Багато людей цікавляться, як округляти числа. Ця необхідність часто виникає у людей, які своє життя пов'язують з бухгалтерією або іншими видами діяльності, де потрібні розрахунки. Округлення може проводитися до цілих, десятих і так далі. І необхідно знати, як це робити правильно, щоб розрахунки були більш менш точними.

А що таке взагалі кругле число? Це те, що закінчується на 0 (здебільшого). У повсякденному житті вміння округляти числа значно полегшує походи по магазинах. Стоячи біля каси, можна приблизно прикинути загальну вартість покупок, порівняти, скільки коштує кілограм однойменного товару в різних за вагою пакетах. З числами, приведеними до зручній формі, легше виробляти усні розрахунки, не вдаючись до допомоги калькулятора.

Навіщо округлюються числа?

Будь-які цифри людина схильна округляти в тих випадках, коли потрібно виконувати більш спрощені операції. Наприклад, диня важить 3,150 кілограмів. Коли людина буде розповідати своїм знайомим про те, скільки грамів має південний плід, він може здобути славу не надто цікавим співрозмовником. Значно лаконічніше звучать фрази типу "Ось я купив трехкілограмовую диню" без вникання у всякі непотрібні деталі.

Цікаво, що навіть в науці немає необхідності завжди мати справу з максимально точними числами. А якщо мова йде про періодичні нескінченних дробах, які мають вигляд 3,33333333 ... 3, то це стає неможливим. Тому найбільш логічним варіантом буде звичайне округлення їх. Як правило, результат після цього спотворюється незначно. Отже, як округляти числа?

Кілька важливих правил при округленні чисел

Отже, якщо ви захотіли округлити число, важливо розуміти основні принципи округлення? Це операція зміни спрямована на зменшення кількості знаків після коми. Щоб здійснювати дану дію, необхідно знати кілька важливих правил:

1. Якщо число потрібного розряду знаходиться в межах 5-9, округлення здійснюється в більшу сторону.
2. Якщо число потрібного розряду знаходиться в межах 1-4, округлення проводиться в меншу сторону.

Наприклад, у нас є число 59. Нам його потрібно округлити. Щоб це зробити, треба взяти число 9 і додати до нього одиницю, щоб вийшло 60. Ось і відповідь на питання, як округляти числа. А тепер розглянемо окремі випадки. Власне, ми розібралися, як округлити число до десятків за допомогою цього прикладу. Тепер залишилося всього лише використовувати ці знання на практиці.

Як округлити число до цілих

Дуже часто трапляється так, що є необхідність округлити, наприклад, число 5,9. Дана процедура не складає великих труднощів. Потрібно для початку опустити кому, і перед нашим поглядом постає при округленні вже знайоме нам число 60. А тепер ставимо кому на місце, і отримуємо 6,0. А оскільки нулі в десяткових дробах, Як правило, опускаються, то отримуємо в підсумку цифру 6.

Аналогічну операцію можна проводити і з більш складними числами. Наприклад, як округляти числа типу 5,49 до цілих? Тут все залежить від того, які цілі ви поставите перед собою. Взагалі, за правилами математики, 5,49 - це все-таки не 5,5. Тому округлити його в більшу сторону не можна. Але можна його округлити до 5,5, після чого вже законним стає округлення до 6. Але такий прийом не завжди спрацьовує, так що потрібно бути гранично обережним.

В принципі, вище вже було розглянуто приклад правильного округлення числа до десятих, тому зараз важливо відобразити тільки основний прініпе. По суті, все відбувається приблизно таким же чином. Якщо цифра, яка знаходиться на другій позиції після коми, знаходиться в межах 5-9, то вона взагалі прибирається, а що стоїть перед нею цифра збільшується на один. Якщо ж менше 5, то дана цифра забирається, а попередня залишається на своєму місці.

Наприклад, при 4,59 до 4,6 цифра "9" йде, а до п'ятірки додається одиниця. А ось при округленні 4,41 одиниця опускається, а четвірка залишається в незіменном вигляді.

Як використовують маркетологи невміння масового споживача округляти цифри?

Виявляється, велика частина людей на світі не має звички оцінити реальну вартість продукту, що активно експлуатують маркетологи. Всі знають слогани акцій типу "Купуйте всього за 9,99". Так, ми свідомо розуміємо, що це вже по суті десять доларів. Проте наш мозок влаштований так, що сприймає тільки першу цифру. Так що нехитра операція приведення числа в зручний вид має стати звичкою.

Дуже часто округлення дозволяє краще оцінити проміжні успіхи, що виражаються в чисельній формі. Наприклад, людина стала заробляти 550 доларів на місяць. Оптиміст скаже, що це майже 600, песиміст - що це трохи більше 500. Начебто різниця є, але мозку приємніше "бачити", що об'єкт досяг чогось більшого (або навпаки).

можна навести величезна кількість прикладів, коли вміння округляти виявляється неймовірно корисним. Важливо проявляти винахідливість і за можливості на завантажуватися непотрібною інформацією. Тоді успіх буде негайним.

§ 4. Округлення результатів

Обробка результатів вимірювань в лабораторіях проводяться на калькуляторах і ПК, і просто дивно, як магічно діє на багатьох студентів довгих ряд цифр після коми. «Так точніше» вважають вони. Однак легко бачити, наприклад, що запис a \u003d 2.8674523 ± 0.076 безглузда. При помилку 0.076 останні п'ять цифр числа не означає рівно нічого.

Якщо ми допускаємо помилку в сотих частках, то тисячним, тим більше десятитисячним часткам віри немає. Грамотна запис результату була б 2.87 ± 0.08. Завжди потрібно виробляти необхідні округлення, щоб не було помилкового враження про більшу, ніж це є насправді, точності результатів.

Правила округлення

1. Похибка вимірювання округлюють до першої значущої цифри, завжди збільшуючи її на одиницю.
   приклади:

   8.27 ≈ 9	0.237 ≈ 0.3
   0.0862 ≈ 0.09	0.00035 ≈ 0.0004
   857.3 ≈ 900	43.5 ≈ 50

2. Результати вимірювання округлюють з точністю «до похибки», тобто остання значуща цифра в результаті повинна знаходитися в тому ж розряді, що і в похибки.
   приклади:

   243.871 ± 0.026 ≈ 243.87 ± 0.03;
   243.871 ± 2.6 ≈ 244 ± 3;
   Тисячі п'ятьдесят-три ± 47 ≈ 1050 ± 50.

3. Округлення результату вимірювання досягається простим відкиданням цифр, якщо перша з відкинутих цифр менше 5.
   приклади:

   8.337 (округлити до десятих) ≈ 8.3;
   833.438 (округлити до цілих) ≈ 833;
   0.27375 (округлити до сотих) ≈ 0.27.

4. Якщо перша з відкинутих цифр більше або дорівнює 5, (а за нею одна або кілька цифр відмінні від нуля), то остання з залишаються цифр збільшується на одиницю.
   приклади:

   8.3351 (округлити дл сотих) ≈ 8.34;
   0.2510 (округлітьь до десятих) ≈ 0.3;
   271.515 (округлити до цілих) ≈ 272.

5. Якщо відкидається цифра дорівнює 5, а за нею немає значущих цифр (або стоять одні нулі), то останню що залишається цифру збільшують на одиницю, коли вона непарна, і залишають незмінною, коли вона парна.
   приклади:

   0.875 (округлити до сотих) ≈ 0.88;
   0.5450 (округлити до сотих) ≈ 0.54;
   275.500 (округлити до цілих) ≈ 276;
   276.500 (округлити до цілих) ≈ 276.

Примітка.

1. Значущими називають вірні цифри числа, крім нулів, що стоять попереду числа. Наприклад, 0,00807 в цьому числі є три значущі цифри: 8, нуль між 8 і 7 і 7; перші три нуля незначні.
   8.12 · 10 3 в цьому числі 3 значущих цифри.
2. Записи 15,2 і 15,200 різні. Запис 15,200 означає, що вірні соті і тисячні частки. У записі 15,2 вірні цілі і десяті частки.
3. Результати фізичних експериментів записують тільки значущими цифрами. Кому ставлять відразу після відмінної від нуля цифри, а число множать на десять у відповідному ступені. Нулі, що стоять на початку або кінці числа, як правило, не записують. Наприклад, числа 0,00435 і 234000 записують так: 4,35 & middot10 -3 і 2,34 × 10 5. Подібна запис спрощує обчислення, особливо в разі формул, зручних для логарифмування.

Завдання № 1. Округлення результатів вимірювань

При виконанні вимірювань важливо дотримуватися певних правил округлення і записи їх результатів в технічної документації, Так як при недотриманні цих правил можливі суттєві помилки в інтерпретації результатів вимірювань.

Правила запису чисел

1. Значущі цифри даного числа - все цифри від першої зліва, не дорівнює нулю, до останньої справа. При цьому нулі, які випливають з множника 10, не враховують.

Приклади.

а) Число12,0 має три значущі цифри.

б) Число30 має дві значущі цифри.

в) Число12010 8 має три значущі цифри.

г)0,51410 -3 має три значущі цифри.

д)0,0056 має дві значущі цифри.

2. Якщо необхідно вказати, що число є точним, після числа слід зазначати слово "точно" або останню значущу цифру друкують жирним шрифтом. Наприклад: 1 кВт / год \u003d 3600 Дж (точно) або 1 кВт / год \u003d 360 0 Дж .

3. Розрізняють записи наближених чисел за кількістю значущих цифр. Наприклад, розрізняють числа 2,4 і 2,40. Запис 2,4 означає, що вірні тільки цілі і десяті частки, справжнє значення числа може бути, наприклад, 2,43 і 2,38. Запис 2,40 означає, що вірні й соті частки: справжнє значення числа може бути 2,403 і 2,398, але не 2,41 і не 2,382. Запис 382 означає, що всі цифри вірні: якщо за останню цифру ще не певно, то число повинно бути записано 3,810 2. Якщо в числі 4720 вірні лише дві перші цифри, воно повинно бути записано у вигляді: 4710 2 або 4,710 3.

4. Число, для якого вказують допустиме відхилення, повинно мати останню значущу цифру того ж розряду, як і остання значуща цифра відхилення.

Приклади.

а) Правильно:17,0 + 0,2. неправильно:17 + 0,2 або17,00 + 0,2.

б) Правильно:12,13+ 0,17. неправильно:12,13+ 0,2.

в) Правильно:46,40+ 0,15. неправильно:46,4+ 0,15 або46,402+ 0,15.

5. Числові значення величини і її похибки (відхилення) доцільно записувати із зазначенням однієї і тієї ж одиниці величини. Наприклад: (80,555 + 0,002) кг.

6. Інтервали між числовими значеннями величин іноді доцільно записувати в текстовому вигляді, тоді прийменник "від" означає "", прийменник "до" - "", прийменник "згори" - "\u003e", прийменник "менш" - "<":

"dприймає значення від 60 до 100 "означає" 60 d100",

"dприймає значення понад 120 менше 150 "означає" 120<d< 150",

"dприймає значення від 30 до 50 "означає" 30<d50".

Правила округлення чисел

1. Округлення числа є відкидання значущих цифр праворуч до певного розряду з можливою зміною цифри цього розряду.

2. У разі якщо перша з відкинутих цифр (рахуючи зліва направо) менше 5, то останню зберігається цифру не міняють.

Приклад: Округлення числа12,23 до трьох значущих цифр дає12,2.

3. У разі якщо перша з відкинутих цифр (рахуючи зліва направо) дорівнює 5, то останню зберігається цифру збільшують на одиницю.

Приклад: Округлення числа0,145 до двох цифр дає0,15.

Примітка . У тих випадках, коли слід враховувати результати попередніх заокруглень, надходять у такий спосіб.

4. Якщо відкидається цифра отримана в результаті округлення в меншу сторону, то останню що залишилася цифру збільшують на одиницю (з переходом при необхідності в наступні розряди), інакше - навпаки. Це стосується і дрібних і цілих чисел.

Приклад: Округлення числа0,25 (Отриманого в результаті попереднього округлення числа0,252) дає0,3.

4. У разі якщо перша з відкинутих цифр (рахуючи зліва направо) більше 5, то останню зберігається цифру збільшують на одиницю.

Приклад: Округлення числа0,156 до двох значущих цифр дає0,16.

5. Округлення виконують відразу до бажаної кількості значущих цифр, а не по етапах.

Приклад: Округлення числа565,46 до трьох значущих цифр дає565.

6. Цілі числа округлюють за тими ж правилами, що і дробові.

Приклад: Округлення числа23456 до двох значущих цифр дає2310 3

Числове значення результату вимірювання повинна закінчуватися цифрою того ж розряду, що і значення похибки.

приклад:число235,732 + 0,15 має бути округлено до235,73 + 0,15, Але не до235,7 + 0,15.

7. Якщо перша з відкинутих цифр (рахуючи зліва направо) менше п'яти, то залишаються цифри не міняються.

приклад: 442,749+ 0,4 округляється до442,7+ 0,4.

8. Якщо перша з відкинутих цифр більше або дорівнює п'яти, то остання зберігається цифра збільшується на одиницю.

приклад:37,268 + 0,5 округляється до37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 має бути округлено до37,3 + 0,5.

9. Округлення слід виконувати відразу до бажаного числа значущих цифр, поетапне округлення може привести до помилок.

Приклад: Поетапне округлення результату вимірювання220,46+ 4 дає на першому етапі220,5+ 4 і на другому221+ 4, В той час як правильний результат округлення220+ 4.

10. Якщо похибка засобів вимірювання вказується за все з однією або двома значущими цифрами, а Розрахунковий значення похибки отримують з великим числом знаків, в остаточному значенні розрахованої похибки повинні бути залишені відповідно тільки перші одна або дві значущі цифри. При цьому, якщо отримане число починається з цифр 1 або 2, то відкидання другого знака призводить до дуже велику помилку (до 3050%), що є неприпустимим. Якщо ж отримане число починається з цифри 3 і більше, наприклад, з цифри 9, то збереження другого знака, тобто вказівка \u200b\u200bпохибки, наприклад, 0,94 замість 0,9, є дезінформацією, так як вихідні дані не забезпечують такої точності.

Виходячи з цього на практиці встановилося таке правило: якщо отримане число починається з значущої цифри, рівною або більшою 3, то в ньому зберігається лише вона одна; якщо ж воно починається зі значущих цифр, менших 3, тобто з цифр 1 і 2, то в ньому зберігають дві значущі цифри. Відповідно до цього правила встановлені і нормовані значення похибок засобів вимірювань: в числах 1,5 і 2,5% вказуються дві значущі цифри, але в числах 0,5; 4; 6% вказується лише одна значуща цифра.

приклад:На вольтметрі класу точності2,5 з межею вимірювань х До = 300 В був отриманий відлік вимірюваної напруги х \u003d267,5 В. У якому вигляді має бути записаний результат вимірювання в звіті?

Розрахунок похибки зручніше вести в наступному порядку: спочатку необхідно знайти абсолютну похибку, а потім - відносну. Абсолютна похибка  х =  0 х До / 100, для зведеної похибки вольтметра  0 \u003d 2,5% і меж вимірювання (допустимі межі) приладу х До \u003d 300 В:  х\u003d 2,5300 / 100 \u003d 7,5 В ~ 8 В; відносна похибка  \u003d  х100/х = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

Так як перша значуща цифра значення абсолютної похибки (7,5 В) більше трьох, то це значення має бути округлено за звичайними правилами округлення до 8 В, але в значенні відносної похибки (2,81%) перша значуща цифра менше 3, тому тут повинні бути збережені у відповіді два десяткових розряду і вказано  \u003d 2,8%. отримане значення х\u003d 267,5 В повинно бути округлено до того ж десяткового розряду, яким закінчується округлене значення абсолютної похибки, тобто до цілих одиниць вольт.

Таким чином, в остаточній відповіді повинно бути повідомлено: "Вимірювання вироблено з відносною похибкою  \u003d 2,8%. Обмірюване напруга Х= (268+ 8) У ".

При цьому більш наочно вказати межі інтервалу невизначеності вимірюваної величини у вигляді Х\u003d (260276) В або 260 ВX276 В.

У деяких випадках, точне число при діленні певної суми на конкретне число неможливо визначити в принципі. Наприклад, при розподілі 10 на 3, у нас виходить +3,3333333333 ... ..3, тобто, дане число неможливо використовувати для підрахунку конкретних предметів і в інших ситуаціях. Тоді дане число слід привести до певного розряду, наприклад, до цілого числа або до числа з десятковим розрядом. Якщо ми наведемо +3,3333333333 ... ..3 до цілого числа, то отримаємо 3, а приводячи +3,3333333333 ... ..3 до числа з десятковим розрядом, отримаємо 3,3.

Правила округлення

Що таке округлення? Це відкидання декількох цифр, які є останніми в ряду точного числа. Так, слідуючи нашим прикладом, ми відкинули всі останні цифри, щоб отримати ціле число (3) і відкинули цифри, залишивши тільки розряди десятків (3,3). Число можна округляти до сотих і тисячних, десятитисячних і інших чисел. Все залежить від того, наскільки точне число необхідно отримати. Наприклад, при виготовленні медичних препаратів, кількість кожного з інгредієнтів ліки береться з найбільшою точністю, оскільки навіть тисячна грама може привести до летального результату. Якщо ж необхідно підрахувати, яка успішність учнів в школі, то найчастіше використовується число з десятковим або з сотим розрядом.

Розглянемо інший приклад, в якому застосовуються правила округлення. Наприклад, є число 3,583333, яке необхідно округлити до тисячних - після округлення, за коми у нас повинно залишитися три цифри, тобто результатом стане число 3,583. Якщо ж це число округлити до десятих, то у нас вийде не 3,5, а 3,6, оскільки після «5» стоїть цифра «8», яка прирівнюється вже до «10» під час округлення. Таким чином, дотримуючись правил округлення чисел, необхідно знати, якщо цифри більше «5», то остання цифра, яку необхідно зберегти, буде збільшена на 1. При наявності цифри, меншою, ніж «5», остання зберігається цифра залишається незмінною. Такі правила округлення чисел застосовуються незалежно від того, до цілого числа або до десятків, сотих і т.д. необхідно округлити число.

У більшості випадків, при необхідності округлення числа, в якому остання цифра «5», цей процес виконується неправильно. Але існує ще й таке правило округлення, яке стосується саме таких випадків. Розглянемо на прикладі. Необхідно округлити число 3,25 до десятих. Застосовуючи правила округлення чисел, отримаємо результат 3,2. Тобто, якщо після «п'яти» немає цифри або стоїть нуль, то остання цифра залишається незмінною, але тільки за умови, що вона є парною - в нашому випадку «2» - це парна цифра. Якби нам необхідно було виконати округлення 3,35, то результатом би стало число 3,4. Оскільки, відповідно до правил округлення, при наявності непарної цифри перед «5», яку необхідно прибрати, непарна цифра збільшується на 1. Але тільки за умови, що після «5» немає значущих цифр. У багатьох випадках, можуть застосовуватися спрощені правила, згідно з якими, за наявності за останній зберігається цифрою значень цифр від 0 до 4, зберігається цифра не змінюється. При наявності інших цифр, остання цифра збільшується на 1.

Числа, з якими нам доводиться мати справу в реальному житті, бувають двох типів. Одні в точності передають справжню величину, інші - тільки приблизну. перші називають точними, Другі - наближеними.

У реальному житті найчастіше користуються наближеними числами замість точних, так як останні зазвичай не потрібні. Наприклад, наближені значення використовуються при вказівці таких величин як довжина або вага. У багатьох же випадках точне число знайти неможливо.

Правила округлення

Для отримання наближеного значення, отримане в результаті яких-небудь дій число потрібно округлити, тобто замінити його найближчим круглим числом.

Числа завжди округлюють до певного розряду. Натуральні числа округлюються до десятків, сотень, тисяч і т. Д. При округленні чисел до десятків, їх замінюють круглими числами, що складаються тільки з цілих десятків, у таких чисел в розряді одиниць стоять нулі. При округленні до сотень, числа замінюються на більш круглі, що складаються тільки з цілих сотень, тобто нулі стоять вже і в розряді одиниць, і в розряді десятків. І так далі.

Десяткові дроби можна округляти так само як і натуральні числа, тобто до десятків, сотень і т. Д. Але також їх можна округляти і до десятих, сотих, тисячних частин і т. Д. При округленні десяткових знаків розряди не заповнюються нулями, а просто відкидаються. В обох випадках округлення проводиться за певним правилом:

Якщо відкидається цифра більше або дорівнює 5, то попередню потрібно збільшити на одиницю, а якщо менше 5, то попередня цифра не змінюється.

Розглянемо кілька прикладів округлення чисел:

• Округлити 43152 до тисяч. Тут треба відкинути 152 одиниці, так як праворуч від розряду тисяч коштує цифра 1, то попередню цифру отставляем без змін. Наближене значення числа 43152, округлене до тисяч дорівнюватиме 43000.
• Округлити 43152 до сотень. Перша з відкидаються чисел 5, значить попередню цифру збільшуємо на одиницю: 43152 ≈ 43200.
• Округлити 43152 до десятків: 43152 ≈ 43150.
• Округлити 17,7438 до одиниць: 17,7438 ≈ 18.
• Округлити 17,7438 до десятих: 17,7438 ≈ 17,7.
• Округлити 17,7438 до сотих: 17,7438 ≈ 17,74.
• Округлити 17,7438 до тисячних: 17,7438 ≈ 17,744.

Знак ≈ називають знаком наближеної рівності, він читається - «приблизно дорівнює».

Якщо при округленні числа результат вийшов більше початкового значення, то отримане значення називається наближеним значенням з надлишком, Якщо менше - наближеним значенням з недоліком:

7928 ≈ 8000, число 8000 - наближене значенням з надлишком
5102 ≈ 5000, число 5000 - наближене значенням з недоліком