Kabaligtaran, siyempre - ito ay "namamalagi" sa tapat ng sulok. At ang binti? Katabi ng kanto. So anong ginawa natin?

Tingnan ang numerator at denominator ay baligtad?

At ngayon muli ang mga sulok at ginawa ang palitan:

Buod

Isulat natin sandali ang lahat ng ating natutunan.

Pythagorean theorem:

Ang pangunahing theorem tungkol sa isang right-angled triangle ay ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Oo nga pala, naaalala mo ba kung ano ang mga binti at hypotenuse? Kung hindi, pagkatapos ay tingnan ang larawan - i-refresh ang iyong kaalaman

Posibleng maraming beses mo nang nagamit ang Pythagorean theorem, ngunit naisip mo na ba kung bakit totoo ang ganoong theorem? Paano ko ito mapapatunayan? Gawin natin tulad ng mga sinaunang Griyego. Gumuhit tayo ng isang parisukat na may gilid.

Nakita mo kung gaano katalinong hinati namin ang mga gilid nito sa mga haba at!

Ngayon ikonekta natin ang mga minarkahang puntos

Narito kami, gayunpaman, ay may nabanggit na iba pa, ngunit ikaw mismo ay tumingin sa pagguhit at isipin kung bakit ganito.

Ano ang lugar ng mas malaking parisukat? Tama, . Isang mas maliit na lugar? Syempre, . Ang kabuuang lugar ng apat na sulok ay nananatili. Isipin na kinuha namin silang dalawa sa isang pagkakataon at sinandal sila sa isa't isa na may hypotenuses. Anong nangyari? Dalawang parihaba. Nangangahulugan ito na ang lugar ng "mga scrap" ay katumbas ng.

Pagsama-samahin natin ang lahat.

Ibahin natin:

Kaya binisita namin ang Pythagoras - pinatunayan namin ang kanyang teorama sa isang sinaunang paraan.

Kanang tatsulok at trigonometrya

Para sa isang right-angled na tatsulok, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

Ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse

Ang cosine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.

Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa kabaligtaran na binti.

At muli, ang lahat ng ito ay nasa anyo ng isang plato:

Ito ay napaka-maginhawa!

Mga pagsubok sa pagkakapantay-pantay para sa mga tatsulok na may tamang anggulo

I. Sa dalawang paa

II. Sa binti at hypotenuse

III. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle

IV. Sa isang binti at isang matalim na sulok

a)

b)

Pansin! Napakahalaga dito na ang mga binti ay "angkop". Halimbawa, kung ito ay ganito:

SAKA TRIANGLES AY HINDI PANTAY, sa kabila ng katotohanan na mayroon silang isa sa parehong talamak na anggulo.

Kailangan sa parehong tatsulok, ang binti ay katabi, o sa parehong tatsulok, sa tapat.

Napansin mo ba kung paano naiiba ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok mula sa karaniwang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok? Tingnan ang paksang "at bigyang-pansin ang katotohanan na para sa pagkakapantay-pantay ng" ordinaryong "mga tatsulok kailangan mo ang pagkakapantay-pantay ng kanilang tatlong elemento: dalawang panig at isang anggulo sa pagitan nila, dalawang anggulo at isang gilid sa pagitan nila o tatlong panig. Ngunit para sa pagkakapantay-pantay ng mga right-angled triangles, dalawang katumbas na elemento lamang ang sapat. Mahusay, hindi ba?

Ang sitwasyon ay halos pareho sa mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga right-angled triangles.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok na may tamang anggulo

I. Sa isang matulis na sulok

II. Sa dalawang paa

III. Sa binti at hypotenuse

Median sa isang kanang tatsulok

Bakit ganito?

Isaalang-alang ang isang buong parihaba sa halip na isang right-angled na tatsulok.

Gumuhit tayo ng isang dayagonal at isaalang-alang ang isang punto - ang punto ng intersection ng mga diagonal. Ano ang nalalaman tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba?

At ano ang kasunod nito?

Kaya pala

1. - median:

Tandaan ang katotohanang ito! Malaking tulong!

Ang nakakagulat pa ay totoo rin ang kabaligtaran.

Anong kabutihan ang makukuha mo sa katotohanan na ang median na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse? Tingnan natin ang larawan

Tingnan mong mabuti. Mayroon kaming:, iyon ay, ang mga distansya mula sa punto hanggang sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay naging pantay. Ngunit sa isang tatsulok mayroon lamang isang punto, ang mga distansya mula sa kung saan halos lahat ng tatlong vertices ng tatsulok ay pantay-pantay, at ito ang SENTRO ng DESCRIBED CIRCLE. So anong nangyari?

Magsimula tayo sa "bukod sa ..."

Tingnan natin at.

Ngunit sa gayong mga tatsulok ang lahat ng mga anggulo ay pantay!

Ang parehong masasabi tungkol sa at

Ngayon pagsamahin natin ito:

Anong benepisyo ang makukuha mula sa "triple" na pagkakatulad na ito.

Well, halimbawa - dalawang formula para sa taas ng isang right triangle.

Isulat natin ang relasyon ng kani-kanilang partido:

Upang mahanap ang taas, lutasin namin ang proporsyon at makuha ang unang formula na "Taas sa isang kanang tatsulok":

Kaya, ilapat natin ang pagkakatulad:.

Ano na ang mangyayari ngayon?

Muli naming lutasin ang proporsyon at makuha ang pangalawang formula:

Ang parehong mga formula na ito ay dapat na napakahusay na matandaan at alinman ang mas maginhawang ilapat. Isulat natin muli ang mga ito

Pythagorean theorem:

Sa isang right-angled triangle, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti:.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga right-angled triangles:

• sa dalawang paa:
• sa binti at hypotenuse: o
• kasama ang binti at katabing talamak na anggulo: o
• kasama ang binti at ang kabaligtaran na talamak na anggulo: o
• sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle: o.

Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga right-angled triangles:

• isang matalim na sulok: o
• mula sa proporsyonalidad ng dalawang binti:
• mula sa proporsyonalidad ng binti at hypotenuse: o.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle

• Ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:
• Ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
• Ang tangent ng isang matinding anggulo ng isang right-angled na tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:
• Ang cotangent ng isang matinding anggulo ng isang right-angled triangle ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran:.

Taas ng tamang tatsulok: o.

Sa isang right-angled triangle, ang median na iginuhit mula sa vertex ng right angle ay kalahati ng hypotenuse:.

Lugar ng isang tamang tatsulok:

• sa pamamagitan ng mga binti:

Ang isa ay maaaring maging isang daang porsyento na sigurado na kapag tinanong kung ano ang parisukat ng hypotenuse, sinumang may sapat na gulang ay matapang na sasagot: "Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Ang teorama na ito ay matatag na nakaugat sa isipan ng lahat. edukadong tao, ngunit kailangan mo lamang hilingin sa isang tao na patunayan ito, at pagkatapos ay maaaring lumitaw ang mga paghihirap. Kaya't ating tandaan at pag-isipan iba't ibang paraan patunay ng Pythagorean theorem.

Maikling talambuhay

Ang Pythagorean theorem ay pamilyar sa halos lahat, ngunit sa ilang kadahilanan ang talambuhay ng taong nagsilang dito ay hindi gaanong tanyag. Ito ay naaayos. Samakatuwid, bago pag-aralan ang iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem, kailangan mong madaling makilala ang kanyang personalidad.

Si Pythagoras ay isang pilosopo, matematiko, palaisip na orihinal na mula Ngayon ay napakahirap na makilala ang kanyang talambuhay mula sa mga alamat na nabuo sa memorya ng dakilang taong ito. Ngunit tulad ng mga sumusunod mula sa mga sinulat ng kanyang mga tagasunod, si Pythagoras ng Samos ay isinilang sa isla ng Samos. Ang kanyang ama ay isang ordinaryong pamutol ng bato, ngunit ang kanyang ina ay nagmula sa isang marangal na pamilya.

Ayon sa alamat, ang kapanganakan ni Pythagoras ay hinulaang ng isang babaeng nagngangalang Pythia, kung saan pinangalanan ang batang lalaki. Ayon sa kanyang hula, ang isang ipinanganak na lalaki ay dapat na nagdala ng maraming benepisyo at kabutihan sa sangkatauhan. Na talagang ginawa niya.

Ang pagsilang ng theorem

Sa kanyang kabataan, lumipat si Pythagoras sa Egypt upang makipagkita doon sa mga sikat na Egyptian sages. Matapos makipagkita sa kanila, pinapasok siya sa pag-aaral, kung saan natutunan niya ang lahat ng magagandang tagumpay ng pilosopiya, matematika at medisina ng Egypt.

Marahil, ito ay sa Egypt na si Pythagoras ay naging inspirasyon ng kamahalan at kagandahan ng mga pyramids at nilikha ang kanyang mahusay na teorya. Maaaring mabigla ito sa mga mambabasa, ngunit naniniwala ang mga modernong istoryador na hindi pinatunayan ni Pythagoras ang kanyang teorya. Ipinasa lamang niya ang kanyang kaalaman sa kanyang mga tagasunod, na kalaunan ay natapos ang lahat ng kinakailangang mga kalkulasyon sa matematika.

Maging na ito ay maaaring, ngayon ay hindi isang paraan ng pagpapatunay ng teorama na ito ay kilala, ngunit ilang sabay-sabay. Ngayon, nananatili lamang na hulaan kung paano eksaktong ginawa ng mga sinaunang Griyego ang kanilang mga kalkulasyon, kaya dito natin isasaalang-alang ang iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Bago simulan ang anumang mga kalkulasyon, kailangan mong malaman kung aling teorya ang dapat patunayan. Ang Pythagorean theorem ay nagbabasa ng mga sumusunod: "Sa isang tatsulok, kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90 °, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse."

Sa kabuuan, mayroong 15 iba't ibang paraan upang patunayan ang Pythagorean theorem. Ito ay isang medyo malaking figure, kaya bigyang-pansin natin ang pinakasikat sa kanila.

Pamamaraan isa

Una, italaga natin kung ano ang ibinigay sa atin. Malalapat din ang mga datos na ito sa iba pang mga paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem, kaya dapat mong tandaan kaagad ang lahat ng magagamit na mga pagtatalaga.

Ipagpalagay na ang isang right-angled triangle ay ibinigay, na may mga binti a, b at isang hypotenuse na katumbas ng c. Ang unang paraan ng patunay ay batay sa katotohanan na kailangan mong gumuhit ng isang parisukat mula sa isang right-angled na tatsulok.

Upang gawin ito, kailangan mong gumuhit ng isang segment na katumbas ng binti b sa binti ng haba a, at kabaliktaran. Dapat itong lumikha ng dalawang pantay na panig ng parisukat. Ito ay nananatiling lamang upang gumuhit ng dalawang parallel na linya, at ang parisukat ay handa na.

Sa loob ng nagresultang figure, kailangan mong gumuhit ng isa pang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse ng orihinal na tatsulok. Upang gawin ito, mula sa vertices ac at sv, kailangan mong gumuhit ng dalawang parallel na mga segment na katumbas ng c. Kaya, nakakakuha tayo ng tatlong panig ng parisukat, ang isa ay ang hypotenuse ng orihinal na right-angled na tatsulok. Ito ay nananatiling lamang upang tapusin ang ikaapat na segment.

Batay sa resultang figure, maaari nating tapusin na ang lugar ng panlabas na parisukat ay (a + b) 2. Kung titingnan mo ang loob ng figure, makikita mo na bilang karagdagan sa panloob na parisukat, naglalaman ito ng apat na right-angled triangles. Ang lugar ng bawat isa ay 0.5 av.

Samakatuwid, ang lugar ay katumbas ng: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

Kaya naman (a + b) 2 = 2ab + c 2

At samakatuwid c 2 = a 2 + b 2

Ang teorama ay napatunayan.

Paraan ng dalawa: magkatulad na tatsulok

Ang pormula na ito para sa patunay ng Pythagorean theorem ay hinango sa batayan ng isang pahayag mula sa seksyon ng geometry tungkol sa mga katulad na tatsulok. Sinasabi nito na ang binti ng isang right-angled triangle ay ang proporsyonal na average para sa hypotenuse nito at ang segment ng hypotenuse na nagmumula sa tuktok ng 90 ° na anggulo.

Ang paunang data ay nananatiling pareho, kaya simulan natin kaagad sa patunay. Gumuhit tayo ng isang segment ng SD patayo sa gilid AB. Batay sa pahayag sa itaas, ang mga binti ng mga tatsulok ay:

AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.

Upang masagot ang tanong kung paano patunayan ang Pythagorean theorem, ang patunay ay dapat kumpletuhin sa pamamagitan ng pag-square ng parehong hindi pagkakapantay-pantay.

AC 2 = AB * HELL at SV 2 = AB * DV

Ngayon ay kailangan mong magdagdag ng mga resultang hindi pagkakapantay-pantay.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELL * DV), kung saan HELL + DV = AB

Lumalabas na:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

At samakatuwid:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Ang patunay ng Pythagorean theorem at iba't ibang paraan upang malutas ito ay nangangailangan ng maraming nalalaman na diskarte sa problemang ito. Gayunpaman, ang pagpipiliang ito ay isa sa pinakasimpleng.

Isa pang pamamaraan ng pagkalkula

Ang paglalarawan ng iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem ay maaaring walang sabihin, hanggang sa magsimula kang magsanay nang mag-isa. Maraming mga diskarte ang nagbibigay hindi lamang ng mga kalkulasyon sa matematika, kundi pati na rin ang pagtatayo ng mga bagong figure mula sa orihinal na tatsulok.

Sa kasong ito, kinakailangan upang makumpleto ang isa pang right-angled na tatsulok ng VSD mula sa binti ng BC. Kaya, ngayon mayroong dalawang tatsulok na may isang karaniwang binti BC.

Alam na ang mga lugar ng naturang mga figure ay may ratio bilang mga parisukat ng kanilang mga katulad na linear na sukat, kung gayon:

S awd * s 2 - S awd * sa 2 = S awd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S awd -S vd)

s 2 -w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

Dahil ang pagpipiliang ito ay halos hindi angkop mula sa iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem para sa grade 8, maaari mong gamitin ang sumusunod na pamamaraan.

Ang pinakamadaling paraan upang patunayan ang Pythagorean theorem. Mga pagsusuri

Naniniwala ang mga mananalaysay na ang pamamaraang ito ay unang ginamit upang patunayan ang teorama pabalik sinaunang greece... Ito ang pinakasimpleng isa, dahil hindi ito nangangailangan ng ganap na anumang mga kalkulasyon. Kung iguguhit mo nang tama ang figure, ang patunay ng pahayag na ang isang 2 + sa 2 = c 2 ay malinaw na makikita.

Mga kondisyon para sa ang pamamaraang ito ay bahagyang naiiba mula sa nauna. Upang patunayan ang theorem, ipagpalagay na ang right-angled triangle ABC ay isosceles.

Kinukuha namin ang AC hypotenuse bilang gilid ng parisukat at hinati ang tatlong panig nito. Bilang karagdagan, kinakailangan upang gumuhit ng dalawang diagonal na linya sa nagresultang parisukat. Kaya't sa loob nito ay may apat na isosceles triangles.

Sa mga binti AB at CB, kailangan mo ring gumuhit sa isang parisukat at gumuhit ng isang dayagonal na linya sa bawat isa sa kanila. Ang unang linya ay iginuhit mula sa vertex A, ang pangalawa mula sa C.

Ngayon ay kailangan mong tingnan ang resultang pagguhit. Dahil mayroong apat na tatsulok na katumbas ng orihinal sa AC hypotenuse, at dalawa sa mga binti, ito ay nagsasalita ng katotohanan ng teorama na ito.

Sa pamamagitan ng paraan, salamat sa pamamaraang ito ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem, ang sikat na parirala ay ipinanganak: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng direksyon."

Ang patunay ni J. Garfield

Si James Garfield ay ang ika-20 Pangulo ng Estados Unidos ng Amerika. Bilang karagdagan sa pag-iiwan ng kanyang marka sa kasaysayan bilang pinuno ng Estados Unidos, siya rin ay isang likas na taong nagturo sa sarili.

Sa simula ng kanyang karera, siya ay isang ordinaryong guro sa isang katutubong paaralan, ngunit sa lalong madaling panahon ay naging direktor ng isa sa mga mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Ang pagnanais para sa pag-unlad ng sarili at pinapayagan siyang magmungkahi ng isang bagong teorya ng patunay ng Pythagorean theorem. Ang teorama at isang halimbawa ng solusyon nito ay ang mga sumusunod.

Una, kailangan mong gumuhit ng dalawang right-angled triangles sa isang sheet ng papel upang ang binti ng isa sa mga ito ay isang pagpapatuloy ng pangalawa. Ang mga vertice ng mga tatsulok na ito ay kailangang konektado upang sa huli ay makabuo ng isang trapezoid.

Tulad ng alam mo, ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahating kabuuan ng mga base nito at ang taas.

S = a + b / 2 * (a + b)

Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang trapezoid bilang isang pigura na binubuo ng tatlong tatsulok, kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Ngayon ay kailangan mong i-equalize ang dalawang orihinal na expression

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

Mahigit sa isang volume ang maaaring isulat tungkol sa Pythagorean theorem at ang mga pamamaraan ng patunay nito Gabay sa pag-aaral... Ngunit may katuturan ba kapag ang kaalamang ito ay hindi mailalapat sa pagsasanay?

Praktikal na aplikasyon ng Pythagorean theorem

Sa kasamaang palad, sa modernong kurikulum ng paaralan ang paggamit ng teorama na ito ay ibinibigay lamang sa mga problemang geometriko. Ang mga nagtapos ay malapit nang umalis sa mga pader ng paaralan nang hindi alam kung paano nila magagamit ang kanilang kaalaman at kasanayan sa pagsasanay.

Sa katunayan, gamitin ang Pythagorean theorem sa iyong Araw-araw na buhay lahat ay kayang. At hindi lamang sa propesyonal na aktibidad, ngunit gayundin sa mga ordinaryong gawaing bahay. Isaalang-alang natin ang ilang mga kaso kung kailan ang Pythagorean theorem at mga pamamaraan ng patunay nito ay maaaring lubhang kailangan.

Ang koneksyon sa pagitan ng teorama at astronomiya

Tila kung paano maaaring ikonekta ang mga bituin at tatsulok sa papel. Sa katunayan, ang astronomy ay isang siyentipikong larangan kung saan malawakang ginagamit ang Pythagorean theorem.

Halimbawa, isaalang-alang ang paggalaw ng isang light beam sa kalawakan. Ito ay kilala na ang ilaw ay gumagalaw sa magkabilang direksyon sa parehong bilis. Ang trajectory AB, na ginagalaw ng light beam, ay tinatawag l. At kalahati ng oras na kailangan para sa ilaw na makarating mula sa punto A hanggang sa punto B, tawagan natin t... At ang bilis ng sinag - c. Lumalabas na: c * t = l

Kung titingnan mo ang mismong sinag na ito mula sa isa pang eroplano, halimbawa, mula sa isang space liner, na gumagalaw nang may bilis na v, kung gayon sa gayong pagmamasid sa mga katawan ay magbabago ang kanilang bilis. Sa kasong ito, kahit na ang mga nakatigil na elemento ay magsisimulang gumalaw nang may bilis na v sa tapat na direksyon.

Sabihin nating ang comic liner ay naglalayag sa kanan. Pagkatapos ang mga puntong A at B, sa pagitan ng kung saan ang sinag ay inihagis, ay lilipat sa kaliwa. Bukod dito, kapag ang sinag ay gumagalaw mula sa punto A hanggang sa punto B, ang punto A ay may oras upang lumipat at, nang naaayon, ang ilaw ay darating na sa isang bagong punto C. Upang mahanap ang kalahati ng distansya kung saan ang punto A ay lumipat, kailangan mong i-multiply ang bilis ng liner sa kalahati ng oras ng paglalakbay ng beam (t ").

At upang malaman kung gaano karaming distansya ang maaaring maglakbay ng sinag ng liwanag sa panahong ito, kailangan mong italaga ang kalahati ng landas na may bagong titik s at makuha ang sumusunod na expression:

Kung iniisip natin na ang mga punto ng liwanag C at B, pati na rin ang space liner, ay ang mga vertices ng isang isosceles triangle, kung gayon ang segment mula sa point A hanggang sa liner ay hahatiin ito sa dalawang right-angled triangles. Samakatuwid, salamat sa Pythagorean theorem, maaari mong mahanap ang distansya na maaaring maglakbay ng isang sinag ng liwanag.

Ang halimbawang ito, siyempre, ay hindi ang pinakamahusay, dahil iilan lamang ang maaaring mapalad na subukan ito sa pagsasanay. Samakatuwid, isasaalang-alang namin ang higit pang mga makamundong aplikasyon ng teorama na ito.

Radius ng paghahatid ng isang mobile signal

Ang modernong buhay ay imposible nang isipin nang walang pagkakaroon ng mga smartphone. Ngunit malaki ba ang silbi nila kung hindi nila maikonekta ang mga subscriber sa pamamagitan ng mga mobile na komunikasyon?!

Ang kalidad ng mobile na komunikasyon ay direktang nakasalalay sa taas kung saan matatagpuan ang antenna ng mobile operator. Upang makalkula kung gaano kalayo ang telepono ay maaaring makatanggap ng signal mula sa mobile tower, maaari mong ilapat ang Pythagorean theorem.

Sabihin nating kailangan mong hanapin ang tinatayang taas ng isang nakatigil na tore upang makapagpalaganap ito ng signal sa loob ng radius na 200 kilometro.

AB (taas ng tore) = x;

Sasakyang panghimpapawid (radius ng paghahatid ng signal) = 200 km;

OS (radius ang globo) = 6380 km;

OB = OA + ABOV = r + x

Ang paglalapat ng Pythagorean theorem, nalaman namin na ang pinakamababang taas ng tore ay dapat na 2.3 kilometro.

Ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay

Kakatwa, ang Pythagorean theorem ay maaaring maging kapaki-pakinabang kahit na sa pang-araw-araw na mga bagay, tulad ng pagtukoy sa taas ng isang wardrobe, halimbawa. Sa unang sulyap, hindi na kailangang gumamit ng gayong kumplikadong mga kalkulasyon, dahil maaari ka lamang kumuha ng mga sukat gamit ang isang panukalang tape. Ngunit marami ang nagulat kung bakit lumitaw ang ilang mga problema sa panahon ng proseso ng pagpupulong, kung ang lahat ng mga sukat ay kinuha nang higit sa tumpak.

Ang katotohanan ay ang wardrobe ay binuo sa isang pahalang na posisyon at pagkatapos lamang ito ay tumataas at naka-install laban sa dingding. Samakatuwid, ang gilid ng gabinete sa proseso ng pag-aangat ng istraktura ay dapat na malayang pumasa pareho sa taas at pahilis ng silid.

Ipagpalagay na mayroon kang wardrobe na may lalim na 800 mm. Distansya mula sa sahig hanggang kisame - 2600 mm. Sasabihin sa iyo ng isang bihasang gumagawa ng kasangkapan na ang taas ng cabinet ay dapat na 126 mm na mas mababa kaysa sa taas ng silid. Ngunit bakit eksaktong 126 mm? Tingnan natin ang isang halimbawa.

Sa perpektong sukat ng cabinet, sinusuri namin ang pagkilos ng Pythagorean theorem:

AC = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 mm - lahat ay nagtatagpo.

Sabihin nating ang taas ng cabinet ay hindi 2474 mm, ngunit 2505 mm. Pagkatapos:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Samakatuwid, ang cabinet na ito ay hindi angkop para sa pag-install sa kuwartong ito. Dahil ang pag-angat nito sa isang tuwid na posisyon ay maaaring makapinsala sa katawan nito.

Marahil, na isinasaalang-alang ang iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem ng iba't ibang mga siyentipiko, maaari nating tapusin na ito ay higit pa sa totoo. Ngayon ay maaari mong gamitin ang impormasyong natanggap sa iyong pang-araw-araw na buhay at siguraduhin na ang lahat ng mga kalkulasyon ay hindi lamang magiging kapaki-pakinabang, ngunit tama rin.