Asosiy identifikatsiya. Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar, ularning so'zlari va xulosasi
Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n baravar tez yuguradi va uning orqasida ming qadam narida. Vaqt o'tishi uchun bu Axilles bu masofadan o'tib ketmoqda, bir tomonda yuz qadam qulab tushadi. Axilles yuz qadam yurganda, toshbaqa o'n qadam atrofida emaklanadi va hokazo. Jarayon cheksizlikni davom ettiradi, Achiiles hech qachon toshbaqa tushmaydi.
Ushbu mulohazalar keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Xilbert ... Barchasini qandaydir tarzda Zenonning o'rni deb hisoblangan. Shok shunchalik kuchli bo'lib chiqdi " ... munozaralar davom etmoqda va hozirgi paytda ilmiy jamoatchilikning miskasislarining umumiy fikriga kelsak, bunda to'plamlar, yangi jismoniy va falsafiy yondashuvlar mavjud edi muammoni o'rganish; Ularning hech biri bu masala bo'yicha umuman qabul qilingan masalaga aylanmadi ..."[Wikipedia," Yenon apdam "] Hamma ular bloklanganligini tushunadi, ammo hech kim yolg'onni tushunmaydi.
Matematika nuqtai nazaridan, "Zeno" qiymatiga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy emas, balki dasturni anglatadi. Tushunganimdek, o'lchov birliklari o'zgaruvchilarining o'zgaruvchilarini ishlatishning matematik apparati hali rivojlanmagan yoki bu Zeno'nning ishlov berishga nisbatan qo'llanilmagan. Bizning oddiy manticdan foydalanish bizni tuzoqqa olib boradi. Biz, fikrlash inertikasi bo'yicha bizverterga doimiy vaqt o'lchovlaridan foydalaning. Jismoniy nuqtai nazardan, Axilllar toshbaqa bilan to'ldirilgan paytdagi to'liq to'xtash joyi vaqtning pasayishiga o'xshaydi. Agar vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan xalos bo'lolmaydi.
Agar siz mantig'ni odatda aylantirsangiz, hamma narsa joyida bo'ladi. Axilles doimiy tezlikda ishlaydi. Har bir uning yo'lining har bir keyingi segmenti avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engib o'tish vaqti avvalgisidan o'n baravar kam. Agar siz ushbu vaziyatda "Cheksizlik" tushunchasini qo'llasangiz, u to'g'ri aytadi "Axilles inchilles tezda toshbaqa ushlaydi".
Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt o'lchovi bo'limida qoling va teskari qiymatga o'tmang. Zeno'n tili tilida shunday ko'rinadi:
O'sha paytda Axilllar ming qadam narida joylashgan, yuzta qadam narvonni bir tomondan olib tashlaydi. Keyingi safar oraliq uchun birinchi mingga teng, Axilles yana ming qadamni ishga tushiradi va kaplumbağa yuz bosqichni olib tashlaydi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.
Ushbu yondashuv hech qanday mantiqiy paradokssiz haqiqatni anglatadi. Ammo bu muammoning to'liq echim emas. Axilles va toshbaqa zenoniyaliklar va toshbaqa shtati Eynshteyn bayonotiga yorug'lik tezligining oldini olishga juda o'xshash. Biz hali ham ushbu muammoni o'rganib chiqish, qayta ko'rib chiqish va hal qilishimiz kerak. Qaror cheksiz ko'p sonlarda, balki o'lchov birligida qidirish kerak.
Yana bir qiziqarli Yenon Mreoria uchadigan o'qlar haqida hikoya qiladi:
Uchish bo'yicha arrow hali ham, har lahzada dam oladi va har doim dam olish uchun dam oladi.
Ushbu ishboshida logika paradoksi Har bir daqiqada parvoz o'qigi turli xil bo'shliqlarda dam olishni aniqlab olish juda oson, bu esa harakat. Bu erda siz boshqa lahzani qayd etishingiz kerak. Avtomobilning bir fotosuratiga ko'ra, uning harakati va unga masofani aniqlab bo'lmaydi. Avtomobil harakatining faktini aniqlash uchun sizga vaqt o'tishi bilan bir nuqtadan bir nuqtadan iborat ikkita fotosurat kerak, ammo masofani aniqlashning iloji yo'q. Avtomobilga masofani aniqlash uchun bir vaqtning o'zida turli xil bo'shliq joylaridan qilingan ikkita fotosuratni aniqlash uchun, ammo harakatlanish faktini aniqlashning iloji yo'q. Men to'lamoqchiman maxsus e'tiborShunday qilib, vaqtning o'z vaqtida va beshta nuqtada ikki ochkolar chalkashib ketmasligi kerak, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar bilan ta'minlaydilar.
2018 yil 4-iyul chorshanba
Vikipediyada ko'plab va multiide o'rtasidagi juda yaxshi farqlar tasvirlangan. Biz qaraymiz.
Ko'rinib turibdiki, "bir xil bir xil element bo'lishi mumkin emas", ammo agar bir xil elementlar o'rnatilgan bo'lsa, bunday to'plam "Mix" deb nomlanadi. Shunga o'xshash shunga o'xshash mantiqiy mavjud bo'lish hech qachon tushunmaydi. Bu gapiradigan to'tiqushlarning darajasi va "umuman" so'zidan yo'qolgan malakalarni o'rgatadi. Matematika oddiy murabbiy sifatida ishlaydi, bema'ni fikrlarimizni va'z qiladi.
Ko'prik sinovlari paytida ko'prikni qurgan muhandislar ko'prik ostidagi qayiqda edilar. Agar ko'prik qulab tushsa, iliqsiz muhandis o'z ijodida halok bo'ldi. Agar ko'prik yukni qo'llab-quvvatlasa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.
Matematika "Men uydaman" iborasida yashirinmaganligi sababli, aniqroq, "Matematikada mavhum tushunchalar", "Ularni haqiqat bilan uzib qo'yadigan bitta kincialik sim mavjud. Bu kindik puli pul. Matematik nazariy nazarni matematikadan o'zlariga qo'llash.
Biz matematikaga juda yaxshi dars berdik va endi biz to'lovni o'tkazamiz, biz maoshni chiqaramiz. Bu bizga pulingiz uchun matematik keladi. Biz uni butun sonni hisoblaymiz va o'zingizning stolingizni turli xil suyaklar bilan ajratamiz, unda biz bitta qadr-qimmatni qo'shamiz. Keyin biz har bir stakandan bitta to'lovga olib boramiz va "matematik maosh" matematikasini topshiramiz. Matematikani tushuntiring, qolgan qonunlar faqat bir xil elementlarsiz belgilangan elementlar bilan teng bo'lmaganligini isbotlagan bo'lsa, faqat bir xil elementlar bilan teng emasligini isbotlaydi. Bu erda eng qiziqarli boshlanadi.
Birinchidan, deputatlar mantig'i ishlaydi: "Uni boshqalarga qo'llash, men uchun past!". Teng qadr-qimmatbaho qog'ozlar bo'yicha turli xil sertifikatlar mavjud, bu ularni bir xil element deb hisoblash mumkin emasligini anglatadi. Xo'sh, tangalar bilan ish haqini hisoblang - tangalarda raqamlar yo'q. Mana, matematik fizikadan boshlanadi: turli xil tangalarda turli xil axloqsizlik mavjud, kristal tuzilishi Va atomlarning joylashuvi har bir tanga noyobdir ...
Va endi menda eng qiziq savol bor: chiziq qaerda, orqada joylashganlarning elementlari to'plam elementlariga va aksincha? Bunday yuz mavjud emas - har bir kishi shamanlarni, fanni, fanni yaqinlashtirmaydi.
Bu erda qarab turadi. Biz bir xil maydon maydoni bilan futbol stadionlarini olamiz. Dala maydoni bir xil - bu biz ko'p jihatdan bizda. Ammo agar biz bir xil stadionlarning ismlarini ko'rib chiqsak - bizda ko'p narsa bor, chunki ismlar boshqacha. Ko'rinib turibdiki, bir xil elementlar to'plami ham to'plam va multipetet hisoblanadi. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematiyalik-shaman-Shuller karnay aceni yengidan tortib olib, bir-biriga yoki multipet haqida gapirib berishni boshlaydi. Qanday bo'lmasin, u bizni uning huquqidan ishontiradi.
Zamonaviy shamanliklar to'plamlar nazariyasini qanday boshqarish, uni haqiqatga bog'lash uchun, bitta savolga javob berish kifoya: Qanday qilib bitta to'plam elementlari boshqa to'plam elementlaridan farq qiladi? Men sizga, hech qanday "bitta umuman emas, balki tasavvur qilib bo'lmaydigan tasavvur qilmasdan" sizga ko'rsataman.
yakshanba, 2018 yil 18 mart
Raqamlar miqdori - bu matematikaga aloqador bo'lmagan rammanlardagi raqs. Ha, matematika darslarida bizga raqamlar miqdorini topishga va undan foydalanishni o'rgatadi, lekin ular sizning avlodlaringizni o'z qobiliyatlari va donoligiga o'rgatish uchun o'rgatilgan, aks holda Shamanliklar shunchaki tozalanadi.
Sizga dalillar kerakmi? Vikipediyani oching va raqamlar sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Siz matematikada formula yo'q, unda siz har qanday raqamning raqamlarini topishingiz mumkin. Axir, raqamlar grafik belgilar bo'lib, biz raqamlar va matematika tilida yozamiz, vazifa shunga o'xshash narsa: "Har qanday raqamni aks ettiruvchi grafik belgilar summasini toping". Matematik bu vazifani hal qila olmaydi, lekin Shammans boshlang'ich hisoblanadi.
Keling, belgilangan raqamning raqamlarini topish uchun nima va qanday ishlashimiz bilan shug'ullanamiz. Shunday qilib, keling, bizga 12345-sonli bir nechta ish bor. Ushbu raqamning sonini topish uchun nima qilish kerak? Barcha qadamlarni tartibda ko'rib chiqing.
1. Qog'ozning raqamini yozib oling. Biz nima qildik? Raqamni raqamning grafik ramziga o'zgartiramiz. Bu matematik ta'sir emas.
2. Biz bir nechta rasmlarga alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmlarga kesib tashladik. Rasmlarni kesish matematik ta'sir emas.
3. Biz individual grafik belgilarni sonlarni raqamga aylantiramiz. Bu matematik ta'sir emas.
4. Biz raqamlarni katlayapmiz. Bu allaqachon matematika.
12345 raqamlari soni 15dir. Shoyonlar matematiklaridan "Kesiruvchilar va tikuvchilik kurslari". Ammo bu hammasi emas.
Matematika nuqtai nazaridan, biz ularning raqamini yozishimizning ahamiyati yo'q. Shunday qilib, turli raqamlar tizimida bir xil raqamning soni har xil bo'ladi. Matematikada raqam tizimi pastki indeks shaklida raqamning o'ng tomonida ko'rsatilgan. 12345 yildagi ko'p sonli bo'lsa, men boshimni aldashni xohlamayman, maqolaning 2-raqamini ko'rib chiqing. Biz ushbu raqamni ikkilik, sakkizta, o'nlik va o'nlik raqamlar bilan yozamiz. Biz har bir bosqichda mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz, biz allaqachon qildik. Natijada ko'rib chiqaylik.
Ko'rinib turibdiki, turli raqamlar tizimlarida bir xil raqamning sonining yig'indisi boshqacha olinadi. Matematikaga olib keladigan natijada hech narsa yo'q. Bu to'rtburchaklar maydonini va santimetrlardagi maydonni aniqlash kabi, siz mutlaqo boshqacha natijalarga erishasiz.
Barcha kesma tizimlarda nol bir xil ko'rinadi va raqamlar miqdori mavjud emas. Bu nima uchun yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: Matematikada qanday ko'rinishga ega emasligi ko'rsatilgan? Matematiklar uchun, raqamlar, boshqa hech narsa mavjud emas? Shianlar uchun menga ruxsat berish mumkin, lekin olimlar uchun - yo'q. Haqiqat nafaqat raqamlardan iborat.
Olingan natijada raqam tizimlari raqamlar birligi ekanligini isbotlovchi dalil sifatida ko'rib chiqilishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli xil o'lchash birligi bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil qiymatni o'lchashning turli xil birliklari bilan bir xil harakatlar bo'lsa turli xil natijalar Taqqoslashdan keyin, bu matematika bilan hech qanday aloqasi yo'qligini anglatadi.
Haqiqiy matematika nima? Bu matematik harakat natijasi o'lchov birligi tomonidan ishlatiladigan raqamning qiymatiga bog'liq emas va bu harakatni kim bajaradi.
Oh! Bu ayol hojatxonasi emasmi?
- Qiz! Bu jannatga ko'tarilishda ruhlarning botinki muqaddasligini o'rganish laboratoriya! Nimbi yuqoridan va o'qdan. Yana hojatxona nima?
Ayol ... yuqoridan va takabburlikdan nimbi - bu erkak.
Agar siz ko'zlaringiz oldida kuniga bir necha marta yonadi, bu dizayner san'atining ishidir,
Keyin mashinangizda to'satdan g'alati tasvirni topgani ajablanarli emas:
Shaxsan men to'rt daraja (bir nechta rasm) ni ko'rish uchun o'zim (bir nechta rasm) ni ko'rish uchun o'zimni harakat qilyapman (bir nechta rasmlarning tarkibi, to'rtinchi raqam, darajaning belgisi). Va men bu qiz fizikani bilmaydigan ahmoq deb o'ylamayman. Bu shunchaki grafik tasvirlarni idrok etish stereotipidir. Va matematika biz doimo o'qitilamiz. Mana misol.
1a "minus to'rt daraja" yoki "bitta" emas. Bu "makkor odam" yoki "o'n oltinchi" raqami, oltmish raqamli tizim tizimida. Ushbu raqamda doimiy ishlayotgan odamlar ushbu raqamni avtomatik ravishda bitta grafik belgi sifatida idrok qilishadi.
Ushbu maqolada biz har tomonlama ko'rib chiqamiz. Asosiy trigonometrik identalar singan, kosine, tangens va bitta burchakning zichligi o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatadigan va siz taniqli boshqa trigonometrik funktsiyalarni topishga imkon beradi.
Ushbu maqolada biz tahlil qiladigan asosiy trigonometrik identifikatorlarni darhol sanab o'ting. Biz ularni stolga yozamiz va quyida biz ushbu formulalarning natijasini beramiz va kerakli tushuntirishlarni beramiz.
Navigatsiya sahifasi.
Bir burchakning sinishi va kosinasi orasidagi aloqa
Ba'zan ular yuqoridagi jadvalda keltirilgan asosiy trigonometrik identifikator haqida gapirishmaydi, lekin bir nechta asosiy trigonometrik identifikatsiya Ko'rinish 
. Ushbu faktning sharhi juda oddiy: tenglik ikkala qismida ham, tenglik ham, tenglik ham asosiy trigonometrik identifikatordan olinadi 
va 
Sinus, kosin, tangens va katovchenlarning ta'riflariga amal qiling. Biz bu haqda quyidagi paragraflarda gaplashamiz.
Ya'ni, asosiy trigonometriyaning nomi berilganligi tengligi.
Asosiy narsani isbotlashdan oldin trigonometrik identifikatsiyaBiz buni so'zlarni beramiz: sinusning kvadratlari yig'indisi va bir burchakning kosinasi bir-biriga teng. Endi biz buni isbotlaymiz.
Asosiy trigonometrik identifikatsiyada ko'pincha ishlatiladi trigonometrik iboralar. Bu jihozni almashtirish uchun sinish va bir burchakning kvadratlarining kvadratlari yig'indisiga imkon beradi. Tez tartibda asosiy trigonometrik identifikatsiyadan kam bo'lmagan holda, bir xil tartibda ishlatiladigan asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalaniladi: bir burchakning har qanday burchakning kosinlari yig'indisi bilan almashtiriladi.
Sinus va kosangenes sinus va kosinik orqali
Tangens va katangenlarni bog'laydigan va bir burchakli va 
Darhol sinus, kosin, tangenent va mennentning ta'riflariga rioya qiling. Darhaqiqat, Sinus ta'rifi bilan Y, Cosine Mebissa X, Tangens abscissaga belgilangan tartibning nisbati 
va Kotangence - bu tartibsizlik va ya'ni 
.
Identifikatorlik dalillari tufayli va Ko'pincha, Tangens va Kotangenes ta'riflari abksiys va tartibsizlikning nisbati bilan emas, balki sinus va kosinit nisbati orqali. Shunday qilib, burchakning tangisi Sinusning ushbu burchakning kosinasi va kotangentning sinusga bo'lgan munosabati deb nomlanadi.
Ushbu mahsulotning oxirida, shuni ta'kidlash kerakki, identifikatsiyalar va Ular prigonometrik funktsiyalar uchun aqlli barcha burchaklar uchun joylashadi. Shunday qilib, formulalar har qanday boshqa uchun amal qiladi (aks holda denominatorda nolga teng bo'ladi va bo'linmani nolga) va formulaga belgilamaganmiz - Z - har qanday narsadan tashqari hamma uchun.
Tangens va Kotangen o'rtasidagi aloqa
Avvalgi ikkitadan ko'ra ko'proq aniq trigonometrik identifikatsiya - bu tangens va bir burchakni bir burchakni bog'laydigan o'ziga xos xususiyatdir . Bu boshqa burchaklar uchun sodir bo'lishi aniq aks holda Yoki tanang yoki kotangenlar aniqlanmagan.
Formulani isbotlash juda onson. Ta'rifi bo'yicha va qaerda 
. Isbot qilish va biroz boshqacha sarflash mumkin edi. I. T. 
.
Shunday qilib, ular mantiqiy bo'lgan bir burchakning tangensi va kestucuati.
Asosiy trigonometrik funktsiyalar - Sine, kosine, Tangens va Cogistanent o'rtasidagi nisbatlar o'rnatildi trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi aloqalar juda ko'p ekanligi sababli, bu mo'l-ko'llikni tushuntiradi trigonometrik formulalar. Ba'zi bir formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini, boshqalarning funktsiyalari - uchinchi - barcha funktsiyalarni yarim funktsiyaning tangensi orqali qisqartirishga imkon beradi va hokazo.
Ushbu maqolada biz trigonometriyaning haddan tashqari ko'pchiligini hal qilish uchun etarli bo'lgan barcha asosiy trigonometrik formulalarni sanab o'tamiz. Xizmatlashtirish va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadga muvofiq ravishda ko'rib chiqamiz va stolga kiramiz.
Navigatsiya sahifasi.
Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar
Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar Sinus, kosine, Tangens va bir burchakning katg'inidagi munosabatlarni o'rnating. Ular sinus, kosin, tangenent va mennanentning ta'rifidan, shuningdek bitta doira tushunchalaridan oqib chiqdilar. Ular sizga boshqa trigonometrik funktsiyani ifoda etishingizga imkon beradi.
Ushbu trigonometriya formulalari, ularning xulosasi va ariza namunalari maqolani ko'rish mumkin.
Kastning formulalari
Kastning formulalari Sinus, kosine, Tangens va Cointentning xususiyatlaridan o'ting, ya'ni trigonetik funktsiyalarning chastotasi, simmetriya mol-mulki, shuningdek burchak uchun siljishning xususiyatlarini aks ettiradi. Ushbu trigonometrik formulalar noldan 90 darajagacha bo'lgan burchaklar bilan ishlash uchun o'zboshimchalik bilan ishlashi uchun o'zboshimchalik funktsiyasi bilan ishlashingizga imkon beradi.
Ushbu formulalar uchun mantiqiy, maqolada ularning eslab qolishi va ularni qo'llash misollari o'rganilishi mumkin.
Formulalar qo'shimcha
Trigonometrik formulalar Shou, ikki burchakning yig'indisining yoki farqlarining trigonometrik funktsiyalari sifatida ushbu burchaklarning trigonometrik funktsiyalari orqali ifodalanadi. Ushbu formulalar trigonometrik formulalar orttirish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.
Formulalar ikki baravar, uch va boshqalar. Burchak
Formulalar ikki baravar, uch va boshqalar. Burchak (ular ham bir burchakli formulalar deb ataladi) dublning trigonometriy funktsiyalarini ko'rsating. Burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari orqali ifodalanadi. Ularning xulosasi qo'shimcha formulaga asoslanadi.
Batafsil ma'lumot ikki kishilik, uchlik va boshqa formulalardagi maqolasida yig'iladi. burchak.
Yarim burchakli formulalar
Yarim burchakli formulalar Ko'rsatma, yarim burchakning trigonometrik funktsiyalari butun burchakning kozinasi orqali ifodalanadi. Ushbu trigonometrik formulalar ikki burchakli formulalardan kelib chiqadi.
Ularning xulosasi va ariza misollari maqolada ko'rib chiqilishi mumkin.
Darajalarni kamaytirish formulalari
Trigonometrik darajadagi formulalar U tabiiy darajadagi trigonometrik funktsiyalardan Sinus va kosinik funktsiyalarning birinchi darajasida, ammo bir nechta burchaklarda o'tishni rag'batlantirish uchun chaqiriladi. Boshqacha qilib aytganda, ular birinchisiga trigonometrik funktsiyalarning darajasini pasaytirishga imkon beradi.
Tragonometrik funktsiyalarning summasining formulalari
Asosiy manzil tragonometrik funktsiyalarning summasining formulalari Bu trigonometrik iboralarni soddalashtirishda juda foydali bo'lgan funktsiyalar mahsulotiga o'tish. Ushbu formulalar trigonetik tenglamalarni echishda ham keng qo'llaniladi, chunki ular bizga gunoh va kosinlardagi summani va farqni chiqarishimizga imkon beradi.
Forulalar sinuslar, kosin va sabinalarda
Tragonometrik funktsiyalarning summasidan yoki farqga o'tishi, kosin tilida sinuslar, kosin va sinus asarlarining formulalari tomonidan amalga oshiriladi.
Klinstrostentlar tomonidan mualliflik huquqi.
Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqini qo'riqlaydi. Www.site, shu jumladan ichki materiallar va tashqi dizayni har qanday shaklda yoki mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz qayta yozilishi mumkin emas.
Trigonometriyada formulalar juda ko'p.
Ularni eslab, mexanik jihatdan juda qiyin, deyarli imkonsiz. Sinfda ko'plab maktab o'quvchilari va o'quvchilari darsliklar va noutbuklar va noutbuklar, devorlar, plakatlar, nihoyat. Va imtihonda qanday bo'lish kerak?
Biroq, agar siz ushbu formulalarni ko'rib chiqsangiz, ularning barchasi o'zaro bog'liq va ma'lum simmetriyalarga ega ekanligini bilib olasiz. Keling, trigonometrik funktsiyalarning ta'riflari va xususiyatlarini, albatta, chindan ham o'rganishga arziydigan minimalni aniqlash uchun ularni hisobga olamiz.
I guruh. Asosiy idoralar
sin 2 ta + cos 2 a \u003d 1;
tGA \u003d. ____ Sinay Pod; Ctga \u003d. ____ KodAINA. ;
tAYA · CTA \u003d 1;
1 + tg 2 a \u003d _____ 1 cos 2 a; 1 + ctg 2 a \u003d _____ 1 sinov 2.
Ushbu guruhda eng oddiy va eng mashhur formulalar mavjud. Aksariyat talabalar ularni bilishadi. Ammo agar hali ham qiyinchiliklar bo'lsa, unda birinchi uchta formulalarni eslab qolsa, aqliy jihatdan tasavvur qiling o'ng uchburchak Gipotenuza teng bo'linma bilan. Keyin uning karusini aniqlash uchun uning kartuslari teng bo'ladi (tortishuv katexnikiga) va kosinani aniqlash uchun (gipotenuse uchun qo'shni katech) kosmikligini aniqlash uchun teng bo'ladi.
Birinchi formulalar bunday uchburchak uchun pifagoralar teoremasi - bu katetaning kvadratlari yig'indisi (1 2 \u003d 1), ikkinchi va uchinchi, ikkinchi va uchinchisi - bu tangentning ta'riflari (nisbati). qarama-qarshi tomonga qarama-qarshi bo'lgan) va katangen (qarama-qarshi tomonga qo'shni toifaning nisbati).
Kotangenes-dagi Tangenchesning ishi 1 bu 1 yoshdan iborat bo'lgan san'ul (formulasi uchinchi) - bu teskari tangent (ikkinchi formula). Aytgancha, oxirgi ko'rib chiqish, formanent bilan keyingi barcha uzoq formulalarni yodlash kerak bo'lgan formulalar orasidan chiqarib tashlash imkonini beradi. Agar siz har qanday qiyin vazifada CTA-ga murojaat qilsangiz, uni fraktsiya bilan almashtiring ___ 1 TAI. Va formulalarni tangens uchun foydalaning.
So'nggi ikki formulalarni yodlab olish mumkin emas. Ular kamroq keng tarqalgan. Va agar kerak bo'lsa, siz ularni har doim yangis loyihalarida olib chiqishingiz mumkin. Buning uchun, bu taniqli yoki kasrdan keyin ularning ta'rifi (ikkinchi va uchinchi formulasi) o'rniga almashtirish uchun etarli va mos ravishda ifoda etadi umumiy maxraj. Ammo tanang va kosinlar kvadratlarini va Kotangens va Sinus kvadratlarini bog'laydigan bunday formulalar mavjudligini yodda tutish muhimdir. Aks holda, biron bir vazifani hal qilish uchun qaysi suhbatlar kerakligini taxmin qila olmaysiz.
II guruh. Formulalar qo'shimcha
gunt (a + b) \u003d Sra · Kosl + Kod öin;
gunt (a - b) \u003d Sra · Koska - Kod · Gin;
cos (a + b) \u003d sosi · kosb - Sinay ·in;
cos (a - m) \u003d sosi · kosmb + men ·in;
tg (a + b) \u003d TGa + tg _________ 1 - Talab;
tG (a - b) \u003d
Trigonometrik funktsiyalarning tengligi / g'alati funktsiyalarining to'g'riligini eslang:
sinni (-A) \u003d - GUN (a); cos (-A) \u003d cos (a); Tg (-A) \u003d - tg (a).
Barcha trigonometrik funktsiyalar, faqat kosinlar hatto funktsiyadir va argum belgisini (burchakli) o'zgartirganda uning belgisini o'zgartirmaydi, qolgan funktsiyalar g'alati. Funktsiyaning aniqligi, aslida minus belgisi qilish mumkinligini anglatadi va funktsiya belgisini o'chirib qo'yishi mumkin. Shuning uchun, agar siz ikki burchakning farqiga duch kelsangiz, siz buni har doim ham ijobiy va manfiy burchaklar yig'indisi sifatida tushunishingiz mumkin.
Masalan, gunoh ( x. - 30ºS \u003d gunoh ( x. + (-0º)).
Keyinchalik biz ikkita burilish sonidan foydalanamiz va belgilar bilan shug'ullanamiz:
gunoh ( x. + (-0º)) \u003d GUN x.Kos (-0º) + cos + cos x.Sin (-0º) \u003d
\u003d GUN x.· COS30º - cos x.· Sin30º.
Shunday qilib, burchaklarning farqini o'z ichiga olgan barcha formulalar birinchi yodlashda shunchaki o'tkazib yuborilishi mumkin. Keyin ularni tiklashni o'rganishingiz kerak umumiy Birinchi loyihada, keyin esa aqliy.
Masalan, TG (a - p) \u003d tg (a + (-f) \u003d TGa + TG (-f) ___________ 1 - TAYAFION = TGA - TGB_____ 1 + TAYA · TGB.
Bu trigonometriya vazifasini echish uchun qaysi o'zgarishlarni qo'llash kerakligini taxmin qilish uchun yanada tezroq yordam beradi.
Sh guruhi. Bir nechta dalillarning formulalari
sin2A \u003d 2-Sinir;
cOS2A \u003d cos 2 a - Sin 2 A;
tg2A \u003d. 2tga _______ 1 - tg 2 a;
sin3 \u003d 3SINA - 4SIN 3;
cOS3A \u003d 4cos 3 a - 3cosi.
Ikkala burchakning sinishi va kosinasi uchun formulalarni ishlatish zarurati juda tez-tez, tangens ham bo'ladi. Ushbu formulalar yurak bilan tanilishi kerak. Bundan tashqari, ularning xotirasi yo'q. Birinchidan, formulalar qisqa. Ikkinchidan, ular 2 \u003d a + a + a + a + a + a. Ga asoslangan avvalgi guruhning formulalari tomonidan osongina boshqariladi.
Masalan:
Gunt (a + b) \u003d Sra · Kosl + Kod öin;
Gunt (a + a) \u003d Sin · Posomyamir;
Sin2A \u003d 2saytir.
Ammo, agar siz avvalgilar emas, balki ushbu formulalarni tezroq o'rgangan bo'lsangiz, unda siz aksincha harakat qilishingiz mumkin: ikki burchak uchun tegishli formulalar uchun ikkita burchakning yig'indisini eslab qolishingiz mumkin.
Masalan, agar sizga ikkita burchak summasining kosin formulasi kerak bo'lsa:
1) Ikki burchakdagi kosin formulasini eslang: cOS2. x. \u003d Cos 2. x. - 2-Sin. x.;
2) Biz uni uzoq bo'yoq qilamiz: cos ( x. + x.) \u003d Cos. x.Kos. x. - gunoh x.Gunoh x.;
3) birini almashtiring h. A, ikkinchisi A: cos (a + b) \u003d sosi · kosb - Sinay ·in.
Sinin miqdorida va tangent miqdorida formulalarni tiklash uchun ham takrorlang. Mas'uliyatli holatlarda, masalan, taniqli birinchi chorakda pasaytirilgan formulalarning to'g'riligini tekshiring: 0º, 30º, 45º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90º, 90ºS.
Oldingi formulani tekshirish (3-qatorni almashtirish orqali olingan):
bo'linmoq a \u003d 60 °, b \u003d 30 °, a + b \u003d 90 °,
keyin cos (a + b) \u003d cos90 ° \u003d 0, COSA \u003d COS60 ° \u003d 1/2, kos30 ° \u003d √ √ _
/ 2, SinA \u003d Sin60 ° \u003d √3 _
/ 2, GINB \u003d Sin30 ° \u003d 1/2;
Biz qiymatlarni formulaga almashtiramiz: 0 \u003d (1/2) · ( √3_
/2) − (√3_
/ 2) · (1/2);
0 ≡ 0 Xatolar aniqlanmagan.
Uchburchak burchak uchun formulalar, menimcha, "asbob" uchun kerak emas. Ular kamdan-kam hollarda imtihonlarda topilgan yuragingiz. Ular yuqori bo'lgan formulalardan kelib chiqadi, chunki Sin3 \u003d Gal (2A + a). Ba'zi bir sababga ko'ra, ba'zi bir sabablarga ko'ra bu formulalarni yurakdan o'rganishlari kerak, men sizning ba'zi "simmetriya" ga e'tibor berishni va formulalar emas, balki mnemoniy qoidalarini eslab qolishingizni maslahat beraman. Masalan, raqamlar ikkita formulada joylashgan "3343333" va boshqalar.
IV guruhi. Miqdor / farq -
sino + Ginb \u003d 2 Sin a + b ____ 2Kos. a - b ____ 2 ;
sin - Gin \u003d Gin a - b ____ 2Kos. a + b ____ 2 ;
kos + Cosb \u003d 2 · Cos a + b ____ 2Kos. a - b ____ 2 ;
kosmy \u003d -2 Sin a - b ____ 2Gunoh a + b ____ 2 ;
tGA + TGB \u003d gunt (a + b) ________ Kaze ;
tGA - TGB \u003d gunt (a - b) ________ Kosm .
Sinus va Tangens funktsiyalarining to'g'riligini ishlatish: sinni (-A) \u003d - GUN (a); Tg (-A) \u003d - tg (a),
Siz formulalarni ularning summalari uchun kamaytirish uchun ikkita funktsiyalarning farqlarini shakllantirishingiz mumkin. Masalan,
sin90º \u003d Sin30º \u003d sinov90ºº + gunoh (-0º) \u003d 2 · Gin 90º + (-Q3º) __________ 2Kos. 90º - (-0º) __________ 2 =
2-Sin30º \u003d 2/2) · (1/2) \u003d 1/2.
Shunday qilib, sinuslar va tangentlarning farqi formulalari darhol yodlash shart emas.
Kosinning summasi va farqi bilan vaziyat yanada murakkabroq. Ushbu formulalar almashtirilmaydi. Ammo yana, kosine tengligidan foydalanib, quyidagi qoidalarni eslay olasiz.
Kos + kosb miqdori burchaklar belgilarining belgisini o'zgartira olmaydi, shuning uchun mahsulot ham funktsiyalardan iborat bo'lishi kerak, i.e. Ikkita kosinlar.
Kosnoqlar belgisi o'z funktsiyalari o'z vazifalarining qiymatlariga bog'liq, demak, ish belgisi burchaklarning korrelyatiga bog'liq bo'lishi kerak, shuning uchun mahsulot toq funktsiyalaridan iborat bo'lishi kerak, i.e. Ikki gunoh.
Shunga qaramay, ushbu formulalar guruhi yodlash eng oson emas. Bu keskinlashtirish yaxshiroq bo'lganda, lekin ko'proq tekshirish. Ushbu imtihonda formulada xatolarning oldini olish uchun avval uni qoralama yozganingizga ishonch hosil qiling va ikki yo'l bilan tekshiring. Birinchi almashtirishlar b \u003d va b \u003d -A, keyin oddiy burchaklar uchun funktsiyalarning ma'lum qiymatlari bilan. Buning uchun yuqorida aytilganidek, 90º va 30ºni olish yaxshidir, chunki bu qiymatlarning yarimiy parhezi va cho'kindi, yana tenglik qanday tenglik qanchalik muhimligini tushunishingiz mumkin to'g'ri variant. Yoki, agar xato qilsangiz, aksincha amalga oshirilmaydi.
Misolcosula-Cosb \u003d 2tasini tekshirish a - b ____ 2Gunoh a + b ____ 2 Kosinlar farqi uchun xatolik bilan !
1) b \u003d a, keyin mol-latta \u003d 2in a - a _____ 2Gunoh a + a _____ 2 \u003d 2sin0 · qora \u003d 0 · 0. Sodrasi 0.
2) b \u003d - a, kazima (- a) \u003d 2uch a - (a) _______ 2Gunoh a + (a) _______ 2 \u003d 2saz0 \u003d 0 · 0. Podo - Cos (- a) \u003d so`) kosmasi 0.
Ushbu tekshiruvlar formuladagi funktsiyalar to'g'ri ishlatilganligini ko'rsatdi, ammo kimligi 0 ≡ 0 turini, belgisi yoki koeffitsienti bilan xatolarni o'tkazib yuborishi mumkinligi sababli o'tkazib yuborilishi mumkin. Uchinchi chekni qilamiz.
3) a \u003d 9 90º, b \u003d 30º, keyin COS30º \u003d 2 Sin 90º - 30 ____________Gunoh 90º + 30 ________ 2 \u003d 2SIN30º · Sin60º \u003d 2 · (1/2) · (live3 _ /2) = √3_ /2.
cOS90 - COS30 \u003d 0 - √3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.
Xato haqiqatan ham belgi va faqat ish oldida imzo bor edi.
V anma. Ish - miqdor / farqda
sin · Gin- 1 _ 2 · (A - b) - cos (a + b));
kazavbur \u003d 1 _ 2 · (A - b) + cos (a + b));
sinoda · kosb \u003d 1 _ 2 · (Sin (a - b) + gunoh (a + b)).
Formulasning beshinchi guruhining nomi ushbu formulalar oldingi guruhga nisbatan o'zgarib turadi. Bu holatda, bu holatda bu loyihaning formulasini yana o'rganish, "boshidagi pyuresi" ni yaratishda xavfini oshirish osonroq. Ko'proq narsa ko'proq e'tiborni jalb qilishdir tez tiklanish Formulalar, bu quyidagi tengliklar (ularni tekshiring):
α = a + b ____ 2 + a - b ____ 2; β = a + b ____ 2 − a - b ____ 2.
O'ylab ko'ring misol: Sin5-ni o'zgartirishi kerak x.· Kos3. x. ikkita trigonometrik funktsiyalar summasida.
Ishni o'z ichiga olganidan beri, biz avvalgi guruhdan allaqachon o'rganilgan, allaqachon o'rganilgan yoki uni qoralamalarga yozamiz.
sino + Ginb \u003d 2 Sin a + b ____ 2Kos. a - b ____ 2
5-ni tashkil qiling. x. = a + b ____ 2 va 3. x. = a - b ____ 2 , keyin a \u003d a + b ____ 2 + a - b ____ 2 = 5x. + 3x. = 8x., β = a + b ____ 2 − a - b ____ 2 = 5x. − 3x. = 2x..
Biz o'zgaruvchi orqali ifodalangan A va b o'zgaruvchilar orqali ifodalangan burchaklardagi burchaklardagi funktsiyalarning qiymatlarini o'zgartiramiz x..
Qabul qilmoq gunoh8. x. + Sin2. x. \u003d 2 kin5 x.· Kos3. x.
Biz Adolatning ikkala qismini ikkiga ajratamiz va uni o'ng tomonga yozamiz sin5 x.· Kos3. x. = 1 _ 2 (Sin8. x. + Sin2. x.). Javob tayyor.
Mashq sifatida: Nima uchun darslik formulasida 6 ishi / farqni o'zgartirish uchun va teskari o'zgarishi uchun (mahsulotni so'm yoki farqda o'zgartirish uchun) - faqat 3?VI guruhi. Darajalarni kamaytirish formulalari
cos 2 a \u003d 1 + COS2A _________ 2;
sin 2 a \u003d 1 - COS2A _________ 2;
cos 3 a \u003d 3co + COS3 __________ 4;
sin 3 a \u003d 3Sina - Sin3 ____________.
Ushbu guruhning dastlabki ikki formulalari juda zarur. Bu ko'pincha trigonetik tenglamalarni, shu jumladan bitta imtihon darajasini, shuningdek, trigonometrik turdagi integonometrning elementar funktsiyalarini o'z ichiga olgan integratsiyalarni hisoblashda qo'llaniladi.
Ularni quyidagi "bir qavatli" shaklda eslab qolish osonroq bo'lishi mumkin
2co 2 a \u003d 1 + cos2A;
2 Sint 2 a \u003d 1 - COS2A,
Va siz har doim 2 yoki qoramollarga bo'linishingiz mumkin.
Imtihonlarga quyidagi ikkita formuladan foydalanish kerak (funktsiyalar bilan) imtihonlar kamroq keng tarqalgan. Boshqa bir muhitda siz qoralamadan foydalanish uchun doimo vaqtingiz bo'ladi. Quyidagi variantlar mumkin:
1) Agar III guruhning oxirgi ikki formulasini eslasangiz, ulardan so'ng, Sint 3 va Cos 3 a ni oddiy o'zgarishlar bilan ifoda etish uchun foydalaning.
2) Agar ushbu guruhning oxirgi ikki formulasida siz ularning yod olishiga hissa qo'shadigan simmetriya elementlarini payqab, keyin loyihadagi formulalarning eskizlarini yozing va ularni asosiy burchaklar qiymatlari bilan tekshiring.
3) Agar shunday darajada kamaytirish formulalari mavjud bo'lsa, siz ular haqida hech narsa bilmaysiz, keyin Gain va boshqa o'rgangan formulalar uchun muammoni hal qiling. Kvadrat va ishni miqdorini o'zgartirishning formulasi uchun darajalarini kamaytirish formulasi.
VII guruh. Yarim bahs
gunoh. a _ 2. = ± √ 1 --so ________ 2;_____
cos. a _ 2. = ± √ 1 + COSA ________ 2;_____
tg. a _ 2. = ± √ 1 - Podshohi kosm._____
Men ushbu formulalar guruhining yodlab olish, ular darslik va ma'lumotnomalarda taqdim etilishi mumkin bo'lgan shaklda yodlab olish nuqtasini ko'rmayapman. Agar buni tushunsangiz a - 2 yilning yarmi, Bu engil argumentning istalgan formulasini, birinchi ikkita formulaga asoslanib, darajani pasaytirish uchun kerakli formulasini olish uchun etarli.
Bu shuningdek, shuningdek, sinus uchun iborani kosin uchun tegishli ifodaga bo'lish orqali olingan yarim burchakka tegishli.
Faqat qazib olishda unutmang kvadrat ildiz Belgini qo'ying ± .
VIII guruh. Universal almashtirish
sindi \u003d 2tg (a / 2) _________ 1 + tg 2 (a / 2);
kosav \u003d. 1 - tg 2 (a / 2) __________ 1 + tg 2 (a / 2);
tGA \u003d. 2tg (a / 2) _________ 1 - TG 2 (a / 2).
Ushbu formulalar barcha turdagi trigonometrik vazifalarni echish uchun juda foydali bo'lishi mumkin. Ular sizga "bitta dalil bitta funktsiya" printsipini tushunishga imkon beradi, bu esa algebraik trigonometrik iboralarni kamaytiradigan o'zgaruvchilarni almashtirishga imkon beradi. Ushbu almashtirish universal deb ataladigan ajablanarli emas.
Dastlabki ikkita formulalar kerak. Uchinchisida birinchi ikki tomonni bir-birlarini tangenentni aniqlash orqali olish orqali olish mumkin \u003d sindi ___ COSA.
Ix Group. Da'vo formulalari.
Ushbu guruh trigonometrik formulalari bilan shug'ullanish uchunX guruhi. Asosiy burchaklar uchun qiymatlar.
Birinchi chorakning asosiy burchaklari uchun trigonometrik funktsiyalarning qadriyatlari beriladi.Shunday qilib chiqindi: Formulas trigonometriyasi bilishi kerak. Katta, yaxshisi. Ammo vaqtingizni va harakatlaringizni - vazifalarni yodlash yoki vazifalarni hal qilish jarayonida ularni yodlash uchun hamma mustaqil hal qilinishi kerak.
Trigonometriya formulalaridan foydalanishning misoli
Tenglashtiring sin5 x.· Kos3. x. - Sin8. x.· Kos6. x. = 0.Bizda ikki xil funktsiya () va kos () va to'rtta funktsiya mavjud! Turli dalillar 5. x., 3x., 8x. va 6. x.. Dastlabki o'zgarishsiz, trigonometrik tenglamalarning eng oddiy turlarini kamaytirish mumkin emas. Shuning uchun biz avval ishlarni yoki funktsiyalar farqi bo'yicha ishlarni almashtirishga harakat qilamiz.
Biz buni yuqoridagi misolda xuddi shunday qilamiz (bo'limga qarang).
gunoh (5.) x. + 3x.) + Gung (5) x. − 3x.) \u003d 2 kin5 x.· Kos3. x.
gunoh8. x. + Sin2. x. \u003d 2 kin5 x.· Kos3. x.
gunoh (8. x. + 6x.) + Gal (8) x. − 6x.) \u003d 2 kin8 x.· Kos6. x.
Sin14. x. + Sin2. x. \u003d 2 kin8 x.· Kos6. x.
Ushbu tengdoshlardan ishni ifoda etamiz, biz ularni tenglamaga almashtiramiz. Biz olamiz:
(Sin8. x. + Sin2. x.) / 2 - (Sin14) x. + Sin2. x.)/2 = 0.
Biz tenglamaning ikkala qismining ikkala qismidan 2 ga ko'paytiramiz, qavslarni ochib, bunday a'zolarni beramiz
Gunoh8. x. + Sin2. x. - Sin14. x. - Sin2. x. = 0;
gunoh8. x. - Sin14. x. = 0.
Tenglama sezilarli darajada soddalashtirildi, ammo uni shunday hal qiladi x. \u003d Sin14. x.Shunday qilib, 8. x. = 14x. + T, bu erda T - vaqt noto'g'ri, chunki biz ushbu davrning ahamiyatini bilmaymiz. Shuning uchun biz ushbu tenglikning o'ng tomonida biz 0 ga teng, u bilan ko'paytirgichlarni har qanday ifodada taqqoslash oson.
Sin8 ni parchalash x. - Sin14. x. Ko'plab ko'paytirgichlar uchun siz ish uchun farqdan foydalanishingiz kerak. Buning uchun siz sinus farq formulasini yoki sinusning g'alati summasi va sinus funktsiyasining g'alati qismi (masalan, bo'limga qarang).
gunoh8. x. - Sin14. x. \u003d Sin8. x. + gunoh (-14 x.) \u003d 2 · Sin 8x. + (−14x.) __________ 2 Kos. 8x. − (−14x.) __________ 2 \u003d gon (-3) x.) Kos11 x. \u003d -SIN3 x.·11 x..
Shunday qilib, satr8 tenglama8 x. - Sin14. x. \u003d 0 Gal3 tenglamaga teng x.·11 x. \u003d 0, o'z navbatida, ikkita oddiy sinov3 tenglamalarining kombinatsiyasiga teng x. \u003d 0 va cos11 x. \u003d 0. Ikkinchisini hal qilish, biz ikkita javob olamiz
x. 1 \u003d p. n./3, n.EZ.
x. 2 \u003d p / 22 p k K./11, k K.EZ.
Agar siz matnda xato yoki odatiyligini aniqlagan bo'lsangiz, iltimos, elektron pochta manziliga xabar bering [Elektron pochta bilan himoyalangan] . Men juda minnatdorman.
DIQQAT, ©. matematikka.. Boshqa saytlarga materiallarni to'g'ridan-to'g'ri nusxalash taqiqlanadi. Havolalarni joylashtiring.
Trigonometrik funktsiyalar - "Gunoh" so'rovi bu erda qayta yo'naltiriladi; Boshqa qadriyatlarni ham ko'ring. "Sek" so'rovi bu erda qayta yo'naltirilgan; Boshqa qadriyatlarni ham ko'ring. "Sinus" so'rovi bu erda qayta yo'naltirilgan; Boshqa qadriyatlarga qarang ... Vikipediya
Tan.
Anjir. 1 trigonetik funktsiyalarning grafikasi: Sinus, kosine, Tangencen, Seference, Costerans, Cogeans Trigonometrik funktsiyalar elementar funktsiyalarga ko'rinishi. Odatda ular sinusni o'z ichiga oladi (Cos x), Tangenent (TG x), CTRangent (CTG x), ... ... Vikipediya
Kosin tili - Anjir. 1 trigonetik funktsiyalarning grafikasi: Sinus, kosine, Tangencen, Seference, Costerans, Cogeans Trigonometrik funktsiyalar elementar funktsiyalarga ko'rinishi. Odatda ular sinusni o'z ichiga oladi (Cos x), Tangenent (TG x), CTRangent (CTG x), ... ... Vikipediya
Kotang - Anjir. 1 trigonetik funktsiyalarning grafikasi: Sinus, kosine, Tangencen, Seference, Costerans, Cogeans Trigonometrik funktsiyalar elementar funktsiyalarga ko'rinishi. Odatda ular sinusni o'z ichiga oladi (Cos x), Tangenent (TG x), CTRangent (CTG x), ... ... Vikipediya
Sof - Anjir. 1 trigonetik funktsiyalarning grafikasi: Sinus, kosine, Tangencen, Seference, Costerans, Cogeans Trigonometrik funktsiyalar elementar funktsiyalarga ko'rinishi. Odatda ular sinusni o'z ichiga oladi (Cos x), Tangenent (TG x), CTRangent (CTG x), ... ... Vikipediya
Trigonometriya tarixi - geodezik o'lchovlar (XVII asr) ... Vikipediya
Yarim burchagining tanulasi - trigonometriyada, yarim burchakli tangentik formula to'liq burchakning trigonomometrik funktsiyalari bilan yarim burchni bog'laydi: Turli xil narsalar Ushbu formula shunga o'xshaydi ... Vikipediya
Trigonometriya - (yunon tilidan Bu atama avval 1595 yilda ... ... Vikipediya
Uchburchaklarni hal qilish - (LAT. Solutio Triangulorum) Asosiy trigonometrik muammoni hal qilish: uchburchaklar (tomonlar, burchaklar va boshqalar). Qolgan xususiyatlarni topish. Uchburchak ... ... Vikipediya
Kitoblar
- Jadvallar to'plami. Algebra va tahlilni boshlash. 10-sinf. 17 stol + texnikasi,. Jadvallar zich bosib chiqarish karombori 680 x 980 mm hajmda joylashtiriladi. Kit risolasini o'z ichiga oladi uslubiy tavsiyalar o'qituvchi uchun. 17 varaqdagi akademik albomi ... 3944 rublga buyurtma berish
- Bir integratsiyalar va boshqa matematik formulalar, Twilighnation G.V. .. Taniqli ma'lumotnomaning o'ninchi nashri juda batafsil stol va belgilangan integrallar, va yana katta raqam Boshqa matematik formulalar: martabalardagi parchalanish, ...