Kvadrat tenglamalari uchun Vetya teoremasini so'zlash va isbotlash. Vietya teoremasi. Kubik tenglamalar va o'zboshimchalik bilan tartibli tenglamalar uchun vieta teoremasi.

Kvadratli tenglamalar

Vieta teoremasi

Belgilangan kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilang va belgilang
(1) .
Keyin ildizlarning miqdori qarama-qarshi belgisi bilan koeffitsientga teng. Ildizlarning mahsuloti - bu bepul a'zo:
;
.

Bir nechta ildizlarda eslatma

Agar tenglama tenglamasi (1) nolga teng bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega. Ammo katta so'zlashning oldini olish uchun, bu holda, tenglama (1) ikki ko'p yoki teng, ildizga ega deb ishoniladi:
.

Birinchi isbot

Tenglama ildizlarini toping (1). Buning uchun kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni qo'llang:
;
;
.

Biz ildizlarning miqdorini topamiz:
.

Ish topish uchun formulani qo'llang:
.
Keyin

.

Teorema isbotlangan.

Ikkinchi dalil

Agar raqamlar kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa (1), keyin
.
Qavslarni oching.

.
Shunday qilib, tenglama (1) shaklni oladi:
.
(1) bilan taqqoslash:
;
.

Teorema isbotlangan.

Teskari Vietya teorema

O'zboshimchalik bilan raqamlar bo'lsin. Keyin kvadrat tenglamaning ildizlari
,
Qayerda
(2) ;
(3) .

Teskari teoremaning isboti

O'ylab ko'ring kvadratli tenglama
(1) .
Agar ikkalasi ham tenglamaning ildizi bo'lsa, buni isbotlashimiz kerak.

O'rnini bosuvchi (2) va (3) ichkarida:
.
Tenglamaning chap qismi a'zolari guruhi:
;
;
(4) .

(4) o'rnini bosuvchi
;
.

(4) o'rnini bosuvchi
;
.
Tenglama amalga oshiriladi. Ya'ni, raqam tenglamaning ildizidir (1).

Teorema isbotlangan.

To'liq kvadrat tenglama uchun Vetya teoremasi

Endi to'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(5) ,
Qayerda va ba'zi raqamlar mavjud. Va.

Biz (5) tenglamani (5) dosh qilamiz:
.
Ya'ni bir xil tenglamani oldik
,
qayerda; .

Keyin to'liq kvadrat tenglama uchun Viet'ing teoremasi quyidagi shaklga ega.

To'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini bering va belgilang
.
Keyin ildizlarning miqdori va mahsuloti formulalar tomonidan belgilanadi:
;
.

Kub tenglama uchun Vieta teoremasi

Xuddi shunday, biz kubik tenglamaning ildizlari orasidagi havolalarni o'rnatamiz. Kubik tenglamani ko'rib chiqing
(6) ,
Qayerda ,,, ba'zi raqamlar mavjud. Va.
Biz ushbu tenglamani quyidagicha ajratamiz:
(7) ,
qayerda,
(7) tenglamaning ildizlari (va tenglamalar). Keyin

.

(7) tenglama bilan taqqoslaymiz:
;
;
.

N-TG darajasi tenglama uchun Vetya teoremasi

Xuddi shu tarzda, siz ildizlar ,,, ..., tenglama uchun ulanishni topishingiz mumkin nIBR
.

Vieta teoremasi uchun n-Teclamalar Ilmiy darajasi quyidagicha:
;
;
;

.

Ushbu formulalarni olish uchun biz quyidagi shakldagi tenglamani yozamiz:
.
Keyin biz koeffitsientlarni qachon ,,, ... va bepul a'zoni solishtiramiz.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Xizmatkorlar muhandis va talabalari uchun matematika va talabalar uchun matematika bo'yicha ma'lumotnoma, "LAN", 2009 yil.
SM. Nikolskiy, mk Potapov va boshqalar., Algebra: Umumiy ta'lim muassasalari, 2006 yil.

Kvadrat tenglamaning echimlarining usullaridan biri bu ariza vietsa formulalariFransua Vetya sharafiga chaqirilgan.

U taniqli advokat va XVI asrda frantsuz shohida xizmat qilgan. Ichida bo'sh vaqt Astronomiya va matematika bilan shug'ullanish. Bu kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatdi.

Formulaning afzalliklari:

1 . Formulalarni qo'llash, siz tezda echimni topishingiz mumkin. Maydonda ikkinchi koeffitsientni kiritishingiz shart emas, so'ng undan 4asni ajratib oling, kamsiting, kamsiting, ildizlarni topish uchun formulani almashtirish uchun.

2 . Siz echimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz, ildizlarning qiymatlarini olishingiz mumkin.

3 . Ikkala yozuv tizimini tanlash, ildizlarni o'zlari topish juda oson. Hozirgi maydon tenglamada ildizlar miqdori ikkinchi koeffitsientning qiymatiga teng minus belgisi bilan teng. Belgilangan kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.

4 . Ildizlariga ko'ra, qarama-qarshi vazifani hal qilish uchun kvadrat tenglama yozing. Masalan, ushbu usul nazariy mexanikaning muammolarini hal qilishda qo'llaniladi.

5 . Katta kattaroq koeffitsienti bittaga teng bo'lganda formuladan foydalanish qulay.

Kamchiliklari:

1 . Formulalar universal emas.

Vieta teoreem 8-sinf

Formula
Agar x 1 va x 2 ushbu kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q \u003d 0 bo'lsa, keyin:

Misollar
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ni kiritish ildizlari.

P \u003d -2, q \u003d -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 \u003d -1 3 \u003d -3 \u003d Q.

Teskari teskar

Formula
Agar raqamlar x 1, x 2, p, Q shartlari bilan bog'liq bo'lsa:

X 1 va x 2 bu x 2 + px + ha 0 tenglamaning ildizlari.

Misol
Keling, uning ildizlari uchun kvadrat tenglamasini amalga oshiramiz:

X 1 \u003d 2 -? 3 va x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p \u003d -4; Q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Kerakli tenglama: x 2 - 4x + 1 \u003d 0.

Birinchi daraja

Kvadratli tenglamalar. To'liq qo'llanma (2019)

"Kvadrat tenglama" jihatidan kalit "maydon" so'zi. Bu o'zgaruvchi maydondagi tenglamada (bir xil IX) tenglamada bo'lishi kerak va uchinchi (va undan yuqori) darajadagi fan bo'lishi kerak.

Ko'p tenglamalarning echimi aniq kvadrat tenglamalarni echishga qisqartirildi.

Keling, biz kvadrat tenglama borligini va boshqa emasligini aniqlaylik.

1-misol.

Denominatorga teng va denominatorning har bir a'zosi

Biz hamma narsani chapga o'tkazamiz va a'zolarga ICA darajalarida belgilangan tartibda joylashtiramiz

Endi bu tenglama maydoni ekanligiga ishonch bilan aytishingiz mumkin!

2-misol.

Leyeva I. o'ng taraf ustida:

Bu tenglama, bu dastlabki bo'lsa ham, kvadrat emas!

3-misol.

Hammasi:

Qo'rqinchli? To'rtinchi va ikkinchi darajali ... Ammo, agar biz almashtirsak, unda bizda oddiy kvadrat tenglama borligini ko'ramiz:

4 misol.

Aftidan, lekin diqqat bilan qaraylik. Biz hamma narsani chapga o'tkazamiz:

Qarang, kamaydi - va endi bu oddiy chiziqli tenglama!

Endi quyidagi tenglamalarning qaysi biri kvadrat ekanligingizni aniqlashga harakat qiling va u hech:

Misollar:

Javoblar:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. kvadrat emas;
4. kvadrat emas;
5. kvadrat emas;
6. kvadrat;
7. kvadrat emas;
8. kvadrat.

Matematika an'anaviy ravishda barcha kvadrat tenglamalarni turiga ajratadi:

• To'liq kvadrat tenglamalar - koeffitsient va erkin a'zodagi tenglamalar nolga teng emas (masalan,). Bundan tashqari, to'rtta maydon tenglamalari orasida ajratilgan taqdim etilgan - Bular koeffitsient (namunaning tenglamasi nafaqat to'liq, balki beriladigan tenglamalardir!)

• To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar - Koeffitsient va bepul a'zo bo'lgan tenglamalar nolga teng:

  To'lama, chunki ular biron bir narsa etishmayapti. Ammo tenglama har doim maydonda bo'lishi kerak !!! Aks holda, u kvadrat bo'lmaydi, lekin boshqa boshqa tenglama.

Nega bunday bo'linma bilan keldingiz? Maydonda x bor va yaxshi ko'rinadi. Bunday bo'linma echimlar usullari bilan bog'liq. Ularning har birini batafsil ko'rib chiqing.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining qarori

Avvaliga biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarini echishda to'xtab turamiz - ular ancha sodda!

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar turlari:

1. Ushbu tenglamada koeffitsienti tengdir.
2. Ushbu tenglamada bepul a'zo teng.
3. Ushbu tenglamada koeffitsient va bepul a'zo teng.

1. va. Kvadrat ildizni qanday chiqarishni bilganimizdek, keling, ushbu tenglamadan ifodalaylik

Shakl salbiy va ijobiy bo'lishi mumkin. Maydonga o'rnatilgan raqam salbiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita salbiy yoki ikkita ijobiy raqamni ko'paytirish bilan - natija har doim ijobiy raqam bo'ladi, agar tenglama echim bo'lmasa.

Va agar siz ikkita ildizni olsangiz. Ushbu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Siz bilishingiz va eslashingiz kerak bo'lgan asosiy narsa, har doim bu kam bo'lmasligi mumkin.

Keling, bir nechta misollarni hal qilishga harakat qilaylik.

5-misol:

Tenglamani hal qiling

Endi u chap va o'ng tomondan olib tashlanadi. Axir, ildizlarni qanday olish kerakligini eslaysizmi?

Javob:

Salbiy belgi bilan ildizlarni hech qachon unutmang !!!

6-misol:

Tenglamani hal qiling

Javob:

7-misol:

Tenglamani hal qiling

Oh! Raqamning kvadrat salbiy bo'lishi mumkin emas, bu tenglamani anglatadi

ildiz yo'q!

Ildizlari yo'q, matematika maxsus ikonka - (bo'sh to'plam) bilan chiqadi. Va javob yozilishi mumkin:

Javob:

Shunday qilib, ushbu maydon tenglamasi ikkita ildizga ega. Bu erda hech qanday cheklovlar yo'q, chunki biz ildizni olib tashlamadik.
8-misol:

Tenglamani hal qiling

Men qavslarni umumlashtiraman:

Shunday qilib,

Ushbu tenglama ikkita ildizga ega.

Javob:

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning eng oson turi (garchi ular oddiy, to'g'ri?). Shubhasiz, bu tenglama har doim bitta ildizga ega:

Bu erda biz misolsiz qilamiz.

To'liq kvadrat tenglamalarini hal qilish

Sizga shuni eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglamasi bu tenglamaning tenglamaidir

To'liq kvadrat tenglamalarining echimi yuqoridagilarga qaraganda biroz murakkab (juda oz).

Esda tuting, har qanday kvadrat tenglamani kamsitish yordamida hal qilish mumkin! Hatto to'liq emas.

Qolgan yo'llarning qolgan qismi buni tezroq qilishga yordam beradi, ammo agar sizda kvadrat tenglamalari bilan bog'liq muammolar bo'lsa, echim kamsitish yordami bilan chaqiriladi.

1. Kvadrat tenglamalarini kamsituvchi yordamida hal qilish.

Kvadrat tenglamalarining echimi bu juda oddiy, asosiysi harakatlarning ketma-ketligini va bir-ikki formulalarni eslab qolishdir.

Agar, tenglama ildiz otgan bo'lsa maxsus e'tibor Qadam qo'ying. Kamsitchi () bizni tenglamaning ildizlari soni bo'yicha ko'rsatadi.

• Agar, keyin formulaga qisqartirilsa. Shunday qilib, tenglama butun ildizga ega bo'ladi.
• Agar biz kamsituvchilardan ildizni bosqichma-bosqich chiqarib olmaymiz. Bu shuni ko'rsatadiki, tenglama ildizlarga ega emas.

Keling, tenglamalarimizga qaytamiz va bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

9-misol:

Tenglamani hal qiling

1-qadam O'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Biz kamsituvchi deb bilamiz:

Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega.

3-qadam.

Javob:

10-misol:

Tenglamani hal qiling

Tenglama standart shaklda keltirilgan, shuning uchun 1-qadam O'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Biz kamsituvchi deb bilamiz:

Shunday qilib, tenglama bitta ildizga ega.

Javob:

11-misol:

Tenglamani hal qiling

Tenglama standart shaklda keltirilgan, shuning uchun 1-qadam O'tkazib yuboramiz.

2-qadam.

Biz kamsituvchi deb bilamiz:

U kamsituvchilardan ildizni chiqara olmaydi. Tenglamaning ildizlari mavjud emas.

Endi biz bunday javoblarni to'g'ri yozishni bilamiz.

Javob:Ildizlari yo'q

2. Vieta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarini hal qilish.

Agar eslasangiz, ya'ni taqdim etilgan tenglamalarning bunday turi (bir guruh koeffitsienti teng bo'lsa):

Veta teoremasi yordamida hal qilish juda oson.

Ildizlarning yig'indisi belgilangan Kvadrat tenglamasi teng va ildizlarning mahsuloti tengdir.

12-misol:

Tenglamani hal qiling

Veta teoremasi yordamida bu tenglamani hal qilish uchun mos keladi, chunki .

Tenglamaning ildizlari miqdori teng, i.e. Biz birinchi tenglamani olamiz:

Va ish:

Shuningdek, tizimni ham hal qilamiz:

• va. Miqdori teng;
• va. Miqdori teng;
• va. Miqdori tengdir.

va tizimning echimi:

Javob: ; .

13-misol:

Tenglamani hal qiling

Javob:

14-misol:

Tenglamani hal qiling

Tenglama beriladi va shuning uchun:

Javob:

Kvadratli tenglamalar. O'RTACHA DARAJASI

Kvadrat tenglama nima?

Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglamasi noma'lum bo'lgan turlarning tenglamaidir va.

Raqami oqsoqol yoki deyiladi birinchi koeffitsient Kvadrat tenglamasi - ikkinchi koeffitsient, lekin - bepul a'zo.

Nima uchun? Chunki agar tenglama darhol chiziqli bo'lsa, yo'qoladi.

Bir vaqtning o'zida, va nol bo'lishi mumkin. Ushbu kursda tenglama to'liq emas deb nomlanadi. Agar barcha tarkibiy qismlar bo'lsa, ya'ni tenglama to'liqdir.

Har xil kvadrat tenglamalarning echimlari

To'liq bo'lmagan kvadrat tengorlarini echish usullari:

Avvalambor, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarining echimlarining usullarini tahlil qilamiz - ular osonroq.

Siz bunday tenglamalarning turini tanlashingiz mumkin:

I., Bu tenglamada koeffitsient va bepul a'zo teng.

II. Ushbu tenglamada koeffitsienti tengdir.

III. Ushbu tenglamada bepul a'zo teng.

Endi ushbu subtypesning har birining echimini ko'rib chiqing.

Shubhasiz, bu tenglama har doim bitta ildizga ega:

Maydonga o'rnatilgan raqam salbiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikki salbiy yoki ikkita ijobiy raqamni ko'paytirish bilan, natijada har doim ijobiy raqam bo'ladi. Shuning uchun:

agar, tenglama echim bo'lmasa;

agar biz ikkita ildizni o'rgansak

Ushbu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Esda tutadigan asosiy narsa kam emas.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Salbiy belgisi bo'lgan ildizlarni hech qachon unutmang!

Raqamning kvadrat salbiy bo'lishi mumkin emas, bu tenglamani anglatadi

ildizlari yo'q.

Vazifani hech qanday echim yo'qligini qisqacha qayd etish uchun bo'sh to'plamni ishlating.

Javob:

Shunday qilib, bu tenglama ikkita ildizga ega: va.

Javob:

Men kavraultlar uchun zavodni umumlashtiraman:

Mahsulot nolga teng bo'lsa, kamida bir nechta multiplier nolga teng bo'lsa. Bu shuni anglatadiki, tenglama qachon echim bo'ladi:

Shunday qilib, ushbu maydon tenglamasi ikkita ildizga ega: va.

Misol:

Tenglamani belgilang.

Qaror:

Zavod tenglamasining chap qismini yoyib oling va ildizlarni toping:

Javob:

To'liq kvadrat tenglamalarni echish usullari:

1. kamsituvchi

Kvadrat tenglamalarini shu tarzda hal qilish oson, asosiysi harakatlarning ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslashdir. Yodingizda bo'lsin, kamsitish yordamida har qanday kvadrat tenglamani hal qilish mumkin! Hatto to'liq emas.

Ildiz formulasida kamsituvchilarning ildizini payqadingizmi? Ammo kamsituvchi salbiy bo'lishi mumkin. Nima qilish kerak? Biz 2-bosqichga alohida e'tibor qaratishimiz kerak. Kirliklagichi bizni tenglamaning ildizlari soni bo'yicha ko'rsatadi.

• Agar tenglama ildiz bo'lsa:
• Agar tenglama bir xil ildizga ega bo'lsa va aslida bitta ildiz bo'lsa:

  Bunday ildizlar juft deb nomlanadi.

• Agar kamsituvchilarning ildizi olib tashlanmasa. Bu shuni ko'rsatadiki, tenglama ildizlarga ega emas.

Nega har xil ildizlarning soni mumkin? Keling, kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosiga murojaat qilaylik. Funktsiya grafigi Parabola:

Ma'lum bir holatda, bu kvadrat tenglama. Va bu kvadrat tenglamaning ildizlari xo'ppoz nuqtalari varissa (o'q) ning o'qi bilan kesishish nuqtai nazaridir. Parabola umuman o'qni kesib o'tolmasligi yoki uni birida kesib o'tolmasligi mumkin (parabolaning yuqori qismi o'qda yotqizilganda) yoki ikkita nuqtada.

Bundan tashqari, parabola filiallarining yo'nalishi uchun koeffitsient javobgardir. Agar parabola filiallari yuqoriga yo'naltirilgan bo'lsa, agar u pastga bo'lsa.

Misollar:

Yechimlar:

Javob:

Javob :.

Javob:

Shunday qilib, echimlar yo'q.

Javob :.

2. Vieta teoremasi

Vetnaning teoremasi juda oson: siz shunchaki tenglamaning bepul a'zosiga teng bo'lgan bunday bir nechta raqamlarni olishingiz kerak, shunda bu tenglamaning bepul a'zosiga teng, va miqdor qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsient hisoblanadi.

Vietaning nazariyasini faqat foydalanish mumkinligini yodda tutish kerak kamaytirilgan kvadrat tenglamalar ().

Bir nechta misollarni ko'rib chiqing:

1-misol:

Tenglamani belgilang.

Qaror:

Veta teoremasi yordamida bu tenglamani hal qilish uchun mos keladi, chunki . Qolgan koeffitsientlar:; .

Tenglamaning ildizlari miqdori:

Va ish:

Biz bunday juft raqamlarni tanlaymiz, uning mahsuloti teng va ularning summasi tengligini tekshiramiz:

• va. Miqdori teng;
• va. Miqdori teng;
• va. Miqdori tengdir.

va tizimning echimi:

Shunday qilib, bizning tenglamaimizning ildizlari.

Javob :; .

2-misol:

Qaror:

Biz ishda berilgan raqamlarni tanlaymiz va ularning summasi tengligini tekshiramiz:

va: beradigan miqdorda.

va: beradigan miqdorda. Aytilgan ildizlarning belgilarini o'zgartirish uchun etarlicha erishish uchun: va ish.

Javob:

3-misol:

Qaror:

Tenglamaning bepul a'zosi salbiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti - salbiy raqam. Bu faqat ildizlardan biri salbiy bo'lsa, ikkinchisi ijobiy bo'lsa. Shuning uchun ildizlarning miqdori tengdir ularning modullarining farqlari.

Biz ishda berilgan raqamlarni va ularning farqi quyidagi raqamlarni tanlaymiz:

va: ularning farqi tengdir - mos emas;

va: - mos emas;

va: - mos emas;

va: - mos. Ildizlardan biri salbiy ekanligini unutmang. Ularning miqdori teng bo'lishi kerakligi sababli, salbiy kichikroq ildiz modul bo'lishi kerak:. Tekshirish:

Javob:

4-misol:

Tenglamani belgilang.

Qaror:

Tenglama beriladi va shuning uchun:

Bepul a'zo salbiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti salbiy. Va bu faqat tenglamaning bitta ildizi salbiy bo'lsa, boshqasi ijobiy bo'lsa.

Biz bunday juft raqamlarni tanlaymiz, uning mahsuloti teng, keyin qaysi ildizlarning salbiy belgisi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:

Shubhasiz, faqat ildizlar birinchi shart uchun mos va:

Javob:

5-misol:

Tenglamani belgilang.

Qaror:

Tenglama beriladi va shuning uchun:

Ildizlarning miqdori salbiy, ya'ni ildizlardan kamida bittasi salbiy ekanligini anglatadi. Ammo ularning ishi ijobiy bo'lsa, bu minus belgisi bilan ildizni anglatadi.

Biz bunday juftlarni tanlaymiz, uning mahsuloti:

Shubhasiz, ildizlar soni va.

Javob:

Qabul qilaman, bu yoqimsiz diskrinni hisobga olishning o'rniga, og'zaki ravishda ildizlarini ixtiro qilish juda qulaydir. Viet'ing teoremasini iloji boricha ishlatishga harakat qiling.

Ammo ildizlarning ajrini olish va tezlashtirish uchun Vieta teoremasi kerak. Sizdan foydalanishda yordam berish uchun siz avtomatizmga harakat qilishingiz kerak. Va buning uchun misollarning taxtasi. Ammo taraqqiyot emas: kamsituvchilardan foydalanib bo'lmaydi! Faqat Vieta teoremasi:

Mustaqil ish uchun vazifa echimlari:

Vazifa 1. (x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vetya teoremasiga:

Odatdagidek, biz ishni tanlashni boshlaymiz:

Miqdoriga mos kelmaydi;

: Miqdor - sizga kerak bo'lgan narsa.

Javob :; .

2-vazifa.

Va yana, bizning eng sevimli Vieta Teorem: Miqdor bo'lsa, ish tengdir.

Ammo bo'lmasligi kerak bo'lgani uchun, lekin ildizlarning belgilarini o'zgartiring: (miqdorda).

Javob :; .

3-vazifa.

Hmm ... va nima o'zi?

Barcha shartlarni bir qismdan o'tkazish kerak:

Ildiz miqdori teng, ish.

Shunday qilib, to'xtang! Tenglama berilmaydi. Ammo Vetya teoremasi faqat yuqoridagi tenglamalarda qo'llaniladi. Shunday qilib, avval siz tenglamani olib kelishingiz kerak. Agar siz ishlamasangiz, ushbu g'oyani tashlang va boshqacha qaror qiling (masalan, kamsituvchi orqali). Sizga shuni eslatib o'ting, bu kvadrat tenglamani olib keladi - bu katta koeffitsientni berishni anglatadi:

A'lo. Keyin ildizlarning miqdori teng va ish.

Bu erda oddiy olish osonroq: Axir, oddiy raqam (tautologiyas uchun uzr).

Javob :; .

4-vazifa.

Bepul a'zo salbiy. Bunda nimada? Va ildizlar turli xil belgilar bo'lishini anglatadi. Va endi tanlov davomida biz ildizlarning miqdorini tekshirmaymiz, ammo ularning modullari o'rtasidagi farq: Bu farq teng va ish.

Shunday qilib, ildizlar teng va ulardan biri minus bilan. Vetya Teorem bizga ildizlarning miqdori bir-biriga qarama-qarshi belgi bilan teng bo'lgan ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi. Shuning uchun minus kichikroq ildizda bo'ladi: va shu sababli.

Javob :; .

5-band.

Avval nima qilish kerak? To'g'ri, tenglamani olib keling:

Yana: biz sonning ko'paytirgichini tanlaymiz va ularning farqi teng bo'lishi kerak:

Ildizlar teng va lekin ulardan biri minus bilan. Nima? Ularning miqdori bir xil bo'lishi kerak, bu minus kattaroq ildiz bo'lishi kerak.

Javob :; .

Men umumlashtiraman:

1. Vieta teoremasi faqat ushbu maydon tenglamalarida qo'llaniladi.
2. Veta teoremasi yordamida siz tanlangan, og'zaki ravishda ildizlarni topishingiz mumkin.
3. Agar tenglama berilmasa yoki bepul a'zoning ko'paytirgich bo'lmasa yoki munosib bir guruhning ko'paytirgich bo'lmasa, unda boshqa usul yo'qligini anglatadi va boshqa usulni hal qilish kerak (masalan, kamsituvchi).

3. To'liq kvadratni ajratish usuli

Agar noma'lum narsani o'z ichiga olgan bo'lsa, summani yoki farq summasining tarkibiy qismlarini taqdim etsa, unda o'zgargichlarni almashtirishning tarkibiy qismlarini taqdim etish, bu turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama shaklida teng bo'linishi mumkin .

Masalan:

1-misol:

Tenglamani hal qiling:.

Qaror:

Javob:

2-misol:

Tenglamani hal qiling:.

Qaror:

Javob:

Ichida umumiy Transformatsiya quyidagicha ko'rinadi:

Bu quyidagi ma'noni anglatadi:.

Hech narsa eslatmaydimi? Bu kamsituvchi! Bu, kamsitish formulasi va olgan.

Kvadratli tenglamalar. Qisqacha asosiy narsa haqida

Kvadratli tenglama- Bu noma'lum, - noma'lum, - bu maydon tenglamasining koeffitsientlari - bu bepul a'zo.

To'liq kvadrat tenglama koeffitsientlar nolga teng emas.

Kamaytirilgan kvadrat tenglama - Koeffitsientning quyidagicha tenglama:.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama - Koeffitsient va bepul a'zo nolga teng:

• agar koeffitsient bo'lsa, tenglama :,,
• agar bepul a'zo bo'lsa, tenglama shakli:,
• agar tenglama shakli bo'lsa:.

1. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar teng bo'lgan algoritm

1.1. Turlarning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi qaerga:

1) noma'lum narsani ifoda eting:

2) ifoda belgisini tekshirish:

• agar, tenglama echim bo'lsa,
• agar tenglama ikki ildizga ega bo'lsa.

1.2. Turlarning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi qaerga:

1) Men qavslar uchun fabrikani umumlashtiraman:

2) Mahsulot nolga teng bo'lsa, agar kamida bir nechta multipler nolga teng bo'lsa. Shuning uchun tenglama ikkita ildizga ega:

1.3. Turlarning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi, bu erda:

Ushbu tenglama har doim bitta ildizga ega:.

2. Turlarning to'liq kvadrat tenglamasini echish algoritmi qaer qayerdan

2.1. Kamsituvchi yordam bilan echim

1) Biz tenglamani beramiz standart: ,

2) Formulaga muvofiq kamsituvchilarni hisoblang: bu tenglamaning ildizlari sonini ko'rsatadi:

3) tenglamaning ildizlarini toping:

• agar tenglama formulani mavjud bo'lgan ildiz bo'lsa:
• agar, tenglama formulaga tegishli ildizga ega:
• agar tenglama ildizlarga ega bo'lmasa.

2.2. Veta teoremasi yordamida echim

Kamaytirilgan kvadrat tenglamaning ildizlarining summasi (bu erda) teng va ildizlarning mahsuloti teng, i.e. , lekin.

2.3. To'liq kvadrat taqsimot usulini hal qilish

Vetnaning teoremasi (aniqroq, teoremasi, teoremasi, teskari teoremasi) kvadrat tenglamalarini hal qilish uchun vaqtni kamaytiradi. Shunchaki undan foydalanishingiz kerak. Vetya teoremasiga kvadrat tenglamalarini qanday hal qilishni o'rganish mumkin? Agar ozgina pishsak bo'lsa, bu oson.

Endi biz faqat ushbu kvadrat tenglamaning vietaning teoremasining eritmasida gaplashamiz. Yetkazib beriladigan kvadrat tenglama - bu A, ya'ni x² oldidagi koeffitsient bir tenglama. Siz shuningdek Veta teoremasiga kvadrat tenglamalarini hal qilishingiz mumkin emas, lekin kamida bittasi allaqachon butun son emas. Taxmin qilish qiyinroq.

Vietaning teskari teoremasi, deydi: Agar X1 va X2 raqamlari bo'lsa, shunday bo'lsa

keyin x1 va x2 - kvadrat tenglamaning ildizlari

Teoremda kvadrat tenglamani hal qilganda Vieta faqat 4 ta variant. Agar mulohaza yuritishni eslasangiz, butun ildizlarni topish juda tez bilib olish mumkin.

I. Agar q musbat son bo'lsa,

bu shuni anglatadiki, X1 va x2 ning ildizlari bir xil belgining raqamlari (faqat bir xil belgilar bilan raqamlarning ko'payishi ijobiy raqam).

I.A. Agar -p ijobiy raqam bo'lsa, (mos ravishda, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.B. Agar -p salbiy raqam bo'lsa, (mos ravishda, p\u003e 0), keyin ikkala ildiz ham salbiy raqamlardir (bir belgi raqamlari mavjud, salbiy raqam olindi).

II. Agar q salbiy raqam bo'lsa,

bu shuni anglatadiki, x1 va x2 ning ildizlari turli xil belgilarga ega (raqamlarning ko'payishi bilan salbiy sonlar ko'paytirgichlardan turli belgilar mavjud bo'lganda, faqat ishda olinadi). Bunday holda, x1 + x2 endi miqdor emas, balki farq bilan (chunki ular bilan raqamlar qo'shganda) turli xil belgilar Biz kichikroq moduldan kamroq chegiramiz). Shuning uchun, x1 + x2 x1 va x2 ning ildizlari boshqacha, ya'ni, bu boshqa bir ildiz boshqasidan (modul bilan) kattaroq bo'lganligini ko'rsatadi.

II.A. Agar -p ijobiy raqam bo'lsa, (i.e. p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.B. Agar -p salbiy raqam bo'lsa, (P\u003e 0), kattaroq (moduli) ildiz salbiy raqamdir.

Misollar bo'yicha Vetya teoremasiga kvadrat tenglamalarini hal qilishni ko'rib chiqing.

Veta teoremasiga qisqartirilgan kvadrat tenglamani hal qiling:

Bu erda q \u003d 12\u003e 0, shuning uchun x1 va x2 ning ildizlari bitta belgining raqamlari. Ularning miqdori - \u003d 7\u003e 0, shuning uchun ikkala ildiz ijobiy raqamlar. Biz mahsulot 12 va 12, 2 va 6 va 4. ni tashkil etadigan sonlar sonini tanlaymiz. Bu esa 3 va 4 juftlik tenglamaning ildizlari.

Ushbu misolda, q \u003d 16\u003e 0, bu ildizlar x1 va x2 ekanligini anglatadi - bitta belgi raqami. Ularning miqdori - \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Bu erda q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, qancha ko'p bo'lsa, ijobiy. Shunday qilib, ildiz 5 va -3 ga teng.

q \u003d -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Vetya teoremasi ko'pincha allaqachon topilgan ildizlarni tekshirish uchun ishlatiladi. Agar siz ildizlarni topsangiz, formulas \\ (holatlar) dan foydalanishingiz mumkin (holatlar) dan foydalanishingiz mumkin (-P \\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ ning (p \\) qiymatlarini hisoblang (Q \\). Va agar ular manba tenglamadagi kabi bo'lsa, bu ildizlarning to'g'ri topilishini anglatadi.

Masalan, keling, tenglamani (x ^ 2 + x-56 \u003d 0 \\ \u003d (x_1 \u003d 7 \\) ishlatib turamiz: \\ (x_2 \u003d -8 \\). Bizni hal qilish jarayonida xato qilmaganligimizni tekshiring. Bizning holatimizda \\ (p \u003d 1 \\) va \\ (q \u003d -56 \\). Vetnning teoremasi bilan bizda:

\\ (\\ Boshlang'ich (holatlar) x_1 + x_2 \u003d -p \\ x_1 \\ cDOT x_2 \u003d Q \\ (\\ lefthightronow \\ ni (ishlarni boshlaydi (ishlarni boshlaydi) \\ (- 8) \u003d - 1 \\\\ 7 \\ CDOT (-8) \u003d - 56 \\ tugaydi (\\ lefthightrow \\) \\ (ishlarni boshlang (holatlar) \\ (holatlar) - 56 \u003d -56 \\ end (holatlar) \\

Ikkala bayonot ham kelishilgan, demak, biz tenglamani to'g'ri hal qildik.

Bunday tekshiruvni og'zaki ravishda bajarishi mumkin. U 5 soniya davom etadi va sizni ahmoqona xatolardan saqlaydi.

Teskari Vietya teorema

Agar \\ (ish boshlang (holatlar) x_1 + x_2 \u003d -p \\ x_1 \\ cdot x_pot x_pot x_pot x_2 \u003d va \\ yoki \\ yoki \\ yoki \\ yoki \\ ning (x_2 \\) - \\ (x_2 \\) - kvadrat tenglamaning ildizlari (x ^ 2 + px + 0 \\).

Yoki oddiy tarzda: agar sizda ko'rinadigan tenglama bo'lsa, \\ (x ^ 2 + px + 2 \\), keyin tizimni (ishlarni boshlang (holatlar) x_1 + x_ \\ cDOT x_2 \u003d Q \\ end (holatlar) \\) Siz uning ildizlarini topasiz.

Ushbu teorema tufayli siz maydon tenglamaning ildizlarini tezda olishingiz mumkin, ayniqsa agar bu ildiz bo'lsa. Bu mahorat muhim, chunki u ko'p vaqtni tejaydi.

Misol . Tenglamani hal qiling \\ (x ^ 2-5x + 6 \u003d 0 \\).

Qaror : G'arbning teskari teoremadan foydalanib, ildizlar shartlarni qoniqtirsak: \\ (ish boshlaydi) X_1 + x_2 \u003d 5 \\ CDOT x_2 \u003d 6 \\ oxirgi (holatlar).
Tizimning ikkinchi tenglamasini ko'rib chiqing \\ (x_1 \\ cdot x_2 \u003d 6 \\). Siz qaysi ikkita raqamni parchalashingiz mumkin \\ (6 \\)? \\ (2 \\) va \\ (3 \\) va \\ (1 \\) yoki \\ (- 2 \\) va \\ (- 6 \\) va \\ (- 6 \\) bitta \\). Va qanday juftlikni tanlash uchun, birinchi tizim tenglamasi so'raydi: \\ (x_1 + x_2 \u003d 5 \\). Yon \\ (2 \\) va \\ (3 \\), chunki \\ (2 + 3 \u003d 5 \\).
Javob : \\ (x_1 \u003d 2 \\), \\ (x_2 \u003d 3 \\).

Misollar . Vietaning teoremasi, teskari teoremasi yordamida kvadrat tenglama ildizlarini toping:
a) \\ (x ^ 2-15x + 14 \u003d 0 \\); b) \\ (x ^ 2 + 3x-4 \u003d 0 \\); c) \\ (x ^ 2 + 9x + 20 \u003d 0 \\); d) \\ (x ^ 2-88x + 780 \u003d 0 \\).

Qaror :
a) \\ (x ^ 2-15x + 14 \u003d 0 \\) - qanday kamchiliklar paydo bo'ladi? \\ (14 \\)? \\ (2 \\) va \\ (7 \\), \\ (- 1 \\), \\ (- 1 \\) va \\ (1 \\) va \\ (14 \\) va \\ (14 \\) ). Qanday miqdordagi juftliklar \\ (15 \\) beradi? Javob: \\ (1 \\) va \\ (14 \\).

b) \\ (x ^ 2 + 3x-4 \u003d 0 \\) - qaysi omillar bilan bog'liqmi? \\ (- 4 \\)? \\ (- 2 \\) va \\ (2 \\), \\ (4 \\) va \\ (- 1 \\), \\ (1 \\) va \\ (- 4 \\). Qanday miqdordagi raqamlar \\ (- 3 \\) beradi? Javob: \\ (1 \\) va \\ (- 4 \\).

c) \\ (x ^ 2 + 9x + 20 \u003d 0 \\) - qanday kamchiliklar paydo bo'ladi? \\ (20 \\)? \\ (4 \\) va \\ (5 \\), \\ (- 5 \\), \\ (2 \\) va \\ (- 2 \\) va \\ (- 10 \\), \\ (- 20 \\) va \\ (- 1 \\), \\ (20 \\) va \\ (1 \\). Qanday miqdordagi raqamlar \\ (- 9 \\) beradi? Javob: \\ (- 4 \\) va \\ (- 5 \\).

d) \\ (x ^ 2-88x + 780 \u003d 0 \\) - qaysi omillarni ochdi \\ (780 \\)? \\ (390 \\) va \\ (2 \\). Ular (88 \\) berishganmi? Emas. Qaysi omillar bor \\ (780 \\)? \\ (78 \\) va \\ (10 \u200b\u200b\\). Ular (88 \\) berishganmi? Ha. Javob: \\ (78 \\) va \\ (10 \u200b\u200b\\).

Ixtiyoriy ravishda, oxirgi muddat barcha mumkin bo'lgan ko'paytirgichlarga (so'nggi misolda) beradi. Siz darhol ularning summalari yoki yo'qligini tekshirishingiz mumkin.

Muhim! Vieta teoremasi va teskari teskari teskari teskari teskari ishi faqat C, ya'ni (x ^ 2 \\) koeffitsientga teng. Agar biz dastlab tenglama berilmagan bo'lsak, uni oddiy tomondan (x ^ 2 \\) ajratish orqali berishimiz mumkin.

masalan, tenglama \\ (2x ^ 2-4x-6 \u003d 0 \\) ni kiriting va biz VietA teoremalaridan biri bo'lganidan foydalanamiz. Ammo bizdan oldin koeffitsientni (x ^ 2 \\) koeffitsientga teng emas (2 \\). Undan qutuling, butun tenglamani \\ (2 \\) ga bo'linadi.

\\ (2x ^ 2-4x-6 \u003d 0 \\) \\ (|: 2 \\)
\\ (x ^ 2-2x-3 \u003d 0 \\)

Tayyor. Endi siz ikkala teoremalarni ham ishlatishingiz mumkin.

Tez-tez beriladigan savollarga javoblar

Savol: Veta teoremasiga, siz har qanday narsani hal qilishingiz mumkinmi?
Javob: Afsuski yo'q. Agar tenglama butun son bo'lmasa yoki tenglama umuman ildiz bo'lmasa, Vieta teoremasi yordam bermaydi. Bunday holda, siz foydalanishingiz kerak kamsinachi . Yaxshiyamki, maktab matematika kursidagi tenglamalarning 80% echimlarga ega.