Antiderivativlar jadvali

Ta'rif. Berilgan oraliqdagi F (x) funksiya f (x) funksiya uchun, bu oraliqdagi barcha x uchun, agar F "(x) = f (x) bo'lsa, anti hosilasi deyiladi.

Funksiyaga qarshi hosilani topish operatsiyasi deyiladi integratsiyalash... Bu farqlash operatsiyasining teskarisi.

Teorema. Intervaldagi har qanday uzluksiz funksiya (x) bir xil intervalda anti hosilaga ega.

Teorema (antiderivativning asosiy xossasi). Agar qaysidir oraliqda F (x) funksiya f (x) funksiya uchun anti hosila bo‘lsa, u holda bu oraliqda f (x) ga qarshi hosila F (x) + C funksiyasi ham bo‘ladi, bunda C ixtiyoriy doimiydir. .

Bu teoremadan kelib chiqadiki, agar f (x) berilgan oraliqda F (x) anti hosilaviy funktsiyaga ega bo'lsa, u holda bu primitivlar o'rnatiladi. C ni o'zboshimchalik bilan biriktirish orqali raqamli qiymatlar, har safar biz antiderivativ funktsiyani olamiz.

Antiderivativlarni topish uchun foydalaning antiderivativlar jadvali... U lotinlar jadvalidan olingan.

Noaniq integral tushunchasi

Ta'rif. f (x) funksiya uchun barcha antiderivativlar yig'indisi deyiladi noaniq integral va tomonidan ko'rsatiladi.

Bundan tashqari, f (x) deyiladi integral funktsiyasi, va f (x) dx - integral.

Demak, agar F (x) f (x) ga qarshi hosila bo'lsa, u holda .

Noaniq integral xossalari

Aniq integral tushunchasi

O'ylab ko'ring tekis shakl, segmentdagi uzluksiz va manfiy bo'lmaganlar grafigi bilan cheklangan [a; f (x) funksiyaning b] segmenti [a; b], va x = a va x = b to'g'ri chiziqlar.

Olingan raqam deyiladi kavisli trapezoid... Keling, uning maydonini hisoblaylik.

Buning uchun biz segmentni ajratamiz [a; b] n ta teng segmentga. Har bir segmentning uzunligi Dx ga teng.

Bu dinamik GeoGebra chizmasi.
Qizil narsalarni o'zgartirish mumkin

Guruch. 1. Aniq integral tushunchasi

Har bir segmentda balandliklari f (x k-1) bo'lgan to'rtburchaklar tuzing (1-rasm).

Har bir bunday to'rtburchakning maydoni S k = f (x k-1) Dx k.

Barcha bunday to'rtburchaklar maydoni .

Bu miqdor deyiladi integral yig'indisi f (x) funktsiyasi uchun.

Agar n → ∞ bo'lsa, u holda bu tarzda qurilgan figuraning maydoni egri trapezoidning maydonidan kamroq va kamroq farq qiladi.

Ta'rif. n → ∞ chaqirilganda integral yig'indining chegarasi aniq integral, va shunday yoziladi: .

o'qiydi: "xdx ning a dan b fgacha integrali"

a soni integratsiyaning pastki chegarasi deb ataladi, b - yuqori chegara integratsiya, segment [a; b] - integratsiya oralig'i.

Aniq integralning xossalari

Nyuton-Leybnits formulasi

Aniq integral antiderivativ va noaniq integral bilan chambarchas bog'liq. Nyuton-Leybnits formulasi bo'yicha

.

Integraldan foydalanish

Integral hisob turli amaliy masalalarni yechishda keng qo'llaniladi. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.

Tana hajmlarini hisoblash

S = s (x), x [a, ba'zi bir o'zgaruvchiga qarab tananing ko'ndalang kesimi maydonini o'rnatadigan funktsiya berilsin; b]. Keyin berilgan jismning hajmini ushbu funktsiyani tegishli chegaralar ichida integrallash orqali topish mumkin.
Agar bizga qandaydir f (x) funksiya bilan chegaralangan Ox o'qi atrofida egri chiziqli trapetsiyani aylantirish natijasida olingan jism berilsa, x [a; b]. (3-rasm). Keyin kesma maydonlarni S = p f 2 (x) ma'lum formulasi yordamida hisoblash mumkin. Shuning uchun, bunday inqilob tanasining hajmining formulasi

Antiderivativ.

Antiderivativni misol bilan tushunish oson.

Keling, funktsiyani olaylik y = x 3. Oldingi bo'limlardan ma'lumki, dan olingan NS 3 - 3 NS 2:

(NS 3)" = 3NS 2 .

Shuning uchun, funktsiyadan y = x 3 biz yangi funktsiyani olamiz: da = 3NS 2 .
Majoziy qilib aytganda, funksiya da = NS 3 ta ishga tushirilgan funksiya da = 3NS 2 va uning "ota-onasi". Matematikada "ota-ona" so'zi yo'q, ammo tegishli tushuncha mavjud: antiderivativ.

Ya'ni: funktsiya y = x 3 - funksiya uchun antiderivativ da = 3NS 2 .

Antiderivativning ta'rifi:

Bizning misolimizda ( NS 3)" = 3NS 2, shuning uchun y = x 3 - uchun antiderivativ da = 3NS 2 .

Integratsiya.

Ma'lumki, ga nisbatan hosilani topish jarayoni berilgan funksiya farqlash deyiladi. Va teskari operatsiya integratsiya deb ataladi.

Misol tushuntirish:

da = 3NS 2 + gunoh x.

Yechim:

Biz bilamizki, 3 uchun antiderivativ NS 2 hisoblanadi NS 3 .

Gunoh uchun antiderivativ x-cos x.

Ikkita antiderivativ qo'shing va berilgan funktsiya uchun antiderivativni oling:

y = x 3 + (-cos x),

y = x 3 - chunki x.

Javob:
funktsiya uchun da = 3NS 2 + gunoh x y = x 3 - chunki x.

Misol tushuntirish:

Funksiyaga qarshi hosilani toping da= 2 gunoh x.

Yechim:

E'tibor bering, k = 2. Gunohning antiderivativi x-cos x.

Shuning uchun, funktsiya uchun da= 2 gunoh x antiderivativ funktsiyadir da= –2 cos x.
Funktsiyada 2 koeffitsienti y = 2 sin x bu funktsiya hosil bo'lgan antiderivativ koeffitsientiga to'g'ri keladi.

Misol tushuntirish:

Funksiyaga qarshi hosilani toping y= gunoh 2 x.

Yechim:

Eslab qoling k= 2. Gunoh uchun antiderivativ x-cos x.

Funktsiya uchun antiderivativni topishda formulamizni qo'llaymiz y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

chunki 2 x
y = – ----
2

chunki 2 x
Javob: funktsiya uchun y= gunoh 2 x antiderivativ funktsiyadir y = – ----
2

(4)

Misol tushuntirish.

Oldingi misoldagi funktsiyani olaylik: y= gunoh 2 x.

Ushbu funktsiya uchun barcha antiderivativlar:

chunki 2 x
y = – ---- + C.
2

Tushuntirish.

Keling, birinchi qatorni olaylik. U shunday o'qiladi: agar funktsiya y = f ( x) 0 ga teng bo’lsa, uning anti hosilasi 1. Nima uchun? Chunki olingan birlik nolga teng: 1 "= 0.

Qolgan satrlar bir xil tartibda o'qiladi.

Jadvaldan ma'lumotlarni qanday yozish kerak? Sakkizinchi qatorni olaylik:

(-cos x) "= gunoh x

Biz ikkinchi qismni hosila belgisi bilan, keyin teng belgisi va hosilani yozamiz.

Biz o'qiymiz: gunoh funktsiyasi uchun antiderivativ x-cos funksiyasi x.

Yoki: -cos funktsiyasi x gunohga qarshi hosiladir x.

Hujjat

Ba'zi interval X. Agar uchun har qanday xX F "(x) = f (x), keyin funktsiyasi F chaqirdiantiderivativuchunfunktsiyalari f X oralig'ida. Antiderivativuchunfunktsiyalari topishga harakat qilishingiz mumkin ...

Funktsiya uchun antiderivativ

Hujjat

... . Funktsiya F (x) chaqirdiantiderivativuchunfunktsiyalari f (x) (a; b) oraliqda, agar uchun barcha x (a; b) ning F (x) = f (x) tengligi bajariladi. Masalan, uchunfunktsiyalari x2 antiderivativ bo'ladi funktsiyasi x3 ...

Integral hisoblash asoslari o'quv qo'llanma

Qo'llanma

...; 5. Integralni toping. ; B); C); D); 6. Funktsiyachaqirdiantiderivativ Kimga funktsiyalari to'plamda, agar: uchun hammasi; bir nuqtada; uchun hammasi; ba'zi ... intervalda. Ta'rif 1. Funktsiyachaqirdiantiderivativuchunfunktsiyalari to'plamda, ...

Anti hosila Noaniq integral

Hujjat

Integratsiya. Antiderivativ... Davomiy funktsiyasi F (x) chaqirdiantiderivativuchunfunktsiyalari f (x) agar X oralig'ida uchun har bir F '(x) = f (x). MISOL Funktsiya F (x) = x 3 antiderivativuchunfunktsiyalari f (x) = 3x ...

SSSR MAXSUS TA'LIMI Oliy ta'lim bo'yicha o'quv-uslubiy boshqarmasi tomonidan tasdiqlangan.

Metodik ko'rsatmalar

Savollar uchun o'z-o'zini tekshirish antiderivativfunktsiyalari... Agregatning geometrik ma'nosini ko'rsating antiderivativlarfunktsiyalari... Nima chaqirdi noaniq ...

Maqsad:

• Antiderivativ tushunchaning shakllanishi.
• Integralni idrok etishga tayyorgarlik.
• Hisoblash ko'nikmalarini shakllantirish.
• Go'zallik tuyg'usini tarbiyalash (go'zallikni g'ayrioddiy holatda ko'rish qobiliyati).

Matematik tahlil – funksiyalarni va ularni umumlashtirishni differentsial va integral hisoblash usullari bilan o‘rganishga bag‘ishlangan matematika bo‘limlari yig‘indisidir.

Hozirgacha biz matematik tahlilning differentsial hisob deb ataladigan bo'limini o'rganib chiqdik, uning mohiyati "kichik" dagi funktsiyani o'rganishdir.

Bular. har bir ta'rif nuqtasining etarlicha kichik mahallalarida funktsiyani tekshirish. Differensiallash amallaridan biri hosila (differensial)ni topish va uni funksiyalarni o‘rganishda qo‘llashdir.

Teskari muammo kam emas. Agar funktsiyaning ta'rifining har bir nuqtasi yaqinidagi xatti-harakati ma'lum bo'lsa, unda funktsiyani bir butun sifatida qanday tiklash kerak, ya'ni. uning ta'rifining butun maydonida. Ushbu muammo integral hisob deb ataladigan narsani o'rganish mavzusidir.

Integratsiya differensiatsiyaga qarama-qarshidir. Yoki berilgan f` (x) hosilasidan f (x) funksiyani tiklash. Lotincha "integro" so'zi qayta tiklash degan ma'noni anglatadi.

№1 misol.

(x) `= 3x 2 bo'lsin.
f (x) ni toping.

Yechim:

Differensiallash qoidasiga asoslanib, f (x) = x 3 ekanligini taxmin qilish oson, chunki (x 3) `= 3x 2
Biroq, f (x) noaniq topilganligini ko'rish oson.
f (x) sifatida qabul qilishimiz mumkin
f (x) = x 3 +1
f (x) = x 3 +2
f (x) = x 3 -3 va boshqalar.

Chunki ularning har birining hosilasi 3x 2 ga teng. (Doimiyning hosilasi 0 ga teng). Bu funktsiyalarning barchasi doimiy muddatda bir-biridan farq qiladi. Shunung uchun umumiy qaror vazifalar f (x) = x 3 + C shaklida yozilishi mumkin, bu erda C har qanday doimiy haqiqiy sondir.

Topilgan har qanday f (x) funksiya chaqiriladi ASOSIY F` (x) = 3x 2 funksiyasi uchun

Ta'rif. F (x) funksiya berilgan J oraliqdagi f (x) funksiya uchun anti hosila deb ataladi, agar bu oraliqdan barcha x uchun F` (x) = f (x) bo'lsa. Demak, F (x) = x 3 funksiya f (x) = 3x 2 uchun (- ∞; ∞) ga qarshi hosiladir.
Chunki barcha x ~ R uchun tenglik to'g'ri bo'ladi: F` (x) = (x 3) `= 3x 2

Yuqorida aytib o'tganimizdek, bu funktsiya cheksiz miqdordagi antiderivativlarga ega (1-misolga qarang).

Misol № 2. F (x) = x funksiyasi (0; +) oraliqdagi barcha f (x) = 1 / x uchun antiderivativdir, chunki bu oraliqdagi barcha x uchun tenglik amal qiladi.
F` (x) = (x 1/2) `= 1/2x -1/2 = 1/2x

Misol № 3. F (x) = tg3x funksiyasi f (x) = 3 / cos3x uchun (-n /) oraliqdagi antiderivativdir. 2; NS/ 2),
beri F` (x) = (tg3x) `= 3 / cos 2 3x

Misol № 4. (0; ∞) oraliqda f (x) = 12cos4x-1 / x 2 uchun F (x) = 3sin4x + 1 / x-2 funktsiyaga qarshi hosila.
beri F` (x) = (3sin4x) + 1 / x-2) `= 4cos4x-1 / x 2

2-ma'ruza.

Mavzu: Antiderivativ. Antiderivativ funktsiyaning asosiy xossasi.

Antiderivativni o'rganishda biz quyidagi bayonotga tayanamiz. Funksiyaning doimiyligi mezoni: Agar J oraliqda funksiyaning hosilasi r (x) 0 ga teng bo‘lsa, bu oraliqda r (x) funksiya o‘zgarmas bo‘ladi.

Ushbu bayonotni geometrik tarzda ko'rsatish mumkin.

Ma'lumki, r` (x) = tana, abtsissa x 0 bo'lgan nuqtada r (x) funktsiya grafigiga teginishning a-burchagini gde. Agar J oraliqning istalgan nuqtasida r` (y) = 0 bo'lsa, u holda r (x) funksiya grafigiga har qanday teginish chizig'i uchun tana = 0 d bo'ladi. Demak, funksiya grafigiga istalgan nuqtadagi teginish abtsissa o‘qiga parallel bo‘ladi. Shuning uchun ko'rsatilgan intervalda r (x) funksiyaning grafigi y = C to'g'ri chiziqning segmentiga to'g'ri keladi.

Demak, bu oraliqda f` (x) = 0 bo'lsa, f (x) = c funksiya J oralig'ida o'zgarmasdir.

Darhaqiqat, J oralig'idan ixtiyoriy x 1 va x 2 uchun funktsiyaning o'rtacha qiymati haqidagi teoremaga ko'ra, biz quyidagicha yozishimiz mumkin:
f (x 2) - f (x 1) = f` (c) (x 2 - x 1), chunki f` (c) = 0, keyin f (x 2) = f (x 1)

Teorema: (Qarshi hosila funksiyasining asosiy xossasi)

Agar F (x) J oraliqda f (x) funksiya uchun anti hosilalardan biri bo lsa, u holda bu funksiyaning barcha anti hosilalari to plami: F (x) + S ko rinishga ega bo ladi, bunda S har qanday haqiqiy son.

Isbot:

F` (x) = f (x), keyin (F (x) + C) `= F` (x) + C` = f (x), x Ê J uchun bo'lsin.
Faraz qilaylik, PH (x) - J oralig'ida f (x) uchun boshqa antiderivativ mavjud, ya'ni. P` (x) = f (x),
keyin (P (x) - F (x)) `= f (x) - f (x) = 0, x Ê J uchun.
Bu J oraliqda PH (x) - F (x) doimiy ekanligini bildiradi.
Shuning uchun, P (x) - F (x) = C.
Qayerdan PH (x) = F (x) + C.
Demak, agar F (x) J oraliqda f (x) funktsiyaga qarshi hosila bo'lsa, bu funksiyaning barcha anti hosilalari to'plami F (x) + S ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda S har qanday haqiqiy son.
Binobarin, berilgan funksiyaning har qanday ikkita antiderivativi bir-biridan doimiy had bilan farqlanadi.

Misol: f (x) = cos x funksiyaning anti hosilalari to'plamini toping. Birinchi uchtasining grafiklarini chizing.

Yechim: Sin x - f (x) = cos x funksiyasi uchun antiderivativlardan biri
F (x) = Sin x + S –barcha antiderivativlar to'plami.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x + 1

Geometrik tasvir: Har qanday antiderivativ F (x) + C ning grafigi F (x) ga qarshi hosila grafigidan r (0; c) parallel translatsiya yordamida olinishi mumkin.

Misol: f (x) = 2x funksiya uchun grafigi M (1; 4) nuqtadan o‘tuvchi anti hosilani toping.

Yechim: F (x) = x 2 + C - barcha antiderivativlar to'plami, F (1) = 4 - masala bayoni bo'yicha.
Shuning uchun 4 = 1 2 + C
C = 3
F (x) = x 2 +3

Ushbu o'quv qo'llanma integratsiyaga oid videolar seriyasining birinchisidir. Unda biz funktsiyaning antiderivativi nima ekanligini tahlil qilamiz, shuningdek, ushbu antiderivativlarni hisoblashning elementar usullarini o'rganamiz.

Aslida, bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q: mohiyatiga ko'ra, barchasi siz allaqachon tanish bo'lgan hosila tushunchasiga tushadi. :)

Darhol shuni ta'kidlaymanki, bu bizning yangi mavzuimizda birinchi dars bo'lganligi sababli, bugungi kunda hech qanday murakkab hisoblar va formulalar bo'lmaydi, ammo biz bugun o'rganadigan narsa murakkab integrallarni hisoblashda ancha murakkab hisoblar va tuzilmalar uchun asos bo'ladi. hududlar.

Bundan tashqari, integratsiya va integrallarni o'rganishni boshlaganimizda, biz talaba hech bo'lmaganda hosila tushunchalari bilan tanish va ularni hisoblashda hech bo'lmaganda elementar ko'nikmalarga ega deb bilamiz. Buni aniq tushunmasdan, integratsiyada mutlaqo hech narsa qilish mumkin emas.

Biroq, bu eng keng tarqalgan va makkor muammolardan biridir. Gap shundaki, o'zlarining birinchi antiderivativlarini hisoblashni boshlaganlarida, ko'p talabalar ularni hosilalar bilan aralashtirib yuborishadi. Natijada, imtihonlarda va mustaqil ish ahmoqona va og'riqli xatolarga yo'l qo'yiladi.

Shuning uchun, endi men antiderivativning aniq ta'rifini bermayman. Buning evaziga men oddiy aniq misol yordamida uni qanday hisoblashni ko'rishni taklif qilaman.

Antiderivativ nima va u qanday hisoblanadi

Biz bu formulani bilamiz:

\ [((\ chap (((x) ^ (n)) \ o'ng)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

Ushbu lotin elementar hisoblanadi:

\ [(f) "\ chap (x \ o'ng) = ((\ chap (((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ prime)) = 3 ((x) ^ (2)) \ ]

Olingan ifodani diqqat bilan ko'rib chiqamiz va $ ((x) ^ (2)) $ ni ifodalaymiz:

\ [((x) ^ (2)) = \ frac (((\ chap (((x) ^ (3)) \ o'ng)) ^ (\ prime))) (3) \]

Ammo hosila ta'rifiga ko'ra biz buni shunday yozishimiz mumkin:

\ [((x) ^ (2)) = ((\ chap (\ frac (((x) ^ (3))) (3) \ o'ng)) ^ (\ prime)) \]

Endi e'tibor bering: biz yozgan narsa antiderivativning ta'rifidir. Ammo uni to'g'ri yozish uchun siz quyidagilarni yozishingiz kerak:

Quyidagi iborani shunga o'xshash tarzda yozamiz:

Agar biz ushbu qoidani umumlashtirsak, quyidagi formulani olishimiz mumkin:

\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]

Endi biz aniq ta'rifni shakllantirishimiz mumkin.

Funktsiyaning anti hosilasi deb hosilasi asl funktsiyaga teng bo'lgan funktsiyaga aytiladi.

Antiderivativ savollar

Bu juda oddiy va tushunarli ta'rif bo'lib tuyuladi. Biroq, buni eshitgandan so'ng, diqqatli talaba darhol bir nechta savollarga ega bo'ladi:

1. Aytaylik, yaxshi, bu formula to'g'ri. Biroq, bu holda, $ n = 1 $ uchun bizda muammolar mavjud: denominatorda "nol" paydo bo'ladi va siz "nol" ga bo'linmaysiz.
2. Formula faqat darajalar bilan cheklangan. Antiderivativni qanday hisoblash mumkin, masalan, sinus, kosinus va boshqa har qanday trigonometriya, shuningdek, doimiylar.
3. Ekzistensial savol: har doim ham antiderivativni topish mumkinmi? Agar shunday bo'lsa, ibtidoiy yig'indi, farq, mahsulot va boshqalar haqida nima deyish mumkin?

Men oxirgi savolga darhol javob beraman. Afsuski, antiderivativ, lotindan farqli o'laroq, har doim ham hisobga olinmaydi. Bunday universal formula yo'q, unga ko'ra har qanday boshlang'ich konstruktsiyadan biz shunga o'xshash qurilishga teng bo'lgan funktsiyani olamiz. Darajalar va konstantalarga kelsak - endi biz bu haqda gaplashamiz.

Quvvat funksiyalari bilan bog'liq masalalarni yechish

\ [((x) ^ (- 1)) \ dan \ frac (((x) ^ (- 1 + 1))) (- 1 + 1) = \ frac (1) (0) \]

Ko'rib turganingizdek, bu formula $ ((x) ^ (- 1)) $ uchun ishlamaydi. Savol tug'iladi: keyin nima ishlaydi? $ ((x) ^ (- 1)) $ ni hisoblay olmaymizmi? Albatta qila olamiz. Avval buni eslaylik:

\ [((x) ^ (- 1)) = \ frac (1) (x) \]

Endi o'ylab ko'raylik: qaysi funktsiyaning hosilasi $ \ frac (1) (x) $. Shubhasiz, ushbu mavzuni ozgina o'rgangan har qanday talaba tabiiy logarifmning hosilasi ushbu ifodaga teng ekanligini eslaydi:

\ [((\ chap (\ ln x \ o'ng)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (x) \]

Shunday qilib, biz quyidagilarni ishonch bilan yozishimiz mumkin:

\ [\ frac (1) (x) = ((x) ^ (- 1)) \ dan \ ln x \]

Quvvat funksiyasining hosilasi kabi bu formulani bilishingiz kerak.

Shunday qilib, biz hozir bilamiz:

• Quvvat funktsiyasi uchun - $ ((x) ^ (n)) \ dan \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) $
• Doimiy uchun - $ = const \ to \ cdot x $
• Quvvat funksiyasining alohida holati - $ \ frac (1) (x) \ to \ ln x $

Va agar biz eng oddiy funktsiyalarni ko'paytirishni va bo'lishni boshlasak, unda mahsulot yoki qismning antiderivativini qanday hisoblashimiz mumkin. Afsuski, bu erda asarning hosilasi yoki alohida o'xshashlik ishlamaydi. Standart formula yo'q. Ba'zi hollarda, murakkab maxsus formulalar mavjud - biz ular bilan kelajakdagi video darslarida tanishamiz.

Biroq, esda tuting: qism va mahsulotning hosilasini hisoblash uchun formulaga o'xshash umumiy formula yo'q.

Haqiqiy muammolarni hal qilish

Muammo raqami 1

Keling, har bir quvvat funksiyasini alohida hisoblaylik:

\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]

Bizning ifodamizga qaytsak, biz umumiy konstruktsiyani yozamiz:

Muammo raqami 2

Yuqorida aytib o'tganimdek, ibtidoiy asarlar va xususiy "to'g'ridan-to'g'ri" hisoblanmaydi. Biroq, bu erda siz quyidagicha harakat qilishingiz mumkin:

Biz kasrni ikkita kasr yig'indisiga ajratdik.

Keling, hisoblaymiz:

Yaxshi xabar shundaki, antiderivativlarni hisoblash uchun formulalarni bilish orqali siz murakkabroq tuzilmalarga ishonishingiz mumkin. Biroq, keling, bilimimizni biroz kengaytiraylik. Gap shundaki, bir qarashda $ ((x) ^ (n)) $ bilan hech qanday aloqasi bo'lmagan ko'plab konstruktsiyalar va iboralar ratsional ko'rsatkichli kuch sifatida ifodalanishi mumkin, xususan:

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \]

\ [\ sqrt [n] (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (n))) \]

\ [\ frac (1) (((x) ^ (n))) = ((x) ^ (- n)) \]

Bu usullarning barchasi birlashtirilishi mumkin va kerak. Quvvat ifodalari mumkin

• ko'paytiring (kuchlar qo'shiladi);
• bo'linish (darajalar ayiriladi);
• doimiyga ko'paytirish;
• va hokazo.

Ratsional darajali darajali ifodalarni yechish

Misol № 1

Keling, har bir ildizni alohida hisoblaymiz:

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (2) +1))) (\ frac (1) (2) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (\ frac (3) (2)) = \ frac (2 \ cdot (() x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]

\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (4)))) (\ frac () 1) (4) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (\ frac (5) (4)) = \ frac (4 \ cdot ((x)) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]

Umuman olganda, bizning butun qurilishimiz quyidagicha yozilishi mumkin:

Misol № 2

\ [\ frac (1) (\ sqrt (x)) = ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (- 1)) = ((\ chap (((x) ^ (\ frac) 1) (2))) \ o'ng)) ^ (- 1)) = ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) \]

Shunday qilib, biz olamiz:

\ [\ frac (1) (((x) ^ (3)))) = ((x) ^ (- 3)) \ dan \ frac (((x) ^ (- 3 + 1)) (- 3) +1) = \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) = - \ frac (1) (2 ((x) ^ (2))) \]

Hammasini bitta iborada yig'ib, siz yozishingiz mumkin:

Misol № 3

Birinchidan, biz allaqachon $ \ sqrt (x) $ ko'rib chiqqanimizga e'tibor bering:

\ [\ sqrt (x) \ to \ frac (4 ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]

\ [((x) ^ (\ frac (3) (2))) \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2) +1))) (\ frac (3) (2) ) +1) = \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (2)))) (5) \]

Keling, qayta yozamiz:

Umid qilamanki, agar biz hozirgina o'rgangan narsa antiderivativlarning eng oddiy hisob-kitoblari, eng elementar konstruktsiyalari, desam, hech kimni ajablantirmayman. Keling, biroz ko'proq narsani ko'rib chiqaylik murakkab misollar, unda jadvalli antiderivativlardan tashqari, siz hali ham eslab qolishingiz kerak maktab o'quv dasturi, ya'ni, qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalar.

Murakkab misollarni yechish

Muammo raqami 1

Farqning kvadrati formulasini eslaylik:

\ [((\ chap (a-b \ o'ng)) ^ (2)) = (a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \]

Funktsiyamizni qayta yozamiz:

Endi biz bunday funktsiyaning antiderivativini topishimiz kerak:

\ [((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (3)))) (5) \]

\ [((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (4) (3)))) (4) \]

Hamma narsani umumiy dizaynda birlashtirish:

Muammo raqami 2

Bunday holda, biz farq kubini kengaytirishimiz kerak. Keling, eslaylik:

\ [((\ chap (ab \ o'ng)) ^ (3)) = ((a) ^ (3)) - 3 ((a) ^ (2)) \ cdot b + 3a \ cdot ((b) ^ (2)) - ((b) ^ (3)) \]

Ushbu faktni hisobga olgan holda, uni quyidagicha yozish mumkin:

Funktsiyamizni biroz o'zgartiramiz:

Biz har doimgidek hisoblaymiz - har bir muddat uchun alohida:

\ [((x) ^ (- 3)) \ dan \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) \]

\ [((x) ^ (- 2)) \ dan \ frac (((x) ^ (- 1))) (- 1) \]

\ [((x) ^ (- 1)) \ dan \ ln x \]

Olingan konstruktsiyani yozamiz:

Muammo raqami 3

Yuqorida yig'indining kvadrati bor, uni kengaytiramiz:

\ [\ frac (((\ chap (x + \ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (2))) (x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x \ cdot \ sqrt ( x ) + ((\ chap (\ sqrt (x) \ o'ng)) ^ (2))) (x) = \]

\ [= \ frac (((x) ^ (2))) (x) + \ frac (2x \ sqrt (x)) (x) + \ frac (x) (x) = x + 2 ((x) ^ (\ frac (1) (2))) + 1 \]

\ [((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]

Yakuniy yechimni yozamiz:

Endi diqqat! Xatolar va tushunmovchiliklarning sher ulushi bilan bog'liq bo'lgan juda muhim narsa. Gap shundaki, shu paytgacha antiderivativlarni hosilalar yordamida sanab, transformatsiyalar olib, biz doimiyning hosilasi nima ekanligini o'ylamagan edik. Lekin doimiyning hosilasi "nol" ga teng. Bu shuni anglatadiki, siz quyidagi variantlarni yozishingiz mumkin:

1. $ ((x) ^ (2)) \ dan \ frac (((x) ^ (3))) (3) $
2. $ ((x) ^ (2)) \ dan \ frac (((x) ^ (3)))) (3) + 1 $
3. $ ((x) ^ (2)) \ dan \ frac (((x) ^ (3))) (3) + C $

Buni tushunish juda muhim: agar funktsiyaning hosilasi doimo bir xil bo'lsa, u holda bir xil funktsiya uchun cheksiz ko'p antiderivativlar mavjud. Shunchaki, biz antiderivativlarimizga har qanday doimiy raqamlarni qo'shishimiz va yangilarini olishimiz mumkin.

Hozirgina hal qilgan vazifalarimizni tushuntirishda “Yozing. umumiy shakl antiderivativlar ". Bular. ularning bir emas, balki butun bir ko'pligi borligi oldindan taxmin qilingan. Lekin, aslida, ular faqat oxirida doimiy $ C $ farq qiladi. Shuning uchun biz o'z vazifalarimizda bajarmagan narsalarni tuzatamiz.

Biz konstruktsiyalarimizni yana qayta yozamiz:

Bunday hollarda, siz $ C $ doimiy ekanligini qo'shishingiz kerak - $ C = const $.

Ikkinchi funktsiyamizda biz quyidagi qurilishni olamiz:

Va oxirgisi:

Va endi biz haqiqatan ham muammoning dastlabki holatida bizdan talab qilinadigan narsani oldik.

Berilgan nuqta bilan antiderivativlarni topish masalalarini yechish

Endi, biz konstantalar va antiderivativlarni yozishning o'ziga xos xususiyatlari haqida bilganimizda, mantiqiy ravishda quyidagi turdagi muammolar paydo bo'ladi, bunda barcha antiderivativlar to'plamidan o'tib ketadigan bitta va faqat bittasini topish kerak bo'ladi. belgilash nuqtasi... Bu nima vazifa?

Gap shundaki, bu funktsiyaning barcha antiderivativlari faqat vertikal ravishda qandaydir songa siljiganligi bilan farq qiladi. Bu qaysi nuqtada bo'lishidan qat'iy nazar, degan ma'noni anglatadi koordinata tekisligi biz qabul qilmadik, bitta antiderivativ albatta o'tadi va bundan tashqari, faqat bitta.

Shunday qilib, biz hozir hal qiladigan vazifalar quyidagicha shakllantirildi: asl funktsiyaning formulasini bilgan holda, antiderivativni topibgina qolmay, balki koordinatalari berilgan nuqtadan o'tadigan aniq birini tanlang. muammo bayoni.

Misol № 1

Birinchidan, har bir atamani hisoblaymiz:

\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]

\ [((x) ^ (3)) \ dan \ frac (((x) ^ (4))) (4) \]

Endi biz ushbu iboralarni konstruktsiyamizga almashtiramiz:

Bu funksiya $ M \ chap (-1; 4 \ o'ng) $ nuqtasidan o'tishi kerak. Bu nuqtadan o'tishi nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar $ x $ o'rniga hamma joyda $ -1 $ qo'ysak va $ F \ chap (x \ o'ng) $ - $ -4 $ o'rniga, biz to'g'ri sonli tenglikni olishimiz kerak. Keling buni qilamiz:

Bizda $ C $ uchun tenglama borligini ko'ramiz, shuning uchun uni hal qilishga harakat qilaylik:

Keling, biz izlayotgan yechimni yozamiz:

Misol № 2

Avvalo, qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida farqning kvadratini ochish kerak:

\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]

Asl qurilish quyidagicha yoziladi:

Endi $ C $ topamiz: $ M $ nuqtasining koordinatalarini almashtiramiz:

\ [- 1 = \ frac (8) (3) -12 + 18 + C \]

$C $ ifodalash:

Yakuniy ifodani ko'rsatish uchun qoladi:

Trigonometrik masalalarni yechish

Biz tahlil qilgan narsalarga yakuniy akkord sifatida men trigonometriyani o'z ichiga olgan yana ikkita murakkab muammolarni ko'rib chiqishni taklif qilaman. Ularda, xuddi shu tarzda, barcha funktsiyalar uchun antiderivativlarni topishingiz kerak, keyin ushbu to'plamdan koordinata tekisligidagi $ M $ nuqtasidan o'tadigan yagona narsani tanlang.

Oldinga qarab, shuni ta'kidlashni istardimki, biz endi trigonometrik funktsiyalarning antiderivativlarini topish uchun foydalanadigan usul, aslida, o'z-o'zini sinab ko'rishning universal usulidir.

Muammo raqami 1

Keling, quyidagi formulani eslaylik:

\ [((\ chap (\ matn (tg) x \ o'ng)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \]

Bunga asoslanib, biz yozishimiz mumkin:

$ M $ koordinatalarini ifodamizga kiritamiz:

\ [- 1 = \ text (tg) \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Matn ()) (\ text (4)) + C \]

Keling, ushbu faktni hisobga olgan holda ifodani qayta yozamiz:

Muammo raqami 2

Bu erda biroz qiyinroq bo'ladi. Endi nima uchun buni bilib olasiz.

Keling, ushbu formulani eslaylik:

\ [((\ chap (\ matn (ctg) x \ o'ng)) ^ (\ prime)) = - \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]

"Minus" dan xalos bo'lish uchun siz quyidagilarni qilishingiz kerak:

\ [((\ chap (- \ matn (ctg) x \ o'ng)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]

Mana bizning qurilishimiz

$ M $ nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz:

Hammasi bo'lib, biz yakuniy qurilishni yozamiz:

Bugun sizga aytmoqchi bo'lganim shu edi. Biz antiderivativ atamasining o'zini, ularni elementar funktsiyalardan qanday hisoblashni, shuningdek, orqali o'tadigan antiderivativni qanday topishni o'rgandik. aniq nuqta koordinata tekisligida.

Umid qilamanki, ushbu qo'llanma sizga ushbu murakkab mavzuni ozgina bo'lsa ham tushunishga yordam beradi. Qanday bo'lmasin, noaniq va noaniq integrallar antiderivativlarga asoslanadi, shuning uchun ularni sanash mutlaqo kerak. Men uchun hammasi shu. Keyingi safargacha!