Zenon paradokslari“... shunday shov-shuvga sabab bo'ldi,
hozir ham siz ba'zi to'lqinlarni ko'rishingiz mumkin "

D. Ya. Stroik, matematika tarixi bo'yicha qisqacha insho,
M., "Nauka", 1964, bet. 53.

Zenon qator shakllantirdi aporiya("erimaydigan takliflar"), ko'rsatish - zamonaviy tilda - ularda hisobga olinadiikkita jarayon bir-biriga mos keladi: jismoniy harakatning o'zi va ongimizda uning alohida bo'laklari ketma-ketligining paydo bo'lishi va bu mantiqiy qarama-qarshiliklarga olib keladi.

"Kimdan 45 Zenon tomonidan ilgari surilgan aporiyalar bizgacha etib kelgan 9 . Klassik besh aporiyalar, unda Zenon to'plam va harakat tushunchalarini tahlil qiladi. Birinchisi, "o'lchov aporiyasi" deb nomlangan Simplicius tomonidan quyidagicha ta'kidlangan: "Agar narsaning o'lchami bo'lmasa, u mavjud emasligini isbotlab, Zenon qo'shimcha qiladi: "Agar narsa mavjud bo'lsa, u kerak. ma'lum bir o'lchamga, ma'lum bir qalinlikka ega va undagi narsalar o'rtasida o'zaro farq bor. Xuddi shu narsani avvalgisi haqida, bu narsaning dixotomiyali bo'linishda kichiklikda oldin bo'lgan qismi haqida ham aytish mumkin. Demak, bu avvalgisi ham avvalgisiga nisbatan qandaydir kattalikka ega bo'lishi kerak. Bir marta aytilgan narsa har doim takrorlanishi mumkin. Shunday qilib, hech qachon bir-biridan farq qiladigan qismlar bo'lmagan ekstremal chegara bo'lmaydi. Demak, agar ko'plik mavjud bo'lsa, narsalar bir vaqtning o'zida katta va kichik bo'lishi va kattaligi bo'lmaydigan darajada kichik va cheksiz bo'lishi kerak.

Zenonning argumenti, ehtimol, qarshi qaratilgan Pifagoriy jismlar "sonlardan iborat" degan tushuncha.

Darhaqiqat, agar biz raqamni qiymatga ega bo'lmagan nuqta deb hisoblasak ("qalinlik", uzunlik), unda bunday nuqtalar yig'indisi (tana) ham qiymatga ega bo'lmaydi, lekin agar biz "tanaviy" deb hisoblasak. ” soni qandaydir chekli qiymatga ega bo'lgani uchun, tana shunday nuqtalarning cheksiz sonini o'z ichiga olganligi sababli (tana uchun Zenonning taxminiga ko'ra, "cheksiz" bo'linishi mumkin), u cheksiz qiymatga ega bo'lishi kerak. Bundan kelib chiqadiki, jismni bo'linmas birliklar yig'indisi sifatida tasavvur qilib bo'lmaydi, buni biz maqolada ko'rdik. Pifagorchilar.

Zenon fikrini davom ettirsak, ehtimol, aytishimiz mumkin: agar "birlik" bo'linmas bo'lsa, unda u fazoviy qiymatga (nuqta) ega emas; agar u kichik qiymatga ega bo'lsa, u cheksiz bo'linadi. Eleatika birinchi navbatda fanga savol berdi, bu bugungi kungacha eng muhim metodologik savollardan biri hisoblanadi: Kontinuumni qanday tasavvur qilish kerak - diskretmi yoki uzluksizmi? bo'linmaydiganlar (birliklar, "birliklar", monadalar) yoki bo'linadigan ad infinitumdan iboratmi?

Endi har qanday qiymat birliklardan (pifagorchilarning arifmetik soni kabi), bo'linmas "butunlardan" iboratmi yoki uning o'zi bir butun bo'ladimi va uning tarkibiy elementlari mustaqil mavjudlikka ega emasmi, nuqtai nazaridan tushunish kerak. Bu savol songa nisbatan ham, fazoviy qiymatga ham (chiziq, tekislik, hajm) va vaqtga nisbatan qo'yiladi. Kontinuum muammosining yechimiga qarab tabiat va insonni o'rganishning turli usullari, ya'ni turli ilmiy dasturlar shakllanadi.

Gaidenko P.P., Fan kontseptsiyasining evolyutsiyasi: birinchi ilmiy dasturlarning shakllanishi va rivojlanishi, M., "Urss", 2010, p. 65-67.

“O Elea Zenon va uning paradokslari, masalan, toshbaqaga yeta olmaydigan, chaqqon oyoqli Axilles haqidagi mashhur topishmoq, ko'rinib turibdiki, allaqachon ko'p yozilganki, formulalarga qaytishning hojati yo'q. 5-asrda u tomonidan. Miloddan avvalgi e. Fanda harakatning namoyon bo'lishi va "to'plam" tushunchasi (uzluksiz va diskret nisbati) bilan bog'liq "qiyin savollar" (aporias).

O'shandan beri Zenonning aporiyalari matematiklar va faylasuflarni qiziqtirishdan to'xtamadi. Biroq, bugungi kunga qadar ular haqida juda xilma-xil fikrlar mavjud: ularga nisbatan mutlaqo nafratlangan munosabatdan tortib, matematika va fizikani asoslashning eng muhim va qiyin masalalaridan biri ekanligini tan olishgacha.

Shunday qilib, mashhur frantsuz matematigi Pol Levi Axilles va toshbaqa haqidagi paradoks ochiq-oydin absurdga o'xshaydi.

"Nega tasavvur qiling, - deb yozadi u, - ma'lum bir faylasuf konvergent qator shartlarini sanab o'tish bilan band bo'lganligi sababli vaqt o'z yo'nalishini to'xtatadi?" “Tan olamanki, men aqlli odamlarni bu paradoks bilan qanday qilib chalkashtirib yuborishini hech qachon tushunmaganman va hozirgina aytib o'tgan javobim, men o'n bir yoshligimda menga bu paradoksni aytgan eng kattasiga bergan javobimdir. , yoki, aniqrog'i, xuddi shunday javob bor, men o'shanda shunday lakonik formula bilan umumlashtirgandim: "Bu yunon ahmoq edi".

Endi men o'z fikrlarimni yanada xushmuomalalik bilan ifodalash kerakligini bilaman va Zenon o'z paradokslarini faqat shogirdlarining mantiqiyligini sinab ko'rish uchun tushuntirgandir. Ammo konvergent qator tushunchasi bilan chalkashib ketgan ongimdagi hayratim o'zgarishsiz qoldi. (P. Levy, A propos du paradoxe et de la logique, Rev. Meta-phys. Moral, 1957, No 2, 130-bet).

Yanovskaya S. A., Fanning metodologik muammolari, M., KomKniga, 2006, p. 214.

Eleyalik Zenon yunon mantiqi va faylasufi bo'lib, asosan uning nomi bilan atalgan paradokslar bilan mashhur. Uning hayoti haqida ko'p narsa ma'lum emas. Zenonning ona shahri - Elea. Aflotun asarlarida faylasufning Sokrat bilan uchrashishi ham tilga olingan.

Miloddan avvalgi 465 yil atrofida e. Zenon o'zining barcha g'oyalarini batafsil bayon etgan kitob yozgan. Ammo, afsuski, u bizning kunlarimizga etib bormadi. Afsonaga ko'ra, faylasuf zolim bilan jangda vafot etgan (ehtimol Elea, Nearxning boshlig'i). Eleatik haqidagi barcha ma'lumotlar asta-sekin to'plangan: Aflotun (Zenondan 60 yil keyin tug'ilgan), Aristotel va uch asrdan keyin yunon faylasuflarining tarjimai hollari kitobini yozgan Diogen Laertius asarlaridan. Yunon falsafasi maktabining keyingi namoyandalari: Femissiy (milodiy 4-asr), Aleksandr Afrodiy (milodiy 3-asr), shuningdek, Filopon va Simpliysiy (ikkalasi ham milodiy 6-asrda yashagan) asarlarida Zenon haqida maʼlumotlar bor. ). Qolaversa, bu manbalardagi ma'lumotlar bir-biriga shunchalik mos keladiki, faylasufning barcha g'oyalarini ulardan qayta qurish mumkin. Ushbu maqolada biz sizga Zenonning paradokslari haqida gapirib beramiz. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

To'plamning paradokslari

Pifagor davridan beri fazo va vaqt faqat matematika nuqtai nazaridan ko'rib chiqildi. Ya'ni, ular ko'p lahzalar va nuqtalardan iborat deb hisoblangan. Biroq, ular aniqlashdan ko'ra his qilish osonroq bo'lgan xususiyatga ega, ya'ni "uzluksizlik". Zenonning ayrim paradokslari uni moment yoki nuqtalarga bo‘lish mumkin emasligini isbotlaydi. Faylasufning fikr-mulohazalari quyidagilardan iborat: “Keling, bo‘linishni oxirigacha bajardik, deb faraz qilaylik. Shunda ikkita variantdan faqat bittasi to'g'ri bo'ladi: yo qolgan qismda mumkin bo'lgan minimal miqdorlarni yoki bo'linmaydigan, lekin soni bo'yicha cheksiz qismlarni olamiz yoki bo'linish bizni qiymatsiz qismlarga olib keladi, chunki uzluksizlik bir hil bo'lishi kerak. har qanday sharoitda bo'linishi mumkin. U bir qismga bo'linmaydi, boshqasiga bo'linmaydi. Afsuski, ikkala natija ham juda kulgili. Birinchisi, bo'linish jarayoni tugamasligi, qolgan qismi esa qiymatga ega bo'lgan qismlarni o'z ichiga olganligi bilan bog'liq. Ikkinchisi esa, bunday vaziyatda avvaliga butun yo'qdan vujudga kelgan bo'lar edi. Simplicius bu fikrni Parmenidga bog'lagan, ammo uning muallifi Zenon bo'lishi mumkin. Keling, oldinga boraylik.

Zenonning harakat haqidagi paradokslari

Ular faylasuf haqidagi ko'pgina kitoblarda ko'rib chiqiladi, chunki ular Eleatika tuyg'ularining dalillari bilan mos kelmaydi. Harakatga nisbatan Zenonning quyidagi paradokslari ajralib turadi: "O'q", "Dixotomiya", "Axilles" va "Bosqichlar". Va ular Aristotel tufayli bizga etib kelishdi. Keling, ularni batafsil ko'rib chiqaylik.

"O'q"

Yana bir nomi Zenon kvant paradoksidir. Faylasufning ta'kidlashicha, har qanday narsa yo to'xtaydi yoki harakat qiladi. Lekin egallagan makon kattaligi bo'yicha unga teng bo'lsa, hech narsa harakatda bo'lmaydi. Muayyan vaqtda harakatlanuvchi o'q bir joyda. Shuning uchun u harakat qilmaydi. Simplisius bu paradoksni qisqa shaklda ifodalagan: “Uchib yuruvchi jism fazoda teng joy egallaydi, lekin kosmosda teng joy egallagan narsa harakat qilmaydi. Shuning uchun o'q tinch holatda." Femistius va Felopon shunga o'xshash variantlarni ishlab chiqdilar.

"Dixotomiya"

"Zenon paradokslari" ro'yxatida ikkinchi o'rinni egallaydi. Unda shunday deyilgan: “Harakat qila boshlagan jism ma’lum masofani bosib o‘tishidan oldin u shu yo‘lning yarmini, keyin qolgan qismini yarmini bosib o‘tishi kerak va hokazo. Masofaning yarmiga takroriy bo'linishi bilan segment har doim chekli bo'lib qoladi va berilgan segmentlar soni cheksiz bo'lgani uchun, bu masofani cheklangan vaqt ichida engib bo'lmaydi. Bundan tashqari, bu dalil kichik masofalar uchun ham, yuqori tezliklar uchun ham amal qiladi. Shuning uchun har qanday harakat mumkin emas. Ya'ni, yuguruvchi hatto boshlay olmaydi.

Simplicius bu paradoksni juda batafsil izohlab, bu holda cheksiz vaqt ichida cheksiz miqdordagi teginishlar qilish kerakligini ta'kidladi. "Biror narsaga tegib turgan kishi hisoblashi mumkin, lekin cheksiz to'plamni ajratib bo'lmaydi yoki sanab bo'lmaydi." Yoki, Filopon aytganidek, cheksiz to‘plamni aniqlab bo‘lmaydi.

"Axilles"

Zenonning toshbaqa paradoksi sifatida ham tanilgan. Bu faylasufning eng mashhur mulohazasidir. Harakatda Axilles toshbaqa bilan yugurishda raqobatlashadi, unga boshida kichik boshli start beriladi. Paradoks shundaki, yunon jangchisi toshbaqani quvib yeta olmaydi, chunki u dastlab uning boshlangan joyiga yuguradi va u allaqachon keyingi nuqtada bo'ladi. Ya'ni, toshbaqa har doim Axillesdan oldinda bo'ladi.

Bu paradoks dixotomiyaga juda o'xshaydi, lekin bu erda cheksiz bo'linish progressiyaga ergashadi. Dixotomiya holatida regressiya bor edi. Misol uchun, xuddi shu yuguruvchi boshlay olmaydi, chunki u o'z joyini tark eta olmaydi. Va Axilles bilan bog'liq vaziyatda, agar yuguruvchi boshlangan bo'lsa ham, u hali ham hech qaerga yugurmaydi.

"Bosqichlar"

Agar Zenonning barcha paradokslarini murakkablik nuqtai nazaridan solishtirsak, bu g'olib chiqadi. Ta'riflash boshqalarga qaraganda qiyinroq. Simplicius va Aristotel bu fikrni parcha-parcha tasvirlab bergan va uning ishonchliligiga 100% ishonch bilan tayanib bo'lmaydi. Ushbu paradoksning qayta tiklanishi quyidagi ko'rinishga ega: A1, A2, A3 va A4 teng o'lchamdagi qo'zg'almas jismlar, B1, B2, B3 va B4 esa A bilan bir xil o'lchamdagi jismlar bo'lsin. B jismlar o'ngga siljiydi, shunda har bir B o'tadi Va bir lahzada, bu barcha mumkin bo'lgan eng kichik vaqt davri. B1, B2, B3 va B4 jismlar A va B ga o'xshash jismlar bo'lsin va A ga nisbatan chapga, har bir jismni bir lahzada yengib o'tsin.

Shubhasiz, B1 to'rtta B jismini ham yengib o'tdi. Keling, bir jism sifatida C bir jismning bir tanasi B o'tishi uchun ketgan vaqtni olaylik. Bu holda butun harakat uchun to'rt birlik kerak edi. Biroq, bu harakat davomida o'tgan ikki lahza minimal va shuning uchun bo'linmaydi, deb ishonilgan. Bundan kelib chiqadiki, to'rtta bo'linmas birlik ikkita bo'linmas birlikka teng.

"Joy"

Shunday qilib, endi siz Elea Zenonining asosiy paradokslarini bilasiz. "Joy" nomi bilan mashhur bo'lgan ikkinchisi haqida gapirish qoladi. Bu paradoks Aristotel tomonidan Zenonga tegishli. Xuddi shunday mulohazalar eramizning VI asrida Filopon va Simpliksiyning asarlarida ham keltirilgan. e. Aristotel o'zining "Fizika" asarida bu muammo haqida qanday gapiradi: "Agar joy mavjud bo'lsa, u qaerdaligini qanday aniqlash mumkin? Zenon duch kelgan qiyinchilik tushuntirishni talab qiladi. Mavjud hamma narsaning o'z o'rni borligi sababli, makonning ham o'z o'rni bo'lishi kerakligi ayon bo'ladi va hokazo." Aksariyat faylasuflarning fikriga ko'ra, paradoks bu erda faqat mavjud bo'lgan hech narsa o'zidan farq qila olmasligi va o'zida saqlanishi mumkin emasligi sababli paydo bo'ladi. Filopon fikricha, “joy” tushunchasining oʻziga qarama-qarshiligiga eʼtibor qaratib, Zenon koʻplik nazariyasining nomuvofiqligini isbotlamoqchi boʻlgan.

Har qanday joyga borish uchun siz avval yo'lning yarmini, so'ngra qolgan masofani yarmini bosib o'tishingiz kerak va hokazo. Bundan muqarrar ravishda xulosa kelib chiqadi: printsipial jihatdan yakuniy nuqtaga etib bo'lmaydi, shuning uchun harakatning o'zi ham mumkin emas.

Bu paradoks dixotomiya paradoksi deb ataladi. Mualliflik huquqi qadimgi yunon faylasufi Zenonga tegishli. Taxminlarga ko'ra, u koinotning o'ziga xosligining isboti sifatida shakllantirilgan va o'zgarish, shu jumladan harakat ham mumkin emas (Zenonning o'qituvchisi Parmenid ishonganidek).

Odamlar ko'p asrlar davomida bu paradoksni intuitiv ravishda rad etishdi. Matematik nuqtai nazardan, 19-asrda ishlab chiqilgan yechim yarim plyus to'rtdan bir ortiqcha sakkizdan bir ortiqcha o'n oltinchi va hokazolarni tan olishdir. birlikni tashkil qiladi. Bu nol butun son va davrdagi to‘qqiz birga teng degandek.

Biroq, bu nazariy yechim, aslida, ob'ekt o'z harakatining oxirgi nuqtasiga qanday etib borishi mumkinligi haqidagi savolga javob bermaydi. Agar biz 20-asrning materiya, vaqt va makonning cheksiz bo'linishini inkor etuvchi nazariyalarga tayanadigan bo'lsak, bu muammoni hal qilish ancha murakkab va hali ham aniq emas.

Eleyalik Zenon o'sha yunon falsafiy maktabiga mansub bo'lib, dunyodagi har qanday o'zgarish xayoliy, borliq esa yagona va o'zgarmasdir. Uning paradoksi (to'rtta aporiya (yunoncha aporia "chiqish yo'q") shaklida tuzilgan), shundan so'ng yana qirqga yaqin turli xil variantlar paydo bo'ldi) harakat, "ko'rinadigan" o'zgarish naqshi mantiqan mumkin emasligini ko'rsatadi.

Aksariyat zamonaviy kitobxonlar Zenon paradoksini yuqoridagi formulada aniq bilishadi (u ba'zan dichotomiya deb ataladi - yunoncha. dichotomia "ikkiga bo'linish"). Xonani kesib o'tish uchun siz birinchi navbatda yarmiga borishingiz kerak. Ammo keyin qolganlarning yarmini, undan keyin qolgan yarmini va hokazolarni engishingiz kerak. Ushbu ikkiga bo'linish cheksiz davom etadi, undan siz hech qachon xonani kesib o'ta olmaysiz degan xulosaga keladi.

Axilles nomi bilan tanilgan Aporiya yanada ta'sirli. Qadimgi yunon qahramoni Axilles toshbaqa bilan yugurishda bellashadi. Agar toshbaqa Axillesdan bir oz oldinroq boshlasa, unga etib borish uchun u birinchi navbatda boshlangan joyga yugurishi kerak. Ammo u erga etib borguncha, toshbaqa Axilles toshbaqaga yetib olishdan oldin bosib o'tishi kerak bo'lgan bir oz masofani sudrab bo'ladi. Ammo bu vaqt ichida toshbaqa oldinga bir oz ko'proq emaklaydi. Va bunday segmentlarning soni cheksiz bo'lgani uchun, tez oyoqli Axilles hech qachon toshbaqani quvib yetmaydi.

Mana yana bir aporiya, Zenon so'zlari:

Agar biror narsa harakatlansa, u yoki o'zi egallab turgan joyda yoki mavjud bo'lmagan joyda harakat qiladi. Biroq, u o'zi egallagan joyda harakat qila olmaydi (chunki u har qanday vaqtda barcha makonni egallaydi), lekin u mavjud bo'lmagan joyda ham harakatlana olmaydi. Shuning uchun harakat qilish mumkin emas.

Ushbu paradoks o'q deb ataladi (vaqtning har bir daqiqasida uchuvchi o'q uzunligiga teng joyni egallaydi, shuning uchun u harakat qilmaydi).

Nihoyat, to'rtinchi aporiya mavjud bo'lib, unda biz qarama-qarshi yo'nalishlarda teng tezlikda parallel ravishda harakatlanadigan, uzunligi teng odamlarning ikkita ustuni haqida gapiramiz. Zenonning ta'kidlashicha, ustunlar bir-biridan o'tishi uchun ketadigan vaqt bir kishining butun ustundan o'tishi uchun zarur bo'lgan vaqtning yarmiga teng.

Ushbu to'rt aporiyadan birinchi uchtasi eng mashhur va eng paradoksaldir. To'rtinchisi, oddiygina nisbiy harakatning tabiatini noto'g'ri tushunish bilan bog'liq.

Zenon paradoksini inkor etishning eng qo‘pol va noo‘rin usuli bu o‘rnidan turib xonani kesib o‘tish, toshbaqadan oshib o‘tish yoki o‘q otishdir. Ammo bu uning fikrlash jarayoniga ta'sir qilmaydi. 17-asrgacha mutafakkirlar uning zukko mantiqini rad etishning kalitini topa olmadilar. Isaak Nyuton va Gotfrid Leybnits chegara tushunchasi bilan ishlaydigan differensial hisob g'oyasini taqdim etgandan keyingina muammo hal qilindi; fazoning bo'linishi va vaqtning bo'linishi o'rtasidagi farq aniq bo'lgandan keyin; nihoyat, cheksiz va cheksiz kichik miqdorlar bilan ishlashni o'rgangandan so'ng.

Keling, xonani kesib o'tish misolini olaylik. Darhaqiqat, yo'lning har bir nuqtasida siz qolgan yo'lning yarmini bosib o'tishingiz kerak, ammo buning uchun sizga yarim vaqt kerak bo'ladi. Qanchalik qisqa masofa bo'lsa, shunchalik kam vaqt ketadi. Shunday qilib, xonani kesib o'tish uchun zarur bo'lgan vaqtni hisoblashda biz cheksiz sonli cheksiz kichik intervallarni qo'shamiz. Biroq, bu barcha intervallarning yig'indisi cheksiz emas (aks holda xonani kesib o'tish mumkin emas), lekin ba'zi cheklangan songa teng - va shuning uchun biz cheklangan vaqt ichida xonani kesib o'tishimiz mumkin.

Bunday isbotlash kursi differensial hisoblashda chegarani topishga o'xshaydi. Keling, chegara g'oyasini Zenon paradoksi nuqtai nazaridan tushuntirishga harakat qilaylik. Agar biz xona bo'ylab bosib o'tgan masofamizni shu vaqtga bo'linadigan bo'lsak, biz ushbu oraliqda bosib o'tgan o'rtacha tezlikni olamiz. Ammo masofa ham, vaqt ham qisqarsa (va oxir-oqibat nolga tushadi), ularning nisbati chekli bo'lishi mumkin - aslida bu sizning harakatingiz tezligi. Har ikkala masofa va vaqt nolga moyil bo'lsa, bu nisbat tezlik chegarasi deb ataladi. O'zining paradoksida Zenon yanglishib, masofa nolga tushganda vaqt o'zgarmaydi, deb taxmin qiladi.

manbalar

Harakat mumkin emasligini ko'rsatadigan paradoksning bir nechta formulalari mavjud. Xo'sh, esda tutingki, toshbaqani bosib o'tishning iloji yo'qligi, yarmining abadiy o'tishi va qaerda bo'lsangiz va qaerda bo'lmasangiz, harakat qilishning iloji yo'qligi haqida. Men ularni mantiq bilan rad etaman.

To'rtinchi paradoks ham bor, askarlar bir-birlari bilan uchrashadigan ustunlar haqida, bu 2 + 2 hisoblab bo'lmaydigan qandaydir ahmoqona tormozdir. Bu juda shafqatsiz.

Shunday qilib, paradoksning qolgan uchta variantini ko'rib chiqing.

Variant 1 (eng mashhur)

A dan B gacha bo'lgan masofani kesib o'tish uchun birinchi navbatda yarim yo'lni bosib o'tishingiz kerak. Ammo keyin qolganlarning yarmini, undan keyin qolgan yarmini va hokazolarni engishingiz kerak. Yo'lning qolgan yarmining bu o'tishi cheksiz davom etadi va ob'ekt B ga cheksiz yaqinlashsa ham, u hech qachon B nuqtasiga to'g'ridan-to'g'ri tegmaydi.

Biz ushbu paradoksni bitta oddiy bayonot bilan tuzatamiz: "bo'sh joy diskretdir". Bu sutchi Toni uchun nimani anglatadi? Va mana nima. Bu shuni anglatadiki, A va B o'rtasida A va B dan harakatlanuvchi jism joylashishi mumkin bo'lgan cheksiz ko'p geometrik spekulyativ nuqtalar mavjud emas.Va bu jism joylashgan bo'lishi mumkin bo'lgan cheklangan miqdordagi o'ziga xos pozitsiyalar mavjud. Bular. agar ikkita qo'shni bunday pozitsiya mavjud bo'lsa, u holda tana bir holatda yoki boshqa holatda bo'lishi mumkin, lekin o'rtada emas. Ularning orasidagi o'tish bir zumda sodir bo'ladi. Sog'uvchi Tonya bundan keyin tushunmaydi, shuning uchun u sog'inishi mumkin. Bu atomdagi energiya darajalari bilan bir xil. Elektron u yoki bu darajada bo'lishi mumkin, lekin o'rtada emas. Nega biz bu diskretlikni ko'rmayapmiz? Va shuning uchun u juda kichkina. 10 dan quvvat minus 33 ga, Plank uzunligi, ta'bir joiz bo'lsa. Bu qadriyatlardan kamroq, bizning jasur fizika qonunlarimiz ishlashni to'xtatadi, chunki u erda - bizning fikrimizcha, to'liq tartibsizlik bo'ladi. Uni qayerdan oldim? Superstring nazariyasiga qarang. Agar kimdir bilmasa, bu fantaziya emas, balki biror narsani hisoblashda yordam bergan va unda ishlaydigan odamlar barcha ma'lum kuchlarni birlashtirishga harakat qiladigan haqiqiy jismoniy nazariyadir. Ya’ni, oddiy odamlarning so‘zlarini takrorlash, “hamma narsa nazariyasi” yoki “ona nazariyasini” yaratish.

Variant 2 (juda mashhur)

Axilles toshbaqa bilan yugurishda raqobatlashishga qaror qildi. Unga biroz bosh qo'ydi. Toshbaqaga yetib olish uchun Axilles birinchi navbatda uning boshlangan joyiga yugurishi kerak. Ammo u erga etib borguncha, toshbaqa Axilles toshbaqaga yetib olishdan oldin bosib o'tishi kerak bo'lgan bir oz masofani sudrab bo'ladi. Ammo bu vaqt ichida toshbaqa oldinga bir oz ko'proq emaklaydi. Va bunday segmentlarning soni cheksiz bo'lgani uchun, tez oyoqli Axilles hech qachon toshbaqani quvib yetmaydi.

Xo'sh, birinchidan, bu o'zini ko'rsatish va koeffitsient berish uchun anjir emas edi. Hech qachon toshbaqani kamsitmang. Ikkinchidan, biz ushbu variantni diskret makon nuqtai nazaridan ko'rib chiqamiz. Axilles tezroq do'st va baquvvatroq. Bunda energiya deganda biz Axillesning fazoning bir hujayrasidan ikkinchisiga sakrash qobiliyatini tushunamiz. Ma'lum bo'lishicha, masalan, Axillesning keyingi katakchaga o'tishi uchun atigi 0,1 soniya kerak bo'ladi (tormoz, lekin agar kimdir tushunsa, nima qila olasiz, albatta), chunki ular o'z moddasini harakat bilan tezroq pompalaydilar. Toshbaqa odatda o'ldiriladi va baquvvat ravishda yo'q. Kosmosning keyingi katagiga o'tish uchun materiyani harakat bilan pompalash uchun unga butun bir soniya kerak bo'ladi. Va bundan oldin, u hali ham avvalgisida qoladi. Bular. u o'z kamerasida turib, keyingisiga o'tish uchun harakatlanayotganda, Axilles allaqachon 9 marta harakatni pompalagan va 9 hujayradan sakrab o'tgan. Ammo toshbaqa hali ham o'sha erda. Bular. ko'p hollarda, bu musobaqada "Ammo u erga etib borguncha, toshbaqa biroz masofani sudrab bo'ladi" iborasi noto'g'ri. Emaklamang, vaqtingiz yo'q. Shuning uchun u tezda unga etib boradi va uni bosib oladi.

3-variant (dastlab ajoyib ko'rinadi, keyin bu lingvistik hazil ekanligi ayon bo'ladi)

Agar biror narsa harakatlansa, u yoki o'zi egallab turgan joyda yoki mavjud bo'lmagan joyda harakat qiladi. Biroq, u o'zi egallagan joyda harakat qila olmaydi (chunki u har qanday vaqtda barcha makonni egallaydi), lekin u mavjud bo'lmagan joyda ham harakatlana olmaydi. Shuning uchun harakat qilish mumkin emas.

Bu erda menda makonning diskretligi haqida tushuntirish bor, lekin qandaydir tarzda bu menga yoqmaydi, chunki bu "va bu erda sizda xatolik bor" dan ko'ra "ahmoqning o'zi" kabi ko'rinadi. Xo'sh, nima qilish kerak.

Umuman olganda, savolni shakllantirishning o'zi to'g'ri emas degan fikr bor. Biz harakat nima ekanligini tushunishimiz kerak. Diskret fazoda bu keyingi pozitsiyaga o'tish va keyin boshqa pozitsiyaga o'tish uchun ba'zi potentsiallarni to'plash jarayonidir. Shuning uchun, ha, to'planish jarayonida ob'ekt o'z hajmini egallaydi va unda harakat qilmaydi, lekin keyin u darhol kerakli miqdordagi harakat energiyasini to'plagandan so'ng, biroz uzoqroq bo'lib chiqadi. Bular. u mavjud bo'lmagan joyda harakat qilmaydi, faqat mavjud bo'lmagan joyda paydo bo'ladi. Umuman olganda, cheksiz silliq harakat yo'q.

Va bu paradoksda so'zlarning qandaydir o'yinlari bor, "u mavjud bo'lmagan joyda harakat qila olmaydi" - bu shunchaki hazil. U UYERDA emas, U YERDA harakat qilmoqda va bu bo'sh joyni egallashi mumkin.

Shunday qilib, diskret makon paradokslarni yo'q qiladi.

Zenon (miloddan avvalgi 490-yillar - miloddan avvalgi 430-yillar) dunyodagi har qanday oʻzgarish illyuziya, borliq esa yagona va oʻzgarmas ekanligini eʼlon qilgan Eleat yunon falsafa maktabiga mansub edi. Zenonning ustozi Parmenid shunday degan edi: "Olam o'zgarmasdir, chunki o'zgarishni tan olsak, biz mavjud narsaning yo'qligini tan olgan bo'lardik, faqat mavjudlik bor" (). Zenonning nuqtai nazari ko'proq dialektikdir. U aytdi: “Sizning o'zgarishingiz borligini faraz qiling; unda, o'zgarishdagi kabi, uning hechligi o'z ichiga oladi, yoki boshqacha aytganda, mavjud emas. Shu bilan birga, shuni ta'kidlash kerakki, Parmenid uchun o'zgarish aniq va to'liq harakatni anglatardi, Zenon esa harakatga qarshi, boshqacha aytganda, sof harakatga qarshi gapirdi va gapirdi. "Sof borliq harakat emas, aksincha, harakatning hechligidir."

Qarama-qarshi nuqtai nazarga ega bo'lganlar uchun Zenon o'zining to'rtta aporiya (yunoncha aporia "chiqish yo'li yo'q") shaklida tuzilgan paradoksini rad etishni taklif qildi va bu harakat ("ko'rinadigan" o'zgarish modeli) ekanligini ko'rsatdi. mantiqan imkonsiz. Aksariyat zamonaviy kitobxonlar Zenon paradoksini yuqoridagi formulada aniq bilishadi (u ba'zan dichotomiya deb ataladi - yunoncha. dichotomia "ikkiga bo'linish"). Birinchi aporiya xonani kesib o'tishning iloji yo'qligini e'lon qildi. Axir, avval siz yo'lning yarmini engishingiz kerak. Ammo keyin qolganlarning yarmini, undan keyin qolgan yarmini va hokazolarni engishingiz kerak. Ushbu ikkiga bo'linish cheksiz davom etadi, undan siz hech qachon xonani kesib o'ta olmaysiz degan xulosaga keladi.

"Axilles" nomi bilan tanilgan Aporiya yanada ta'sirli. Yugurishda yengilmas qadimgi yunon qahramoni Axilles toshbaqa bilan raqobatlashmoqchi. Agar toshbaqa Axillesdan bir oz oldinroq boshlasa, unga etib borish uchun u birinchi navbatda boshlangan joyga yugurishi kerak. Ammo u erga etib borguncha, toshbaqa Axilles toshbaqaga yetib olishdan oldin bosib o'tishi kerak bo'lgan bir oz masofani sudrab bo'ladi. Ammo bu vaqt ichida toshbaqa oldinga bir oz ko'proq emaklaydi. Va bunday segmentlarning soni cheksiz bo'lgani uchun, tez oyoqli Axilles hech qachon toshbaqani quvib yetmaydi.
Mana, Zenonning o'zi aytgan uchinchi aporiya: “Agar biror narsa harakatlansa, u yoki o'zi egallab turgan joyda yoki mavjud bo'lmagan joyda harakat qiladi. Biroq, u o'zi egallagan joyda harakat qila olmaydi (chunki u har qanday vaqtda barcha makonni egallaydi), lekin u mavjud bo'lmagan joyda ham harakatlana olmaydi. Shuning uchun harakat qilish mumkin emas. Ushbu paradoks "O'q" deb nomlanadi.
Nihoyat, to'rtinchi aporiya mavjud bo'lib, unda biz qarama-qarshi yo'nalishlarda teng tezlikda parallel ravishda harakatlanadigan, uzunligi teng odamlarning ikkita ustuni haqida gapiramiz. Zenonning ta'kidlashicha, ustunlar bir-biridan o'tishi uchun ketadigan vaqt bir kishining butun ustundan o'tishi uchun zarur bo'lgan vaqtning yarmiga teng.

Zenon aporiyalari yaratilgan paytdanoq ijodiy fikrni hayajonga soldi. Ma’lumki, Sinoplik kinik Diogen faylasufimizning dalillariga javoban indamay o‘rnidan turib, u yoqdan-bu yoqqa yura boshladi; shu tariqa u narsalarni harakatga keltirishning mumkin emasligi haqidagi paradoksini rad etdi. Ammo argumentlar bilan kurash bo'lgan joyda, deb yozadi Hegel, faqat dalillar bilan bir xil rad etish joizdir; bunday holatda odamni hissiy ishonch bilan qoniqtirib bo'lmaydi, lekin tushunish kerak. Bundan tashqari, ko'rinadigan harakat mavjudligi Zenon tomonidan bahslashmagan. Harakat hissiy ishonchga ega, u xuddi fillar kabi mavjud; bu ma'noda harakatni inkor etish Zenonning xayoliga ham kelmagan. Bu erda savol uning haqiqati haqida, lekin harakat haqiqat emas, chunki uning g'oyasi qarama-qarshilikni o'z ichiga oladi; va shuning uchun harakat haqiqiy mavjudotga ega emas. Bu qoidani rad etish mutlaqo boshqa darajadagi munozaradir va unga ko'tarilish oson emas, chunki Zenon paradoksida birinchi marta "makon", "vaqt", "harakat" va inson ongi kabi fundamental tushunchalar mavjud. birlashtirildi. Shunga ko‘ra, uning aporiyalarining absurdligini isbotlash uchun avvalo makon, zamon va harakatning falsafiy, jismoniy mohiyatini aniqlash zarur.

Zenon paradoksiga “Falsafa tarixidan ma’ruzalar”ida muhim o‘rin bergan Gegelning o‘zi o‘z dalillarini quyidagicha quradi. Rad etishning birinchi shakli: "Harakatda haqiqat yo'q, chunki harakat maqsadga erishishdan oldin bo'shliqning yarmiga etib borishi kerak" degan bayonotdan iborat. Ya'ni, biz fazoning uzluksizligini asos sifatida tan olishimiz kerak. Ko'chiruvchi ma'lum bir manzilga etib borishi kerak; bu yo'l butundir. Butunlikdan o'tish uchun harakatlanuvchi birinchi navbatda yarmidan o'tishi kerak; endi yakuniy nuqta bu yarmining oxiri, lekin fazoning bu yarmi o'z navbatida butundir, shuning uchun unda ham yarmi bor; harakat qilayotgan narsa, shuning uchun birinchi navbatda bu yarmining yarmiga yetishi kerak - va hokazo. cheksizlikka. Zenon bu yerda fazoning cheksiz bo‘linuvchanligiga ishora qiladi: fazo va vaqt mutlaq uzluksiz bo‘lganligi sababli, hech qayerda bo‘linish bilan to‘xtab bo‘lmaydi. Har bir kattalik (va har bir vaqt va makon har doim kattalikka ega) o'z navbatida ikki yarmiga bo'linadi, ularni bosib o'tish kerak va biz qanchalik kichik bo'shliqni egallamasak ham, bu har doim shunday bo'ladi. Harakat bu cheksiz lahzalarning o'tishi bo'lib chiqadi; shuning uchun u hech qachon tugamaydi; harakatda bo'lgan narsa, shuning uchun o'zining yakuniy nuqtasiga erisha olmaydi.

Aristotel tomonidan berilgan bu qarama-qarshilikning umumiy yechimi shundan iboratki, makon va vaqt cheksiz ravishda ajratilmaydi, faqat cheksiz bo'linadi. Ammo bu ko'rinishi mumkin va haqiqatan ham bo'linadigan bo'lib tuyulishi mumkin, ya'ni. Imkoniyat bo'yicha bo'lingan, ular haqiqatda ham bo'linishi kerak, chunki aks holda ular cheksiz bo'linib bo'lmaydi. Ushbu mulohazadan kelib chiqib, biz hech ikkilanmasdan, xuddi begunoh narsa kabi, harakat qilayotgan narsa yarmiga yetishi kerak degan fikrga qo'shilamiz; lekin shu tariqa, deb yozadi Hegel, biz hamma narsa bilan allaqachon kelishib oldik, ya'ni. hech qachon erisha olmasligiga rozi bo'ldi, chunki buni bir marta aytish bir xil gapni son-sanoqsiz takrorlash bilan barobar. Katta makonda yarmiga erishish zarurligini tan olish mumkinligiga e'tiroz bildiriladi, lekin ayni paytda ular juda kichik bo'shliqda ular endi yarmiga bo'linish mumkin bo'lmagan nuqtaga etib borishlarini tasavvur qilishadi, ya'ni. ular uzluksiz emas, bo'linmas narsaga erishadilar, ular bo'shliq bo'lmagan narsaga erishadilar. Lekin bu to'g'ri emas, chunki davomiylik asosiy ta'rifdir; yarmi mavjud degan taxmin uzluksizlikning uzilishini o'z ichiga oladi. Aytish kerakki: yarim bo'shliq yo'q, chunki bo'shliq uzluksizdir; siz yog'ochni ikkiga bo'lishingiz mumkin, lekin bo'sh joy emas, va harakatda faqat bo'sh joy mavjud. Aytish mumkinki: fazo cheksiz ko'p nuqtalardan iborat. Odatda shunday bir bo'linmas nuqtadan ikkinchisiga o'tish mumkin, deb tasavvur qilinadi, lekin bu yo'l bilan uzoqqa borish mumkin emas, chunki bunday nuqtalarning son-sanoqsiz soni bor. Zenon o'zining begunohdek tuyulgan farazi bilan bizni uzluksizlikni uning qarama-qarshiligiga, noaniq to'plamga bo'lishga majbur qiladi, buning natijasida biz davomiylikni qabul qilmaymiz va shuning uchun harakat mavjudligini qabul qilmaymiz. Agar siz endi uzluksiz bo'lgan shunday nuqtaga erishsangiz, bu mumkin, deb aytish noto'g'ri; bu noto'g'ri, chunki harakat aloqadir.

Xuddi shu narsa ikkinchi aporiyaga ham tegishli. Tezroq harakat, deydi Zenon, Axillesga orqada qolgan masofani bosib o'tishga yordam bermaydi; buning uchun sarflagan vaqt har doim sekinroq tomonidan ishlatiladi, shuning uchun uning davomida u yana birinchisidan, garchi kichikroq va kichikroq masofaga bo'lsa-da, o'zib ketadi, ammo bu doimiy ravishda yarmiga bo'linish tufayli hech qachon butunlay yo'qolmaydi. Aristotel bu dalilni ko'rib chiqib, bu haqda qisqacha shunday deydi: “Bu dalil bir xil cheksiz bo'linishni ifodalaydi; lekin bu noto'g'ri, chunki chegarani kesib o'tishga ruxsat berilsa, tez harakatlanuvchi sekinga yetib boradi. Uning javobi, deb yozadi Hegel, to'g'ri va zarur bo'lgan hamma narsani o'z ichiga oladi: bu tasvirda bu aniq ikki vaqt nuqtasi va bir-biridan ajratilgan ikkita bo'shliq, ya'ni. bir-biridan ajratilgan; agar, aksincha, biz vaqt va makon uzluksiz deb faraz qilsak, shuning uchun vaqt yoki makonning ikki nuqtasi, uzluksiz, bir-biri bilan bog'liq bo'lsa, u holda ular ikkita nuqta va teng ravishda ikkita nuqta emas, balki bir xildir. Tasavvur qilishda biz bu savolni eng oson hal qilamiz: “Ikkinchi jism tezroq bo'lgani uchun u asta-sekin harakatlanuvchiga qaraganda bir vaqtning o'zida ko'proq bo'shliqdan o'tadi; shuning uchun u birinchi jism o'z harakatini boshlagan joyga etib borishi mumkin va keyin yana uzoqroqqa borishi mumkin. Demak, vaqt chegaralangan bo'lib, Aristotelning so'zlariga ko'ra, biz undan oshib o'tishimiz kerak, u orqali biz yanada chuqurroq kirib borishimiz kerak; u uzluksiz bo'lgani uchun, biz qiyinchilikni hal qilish uchun nima th ekanligini aytishimiz kerak; biz vaqtning ikki qismi sifatida ajratamiz, vaqtning bir qismi sifatida qabul qilinishi kerak. Harakatda ikki vaqtning ikki nuqtasi, shuningdek, fazoning ikkita nuqtasi aslida bir nuqtadir. Chunki biz harakatni umuman tushunmoqchi bo'lganimizda, biz tananing bir joyda ekanligini va keyin boshqa joyga ketishini aytamiz. Harakat paytida u endi birinchi o'rinda emas, lekin ayni paytda u hali ikkinchi o'rinda emas; agar u shu joylardan birida bo'lsa, u dam oladi. Lekin qayerda? Agar biz bu ikki joy orasida desak, aslida hech narsa demaymiz, chunki u holda u ham bir joyda bo'ladi va shuning uchun oldimizda bir xil qiyinchilik paydo bo'ladi. Lekin harakat qilish ma'lum bir joyda bo'lish va ayni paytda unda bo'lmaslik, shuning uchun bir vaqtning o'zida ikkala joyda bo'lishni anglatadi; bu vaqt va makonning uzluksizligi bo'lib, uning o'zi harakatga imkon beradi. Zenon o'z xulosasida bu ikki nuqtani bir-biridan qat'iy ravishda ajratdi. Shuningdek, biz vaqt va makonning diskretligini tan olamiz, lekin ular teng ravishda chegaradan oshib ketishiga ruxsat berilishi kerak, ya'ni. chegarani chegara bo'lmagan narsa sifatida qo'yish yoki vaqtning bo'lingan qismlarini qo'yish, ular ayni paytda bo'linmagan qismlardir.

Aytilganlardan ko'rinib turibdiki, Zenonning uchinchi aporiyasini qanday qilib inkor etish mumkin: “Uchib yuruvchi o'q tinch holatda va aynan harakatlanuvchi o'zi hamisha “hozir”da, “bu yerda” esa teng bo'lgani uchun. o'ziga, ajratib bo'lmaydigan holda”; o'q - bu erda va bu erda va bu erda. O'q haqida aytishimiz mumkinki, u doimo bir xil bo'ladi, chunki u doimo bir xil makonda va bir vaqtning o'zida bo'ladi; u o'z makonidan tashqariga chiqmaydi, boshqasini egallamaydi, ya'ni. ko'proq yoki kamroq joy, lekin biz buni harakat emas, balki dam olish deb ataymiz. “Bu yerda” va “hozir”da boshqacha bo'lish bekor qilingan; ularda to'g'ri, chegaralanish umumiy tarzda qo'yiladi, lekin u faqat moment sifatida qo'yiladi; chunki "bu erda" va "hozir"da hech qanday farq yo'q. Aristotel bu uchinchi dalil haqida shunday deydi: “Zenonning vaqt hozirdan iborat deb taxmin qilgan narsasidan kelib chiqadi, lekin bunga rozi bo'lmasak, hech qanday xulosa bo'lmaydi”.

Zenonning to'rtinchi e'tiroziga kelsak, u qarama-qarshi yo'nalishda harakatlanish natijasida yuzaga keladigan ziddiyatga asoslanadi; umumiy harakat bir tanani butunlay qabul qiladi, o'zi esa faqat bir qismini bajaradi. Lekin, aslida, bir jism bosib o'tgan masofa ikkalasi ham bosib o'tgan masofalarning yig'indisidir.

Yunon-fors urushlari davridagi falsafa