5x (x - 4) \u003d 0

5 x \u003d 0 yoki X - 4 \u003d 0

x \u003d ± √ 25/4

Birinchi mamlakat tenglamalarini hal qilishni o'rganib, men boshqalar bilan, xususan, kvadrat deb nomlangan ikkinchi darajali tenglamalar bilan ishlashni xohlayman.

Kvadrat tenglamalari - bu tipdagi tenglamalar. Vazir x ni, raqamlar esa n nolga teng bo'ladi.

Agar bitta yoki boshqa koeffitsient (C yoki b) kvadrat tenglamada nol bo'lsa, unda ushbu tenglama to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaga tegishli bo'ladi.

Agar talabalar hali ham birinchi darajali tenglamalarni qanday hal qilishni bilishgan bo'lsa, to'liq kvadrat tenglamani qanday hal qilish kerak? To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarini ko'rib chiqing turli xil turlar va ularni hal qilishning oddiy usullari.

a) Agar C koeffitsienti 0 ga teng bo'lsa, B koeffitsi nolga teng bo'lmaydi, keyin ah, + bx + 0 \u003d 0 shakl tenglamasiga kamayadi.

Bunday tenglamani hal qilish uchun siz uni ko'paytirgichlarga ajratish uchun uni ko'paytirgichlarga ajratish uchun ajratish uchun siz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini hal qilish uchun formulani botiradi.

Masalan, 5x ² - 20x \u003d 0. An'anaviy matematik operatsiyani amalga oshirayotganda omillarning chap qismini belgilab bo'lmaydi: qavslar uchun umumiy omillar bitimi

5x (x - 4) \u003d 0

Biz asarlar nolga teng bo'lgan holatidan foydalanamiz.

5 x \u003d 0 yoki X - 4 \u003d 0

Javob: Birinchi ildiz - 0; Ikkinchi ildiz 4.

b) agar b \u003d 0 bo'lsa, erkin atama nolga teng emas, keyin tenglama tenglama, bu tenglamalarni ikki yo'nalishda hal qiladi: a) ko'paytirgichlarning chap tomonida polinomlial tenglamani buzish; b) arifmetik kvadrat ildizining xususiyatlaridan foydalanish. Bunday tenglama usullardan biri bilan hal qilinadi, masalan:

x \u003d ± √ 25/4

x \u003d ± 5/2. Javob bo'ladi: birinchi ildiz 5/2; Ikkinchi ildiz teng bo'ladi - 5/2.

c) agar b 0 va C ga teng bo'lsa, u 0, + 0 + 0 \u003d 0 shakl tenglamasiga qisqartirildi. Ushbu tenglamada x 0 bo'ladi.

Ko'rinib turibdiki, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari ikki dan oshmasligi kerak.

Kvadrat tenglamalari 8-sinfda o'rganilmoqda, shuning uchun bu erda hech qanday qiyin narsa yo'q. Ularni hal qilish qobiliyati mutlaqo zarur.

Kvadrat tenglamasi - 2 + bx + c \u003d 0 - bu erda A, B va C koeffitsientlari o'zboshimchalik bilan sonlardir va a ≠ 0.

Qarorning aniq usullarini o'rganishdan oldin, biz barcha maydon tenglamalarini uchta sinfga bo'lish mumkin:

1. Ildizi yo'q;
2. Aniq bitta ildizga ega bo'ling;
3. Ikki xil ildizlarga ega.

Bu lineardan kvadrat tenglamalari o'rtasidagi muhim farq, u erda ildiz har doim mavjud va o'ziga xosdir. Qancha ildizlar tenglama bor? Buning uchun ajoyib narsa bor - kamsinachi.

Kamsinachi

Mayroq tenglamasi 2 + bx + c \u003d 0 ni kiriting. Keyin kamsituvchi - bu faqat d \u003d b 2 - 4AC raqami.

Ushbu formulalar yurak tomonidan tanilishi kerak. U qayerda davom etadi - endi bu muhim emas. Boshqalar muhim: kamsituvchi belgisi qancha ildizi kvadrat tenglama borligini aniqlash mumkin. Aynan:

1. Agar D< 0, корней нет;
2. Agar d \u003d 0 bo'lsa, aniq bir ildiz bor;
3. Agar D\u003e 0 bo'lsa, ikkita ildiz bo'ladi.

Eslatib o'tamiz: kamsituvchi biron bir sababga ko'ra, kamsituvchi ildizlarning sonini bildiradi, ba'zi sabablarga ko'ra ko'pchilik e'tiborga olinadi. Misollarni ko'rib chiqing - va siz hamma narsani tushunasiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamalar qancha

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Biz birinchi tenglama uchun koeffitsientlarni rad etamiz va kamsituvchilarni topamiz:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 - 44 - 48 \u003d 16

Shunday qilib, kamsituvchi ijobiy, shuning uchun tenglama ikki xil ildizga ega. Shunga o'xshab, ikkinchi tenglamani qismlarga ajrating:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 5 \u003d 140 \u003d -131.

Kamsituvchi salbiy, ildizlari yo'q. So'nggi tenglama qoladi:
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 - 36 \u003d 36 \u003d 0.

Kamsituvchi nolga teng - ildiz bitta bo'ladi.

Shuni esda tutingki, har bir tenglama uchun koeffitsientlar zaryadsizlangan. Ha, bu uzoq vaqt, ha, bu zerikarli - lekin siz koeffitsientlarni chalkashtirib yuborasiz va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaysiz. O'zingizni tanlang: Tezlik yoki sifat.

Aytgancha, agar siz "qo'lni to'ldirsangiz", birozdan keyin barcha koeffitsientlarni yozishimiz shart emas. Bunday operatsiyalar sizning boshingizda bajariladi. Ko'pchilik 50-70 ta tenglamalardan keyin bu erda buni qila boshlaydi - umuman olganda, unchalik emas.

Ildizlar maydoni tenglama

Biz endi qarorga murojaat qilamiz. Agar kamsituvchi D\u003e 0 bo'lsa, ildizlarni formulalar bilan topish mumkin:

Kvadrat tenglama ildizlarining asosiy formulasi

D \u003d 0 qachon ushbu formulalardan foydalanishingiz mumkin - bu javob bo'ladi. Nihoyat, agar D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Birinchi tenglama:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d -2; c \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · 1 (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ tenglama ikki ildizga ega. Ularni toping:

Ikkinchi tenglama:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; b \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ yana ikkita ildizga ega. Biz ularni topamiz

\\ [\\ boshlang'ich (((1) _ (1)) \u003d \\ FRAC (2+ \\ sqrayt) (2 \\ cdot \\ chap) \u003d - 5; \\\\ _ ((2)) \u003d \\ FRAC (2 \\ CDOT \\ chap (-1 tugma) \u003d 3. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]

Va nihoyat, uchinchi tenglama:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 3 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ tenglama bitta ildizga ega. Siz har qanday formuladan foydalanishingiz mumkin. Masalan, birinchi:

Misollardan ko'rinib turibdiki, hamma narsa juda oddiy. Agar formulani bilsangiz va ko'rib chiqa olsangiz, hech qanday muammo bo'lmaydi. Ko'pincha, salbiy koeffitsientlar formulasida almashtirish paytida xatolar paydo bo'ladi. Bu erda yuqorida aytib o'tilgan ziyofat yordam beradi: rasmga qarab, har bir qadamni bo'yash uchun formulaga qarang - va tez orada xatolardan xalos bo'ling.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari

Bu kvadrat tenglama ta'rifida berilgan narsadan biroz farq qiladi. Masalan:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Ushbu tenglamalarda bu atamalarning hech biri yo'qligini ko'rish juda oson. Bunday kvadrat tenglamalar standartdan ko'ra osonroq: ular kamsituvchi deb hisoblash ham kerak emas. Shunday qilib, biz yangi kontseptsiya bilan tanishamiz:

Axt 2 + bx + c \u003d 0 tenglama, agar b \u003d 0 yoki C \u003d 0 bo'lsa, i.e. O'zgaruvchan X yoki bepul element bilan koeffitsienti nolga teng.

Albatta, ikkala koeffitsientlarning ikkalasi nolga teng bo'lishi mumkin: b \u003d c \u003d 0. Bu holda tenglama 2 \u003d 0 shaklni oladi. Shubhasiz, bunday tenglama bitta ildizga ega: x \u003d 0 mavjud .

Qolgan holatlarni ko'rib chiqing. B \u003d 0 0 bo'lsin, keyin biz AX 2 + C \u003d 0 ni to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasini olamiz. Biz uni biroz o'zgartiramiz:

Arifmetikdan kvadrat ildiz Faqat yo'q salbiy raqamIkkinchi tenglik faqat (-C / a) ≥ 0.

1. Agar AX 2 + C \u003d 0 shaklida to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama bo'lsa (-C / A) ≥ 0 chiqishi mumkin, ikki ildiz bo'ladi. Formula yuqorida keltirilgan;
2. If (-c / a)< 0, корней нет.

Ko'rinib turibdiki, kamsituvchi bo'lmaganlar kerak emas - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarida murakkab hisoblash mavjud emas. Aslida, hatto tengsizlikni (-C / A) yodda tutish kerak emas (-C / a) ≥ 0. X 2 qiymatini ifodalash uchun etarli va tenglik belgisining boshqa tomonida nimani anglatadi. Agar ijobiy raqam bo'lsa - ildizlari ikkitasi bo'ladi. Agar salbiy bo'lsa - ildizlarning umuman bo'lmaydi.

Endi biz 2 + bx \u003d 0 shaklidagi tenglamalar bilan tushunamiz, unda bepul element nolga teng. Bu erda hamma narsa juda oddiy: ildizlar har doim ikkitasi bo'ladi. Ko'plab ko'paytirgichlarni parchalash kifoya:

Qavs uchun ko'paytirgich

Hech bo'lmaganda ko'p ko'paytirgichlardan biri nolga teng bo'lgan ish nolga teng. Bu yerdan ildizlar mavjud. Xulosa qilib aytganda, biz bir nechta tenglamalarni tahlil qilamiz:

Vazifa. Kvadrat maydon tengorlari:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2/30 ⇒ x 2 \u003d -6. Ildizlari yo'q, chunki Kvadrat salbiy raqamga teng bo'lishi mumkin emas.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1.5.

Kvadratli tenglamalar. Kamsitchi. Eritma, misollar.

Diqqat!
Ushbu mavzu qo'shimcha mavjud
Maxsus 555 qismdagi materiallar.
Kuchli "unchalik emas ..."
Va "juda ..." bo'lganlar uchun

Kvadrat tenglamalar turlari

Kvadrat tenglama nima? Bu nimaga o'xshaydi? Jihatidan kvadratli tenglama Kalit so'z "Kvadrat". Bu shuni anglatadiki tenglamada oldin Maydondagi maydonda bo'lishi kerak. Undan tashqari, tenglamada (va bo'lmasligi mumkin!) Shunchaki x (birinchi darajasida) va faqat raqami (bepul a'zo). Va hech qanday darajaga ega bo'lmasligi kerak, ko'proq ikki.

Matematik til bilan gaplashish, kvadrat tenglamasi - bu shaklni tenglashtiradi:

Bu yerda a, b va bilan - ba'zi raqamlar. b va C.. - Hammasi va lekin- Hech kim nolga teng. Masalan:

Bu yerda lekin =1; b. = 3; c. = -4

Bu yerda lekin =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Bu yerda lekin =-3; b. = 6; c. = -18

Xo'sh, tushundingiz ...

Ushbu maydon tenglamalarida chapda mavjud to'liq to'plam a'zolar. X kvadrat koeffitsient bilan ammox koeffitsient bilan birinchi darajali x b. va bEPUL DIK.

Bunday kvadrat tenglamalar deyiladi to'liq.

Agar b. \u003d 0, nima qilamiz? Bizda ... bor x birinchi daraja yo'qoladi. Ko'plab ko'payishdan nolgacha bo'ladi.) Masalan,:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Va h.k. Va agar ikkala koeffitsienti bo'lsa, b. va c. nolga teng, bu hali ham soddalashtiring:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Biror narsa etishmayotgan bunday tenglamalar deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari. Bu juda mantiqiy narsa.) Men sizdan x maydonda barcha tenglamalardagi maydonda mavjudligini payqashingizni so'rayman.

Aytgancha, nima uchun lekin Nol bo'lolmaydimi? Va o'rniga siz o'rnini bosasiz lekin NOLIK.) Biz maydonda yo'qoladi! Tenglama chiziqli bo'ladi. Va u allaqachon boshqacha hal qilinadi ...

Bu kvadrat tenglamalarning asosiy turlari. To'liq va to'liq emas.

Kvadrat tenglamalarini eritma.

To'liq kvadrat tenglamalarini hal qilish.

Kvadrat tenglamalari shunchaki hal qilinadi. Formulalarga ko'ra va aniq asoratlanmagan qoidalar. Birinchi bosqichda ma'lum bir tenglama keltirilishi kerak standart. Aql

Agar sizga ushbu shaklda tenglama berilsa - birinchi bosqich kerak emas.) Asosiysi barcha koeffitsientlarni to'g'ri belgilashdir, lekin, b. va c..

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi quyidagicha:

Ildiz belgisi ostida ifoda deyiladi kamsinachi. Ammo bu haqda - quyida. Ko'rinib turibdiki, ICAni topish uchun biz foydalanamiz faqat a, b va bilan. Ular. Kvadrat tenglama koeffitsientlari. Faqat qadriyatlarni yaxshilab almashtiring a, b va bilan Ushbu formulada va biz ko'rib chiqamiz. O'rnini bosuvchi sizning oyatlaringiz bilan! Masalan, tenglamada:

lekin =1; b. = 3; c. \u003d -4. Bu erda va yozish:

Misol deyarli hal qilinadi:

Bu javob.

Hammasi juda oddiy. Va nima deb o'ylaysiz, xato qilish mumkin emas? Ha, ha, qanday qilib ...

Eng keng tarqalgan xatolar - qiyalik belgilari bilan chalkashliklar a, b va bilan. Balki ularning oyat-mo''jizalari bilan emas (u erda adashganlar) va ildizlarni hisoblash uchun formulani almashtirish bilan. Mana, aniq raqamlar bilan formulani batafsil yozuv. Agar hisoblashda muammolar bo'lsa, shunday qilmoq!

Aytaylik, siz buni hal qilishingiz kerak:

Bu yerda a. = -6; b. = -5; c. = -1

Aytaylik, siz kamdan-kam uchraydigan javoblaringiz borligini bilasiz.

Xo'sh, dangasa bo'lmang. Ortiqcha liniyani yozing 30 Sekundlar va xatolar soni keskin kesilgan. Bu erda biz batafsil yozamiz, barcha qavslar va belgilar bilan yozamiz:

Bu juda qiyin bo'lib ko'rinadi, shuning uchun ehtiyotkorlik bilan bo'yab qo'ying. Ammo bu faqat ko'rinadi. Urinib ko'ring. Yaxshi yoki tanlang. Yaxshisi, tezmi yoki to'g'ri? Bundan tashqari, men sizni tepaman. Bir muncha vaqt o'tgach, hamma narsani bo'yash uchun juda ehtiyotkorlik bilan yo'qoladi. O'zi to'g'ri bo'ladi. Ayniqsa, agar siz quyida keltirilgan amaliy usullarni qo'llasangiz. Bir guruhda kamroq metrajli misollarni osongina va xatosiz hal qilinadi!

Ammo, ko'pincha kvadrat tenglamalari biroz boshqacha ko'rinadi. Masalan, shunga o'xshash:

Buni bilib olingmi?) Ha! u to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori.

Ular umumiy formulaga ham hal qilinishi mumkin. Faqat teng bo'lgan narsalarni tasavvur qilish kerak a, b va bilan.

Tuzatildimi? Birinchi misolda a \u003d 1; b \u003d 4; lekin c.? Hech kim yo'q! Xo'sh, ha, to'g'ri. Matematikada bu degani c \u003d 0. ! Ana xolos. Biz o'rniga nol formulani almashtiramiz c, Va hamma narsa chiqadi. Xuddi shunday, ikkinchi misol bilan. Bu erda faqat nol bo'lmaydi dan, lekin b. !

Ammo to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari ancha osonlashtirilishi mumkin. Hech qanday formulasiz. Birinchi to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing. Chap tomonda nima qilish mumkin? Siz qavs uchun bo'lishingiz mumkin! Keling.

Va bu nimadan? Va ish nolga teng ekanligi va faqat bir nechta ko'paytirgichlar nolga teng bo'lganda! Ishonma? Yaxshi, ikki nol bo'lmagan raqam bilan keling, ular nolga ko'payadi!
Ishlamaydi? Bu narsa ...
Shunday qilib, siz ishonch bilan yozishingiz mumkin: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Hamma narsa. Bu bizning tenglamaning ildizlari bo'ladi. Ikkalasi ham mos keladi. Ulardan birortasini asl tenglamaga almashtirishda, biz sodiqlikni olamiz 0 \u003d 0. Siz ko'rib turganingizdek, echim umumiy formuladan ko'ra sodda. Men ta'kidlashimcha, qaysi x birinchi bo'ladi va bu juda befarq. Bir necha bor yozish uchun qulay, x 1 - Kamroq narsa va x 2 - ko'proq narsa.

Ikkinchi tenglama shunchaki hal qilinishi mumkin. Biz 9 B yashaymiz. o'ng taraf. Biz olamiz:

9 dan chiqarib olish uchun ildiz bo'lib qoladi va shu. Ma'lum bo'lishicha:

Shuningdek, ikkita ildiz . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Shunday qilib, barcha to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar hal qilinadi. Yoki qavs qilish yoki raqamni o'ngga o'tkazish orqali, undan keyin ildizni qazib olish orqali.
Ushbu usullarni chalkashtirib yuborish juda qiyin. Shunchaki, chunki birinchi holatda siz qandaydir aniq emas va ikkinchi holatda, u qavslar uchun hech narsa emas ...

Kamsitchi. Kamsitish formulasi.

Sehrli so'z kamsinachi ! Kamdan-kam o'rta maktab o'quvchisi so'zni eshitmadi! "Kirlik bilan qaror qilish" iborasi ishonch va dalda beradi. Chunki kamsitish vositalaridan fokuslarni kutish shart emas! Bu oddiy va muomalada noqulay.) Men sizga echish uchun eng umumiy formulani eslatib o'taman har qanday Kvadrat tenglamalari:

Ildiz belgisi ostidagi ibora kamssiz deb ataladi. Odatda kamsituvchi xat bilan ko'rsatilgan D.. Kamsitish formulasi:

D \u003d B 2 - 4AC

Va diqqatga sazovor ifoda nima? Nega bu alohida ismga loyiq edi? Nimada kamsituvchilarning ma'nosi? Oxirida -b, yoki 2a. Ushbu formulada ular maxsus qo'ng'iroq qilishmaydi ... harflar va harflar.

Narsa - bu narsa. Ushbu formula uchun kvadrat tenglamani hal qilganda, bu mumkin umumiy uchta holat.

1. kamsituvchi ijobiy ijobiy. Bu shuni anglatadiki, ildizni olish mumkin. Yaxshi ildiz qazib olinadi yoki yomon - savol boshqacha. Aslida qazib olinishi juda muhimdir. Keyin kvadrat tenglamaingiz ikkita ildizga ega. Ikki xil echimlar.

2. kamsituvchi nolga teng. Keyin bitta echimni olasiz. Rumeratorda nolni olib tashlash hech narsani o'zgartirmaydi. Qattiq gapirish, bu bitta ildiz emas, lekin ikki xil bir xil. Ammo, B. soddalashtirilgan versiya, gaplashish odatiy holdir bitta echim.

3. kamsituvchi salbiy. Kvadrat ildizning salbiy raqami olib tashlanmaydi. Ha mayli. Bu shuni anglatadiki, echimlar yo'q.

Rostini aytganda, bilan oddiy qaror Kvadrat tenglamalari, kamsituvchi tushunchador aniq talab qilinmaydi. Biz formulani koeffitsientlarning qiymatlarini almashtiramiz, ha, ishonamiz. Hamma narsa hamma narsa bo'ladi, ikkalangiz ham, biri ham emas. Biroq, murakkab vazifalarni bilmasdan yanada murakkab vazifalarni hal qilishda ma'nosi va formulasi kamsinachi yetarli emas. Ayniqsa, parametrlar bilan tenglamalarda. Bunday tenglamalar Gia va Ege-ga eng yuqori uchuvchidir!)

Shunday qilib, kvadrat tenglamalarini qanday hal qilish kerak Siz esda tutgan kamsituvchi orqali. Yoki bu yomon emasligini bilib oldim.) Men to'g'ri aniqlashni bilaman a, b va bilan. Bilim ehtiyotkorlik bilan ularni ildiz formulasida almashtiring va ehtiyotkorlik bilan Natijalarni hisoblang. Siz buni tushundingiz kalit so'z Bu yerga - diqqat bilan?

Va endi xatolar sonini keskin kamaytiradigan amaliy usullarga e'tibor bering. Xayolparastlik tufayli eng ko'p. ... shuning uchun u xafa bo'ladi va xafa bo'ladi ...

Avval ziyorat . Standart shaklga olib kelish uchun kvadrat tenglamani hal qilishdan oldin dangasa bo'lmang. Bu nimani anglatadi?
Aytaylik, barcha o'zgarishlardan keyin siz bunday tenglamani oldingiz:

Ildiz formulasini yozishga shoshilmang! Deyarli ehtimol, siz koeffitsientlarni chalkashtirasiz a, b va s. Misolni to'g'ri qurish. Birinchidan, x maydonda, keyin kvadratsiz, keyin bepul dik. Mana bunday:

Va yana shoshilmang! Maydondagi IX oldidagi minus sizni xafa qilish uchun sog'lom bo'lishi mumkin. Buni oson unuting ... minusdan xalos bo'ling. Qanday? Ha, avvalgi mavzuda o'qitilganidek! Butun tenglikni -1 ni ko'paytirish kerak Biz olamiz:

Ammo endi siz ildizlarning formulasini xavfsiz ravishda qayd etishingiz, kamsituvchi va misolni ko'rib chiqing. O'zingiz doringiz. Sizda 2 va -1 ildizlari bo'lishi kerak.

Ikkisini qabul qilish. Ildizlarni tekshiring! Vetya teoremasiga. Qo'rqmang, men hamma narsani tushuntirib beraman! Tekshirmoq oxirgi narsa tenglama. Ular. Biz ildiz formulasini yozib oldik. Agar (shu misolda) koeffitsient bo'lsa a \u003d 1., Ildizlarni osonlik bilan tekshiring. Ularni ko'paytirish uchun etarli. Bepul a'zo bo'lishi kerak, i.e. Bizning holatimizda -2. Eslatma, 2, a -2 emas! Bepul dik sizning belgingiz bilan . Agar u ishlamasa, bu erda to'plangan joyda demakdir. Xato qidiring.

Agar shunday bo'lsa - ildizlarni katlatish kerak. Oxirgi va yakuniy chek. Koeffitsient bo'lishi kerak b. dan qarama-qarshi belgisi. Bizning holatimizda -1 + 2 \u003d +1. Va koeffitsient b.IX oldida, 1 ga teng. Shunday qilib, hamma narsa to'g'ri!
Afsuski, bu misollar uchun juda sodda, bu erda x toza, koeffitsienti bilan a \u003d 1. Ammo hech bo'lmaganda bunday tenglamalarda tekshiring! Xatolar kamroq bo'ladi.

Uchinchi . Agar sizning tenglamaingizda kasr koeffitsientlar bo'lsa, - kasrlardan xalos bo'ling! Bir nechta tenglama umumiy maxraj"Qanday tenglamalarni qanday yechish kerak?" Bir xil o'zgarishlar "darsida aytilganidek. Xatoning fraktsiyalari bilan ishlaganda, ba'zi sabablarga ko'ra ...

Aytgancha, men sodda misolni soddalashtirish uchun yomon misolga va'da berdim. Arzimaydi! Mana.

Miniyalarda chalkashib bo'lmaslik uchun -1 hisobidagi tenglama dominant. Biz olamiz:

Ana xolos! Qaror qabul qiling - bir zavq!

Shunday qilib, mavzuni sarhisob qiling.

Amaliy maslahat:

1. Soliqlashdan oldin biz standart shaklga kvadrat tenglamasini beramiz, uni quramiz to'g'ri.

2. Agar salbiy koeffitsient Xdan oldin salbiy koeffitsientga arziydi, butun tenglamaning ko'payishini bartaraf etishni yo'q qiladi.

3. Agar fraksiya koeffitsientlar to'liq hajmga mos keladigan multinatorga ko'paytirish orqali kasrni yo'q qilsa.

4. Agar X kvadratda bo'lsa - toza, koeffitsient bir biriga teng, eritma Vetya teoremasi tomonidan osongina tekshirilishi mumkin. Buni qiling!

Endi hisoblash mumkin.)

Tenglamalarni yechish:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Javoblar (tartibsizlikda):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0.5

x - har qanday raqam

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

echimlar yo'q

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Hamma narsa qayerda? Zo'r! Kvadrat tenglamalar sizning boshingiz og'rig'i emas. Birinchi uchtasi chiqib, qolganlari - yo'qmi? Keyin muammo kvadrat tenglamalarida emas. Muammo tenglamalarning bir xil o'zgaradi. Ma'lumot bilan sayr qilish, foydali.

Haqiqatan ham bo'lmaydi? Yoki umuman ishlamaydimi? Keyin siz 555 bo'limga yordam berishingiz kerak. U erda bu misollar suyaklarni qismlarga ajratdi. Ko'rsatadigan asosiy Kutishdagi xatolar. Bu turli xil tenglamalarni echishda bir xil o'zgarishlarni ishlatish tavsiflanadi. Juda ko'p yordam beradi!

Agar sizga ushbu sayt yoqsa ...

Aytgancha, menda yana bir juft qiziqarli saytlar bor.)

U misollar bilan tanishishda va sizning darajangizni bilib olish uchun kirish mumkin. Tez tekshirish bilan sinovdan o'tish. O'rganing - qiziqish bilan!)

Siz xususiyatlar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Har bir kvadrat tenglamaning muammolari o'rganilmoqda maktab dasturi va universitetlarda. Ularning ostidagi a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, qaerda x - O'zgaruvchan, A, B, C - Konstitutsiya; A.<>0. Vazifa tenglamaning ildizlarini topishdir.

Kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosi

Kvadrat tenglamasi tomonidan tasvirlangan funktsiya grafigi Parabola. Kvadrat tenglamaning echimlari (ildizlari) Parabolaning kelishmovchiligini abksissa o'qi (x) bilan kesishgan. Bu shundan keyingi uchta holat mavjud:
1) Parabola abksisa o'qi bilan kesishadigan ballar mavjud emas. Bu shuni anglatadiki, u yuqori tekislikda novdalar bilan novdalar bilan yuqoriga yoki pastki qismida. Bunday hollarda, kvadrat tenglamasi haqiqiy ildizlarga ega emas (ikkita murakkab ildizga ega).

2) Parabola bir kesishma mavjud, u o'q bilan. Bunday fikr perarobiylik verteksiga va uning ichida kvadrat tenglamasi o'z yoki maksimal qiymatga ega bo'ladi. Bunday holda, kvadrat tenglamasi bitta haqiqiy ildizga ega (yoki ikkita o'xshash ildiz) mavjud.

3) Amaliyotda oxirgi ish yanada qiziqarli - abksiyssa o'qi bilan parabola kesishganning ikkita pog'onasi mavjud. Bu shuni anglatadiki, ikkita haqiqiy tenglama ildizi mavjud.

Koeffitsientlarni tahlil qilish darajasida tahlil qilish asosida parabola joylashtirish haqida qiziqarli xulosalar chiqarish mumkin.

1) Agar koeffitsient nolga teng bo'lsa, parabola agar salbiy bo'lsa, parabola filiallari yo'naltirilgan bo'lsa, yuqoriga yo'naltirilgan.

2) Agar b noldan katta bo'lsa, u holda Parabolaning yuqori qismi chap yarim tekislikda, agar u salbiy qiymatni talab qilsa, chap tomonda joylashgan bo'lsa, o'sha paytda o'ngda.

Kvadrat tenglamani yechish formulasi chiqish

Biz kvadrat tenglamadan doimiy o'tkazamiz

tenglikning belgisi, biz ifoda olamiz

Ikkala qismni 4a-da ko'paytiring

To'liq maydonning chap qismini olish uchun ikkala qismga qo'shing va o'zgartirishni amalga oshiring

Bu erdan topish uchun

Kvadrat tenglamaning kamsituvchi va ildizlarining formulasi

Zollikchi shartli ifodasent deb nomlanadi, bu ijobiy, tenglama formulada hisoblangan ikkita haqiqiy ildizlarga ega Nolli kamsituvchiga ko'ra, kvadrat tenglamasi bitta bitta echimga ega, uni yuqoridagi formuladan, yuqori ildizlarning tenglamasida salbiy kamsituvchi bilan osonlikcha olish mumkin. Biroq, murakkab tekislikdagi kvadrat tenglamaning echimlarini saqlash va ularning qiymati formulas tomonidan hisoblanadi

Vieta teoremasi

Kvadrat tenglamasining ikkita ildizini, kvadrat tenglamani quring. Vietsa teoremaning o'zi: Agar bizda bir necha kvadrat tenglama bo'lsa uning ildizlarining yig'indisi q uning tomoni bilan olingan P ning koeffitsientiga teng, va tenglamaning ildizlarining mahsuloti bepul Q. Sh. holatiga teng. Yuqoridagilarning formulalari doimiy ravishda doimiy a klassik tengatsiyasida noldan farq qiladi, shunda barcha tenglama unga bo'linishi kerak, so'ng Viet'ing nazariyasini qo'llash kerak.

Ko'plab ko'paytirgichlar uchun kvadrat tenglama jadvali

Vazifani kiriting: ko'paytirgichlarga kvadrat tenglamasini parchalaydi. Biz buni amalga oshirish uchun biz avval tenglamani hal qilamiz (biz ildizlarni topamiz). Bundan tashqari, parchalangan ildizlar kvadrat tenglamaning formulasi uchun bu vazifaga ruxsat beriladi.

Kvadrat tenglama

1-vazifa. Kvadrat tenglama ildizlarini toping

x ^ 2-26x + 120 \u003d 0.

Echim: biz koeffitsientlarni yozamiz va kamsituvchilarning formulasini almashtiramiz

Ushbu qiymatning ildizi 14 yoshda, uni kalkulyator bilan topish oson, ammo qulaylik uchun, ammo qulaylik uchun, men sizga tez-tez uchrashadigan raqamlar kvadratlarining ro'yxatini beraman Bunday vazifalar.
Jamg'arma ildiz formulasida almashtiriladi

Va olish

2-vazifa. Tenglashtiring

2x 2 + x-3 \u003d 0.

Echim: bizda to'liq kvadrat tenglama bor, biz koeffitsientlarni yozamiz va kamsituvchilarni topamiz


Mashhur formulalarga ko'ra, biz kvadrat tenglamaning ildizlarini topamiz

3-vazifa. Tenglashtiring

9x 2 -12x + 4 \u003d 0.

Qaror: Bizda to'liq kvadrat tenglama bor. Kamsituvchini aniqlang

Ildizlar to'g'ri bo'lganda ishni oldik. Formula tomonidan ildizlarning qiymatlarini toping

4-vazifa. Tenglashtiring

x ^ 2 + x-6 \u003d 0.

Yechim: Xda kichik koeffitsientlar mavjud bo'lgan holatlarda Viet'ing nazariyasini qo'llash tavsiya etiladi. Unga ko'ra, biz ikkita tenglamani olamiz

Ikkinchi holatdan boshlab biz ishni -6 ga teng bo'lishi kerakligini olamiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlardan biri salbiy. Bizda quyidagi mumkin bo'lgan juft echimlar mavjud (-3; 2), (3; -2). Birinchi holatni hisobga olgan holda ikkinchi juft echimlarni rad etadi.
Ildiz tenglamalari teng

Vazifa 5. Agar uning perimetri 18 sm bo'lsa va maydon 77 sm 2 bo'lsa, to'rtburchaklar tomonining uzunligini toping.

Qaror: to'rtburchakning perimetrining yarmi qo'shni tomonlar yig'indisiga tengdir. X - eng yonma-yon,, keyin 18-x kichik tomoni. To'rtburchak maydoni ushbu uzunlikdagi mahsulotga teng:
x (18-x) \u003d 77;
yoki
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Biz tenglamaning kamsituvchisini topamiz

Tenglamaning ildizlarini hisoblang

Agar a x \u003d 11,bu 18h \u003d 7, Aksincha, bu ham to'g'ri (agar x \u003d 7 bo'lsa, 21-x \u003d 9).

Vazifa 6. Kvadrat maydoni 10x 2 -1x + 3 \u003d 0 tenglamalar.

Echim: tenglamaning ildizlarini hisoblang, chunki biz kamsituvchi topamiz

Biz ildiz formulasidagi qiymatni almashtiramiz va hisoblash

Kvadrat tenglamaning parchalanish formulasini ildizlar bo'ylab qo'llang

Qavsning tartibi o'ziga xosligini oladi.

Kvadrat tenglama parametrli

Masalan 1. Parametrning qaysi qadriyatlari ostida Ammo Tenglama (A-3) x 2 + (3-A) x-1/4 \u003d 0 bitta ildiz bor?

Qaror: qiymatni to'g'ridan-to'g'ri almashtirish A \u003d 3 Biz uning yechimini yo'q deb bilganmiz. Keyinchalik biz buni nol kamsituvchi bilan ishlatamiz, tenglama 2 ta ildizga ega. Kamsituvchi ichimlik iching

uni soddalashtiring va nolga tenglashtiring

Vieta teoremasiga ega bo'lgan parametrdagi parametrdagi kvadrat tenglamasini qabul qildi. Ildiz miqdori 7 va ularning ishi 12. 3.4 raqamlarini o'rnatib, oddiy bürd. A \u003d 3 echimidan beri biz allaqachon hisob-kitoblarning boshida rad etdik, faqat huquq faqat to'g'ri bo'ladi - a \u003d 4.Shunday qilib, A \u003d 4 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.

Masalan 2. Parametrning qaysi qadriyatlari ostida ammo tenglama a (A + 3) x ^ 2a + (2a + 6) X-3a-9 \u003d 0bir nechta ildiz bormi?

Qaror: birinchi yakka fikrlarni ko'rib chiqing, ular a \u003d 0 va a \u003d -3 qiymatlari bo'ladi. A \u003d 0 bo'lsa, tenglama 6x-9 \u003d 0 shaklida soddalashtiriladi; x \u003d 3/2 va bitta ildiz bo'ladi. Agar a \u003d -3 bo'lsa, biz 1-indeksni olamiz 0 \u003d 0.
Kamsituvchi hisoblash

va bu ijobiy va u ijobiy deb toping

Birinchi holatdan biz 3-ni olamiz. Ikkinchisida biz tenglamaning kamsituvchi va ildizlarini topamiz


Funktsiya ijobiy qiymatlar bo'lgan bo'shliqlarni aniqlaymiz. Rasm nuqtasi a \u003d 0 olish 3>0 . Shunday qilib, intervaldan tashqari (-3; 1/3) funktsiya salbiy. Nuqta haqida unutmang a \u003d 0,buning istisno qilinishi kerak, chunki uning ichida bitta ildiz bor.
Natijada, biz topshiriqning holatini qoniqtiradigan ikkita intervalni olamiz

Amaliyotda shunga o'xshash vazifalar bo'ladi, o'zingizning vazifalarini bajarishga harakat qiling va o'zaro eksklyuziv shartlarni ko'rib chiqishni unutmang. Kvadrat tenglamalarni echish uchun formulalarni o'qing, ular ko'pincha turli vazifalar va fanlarda hisoblashda talab qilinadi.

To'liq bo'lmagan to'liq kvadrat tenglamani o'zgartirish quyidagicha (ish \\ (b \u003d 0 \\)):

Agar \\ (c \u003d 0 \\) yoki ikkala koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, hamma narsa o'xshash.

Nol \\ (A \\) tengligi haqida gapirmang, u nol bo'lolmaydi, chunki bu holda quyidagilarga aylaning:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori.

Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi hali ham, shuning uchun uni odatiy kvadrat (orqali) hal qilish mumkinligini tushunish kerak. Buning uchun shunchaki tenglamaning etishmayotgan tarkibiy qismini nol koeffitsienti bilan qo'shing.

Misol : Tenglamaning ildizlarini toping \\ (3x ^ 2-27 \u003d 0 \\)
Qaror :

		Bizda to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama (b \u003d 0 \\) Ya'ni biz quyidagi shaklda tenglamani yozishimiz mumkin:
\\ (3x ^ 2 + 0 \\ cdot x 27 \u003d 0 \\)		Aslida, bu erda boshidagi kabi tenglama bir xil, ammo endi uni oddiy maydon sifatida hal qilish mumkin. Avval koeffitsientlarni yozamiz.
\\ (a \u003d 3; \\) \\ (b \u003d 0; \\) \\ (c \u003d -27; \\)		Formulasi bilan kamsituvchi \\ (d \u003d b ^ 2-4ac \\) hisoblang
\\ (D \u003d 0 ^ 2-4 \\ cDOT3 \\ CDOT (-27) \u003d \\) \(=0+324=324\)		Formulalar bo'yicha tenglamaning ildizlarini toping \\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (-b + \\ sqrt) (2a) \\) va \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (-b- \\ sqrt) )) (2a) \\)
\\ (x_ (1) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0+ \\ Sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ FRAC (18) (6) \\) \\ (\u003d 3 \\) \\ (x_ (2) \u003d \\) \\ (\\ Frac (-0- \\ sqrt (324)) (2 \\ cdot3) \\)\\ (\u003d \\) \\ (\\ Frac (-18) (6) \\ (\u003d - 3 \\)		Javobni yozib oling

Javob : \\ (x_ (1) \u003d 3 \\); \\ (x_ (2) \u003d - 3 \\)

Misol : Tenglama ildizlarini toping \\ (- x ^ 2 + x \u003d 0 \\)
Qaror :

		Yana to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, ammo endi nol koeffitsienti \\ (c \\) ga teng. To'liq tenglamani to'ldiring.