\(\sqrt(a)=b\), якщо \(b^2=a\), де \(a≥0,b≥0\)

Приклади:

\(\sqrt(49)=7\), тому що \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\),оскільки \(0,2^2=0,04\)

Як витягти квадратний корінь із числа?

Щоб витягти квадратний корінь із числа, треба поставити собі запитання: яке число у квадраті дасть вираз під коренем?

Наприклад. Вийміть корінь: а) (sqrt (2500)); б) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); в) (sqrt (0,001)); г) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

а) Яке число у квадраті дасть (2500)?

\(\sqrt(2500) = 50\)

б) Яке число у квадраті дасть \(\frac(4)(9)\)?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

в) Яке число у квадраті, дасть (0,0001)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

г) Яке число в квадраті дасть (sqrt (1 frac (13) (36)))? Щоб дати відповідь на запитання, потрібно перевести до неправильної.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Зауваження: Хоча \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) теж відповідають на поставлені питання, але їх не враховують, тому що квадратний корінь завжди позитивний.

Головна властивість кореня

Як відомо, в математиці будь-яка дія має зворотне. У додавання – віднімання, у множення – розподіл. Зворотне дію зведенню квадрат - витяг квадратного кореня. Тому ці дії компенсують одна одну:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Це і є головною властивістю кореня, яке найчастіше використовується (у тому числі і в ОДЕ)

приклад . (Завдання з ОДЕ). Знайдіть значення виразу \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Рішення :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

приклад . (Завдання з ОДЕ). Знайдіть значення виразу \((\sqrt(85)-1)^2\)

Рішення:

Звичайно, при роботі з квадратним коренем слід використовувати й інші.

приклад . (Завдання з ОДЕ). Знайдіть значення виразу \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Рішення:

Відповідь: \(220\)

4 правила про які завжди забувають

Корінь не завжди витягується

приклад: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) і т.д. - Витягти корінь з числа не завжди можливо і це нормально!

Корінь з числа, теж число

Не треба відноситься до \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), якось особливо. Це числа, та не цілі, так, але не все в нашому світі вимірюється у цілих числах.

Корінь вилучається лише з невід'ємних чисел

Тому в підручниках ви не побачите таких записів \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), і т.п.

Назва: Самостійні та контрольні роботи з алгебри та геометрії для 8 класу.

Посібник містить самостійні та контрольні роботи з усіх найважливіших тем курсу алгебри та геометрії 8 класу.

Роботи складаються із 6 варіантів трьох рівнів складності. Дидактичні матеріали призначені організації диференційованої самостійної роботи учнів.

ЗМІСТ
Алгебра 4
С-1 Раціональні вирази. Скорочення дробів 4
С-2 Додавання та віднімання дробів 5
К-1 Раціональні дроби. Додавання та віднімання дробів 7
С-3 Множення та поділ дробів. Зведення дробу до ступеня 10
С-4 Перетворення раціональних виразів 12
С-5 Зворотна пропорційність та її графік 14
К-2 Раціональні дроби 16
С-6 Арифметичний квадратний корінь 18
С-7 Рівняння х2 = а. Функція у = у [х 20
С-8 Квадратний корінь із твору, дробу, ступеня 22
К-3 Арифметичний квадратний корінь та його властивості 24
С-9 Внесення та винесення множника у квадратному корінні 27
С-10 Перетворення виразів, що містять квадратне коріння 28
К-4 Застосування властивостей квадратного арифметичного кореня 30
С-11 Неповні квадратні рівняння 32
С-12 Формула коренів квадратного рівняння 33
С-13 Розв'язання задач за допомогою квадратних рівнянь. Теорема Вієта 34
К-5 Квадратні рівняння 36
С-14 Дробові раціональні рівняння 38
С-15 Застосування дробових раціональних рівнянь. Розв'язання задач 39
К-6 Дробові раціональні рівняння 40
С-16 Властивості числових нерівностей 43
К-7 Числові нерівності та їх властивості 44
С-17 Лінійні нерівності з однією змінною 47
С-18 Системи лінійних нерівностей 48
К-8 Лінійні нерівності та системи нерівностей з однією змінною 50
С-19 Ступінь із негативним показником 52
К-9 Ступінь із цілим показником 54
К-10 Річна контрольна робота 56
ГЕОМЕТРІЯ (По Погорелову) 58
С-1 Властивості та ознаки паралелограма". 58
С-2 Прямокутник. Ромб. Квадрат 60
К-1 Паралелограм 62
З-3 Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника 63
С-4 Трапеція. Середня лінія трапеції 66
К-2 Трапеція. Середні лінії трикутника та трапеції.
С-5 Теорема Піфагора 70
С-6 Теорема, обернена до теореми Піфагора. Перпендикуляр та похила 71
С-7 Нерівність трикутника 73
К-3 Теорема Піфагора 74
С-8 Рішення прямокутних трикутників 76
С-9 Властивості тригонометричних функцій 78
К-4 Прямокутний трикутник (узагальнююча контрольна робота) 80
С-10 Координати середини відрізка. Відстань між точками. Рівняння кола 82
С-11 Рівняння прямої 84
К-5 Декартові координати 86
С-12 Рух та його властивості. Центральна та осьова симетрії. Поворот 88
З-13. Паралельне перенесення 90
С-14 вектор концепції. Рівність векторів 92
С-15 Дії з векторами у координатній формі. Колінеарні вектори 94
С-16 Дії з векторами у геометричній формі 95
С-17 Скалярний твір 98
К-6 Вектори 99
К-7 Річна контрольна робота 102
ГЕОМЕТРІЯ (По Атанасяну) 104
С-1 Властивості та ознаки паралелограма 104
С-2 Прямокутник. Ромб. Квадрат 106
К-1 Чотирьохкутники 108
С-3 Площа прямокутника, квадрата 109
С-4 Площа паралелограма, ромба, трикутника 111
С-5 Площа трапеції 113
С-6 Теорема Піфагора 114
К-2 Площі. Теорема Піфагора 116
С-7 Визначення таких трикутників. Властивість бісектриси кута трикутника 118
С-8 Ознаки подоби трикутників 120
К-3 Подібність трикутників 122
С-9 Застосування подібності до розв'язання задач 124
С-10 Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника 126
К-4 Застосування подібності до розв'язання задач. Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника 128
С-11 Відносна до кола 130
С-12 Центральні та вписані кути 132
С-13 Теорема про створення відрізків хорд, що перетинаються. Чудові точки трикутника 134
С-14 Вписане та описане кола 136
К-5 Окружність 137
С-15 Складання та віднімання векторів 139
С-16 Умноження вектора на число 141
С-17 Середня лінія трапеції 142
К-6 Вектори. Застосування векторів до розв'язання задач 144
К-7 Річна контрольна робота 146
ВІДПОВІДІ 148
ЛІТЕРАТУРА 157

ПЕРЕДМОВА .
1. В одній порівняно невеликій книзі міститься повний набір перевірочних робіт (включаючи підсумкові контрольні роботи) з усього курсу алгебри та геометрії 8-го класу, завдяки чому достатньо придбати один комплект книг на клас.
Контрольні роботи розраховані на урок, самостійні роботи – на 20-35 хвилин, залежно від теми. Для зручності користування книгою у назві кожної самостійної та контрольної роботи відображено її тематику.

2. Збірник дозволяє здійснити диференційований контроль знань, оскільки завдання розподілені за трьома рівнями складності А, Б і В. Рівень А відповідає обов'язковим програмним вимогам, Б - середньому рівню складності, завдання рівня В призначені для учнів, які виявляють підвищений інтерес до математики, а також для використання у класах, школах, гімназіях та ліцеях з поглибленим вивченням математики. Для кожного рівня наведено 2 розташовані поруч рівноцінних варіанти (як вони зазвичай записуються на дошці), тому на уроці достатньо однієї книги на парті.

Безкоштовно завантажити електронну книгу у зручному форматі, дивитися та читати:
Скачати книгу Самостійні та контрольні роботи з алгебри та геометрії для 8 класу. Єршова А.П., Голобородько В.В., 2004 - fileskachat.com, швидке та безкоштовне скачування.

• Самостійні та контрольні роботи з геометрії для 11 класу. Голобородько В.В., Єршова А.П., 2004
• Самостійні та контрольні роботи з алгебри та геометрії для 9 класу. Єршова А.П., Голобородько В.В., 2004
• Самостійні та контрольні роботи з алгебри та геометрії, 8 клас, Єршова О.П., Голобородько В.В., Єршова О.С., 2013

Поглянув ще раз на табличку... І поїхали!

Почнемо з простенького:

Хвилинку. це, а це означає, що ми можемо записати так:

Засвоїв? Ось тобі наступний:

Коріння з чисел, що вийшло, рівно не витягуються? Не біда – ось тобі такі приклади:

А що, якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Тепер повністю самостійно:

Відповіді:Молодець! Погодься, все дуже легко, головне знати таблицю множення!

Розподіл коренів

З множенням коренів розібралися, тепер приступимо до властивості поділу.

Нагадаю, що формула у загальному вигляді виглядає так:

А значить це, що корінь із частки дорівнює приватному коріння.

Ну що, давай розбиратись на прикладах:

Ось і вся наука. А ось такий приклад:

Все не так гладко, як у першому прикладі, але як бачиш, нічого складного немає.

А що, якщо трапиться такий вираз:

Потрібно просто застосувати формулу у зворотному напрямку:

А ось такий приклад:

Ще ти можеш зустріти такий вираз:

Все те саме, тільки тут треба згадати, як перекладати дроби (якщо не пам'ятаєш, зазирни в тему і повертайся!). Згадав? Тепер вирішуємо!

Впевнена, що ти з усім, усім впорався, тепер спробуємо зводити коріння у міру.

Зведення в ступінь

А що буде, якщо квадратний корінь звести в квадрат? Все просто, згадаємо сенс квадратного кореня з числа - це число, квадратний корінь якого дорівнює.

Так от, якщо ми зводимо число, квадратний корінь якого дорівнює, квадрат, то що отримуємо?

Ну звичайно, !

Розглянемо на прикладах:

Все просто, правда? А якщо корінь буде іншою мірою? Нічого страшного!

Дотримуйся тієї ж логіки і пам'ятай властивості та можливі дії зі ступенями.

Почитай теорію на тему « » і тобі все стане гранично ясно.

Ось, наприклад, такий вираз:

У цьому прикладі ступінь парний, а якщо він буде непарний? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади все на множники:

З цим начебто все ясно, а як витягти корінь із числа в міру? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більше двох? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:

Ну як усе зрозуміло? Тоді виріши самостійно приклади:

А ось і відповіді:

Внесення під знак кореня

Що ми тільки не навчилися робити з корінням! Залишилося тільки потренуватися вносити число під корінь!

Це дуже легко!

Допустимо, у нас записано число

Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!

Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки Слід пам'ятати, що вносити під знак квадратного кореня ми можемо лише позитивні числа.

Виріши самостійно ось цей приклад -
Впорався? Давай дивитися, що в тебе має вийти:

Молодець! У тебе вдалося внести число під знак кореня! Перейдемо до не менш важливого – розглянемо, як порівнювати числа, що містять квадратний корінь!

Порівняння коренів

Навіщо нам вчитися порівнювати числа, які містять квадратний корінь?

Дуже просто. Часто, у великих і тривалих виразах, що зустрічаються на іспиті, ми отримуємо ірраціональну відповідь (пам'ятаєш, що це таке? Ми з тобою сьогодні про це вже говорили!)

Отримані відповіді нам необхідно розташувати на координатній прямій, наприклад, щоб визначити, який інтервал підходить для розв'язування рівняння. І ось тут виникає заковика: калькулятора на іспиті немає, а без нього як уявити, яке число більше, а яке менше? Отож і воно!

Наприклад, визнач, що більше: чи?

Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня?

Тоді вперед:

Ну і, очевидно, чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь!

Тобто. якщо, отже, .

Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!

Вилучення коренів із великих чисел

До цього ми вносили множник під знак кореня, а як його винести? Треба просто розкласти його на множники та витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Розкладання на множники стане в нагоді при вирішенні таких нестандартних завдань, як ось це:

Не лякаємось, а діємо! Розкладемо кожен множник під коренем на окремі множники:

А тепер спробуй самостійно (без калькулятора! його на іспиті не буде):

Хіба це кінець? Не зупиняємось на півдорозі!

Ось і все, не так все і страшно, правда?

Вийшло? Молодець, все правильно!

А тепер спробуй такий приклад вирішити:

А приклад - міцний горішок, так відразу і не розберешся, як до нього підступитися. Але нам він, звичайно, по зубах.

Ну що, почнемо розкладати на множники? Відразу зауважимо, що можна поділити число на (згадуємо ознаки ділимості):

А тепер, спробуй сам (знову ж таки, без калькулятора!):

Ну що, вийшло? Молодець, все правильно!

Підведемо підсумки

1. Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем) із невід'ємного числа називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює.
   .
2. Якщо ми просто витягуємо квадратний корінь із чогось, то завжди отримуємо один невід'ємний результат.
3. Властивості арифметичного кореня:
4. При порівнянні квадратного коріння необхідно пам'ятати, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.

Як тобі квадратне коріння? Все зрозуміло?

Ми постаралися пояснити тобі без води все, що потрібно знати на іспиті про квадратний корінь.

Тепер твоя черга. Напиши нам складна це для тебе тема чи ні.

Дізнався ти щось нове чи все було так ясно.

Пиши в коментарях та удачі на іспитах!