Ko'phadlarni ko'paytmalarga ajratishga 8 ta misol keltirilgan. Ularda kvadrat va bikvadrat tenglamalarni yechish misollari, rekursiv ko‘phadlarga misollar, uchinchi va to‘rtinchi darajali ko‘phadlarning butun ildizlarini topish misollari keltirilgan.

1. Kvadrat tenglama yechimiga misollar

1.1-misol

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Yechim

X chiqarib oling 2 qavslar uchun:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Tenglama ildizlari:
, .

.

Javob

1.2-misol

Uchinchi darajali polinomni koeffitsientga ajratish:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Yechim

Qavsdan x ni chiqaramiz:
.
X kvadrat tenglamani yechamiz 2 + 6 x + 9 = 0:
Uning diskriminanti.
Diskriminant nolga teng bo'lgani uchun tenglamaning ildizlari karrali: ;
.

Bu erdan biz ko'phadning omillarga bo'linishini olamiz:
.

Javob

1.3-misol

Beshinchi darajali ko‘phadni ko‘paytiruvchisi:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Yechim

X chiqarib oling 3 qavslar uchun:
.
X kvadrat tenglamani yechamiz 2 - 2 x + 10 = 0.
Uning diskriminanti.
Diskriminant noldan kichik bo'lgani uchun tenglamaning ildizlari murakkab: ;
, .

Polinomni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega:
.

Agar biz haqiqiy koeffitsientlar bilan faktoringga qiziqsak, unda:
.

Javob

Formulalar yordamida polinomlarni faktoringga ajratishga misollar

Bikvadrat polinomlarga misollar

2.1-misol

Bikvadrat polinomni koeffitsientlarga ajrating:
x 4 + x 2 - 20.

Yechim

Formulalarni qo'llang:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Javob

2.2-misol

Bikvadratga keltiruvchi ko‘phadni ko‘paytiruvchisi:
x 8 + x 4 + 1.

Yechim

Formulalarni qo'llang:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Javob

Rekursiv ko'phadli 2.3-misol

Rekursiv ko'phadni faktorlarga ajratish:
.

Yechim

Rekursiv polinom toq darajaga ega. Shuning uchun uning ildizi x = - 1 . Ko'phadni x ga bo'lamiz - (-1) = x + 1. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
.
Biz almashtirishni amalga oshiramiz:
, ;
;


;
.

Javob

Butun sonli ko‘pnomlilarni koeffitsientga ajratishga misollar

3.1-misol

Polinomni koeffitsientga ajratish:
.

Yechim

Faraz qilaylik, tenglama

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Shunday qilib, biz uchta ildizni topdik:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Asl ko'phad uchinchi darajali bo'lgani uchun u uchta ildizdan ko'p bo'lmaydi. Biz uchta ildizni topganimiz uchun ular oddiy. Keyin
.

Javob

3.2-misol

Polinomni koeffitsientga ajratish:
.

Yechim

Faraz qilaylik, tenglama

kamida bitta butun son ildiziga ega. Keyin u sonning bo'luvchisi bo'ladi 2 (x bo'lmagan a'zo). Ya'ni, butun ildiz raqamlardan biri bo'lishi mumkin:
-2, -1, 1, 2 .
Ushbu qiymatlarni birma-bir almashtiring:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Agar bu tenglama butun son ildiziga ega deb faraz qilsak, u sonning bo'luvchisidir. 2 (x bo'lmagan a'zo). Ya'ni, butun ildiz raqamlardan biri bo'lishi mumkin:
1, 2, -1, -2 .
X = o'rniga qo'ying -1 :
.

Shunday qilib, biz boshqa x ildizini topdik 2 = -1 . Oldingi holatda bo'lgani kabi, ko'phadni ga bo'lish mumkin edi, lekin biz atamalarni guruhlaymiz:
.

x tenglamasidan beri 2 + 2 = 0 haqiqiy ildizlarga ega bo'lmasa, ko'phadni ko'paytiruvchi shaklga ega bo'ladi.

Ochiq darsni ishlab chiqish

8-sinfda algebra

mavzusida: “Kvadrat trinomial. Kvadrat trinomning omillarga parchalanishi.

Qarag‘anda shahridagi 16-son o‘rta maktab KDU matematika o‘qituvchisi

Bekenova G.M.

Qarag'anda 2015 yil

"Matematikani kuzatish orqali o'rganib bo'lmaydi".

Larri Niven - matematika professori

Dars mavzusi:

Kvadrat trinomial.

Kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratish.

Dars maqsadlari:

1. Sinfdagi barcha o‘quvchilardan kvadrat uch a’zoni ko‘paytiruvchi qismlarga ajratish bo‘yicha bilimlarni muvaffaqiyatli ishlab chiqish va qo‘llashga erishish.

2. Quyidagilarni rag'batlantirish: a) o'z-o'zini nazorat qilish va o'z-o'zini o'rganishni rivojlantirish;

b) interfaol doskadan foydalanish qobiliyati;

v) matematik savodxonlikni, aniqlikni rivojlantirish.

3. O`z fikrini barkamol, lo`nda ifoda eta olish, sinfdoshlar nuqtai nazariga bag`rikenglik, erishilgan natijalardan qoniqish olish qobiliyatini tarbiyalash.

Dars turi: tabaqalashtirilgan va individual yondashuvga ega, rivojlantiruvchi va ilg'or ta'lim elementlari bilan qo'shma dars.

Dars joyi: ushbu mavzu bo'yicha uchinchi dars (asosiy), birinchi ikkita talaba kvadrat uch a'zoning ta'rifini o'rgandi, uning ildizlarini qanday topishni o'rgandi, kvadrat uch a'zoni faktorlarga ajratish algoritmi bilan tanishdi va bu kelajakda yordam beradi. tenglamalarni yechish, kasrlarni qisqartirish, algebraik ifodalarning transformatsiyasi.

Darsning tuzilishi:

1 Talabalarga differentsial yondashuv bilan bilimlarni yangilash.

2 Nazorat - ilgari olingan bilimlarni o'z-o'zini tekshirish.

3 Yangi materialning taqdimoti qisman qidiruv usuli hisoblanadi.

4 O'rganilgan, individual differensial yondashuvning birlamchi konsolidatsiyasi.

5 Tushunish, bilimlarni umumlashtirish.

6 Muammoli ta'lim orqali uy vazifasini belgilash.

Uskunalar: interaktiv doska, oddiy taxta, topshiriq kartalari, Algebra 8 darsligi, uglerod qog'ozi va toza varaqlar, fiziognostik belgilar.

Darslar davomida

Tashkiliy vaqt (1 daqiqa).

1. Talabalar bilan salomlashish; darsga tayyorligini tekshirish.

2. Dars maqsadini bildirish.

men bosqich.

“Takrorlash - o'rganishning onasi."

1. Uy vazifasini tekshirish. No 476 (b, d), No 474, 475-moddalar

2. Shaxsiy ish kartalar bo'yicha (4 kishi) (uy vazifasini tekshirish paytida) (5 daqiqa)

II bosqich.

"Ishon lekin tekshir"

O'z-o'zini nazorat qilish bilan test ishi.

O'z-o'zini tekshirish bilan sinov ishi (uglerod qog'ozi orqali).

I variant m II variant

1) 2)

2. Kvadrat uch a’zoni ko‘paytmalarga ajrating:

Javoblar

ishni sinab ko'rish uchun

"Ishon lekin tekshir."

1. Kvadrat uchburchakning ildizlarini toping:

I variant II variant nt

2. Kvadrat uch a’zoni ko‘paytmalarga ajrating:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

E'tiborga olish kerak bo'lgan bir nechta aniq javoblar.

Talabalar uchun savol:

Kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratishni qayerda qo'llash mumkin deb o'ylaysiz?

To'g'ri: tenglamalarni yechishda,

kasrlarni kamaytirishda,

algebraik ifodalarni o'zgartirishda.

III bosqich

” Malaka va mehnat hamma narsani maydalaydi ”(10 daqiqa)

1. Kasrlarni qisqartirishda kvadrat uch alamli koeffitsientni qo'llashni ko'rib chiqing. Talabalarning doskadagi ishi.

Kasrni kamaytiring:

2. Endi esa algebraik ifodalarni o'zgartirishda kvadrat uch alamli koeffitsientni qo'llashni ko'rib chiqamiz.

Darslik. Algebra 8. 126-bet № 570 (b)

Endi kvadrat trinomialning faktorizatsiyasini qanday qo'llaganingizni ko'rsating.

IV bosqich

— Dazmol qiziganda ur!

Mustaqil ish (13 daqiqa)

I variant I I variant

Kasrni kamaytiring:

5. Men buni tushundim.

6. Endi men ……

7. Men buni his qildim....

8. Men sotib oldim….

9. Men o'rgandim......

10. Men tushundim………

11. Men qila oldim….

12. Men harakat qilaman……

13. Men hayron qoldim....

14. Menga hayot uchun dars berdi...

15. Men ... xohlardim.

Uy vazifasi haqida ma'lumot: Uy vazifangizni keyingi darsga olib keling mustaqil ish bir hafta oldin olingan.

Uyda mustaqil ish.

I variant I I variant

№ 560 (a, c) № 560 (b, d)

№ 564 (a, c) № 564 (b, d)

№ 566 (a) № 566 (b)

№ 569 (a) № 569 (b)

№ 571 (a, c) № 571 (b, d)

Dars tugadi.

Kvadrat trinomlarning faktorizatsiyasi har bir kishi ertami-kechmi duch keladigan maktab topshiriqlaridan biridir. Buni qanday qilish kerak? Kvadrat trinomni koeffitsientga ajratish formulasi qanday? Keling, buni misollar bilan bosqichma-bosqich ko'rib chiqaylik.

Umumiy formula

Kvadrat trinomlarni koeffitsientga ajratish yechish orqali amalga oshiriladi kvadrat tenglama. Bu oddiy vazifa bo'lib, uni bir necha usullar bilan hal qilish mumkin - diskriminantni topish, Vieta teoremasidan foydalangan holda, uni hal qilishning grafik usuli ham mavjud. Birinchi ikkita usul o'rta maktabda o'rganiladi.

Umumiy formula quyidagicha ko'rinadi:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Vazifani bajarish algoritmi

Kvadrat trinomlarni faktorlarga ajratish uchun siz Wit teoremasini bilishingiz, qo'lda yechish dasturiga ega bo'lishingiz, yechimni grafik tarzda topa olishingiz yoki diskriminant formulasi orqali ikkinchi darajali tenglamaning ildizlarini izlashingiz kerak. Agar kvadrat uchlik berilgan bo'lsa va uni faktorlarga ajratish kerak bo'lsa, harakatlar algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1) Tenglash original ifoda tenglamani olish uchun nolga.

2) Shu kabi shartlarni keltiring (agar kerak bo'lsa).

3) Ma'lum bo'lgan har qanday usul bilan ildizlarni toping. Agar ildizlarning butun va kichik sonlar ekanligi oldindan ma'lum bo'lsa, grafik usul eng yaxshi qo'llaniladi. Shuni esda tutish kerakki, ildizlar soni tenglamaning maksimal darajasiga teng, ya'ni kvadrat tenglama ikkita ildizga ega.

4) o'rnini bosuvchi qiymat X ifodaga (1).

5) Kvadrat uch a’zolarning ko‘paytmalarga bo‘linishini yozing.

Misollar

Amaliyot, nihoyat, bu vazifa qanday bajarilganligini tushunishga imkon beradi. Misollar kvadrat trinomning faktorizatsiyasini ko'rsatadi:

ifodani kengaytirishingiz kerak:

Keling, algoritmimizdan foydalanamiz:

1) x 2 -17x+32=0

2) o'xshash atamalar qisqartiriladi

3) Vieta formulasiga ko'ra, ushbu misol uchun ildizlarni topish qiyin, shuning uchun diskriminant uchun iborani ishlatish yaxshiroqdir:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Parchalanish uchun asosiy formulada topilgan ildizlarni almashtiring:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Keyin javob quyidagicha bo'ladi:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Diskriminant tomonidan topilgan yechimlar Vyeta formulalariga mos kelishini tekshiramiz:

14,845 . 2,155=32

Bu ildizlar uchun Vyeta teoremasi qo'llaniladi, ular to'g'ri topildi, ya'ni biz olingan faktorizatsiya ham to'g'ri.

Xuddi shunday, biz 12x 2 + 7x-6 ni kengaytiramiz.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Oldingi holatda, yechimlar butun son bo'lmagan, ammo sizning oldingizda kalkulyator yordamida osongina topiladigan haqiqiy raqamlar edi. Endi ko'proq o'ylab ko'ring murakkab misol, unda ildizlar murakkab bo'ladi: x 2 + 4x + 9 ni faktorlarga ajrating. Vieta formulasiga ko'ra, ildizlarni topib bo'lmaydi, diskriminant esa salbiy. Ildizlar murakkab tekislikda bo'ladi.

D=-20

Shunga asoslanib, bizni qiziqtirgan ildizlarni olamiz -4 + 2i * 5 1/2 va -4-2i * 5 1/2, chunki (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Ildizlarni umumiy formulaga almashtirish orqali kerakli kengayishni olamiz.

Yana bir misol: 23x 2 -14x + 7 ifodasini faktorlarga ajratish kerak.

Bizda tenglama bor 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Demak, ildizlar 14+21,166i va 14-21,166i. Javob quyidagicha bo'ladi:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Keling, diskriminantning yordamisiz hal qilinishi mumkin bo'lgan misol keltiramiz.

X 2 -32x + 255 kvadrat tenglamani parchalash zarur bo'lsin. Shubhasiz, u diskriminant tomonidan ham hal qilinishi mumkin, ammo bu holda ildizlarni topish tezroq bo'ladi.

x 1 =15

x2=17

anglatadi x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Bu darsda biz kvadrat uch a'zolarni chiziqli ko'paytmalarga ajratishni o'rganamiz. Buning uchun Vyeta teoremasini va uning teskarisini esga olish kerak. Ushbu ko'nikma bizga kvadrat trinomlarni chiziqli omillarga tez va qulay tarzda ajratishga yordam beradi, shuningdek, ifodalardan tashkil topgan kasrlarni qisqartirishni soddalashtiradi.

Shunday qilib, kvadrat tenglamaga qaytib, bu erda.

Chap tomonda joylashgan narsa kvadrat trinomial deb ataladi.

Teorema to'g'ri: Agar kvadrat trinomning ildizlari bo'lsa, u holda o'ziga xoslik to'g'ri bo'ladi

Etakchi koeffitsient qayerda, tenglamaning ildizlari.

Shunday qilib, bizda kvadrat tenglama - kvadrat uch a'zo bor, bu erda kvadrat tenglamaning ildizlari kvadrat uch a'zoning ildizlari deb ham ataladi. Shuning uchun, agar bizda kvadrat trinomning ildizlari bo'lsa, u holda bu trinomiya chiziqli omillarga ajraladi.

Isbot:

Bu haqiqatni isbotlash biz oldingi darslarda ko'rib chiqqan Vyeta teoremasi yordamida amalga oshiriladi.

Keling, Vyeta teoremasi bizga nimani aytishini eslaylik:

Kvadrat trinomialning ildizlari bo'lsa, u holda.

Bu teorema quyidagi tasdiqni nazarda tutadi.

Ko'ramizki, Vieta teoremasiga ko'ra, ya'ni ushbu qiymatlarni yuqoridagi formulaga almashtirsak, biz quyidagi ifodani olamiz.

Q.E.D.

Eslatib o'tamiz, agar kvadrat uch a'zoning ildizlari bo'lsa, dekompozitsiya o'rinli degan teoremani isbotladik.

Endi Viet teoremasidan foydalanib, ildizlarini tanlagan kvadrat tenglama misolini eslaylik. Bu faktdan isbotlangan teorema tufayli quyidagi tenglikni olishimiz mumkin:

Endi qavslarni kengaytirish orqali ushbu faktning to'g'riligini tekshiramiz:

Ko'rib turibmizki, biz to'g'ri ko'paytirdik va har qanday trinomiya, agar uning ildizlari bo'lsa, bu teorema bo'yicha formula bo'yicha chiziqli ko'rsatkichlarga ko'paytirilishi mumkin.

Biroq, keling, har qanday tenglama uchun bunday faktorizatsiya mumkinmi yoki yo'qligini tekshirib ko'raylik:

Masalan, tenglamani olaylik. Birinchidan, diskriminantning belgisini tekshiramiz

Va biz eslaymizki, biz o'rgangan teoremani bajarish uchun D 0 dan katta bo'lishi kerak, shuning uchun bu holda o'rganilgan teorema bo'yicha faktoring mumkin emas.

Shuning uchun biz shakllantiramiz yangi teorema: agar kvadrat trinomning ildizlari bo'lmasa, uni chiziqli omillarga ajratib bo'lmaydi.

Shunday qilib, biz Vyeta teoremasini, kvadrat trinomialni chiziqli omillarga ajratish imkoniyatini ko'rib chiqdik va endi biz bir nechta masalalarni hal qilamiz.

№1 vazifa

Ushbu guruhda biz muammoni qo'yilgan muammoga teskari hal qilamiz. Bizda tenglama bor edi va biz omillarga ajraladigan uning ildizlarini topdik. Bu erda biz buning aksini qilamiz. Aytaylik, kvadrat tenglamaning ildizlari bor

Teskari masala: kvadrat tenglama yozing, shunda uning ildizlari bo'ladi.

Ushbu muammoni hal qilishning 2 yo'li mavjud.

Chunki tenglamaning ildizlari ildizlari sonlar berilgan kvadrat tenglamadir. Endi qavslarni ochamiz va tekshiramiz:

Bu biz boshqa ildizlarga ega bo'lmagan berilgan ildizlari bilan kvadrat tenglamani yaratishning birinchi usuli edi, chunki har qanday kvadrat tenglamaning ko'pi bilan ikkita ildizi bor.

Bu usul teskari Vyeta teoremasidan foydalanishni o'z ichiga oladi.

Agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular shartni qondiradi.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun , , ya'ni bu holda, va.

Shunday qilib, biz berilgan ildizlarga ega bo'lgan kvadrat tenglamani yaratdik.

Vazifa №2

Fraksiyani kamaytirishingiz kerak.

Bizda hisoblagichda uch a’zo, maxrajda esa uch a’zo bor va uch a’zolar koeffitsientlarga ajratilishi yoki bo‘lmasligi mumkin. Agar hisoblagich ham, maxraj ham koeffitsientlarga ajratilsa, ular orasida kamaytirilishi mumkin bo'lgan teng ko'rsatkichlar bo'lishi mumkin.

Avvalo, numeratorni faktorlarga ajratish kerak.

Birinchidan, siz ushbu tenglamani faktorlarga ajratish mumkinligini tekshirishingiz kerak, diskriminantni toping. Chunki , u holda belgisi ko'paytmaga bog'liq ( 0 dan kichik bo'lishi kerak), bu misolda , ya'ni berilgan tenglamaning ildizlari bor.

Yechish uchun Vieta teoremasidan foydalanamiz:

Bunday holda, biz ildizlar bilan shug'ullanayotganimiz sababli, oddiygina ildizlarni olish juda qiyin bo'ladi. Lekin koeffitsientlar muvozanatlashganligini ko'ramiz, ya'ni deb faraz qilsak va bu qiymatni tenglamaga almashtirsak, quyidagi sistema olinadi: ya'ni 5-5=0. Shunday qilib, biz ushbu kvadrat tenglamaning ildizlaridan birini tanladik.

Biz ikkinchi ildizni tenglamalar tizimiga allaqachon ma'lum bo'lgan narsani qo'yish orqali qidiramiz, masalan, , ya'ni. .

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ikkala ildizini topdik va ularni koeffitsient qilish uchun ularning qiymatlarini dastlabki tenglamaga almashtirishimiz mumkin:

Asl muammoni eslang, biz kasrni kamaytirishimiz kerak edi.

Keling, numerator o'rniga muammoni hal qilishga harakat qilaylik.

Shuni unutmaslik kerakki, bu holda maxraj 0 ga teng bo'lishi mumkin emas, ya'ni.

Agar bu shartlar bajarilsa, biz asl kasrni shaklga tushirdik.

Vazifa №3 (parametrli vazifa)

Parametrning qaysi qiymatlarida kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi bo'ladi

Agar bu tenglamaning ildizlari mavjud bo'lsa, u holda , savol qachon.