Ushbu maqolada biz har tomonlama ko'rib chiqamiz. Asosiy trigonometrik o'ziga xosliklar - bu bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi munosabatni o'rnatadigan va ma'lum bo'lgan ikkinchisi orqali ushbu trigonometrik funktsiyalardan istalgan birini topishga imkon beruvchi tengliklar.

Keling, darhol ushbu maqolada tahlil qiladigan asosiy trigonometrik identifikatsiyalarni sanab o'tamiz. Keling, ularni jadvalga yozamiz va quyida biz ushbu formulalarning hosilasini keltiramiz va kerakli tushuntirishlarni beramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Bir burchakning sinusi va kosinusu o'rtasidagi bog'liqlik

Ba'zan ular yuqoridagi jadvalda keltirilgan asosiy trigonometrik identifikatsiyalar haqida emas, balki bitta bitta haqida gapirishadi asosiy trigonometrik identifikatsiya turdagi ... Bu faktni tushuntirish juda oddiy: asosiy trigonometrik identifikatsiyadan uning ikkala qismini mos ravishda va ga bo'lingandan keyin tenglik olinadi va tengliklar va sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan kelib chiqing. Bu haqda keyingi paragraflarda batafsilroq gaplashamiz.

Ya'ni, asosiy trigonometrik o'ziga xoslik nomini olgan aniq tenglik alohida qiziqish uyg'otadi.

Asoslarni isbotlashdan oldin trigonometrik identifikatsiya, uning formulasini beraylik: bir burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi bir xil bo'ladi. Endi buni isbotlaylik.

Asosiy trigonometrik identifikatsiya qachon juda tez-tez ishlatiladi trigonometrik ifodalarni aylantirish... Bu bitta burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisini bittaga almashtirishga imkon beradi. Ko'pincha, asosiy trigonometrik identifikatsiya teskari tartibda ham qo'llaniladi: birlik burchakning sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi bilan almashtiriladi.

Sinus va kosinus bo'yicha tangens va kotangens

Shaklning bir burchagining sinusi va kosinuslari bilan tangens va kotangensni bog'lovchi o'ziga xosliklar va darhol sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan kelib chiqadi. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, sinus - y ordinatasi, kosinus - x ning abssissasi, tangens - ordinataning abscissaga nisbati, ya'ni. , kotangens esa abtsissaning ordinataga nisbati, ya’ni .

Shaxslarning bu ravshanligi tufayli va ko'pincha tangens va kotangensning ta'riflari abscissa va ordinataning nisbati orqali emas, balki sinus va kosinus nisbati orqali beriladi. Demak, burchakning tangensi sinusning bu burchakning kosinusiga nisbati, kotangens esa kosinusning sinusga nisbatidir.

Ushbu bandning yakunida shuni ta'kidlash kerakki, identifikatsiyalar va Ularga kiritilgan trigonometrik funktsiyalar mantiqiy bo'lgan barcha burchaklar uchun ushlab turing. Shunday qilib, formuladan boshqa har qanday formula uchun amal qiladi (aks holda maxrajda nol bo'ladi va biz nolga bo'linishni aniqlamadik) va formula - dan boshqa barcha uchun, bu yerda z har qanday.

Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik

Oldingi ikkitasiga qaraganda aniqroq trigonometrik o'ziga xoslik bu shaklning bir burchagining tangensi va kotangensini bog'laydigan o'ziga xoslikdir. ... U dan boshqa har qanday burchaklar uchun amal qilishi aniq aks holda tangens yoki kotangens aniqlanmagan.

Formulaning isboti juda oddiy. Ta'rifi bo'yicha va qaerdan ... Tasdiqlash biroz boshqacha tarzda amalga oshirilishi mumkin edi. O'shandan beri va , keyin .

Shunday qilib, ular mantiqiy bo'lgan bir xil burchakning tangensi va kotangensi.

Buyurtma berishingiz mumkin batafsil yechim sizning vazifangiz !!!

Trigonometrik funksiya (`sin x, cos x, tan x` yoki` ctg x`) belgisi ostida noma`lumni o`z ichiga olgan tenglik trigonometrik tenglama deyiladi va biz ularning formulalarini keyinroq ko`rib chiqamiz.

Eng oddiy tenglamalar `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a` deyiladi, bu erda` x` - topiladigan burchak, `a` - istalgan son. Keling, ularning har biri uchun ildiz formulalarini yozamiz.

1. `sin x = a` tenglama.

`| a |> 1` uchun yechim yo'q.

`| a | uchun \ leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

2. `cos x = a` tenglamasi

`| a |> 1` uchun - sinus holatida bo'lgani kabi, haqiqiy sonlar orasida yechimlari yo'q.

`| a | uchun \ leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Grafiklarda sinus va kosinus uchun maxsus holatlar.

3. `tg x = a` tenglama

Har qanday `a` qiymatlari uchun cheksiz ko'p yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

4. `ctg x = a` tenglama

Shuningdek, "a" ning har qanday qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Ildiz formulasi: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar

Sinus uchun:
Kosinus uchun:
Tangens va kotangens uchun:
Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechish formulalari:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

Har qanday trigonometrik tenglamaning yechimi ikki bosqichdan iborat:

• yordamida uni eng oddiyga aylantirish;
• olingan eng oddiy tenglamani yuqoridagi yozma ildiz formulalar va jadvallar yordamida yeching.

Keling, hal qilishning asosiy usullariga misollarni ko'rib chiqaylik.

Algebraik usul.

Ushbu usulda o'zgaruvchan almashtirish va tenglikka almashtirish amalga oshiriladi.

Misol. Tenglamani yeching: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

biz o'zgartirish kiritamiz: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, keyin` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

biz ildizlarni topamiz: `y_1 = 1, y_2 = 1/2`, bundan keyin ikkita holat keladi:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Javob: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Faktorizatsiya.

Misol. Tenglamani yeching: `sin x + cos x = 1`.

Yechim. Tenglikning barcha shartlarini chapga siljiting: `sin x + cos x-1 = 0`. Chap tomonni ishlatish, o'zgartirish va faktorlar:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0`,

1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Javob: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Bir jinsli tenglamaga keltirish

Birinchidan, ushbu trigonometrik tenglamani ikkita turdan biriga keltirishingiz kerak:

`a sin x + b cos x = 0` (birinchi darajali bir jinsli tenglama) yoki` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

Keyin ikkala qismni `cos x \ ne 0` - birinchi holat uchun va` cos ^ 2 x \ ne 0` - ikkinchisiga ajrating. Biz `tg x`:` a tg x + b = 0` va `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0` tenglamalarini olamiz, ularni ma'lum usullar bilan yechish kerak.

Misol. Tenglamani yeching: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Yechim. Keling, yozamiz o'ng tomon`1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x` sifatida:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Bu ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama bo'lib, biz uning chap va o'ng tomonlarini `cos ^ 2 x \ ne 0' ga ajratamiz, biz olamiz:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Biz `tg x = t` almashtirishni kiritamiz, natijada` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Bu tenglamaning ildizlari `t_1 = -2` va` t_2 = 1`dir. Keyin:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ Z` ichida
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ Z`da.

Javob. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ Z`da, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ Z`da.

Yarim burchakka o'ting

Misol. Tenglamani yeching: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Yechim. Ikki burchakli formulalarni qo'llang, natijada: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 = 0`

Yuqoridagi algebraik usuldan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
2. `tg x / 2 = 3/4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ Z`da.

Javob. `x_1 = 2 arctan 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`.

Yordamchi burchak bilan tanishtiring

`a sin x + b cos x = c` trigonometrik tenglamada a, b, c koeffitsientlar va x o'zgaruvchi bo'lib, ikkala tomonni ` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) ` ga ajratamiz:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinusning xossalariga ega, ya'ni ularning kvadratlari yig'indisi 1 ga teng va mutlaq qiymatlari 1 dan katta emas. Biz ularni quyidagicha belgilaymiz: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^) 2)) = C`, keyin:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik:

Misol. Tenglamani yeching: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Yechim. Tenglikning ikkala tomonini `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)` ga ajratsak, biz quyidagilarni olamiz:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5`.

`3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`ni belgilaymiz. `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0` bo`lgani uchun yordamchi burchak sifatida `\ varphi = arcsin 4 / 5` ni olamiz. Keyin tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

Sinus uchun burchaklar yig'indisi formulasini qo'llagan holda, biz tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`sin (x + \ varphi) = 2/5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z`,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Javob. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`.

Kasr-ratsional trigonometrik tenglamalar

Bular soni va maxrajdagi trigonometrik funktsiyalari bo'lgan kasrlar bilan tenglikdir.

Misol. Tenglamani yeching. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

Yechim. Tenglikning o'ng tomonini `(1 + cos x)` ga ko'paytiring va bo'ling. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

Maxraj nolga teng bo'lmasligini hisobga olsak, Z`da `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ ni olamiz.

Kasr sonini nolga tenglashtiring: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Keyin `sin x = 0` yoki` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ Z`da
2. Z`da `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \.

Z`da `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ ni hisobga olsak, yechimlar Z` da` x = 2 \ pi n, n \ va `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` bo'ladi. , Z dagi `n \.

Javob. `x = 2 \ pi n`,` n \ Z`da, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ Z`da.

Trigonometriya, xususan, trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika, texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. O'qish 10-sinfda boshlanadi, imtihon uchun aniq vazifalar bor, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini eslab qolishga harakat qiling - ular albatta yordam beradi!

Biroq, ularni yodlashning hojati yo'q, asosiysi, mohiyatini tushunish va ularni xulosa qila olishdir. Bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Videoni tomosha qilib o'zingiz ko'ring.

Trigonometrik funktsiyalar- "gunoh" so'rovi bu erda qayta yo'naltirilgan; boshqa maʼnolarga ham qarang. "Sec" so'rovi bu erda qayta yo'naltiriladi; boshqa maʼnolarga ham qarang. Sinus so'rovi bu erda qayta yo'naltiriladi; boshqa ma'nolarga ham qarang ... Vikipediya

Tan

Guruch. 1 Trigonometrik funksiyalarning grafiklari: sinus, kosinus, tangens, sekant, kosekant, kotangent Trigonometrik funksiyalar elementar funksiyalarning shaklidir. Odatda ular sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangent (ctg x), ... ... Vikipediyani o'z ichiga oladi.

Kosinus- Guruch. 1 Trigonometrik funksiyalarning grafiklari: sinus, kosinus, tangens, sekant, kosekant, kotangent Trigonometrik funksiyalar elementar funksiyalarning shaklidir. Odatda ular sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangent (ctg x), ... ... Vikipediyani o'z ichiga oladi.

Kotangent- Guruch. 1 Trigonometrik funksiyalarning grafiklari: sinus, kosinus, tangens, sekant, kosekant, kotangent Trigonometrik funksiyalar elementar funksiyalarning shaklidir. Odatda ular sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangent (ctg x), ... ... Vikipediyani o'z ichiga oladi.

Sekant- Guruch. 1 Trigonometrik funksiyalarning grafiklari: sinus, kosinus, tangens, sekant, kosekant, kotangent Trigonometrik funksiyalar elementar funksiyalarning shaklidir. Odatda ular sinus (sin x), kosinus (cos x), tangens (tg x), kotangent (ctg x), ... ... Vikipediyani o'z ichiga oladi.

Trigonometriya tarixi- Geodeziya o'lchovlari (XVII asr) ... Vikipediya

Yarim burchakli tangens formulasi- Trigonometriyada yarim burchakli tangens formulasi yarim burchak tangensini toʻliq burchakning trigonometrik funksiyalari bilan bogʻlaydi: Turli xil o'zgarishlar bu formula shunday ko'rinadi ... Vikipediya

Trigonometriya- (yunoncha trigono (uchburchak) va yunoncha métin (o'lchash), ya'ni uchburchaklarni o'lchash) matematikaning trigonometrik funktsiyalar va ularning geometriyaga qo'llanilishi o'rganiladigan bo'limi. Bu atama birinchi marta 1595 yilda ... ... Vikipediya sifatida paydo bo'lgan

Uchburchaklarni yechish- (lot. solutio triangulorum) asosiy trigonometrik masala yechimini anglatuvchi tarixiy atama: uchburchak (tomonlari, burchaklari va boshqalar) haqidagi maʼlum maʼlumotlarga koʻra, uning qolgan xarakteristikalarini toping. Uchburchak ... ... Vikipediyada joylashgan bo'lishi mumkin

Kitoblar

• Jadvallar to'plami. Algebra va tahlilning boshlanishi. 10-sinf. 17 ta jadvallar + metodologiya,. Jadvallar 680 x 980 mm o'lchamdagi qalin poligrafik kartonga bosilgan. bilan broshyurani o'z ichiga oladi ko'rsatmalar o'qituvchi uchun. 17 varaqdan iborat o'quv albomi ... 3944 rublga sotib oling
• Integrallar jadvallari va boshqa matematik formulalar, Dwight G.B .. Mashhur qo'llanmaning o'ninchi nashrida noaniq va boshqa matematik formulalar juda batafsil jadvallar mavjud. aniq integrallar, va yana katta raqam boshqa matematik formulalar: qator kengaytmalari, ...

Maqolada asosiy trigonometrik o'ziga xosliklar batafsil yoritilgan.Bu tengliklar berilgan burchakning sin, cos, t g, c t g o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Bitta funktsiya ma'lum bo'lsa, u orqali boshqasini topish mumkin.

Ushbu maqolada ko'rib chiqish uchun trigonometrik identifikatsiyalar. Quyida biz tushuntirish bilan ularning kelib chiqishi misolini ko'rsatamiz.

sin 2 a + cos 2 a = 1 tan a = sin a cos a, ctg a = cos a sin a tan a ctg a = 1 tan 2 a + 1 = 1 cos 2 a, 1 + ctg 2 a = 1 sin 2 a

Yandex.RTB R-A-339285-1

Keling, trigonometriyaning asosi hisoblangan muhim trigonometrik o'ziga xoslik haqida gapiraylik.

sin 2 a + cos 2 a = 1

Berilgan t g 2 a + 1 = 1 cos 2 a, 1 + c t g 2 a = 1 sin 2 a tengliklari asosiy qismdan ikkala qismni sin 2 a va cos 2 a ga bo‘lish yo‘li bilan chiqariladi. Keyin t g a = sin a cos a, c t g a = cos a sin a va t g a · c t g a = 1 ni olamiz - bu sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflarining natijasidir.

sin 2 a + cos 2 a = 1 tengligi asosiy trigonometrik identifikatsiyadir. Buni isbotlash uchun birlik doirasi bilan mavzuga murojaat qilish kerak.

A (1, 0) nuqtaning koordinatalari berilsin, u a burchakdan burilgandan keyin A 1 nuqtaga aylanadi. Sin va cos ta'rifiga ko'ra, A 1 nuqtasi koordinatalarni oladi (cos a, sin a). A 1 birlik doira ichida bo'lgani uchun, bu koordinatalar bu doiraning x 2 + y 2 = 1 shartini qondirishi kerakligini anglatadi. cos 2 a + sin 2 a = 1 ifodasi to'g'ri bo'lishi kerak. Buning uchun a aylanishning barcha burchaklari uchun asosiy trigonometrik o'ziga xoslikni isbotlash kerak.

Trigonometriyada sin 2 a + cos 2 a = 1 ifodasi trigonometriyada Pifagor teoremasi sifatida ishlatiladi. Buning uchun batafsil dalilni ko'rib chiqing.

Birlik aylanasidan foydalanib, koordinatalari (1, 0) bo'lgan A nuqtani markaz O nuqtasi atrofida a burchak bilan aylantiramiz. Burilishdan keyin nuqta koordinatalarini o'zgartiradi va A1 (x, y) ga teng bo'ladi. A 1 nuqtadan O x ga A 1 H perpendikulyar chiziqni tushiramiz.

Rasmda shakllanganligi aniq ko'rsatilgan to'g'ri uchburchak O A 1 N. Modulo O A 1 N va O N oyoqlari teng, yozuv quyidagi shaklda bo'ladi: | A 1 H | = | da | , | HAQIDA | = | x | ... O A 1 gipotenuzasi birlik aylana radiusiga teng qiymatga ega, | HAQIDA 1 | = 1. Foydalanish berilgan ifoda, tenglikni Pifagor teoremasi orqali yozishimiz mumkin: | A 1 H | 2 + | HAQIDA | 2 = | HAQIDA 1 | 2. Bu tenglikni | shaklida yozamiz y | 2 + | x | 2 = 1 2, ya'ni y 2 + x 2 = 1.

sin a = y va cos a = x ta'rifidan foydalanib, burchak ma'lumotlarini nuqtalar koordinatalari o'rniga qo'ying va sin 2 a + cos 2 a = 1 tengsizlikka o'ting.

Burchakning sin va kos o'rtasidagi asosiy bog'liqlik ushbu trigonometrik o'ziga xoslik orqali mumkin. Shunday qilib, siz ma'lum kos bilan burchakning gunohini olishingiz mumkin va aksincha. Buning uchun sin va cosga nisbatan sin 2 a + cos 2 = 1 ni yechish kerak, keyin sin a = ± 1 - cos 2 a va cos a = ± 1 - sin 2 a ko‘rinishdagi ifodalarni olamiz. , mos ravishda. a burchakning qiymati ifoda ildizi oldidagi belgini aniqlaydi. Batafsil tushuntirish uchun siz trigonometrik formulalar yordamida sinus, kosinus, tangens va kotangentni hisoblash bo'limini o'qishingiz kerak.

Ko'pincha trigonometrik ifodalarni o'zgartirish yoki soddalashtirish uchun asosiy formuladan foydalaniladi. Sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisini 1 ga almashtirish mumkin. Identifikatsiyani almashtirish to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari tartibda bo'lishi mumkin: birlik sinus va kosinus kvadratlari yig'indisi ifodasi bilan almashtiriladi.

Sinus va kosinus bo'yicha tangens va kotangens

Kosinus va sinus, tangens va kotangensning ta'rifidan ko'rinib turibdiki, ular o'zaro bog'liq bo'lib, kerakli qiymatlarni alohida aylantirish imkonini beradi.

t g a = sin a cos a c t g a = cos a sin a

Ta'rifdan sinus y ning ordinatasi, kosinus esa x ning abssissasidir. Tangens - bu ordinata va abtsissa o'rtasidagi munosabat. Shunday qilib, bizda:

t g a = y x = sin a cos a, kotangent ifoda esa qarama-qarshi ma'noga ega, ya'ni.

c t g a = x y = cos a sin a.

Bundan kelib chiqadiki, olingan t g a = sin a cos a va c t g a = cos a sin a sin va cos burchaklar yordamida berilgan. Tangens sinusning ular orasidagi burchakning kosinusiga nisbati hisoblanadi, kotangens esa aksincha.

E'tibor bering, t g a = sin a cos a va c t g a = cos a sin a qiymatlari diapazonga kiritilgan a burchakning istalgan qiymati uchun amal qiladi. tg a = sin a cos a formulasidan a burchakning qiymati p 2 + p · z dan farq qiladi va ctg a = cos a sin a burchakning qiymatini p · z dan farq qiladi, z qiymatni oladi. har qanday butun son.

Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik

Tangens va kotangens bo'yicha burchaklar orasidagi munosabatni ko'rsatadigan formula mavjud. Bu trigonometrik o'ziga xoslik trigonometriyada muhim ahamiyatga ega va t g a · c t g a = 1 sifatida belgilanadi. Bu p 2 · z dan boshqa har qanday qiymatga ega bo'lgan a uchun mantiqiy bo'ladi, aks holda funksiyalar aniqlanmaydi.

t g a · c t g a = 1 formulasi isbotlashda o‘ziga xos xususiyatlarga ega. Ta'rifdan biz t g a = y x va c t g a = x y ekanligini tushunamiz, demak, t g a c t g a = y x x y = 1 ni olamiz. Ifodani o‘zgartirib, t g a = sin a cos a va c t g a = cos a sin a o‘rniga qo‘ysak, t g a c t g a = sin a cos a cos a sin a = 1 ni olamiz.

Keyin tangens va kotangensning ifodasi, oxirida biz o'zaro teskari raqamlarni olganimizda mantiqiy bo'ladi.

Tangens va kosinus, kotangens va sinus

Asosiy identifikatsiyalarni o'zgartirib, biz tangens kosinus orqali, kotangent esa sinus orqali bog'langan degan xulosaga kelamiz. Buni t g 2 a + 1 = 1 cos 2 a, 1 + c t g 2 a = 1 sin 2 a formulalaridan ko‘rish mumkin.

Ta'rif quyidagicha: burchak va 1 tangensi kvadratining yig'indisi kasrga tenglashtiriladi, bunda payda bizda 1, maxrajda esa berilgan burchak kosinusining kvadrati va yig'indisi bo'ladi. burchak kotangenti kvadratining, aksincha. Sin 2 a + cos 2 a = 1 trigonometrik o'ziga xosligi tufayli biz mos tomonlarni cos 2 a ga bo'lishimiz va t g 2 a + 1 = 1 cos 2 a ni olishimiz mumkin, bu erda cos 2 a qiymati nolga teng bo'lmasligi kerak. Sin 2 a ga bo'linganda biz 1 + c t g 2 a = 1 sin 2 a o'ziga xosligini olamiz, bu erda sin 2 a qiymati nolga teng bo'lmasligi kerak.

Yuqoridagi iboralardan tan 2 a + 1 = 1 cos 2 a tengligi a burchakning p 2 + p z va 1 + ctg 2 a = 1 ga tegishli bo‘lmagan barcha qiymatlari uchun to‘g‘ri ekanligini aniqladik. sin 2 a p · z oralig'iga tegishli bo'lmagan a qiymatlari uchun.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Trigonometrik identifikatsiyalar- bular bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi munosabatni o'rnatadigan tengliklar bo'lib, bu funktsiyalardan istalgan birini topishga imkon beradi, agar boshqasi ma'lum bo'lsa.

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha), \ enspace ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)

tg \ alpha \ cdot ctg \ alfa = 1

Bu o'ziga xoslik shuni aytadiki, bir burchak sinusining kvadrati va bir burchakning kosinus kvadrati yig'indisi birga teng, bu amalda bir burchakning sinusini uning kosinasi ma'lum bo'lganda va aksincha hisoblash imkonini beradi. .

Trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilishda bu o'ziga xoslik juda tez-tez ishlatiladi, bu sizga bir burchakning kosinus va sinus kvadratlari yig'indisini birlik bilan almashtirishga, shuningdek, teskari tartibda almashtirish operatsiyasini bajarishga imkon beradi.

Sinus va kosinus bo‘yicha tangens va kotangensni topish

tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha), \ enspace

Bu o'ziga xosliklar sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'riflaridan hosil bo'ladi. Axir, agar siz unga qarasangiz, ta'rifga ko'ra y ning ordinatasi sinus, x ning abscissasi esa kosinusdir. Keyin tangens nisbatga teng bo'ladi \ frac (y) (x) = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa) va nisbati \ frac (x) (y) = \ frac (\ cos \ alfa) (\ sin \ alfa)- kotangent bo'ladi.

Biz shuni qo'shamizki, faqat trigonometrik funktsiyalar mantiqiy bo'lgan alfa burchaklari uchun identifikatsiyalar mavjud bo'ladi, ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alfa).

Masalan: tg \ alfa = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa) dan farq qiluvchi \ alfa burchaklari uchun amal qiladi \ frac (\ pi) (2) + \ pi z, a ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alfa)- burchak uchun \ pi z dan boshqa \ alfa, z - butun son.

Tangens va kotangens o'rtasidagi bog'liqlik

tg \ alpha \ cdot ctg \ alfa = 1

Bu identifikatsiya faqat dan farq qiladigan burchak \ alfa uchun amal qiladi \ frac (\ pi) (2) z... Aks holda, kotangens yoki tangens aniqlanmaydi.

Yuqoridagi fikrlarga asoslanib, biz buni aniqlaymiz tg \ alfa = \ frac (y) (x), a ctg \ alfa = \ frac (x) (y)... Demak, bundan kelib chiqadi tg \ alpha \ cdot ctg \ alpha = \ frac (y) (x) \ cdot \ frac (x) (y) = 1... Shunday qilib, ular mantiqiy bo'lgan bir xil burchakning tangensi va kotangensi o'zaro sonlardir.

Tangens va kosinus, kotangens va sinus o'rtasidagi bog'liqliklar

tg ^ (2) \ alfa + 1 = \ frac (1) (\ cos ^ (2) \ alfa)- burchak tangensi kvadratining yig'indisi \ alfa va 1, bu burchak kosinusining teskari kvadratiga teng. Bu identifikatsiya barcha \ alfa farqli uchun amal qiladi \ frac (\ pi) (2) + \ pi z.

1 + ctg ^ (2) \ alfa = \ frak (1) (\ sin ^ (2) \ alfa)- 1 ning yig'indisi va burchak kotangentining kvadrati \ alfa, berilgan burchak sinusining teskari kvadratiga teng. Bu identifikatsiya \ pi z dan boshqa har qanday \ alfa uchun amal qiladi.

Trigonometrik identifikatsiyalardan foydalanishga oid masalalar yechimlari bilan misollar

1-misol

\ sin \ alpha va tg \ alpha if ni toping \ cos \ alpha = - \ frac12 va \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ;

Yechimni ko'rsatish

Yechim

\ sin \ alpha va \ cos \ alpha funktsiyalari formula bilan bog'langan \ sin ^ (2) \ alfa + \ cos ^ (2) \ alfa = 1... Ushbu formulani almashtirish \ cos \ alpha = - \ frac12, biz olamiz:

\ sin ^ (2) \ alfa + \ chap (- \ frac12 \ o'ng) ^ 2 = 1

Bu tenglamaning 2 ta yechimi bor:

\ sin \ alfa = \ pm \ sqrt (1- \ frac14) = \ pm \ frac (\ sqrt 3) (2)

Shart bo'yicha \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Ikkinchi chorakda sinus ijobiy bo'ladi, shuning uchun \ sin \ alfa = \ frac (\ sqrt 3) (2).

tg \ alfa ni topish uchun formuladan foydalanamiz tg \ alfa = \ frac (\ sin \ alfa) (\ cos \ alfa)

tg \ alpha = \ frac (\ sqrt 3) (2): \ frac12 = \ sqrt 3

2-misol

\ cos \ alpha va agar va bo'lsa ctg \ alpha ni toping \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi .

Yechimni ko'rsatish

Yechim

Formulaga almashtirish \ sin ^ (2) \ alfa + \ cos ^ (2) \ alfa = 1 shartli ravishda berilgan raqam \ sin \ alfa = \ frac (\ sqrt3) (2), olamiz \ chap (\ frac (\ sqrt3) (2) \ o'ng) ^ (2) + \ cos ^ (2) \ alfa = 1... Bu tenglama ikkita yechimga ega \ cos \ alpha = \ pm \ sqrt (1- \ frac34) = \ pm \ sqrt \ frac14.

Shart bo'yicha \ frac (\ pi) (2)< \alpha < \pi ... Ikkinchi chorakda kosinus salbiy, shuning uchun \ cos \ alpha = - \ sqrt \ frac14 = - \ frac12.

ctg \ alfa ni topish uchun formuladan foydalaning ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alfa)... Biz tegishli qiymatlarni bilamiz.

ctg \ alpha = - \ frac12: \ frac (\ sqrt3) (2) = - \ frac (1) (\ sqrt 3).