Парадокси Зенона«…викликали таке хвилювання,
що і зараз можна спостерігати деяку брижі»

Д. Я. Стройк, Короткий нарис історії математики,
М., "Наука", 1964 р., с. 53.

Зенонсформулював ряд апорій(«нерозв'язних положень»), показавши – кажучи сучасною мовою – що в них вважаютьсязбігаються два процеси: сам фізичний рух і виникнення в нашій свідомості послідовності його окремих фрагментів, а це веде до логічних протиріч.

«З 45 апорій, висунутих Зеноном, до нас дійшло 9 . Класичними є п'ятьапорій, у яких Зенон аналізує поняття множини та руху. Першу, яка отримала назву «апорія міри», Сімплікий викладає так: «Довівши, що, «якщо річ не має величини, вона не існує», Зенон, додає: «Якщо річ існує, необхідно, щоб вона мала деяку величину, деяку товщину і щоб була деяка відстань між тим, що представляє в ній взаємну різницю». Те саме можна сказати про попередню, про ту частину цієї речі, яка передує трохи в дихотомічному розподілі. Отже, це попереднє повинно мати певну величину у своє попереднє. Сказане один раз завжди можна повторювати. Таким чином, ніколи не буде крайньої межі, де не було б різних один від одного частин. Отже, якщо є множинність, потрібно, щоб речі були в той самий час великі і малі і настільки малі, щоб не мати величини, і настільки великі, щоб бути нескінченними».

Аргумент Зенона, найімовірніше, спрямований проти піфагорійськогоуявлення у тому, що тіла «складаються з чисел».

Справді, якщо мислити число як точку, що не має величини («товщини», протяжності), то сума таких точок (тіло) теж не матиме величини, якщо ж мислити число «тілесної, як таке, що має деяку кінцеву величину, то оскільки тіло містить нескінченну кількість таких точок (бо тіло, за припущенням Зенона, можна ділити «без межі»), воно повинно мати нескінченну величину. З цього випливає, що неможливо мислити тіло у вигляді суми неподільних одиниць, як це ми бачили у піфагорійців.

Можна, мабуть, сказати, продовживши думку Зенона: якщо «одиниця» неподільна, вона має просторової величини (точки); якщо ж вона має величину, хай як завгодно малу, то вона ділима до нескінченності. Елеати вперше поставили перед наукою питання, яке є одним із найважливіших методологічних питань і досі: як слід мислити континуум – дискретним чи безперервним? що складається з неподільних (одиниць, «єдностей», монад) чи ділиться до нескінченності?

Будь-яка величина має бути зрозуміла тепер з погляду того, складається вона з одиниць (як арифметичне число піфагорійців), неподільних «цілих», чи вона сама є ціле, а складові її елементи самостійного існування не мають. Це питання ставиться і по відношенню до числа, і по відношенню до просторової величини (лінії, площині, обсягу), і по відношенню до часу. Залежно від вирішення проблеми континууму формуються різні методи вивчення природи і людини, тобто різні наукові програми».

Гайденко П.П., Еволюція поняття науки: становлення та розвиток перших наукових програм, М., «Урсс», 2010, с. 65-67.

«Про Зеноні Елейськомута його парадоксах, таких, наприклад, як відома загадка про швидконогого Ахіллеса, який не може наздогнати черепаху, начебто написано вже так багато, що навряд чи ще раз потрібно повертатися до сформульованих ним ще в V ст. до зв. е. «важким питанням» (апоріям), що стосуються відображення руху в науці і до поняття «множини» (до співвідношення безперервного і дискретного).

З того часу апорії Зенона не переставали цікавити математиків та філософів. Однак аж до наших днів на їх рахунок існують найрізноманітніші думки: від абсолютно зневажливого ставлення до них до визнання того, що вони ставляться до найважливіших і найважчих питань обґрунтування математики та фізики.

Так, відомому французькому математику Полю Левіфеномен про Ахіллеса і черепаха є очевидною безглуздістю.

«Чому уявляти собі, - пише він, - що час зупинить свій хід внаслідок того, що якийсь філософ займається перерахуванням членів ряду, що сходить?» «Зізнаюся, я ніколи не розумів, як люди, в інших відносинах цілком розумні, можуть виявитися збентеженими цим парадоксом, і відповідь, яку я щойно намітив, є та сама відповідь, яку я дав, коли мені було одинадцять років, старшому, який розповів мені цей парадокс, чи, точніше, є та сама відповідь, яку я резюмував тоді такою небагатослівною формулою: «Цей грек був ідіотом».

Я знаю тепер, що треба висловлювати свої думки у ввічливішій формі і що, можливо, Зенон викладав свої парадокси лише для того, щоб перевірити розумність своїх учнів. Але моє здивування перед умами, що бентежиться поняттям ряду, що сходить, залишилося тим же. (Р. Levy, A propos du paradoxe et de la logique,. «Rev. Meta-phys. Morale», 1957, N 2, p. 130)».

Яновська С. А., Методологічні проблеми науки, М., «КомКнижка», 2006, с. 214.

Зенон Елейський - грецький логік і філософ, який в основному відомий за парадоксами, названими на його честь. Про його життя відомо небагато. Рідне місто Зенона – Елея. Також у працях Платона згадувалася зустріч філософа із Сократом.

Приблизно 465 року до зв. е. Зенон написав книгу, де докладно виклав усі свої ідеї. Але, на жаль, донині вона не дійшла. Згідно з легендою, філософ загинув у бою з тираном (імовірно, главою Елеї Неархом). Всю інформацію про Елейському збирали по крихтах: з праць Платона (народився на 60 років пізніше Зенона), Аристотеля і Діогена Лаертія, який написав через три століття книгу біографій грецьких філософів. Згадки про Зенона є і в працях пізніх представників школи грецької філософії: Фемістія (4 століття н. е.), Олександра Афродійського (3 століття н. е.), а також Філопона та Симпліція (обидва жили в 6 столітті н. е.) . Причому дані у цих джерелах настільки добре узгоджуються між собою, що з них можна реконструювати ідеї філософа. У цій статті ми розповімо вам про парадокси Зенона. Отже, почнемо.

Парадокси множини

Ще з епохи Піфагора простір і час розглядалися виключно з погляду математики. Тобто вважалося, що вони складені з багатьох моментів і точок. Проте вони мають властивість, яке простіше відчути, ніж визначити, саме «безперервність». Деякі парадокси Зенона доводять, що її неможливо поділити на моменти чи точки. Міркування філософа зводиться до наступного: «Припустимо, що ми провели поділ до кінця. Тоді вірний лише один варіант із двох: або ми отримаємо в залишку мінімально можливі величини або частини, які є неподільними, але нескінченними у своїй кількості, або поділ приведе нас до частин без величини, оскільки безперервність, будучи однорідною, повинна бути поділеною за будь-яких обставин. . Вона не може бути в одній частині ділима, а в іншій – ні. На жаль, обидва результати досить безглузді. Перший через те, що процес розподілу не може закінчитися, поки в залишку є частини, що мають величину. А другий тому, що в подібній ситуації спочатку було б сформоване з нічого». Симпліцій приписував цю міркування Парменіду, але ймовірніше, що його автор - Зенон. Ідемо далі.

Парадокси Зенона про рух

Вони розглядаються здебільшого книг, присвячених філософу, оскільки вступають у дисонанс зі свідченнями почуттів елеатів. Стосовно руху виділяють такі парадокси Зенона: «Стріла», «Дихотомія», «Ахілл» і «Стадій». І дійшли вони до нас завдяки Арістотелю. Давайте розглянемо їх докладніше.

«Стріла»

Інша назва – квантовий парадокс Зенона. Філософ стверджує, що будь-яка річ або стоїть на місці або рухається. Але ніщо не перебуває у русі, якщо займаний простір рівний йому за протяжністю. У певний момент стріла, що рухається, знаходиться на одному місці. Тож вона не рухається. Симпліцій сформулював цей феномен у короткій формі: «Летящий предмет займає рівне собі місце у просторі, бо, що займає рівне собі місце у просторі, не рухається. Отже, стріла спочиває». Фемістій ​​та Фелопон сформулювали аналогічні варіанти.

«Дихотомія»

Посідає друге місце списку "Парадокси Зенона". Він говорить таке: «Перш ніж об'єкт, який почав рух, зможе пройти певну відстань, він повинен подолати половину даного шляху, далі половину решти і т. д. до нескінченності. Так як при повторних поділах відстані навпіл відрізок весь час стає кінцевим, а кількість даних відрізків нескінченно, то ця відстань неможливо подолати за кінцевий час. Причому цей аргумент справедливий як щодо малих відстаней, і великих швидкостей. Отже, будь-який рух неможливий. Тобто бігун навіть не зможе стартувати».

Цей парадокс дуже докладно прокоментував Симпліцій, вказавши, що в даному випадку за кінцевий час потрібно здійснити нескінченну кількість торкань. «Той, хто чогось стосується, може вести рахунок, але безліч не можна перебрати або порахувати». Або, як сформулював Філопон, безліч невизначено.

"Ахілл"

Також відомий як парадокс черепахи Зенона. Це найпопулярніша міркування філософа. У рух Ахіллес змагається в бігу з черепахою, якій на старті дається невелика фора. Парадокс у тому, що грецькому воїну не вдасться наздогнати черепаху, оскільки спочатку він добіжить до місця старту, а вона вже буде на наступній точці. Тобто черепаха завжди буде попереду Ахіллеса.

Цей феномен дуже схожий на дихотомію, але тут нескінченний поділ йде по прогресії. У разі дихотомії була регресія. Наприклад, той самий бігун не може стартувати, тому що не може залишити своє місцезнаходження. А в ситуації з Ахіллом, навіть якщо бігун рушить з місця, він все одно нікуди не прибіжить.

«Стадій»

Якщо порівнювати всі парадокси Зенона за рівнем складності, цей вийшов би переможцем. Він найважче піддається викладу. Симпліцій і Аристотель описали це міркування фрагментарно, і не можна зі 100% впевненістю покладатися з його надійність. Реконструкція даного парадоксу має такий вигляд: нехай А1, А2, А3 і А4 є нерухомими тілами рівного розміру, а Б1, Б2, Б3 і Б4 - це тіла того ж розміру, що і А. Тіла Б рухаються праворуч так, що кожне Б минає А за одну мить, що є найменшим проміжком часу, з усіх можливих. Нехай В1, В2, В3 і В4 - тіла ідентичні А і Б і рухаються відносно А вліво, долаючи кожне з тіл за одну мить.

Очевидно, що В1 подолало всі чотири тіла Б. Приймемо за одиницю час, що знадобився одному тілу для проходження одного тіла Б. У цьому випадку на все пересування знадобилося чотири одиниці. Однак вважалося, що два моменти, що пройшли за цей пересування, мінімальні і тому неподільні. З цього випливає, що чотири неподільні одиниці дорівнюють двом неподільним одиницям.

«Місце»

Тепер ви знаєте основні парадокси Зенона Елейського. Залишилося розповісти про останнє, яке відоме під назвою «Місце». Цей феномен Зенону приписує Аристотель. Подібні міркування наводилися в працях Філопона та Симпліція у 6 столітті н. е. Ось як Аристотель розповідає про цю проблему у своїй Фізиці: «Якщо є якесь місце, то як визначити, де воно знаходиться? Труднощі, до яких прийшов Зенон, вимагає пояснення. Оскільки все існуюче має місце, стає очевидним, що й у місця має бути місце, і т. д. до нескінченності». На думку більшості філософів, парадокс тут з'являється тільки тому, що ніщо з існуючого не може відрізнятися від самого себе і утримуватися саме в собі. Філопон вважає, що, акцентуючи увагу на самосуперечності поняття «місця», Зенон хотів довести неспроможність теорії множинності.

Вирушаючи будь-куди, необхідно пройти спочатку половину шляху, потім половину відстані, що залишилася, і так до нескінченності. Звідси неминуче випливає: досягти кінцевого пункту в принципі неможливо, а отже, неможливий і сам рух

Цей парадокс зветься парадоксом дихотомії. Авторство приписується давньогрецькому філософу Зенону. Передбачається, що він був сформульований як доказ одиничності всесвіту, і те, що зміна, в тому числі і рух - неможлива (як вважав вчитель Зенона Парменід).

Люди інтуїтивно відкидали цей феномен упродовж багатьох століть. З математичної точки зору, рішення, сформульоване в XIX столітті, полягає в тому, щоб визнати, що половина плюс одна четверта плюс одна восьма плюс одна шістнадцята і т.д. становить одиницю. Це все одно, що сказати: нуль цілих і дев'ять у періоді дорівнює одиниці.

Однак це теоретичне рішення фактично не дає відповіді на питання, як об'єкт може досягти кінцевої точки свого руху. Вирішення цього завдання є складнішим і досі не цілком зрозумілим, якщо спиратися на теорії XX століття, які заперечують нескінченну ділимість матерії, часу та простору.

Зенон Елейський належав до тієї грецької філософської школи, яка вчила, що будь-яка зміна у світі ілюзорна, а буття єдине і незмінне. Його парадокс (сформульований у вигляді чотирьох апорій (від грецьк. aporia «безвихідність»), що породили з того часу ще приблизно сорок різних варіантів) показує, що рух, зразок «видимої» зміни, логічно неможливий.

Більшості сучасних читачів парадокс Зенона знайомий саме у наведеному вище формулюванні (її іноді називають дихотомією — від грец. dichotomia «поділ надвоє»). Щоб перетнути кімнату, спочатку потрібно подолати половину шляху. Але потім потрібно подолати половину того, що залишилося, потім половину того, що залишилося після цього, і таке інше. Цей поділ навпіл продовжуватиметься до нескінченності, з чого робиться висновок, що вам ніколи не вдасться перетнути кімнату.

Апорія, відома під назвою Ахілл, ще більш вражаюча. Давньогрецький герой Ахілл збирається змагатися у бігу з черепахою. Якщо черепаха стартує трохи раніше за Ахілла, то йому, щоб її наздогнати, спочатку потрібно добігти до місця її старту. Але до того моменту, як він туди дістанеться, черепаха проповзе деяку відстань, яку треба буде подолати Ахіллу, перш ніж наздогнати черепаху. Але за цей час черепаха заповзе вперед ще на деяку відстань. А оскільки кількість таких відрізків нескінченна, швидконогий Ахілл ніколи не наздожене черепаху.

Ось ще одна апорія, словами Зенона:

Якщо щось рухається, воно рухається або в тому місці, яке воно займає, або в тому місці, де його немає. Однак воно не може рухатися в тому місці, яке воно займає (оскільки в кожний момент часу воно займає все це місце), але воно також не може рухатися і в тому місці, де його немає. Отже, рух неможливий.

Цей парадокс називається стріла (у кожний момент часу стріла, що летить, займає місце, рівне їй по протяжності, отже вона не рухається).

Нарешті, існує четверта апорія, у якій йдеться про дві рівні по довжині колонах людей, що рухаються паралельно з рівною швидкістю в протилежних напрямках. Зенон стверджує, що час, за який колони пройдуть один повз одного, становить половину часу, потрібного одній людині, щоб пройти повз всю колону.

З цих чотирьох апорій перші три найбільш відомі та найбільш парадоксальні. Четверта просто пов'язана із неправильним розумінням природи відносного руху.

Найгрубіший і найвитонченіший спосіб спростувати парадокс Зенона - це встати і перетнути кімнату, обігнати черепаху або випустити стрілу. Але це ніяк не торкнеться ходу його міркувань. Аж до XVII століття мислителі було неможливо знайти ключі до спростування його хитромудрої логіки. Проблема була вирішена лише після того, як Ісаак Ньютон і Готфрід Лейбніц виклали ідею диференціального обчислення, що оперує поняттям «межа»; після того як стала зрозумілою різниця між розбиттям простору і розбиттям часу; нарешті, після того, як навчилися поводитися з нескінченними і нескінченно малими величинами.

Візьмемо приклад із перетином кімнати. Дійсно, у кожній точці шляху вам треба пройти половину шляху, що залишився, але тільки на це вам знадобиться вдвічі менше часу. Чим менший шлях залишилося пройти, тим менше часу на це знадобиться. Таким чином, обчислюючи час, потрібний для того, щоб перетнути кімнату, ми складаємо нескінченну кількість нескінченно малих інтервалів. Однак сума всіх цих інтервалів не нескінченна (інакше перетнути кімнату було б неможливо), а дорівнює деякому кінцевому числу - і тому ми можемо перетнути кімнату за кінцевий час.

Такий хід доказу аналогічний до знаходження межі в диференціальному обчисленні. Спробуємо пояснити ідею межі термінах феномена Зенона. Якщо ми розділимо відстань, яку ми пройшли, перетинаючи кімнату, на час, який ми витратили, ми отримаємо середню швидкість проходження цього інтервалу. Але хоч і відстань, і час зменшуються (і зрештою прагнуть нуля), їхнє відношення може бути кінцевим — власне, це і є швидкість вашого руху. Коли і відстань, і час прагнуть нуля, це ставлення називається межею швидкості. У своєму парадоксі Зенон помилково виходить із того, що коли відстань прагне нуля, час залишається колишнім.

джерела

Є кілька формулювань парадоксу, який стверджує, що рух неможливий. Ну пам'ятайте, про неможливість обігнати черепаху, про вічне проходження половини і про неможливість рухатися там, де ти є, і там, де тебе немає. Спростую їх логікою.

Є ще четвертий парадокс, про колони солдатів, що йдуть на зустріч один одному, який просто лажу якогось гальма, який 2+2 не зміг порахувати. Ось так жорстоко.

Отже, розглянемо три варіанти парадоксу, що залишилися.

Варіант 1 (найпопулярніший)

Щоб перетнути відстань від А до Б, спочатку потрібно подолати половину шляху. Але потім потрібно подолати половину того, що залишилося, потім половину того, що залишилося після цього, і таке інше. Це проходження половини від залишку шляху буде продовжуватися до нескінченності і, хоча об'єкт буде наближатися нескінченно близько до Б, але безпосередньо в точку Б ніколи не потрапить.

Лажаємо цей парадокс одним простим твердженням: «простір дискретний». Що б це означало для доярки Тоні? А ось що. Це означає, що між А і Б немає нескінченної кількості геометричних умоглядних точок, в яких може бути тіло, яке рухається з А і Б. А є кінцева кількість конкретних позицій, в яких це тіло може перебувати. Тобто. якщо є дві такі сусідні позиції, то тіло може бути або в одній позиції або в іншій, але не посередині. Перехід між ними відбувається миттєво. Доярка Тоня далі не зрозуміє, тож може пропустити. Це те саме, що енергетичні рівні в атомі. Електрон може бути або на одному або іншому рівні, але не по середині. Чому ми цієї дискретності не бачимо? А тому шо вона малесенька така. 10 ступенем мінус 33, планківська довжина, так би мовити. Менше таких величин наші доблесні закони фізики перестають працювати, бо там – повний хаос на наш буде. Звідки я це взяв? Див теорію суперструн. Це не фантастика, якщо хтось не знає, а реальна фізична теорія, яка дещо вже допомогла порахувати і люди, які в ній працюють, намагаються об'єднати всі відомі сили. Т. е., перефразовуючи на простонародний, створити «теорію всього» або «материнську теорію».

Варіант 2 (досить популярний)

Ахілл вирішив потягатися з черепахою у бігу. Дав їй трохи фори. Щоб наздогнати черепаху, Ахілл спочатку треба добігти до місця її старту. Але до того моменту, як він туди дістанеться, черепаха проповзе деяку відстань, яку треба буде подолати Ахіллу, перш ніж наздогнати черепаху. Але за цей час черепаха заповзе вперед ще на деяку відстань. А оскільки кількість таких відрізків нескінченна, швидконогий Ахілл ніколи не наздожене черепаху.

Ну по-перше, не дуля випендрюватися було і давати фору. Ніколи не недооцінюй черепаху. По-друге, розглянемо цей варіант із позиції дискретного простору. Ахілл спритніший чувак і більш енергійний. В даному випадку, під енергійністю ми маємо на увазі здатність Ахілла перескакувати від одного осередку простору до іншого. Виходить, наприклад, щоб перейти до наступного осередку Ахіллу потрібно всього 0.1 секунди (гальмо, але що вдієш, якщо звичайно хтось зрозумів), так як вони накачують свою матерію рухом швидше. Черепаха ж взагалі вбита та енергетично ніяка. Їй треба цілу секунду, щоб прокачати свою матерію рухом для переходу до наступного осередку простору. А до цього вона все ще стирчить у попередній. Тобто. поки вона стирчить у своєму осередку і накачується для стрибка в наступну, Ахілл, вже прохитався рухом 9 разів і перестрибнув 9 осередків. А черепаха все там-таки. Тобто. Найчастіше у цьому змаганні невірна фраза «Але на той час, як і туди дістанеться, черепаха проповзе деяку відстань». Чи не проповзе, не встигне. Тому він її швидко наздожене та пережене.

Варіант 3 (спочатку здається що класний, потім зрозуміло, що лінгвістичний прикол)

Якщо щось рухається, воно рухається або в тому місці, яке воно займає, або в тому місці, де його немає. Однак воно не може рухатися в тому місці, яке воно займає (оскільки в кожний момент часу воно займає все це місце), але воно також не може рухатися і в тому місці, де його немає. Отже, рух неможливий.

Ось тут у мене теж є пояснення через дискретність простору, але мені воно якось не дуже подобається, оскільки воно більше схоже на сам дурень, ніж на «а ось тут у вас помилочка». Ну що зробити.

Загалом ідея така, що сама постановка питання не вірна. Потрібно зрозуміти, що таке рух. У дискретному просторі це процес накопичення деякого потенціалу до стрибка в наступну позицію і потім перехід до іншої позиції. Тому так, в процесі накопичення об'єкт займає свій обсяг і не рухається в ньому, але потім він відразу, накопичивши необхідну кількість енергії руху, виявляється трохи далі. Тобто. він не рухається, де його немає, він просто з'являється там, де його немає. Взагалі, нікого нескінченно плавного руху просто немає.

А в цьому парадоксі якась гра слів, «не може рухатись і в тому місці, де його немає» – це просто прикол якийсь. Він рухається не ТАМ, він рухається ТУДИ і може зайняти той порожній простір.

Ось так дискретний простір усуває парадокси.

Зенон (бл. 490 р. до Р. Х. - бл. 430 р. до Р. Х.) належав до елейської грецької філософської школи, яка проголошувала, що будь-яка зміна у світі ілюзорна, а буття єдине і незмінне. Учитель Зенона Парменид стверджував: «Всесвіт незмінна, бо, визнавши зміну, ми визнали б небуття те, що є, лише буття існує» (). Погляд Зенона більш діалектичний. Він говорив: «Припустіть існування вашої зміни; у ньому, як і зміні, міститься його ніщо, чи, інакше кажучи, воно немає». При цьому слід зауважити, що для Парменіда зміна означала певний і завершений рух, а Зенон висловлювався і виступав проти руху як такого, або інакше кажучи, проти чистого руху. «Чисте буття не рух, воно, навпаки, є ніщо руху».

Тим, хто дотримувався протилежної точки зору, Зенон пропонував спростувати його парадокс, сформульований у вигляді чотирьох апорій (від грецьк. aporia «безвихідь»), що показує, що рух (зразок «видимої» зміни) логічно неможливий. Більшості сучасних читачів парадокс Зенона знайомий саме у наведеному вище формулюванні (її іноді називають дихотомією - від грец. dichotomia «поділ надвоє»). Перша апорія проголошувала, що неможливо перетнути кімнату. Адже спершу треба подолати половину шляху. Але потім потрібно подолати половину того, що залишилося, потім половину того, що залишилося після цього, і таке інше. Цей поділ навпіл продовжуватиметься до нескінченності, з чого робиться висновок, що вам ніколи не вдасться перетнути кімнату.

Апорія, відома під назвою «Ахіл», ще більш вражаюча. Давньогрецький герой Ахілл, непереможний у бігу, збирається змагатися з черепахою. Якщо черепаха стартує трохи раніше за Ахілла, то йому, щоб її наздогнати, спочатку потрібно добігти до місця її старту. Але до того моменту, як він туди дістанеться, черепаха проповзе деяку відстань, яку треба буде подолати Ахіллу, перш ніж наздогнати черепаху. Але за цей час черепаха заповзе вперед ще на деяку відстань. А оскільки кількість таких відрізків нескінченна, швидконогий Ахілл ніколи не наздожене черепаху.
А ось третя апорія словами самого Зенона: «Якщо щось рухається, воно рухається або в тому місці, яке воно займає, або в тому місці, де його немає. Однак воно не може рухатися в тому місці, яке воно займає (оскільки в кожний момент часу воно займає все це місце), але воно також не може рухатися і в тому місці, де його немає. Отже, рух неможливий. Цей парадокс називається "Стріла".
Нарешті, існує четверта апорія, у якій йдеться про дві рівні по довжині колонах людей, що рухаються паралельно з рівною швидкістю в протилежних напрямках. Зенон стверджує, що час, за який колони пройдуть один повз одного, становить половину часу, потрібного одній людині, щоб пройти повз всю колону.

Апорії Зенона розбурхували творчу думку з того часу, як вони були сформульовані. Відомо, що цинік Діоген Синопський у відповідь докази нашого філософа мовчки встав і почав ходити взад і вперед; у такий спосіб він спростував його парадокс про неможливість руху справою. Але там, де ведуть боротьбу доказами, пише Гегель, припустимо лише таке ж спростування доказами; не можна у разі задовольнятися чуттєвої достовірністю, а треба зрозуміти. До того ж готівка видимого руху не оспорювалася Зеноном. Рух має чуттєву достовірність, він існує, подібно до того, як існують слони; у цьому сенсі Зенону і на думку не спадало заперечувати рух. Питання тут йдеться про його істинність, але рух неістинний, бо уявлення про нього містить у собі протиріччя; і отже рух не має справжнього буття. Спростування цього положення - зовсім інший рівень полеміки і піднятися до нього не просто, оскільки в парадоксі Зенона чи не вперше виявилися зведені такі фундаментальні поняття, як «простір», «час», «рух» і людська свідомість. Відповідно, щоб довести безглуздість його апорій, необхідно спочатку визначити філософську, фізичну природу простору, часу та руху.

Сам Гегель, який приділив феномену Зенона важливе місце у своїх «Лекціях з історії філософії», будує свої аргументи в такий спосіб. Перша форма спростування полягає у твердженні: «Рух не має істинності, тому що рухомий має дійти до половини простору, перш ніж він дійде до мети». Тобто ми повинні визнати як передумову безперервність простору. Двигун повинен досягти відомого кінцевого пункту; цей шлях є ціле. Щоб пройти ціле, що рухається має спочатку пройти половину; тепер кінцевим пунктом є кінець цієї половини, але ця половина простору є своєю чергою ціле, яке, таким чином, також має половину; що рухається, отже, насамперед має дійти до половини цієї половини - і т.д. до нескінченності. Зенон тут свідчить про нескінченну ділимість простору: оскільки простір і час абсолютно безперервні, то ніде не можна зупинитися з поділом. Кожна величина (а кожен час і кожен простір завжди мають величину) ділимо у свою чергу на дві половини, які повинні бути пройдені, і це завжди має місце, хоч би який маленький простір ми взяли. Рух виявляється проходженням цієї нескінченної кількості моментів; воно тому ніколи не кінчається; що рухається, отже, не може дійти свого кінцевого пункту.

Загальне вирішення цієї суперечності, що дається Аристотелем, полягає в тому, що простір і час не нескінченно розділені, а лише нескінченно ділимо. Але може здатися і здається, що, будучи ділими, тобто. розділені у можливості, вони повинні бути розділені також і насправді, бо інакше їх не можна було б ділити до безкінечності. Виходячи з цього міркування, ми, не замислюючись, погоджуємося, як із чимось невинним, із твердженням, що рухоме має дійти до половини; але, в такий спосіб, пише Гегель, ми погодилися з усім іншим, тобто. погодилися, що він ніколи не дійде, бо сказати це раз рівнозначно повторенню цього висловлювання незліченну кількість разів. Заперечують, що у просторі можна визнати необхідність дійти половини, але з тим уявляють собі справу отже у дуже маленькому просторі доходять до такої точки, де розподіл навпіл більше неможливо, тобто. доходять до неподільного, не безперервного, доходять до того, що немає простору. Але це не так, бо безперервність є суттєвим визначенням; у припущенні готівки половини міститься вже перерва безперервності. Слід сказати: немає половини простору, бо простір безперервно; можна розламати на дві половини шматок дерева, але не простір, а в русі є тільки простір. Можна було б сказати: простір складається з багатьох точок. Зазвичай уявляють собі, що можна переходити від однієї такої неподільної точки до іншої, але таким чином не можна просунутися далі, бо таких точок – безліч. Своїм невинним на перший погляд припущенням Зенон змушує нас розщепити безперервне на його протилежність, на невизначене безліч, тому ми не приймаємо безперервності і, отже, не приймаємо готівки руху. Помилкове твердження, ніби воно можливе, якщо дійдеш однієї такої точки, яка вже не безперервна; це помилково, тому що рух є зв'язок.

Так само йде справа з другою апорією. Швидший рух, стверджує Зенон, не допомагає Ахіллу пробігти ту відстань, на яку вона відстає; час, який він вживає для цього, використовується завжди і більш повільним, щоб протягом його знову випередити першу, хоча і на все меншу і меншу відстань, яка, проте, завдяки безперервному поділу навпіл, ніколи цілком не зникає. Аристотель, розглядаючи цей аргумент, говорить з приводу його коротко: «Це доказ представляє ту саму нескінченну дільність; воно, проте, хибно, бо швидкохідний все-таки наздожене повільного, якщо дозволено переступити кордон». Його відповідь, пише Гегель, правильний і містить у собі все необхідне: у цій уявленні приймаються саме дві точки часу і два простори, відокремлені один від одного, тобто. відмежовані один від одного; якщо ж ми, навпаки, приймемо, що час і простір безперервні, так що дві точки часу або простору, як безперервні, співвіднесені один з одним, то вони суть дві точки і однаково не суть дві точки, а тотожні. У поданні ми вирішуємо це питання найлегше, кажучи: «Оскільки друге тіло швидкохідніше, воно в один і той самий час проходить більш значний простір, ніж повільно рухається; воно, отже, може дійти того місця, звідки починає свій рух перше тіло, та був – піти ще далі». Час, отже, і є той обмежений, за межі якого, згідно з Аристотелем, ми повинні вийти, той, через який має проникнути далі; оскільки воно безперервне, то ми, щоб вирішити труднощі, повинні сказати, що те, чт; ми розрізняємо як дві частини часу, має бути взято як одну частину часу. У русі дві точки часу, як і дві точки простору, суть насправді одна точка. Адже коли ми бажаємо усвідомити собі взагалі рух, ми говоримо, що тіло знаходиться в одному місці, а потім іде в інше місце. Під час руху воно вже не знаходиться в першому місці, але разом з тим ще не у другому місці; якби воно знаходилося в одному з цих місць, воно було б у спокої. Але де воно знаходиться? Якщо скажемо, що воно знаходиться між цими двома місцями, то цим насправді нічого не скажемо, бо в такому разі воно також знаходилося б в одному місці, і перед нами виникло б, отже, те саме складне становище. Але рухатися означає бути в цьому місці і в той же час не бути в ньому, отже, перебувати в обох місцях одночасно; в цьому полягає безперервність часу та простору, яка єдино тільки і уможливлює рух. Зенон у своєму висновку суворо відділяв один від одного ці дві точки. Дискретність часу і простору визнаємо і ми, але однаково їм має бути дозволено переступати кордон, тобто. вважати кордон як те, що не є кордон, або вважати ділені частини часу, які водночас суть і неділені частини.

Зі сказаного очевидно, яким чином можна спростувати третю апорію Зенон, коли він каже: «Стрілка, що летить, знаходиться в спокої, і саме тому, що рухається завжди знаходиться в рівному собі «тепер» і рівному собі «тут», в нерозрізненому»; стріла – тут і тут. Ми можемо сказати про стрілу, що вона завжди одна й та сама, оскільки вона завжди знаходиться в тому самому просторі і в тому самому часі; вона виходить межі свого простору, не займає іншого, тобто. більшого чи меншого простору, але ми називаємо не рухом, а спокоєм. У «тут» і «тепер» скасовано становлення іншим; в них, щоправда, покладено обмеженість взагалі, але вона покладена лише як момент; оскільки в «тут» і «тепер», як таких, немає різниці. Аристотель говорить про цей третій доказ: "Воно виникає з того, що Зенон приймає, ніби час складається з тепер, але якщо ми не погодимося з цим, не вийде і висновку".

Що ж до четвертого заперечення Зенона, воно побудовано протиріччі, виходить під час руху у протилежних напрямах; загальний рух цілком отримує одне тіло, тоді як саме собою воно робить тільки частину. А насправді відстань, пройдена одним тілом, є сумою відстаней, пройдених обома.

Філософія в епоху греко-перських воєн