Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda ichki ravshanlik menga arifmetik progressiya nima ekanligini hali bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunday: SOOOOO!) bilishni xohlaysiz. Shuning uchun, men sizni uzoq tanishuvlar bilan qiynamayman va darhol ish bilan shug'ullanaman.

Keling, bir-ikki misol bilan boshlaylik. Bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqing:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Ushbu to'plamlarning barchasida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.

O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam oddiy ketma-ket raqamlardan iborat bo'lib, ularning har biri oldingisidan ko'proq. Ikkinchi holda, qator orasidagi farq turgan raqamlar allaqachon beshga teng, ammo bu farq hali ham doimiy. Uchinchi holatda, umuman olganda, ildizlar. Biroq, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ va $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, ya'ni. va bu holda, har bir keyingi element oddiygina $ \ sqrt (2) $ ga ortadi (va bu raqam mantiqiy emasligidan qo'rqmang).

Shunday qilib: barcha bunday ketma-ketliklar faqat arifmetik progressiyalar deb ataladi. Keling, qat'iy ta'rif beraylik:

Ta'rif. Har bir keyingisi oldingisidan aynan bir xil miqdor bilan farq qiladigan raqamlar ketma-ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar bir-biridan farq qiladigan miqdor progressiyaning farqi deb ataladi va ko'pincha $ d $ harfi bilan belgilanadi.

Belgilanishi: $ \ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) $ - progressiyaning o'zi, $ d $ - uning farqi.

Va faqat bir nechta muhim izohlar. Birinchidan, faqat tartibli raqamlar ketma-ketligi: ularni yozilish tartibida qat'iy ravishda o'qishga ruxsat beriladi - va boshqa hech narsa. Siz raqamlarni o'zgartira olmaysiz yoki almashtira olmaysiz.

Ikkinchidan, ketma-ketlikning o'zi chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq arifmetik progressiyadir. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; 4; ...) - bu allaqachon cheksiz progress. To'rtdan keyin ellips, go'yo, hali ham bir nechta raqamlar borligiga ishora qiladi. Masalan, cheksiz ko'p. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, progressiyalar ortib bormoqda va kamaymoqda. Biz allaqachon ortib borayotganlarni ko'rdik - bir xil to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Va bu erda progressiyaning pasayishiga misollar:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Xo'sh, yaxshi: bu oxirgi misol juda murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, sizga tushunarli. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya chaqirdi:

1. har bir keyingi element oldingisidan kattaroq bo'lsa, ortib boruvchi;
2. kamayishi, agar, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanuvchi raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).

Bitta savol qolmoqda: ortib borayotgan progressiyani kamayib borayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, barchasi $ d $ raqamining belgisiga bog'liq, ya'ni. Farqning rivojlanishi:

1. Agar $ d \ gt 0 $ bo'lsa, u holda progressiya ortib bormoqda;
2. Agar $ d \ lt 0 $ bo'lsa, unda progressiya aniq kamayadi;
3. Va nihoyat, $ d = 0 $ holati mavjud - bu holda butun progressiya bir xil raqamlarning statsionar ketma-ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va hokazo.

Keling, yuqorida keltirilgan uchta kamayuvchi progressiya uchun $ d $ farqini hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun har qanday ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi raqamdan chapdagi raqamni ayirish kifoya. Bu shunday ko'rinadi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Ko'rib turganingizdek, har uch holatda ham farq haqiqatan ham salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ko'proq yoki kamroq ta'riflarni aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligi va ularning xususiyatlari qanday ekanligini aniqlash vaqti keldi.

Progressiya a'zolari va takrorlanuvchi formula

Bizning ketma-ketliklarimizning elementlarini almashtirib bo'lmagani uchun ularni raqamlash mumkin:

\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3) )), ... \ o'ng \) \]

Bu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deb ataladi. Ular raqam bilan ko'rsatilgan: birinchi atama, ikkinchi muddat va boshqalar.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, progressiyaning qo'shni a'zolari quyidagi formula bo'yicha bog'lanadi:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ O'ng strelka ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Xulosa qilib aytganda, progressiyadagi $n $-chi hadni topish uchun $n-1 $-chi had va $d $ farqini bilish kerak. Bunday formula takroriy deb ataladi, chunki uning yordami bilan har qanday raqamni topishingiz mumkin, faqat oldingisini (va aslida - barcha oldingilarni) bilib olasiz. Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisob-kitoblarni birinchi atama va farqga qisqartiradigan yanada murakkab formula mavjud:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d \]

Shubhasiz, siz ushbu formulani allaqachon uchratdingiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalar va reshebniklarda berishni yaxshi ko'radilar. Va matematika bo'yicha har qanday oqilona darslikda u birinchilardan biri bo'ladi.

Biroq, men biroz mashq qilishni maslahat beraman.

Muammo raqami 1. $ \ left (((a) _ (n)) \ o'ng) $ agar $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $ bo'lsa, arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Demak, biz $ ((a) _ (1)) = 8 $ birinchi hadini va $ d = -5 $ progressiyaning farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanib, $ n = 1 $, $ n = 2 $ va $ n = 3 $ o'rniga qo'yaylik:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ chap (1-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ chap (2-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ chap (3-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Javob: (8; 3; −2)

Hammasi shu! Iltimos, diqqat qiling: bizning taraqqiyotimiz pasaymoqda.

Albatta, $ n = 1 $ o'rnini bosa olmaydi - birinchi atama bizga allaqachon ma'lum. Biroq, bittasini almashtirib, formulamiz birinchi muddatda ham ishlashiga ishonch hosil qildik. Boshqa hollarda, bularning barchasi ahamiyatsiz arifmetikaga aylandi.

Muammo raqami 2. Arifmetik progressiyaning birinchi uchta hadini yozing, agar uning yettinchi hadi -40 va o'n yettinchi hadi -50 bo'lsa.

Yechim. Muammoning holatini odatdagidek yozamiz:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ to'rt ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ chap \ (\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & (a) _ (17)) = (a) _ (1)) + 16d \\ \ oxiri (tekislash) \ o'ngga. \]

\ [\ chap \ (\ boshlash (tekislash) & (a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & (a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ oxiri (tekislash) \ o'ng. \]

Men tizimning belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Va endi e'tibor bering, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchisini olib tashlasak (biz buni qilishga haqlimiz, chunki bizda tizim mavjud), biz buni olamiz:

\ [\ start (hizala) & (a) _ (1)) + 16d- \ chap (((a) _ (1)) + 6d \ o'ng) = - 50- \ chap (-40 \ o'ng); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Biz rivojlanishdagi farqni shunchalik oson topdik! Topilgan raqamni tizimning istalgan tenglamasiga almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:

\ [\ start (matritsa) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ oxiri (matritsa) \]

Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (2)) = (a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Tayyor! Muammo hal qilindi.

Javob: (-34; -35; -36)

Biz kashf etgan progressiyaning qiziqarli xususiyatiga e'tibor bering: agar $ n $ th va $ m $ th shartlarini olib, ularni bir-biridan ayirib tashlasak, progressiyaning $ n-m $ soniga ko'paytirilgan farqini olamiz:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ chap (n-m \ o'ng) \]

Oddiy, lekin juda foydali mulk, albatta, siz bilishingiz kerak - uning yordami bilan siz progressivlikdagi ko'plab muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Mana asosiy misol:

Muammo raqami 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi hadi 8,4 ga, o‘ninchi hadi esa 14,4 ga teng. Bu progressiyaning o‘n beshinchi hadini toping.

Yechim. $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $ va siz $ ((a) _ (15)) $ ni topishingiz kerak bo'lganligi sababli, biz quyidagilarni ta'kidlaymiz. :

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Lekin shart bo'yicha $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = $ 6, shuning uchun $ 5d = $ 6, bizda:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Javob: 20.4

Hammasi shu! Bizga ba'zi tenglamalar tizimini tuzish va birinchi hadni va farqni hisoblashning hojati yo'q edi - hamma narsa bir-ikki qatorda hal qilindi.

Keling, boshqa turdagi vazifalarni ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy a'zolarini topish. Hech kimga sir emaski, agar birinchi atama salbiy bo'lsa-da, progressiya oshsa, unda ertami-kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayib borayotgan progressiyaning a'zolari ertami-kechmi salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, elementlardan ketma-ket o'tib, bu lahzani "boshqa" tishlash har doim ham mumkin emas. Ko'pincha, muammolar formulalarni bilmasdan turib, hisob-kitoblar bir nechta varaqlarni oladi - javobni topib, biz shunchaki uxlab qolamiz. Shuning uchun biz bu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilamiz.

Muammo raqami 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy hadlar bor -38,5; -35,8; ...?

Yechim. Shunday qilib, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, biz darhol farqni topamiz:

E'tibor bering, farq ijobiy, shuning uchun progressiya oshadi. Birinchi atama salbiy, shuning uchun bir nuqtada biz haqiqatan ham ijobiy raqamlarga qoqilib qolamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.

Keling, aniqlashga harakat qilaylik: atamalarning salbiyligi qancha vaqt (ya'ni, $ n $ qaysi natural songacha) saqlanib qoladi:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n)) \ lt 0 \ O'ngga strelka ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ to'rtta \ chap | \ cdot 10 \ o'ng. \\ & -385 + 27 \ cdot \ chap (n-1 \ o'ng) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ O'ng strelka ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Oxirgi qatorga biroz tushuntirish kerak. Shunday qilib, biz $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, biz raqamning faqat butun qiymatlari bilan qanoatlanamiz (bundan tashqari: $ n \ in \ mathbb (N) $), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aynan $ n = 15 $ va hech qanday holatda emas. 16 dir.

Muammo raqami 5. Arifmetik progressiyada $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Bu progressiyaning birinchi musbat hadining sonini toping.

Bu avvalgisi bilan bir xil muammo bo'lar edi, lekin biz $ ((a) _ (1)) $ ni bilmaymiz. Ammo qo'shni shartlar ma'lum: $ ((a) _ (5)) $ va $ ((a) _ (6)) $, shuning uchun biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, biz beshinchi atamani standart formula bo'yicha birinchi va farq jihatidan ifodalashga harakat qilamiz:

\ [\ start (hizala) & (a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Endi biz oldingi vazifaga o'xshash tarzda davom etamiz. Biz ketma-ketlikning qaysi nuqtasida ijobiy raqamlar bo'lishini bilib olamiz:

\ [\ start (align) & (a) _ (n)) = - 162+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ O'ng strelka ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Bu tengsizlikning eng kichik butun yechimi 56 ga teng.

E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushirildi, shuning uchun $ n = 55 $ varianti bizga mos kelmaydi.

Oddiy masalalarni yechishni o‘rganganimizdan so‘ng, endi murakkabroq masalalarga o‘tamiz. Ammo birinchi navbatda, arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini o'rganamiz, bu kelajakda bizga ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydi. :)

O'rtacha arifmetik va teng chegaralar

$ \ left (((a) _ (n)) \ o'ng) $ ortib boruvchi arifmetik progressiyaning bir nechta ketma-ket a'zolarini ko'rib chiqing. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:

Son qatoridagi arifmetik progressiyaning a'zolari

Men $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ ixtiyoriy shartlarini alohida qayd etdim, har qanday $ ((a) _ (1)) , \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ va boshqalar. Chunki men hozir gaplashadigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.

Va qoida juda oddiy. Keling, rekursiya formulasini eslaylik va uni barcha belgilangan a'zolar uchun yozamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ oxiri (tekislash) \]

Biroq, bu tengliklarni boshqacha tarzda qayta yozish mumkin:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ oxiri (tekislash) \]

Xo'sh, nima? Va $ ((a) _ (n-1)) $ va $ ((a) _ (n + 1)) $ shartlari $ ((a) _ (n)) $ dan bir xil masofada joylashganligi haqiqatdir. . Va bu masofa $ d $ ga teng. $ ((a) _ (n-2)) $ va $ ((a) _ (n + 2)) $ shartlari haqida ham shunday deyish mumkin - ular $ ((a) _ (n) dan ham olib tashlanadi. ) $ bir xil masofa $ 2d $ ga teng. Siz cheksiz davom etishingiz mumkin, ammo ma'no rasmda yaxshi ko'rsatilgan.

Progressiya a'zolari markazdan bir xil masofada yotadi

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, siz $ ((a) _ (n)) $ ni topishingiz mumkin:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1)) (2) \]

Biz ajoyib bayonotni chiqardik: arifmetik progressiyaning har bir a'zosi qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng! Bundan tashqari: biz $ ((a) _ (n)) $ chap va o'ngdan bir qadam emas, balki $ k $ qadamlarimizdan chetga chiqishimiz mumkin - va baribir formula to'g'ri bo'ladi:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Bular. Agar biz $ ((a) _ (100)) $ va $ ((a) _ (200)) $ ni bilsak, $ ((a) _ (150)) $ ni osongina topishimiz mumkin, chunki $ (( a) _ (150)) = \ frac ((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotgandek tuyulishi mumkin. Biroq, amalda ko'plab masalalar o'rtacha arifmetikdan foydalanish uchun maxsus "o'tkirlashadi". Qarab qo'ymoq:

Muammo raqami 6. $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ va $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ raqamlari ketma-ket aʼzo boʻlgan $ x $ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiyaning (tartibda).

Yechim. Ko'rsatilgan sonlar progressiyaning a'zolari bo'lganligi sababli ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: markaziy element$ x + 1 $ qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:

\ [\ start (hizalama) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2)))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2)))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Bu klassik bo'lib chiqdi kvadrat tenglama... Uning ildizlari: $ x = 2 $ va $ x = -3 $ - bu javoblar.

Javob: −3; 2.

Muammo raqami 7. $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ raqamlari arifmetik progressiyani tashkil etadigan $$ qiymatlarini toping (shu tartibda).

Yechim. Yana oʻrta atamani qoʻshni atamalarning oʻrtacha arifmetik qiymatida ifodalaymiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ to'rt \ chap | \ cdot 2 \ o'ng .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Yana kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz bor: $ x = 6 $ va $ x = 1 $.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida siz shafqatsiz raqamlarni chiqarsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, unda tekshirishga imkon beradigan ajoyib texnika mavjud: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?

Masalan, 6-masalada biz -3 va 2 javoblarni oldik. Bu javoblarning to'g'riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni boshlang'ich holatga ulab, nima bo'lishini ko'raylik. Sizga shuni eslatib o'tamanki, bizda arifmetik progressiya hosil qilishi kerak bo'lgan uchta raqam ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ va $ 14 + 4 (() ^ (2)) $ mavjud. $ x = -3 $ almashtiring:

\ [\ boshlash (tekislash) & x = -3 \ O'ngga o'q \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (tekislash) \]

Qabul qilingan raqamlar -54; −2; 52 dan farq qiladigan 50, shubhasiz, arifmetik progressiyadir. Xuddi shu narsa $ x = 2 $ uchun sodir bo'ladi:

\ [\ boshlash (tekislash) & x = 2 \ O'ngga strelka \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (tekislash) \]

Yana progressiya, lekin 27 farq bilan. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilinadi. Qiziqqanlar ikkinchi muammoni mustaqil tekshirishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.

Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz yana bir narsaga qoqilib qoldik qiziq fakt, buni ham eslash kerak:

Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi o'rtacha hisoblanadi birinchi navbatda arifmetika va oxirgi, keyin bu raqamlar arifmetik progressiya hosil qiladi.

Kelajakda ushbu bayonotni tushunish bizga muammoning shartiga asoslanib, kerakli progressiyani tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" ga kirishdan oldin, biz allaqachon ko'rib chiqilgan narsadan bevosita kelib chiqadigan yana bir haqiqatga e'tibor qaratishimiz kerak.

Guruhlash va elementlar yig'indisi

Keling, yana raqamlar o'qiga qaytaylik. Keling, progressiyaning bir nechta a'zolarini ta'kidlaymiz, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolar bor:

Raqamlar qatorida 6 ta element belgilangan

Keling, "chap dum" ni $ ((a) _ (n)) $ va $ d $, "o'ng quyruq" ni $ ((a) _ (k)) $ va $ d $ shaklida ifodalashga harakat qilaylik. . Bu juda oddiy:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Endi e'tibor bering, quyidagi summalar teng:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (tekislash) \]

Oddiy qilib aytganda, agar biz jami $ S $ soniga teng bo'lgan progressiyaning ikkita elementini boshlang'ich deb hisoblasak va keyin biz bu elementlardan qarama-qarshi yo'nalishda (bir-biriga qarab yoki aksincha) yurishni boshlasak. , keyin biz qoqiladigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$ S $. Buni grafik jihatdan eng aniq ifodalash mumkin:

Teng chekinish teng miqdorni beradi

Ushbu haqiqatni tushunish bizga muammolarni tubdan hal qilish imkonini beradi yuqori daraja Biz yuqorida ko'rib chiqqanimizdan ko'ra qiyinchiliklar. Masalan, bunday:

Muammo raqami 8. Birinchi hadi 66, ikkinchi va o‘n ikkinchi hadlarning ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lgan eng kichik bo‘lgan arifmetik progressiyaning ayirmasini aniqlang.

Yechim. Keling, biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (tekislash) \]

Shunday qilib, biz $ d $ progressiyasining farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farq atrofida quriladi, chunki $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ chap (66 + d \ o'ng) \ cdot \ chap (66 + 11d \ o'ng) = \\ & = 11 \ cdot \ chap (d + 66 \ o'ng) \ cdot \ chap (d + 6 \ o'ng). \ end (tekislash) \]

Tankdagilar uchun: men ikkinchi qavsdan 11 ning umumiy koeffitsientini chiqardim. Shunday qilib, qidirilayotgan mahsulot $ d $ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun, $ f \ chap (d \ o'ng) = 11 \ chap (d + 66 \ o'ng) \ chap (d + 6 \ o'ng) $ funktsiyasini ko'rib chiqing - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, chunki qavslarni kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & f \ chap (d \ o'ng) = 11 \ chap (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ o'ng) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (tekislash) \]

Ko'rib turganingizdek, etakchi atama uchun koeffitsient 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz haqiqatan ham shoxlari yuqori bo'lgan parabola bilan ishlaymiz:

jadval kvadratik funktsiya- parabola

Eslatma: minimal qiymat bu parabola o'z cho'qqisini abscissa $ ((d) _ (0)) $ bilan oladi. Albatta, bu abscissani hisoblashimiz mumkin standart sxema($ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $ formulasi mavjud), ammo kerakli cho'qqi simmetriya o'qida joylashganligini payqash ancha oqilona bo'lar edi. parabola, shuning uchun $ ((d) _ (0)) $ nuqtasi $ f \ chap (d \ o'ng) = 0 $ tenglamaning ildizlaridan teng masofada joylashgan:

\ [\ boshlash (tekislash) & f \ chap (d \ o'ng) = 0; \\ & 11 \ cdot \ chap (d + 66 \ o'ng) \ cdot \ chap (d + 6 \ o'ng) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ to'rtta ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklda ildizlarni topish juda va juda oson edi. Shuning uchun abscissa −66 va −6 sonlarning oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng:

\ [((d) _ (0)) = \ frak (-66-6) (2) = - 36 \]

Topilgan raqam bizga nima beradi? U bilan kerakli mahsulot eng kichik qiymatni oladi (Aytgancha, biz $ ((y) _ (\ min)) $ ni hisoblamadik - bu bizdan talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam asl progressiya o'rtasidagi farq, ya'ni. biz javob topdik. :)

Javob: −36

Muammo raqami 9. $ - \ frac (1) (2) $ va $ - \ frac (1) (6) $ raqamlari orasiga uchta raqam qo'ying, shunda ular berilgan raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi.

Yechim. Asosan, birinchi va oxirgi raqamlar allaqachon ma'lum bo'lgan beshta raqamdan iborat ketma-ketlikni yaratishimiz kerak. Yo'qolgan raqamlarni $ x $, $ y $ va $ z $ o'zgaruvchilari bilan belgilaymiz:

\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ o'ng \ ) \]

E'tibor bering, $ y $ soni ketma-ketligimizning "o'rtasi" - u $ x $ va $ z $ raqamlaridan, $ - \ frac (1) (2) $ va $ - \ raqamlaridan bir xil masofada joylashgan. frak (1) (6) $. Va agar biz hozirda $ x $ va $ z $ raqamlaridan $ y $ ni ololmasak, progressiyaning oxiri bilan vaziyat boshqacha. O'rtacha arifmetikni eslab qolish:

Endi $ y $ ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $ x $ $ - \ frac (1) (2) $ va hozirgina topilgan $ y = - \ frac (1) (3) $ raqamlari o'rtasida joylashgan. Shunung uchun

Shunga o'xshab, biz qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni javobda asl raqamlar orasiga qo'yish kerak bo'lgan tartibda yozamiz.

Javob: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Muammo raqami 10. 2 va 42 raqamlari orasiga bir nechta raqamlarni qo'ying, bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi, agar kiritilgan raqamlarning birinchi, ikkinchi va oxirgi yig'indisi 56 ekanligini bilsangiz.

Yechim. Bundan ham qiyin vazifa, ammo avvalgilari bilan bir xil sxema bo'yicha - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqam kiritishni aniq bilmaymiz. Shuning uchun, aniqlik uchun, hamma narsani kiritgandan so'ng, aniq $ n $ raqamlari bo'ladi, deb faraz qilaylik va ularning birinchisi 2, oxirgisi esa 42. Bu holda, kerakli arifmetik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ o'ng \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Ammo e'tibor bering, $ ((a) _ (2)) $ va $ ((a) _ (n-1)) $ raqamlari 2 va 42 raqamlaridan bir-biriga qarab bir qadam bilan olinadi, ya'ni ... ketma-ketlikning markaziga. Bu shuni anglatadiki

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Ammo keyin yuqorida yozilgan iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:

\ [\ start (align) & (a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ chap (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ o'ng) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ oxiri (tekislash) \]

$ ((a) _ (3)) $ va $ ((a) _ (1)) $ ni bilib, biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

\ [\ start (hizala) & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ chap (3-1 \ o'ng) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ O'ng strelka d = 5. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Qolgan a'zolarni topishgina qoladi:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ oxiri (tekislash) \]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap tomoniga kelamiz - 42 raqami. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Progressiya bilan bog'liq so'z muammolari

Xulosa qilib aytganda, men bir nechta nisbatan oddiy muammolarni ko'rib chiqmoqchiman. Xo'sh, qanchalik oddiy: maktabda matematikani o'rganayotgan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik talabalar uchun bu vazifalar qalay kabi ko'rinishi mumkin. Shunga qaramay, matematikada OGE va USEda aynan shunday muammolar uchraydi, shuning uchun men ular bilan tanishib chiqishingizni maslahat beraman.

Muammo raqami 11. Brigada yanvar oyida 62 dona detal ishlab chiqargan bo‘lsa, keyingi oyda oldingisiga nisbatan 14 dona ko‘p detal ishlab chiqardi. Noyabr oyida jamoa nechta qismdan iborat edi?

Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha rejalashtirilgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiyani ifodalaydi. Bundan tashqari:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 14. \\ \ end (tekislash) \]

Noyabr - yilning 11 oyi, shuning uchun biz $ ((a) _ (11)) $ ni topishimiz kerak:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Binobarin, noyabr oyida 202 ta detal ishlab chiqariladi.

Muammo raqami 12. Yanvar oyida jilovlash ustaxonasi 216 ta kitobni bog'ladi va har oy oldingisiga qaraganda 4 taga ko'proq kitobni bog'ladi. Dekabr oyida ustaxonada nechta kitob bog'landi?

Yechim. Hammasi bir xil:

$ \ start (tekislash) & (a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 4. \\ \ end (tekislash) $

Dekabr - yilning oxirgi, 12- oyi, shuning uchun biz $ ((a) _ (12)) $ ni qidiramiz:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob bog'lanadi.

Xo'sh, agar siz shu paytgacha o'qigan bo'lsangiz, sizni tabriklashga shoshildim: arifmetik progressiyalar bo'yicha "Yosh jangchilar kursi" ni muvaffaqiyatli tamomladingiz. Siz keyingi darsga ishonch bilan o'tishingiz mumkin, u erda biz progressiyaning yig'indisi formulasini, shuningdek, undan muhim va juda foydali natijalarni o'rganamiz.

Birinchi daraja

Arifmetik progressiya. Batafsil nazariya misollar bilan (2019)

Raqamlar ketma-ketligi

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisigacha aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (-chi raqam kabi) har doim bitta.
Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deb ataladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf:.

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik mavjud.
Masalan:

va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi VI asrda Rim muallifi Boethius tomonidan kiritilgan va ko'proq tushunilgan. keng ma'no cheksiz sonlar ketma-ketligi kabi. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar shug'ullangan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan olingan.

Bu sonli ketma-ketlik bo'lib, uning har bir atamasi avvalgisiga teng bo'lib, bir xil raqamga qo'shiladi. Bu son arifmetik progressiyaning ayirmasi deb ataladi va bilan belgilanadi.

Qaysi sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundingizmi? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu an arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning th a'zosining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish yo'li.

1. Usul

Progressiya sonining oldingi qiymatiga progressiyaning uchinchi hadiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa qolmagani yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning th a'zosi teng.

2. Usul

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'indini yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda adashmaganimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar oldingi qiymatga arifmetik progressiyaning farqini qo'shishning hojati bo'lmagan usulni o'ylab topishdi. Siz chizgan rasmga diqqat bilan qarang ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning a'zosining qiymati qanday qo'shilganligini ko'rib chiqamiz:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Shu tarzda berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini mustaqil ravishda topishga harakat qiling.

Hisoblanganmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:

E'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya a'zolarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi bir xil raqamga ega bo'ldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - biz uni kiritamiz umumiy shakl va oling:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ortib boradi, ba'zan esa kamayadi.

Ko'tarilish- a'zolarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kattaroq bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Kamaymoqda- a'zolarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'sish va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, ushbu arifmetik progressiyaning soni qanday bo'lishini tekshirib ko'raylik:

O'shandan beri:

Shunday qilib, biz formulaning arifmetik progressiyani kamaytirish va oshirishda ishlashiga ishonch hosil qildik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Olingan natijalarni solishtiramiz:

Arifmetik progressiya xossasi

Vazifani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, deysiz va o'zingiz bilgan formula bo'yicha hisoblashni boshlaysiz:

Keling, a, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa? Tan oling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, bu muammoni biron bir formuladan foydalanib, bitta harakatda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz hozir chekinishga harakat qilamiz.

Arifmetik progressiyaning kerakli hadini shunday belgilaymizki, biz uni topish formulasini bilamiz - bu biz boshida olingan formuladir:
, keyin:

• progressiyaning oldingi a'zosi:
• progressiyaning keyingi a'zosi:

Keling, progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarini umumlashtiramiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi a’zolari yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya a’zosining ikkilangan qiymati hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya a'zosining qiymatini topish uchun ularni qo'shib, ga bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni tuzatamiz. Progressiya qiymatini o'zingiz hisoblang, chunki bu unchalik qiyin emas.

Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! O'rganish uchun faqat bitta formula qoldi, uni afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" - Karl Gauss osongina o'zi uchun aniqlagan ...

Karl Gauss 9 yoshga to‘lganda, boshqa sinf o‘quvchilarining ishini tekshirish bilan band bo‘lgan o‘qituvchi darsda quyidagi masalani qo‘ydi: “Hammasining yig‘indisini sanang. natural sonlar dan (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuziv ". Tasavvur qiling-a, shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) bir daqiqada muammoga toʻgʻri javob berganida, jasur sinfdoshlarining koʻpchiligi uzoq hisob-kitoblardan soʻng notoʻgʻri natija olganida oʻqituvchi hayratda qolganini tasavvur qiling...

Yosh Karl Gauss siz osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi a'zolardan tashkil topgan arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning berilgan a'zolari yig'indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, ammo agar vazifada Gauss izlaganidek, uning a'zolari yig'indisini topish kerak bo'lsa-chi?

Keling, berilgan progressiyani chizamiz. Belgilangan raqamlarga diqqat bilan qarang va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.


Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani payqadingiz? To'g'ri! Ularning miqdori teng

Endi ayting-chi, berilgan progressiyada shunday juftliklar nechta? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita a'zosining yig'indisi teng va shunga o'xshash teng juftliklarga asoslanib, biz umumiy yig'indini olamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi quyidagicha bo'ladi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin biz progressiyadagi farqni bilamiz. Formulada yig'indini, th had uchun formulani almashtirishga harakat qiling.
Nima qildingiz?

Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: o'zingiz hisoblab ko'ring --dan boshlanadigan raqamlar yig'indisi va --dan boshlanadigan raqamlar yig'indisi qancha.

Qanchaga oldingiz?
Gauss a'zolar yig'indisi teng ekanligini va a'zolar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiya a’zolari yig‘indisi formulasini III asrda qadimgi yunon olimi Diofant isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xossalaridan maksimal darajada foydalanganlar.
Masalan, tasavvur qiling Qadimgi Misr va o'sha davrning eng shijoatli qurilish maydoni - piramida qurilishi ... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda deysiz? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.


Bu arifmetik progressiya emasmi? Agar bazaga blokli g'isht qo'yilgan bo'lsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirib hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bunday holda, progressiya quyidagicha ko'rinadi:.
Arifmetik progressiyaning farqi.
Arifmetik progressiyaning a'zolari soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (biz bloklar sonini 2 usulda hisoblaymiz).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Birga keldimi? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisini o'zlashtirdingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Tayyorlamoq

Vazifalar:

1. Masha yozga kelib forma oladi. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Masha bir hafta ichida necha marta cho'kadi, agar birinchi mashg'ulotda u cho'zilgan bo'lsa.
2. Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
3. Jurnallarni saqlashda, yog'och ishlab chiqaruvchilar ularni har biri shunday qilib yig'adilar yuqori qatlam oldingisidan bir jurnal kamroq o'z ichiga oladi. Agar loglar devorning asosi bo'lib xizmat qilsa, bitta devorda qancha log bor.

Javoblar:

1. Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaymiz. Ushbu holatda
   (hafta = kunlar).

   Javob: Ikki hafta o'tgach, Masha kuniga bir marta chayqalishi kerak.

2. Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
   Arifmetik progressiyaning farqi.
   Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo biz bu faktni arifmetik progressiyaning --chi hadini topish formulasi yordamida tekshiramiz:

   Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
   Mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiring:

   Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlar yig'indisi ga teng.

3. Piramida muammosini eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun, a, chunki har bir yuqori qatlam bir jurnalga kamayadi, keyin faqat qatlamlar to'plamida, ya'ni.
   Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

   Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Keling, xulosa qilaylik

1. - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik. U ko'payishi va kamayishi mumkin.
2. Formulani topish Arifmetik progressiyaning th a'zosi - formulasi bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
3. Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu erda progressiyadagi sonlar soni.
4. Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:
   
   , bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamlar ketma-ketligi

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin siz har doim qaysi biri birinchi, qaysi ikkinchi va hokazo, ya'ni biz ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son bilan bog'lanishi mumkin va bitta. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deb ataladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf:.

Agar ketma-ketlikning uchinchi hadini qandaydir formula bilan berish mumkin bo'lsa, bu juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikda:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng va farq). Yoki (, farq).

N-sonli formula

Biz takroriy formulani chaqiramiz, unda a'zoni aniqlash uchun siz oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, bunday formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun biz oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak. Masalan, keling. Keyin:

Xo'sh, endi formula nima?

Har bir qatorda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Nima uchun? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi atama teng. Farqi nimada? Va mana nima:

(bu progressiyaning ketma-ket kelgan a'zolarining ayirmasiga teng bo'lgan ayirma deyilgani uchun).

Shunday qilib, formula:

Keyin yuzinchi had:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nechaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi raqamlarning yig'indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi, lekin bittaning yig'indisi bir xil, oxiridan uchinchi va uchinchi raqamlarning yig'indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar nechta bo'ladi? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisining umumiy formulasi quyidagicha bo‘ladi:

Misol:
Hammasining yig‘indisini toping ikki xonali raqamlar, koʻpaytmalar.

Yechim:

Birinchi bunday raqam. Har bir keyingi oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va farq bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Ushbu progressiyaning 3-term formulasi:

Agar ularning barchasi ikki xonali bo'lishi kerak bo'lsa, progressiyaning nechta a'zosi bor?

Juda oson: .

Progressiyadagi oxirgi muddat teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

1. Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda m ko'proq yuguradi. Agar birinchi kuni km m ga yugursa, u haftada necha kilometr yuguradi?
2. Velosipedchi har kuni oldingisiga qaraganda ko'proq kilometr yuradi. Birinchi kuni u km yurdi. Km masofani bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatning oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
3. Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Sovutgichning narxi har yili qancha pasayganini aniqlang, agar rubl uchun sotuvga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan keyin u rublga sotilgan.

Javoblar:

1. Bu erda eng muhimi arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kunlar). Ushbu progressiyaning birinchi a'zolarining yig'indisini aniqlashingiz kerak:
   .
   Javob:
2. Bu erda berilgan:, topish kerak.
   Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
   .
   Qiymatlarni almashtiring:

   Ildiz aniq mos emas, shuning uchun javob.
   Oxirgi kun uchun bosib o‘tgan masofani 3-sonli formuladan foydalanib hisoblaymiz:
   (km).
   Javob:

3. Berilgan:. Toping: .
   Bu osonroq bo'lishi mumkin emas edi:
   (rub).
   Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlikdir.

Arifmetik progressiya o'suvchi () va kamayuvchi () bo'lishi mumkin.

Masalan:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi

formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning qo'shni a'zolari ma'lum bo'lsa, uni osongina topish imkonini beradi - progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi

Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

Qaerda qiymatlar soni.

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘zlari biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, siz o'sha 5% ga kirasiz!

Endi eng muhim narsa keladi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va yana, bu ... bu shunchaki super! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Imtihondan muvaffaqiyatli o'tish, institutga byudjet va ENG MUHIM, umrbod kirish.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq maosh oladi. Bular statistika.

Lekin bu ham asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular ko'proq BAXTLI (bunday tadqiqotlar mavjud). Balki ularning oldida juda ko'p imkoniyatlar ochilgani va hayot yanada yorqinroq bo'lganligi uchundir? Bilmayman...

Ammo o'zingiz o'ylab ko'ring ...

Imtihonda boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtliroq bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHISH QO'LNI OLING.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi muammolarni bir muddat hal qiling.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Siz ahmoqona xatoga yo'l qo'ygan joyga borasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun uni qayta-qayta takrorlash kerak.

O'zingiz xohlagan joyda to'plamni toping, albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Bizning vazifalarimiz yordamida qo'lingizni to'ldirish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni baham ko'ring - 299 r
2. Qo'llanmaning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - 999 rubl

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqolalar mavjud bo'lib, barcha topshiriqlar va ulardagi barcha yashirin matnlarga kirish bir vaqtning o'zida ochilishi mumkin.

Ikkinchi holatda sizga beramiz simulyator "Har bir mavzu uchun, barcha qiyinchilik darajalari uchun echimlar va javoblar bilan 6000 ta muammo." Bu, albatta, har qanday mavzudagi muammolarni hal qilish uchun etarli bo'ladi.

Aslida, bu shunchaki simulyatordan ko'proq narsa - butun o'quv dasturi. Agar kerak bo'lsa, undan BEPUL ham foydalanishingiz mumkin.

Barcha matnlar va dasturlarga kirish saytning butun faoliyati davomida taqdim etiladi.

Xulosa...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariyaga e'tibor bermang.

"Tushundim" va "Men qanday hal qilishni bilaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!

Arifmetik progressiya raqamlar ketma-ketligi (progressiya a'zolari) deb ataladi.

Bunda har bir keyingi atama oldingisidan yangi atama bilan farqlanadi, u ham deyiladi qadam yoki progressiya farqi.

Shunday qilib, progressiyaning bosqichini va uning birinchi muddatini belgilab, siz uning istalgan elementini formula bo'yicha topishingiz mumkin

Arifmetik progressiyaning xossalari

1) arifmetik progressiyaning ikkinchi sonidan boshlab har bir a'zosi progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.

Qarama-qarshilik ham to'g'ri. Agar progressiyaning qo‘shni toq (juft) a’zolarining o‘rtacha arifmetik qiymati ular orasidagi hadga teng bo‘lsa, u holda bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya hisoblanadi. Ushbu bayonot har qanday ketma-ketlikni tekshirishni juda oson qiladi.

Shuningdek, arifmetik progressiya xususiyatiga ko‘ra yuqoridagi formulani quyidagilarga umumlashtirish mumkin

Agar shartlarni teng belgining o'ng tomoniga yozsak, buni tekshirish oson

Ko'pincha amaliyotda muammolarda hisoblashni soddalashtirish uchun ishlatiladi.

2) arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisi formula bo’yicha hisoblanadi

Arifmetik progressiya yig'indisining formulasini yaxshi eslang, u hisob-kitoblar uchun ajralmas va oddiy hayotiy vaziyatlarda juda keng tarqalgan.

3) Agar siz butun yig'indini emas, balki k -chi haddan boshlab ketma-ketlikning bir qismini topishingiz kerak bo'lsa, unda quyidagi yig'indi formulasi yordam beradi.

4) k-sondan boshlab arifmetik progressiyaning n ta hadi yig’indisini topish amaliy qiziqish uyg’otadi. Buning uchun formuladan foydalaning

Bu nazariy materialni yakunlaydi va amaliyotda umumiy muammolarni hal qilishga o'tadi.

1-misol. 4-arifmetik progressiyaning qirqinchi hadini toping;7;...

Yechim:

Shartga ko'ra, bizda bor

Rivojlanish bosqichini aniqlang

Ma'lum formuladan foydalanib, progressiyaning qirqinchi hadini topamiz

2-misol. Arifmetik progressiya uning uchinchi va yettinchi hadlari bilan beriladi. Progressiyaning birinchi hadini va o‘nning yig‘indisini toping.

Yechim:

Progressiyaning berilgan elementlarini formulalar yordamida yozamiz

Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz, natijada progressiyaning qadamini topamiz

Arifmetik progressiyaning birinchi hadini topish uchun topilgan qiymatni istalgan tenglamaga almashtiramiz.

Biz progressiyaning dastlabki o'nta a'zosining yig'indisini hisoblaymiz

Murakkab hisob-kitoblardan foydalanmasdan, biz barcha kerakli miqdorlarni topdik.

3-misol. Arifmetik progressiya maxraj va uning a'zolaridan biri tomonidan beriladi. Progressiyaning birinchi a'zosini toping, uning 50 dan boshlanadigan 50 a'zosi yig'indisi va birinchi 100 ta a'zoning yig'indisini toping.

Yechim:

Progressiyaning yuzinchi elementi formulasini yozamiz

va birinchisini toping

Birinchisiga asoslanib, progressiyaning 50 ta hadini topamiz

Progressiya qismining yig‘indisini toping

va birinchi 100 ning yig'indisi

Jarayonning umumiy soni 250 ta.

4-misol.

Arifmetik progressiya a’zolari sonini toping, agar:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Yechim:

Tenglamalarni birinchi had va progressiya qadami bilan yozamiz va ularni aniqlaymiz

Olingan qiymatlarni yig'indidagi a'zolar sonini aniqlash uchun yig'indi formulasiga almashtiramiz

Soddalashtirishni amalga oshirish

va kvadrat tenglamani yeching

Muammo holati uchun topilgan ikkita qiymatdan faqat 8 raqami mos keladi. Shunday qilib, progressiyaning dastlabki sakkiz a'zosining yig'indisi 111 ga teng.

5-misol.

Tenglamani yeching

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Yechish: Bu tenglama arifmetik progressiya yig‘indisidir. Keling, uning birinchi hadini yozamiz va progressiyaning farqini topamiz

Arifmetik progressiya yig‘indisi.

Arifmetik progressiyaning yig'indisi oddiy narsadir. Ham ma'noda, ham formulada. Ammo bu mavzu bo'yicha har xil vazifalar mavjud. Boshlang'ichdan ancha mustahkamgacha.

Birinchidan, yig'indining ma'nosi va formulasini aniqlaymiz. Va keyin biz uni tuzatamiz. Xursand bo‘lishingiz uchun.) Yig‘indining ma’nosi oddiy, xum kabi. Arifmetik progressiyaning yig'indisini topish uchun uning barcha a'zolarini diqqat bilan qo'shish kifoya. Agar bu shartlar oz bo'lsa, siz formulalarsiz qo'shishingiz mumkin. Lekin ko'p bo'lsa yoki ko'p bo'lsa ... qo'shish zerikarli.) Bu holda, formula saqlaydi.

Yig'indi formulasi oddiy ko'rinadi:

Keling, formulaga qanday harflar kiritilganligini aniqlaylik. Bu ko'p narsaga oydinlik kiritadi.

S n - arifmetik progressiya yig'indisi. Qo'shish natijasi hammasidan bilan a'zolar birinchi yoqilgan oxirgi. Bu muhim. Aniq qo'shing hammasi a'zolar ketma-ket, bo'shliqlar va sakrashlarsiz. Va, xususan, bilan boshlanadi birinchi. Uchinchi va sakkizinchi hadlar yig'indisini yoki beshinchi va yigirmanchi hadlar yig'indisini topish kabi vazifalarda formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llash umidsizlikka olib keladi.)

a 1 - birinchi progressiyaning a'zosi. Bu erda hamma narsa aniq, hamma narsa oddiy birinchi qator raqami.

a n- oxirgi progressiyaning a'zosi. Qatorning oxirgi raqami. Juda tanish nom emas, lekin miqdorga qo'llanilganda, u hatto juda mos keladi. Keyin o'zingiz ko'rasiz.

n - oxirgi a'zoning raqami. Formulada bu raqamni tushunish muhimdir qo'shilgan a'zolar soniga to'g'ri keladi.

Keling, kontseptsiyani aniqlaylik oxirgi a'zosi a n... To'ldiruvchi savol: qaysi a'zo bo'ladi Oxirgisi berilgan bo'lsa cheksiz arifmetik progressiya?)

Ishonchli javob olish uchun siz arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini tushunishingiz va ... topshiriqni diqqat bilan o'qishingiz kerak!)

Arifmetik progressiya yig'indisini topish vazifasida har doim oxirgi had paydo bo'ladi (to'g'ridan-to'g'ri yoki bilvosita), qaysi chegaralanishi kerak. Aks holda, yakuniy, aniq miqdor shunchaki mavjud emas. Yechim uchun qaysi progressiya berilganligi muhim emas: chekli yoki cheksiz. Qanday qilib o'rnatilganligi muhim emas: sonlar soni yoki n-sonning formulasi bo'yicha.

Eng muhimi, formulaning progressiyaning birinchi hadidan c sonigacha ishlashini tushunishdir. n. Aslida, formulaning to'liq nomi quyidagicha ko'rinadi: arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi. Bu birinchi a'zolarning soni, ya'ni. n, faqat vazifa bilan belgilanadi. Vazifada bu barcha qimmatli ma'lumotlar ko'pincha shifrlangan, ha ... Lekin hech narsa, quyidagi misollarda biz bu sirlarni ochib beramiz.)

Arifmetik progressiya yig‘indisi uchun topshiriqlarga misollar.

Eng avvalo, foydali ma'lumotlar:

Arifmetik progressiya yig'indisi bo'yicha topshiriqlardagi asosiy qiyinchilik formula elementlarini to'g'ri aniqlashdadir.

Vazifalar mualliflari aynan shu elementlarni cheksiz tasavvur bilan shifrlashadi.) Bu erda asosiy narsa qo'rqmaslikdir. Elementlarning mohiyatini tushunish uchun ularni faqat shifrlash kifoya. Keling, bir nechta misollarni batafsil ko'rib chiqaylik. Haqiqiy GIAga asoslangan topshiriqdan boshlaylik.

1. Arifmetik progressiya shart bilan belgilanadi: a n = 2n-3,5. Uning dastlabki 10 a'zosining yig'indisini toping.

Yaxshi topshiriq. Oson.) Formula bo'yicha miqdorni aniqlash uchun nimani bilishimiz kerak? Birinchi muddat a 1, oxirgi muddat a n, ha oxirgi a'zoning raqami n.

Oxirgi a'zoning raqamini qayerdan olish mumkin n? Ha, bu holatda! Unda aytiladi: miqdorni toping birinchi 10 a'zo. Xo'sh, qanday raqam bo'ladi oxirgi, o'ninchi muddat?) Ishonmaysiz, uning soni o'ninchi!) Demak, o'rniga a n formulada biz almashtiramiz a 10, va o'rniga n- o'n. Shunga qaramay, oxirgi a'zoning soni a'zolar soni bilan bir xil.

Bu aniqlash uchun qoladi a 1 va a 10... Masala bayonida berilgan n-sonning formulasi bilan hisoblash oson. Buni qanday qilishni bilmayapsizmi? Oldingi darsga tashrif buyuring, u holda - hech narsa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10= 210 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Biz arifmetik progressiya yig'indisi formulasining barcha elementlarining ma'nosini bilib oldik. Ularni almashtirish va hisoblash qoladi:

Hammasi shu. Javob: 75.

GIAga asoslangan yana bir vazifa. Biroz murakkabroq:

2. Sizga arifmetik progressiya (a n) berilgan, uning farqi 3,7; a 1 = 2,3. Uning dastlabki 15 a'zosining yig'indisini toping.

Biz darhol miqdorning formulasini yozamiz:

Ushbu formula har qanday a'zoning qiymatini uning soni bo'yicha topishga imkon beradi. Biz oddiy almashtirishni qidiramiz:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Formuladagi barcha elementlarni arifmetik progressiya yig'indisiga almashtirish va javobni hisoblash qoladi:

Javob: 423.

Aytgancha, agar formulada o'rniga yig'indi a n n-sonli formulani almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Biz shunga o'xshashlarni beramiz, arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi uchun yangi formulani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu erda talab qilinmaydi n-chi muddat a n... Ba'zi vazifalarda bu formula juda ko'p yordam beradi, ha ... Bu formulani eslab qolishingiz mumkin. Yoki bu yerda bo'lgani kabi, uni kerakli vaqtda ko'rsatishingiz mumkin. Axir, yig'indi formulasi va n-son formulasi har tomonlama esda qolishi kerak.)

Endi vazifa qisqa shifrlash shaklida):

3. Uchga bo'linadigan barcha musbat ikki xonali sonlarning yig'indisini toping.

Qanaqasiga! Na birinchi a'zo, na oxirgi, na rivojlanish umuman ... Qanday yashash kerak !?

Siz boshingiz bilan o'ylab, shartdan arifmetik progressiya yig'indisining barcha elementlarini chiqarib olishingiz kerak. Ikki xonali sonlar nima ekanligini bilamiz. Ular ikkita raqamdan iborat.) Ikki xonali son qanday bo'ladi birinchi? 10, menimcha.) oxirgi narsa ikki xonali raqam? 99, albatta! Uch xonalilar unga ergashadi ...

Uchning ko'paytmalari ... Hm ... Bular hatto uchga bo'linadigan raqamlar, mana! O'n uchga bo'linmaydi, 11 bo'linmaydi ... 12 ... bo'linadi! Shunday qilib, bir narsa paydo bo'ladi. Muammoning sharti bo'yicha qatorni yozish allaqachon mumkin:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu qator arifmetik progressiya bo'ladimi? Albatta! Har bir a'zo avvalgisidan uchtasi bilan keskin farq qiladi. Agar atamaga 2 yoki 4 ni qo'shsak, aytaylik, natija, ya'ni. yangi raqam endi butunlay 3 ga bo'linmaydi. Uyumga, arifmetik progressiyaning farqini darhol aniqlashingiz mumkin: d = 3. Bu foydali bo'ladi!)

Shunday qilib, siz rivojlanishning ba'zi parametrlarini xavfsiz yozishingiz mumkin:

Raqam nima bo'ladi n oxirgi a'zo? 99 deb o'ylagan har bir kishi halokatli adashadi ... Raqamlar - ular doimo ketma-ket ketadi va bizning a'zolarimiz kuchli uchlikdan o'tishadi. Ular mos kelmaydi.

Ikkita yechim bor. Bir yo'l - o'ta mehnatkashlar uchun. Siz progressiyani, raqamlarning butun seriyasini bo'yashingiz va barmog'ingiz bilan a'zolar sonini hisoblashingiz mumkin.) Ikkinchi yo'l - o'ylanganlar uchun. Biz n-son uchun formulani eslab qolishimiz kerak. Agar formulani muammomizga qo'llasak, 99 progressiyaning o'ttizinchi hadi ekanligini bilib olamiz. Bular. n = 30.

Arifmetik progressiya yig‘indisining formulasini ko‘rib chiqamiz:

Biz qaraymiz va xursandmiz.) Muammo bayonotidan summani hisoblash uchun zarur bo'lgan hamma narsani chiqardik:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Elementar arifmetik qoldiqlar. Formuladagi raqamlarni almashtiramiz va hisoblaymiz:

Javob: 1665

Mashhur jumboqlarning yana bir turi:

4. Arifmetik progressiya berilgan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yigirmanchidan oʻttiz toʻrtinchigacha boʻlgan aʼzolar yigʻindisini toping.

Biz yig'indi formulasiga qaraymiz va ... xafa bo'lamiz.) Formula, eslatib o'taman, yig'indini hisoblab chiqadi. birinchidan a'zosi. Va muammoda siz summani hisoblashingiz kerak yigirmanchidan ... Formula ishlamaydi.

Albatta, siz butun progressiyani ketma-ket bo'yashingiz va 20 dan 34 gacha a'zolarni qo'shishingiz mumkin. Lekin ... bu qandaydir ahmoqona va uzoq vaqt talab etadi, shunday emasmi?)

Yana oqlangan yechim bor. Keling, qatorimizni ikki qismga ajratamiz. Birinchi qism bo'ladi birinchi a'zodan o'n to'qqizinchigacha. Ikkinchi qism - yigirmanchidan o'ttiz to'rtinchigacha. Birinchi qism a'zolarining yig'indisini hisoblasak, aniq S 1-19, ha, biz ikkinchi qism shartlarining yig'indisi bilan qo'shamiz S 20-34, biz birinchi haddan o'ttiz to'rtinchigacha progressiyaning yig'indisini olamiz S 1-34... Mana bunday:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bu yig'indini topish kerakligini ko'rsatadi S 20-34 oddiy ayirish bo'lishi mumkin

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

O'ng tomondagi ikkala miqdor ham hisobga olinadi birinchidan a'zosi, ya'ni. standart yig'indi formulasi ular uchun juda mos keladi. Ishni boshlash?

Muammo bayonidan progressiyaning parametrlarini chiqaramiz:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Birinchi 19 va birinchi 34 a'zoning yig'indisini hisoblash uchun bizga 19 va 34 a'zolar kerak bo'ladi. Biz ularni 2-masaladagi kabi n-son formulasi bo'yicha hisoblaymiz:

a 19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Hech narsa qolmadi. Jami 34 a'zodan 19 ta a'zoni ayirish:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Javob: 262.5

Bitta muhim eslatma! Bu muammoni hal qilishda juda foydali hiyla bor. To'g'ridan-to'g'ri hisob-kitob o'rniga sizga kerak bo'lgan narsa (S 20-34), hisobladik nima kerak emasga o'xshaydi - S 1-19. Va shundan keyingina ular aniqladilar va S 20-34, to'liq natijadan keraksizlarni olib tashlash. Ushbu "quloq bilan hiyla" ko'pincha yomon vazifalarni saqlaydi.)

Ushbu darsda biz muammolarni ko'rib chiqdik, ularni hal qilish uchun arifmetik progressiya yig'indisining ma'nosini tushunish kifoya. Xo'sh, siz bir nechta formulalarni bilishingiz kerak.)

Amaliy maslahat:

Arifmetik progressiya yig'indisi uchun har qanday muammoni hal qilishda men darhol ushbu mavzudan ikkita asosiy formulani yozishni tavsiya qilaman.

n-sonning formulasi:

Ushbu formulalar sizga muammoni hal qilish uchun nimani izlash, qaysi yo'nalishda o'ylash kerakligini darhol aytib beradi. Bu yordam beradi.

Va endi mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

5. Uchga boʻlinmaydigan barcha ikki xonali sonlar yigʻindisini toping.

Zo'rmi?) Maslahat 4-topshiriq eslatmasida yashiringan. Xo'sh, 3-topshiriq yordam beradi.

6. Arifmetik progressiya shart bilan aniqlanadi: a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Birinchi 24 a'zoning yig'indisini toping.

Noodatiymi?) Bu rekursiv formula. Bu haqda oldingi darsda o'qishingiz mumkin. Havolani e'tiborsiz qoldirmang, bunday vazifalar ko'pincha GIAda topiladi.

7. Vasya bayram uchun pul yig'di. 4550 rublgacha! Va men eng sevimli odamimga (o'zimga) bir necha kun baxt berishga qaror qildim). O'zingizdan hech narsani inkor etmasdan chiroyli yashash. Birinchi kunida 500 rubl sarflang va har bir keyingi kuni oldingisiga qaraganda 50 rubl ko'proq sarflang! Pul taklifi tugamaguncha. Vasya necha kun baxtga erishdi?

Qiyinmi?) 2-muammodan qo'shimcha formula yordam beradi.

Javoblar (tartibsiz): 7, 3240, 6.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollar yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Darhol tasdiqlash testi. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Yoki arifmetika tartiblangan sonlar ketma-ketligining bir turi boʻlib, uning xossalari maktab algebrasi kursida oʻrganiladi. Ushbu maqolada arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topish masalasi batafsil muhokama qilinadi.

Bu qanday taraqqiyot?

Savolni ko'rib chiqishni davom ettirishdan oldin (arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topish mumkin), nima muhokama qilinishini tushunish kerak.

Har bir oldingi sondan qandaydir qiymatni qo'shish (ayirish) natijasida olingan haqiqiy sonlarning har qanday ketma-ketligi algebraik (arifmetik) progressiya deb ataladi. Matematika tiliga tarjima qilingan ushbu ta'rif quyidagi shaklni oladi:

Bu yerda i qator elementining tartib raqami a i. Shunday qilib, faqat bitta urug'ni bilib, siz butun seriyani osongina qayta tiklashingiz mumkin. Formuladagi d parametr progressiya farqi deb ataladi.

Ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatori uchun quyidagi tenglik mavjudligini osongina ko'rsatish mumkin:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Ya'ni, n-elementning qiymatini tartibda topish uchun birinchi a elementga 1 n-1 marta ayirma d qo'shiladi.

Arifmetik progressiya yig‘indisi nimaga teng: formula

Ko'rsatilgan miqdor uchun formulani berishdan oldin, oddiy narsani ko'rib chiqishga arziydi maxsus holat... Natural sonlarning 1 dan 10 gacha progressiyani hisobga olib, ularning yig‘indisini topish kerak. Progressiyada (10) a'zolar kam bo'lganligi uchun masalani birma-bir yechish, ya'ni barcha elementlarni tartibda yig'ish mumkin.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Birini ko'rib chiqishga arziydi qiziq narsa: har bir atama keyingisidan bir xil qiymat bilan farq qilganligi uchun d = 1, u holda birinchisini o'ninchi bilan, ikkinchisini to'qqizinchi bilan va hokazolarni juftlik bilan yig'ish bir xil natija beradi. Haqiqatan ham:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Ko'rib turganingizdek, bu summalarning faqat 5 tasi bor, ya'ni seriyadagi elementlar sonidan roppa-rosa ikki baravar kam. Keyin yig'indilar sonini (5) har bir summaning (11) natijasiga ko'paytirsangiz, birinchi misolda olingan natijaga erishasiz.

Agar bu fikrni umumlashtirsak, quyidagi ifodani yozishimiz mumkin:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Bu ibora shuni ko'rsatadiki, ketma-ket barcha elementlarni jamlash umuman shart emas, birinchi a 1 va oxirgi a n qiymatini bilish kifoya. jami atamalar n.

Gauss bu tenglik haqida birinchi marta uning berilgan yechimini izlayotganda o'ylagan deb ishoniladi maktab o'qituvchisi vazifa: birinchi 100 ta butun sonni qo'shing.

m dan n gacha bo'lgan elementlar yig'indisi: formula

Oldingi paragrafda keltirilgan formula arifmetik progressiyaning yig’indisini (birinchi elementlar) qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob beradi, lekin ko’pincha masalalarda progressiyaning o’rtasida joylashgan sonlar qatorini umumlashtirish kerak bo’ladi. Buni qanday qilish kerak?

Bu savolga javob berishning eng oson yo'li quyidagi misolni ko'rib chiqishdir: m-dan n-gacha bo'lgan hadlar yig'indisini topish kerak bo'lsin. Muammoni hal qilish uchun progressiyaning m dan n gacha bo'lgan berilgan segmenti yangi sonli qator shaklida taqdim etilishi kerak. Bunday holda mthning ifodalanishi a m terimi birinchi bo'ladi, a n esa n- (m-1) bo'ladi. Bunday holda, yig'indining standart formulasini qo'llash orqali siz quyidagi ifodani olasiz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulalardan foydalanishga misol

Arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topishni bilgan holda, berilgan formulalardan foydalanishning oddiy misolini ko'rib chiqishga arziydi.

Quyida sonli ketma-ketlik berilgan, siz uning a'zolarining yig'indisini 5-dan boshlab va 12-chi bilan yakunlashingiz kerak:

Berilgan raqamlar d farqining 3 ekanligini ko'rsatadi. n-element uchun ifodadan foydalanib, progressiyaning 5 va 12-chi hadlari qiymatlarini topish mumkin. Ma'lum bo'lishicha:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Ko'rib chiqilayotgan algebraik progressiyaning oxiridagi raqamlarning qiymatlarini bilish, shuningdek, ular qatordagi qaysi raqamlarni egallashini bilish uchun siz oldingi paragrafda olingan yig'indi uchun formuladan foydalanishingiz mumkin. Bu shunday bo'ladi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu qiymat boshqacha tarzda olinishi mumkin: birinchi navbatda, standart formuladan foydalanib, birinchi 12 elementning yig'indisini toping, so'ngra xuddi shu formuladan foydalanib, birinchi 4 elementning yig'indisini hisoblang, so'ngra birinchi yig'indidan ikkinchisini ayiring.