В даній статті розповідається, як привести дроби до спільного знаменника і як знайти найменший спільний знаменник. Наведено визначення, дане правило приведення дробів до спільного знаменника і розглянуті практичні приклади.

Що таке приведення дроби до спільного знаменника?

Звичайні дроби складаються з чисельника - верхньої частини, і знаменника - нижньої частини. Якщо дроби мають однаковий знаменник, кажуть, що вони приведені до спільного знаменника. Наприклад, дроби 11 14, 17 14, 9 14 мають однаковий знаменник 14. Іншими словами, вони приведені до спільного знаменника.

Якщо ж дробу мають різні знаменники, то їх завжди можна привести до спільного знаменника за допомогою нехитрих дій. Щоб зробити це, потрібно чисельник і знаменник помножити на певні додаткові множники.

Очевидно, що дроби 4 5 і 3 4 не наведено до спільного знаменника. Щоб це зробити, потрібно з використанням додаткових множників 5 і 4 привести їх до знаменника 20. Як саме це зробити? Помножимо чисельник і знаменник дробу 4 5 на 4, а чисельник і знаменник дробу 3 4 помножимо на 5. Замість дробів 4 5 і 3 4 отримаємо відповідно 16 20 і 15 20.

Зведення дробів до спільного знаменника

Зведення дробів до спільного знаменника - це множення числителей і знаменників дробів на такі множники, що в результаті виходять ідентичні дроби з однаковими знаменником.

Спільний знаменник: визначення, приклади

Що таке загальний знаменник?

Спільний знаменник

Спільний знаменник дробів - це будь-яке позитивне число, яке є загальним кратним всіх даних дробів.

Іншими словами, спільним знаменником якогось набору дробів буде таке натуральне число, Яке без залишку ділиться на всі знаменники цих дробів.

Ряд натуральних чисел нескінченний, і тому, згідно з визначенням, кожен набір звичайних дробів має безліч загальних знаменників. Інакше кажучи, існує нескінченно багато спільних кратних для всіх знаменників вихідного набору дробів.

Спільний знаменник для кількох дробів легко знайти, користуючись визначенням. Нехай є дроби 1 6 і 3 5. Спільним знаменником дробів буде будь-яке позитивне загальне кратне для чисел 6 і 5. Такими позитивними загальними кратними є числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 і так далі.

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Спільний знаменник

Можна ді дробу 1 3, 21 6, 5 12 привести до спільного знаменника, який дорівнює 150?

Щоб з'ясувати, чи так це, потрібно перевірити, чи є 150 загальним кратним для знаменників дробів, тобто для чисел 3, 6, 12. Іншими словами, число 150 має без залишку ділитися на 3, 6, 12. перевіримо:

150 ÷ \u200b\u200b3 \u003d 50, 150 ÷ \u200b\u200b6 \u003d 25, 150 ÷ \u200b\u200b12 \u003d 12, 5

Значить, 150 не є спільним знаменником зазначених дробів.

Найменший спільний знаменник

Найменше натуральне число з безлічі загальних знаменників якогось набору дробів називається найменшим спільним знаменником.

Найменший спільний знаменник

Найменший спільний знаменник дробів - це найменше число серед усіх загальних знаменників цих дробів.

Найменший спільний дільник даного набору чисел - це найменше спільне кратне (НОК). НОК всіх знаменників дробів є найменшим спільним знаменником цих дробів.

Як знайти найменший спільний знаменник? Його перебування зводиться до знаходження найменшого спільного кратного дробів. Звернемося до прикладу:

Приклад 2. Знайти найменший спільний знаменник

Потрібно знайти найменший спільний знаменник для дробів 1 10 і 127 28.

Шукаємо НОК чисел 10 і 28. Розкладемо їх на прості множники і отримаємо:

10 \u003d 2 · 5 28 \u003d 2 · 2 · 7 Н Про К (15, 28) \u003d 2 · 2 · 5 · 7 \u003d 140

Як привести дроби до найменшого спільного знаменника

Існує правило, яке пояснює, як привести дроби до спільного знаменника. Правило складається з трьох пунктів.

Правило приведення дробів до спільного знаменника

1. Знайти найменший спільний знаменник дробів.
2. Для кожного дробу знайти додатковий множник. Щоб знайти множник потрібно найменший спільний знаменник розділити на знаменник кожного дробу.
3. Помножити чисельник і знаменник на знайдений додатковий множник.

Розглянемо застосування цього правила на конкретному прикладі.

Приклад 3. Зведення дробів до спільного знаменника

Є дробу 3 14 і 5 18. Наведемо їх до найменшого спільного знаменника.

За правилом, спочатку знайдемо НОК знаменників дробів.

14 \u003d 2 · 7 18 \u003d 2 · 3 · 3 Н Про К (14, 18) \u003d 2 · 3 · 3 · 7 \u003d 126

Обчислюємо додаткові множники для кожного дробу. Для 3 14 додатковий множник знаходиться як 126 ÷ 14 \u003d 9, а для дробу 5 18 додатковий множник дорівнюватиме 126 ÷ 18 \u003d 7.

Множимо чисельник і знаменник дробів на додаткові множники і отримуємо:

3 · 9 14 · 9 \u003d 27 126, 5 · 7 18 · 7 \u003d 35 126.

Приведення кількох дробів до найменшого спільного знаменника

За розглянутому правилом до спільного знаменника можна наводити не тільки пари дробів, а й більшу їх кількість.

Наведемо ще один приклад.

Приклад 4. Зведення дробів до спільного знаменника

Привести дробу 3 2, 5 6, 3 8 і 17 18 до найменшого спільного знаменника.

Обчислимо НОК знаменників. Знаходимо НОК трьох і більшої кількості чисел:

Н Про К (2, 6) \u003d 6 Н Про К (6, 8) \u003d 24 Н Про К (24, 18) \u003d 72 Н Про К (2, 6, 8, 18) \u003d 72

Для 3 2 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 2 \u003d 36, для 5 6 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 6 \u003d 12, для 3 8 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 8 \u003d 9, нарешті, для 17 18 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 18 \u003d 4.

Множимо дроби на додаткові множники і переходимо до найменшого спільного знаменника:

3 2 × 36 \u003d 108 72 5 6 · 12 \u003d 60 72 3 8 · 9 \u003d 27 72 17 18 · 4 \u003d 68 72

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Матеріал цієї статті пояснює, як знайти найменший спільний знаменник і як привести дроби до спільного знаменника. Спочатку дано визначення загального знаменника дробів і найменшого спільного знаменника, а також показано, як знайти спільний знаменник дробів. Далі наведено правило приведення дробів до спільного знаменника і розглянуті приклади застосування цього правила. На закінчення розібрані приклади приведення трьох і більшої кількості дробів до спільного знаменника.

Навігація по сторінці.

Що називають приведенням дробів до спільного знаменника?

Тепер ми можемо сказати, що таке приведення дробів до спільного знаменника. Зведення дробів до спільного знаменника - це множення числителей і знаменників даних дробів на такі додаткові множники, що в результаті виходять дроби з однаковими знаменниками.

Спільний знаменник, визначення, приклади

Тепер прийшов час дати визначення спільного знаменника дробів.

Іншими словами, спільним знаменником деякого набору звичайних дробів є будь-яке натуральне число, яке ділиться на всі знаменники даних дробів.

З озвученого визначення випливає, що даний набір дробів має нескінченно багато спільних знаменників, так як існує безліч загальних кратних всіх знаменників вихідного набору дробів.

Визначення спільного знаменника дробів дозволяє знаходити спільні знаменники даних дробів. Нехай, наприклад, дані дроби 1/4 і 5/6, їх знаменники рівні 4 і 6 відповідно. Позитивними загальними кратними чисел 4 і 6 є числа 12, 24, 36, 48, ... Будь-яке з цих чисел є спільним знаменником дробів 1/4 і 5/6.

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення наступного прикладу.

Приклад.

Чи можна дроби 2/3, 23/6 і 7/12 привести до спільного знаменника 150?

Рішення.

Для відповіді на поставлене питання нам потрібно з'ясувати, чи є число 150 загальним кратним знаменників 3, 6 і 12. Для цього перевіримо, чи ділиться 150 остачі на кожне з цих чисел (при необхідності дивіться правила і приклади ділення натуральних чисел, а також правила і приклади ділення натуральних чисел із залишком): 150: 3 \u003d 50, 150: 6 \u003d 25, 150: 12 \u003d 12 (ост. 6).

Отже, 150 не ділиться без остачі на 12, отже, 150 не є загальним кратним чисел 3, 6 і 12. Отже, число 150 не може бути спільним знаменником вихідних дробів.

відповідь:

Не можна.

Найменший спільний знаменник, як його знайти?

У безлічі чисел, які є загальними знаменниками даних дробів, існує найменше натуральне число, яке називають найменшим спільним знаменником. Сформулюємо визначення найменшого спільного знаменника даних дробів.

Визначення.

Найменший спільний знаменник - це найменше число, з усіх загальних знаменників даних дробів.

Залишилося розібратися з питанням, як знайти найменший спільний дільник.

Так як є найменшим позитивним загальним дільником даного набору чисел, то НОК знаменників даних дробів є найменший спільний знаменник даних дробів.

Таким чином, знаходження найменшого спільного знаменника дробів зводиться до знаменників цих дробів. Розберемо рішення прикладу.

Приклад.

Знайдіть найменший спільний знаменник дробів 3/10 і 277/28.

Рішення.

Знаменники даних дробів рівні 10 і 28. Шуканий найменший спільний знаменник знаходиться як НОК чисел 10 і 28. У нашому випадку легко: так як 10 \u003d 2 · 5, а 28 \u003d 2 · 2 · 7, то НОК (15, 28) \u003d 2 · 2 · 5 · 7 \u003d 140.

відповідь:

140 .

Як привести дроби до спільного знаменника? Правило, приклади, рішення

Зазвичай звичайні дроби приводять до найменшого спільного знаменника. Зараз ми запишемо правило, яке пояснює, як привести дроби до найменшого спільного знаменника.

Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменника складається з трьох кроків:

• По-перше, знаходиться найменший спільний знаменник дробів.
• По-друге, для кожного дробу обчислюється додатковий множник, для чого найменший спільний знаменник ділиться на знаменник кожного дробу.
• По-третє, чисельник і знаменник кожного дробу множиться на її додатковий множник.

Застосуємо озвучене правило до вирішення такого прикладу.

Приклад.

Наведіть дроби 5/14 і 7/18 до найменшого спільного знаменника.

Рішення.

Виконаємо всі кроки алгоритму приведення дробів до найменшого спільного знаменника.

Спочатку знаходимо найменший спільний знаменник, який дорівнює найменшого спільного кратного чисел 14 і 18. Так як 14 \u003d 2 · 7 і 18 \u003d 2 · 3 · 3, то НОК (14, 18) \u003d 2 · 3 · 3 · 7 \u003d 126.

Тепер обчислюємо додаткові множники, за допомогою яких дробу 5/14 і 7/18 будуть приведені до знаменника 126. Для дробу 5/14 додатковий множник дорівнює 126: 14 \u003d 9, а для дробу 7/18 додатковий множник дорівнює 126: 18 \u003d 7.

Залишилося помножити числители і знаменники дробів 5/14 і 7/18 на додаткові множники 9 і 7 відповідно. маємо і .

Отже, приведення дробів 5/14 і 7/18 до найменшого спільного знаменника завершено. В результаті вийшли дробу 45/126 та 49/126.

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника в параграф «Додавання і віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її настільки велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай у нас є дві дробу з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоб знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яке, нагадаю, звучить наступним чином:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на одне і те ж число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються - цей процес називається приведенням до спільного знаменника. А шукані числа, «вирівнюють» знаменники, називаються додатковими множниками.

Для чого взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

1. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками. По-іншому цю операцію ніяк не виконати;
2. Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує цю задачу;
3. Рішення задач на частки і відсотки. Процентні співвідношення є, по суті, звичайними виразами, які містять дроби.

Є багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них - у порядку зростання складності і, в певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і надійний спосіб, Який гарантовано вирівнює знаменники. Будемо діяти «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другу - на знаменник першої. В результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

В якості додаткових множників розглянемо знаменники сусідніх дробів. отримаємо:

Так, ось так все просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом - так ви застрахуєте себе від безлічі помилок і гарантовано отримаєте результат.

Єдиний недолік даного методу - доводиться багато вважати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Така розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, застосовується він досить рідко. Метод полягає в наступному:

1. Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один з них (той, який більше), ділиться на інший.
2. Число, отримане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
3. При цьому дріб з великим знаменником взагалі не треба ні на що множити - в цьому і полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 \u003d 4; 72: 12 \u003d 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод загальних множників. маємо:

Зауважимо, що друга дріб взагалі ніде ні на що не множилася. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень в два рази!

До речі, дробу в цьому прикладі я взяв не випадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими ж, але роботи буде набагато більше.

В цьому і полягає сила методу загальних дільників, Але, повторюся, застосовувати його можна лише в тому випадку, коли один з знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Метод найменшого спільного кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми по суті намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен з знаменників. Потім приводимо до цього числа знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше з них зовсім не обов'язково буде дорівнювати прямому добутку знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 і 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 \u003d 3; 24: 12 \u003d 2. Це число набагато менше твори 8 · 12 \u003d 96.

найменше число, Яке ділиться на кожен з знаменників, називається їх найменшим спільним кратним (НОК).

Позначення: найменше спільне кратне чисел a і b позначається НОК (a; b). Наприклад, НОК (16; 24) \u003d 48; НОК (8; 12) \u003d 24.

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 \u003d 117 · 2; 351 \u003d 117 · 3. Множники 2 і 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 - загальний. Тому НОК (234; 351) \u003d 117 · 2 · 3 \u003d 702.

Аналогічно, 15 \u003d 5 · 3; 20 \u003d 5 · 4. Множники 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 - загальний. Тому НОК (15; 20) \u003d 5 · 3 · 4 \u003d 60.

Тепер наведемо дроби до загальних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

1. Виявивши однакові множники, ми відразу вийшли на найменше спільне кратне, що, взагалі кажучи, є нетривіальним завданням;
2. З отриманого розкладу можна дізнатися, яких множників «не вистачає» кожної з дробів. Наприклад, 234 · 3 \u003d 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого спільного кратного, спробуйте обчислити ці ж приклади методом «хрест-навхрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Не думайте, що таких складних дробів в справжніх прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання - не межа!

Єдина проблема - як знайти цей самий НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але в цілому це складна обчислювальна задача, яка потребує окремого розгляду. Тут ми не будемо цього торкатися.

Найменшим спільним знаменником (НСЗ) даних нескоротних дробів є найменше спільне кратне (НОК) знаменників цих дробів. ( см. тему «Знаходження найменшого спільного кратного»:

Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба: 1) знайти найменше спільне кратне знаменників даних дробів, воно і буде найменшим спільним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, для чого ділити новий знаменник на знаменник кожного дробу. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на її додатковий множник.

Приклади. Навести такі дроби до найменшого спільного знаменника.

Знаходимо найменше спільне кратне знаменників: НОК (5; 4) \u003d 20, так як 20 - найменше число, яке ділиться і на 5 і на 4. Знаходимо для 1-й дробу додатковий множник 4 (20 : 5 \u003d 4). Для 2-й дробу додатковий множник дорівнює 5 (20 : 4 \u003d 5). Множимо чисельник і знаменник 1-й дробу на 4, а чисельник і знаменник 2-й дробу на 5. Ми навели дані дроби до найменшого спільного знаменника ( 20 ).

Найменший спільний знаменник цих дробів - число 8, так як 8 ділиться на 4 і на саме себе. Додаткового множника до 1-й дріб не може бути (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), до 2-ї дробу додатковий множник дорівнює 2 (8 : 4 \u003d 2). Множимо чисельник і знаменник 2-й дробу на 2. Ми навели дані дроби до найменшого спільного знаменника ( 8 ).

Дані дробу не є нескоротних.

Скоротимо 1-ю дріб на 4, а 2-ю дріб скоротимо на 2. ( см. приклади на скорочення звичайних дробів: Карта сайта → 5.4.2. Приклади скорочення звичайних дробів). Знаходимо НОК (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 \u003d 80. Додатковий множник для 1-й дробу дорівнює 5 (80 : 16 \u003d 5). Додатковий множник для 2-й дробу дорівнює 4 (80 : 20 \u003d 4). Множимо чисельник і знаменник 1-й дробу на 5, а чисельник і знаменник 2-й дробу на 4. Ми навели дані дроби до найменшого спільного знаменника ( 80 ).

Знаходимо найменший спільний знаменник НСЗ (5 ; 6 і 15) \u003d НОК (5 ; 6 і 15) \u003d 30. Додатковий множник до 1-й дробу дорівнює 6 (30 : 5 \u003d 6), додатковий множник до 2-ї дробу дорівнює 5 (30 : 6 \u003d 5), додатковий множник до 3-ої дробу дорівнює 2 (30 : 15 \u003d 2). Множимо чисельник і знаменник 1-й дробу на 6, чисельник і знаменник 2-й дробу на 5, чисельник і знаменник 3-ої дробу на 2. Ми навели дані дроби до найменшого спільного знаменника ( 30 ).