Mga Kabalintunaan ni Zeno“... nagdulot ng kaguluhan,
na kahit ngayon ay makakakita ka ng ilang ripples"

D. Ya. Stroik, Maikling sanaysay sa kasaysayan ng matematika,
M., "Nauka", 1964, p. 53.

Zeno nakabalangkas ng isang serye aporia("mga hindi matutunaw na proposisyon"), na nagpapakita - sa modernong mga termino - na sa kanila isinasaalang-alangdalawang proseso ang nagtutugma: ang pisikal na paggalaw mismo at ang paglitaw sa ating kamalayan ng isang pagkakasunod-sunod ng mga indibidwal na fragment nito, at ito ay humahantong sa mga lohikal na kontradiksyon.

"Mula sa 45 bumaba na sa amin ang mga aporia na inabante ni Zeno 9 . Ang mga klasiko ay lima aporias kung saan sinusuri ni Zeno ang mga konsepto ng set at motion. Ang una, na tinatawag na "aporia of measure", ay sinabi ni Simplicius tulad ng sumusunod: "Napatunayan na "kung ang isang bagay ay walang sukat, ito ay hindi umiiral", idinagdag ni Zeno: "Kung ang isang bagay ay umiiral, ito ay kinakailangan na ito ay may isang tiyak na sukat, isang tiyak na kapal at na mayroong ilang distansya sa pagitan ng kung saan ay nasa loob nito ang isang pagkakaiba sa isa't isa. Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa nakaraang isa, tungkol sa bahaging ito ng bagay na nauuna sa kaliitan sa isang dichotomous division. Kaya't ang nakaraan na ito ay dapat ding magkaroon ng ilang magnitude sa dati nito. Ang minsang nasabi ay laging mauulit. Kaya, hindi kailanman magkakaroon ng matinding limitasyon kung saan walang magkakaibang bahagi sa isa't isa. Kaya, kung mayroong isang multiplicity, ito ay kinakailangan na ang mga bagay ay sa parehong oras malaki at maliit, at napakaliit na walang magnitude, at napakalaki na walang katapusan.

Ang argumento ni Zeno ay malamang na nakadirekta laban Pythagorean ang paniwala na ang mga katawan ay "gawa ng mga numero".

Sa katunayan, kung iisipin natin ang isang numero bilang isang punto na walang halaga ("kapal", haba), kung gayon ang kabuuan ng naturang mga punto (isang katawan) ay hindi rin magkakaroon ng halaga, ngunit kung iisipin natin ang isang "korporeal ” bilang na may ilang may hangganang halaga, kung gayon, dahil ang katawan ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga naturang puntos (para sa katawan, ayon sa palagay ni Zeno, ay maaaring hatiin "nang walang limitasyon"), dapat itong magkaroon ng walang katapusang halaga. Ito ay sumusunod mula dito na imposibleng isipin ang isang katawan bilang isang kabuuan ng hindi mahahati na mga yunit, tulad ng nakita natin sa Mga Pythagorean.

Maaari nating, marahil, sabihin, ipagpatuloy ang pag-iisip ni Zeno: kung ang "yunit" ay hindi mahahati, kung gayon wala itong spatial na halaga (punto); kung ito ay may halaga, gaano man kaliit, ito ay mahahati sa kawalang-hanggan. Ang Eleatics ay unang nagtanong sa agham, na isa sa mga pinakamahalagang tanong sa pamamaraan hanggang sa araw na ito: Paano dapat isipin ang continuum - discrete o tuluy-tuloy? na binubuo ng mga hindi mahahati (mga yunit, "mga pagkakaisa", monad) o divisible na ad infinitum?

Ang anumang halaga ay dapat na ngayong maunawaan mula sa punto ng view kung ito ay binubuo ng mga yunit (tulad ng aritmetika na numero ng mga Pythagorean), hindi mahahati na "buo", o ito mismo ay isang buo, at ang mga elementong bumubuo nito ay walang independiyenteng pag-iral. Ang tanong na ito ay ibinibigay kapwa may kaugnayan sa numero, at may kaugnayan sa spatial na halaga (linya, eroplano, dami), at may kaugnayan sa oras. Depende sa solusyon ng problema ng continuum, iba't ibang mga pamamaraan ng pag-aaral ng kalikasan at tao, ibig sabihin, iba't ibang mga programang pang-agham, ay nabuo.

Gaidenko P.P., Ang ebolusyon ng konsepto ng agham: ang pagbuo at pag-unlad ng mga unang programang pang-agham, M., "Urss", 2010, p. 65-67.

"O Zeno ng Elea at ang kanyang mga kabalintunaan, tulad ng, halimbawa, ang kilalang bugtong tungkol sa matulin ang paa na si Achilles, na hindi makahabol sa pagong, tila napakarami na ang naisulat na halos hindi na kailangang bumalik sa mga nabuo. sa kanya noong ika-5 siglo. BC e. "mahirap na tanong" (aporias) na may kaugnayan sa pagpapakita ng paggalaw sa agham at sa konsepto ng "set" (sa ratio ng tuloy-tuloy at discrete).

Simula noon, ang mga aporia ni Zeno ay hindi tumigil sa interes ng mga matematiko at pilosopo. Gayunpaman, hanggang sa kasalukuyan, mayroong isang malawak na pagkakaiba-iba ng mga opinyon tungkol sa kanila: mula sa isang ganap na paghamak na saloobin sa kanila hanggang sa pagkilala na sila ay kabilang sa pinakamahalaga at mahirap na mga katanungan ng pagpapatunay sa matematika at pisika.

Kaya, ang sikat na French mathematician Paul Levy ang kabalintunaan tungkol kay Achilles at sa pagong ay tila isang halatang kalokohan.

"Bakit isipin," ang isinulat niya, "na ang oras ay titigil sa takbo nito dahil sa katotohanan na ang isang pilosopo ay abala sa pagbilang ng mga termino ng isang magkakaugnay na serye?" "Ipinagtatapat ko na hindi ko kailanman naiintindihan kung paano malito ang mga taong medyo makatwiran sa kabalintunaang ito, at ang sagot na binalangkas ko lang ay ang parehong sagot na ibinigay ko noong ako ay labing-isang taong gulang sa panganay na nagsabi sa akin ng kabalintunaan na ito. , o, mas tiyak, mayroong parehong sagot, na aking ibinuod noon na may tulad na laconic formula: "Itong Griyego ay isang tulala."

Alam ko na ngayon na kailangang ipahayag ang aking mga iniisip sa isang mas magalang na anyo at marahil ay ipinaliwanag ni Zeno ang kanyang mga kabalintunaan upang masubukan ang pagiging makatwiran ng kanyang mga estudyante. Ngunit ang aking sorpresa sa mga isip na nalilito sa konsepto ng isang convergent series ay nanatiling pareho. (P. Levy, A propos du paradoxe et de la logique, Rev. Meta-phys. Morale, 1957, No. 2, p. 130).

Yanovskaya S. A., Metodolohikal na mga problema ng agham, M., KomKniga, 2006, p. 214.

Si Zeno ng Elea ay isang Greek logician at pilosopo na pangunahing kilala sa mga kabalintunaan na ipinangalan sa kanya. Wala masyadong alam tungkol sa buhay niya. Ang bayan ni Zeno ay si Elea. Gayundin sa mga akda ni Plato, binanggit ang pakikipagpulong ng pilosopo kay Socrates.

Sa paligid ng 465 B.C. e. Sumulat si Zeno ng isang libro na nagdedetalye ng lahat ng kanyang mga ideya. Ngunit, sa kasamaang-palad, hindi ito umabot sa ating mga araw. Ayon sa alamat, ang pilosopo ay namatay sa pakikipaglaban sa isang malupit (siguro ang pinuno ng Elea, Nearchus). Ang lahat ng impormasyon tungkol sa Eleatic ay nakolekta nang paunti-unti: mula sa mga gawa ni Plato (ipinanganak 60 taon mamaya kaysa kay Zeno), Aristotle at Diogenes Laertius, na sumulat ng isang aklat ng mga talambuhay ng mga pilosopong Griyego pagkalipas ng tatlong siglo. Mayroon ding mga pagtukoy kay Zeno sa mga akda ng mga kinatawan sa ibang pagkakataon ng paaralan ng pilosopiyang Griyego: Themistius (4th century AD), Alexander of Aphrodius (3rd century AD), pati na rin sina Philopon at Simplicius (parehong nabuhay noong 6th century AD ). Bukod dito, ang mga datos sa mga mapagkukunang ito ay nasa napakahusay na pagkakasundo sa isa't isa na ang lahat ng mga ideya ng pilosopo ay maaaring muling itayo mula sa kanila. Sa artikulong ito sasabihin namin sa iyo ang tungkol sa mga kabalintunaan ni Zeno. Kaya simulan na natin.

Ang Mga Kabalintunaan ng Set

Mula noong panahon ng Pythagoras, ang espasyo at oras ay eksklusibong isinasaalang-alang mula sa punto ng view ng matematika. Iyon ay, pinaniniwalaan na sila ay binubuo ng maraming mga sandali at mga punto. Gayunpaman, mayroon silang isang ari-arian na mas madaling maramdaman kaysa tukuyin, lalo na ang "pagpapatuloy". Ang ilan sa mga kabalintunaan ni Zeno ay nagpapatunay na hindi ito mahahati sa mga sandali o punto. Ang pangangatwiran ng pilosopo ay nagmumula sa mga sumusunod: “Ipagpalagay natin na naisakatuparan natin ang paghahati hanggang sa wakas. Pagkatapos ay isa lamang sa dalawang pagpipilian ang tama: alinman ay makuha natin sa natitira ang pinakamababang posibleng dami o mga bahagi na hindi mahahati, ngunit walang katapusan sa kanilang bilang, o ang paghahati ay magdadala sa atin sa mga bahaging walang halaga, dahil ang pagpapatuloy, pagiging homogenous, ay dapat maging mahahati sa anumang pagkakataon. Hindi ito mahahati sa isang bahagi at hindi sa isa pa. Sa kasamaang palad, ang parehong mga resulta ay medyo katawa-tawa. Ang una ay dahil sa ang katunayan na ang proseso ng paghahati ay hindi maaaring magtapos habang ang natitira ay naglalaman ng mga bahagi na may halaga. At ang pangalawa ay dahil sa ganoong sitwasyon, ang kabuuan ay sa simula ay mabubuo mula sa wala. Iniuugnay ni Simplicius ang pangangatwiran na ito kay Parmenides, ngunit mas malamang na ang may-akda nito ay si Zeno. Tayo ay pumunta sa karagdagang.

Ang mga kabalintunaan ni Zeno tungkol sa paggalaw

Isinasaalang-alang ang mga ito sa karamihan ng mga libro sa pilosopo, dahil napupunta sila sa disonance sa katibayan ng mga damdamin ng Eleatics. May kaugnayan sa paggalaw, ang mga sumusunod na kabalintunaan ng Zeno ay nakikilala: "Arrow", "Dichotomy", "Achilles" at "Stages". At bumaba sila sa amin salamat kay Aristotle. Tingnan natin ang mga ito nang mas detalyado.

"Arrow"

Ang isa pang pangalan ay ang quantum paradox ni Zeno. Sinasabi ng pilosopo na ang anumang bagay ay tumitigil o gumagalaw. Ngunit walang gumagalaw kung ang espasyong inookupahan ay katumbas nito sa lawak. Sa isang tiyak na sandali, ang gumagalaw na arrow ay nasa isang lugar. Samakatuwid, hindi siya gumagalaw. Binumula ni Simplicius ang kabalintunaan na ito sa isang maikling anyo: "Ang isang lumilipad na bagay ay sumasakop sa isang pantay na lugar sa kalawakan, ngunit ang isang bagay na sumasakop sa isang pantay na lugar sa kalawakan ay hindi gumagalaw. Samakatuwid, ang arrow ay nakapahinga." Si Themistius at Felopon ay nagbalangkas ng magkatulad na mga opsyon.

"Dichotomy"

Nakuha ang pangalawang lugar sa listahan na "Zeno's Paradoxes". Ganito ang mababasa: “Bago makapaglakbay ang isang bagay na nagsimulang gumalaw sa isang tiyak na distansya, dapat itong sumaklaw sa kalahati ng landas na ito, pagkatapos ay kalahati ng natitira, at iba pa ad infinitum. Dahil sa paulit-ulit na paghahati ng distansya sa kalahati, ang segment ay nagiging may hangganan sa lahat ng oras, at ang bilang ng mga ibinigay na mga segment ay walang hanggan, ang distansya na ito ay hindi maaaring malampasan sa isang may hangganang oras. Bukod dito, ang argumentong ito ay wasto kapwa para sa maliliit na distansya at mataas na bilis. Samakatuwid, ang anumang paggalaw ay imposible. Ibig sabihin, hindi man lang makakapagsimula ang mananakbo.

Nagkomento si Simplicius sa kabalintunaan na ito nang detalyado, na itinuturo na sa kasong ito ang isang walang katapusang bilang ng mga pagpindot ay dapat gawin sa isang takdang panahon. "Siya na humipo ng isang bagay ay maaaring patuloy na magbilang, ngunit ang isang walang katapusang set ay hindi maaaring ayusin o mabibilang." O, gaya ng sinabi ni Philopon, ang isang infinite set ay hindi matukoy.

"Achilles"

Kilala rin bilang Zeno's tortoise paradox. Ito ang pinakasikat na pangangatwiran ng pilosopo. Sa paggalaw, nakikipagkumpitensya si Achilles sa pagtakbo kasama ang isang pagong, na binibigyan ng maliit na simula sa simula. Ang kabalintunaan ay ang Griyego na mandirigma ay hindi makakahabol sa pagong, dahil sa una ay tatakbo siya sa lugar ng pagsisimula nito, at siya ay nasa susunod na punto. Ibig sabihin, laging mauuna ang pagong kay Achilles.

Ang kabalintunaan na ito ay halos kapareho sa isang dichotomy, ngunit dito ang walang katapusang dibisyon ay sumusunod sa isang pag-unlad. Sa kaso ng dichotomy, nagkaroon ng regression. Halimbawa, ang parehong runner ay hindi maaaring magsimula dahil hindi siya maaaring umalis sa kanyang lokasyon. At sa sitwasyon ni Achilles, kahit na magsimula ang runner, hindi pa rin siya tatakbo kahit saan.

"Mga yugto"

Kung ihahambing natin ang lahat ng mga kabalintunaan ng Zeno sa mga tuntunin ng pagiging kumplikado, kung gayon ang isang ito ang lalabas na panalo. Ito ay mas mahirap ilarawan kaysa sa iba. Inilarawan nina Simplicius at Aristotle ang pangangatwiran na ito sa mga fragment, at hindi maaaring umasa sa pagiging maaasahan nito nang may 100% na katiyakan. Ang muling pagtatayo ng kabalintunaan na ito ay may sumusunod na anyo: hayaang ang A1, A2, A3 at A4 ay mga nakapirming katawan na may pantay na laki, at ang B1, B2, B3 at B4 ay mga katawan na kasing laki ng A. Ang mga katawan B ay lumipat sa kanan upang bawat B ay pumasa At sa isang iglap, na siyang pinakamaliit na yugto ng panahon sa lahat ng posible. Hayaang ang B1, B2, B3 at B4 ay mga katawan na kapareho ng A at B, at lumipat sa A sa kaliwa, na nagtagumpay sa bawat isa sa mga katawan sa isang iglap.

Malinaw, nalampasan ng B1 ang lahat ng apat na katawan B. Kunin natin bilang isang yunit ang oras na inabot ng isang katawan C upang makapasa sa isang katawan B. Sa kasong ito, apat na yunit ang kailangan para sa buong paggalaw. Gayunpaman, pinaniniwalaan na ang dalawang sandali na lumipas sa panahon ng kilusang ito ay minimal at samakatuwid ay hindi mahahati. Kasunod nito na ang apat na hindi mahahati na yunit ay katumbas ng dalawang hindi mahahati na yunit.

"Lugar"

Kaya, ngayon alam mo na ang mga pangunahing kabalintunaan ni Zeno ng Elea. Ito ay nananatiling pag-usapan ang tungkol sa huli, na kilala bilang "Lugar". Ang kabalintunaan na ito ay iniuugnay kay Zeno ni Aristotle. Ang katulad na pangangatwiran ay ibinigay sa mga akda nina Philopon at Simplicius noong ika-6 na siglo AD. e. Narito kung paano pinag-uusapan ni Aristotle ang problemang ito sa kanyang Physics: "Kung mayroong isang lugar, kung gayon paano matukoy kung nasaan ito? Ang kahirapan na dumating kay Zeno ay nangangailangan ng paliwanag. Dahil lahat ng bagay na umiiral ay may isang lugar, nagiging malinaw na ang isang lugar ay dapat ding magkaroon ng isang lugar, at iba pa ang ad infinitum." Ayon sa karamihan ng mga pilosopo, ang kabalintunaan ay lumilitaw dito lamang dahil walang anumang umiiral na maaaring naiiba sa sarili nito at napapaloob sa sarili nito. Naniniwala si Philopon na, na nakatuon sa pagsasalungat sa sarili ng konsepto ng "lugar", nais ni Zeno na patunayan ang hindi pagkakapare-pareho ng teorya ng pluralidad.

Pagpunta kahit saan, kailangan mo munang pumunta sa kalahati ng daan, pagkatapos ay kalahati ng natitirang distansya, at iba pa ad infinitum. Ang konklusyon ay hindi maaaring hindi sumusunod mula dito: sa prinsipyo imposibleng maabot ang huling punto, at samakatuwid ang kilusan mismo ay imposible rin.

Ang paradox na ito ay tinatawag na dichotomy paradox. Ang pagiging may-akda ay iniuugnay sa sinaunang pilosopong Griyego na si Zeno. Ipinapalagay na ito ay nabuo bilang patunay ng kaisahan ng sansinukob, at ang pagbabago, kabilang ang paggalaw, ay imposible (tulad ng pinaniniwalaan ng guro ni Zeno na si Parmenides).

Intuitively tinanggihan ng mga tao ang paradox na ito sa loob ng maraming siglo. Mula sa isang matematikal na pananaw, ang solusyong nabalangkas noong ika-19 na siglo ay kilalanin na kalahati plus isang ikaapat at isang ikawalo plus isang labing-anim, atbp. bumubuo ng isang yunit. Ito ay tulad ng pagsasabi ng mga zero integer at siyam sa isang yugto ay katumbas ng isa.

Gayunpaman, ang teoretikal na solusyon na ito ay hindi aktuwal na sumasagot sa tanong kung paano maabot ng isang bagay ang dulong punto ng paggalaw nito. Ang solusyon sa problemang ito ay mas masalimuot at hindi pa rin lubos na malinaw, kung aasa tayo sa mga teorya ng ika-20 siglo, na itinatanggi ang walang katapusang divisibility ng bagay, oras at espasyo.

Si Zeno ng Elea ay kabilang sa Greek philosophical school na nagturo na ang anumang pagbabago sa mundo ay ilusyon, at ang pagiging ay isa at hindi nagbabago. Ang kanyang kabalintunaan (na binabalangkas bilang apat na aporias (mula sa Griyegong aporia "no way out"), na mula noon ay nagbunga ng humigit-kumulang apatnapung iba pang mga pagpipilian) ay nagpapakita na ang paggalaw, ang pattern ng "nakikita" na pagbabago, ay lohikal na imposible.

Karamihan sa mga modernong mambabasa ay pamilyar sa kabalintunaan ni Zeno nang eksakto sa pormulasyon sa itaas (minsan ay tinatawag itong dichotomy - mula sa Griyego. dichotomia "hahati sa dalawa"). Upang tumawid sa silid, kailangan mo munang pumunta sa kalahating daan. Ngunit pagkatapos ay kailangan mong pagtagumpayan ang kalahati ng kung ano ang natitira, pagkatapos ay kalahati ng kung ano ang natitira pagkatapos nito, at iba pa. Ang paghahati-hati na ito ay magpapatuloy nang walang katiyakan, mula sa kung saan napagpasyahan na hindi ka na kailanman makatawid sa silid.

Ang Aporia, na kilala bilang Achilles, ay mas kahanga-hanga. Ang sinaunang bayaning Griyego na si Achilles ay makikipagkumpitensya sa pagtakbo kasama ang isang pagong. Kung ang pagong ay nagsisimula nang mas maaga kaysa kay Achilles, kung gayon upang maabutan ito, kailangan muna niyang tumakbo sa lugar ng pagsisimula nito. Ngunit pagdating niya doon, gumagapang na ang pagong sa ilang distansya na kailangang takpan ni Achilles bago maabutan ang pagong. Ngunit sa panahong ito, ang pagong ay gagapang pasulong nang mas malayo. At dahil ang bilang ng mga naturang segment ay walang katapusan, ang matulin na si Achilles ay hindi na makakahabol sa pagong.

Narito ang isa pang aporia, sa mga salita ni Zeno:

Kung ang isang bagay ay gumagalaw, kung gayon ito ay gumagalaw alinman sa lugar na sinasakop nito, o sa lugar kung saan wala ito. Gayunpaman, hindi ito makagalaw sa lugar na inookupahan nito (dahil sa anumang oras ay sinasakop nito ang lahat ng espasyong ito), ngunit hindi rin ito makagalaw sa lugar kung saan wala ito. Samakatuwid, imposible ang paggalaw.

Ang kabalintunaan na ito ay tinatawag na isang arrow (sa bawat sandali ng oras, ang isang lumilipad na arrow ay sumasakop sa isang lugar na katumbas ng haba nito, kaya hindi ito gumagalaw).

Sa wakas, mayroong isang ika-apat na aporia, kung saan pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawang hanay ng mga tao na pantay ang haba, na gumagalaw nang magkatulad na may pantay na bilis sa magkasalungat na direksyon. Sinabi ni Zeno na ang oras na aabutin para sa mga column na dumaan sa isa't isa ay kalahati ng oras na kinakailangan para sa isang tao na makapasa sa buong column.

Sa apat na aporia na ito, ang unang tatlo ay ang pinakakilala at pinaka-kabalintunaan. Ang pang-apat ay nauugnay lamang sa isang hindi pagkakaunawaan sa likas na katangian ng kamag-anak na paggalaw.

Ang pinaka-magaspang at hindi magandang paraan upang pabulaanan ang kabalintunaan ni Zeno ay ang tumayo at tumawid sa silid, malampasan ang pagong, o bumaril ng palaso. Ngunit hindi ito nakakaapekto sa takbo ng kanyang pangangatwiran. Hanggang sa ika-17 siglo, hindi mahanap ng mga nag-iisip ang susi upang pabulaanan ang kanyang mapanlikhang lohika. Ang problema ay nalutas lamang pagkatapos na ipinakita ni Isaac Newton at Gottfried Leibniz ang ideya ng differential calculus, na gumagana sa konsepto ng limitasyon; matapos ang pagkakaiba sa pagitan ng paghahati ng espasyo at ng paghahati ng oras ay naging malinaw; sa wakas, pagkatapos na matutunan kung paano haharapin ang mga walang hanggan at infinitesimal na dami.

Kunin natin ang halimbawa ng pagtawid sa isang silid. Sa katunayan, sa bawat punto sa landas kailangan mong pumunta sa kalahati ng natitirang landas, ngunit para lamang dito kakailanganin mo ang kalahati ng oras. Kung mas maikli ang natitirang distansya upang pumunta, mas kaunting oras ang aabutin. Kaya, kapag kinakalkula ang oras na kinakailangan upang tumawid sa isang silid, nagdaragdag kami ng isang walang katapusang bilang ng mga infinitesimal na pagitan. Gayunpaman, ang kabuuan ng lahat ng mga agwat na ito ay hindi walang hanggan (kung hindi, imposibleng tumawid sa silid), ngunit katumbas ng ilang may hangganang numero - at samakatuwid ay maaari tayong tumawid sa silid sa isang takdang panahon.

Ang ganitong kurso ng patunay ay katulad ng paghahanap ng limitasyon sa differential calculus. Subukan nating ipaliwanag ang ideya ng limitasyon sa mga tuntunin ng kabalintunaan ni Zeno. Kung hahatiin namin ang distansya na aming nilakbay sa buong silid sa oras na inabot sa amin upang gawin ito, makukuha namin ang average na bilis na aming nilakbay sa pagitan ng agwat na iyon. Ngunit kahit na ang distansya at oras ay bumababa (at kalaunan ay napupunta sa zero), ang kanilang ratio ay maaaring may hangganan - sa katunayan, ito ang bilis ng iyong paggalaw. Kapag pareho ang distansya at oras sa zero, ang ratio na ito ay tinatawag na speed limit. Sa kanyang kabalintunaan, nagkamali si Zeno na kapag ang distansya ay napunta sa zero, ang oras ay nananatiling pareho.

pinagmumulan

Mayroong ilang mga pormulasyon ng kabalintunaan na nagsasaad na ang paggalaw ay imposible. Buweno, tandaan, tungkol sa imposibilidad na maabutan ang pagong, tungkol sa walang hanggang pagpasa ng kalahati at tungkol sa imposibilidad ng paglipat kung nasaan ka, at kung saan wala ka. Papatulan ko sila ng logic.

Mayroon ding pang-apat na kabalintunaan, tungkol sa mga hanay ng mga sundalo na magkikita-kita, na isang uri ng crap brake na hindi mabilang ng 2 + 2. Napakalupit niyan.

Kaya, isaalang-alang ang natitirang tatlong mga pagpipilian para sa kabalintunaan.

Opsyon 1 (pinaka sikat)

Upang makatawid sa distansya mula A hanggang B, kailangan mo munang takpan ang kalahati ng daan. Ngunit pagkatapos ay kailangan mong pagtagumpayan ang kalahati ng kung ano ang natitira, pagkatapos ay kalahati ng kung ano ang natitira pagkatapos nito, at iba pa. Ang daanan na ito ng kalahati ng natitirang landas ay magpapatuloy nang walang katiyakan at, bagama't ang bagay ay lalapit nang walang hanggan malapit sa B, hinding-hindi ito direktang tatama sa punto B.

Inaayos namin ang kabalintunaan na ito sa isang simpleng pahayag: "ang espasyo ay discrete." Ano ang ibig sabihin nito para kay Tony the milkmaid? At narito kung ano. Nangangahulugan ito na sa pagitan ng A at B ay walang walang katapusang bilang ng mga geometric na speculative point kung saan matatagpuan ang katawan na gumagalaw mula sa A at B. At mayroong isang tiyak na bilang ng mga tiyak na posisyon kung saan matatagpuan ang katawan na ito. Yung. kung mayroong dalawang magkatabing ganoong posisyon, kung gayon ang katawan ay maaaring nasa isang posisyon o sa isa pa, ngunit hindi sa gitna. Ang paglipat sa pagitan nila ay nangyayari kaagad. Hindi na mauunawaan pa ni Milkmaid Tonya, kaya nakakamiss. Ito ay kapareho ng mga antas ng enerhiya sa atom. Ang isang elektron ay maaaring nasa isang antas o iba pa, ngunit hindi sa gitna. Bakit hindi natin nakikita ang discreteness na ito? At iyon ang dahilan kung bakit siya ay napakaliit. 10 hanggang sa power minus 33, ang haba ng Planck, wika nga. Mas mababa sa mga halagang ito, ang ating magigiting na batas ng pisika ay hihinto sa paggana, dahil doon - magkakaroon ng kumpletong kaguluhan sa aming opinyon. Saan ko nakuha ito? Tingnan ang superstring theory. Ito ay hindi isang pantasya, kung ang sinuman ay hindi nakakaalam, ngunit isang tunay na pisikal na teorya, na nakatulong na sa pagkalkula ng isang bagay at ang mga taong nagtatrabaho dito ay nagsisikap na pagsamahin ang lahat ng kilalang pwersa. Iyon ay, upang i-paraphrase ang mga karaniwang tao, upang lumikha ng isang "teorya ng lahat" o "teorya ng ina".

Opsyon 2 (medyo sikat)

Nagpasya si Achilles na makipagkumpetensya sa pagong na tumatakbo. Binigyan siya ng kaunting ulo. Upang maabutan ang pagong, kailangan munang tumakbo ni Achilles sa lugar ng pagsisimula nito. Ngunit pagdating niya doon, gumagapang na ang pagong sa ilang distansya na kailangang takpan ni Achilles bago maabutan ang pagong. Ngunit sa panahong ito, ang pagong ay gagapang pasulong nang mas malayo. At dahil ang bilang ng mga naturang segment ay walang katapusan, ang matulin na si Achilles ay hindi na makakahabol sa pagong.

Buweno, una, ito ay hindi isang igos upang ipakita ang off at magbigay ng mga logro. Huwag kailanman maliitin ang isang pagong. Pangalawa, isinasaalang-alang namin ang opsyong ito mula sa pananaw ng isang discrete space. Si Achilles ay mas mabilis dude at mas energetic. Sa kasong ito, ang ibig sabihin ng enerhiya ay ang kakayahan ni Achilles na tumalon mula sa isang cell ng espasyo patungo sa isa pa. Lumalabas, halimbawa, na tumatagal lamang ng 0.1 segundo para lumipat si Achilles sa susunod na cell (preno, ngunit ano ang magagawa mo, siyempre, kung may nakakaunawa), dahil mas mabilis nilang i-pump up ang kanilang bagay sa paggalaw. Ang pagong sa pangkalahatan ay pinapatay at masiglang wala. Kailangan niya ng isang buong segundo upang i-pump ang kanyang bagay sa paggalaw upang lumipat sa susunod na cell ng espasyo. At bago iyon, nananatili pa rin siya sa nauna. Yung. habang siya ay nananatili sa kanyang cell at nagbo-bomba para tumalon sa susunod, si Achilles ay nakapag-pump na ng paggalaw ng 9 na beses at tumalon sa 9 na mga cell. Ngunit naroon pa rin ang pagong. Yung. sa karamihan ng mga kaso, ang pariralang "Ngunit sa oras na siya ay makarating doon, ang pagong ay gumapang nang medyo malayo" ay hindi tama sa kompetisyong ito. Huwag gumapang, walang oras. Kaya naman, mabilis niya itong aabutan at aabutan.

Opsyon 3 (sa una ay tila cool, pagkatapos ay malinaw na ito ay isang linguistic joke)

Kung ang isang bagay ay gumagalaw, kung gayon ito ay gumagalaw alinman sa lugar na sinasakop nito, o sa lugar kung saan wala ito. Gayunpaman, hindi ito makagalaw sa lugar na inookupahan nito (dahil sa anumang oras ay sinasakop nito ang lahat ng espasyong ito), ngunit hindi rin ito makagalaw sa lugar kung saan wala ito. Samakatuwid, imposible ang paggalaw.

Narito mayroon din akong paliwanag sa pamamagitan ng discreteness ng espasyo, ngunit sa paanuman ay hindi ko ito gusto, dahil ito ay mas mukhang "ang tanga mismo" kaysa sa "at dito mayroon kang isang pagkakamali". Well, ano ang gagawin.

Sa pangkalahatan, ang ideya ay ang mismong pagbabalangkas ng tanong ay hindi tama. Kailangan nating maunawaan kung ano ang kilusan. Sa discrete space, ito ang proseso ng pag-iipon ng ilang potensyal na tumalon sa susunod na posisyon at pagkatapos ay lumipat sa ibang posisyon. Samakatuwid, oo, sa proseso ng akumulasyon, ang bagay ay sumasakop sa sarili nitong dami at hindi gumagalaw dito, ngunit pagkatapos ay kaagad, na naipon ang kinakailangang halaga ng enerhiya ng paggalaw, ay lumalabas nang kaunti pa. Yung. hindi ito gumagalaw kung saan wala ito, lumilitaw lang ito kung saan wala ito. Sa pangkalahatan, walang walang katapusang makinis na paggalaw.

At sa kabalintunaan na ito mayroong ilang uri ng paglalaro sa mga salita, "hindi ito makagalaw kahit na sa lugar kung saan wala ito" - ito ay isang uri lamang ng biro. Hindi siya gumagalaw DOON, gumagalaw siya DOON at maaaring kunin ang bakanteng espasyong iyon.

Kaya, ang discrete space ay nag-aalis ng mga kabalintunaan.

Si Zeno (c. 490 BC - c. 430 BC) ay kabilang sa Eleatic Greek school of philosophy, na nagpahayag na ang anumang pagbabago sa mundo ay ilusyon, at ang pagkatao ay isa at hindi nababago. Nagtalo ang guro ni Zeno na si Parmenides: "Ang uniberso ay hindi nagbabago, dahil, sa pagkilala sa pagbabago, makikilala natin ang hindi pag-iral ng kung ano ang umiiral, ngunit ang pagiging umiiral lamang" (). Mas dialectical ang pananaw ni Zeno. Sinabi niya: “Ipagpalagay na ang pagkakaroon ng iyong pagbabago; sa loob nito, tulad ng pagbabago, ang kawalan nito ay nakapaloob, o, sa madaling salita, hindi ito umiiral. Kasabay nito, dapat tandaan na para sa Parmenides, ang pagbabago ay nangangahulugang isang tiyak at kumpletong kilusan, habang si Zeno ay nagsalita at nagsalita laban sa kilusan tulad nito, o, sa madaling salita, laban sa purong kilusan. "Ang dalisay na pagkatao ay hindi paggalaw; sa kabaligtaran, ito ay walang kabuluhan ng paggalaw."

Para sa mga may kabaligtaran na pananaw, inalok ni Zeno na pabulaanan ang kanyang kabalintunaan, na binuo sa anyo ng apat na aporias (mula sa Griyegong aporia "walang paraan"), na nagpapakita na ang kilusan (isang modelo ng "nakikita" na pagbabago) ay lohikal na imposible. Karamihan sa mga modernong mambabasa ay pamilyar sa kabalintunaan ni Zeno nang eksakto sa pormulasyon sa itaas (minsan ay tinatawag itong dichotomy - mula sa Griyego. dichotomia "hahati sa dalawa"). Ipinahayag ng unang aporia na imposibleng tumawid sa silid. Pagkatapos ng lahat, kailangan mo munang malampasan ang kalahati ng landas. Ngunit pagkatapos ay kailangan mong pagtagumpayan ang kalahati ng kung ano ang natitira, pagkatapos ay kalahati ng kung ano ang natitira pagkatapos nito, at iba pa. Ang paghahati-hati na ito ay magpapatuloy nang walang katiyakan, mula sa kung saan napagpasyahan na hindi ka na kailanman makatawid sa silid.

Ang Aporia, na kilala bilang "Achilles", ay mas kahanga-hanga. Ang sinaunang bayaning Griyego na si Achilles, na walang talo sa pagtakbo, ay malapit nang makipagkumpitensya sa pagong. Kung ang pagong ay nagsisimula nang mas maaga kaysa kay Achilles, kung gayon upang maabutan ito, kailangan muna niyang tumakbo sa lugar ng pagsisimula nito. Ngunit pagdating niya doon, gumagapang na ang pagong sa ilang distansya na kailangang takpan ni Achilles bago maabutan ang pagong. Ngunit sa panahong ito, ang pagong ay gagapang pasulong nang mas malayo. At dahil ang bilang ng mga naturang segment ay walang katapusan, ang matulin na si Achilles ay hindi na makakahabol sa pagong.
At narito ang pangatlong aporia sa mga salita ni Zeno mismo: "Kung ang isang bagay ay gumagalaw, kung gayon ito ay gumagalaw alinman sa lugar na kinaroroonan nito, o sa lugar kung saan wala ito. Gayunpaman, hindi ito makagalaw sa lugar na inookupahan nito (dahil sa anumang oras ay sinasakop nito ang lahat ng espasyong ito), ngunit hindi rin ito makagalaw sa lugar kung saan wala ito. Samakatuwid, imposible ang paggalaw. Ang paradox na ito ay tinatawag na "The Arrow".
Sa wakas, mayroong isang ika-apat na aporia, kung saan pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawang hanay ng mga tao na pantay ang haba, na gumagalaw nang magkatulad na may pantay na bilis sa magkasalungat na direksyon. Sinabi ni Zeno na ang oras na aabutin para sa mga column na dumaan sa isa't isa ay kalahati ng oras na kinakailangan para sa isang tao na makapasa sa buong column.

Ang mga aporias ni Zeno ay nasasabik sa malikhaing pag-iisip mula nang sila ay nabuo. Nabatid na ang mapang-uyam na si Diogenes ng Sinop, bilang tugon sa mga argumento ng ating pilosopo, ay tahimik na bumangon at nagsimulang maglakad pabalik-balik; kaya pinabulaanan niya ang kanyang kabalintunaan tungkol sa imposibilidad ng paglipat ng mga bagay. Ngunit kung saan mayroong isang pakikibaka sa pamamagitan ng mga argumento, isinulat ni Hegel, tanging ang parehong pagtanggi sa pamamagitan ng mga argumento ay pinahihintulutan; sa ganoong kaso hindi masisiyahan ang isang tao sa madamdaming katiyakan, ngunit dapat na maunawaan. Bukod dito, ang pagkakaroon ng nakikitang paggalaw ay hindi pinagtatalunan ni Zeno. Ang paggalaw ay may madamdaming katiyakan, ito ay umiiral, tulad ng mga elepante; sa ganitong diwa ay hindi sumagi sa isip ni Zeno na tanggihan ang paggalaw. Ang tanong dito ay tungkol sa katotohanan nito, ngunit ang kilusan ay hindi totoo, dahil ang ideya nito ay naglalaman ng isang kontradiksyon; at samakatuwid ang paggalaw ay walang tunay na pagkatao. Ang pagtanggi sa probisyong ito ay isang ganap na naiibang antas ng kontrobersya at hindi madaling umahon dito, dahil sa kabalintunaan ni Zeno, sa unang pagkakataon, ang mga pangunahing konsepto tulad ng "space", "time", "movement" at kamalayan ng tao. ay pinagsama-sama. Alinsunod dito, upang mapatunayan ang kahangalan ng kanyang mga aporia, kailangan munang matukoy ang pilosopikal, pisikal na katangian ng espasyo, oras at paggalaw.

Si Hegel mismo, na nagbigay ng kabalintunaan ni Zeno ng isang mahalagang lugar sa kanyang Lectures on the History of Philosophy, ay bumuo ng kanyang mga argumento tulad ng sumusunod. Ang unang anyo ng pagtanggi ay binubuo sa pahayag: "Ang paggalaw ay walang katotohanan, dahil ang paglipat ay dapat umabot sa kalahati ng espasyo bago ito maabot ang layunin." Iyon ay, dapat nating kilalanin, bilang isang premise, ang pagpapatuloy ng espasyo. Ang gumagalaw ay dapat maabot ang isang tiyak na patutunguhan; ang landas na ito ay ang kabuuan. Upang makapasa sa kabuuan, ang gumagalaw ay dapat munang dumaan sa kalahati; ngayon ang dulong punto ay ang dulo ng kalahating ito, ngunit ang kalahati ng espasyo ay siya namang kabuuan, na sa gayon ay mayroon ding mga kalahati dito; kung ano ang gumagalaw, samakatuwid, ay dapat munang maabot ang kalahati ng kalahating ito - at iba pa. sa kawalang-hanggan. Tinutukoy dito ni Zeno ang walang katapusang divisibility ng espasyo: dahil ang espasyo at oras ay ganap na tuluy-tuloy, imposibleng huminto sa paghahati kahit saan. Ang bawat magnitude (at ang bawat oras at espasyo ay laging may magnitude) ay nahahati naman sa dalawang halves, na dapat na lampasan, at ito ay palaging nangyayari, gaano man kaliit ang espasyo na ating kunin. Ang paggalaw ay lumalabas na ang daanan nitong walang katapusang bilang ng mga sandali; ito samakatuwid ay hindi nagtatapos; kung ano ang gumagalaw, samakatuwid, ay hindi makakarating sa huling punto nito.

Ang pangkalahatang resolusyon ng kontradiksyon na ito, na ibinigay ni Aristotle, ay ang espasyo at oras ay hindi walang hanggan na pinaghihiwalay, ngunit walang hanggan lamang na nahahati. Ngunit ito ay maaaring mukhang at sa katunayan tila na, pagiging divisible, i.e. nahahati sa posibilidad, dapat din silang hatiin sa katotohanan, dahil kung hindi, hindi sila mahahati nang walang katiyakan. Pagpapatuloy mula sa pagsasaalang-alang na ito, kami, nang walang pag-aalinlangan, ay sumasang-ayon, tulad ng sa isang bagay na walang kasalanan, na may assertion na kung ano ang gumagalaw ay dapat umabot sa kalahati; ngunit sa gayon, isinulat ni Hegel, sumang-ayon na kami sa lahat ng iba pa, i.e. sumang-ayon na hinding-hindi ito makakarating, dahil ang pagsasabi nito ng isang beses ay katumbas ng pag-uulit ng parehong pahayag ng hindi mabilang na beses. Tinututol na sa isang malaking espasyo ay maaaring makilala ng isang tao ang pangangailangan na maabot ang kalahati, ngunit sa parehong oras ay iniisip nila na sa isang napakaliit na espasyo naabot nila ang isang punto kung saan ang paghahati sa kalahati ay hindi na posible, i.e. naabot nila ang hindi mahahati, hindi tuloy-tuloy, naabot nila ang hindi espasyo. Ngunit hindi ito totoo, dahil ang pagpapatuloy ay ang mahalagang kahulugan; ang pagpapalagay na ang kalahati ay naroroon ay naglalaman na ng pahinga sa pagpapatuloy. Dapat itong sabihin: walang kalahating espasyo, para sa espasyo ay tuluy-tuloy; maaari mong basagin ang isang piraso ng kahoy sa dalawang halves, ngunit hindi espasyo, at sa paggalaw mayroon lamang espasyo. Maaaring sabihin ng isa: ang espasyo ay binubuo ng walang katapusang maraming mga punto. Karaniwang iniisip na posibleng dumaan mula sa isang hindi mahahati na punto patungo sa isa pa, ngunit sa paraang ito ay hindi na magpapatuloy ang isa, sapagkat mayroong hindi mabilang na bilang ng mga naturang punto. Sa kanyang tila inosenteng palagay, pinipilit tayo ni Zeno na hatiin ang tuloy-tuloy sa kabaligtaran nito, sa isang hindi tiyak na hanay, bilang isang resulta kung saan hindi natin tinatanggap ang pagpapatuloy at, samakatuwid, hindi tinatanggap ang pagkakaroon ng paggalaw. Maling igiit na posible kung maabot mo ang isang ganoong punto, na hindi na tuloy-tuloy; ito ay mali, dahil ang paggalaw ay koneksyon.

Ganoon din sa ikalawang aporia. Ang mas mabilis na paggalaw, sabi ni Zeno, ay hindi nakakatulong kay Achilles na tumakbo sa layo na nasa likuran niya; ang oras na ginagamit nito para dito ay palaging ginagamit ng mas mabagal, upang sa pagpapatuloy nito ay muli itong nalampasan ang una, kahit na sa pamamagitan ng isang mas maliit at mas maliit na distansya, na, gayunpaman, dahil sa patuloy na paghahati sa kalahati, ay hindi kailanman ganap na nawawala. Si Aristotle, kung isasaalang-alang ang argumentong ito, ay maikling sinabi tungkol dito: “Ang patunay na ito ay kumakatawan sa parehong walang-katapusang paghahati; ito ay, gayunpaman, hindi totoo, dahil ang mabilis na gumagalaw ay hahabol pa rin sa mabagal, kung ito ay pinapayagang tumawid sa hangganan. Ang kanyang sagot, isinulat ni Hegel, ay tama at naglalaman ng lahat ng kailangan: sa representasyong ito, ito ay tiyak na dalawang punto ng oras at dalawang puwang na hiwalay sa isa't isa, i.e. hiwalay sa isa't isa; kung, sa kabaligtaran, ipinapalagay natin na ang oras at espasyo ay tuluy-tuloy, upang ang dalawang punto ng oras o espasyo, bilang tuluy-tuloy, ay magkakaugnay sa isa't isa, kung gayon ang mga ito ay dalawang punto at pantay na hindi dalawang punto, ngunit magkapareho. Bilang representasyon, mas madaling malutas ang tanong na ito sa pamamagitan ng pagsasabing: “Dahil ang pangalawang katawan ay mas mabilis, dumaan ito sa mas maraming espasyo nang sabay-sabay kaysa sa mabagal na paggalaw; kaya nitong maabot ang lugar kung saan nagsisimula ang paggalaw ng unang katawan, at pagkatapos ay lumayo pa. Ang oras, samakatuwid, ay limitado, kung saan, ayon kay Aristotle, kailangan nating dumaan, kung saan dapat tayong tumagos nang higit pa; dahil ito ay tuluy-tuloy, kami, upang malutas ang kahirapan, ay dapat sabihin na kung ano ang ika; nakikilala natin bilang dalawang bahagi ng oras, dapat kunin bilang isang bahagi ng oras. Sa paggalaw, dalawang punto ng oras, pati na rin ang dalawang punto ng espasyo, ay sa katunayan isang punto. Sapagkat kapag gusto nating maunawaan ang paggalaw sa pangkalahatan, sinasabi natin na ang katawan ay nasa isang lugar at pagkatapos ay pupunta sa ibang lugar. Sa panahon ng paggalaw, wala na ito sa unang lugar, ngunit sa parehong oras ay wala pa ito sa pangalawang lugar; kung ito ay nasa isa sa mga lugar na ito, ito ay pahinga. Ngunit nasaan ito? Kung sasabihin natin na ito ay nasa pagitan ng dalawang lugar na ito, kung gayon ay hindi talaga tayo magsasabi ng anuman, dahil sa pagkakataong iyon ay nasa parehong lugar din ito, at, samakatuwid, ang parehong kahirapan ay babangon sa harap natin. Ngunit ang paglipat ay nangangahulugan na nasa isang partikular na lugar at sa parehong oras ay hindi naroroon, at samakatuwid ay nasa parehong mga lugar sa parehong oras; ito ang pagpapatuloy ng oras at espasyo, na nag-iisa na ginagawang posible ang paggalaw. Si Zeno, sa kanyang konklusyon, ay mahigpit na pinaghiwalay ang dalawang puntong ito sa isa't isa. Kinikilala din namin ang discreteness ng oras at espasyo, ngunit dapat silang pantay na payagan na lumampas sa hangganan, i.e. maglagay ng hangganan bilang isang bagay na hindi hangganan, o maglagay ng nahahati na bahagi ng panahon, na kasabay nito ay mga hindi nahahati na bahagi din.

Mula sa sinabi, kitang-kita kung paano mapabulaanan ang ikatlong aporia ni Zeno nang sabihin niyang: "Ang lumilipad na palaso ay nakatigil, at tiyak na dahil ang gumagalaw ay palaging nasa "ngayon" na katumbas ng kanyang sarili at ang "dito" ay katumbas. sa kanyang sarili, sa hindi makikilala”; arrow - dito at dito at dito. Masasabi natin sa isang arrow na ito ay palaging pareho, dahil ito ay palaging nasa parehong espasyo at sa parehong oras; hindi ito lumalampas sa sarili nitong espasyo, hindi sumasakop sa iba, i.e. higit pa o mas kaunting espasyo, ngunit tinatawag namin itong hindi paggalaw, ngunit pahinga. Sa "dito" at "ngayon" ang pagiging iba ay inalis; sa kanila, ito ay totoo, limitasyon ay posited sa pangkalahatan, ngunit ito ay posited lamang bilang isang sandali; para sa "dito" at "ngayon" bilang tulad ay walang pagkakaiba. Sinabi ni Aristotle tungkol sa ikatlong patunay na ito: "Nagmumula ito sa inaakala ni Zeno na binubuo ng panahon ngayon, ngunit kung hindi tayo sumasang-ayon dito, walang magiging konklusyon."

Tungkol naman sa ikaapat na pagtutol ni Zeno, ito ay itinayo sa kontradiksyon na resulta ng paglipat sa magkasalungat na direksyon; ang pangkalahatang kilusan ay tumatanggap ng isang katawan nang buo, habang sa sarili nito ay isang bahagi lamang ang ginagawa nito. Ngunit sa katunayan, ang distansya na nilakbay ng isang katawan ay ang kabuuan ng mga distansya na nilakbay ng pareho.

Pilosopiya sa Panahon ng mga Digmaang Greco-Persian