Arifmetik progressiya muammolari qadimgi davrlarda ham mavjud edi. Ular paydo bo'lib, amaliy ehtiyojga ega bo'lganligi sababli yechim talab qilishdi.

Shunday qilib, matematik mazmunga ega bo'lgan Qadimgi Misr papiruslaridan birida - Rhind papirusida (miloddan avvalgi XIX asr) quyidagi muammo bor: o'n o'lchov nonni o'n kishiga bo'ling, agar ularning har biri orasidagi farq bitta bo'lsa. - o'lchovning sakkizdan bir qismi."

Qadimgi yunonlarning matematik asarlarida esa arifmetik progressiyaga oid nafis teoremalar mavjud. Shunday qilib, Iskandariya Gipsiklari (II asr, ko'plab qiziqarli masalalarni tuzgan va Evklidning "Prinsiplari" ga o'n to'rtinchi kitobni qo'shgan, g'oyani shakllantirgan: "Juft sonli a'zolarga ega bo'lgan arifmetik progressiyada ikkinchi a'zolarning yig'indisi. yarmi kvadrat boshiga birinchi yarmi a'zolarining yig'indisidan kattaroqdir 1/2 a'zolar soni ".

Ketma-ketlik a bilan belgilanadi. Ketma-ketlik raqamlari uning a'zolari deb ataladi va odatda bu a'zoning tartib raqamini ko'rsatadigan indeksli harflar bilan belgilanadi (a1, a2, a3 ... o'qing: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" va boshqalar).

Ketma-ketlik cheksiz yoki chekli bo'lishi mumkin.

Bu nima arifmetik progressiya? Bu oldingi hadni (n) bir xil d soniga qo'shish orqali olingan deb tushuniladi, bu progressiyaning farqidir.

Agar d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 bo'lsa, bu progressiya ortib borayotgan deb hisoblanadi.

Arifmetik progressiya, agar uning bir nechta birinchi a'zolari hisobga olinsa, chekli deb ataladi. Juda bilan katta raqam a'zolar allaqachon cheksiz taraqqiyotdir.

Har qanday arifmetik progressiya quyidagi formula bilan aniqlanadi:

an = kn + b, b va k esa ba'zi raqamlardir.

Qarama-qarshi fikr mutlaqo to'g'ri: agar ketma-ketlik shunga o'xshash formula bilan berilgan bo'lsa, u quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan aniq arifmetik progressiyadir:

1. Progressiyaning har bir a'zosi oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.
2. Buning aksi: agar 2-dan boshlab, har bir atama oldingi va keyingi arifmetik o'rtacha bo'lsa, ya'ni. agar shart bajarilsa, bu ketma-ketlik arifmetik progressiyadir. Bu tenglik ham progressiyaning belgisidir, shuning uchun u odatda progressiyaning xarakterli xususiyati deb ataladi.
   Xuddi shunday, bu xossani aks ettiruvchi teorema ham to‘g‘ri: ketma-ketlik arifmetik progressiya bo‘ladi, agar bu tenglik ketma-ketlikning 2-dan boshlab har qanday a’zosi uchun to‘g‘ri bo‘lsa.

Arifmetik progressiyaning ixtiyoriy to‘rt soniga xos xususiyatni an + am = ak + al formulasi bilan ifodalash mumkin, agar n + m = k + l bo‘lsa (m, n, k progressiyaning sonlari).

Arifmetik progressiyada har qanday zaruriy (N-chi) hadni quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Masalan: arifmetik progressiyadagi birinchi had (a1) berilgan va uchga teng, ayirma (d) esa to‘rtga teng. Ushbu progressiyaning qirq beshinchi hadini topishingiz kerak. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

An = ak + d (n - k) formulasi aniqlash imkonini beradi n-chi muddat arifmetik progressiya, agar ma'lum bo'lsa, uning har qanday k-chi hadlari orqali.

Arifmetik progressiya a'zolarining yig'indisi (yakuniy progressiyaning 1-n a'zosini bildiradi) quyidagicha hisoblanadi:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Agar birinchi atama ham ma'lum bo'lsa, hisoblash uchun boshqa formula qulaydir:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

n ta aʼzodan iborat arifmetik progressiya yigʻindisi quyidagicha hisoblanadi:

Hisoblash uchun formulalarni tanlash muammolarning shartlariga va dastlabki ma'lumotlarga bog'liq.

1,2,3, ..., n, ... kabi har qanday sonlarning natural qatorlari eng oddiy misol arifmetik progressiya.

Arifmetik progressiya bilan bir qatorda o'ziga xos xususiyat va xususiyatlarga ega bo'lgan geometrik ham mavjud.

Arifmetik progressiya raqamlar ketma-ketligi (progressiya a'zolari) deb ataladi.

Bunda har bir keyingi atama oldingisidan yangi atama bilan farqlanadi, u ham deyiladi qadam yoki progressiya farqi.

Shunday qilib, progressiyaning bosqichini va uning birinchi muddatini belgilab, siz uning istalgan elementini formula bo'yicha topishingiz mumkin

Arifmetik progressiyaning xossalari

1) arifmetik progressiyaning ikkinchi sonidan boshlab har bir a'zosi progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.

Qarama-qarshilik ham to'g'ri. Agar progressiyaning qo‘shni toq (juft) a’zolarining o‘rtacha arifmetik qiymati ular orasidagi hadga teng bo‘lsa, u holda bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya hisoblanadi. Ushbu bayonot har qanday ketma-ketlikni tekshirishni juda oson qiladi.

Shuningdek, arifmetik progressiya xususiyatiga ko‘ra yuqoridagi formulani quyidagilarga umumlashtirish mumkin

Agar shartlarni teng belgining o'ng tomoniga yozsak, buni tekshirish oson

Ko'pincha amaliyotda muammolarda hisoblashni soddalashtirish uchun ishlatiladi.

2) arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisi formula bo’yicha hisoblanadi

Arifmetik progressiya yig'indisining formulasini yaxshi eslang, u hisob-kitoblar uchun ajralmas va oddiy hayotiy vaziyatlarda juda keng tarqalgan.

3) Agar siz butun yig'indini emas, balki k -chi haddan boshlab ketma-ketlikning bir qismini topishingiz kerak bo'lsa, unda quyidagi yig'indi formulasi yordam beradi.

4) k-sondan boshlab arifmetik progressiyaning n ta hadi yig’indisini topish amaliy qiziqish uyg’otadi. Buning uchun formuladan foydalaning

Bu nazariy materialni yakunlaydi va amaliyotda umumiy muammolarni hal qilishga o'tadi.

1-misol. 4-arifmetik progressiyaning qirqinchi hadini toping;7;...

Yechim:

Shartga ko'ra, bizda bor

Rivojlanish bosqichini aniqlang

Ma'lum formuladan foydalanib, progressiyaning qirqinchi hadini topamiz

2-misol. Arifmetik progressiya uning uchinchi va yettinchi hadlari bilan beriladi. Progressiyaning birinchi hadini va o‘nning yig‘indisini toping.

Yechim:

Progressiyaning berilgan elementlarini formulalar yordamida yozamiz

Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz, natijada progressiyaning qadamini topamiz

Arifmetik progressiyaning birinchi hadini topish uchun topilgan qiymatni istalgan tenglamaga almashtiramiz.

Biz progressiyaning dastlabki o'nta a'zosining yig'indisini hisoblaymiz

Murakkab hisob-kitoblardan foydalanmasdan, biz barcha kerakli miqdorlarni topdik.

3-misol. Arifmetik progressiya maxraj va uning a'zolaridan biri tomonidan beriladi. Progressiyaning birinchi a'zosini toping, uning 50 dan boshlanadigan 50 a'zosi yig'indisini va birinchi 100 ta a'zoning yig'indisini toping.

Yechim:

Progressiyaning yuzinchi elementi formulasini yozamiz

va birinchisini toping

Birinchisiga asoslanib, progressiyaning 50 ta hadini topamiz

Progressiya qismining yig‘indisini toping

va birinchi 100 ning yig'indisi

Jarayonning umumiy soni 250 ta.

4-misol.

Arifmetik progressiya a’zolari sonini toping, agar:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Yechim:

Tenglamalarni birinchi had va progressiya qadami bilan yozamiz va ularni aniqlaymiz

Olingan qiymatlarni yig'indidagi a'zolar sonini aniqlash uchun yig'indi formulasiga almashtiramiz

Soddalashtirishni amalga oshirish

va biz qaror qilamiz kvadrat tenglama

Muammo holati uchun topilgan ikkita qiymatdan faqat 8 raqami mos keladi. Shunday qilib, progressiyaning dastlabki sakkiz a'zosining yig'indisi 111 ga teng.

5-misol.

Tenglamani yeching

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Yechish: Bu tenglama arifmetik progressiya yig‘indisidir. Keling, uning birinchi hadini yozamiz va progressiyaning farqini topamiz

Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda ichki dalillar menga arifmetik progressiya nima ekanligini hali bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunday: SOOOOO!) bilishni xohlaysiz. Shuning uchun, men sizni uzoq tanishuvlar bilan qiynamayman va darhol ish bilan shug'ullanaman.

Keling, bir-ikki misol bilan boshlaylik. Bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqing:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Ushbu to'plamlarning barchasida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.

O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam oddiy ketma-ket raqamlardan iborat bo'lib, ularning har biri oldingisidan ko'proq. Ikkinchi holda, qator orasidagi farq turgan raqamlar allaqachon beshga teng, ammo bu farq hali ham doimiy. Uchinchi holatda, umuman olganda, ildizlar. Biroq, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ va $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, ya'ni. va bu holda, har bir keyingi element oddiygina $ \ sqrt (2) $ ga ortadi (va bu raqam mantiqiy emasligidan qo'rqmang).

Shunday qilib: barcha bunday ketma-ketliklar faqat arifmetik progressiyalar deb ataladi. Keling, qat'iy ta'rif beraylik:

Ta'rif. Har bir keyingisi oldingisidan aynan bir xil miqdor bilan farq qiladigan raqamlar ketma-ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar bir-biridan farq qiladigan miqdor progressiyaning farqi deb ataladi va ko'pincha $ d $ harfi bilan belgilanadi.

Belgilanishi: $ \ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) $ - progressiyaning o'zi, $ d $ - uning farqi.

Va faqat bir nechta muhim izohlar. Birinchidan, faqat tartibli raqamlar ketma-ketligi: ularni yozilish tartibida qat'iy ravishda o'qishga ruxsat beriladi - va boshqa hech narsa. Siz raqamlarni o'zgartira olmaysiz yoki almashtira olmaysiz.

Ikkinchidan, ketma-ketlikning o'zi chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq arifmetik progressiyadir. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; 4; ...) - bu allaqachon cheksiz progress. To'rtdan keyin ellips, go'yo, hali ham bir nechta raqamlar borligiga ishora qiladi. Masalan, cheksiz ko'p. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, progressiyalar ortib bormoqda va kamaymoqda. Biz allaqachon ortib borayotganlarni ko'rdik - bir xil to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Va bu erda progressiyaning pasayishiga misollar:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Xo'sh, yaxshi: bu oxirgi misol juda murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, sizga tushunarli. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya deyiladi:

1. har bir keyingi element oldingisidan kattaroq bo'lsa, ortib boruvchi;
2. kamayishi, agar, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanuvchi raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).

Bitta savol qolmoqda: ortib borayotgan progressiyani kamayib borayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, barchasi $ d $ raqamining belgisiga bog'liq, ya'ni. Farqning rivojlanishi:

1. Agar $ d \ gt 0 $ bo'lsa, u holda progressiya ortib bormoqda;
2. Agar $ d \ lt 0 $ bo'lsa, unda progressiya aniq kamayadi;
3. Va nihoyat, $ d = 0 $ holati mavjud - bu holda butun progressiya bir xil raqamlarning statsionar ketma-ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va hokazo.

Keling, yuqorida keltirilgan uchta kamayuvchi progressiya uchun $ d $ farqini hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun har qanday ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi raqamdan chapdagi raqamni ayirish kifoya. Bu shunday ko'rinadi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Ko'rib turganingizdek, har uch holatda ham farq haqiqatan ham salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ko'proq yoki kamroq ta'riflarni aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligi va ularning xususiyatlari qanday ekanligini aniqlash vaqti keldi.

Progressiya a'zolari va takrorlanuvchi formula

Bizning ketma-ketliklarimizning elementlarini almashtirib bo'lmagani uchun ularni raqamlash mumkin:

\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3) )), ... \ o'ng \) \]

Bu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deb ataladi. Ular raqam bilan ko'rsatilgan: birinchi atama, ikkinchi muddat va boshqalar.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, progressiyaning qo'shni a'zolari quyidagi formula bo'yicha bog'lanadi:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ O'ng strelka ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Xulosa qilib aytganda, progressiyadagi $n $-chi hadni topish uchun $n-1 $-chi had va $d $ farqini bilish kerak. Bunday formula takroriy deb ataladi, chunki uning yordami bilan har qanday raqamni topishingiz mumkin, faqat oldingisini (va aslida - barcha oldingilarni) bilib olasiz. Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisob-kitoblarni birinchi atama va farqga qisqartiradigan yanada murakkab formula mavjud:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d \]

Shubhasiz, siz ushbu formulani allaqachon uchratdingiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalar va reshebniklarda berishni yaxshi ko'radilar. Va matematika bo'yicha har qanday oqilona darslikda u birinchilardan biri bo'ladi.

Biroq, men biroz mashq qilishni maslahat beraman.

Muammo raqami 1. $ \ left (((a) _ (n)) \ o'ng) $ agar $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $ bo'lsa, arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Demak, biz $ ((a) _ (1)) = 8 $ birinchi hadini va $ d = -5 $ progressiyaning farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanib, $ n = 1 $, $ n = 2 $ va $ n = 3 $ o'rniga qo'yaylik:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ chap (1-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ chap (2-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ chap (3-1 \ o'ng) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Javob: (8; 3; −2)

Hammasi shu! Iltimos, diqqat qiling: bizning taraqqiyotimiz pasaymoqda.

Albatta, $ n = 1 $ o'rnini bosa olmaydi - birinchi atama bizga allaqachon ma'lum. Biroq, bittasini almashtirib, formulamiz birinchi muddatda ham ishlashiga ishonch hosil qildik. Boshqa hollarda, bularning barchasi ahamiyatsiz arifmetikaga aylandi.

Muammo raqami 2. Arifmetik progressiyaning birinchi uchta hadini yozing, agar uning yettinchi hadi -40 va o'n yettinchi hadi -50 bo'lsa.

Yechim. Muammoning holatini odatdagidek yozamiz:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ to'rt ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ chap \ (\ boshlash (tekislash) va ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & (a) _ (17)) = (a) _ (1)) + 16d \\ \ oxiri (tekislash) \ o'ngga. \]

\ [\ chap \ (\ boshlash (tekislash) & (a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & (a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ oxiri (tekislash) \ o'ng. \]

Men tizimning belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Va endi e'tibor bering, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchisini olib tashlasak (biz buni qilishga haqlimiz, chunki bizda tizim mavjud), biz buni olamiz:

\ [\ start (hizala) & (a) _ (1)) + 16d- \ chap (((a) _ (1)) + 6d \ o'ng) = - 50- \ chap (-40 \ o'ng); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Biz rivojlanishdagi farqni shunchalik oson topdik! Topilgan raqamni tizimning istalgan tenglamasiga almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:

\ [\ start (matritsa) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ oxiri (matritsa) \]

Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (2)) = (a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Tayyor! Muammo hal qilindi.

Javob: (-34; -35; -36)

Biz kashf etgan progressiyaning qiziqarli xususiyatiga e'tibor bering: agar $ n $ th va $ m $ th shartlarini olib, ularni bir-biridan ayirib tashlasak, progressiyaning $ n-m $ soniga ko'paytirilgan farqini olamiz:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ chap (n-m \ o'ng) \]

Oddiy, lekin juda foydali mulk, albatta, siz bilishingiz kerak - uning yordami bilan siz progressivlikdagi ko'plab muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Mana asosiy misol:

Muammo raqami 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi hadi 8,4 ga, o‘ninchi hadi esa 14,4 ga teng. Bu progressiyaning o‘n beshinchi hadini toping.

Yechim. $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $ va siz $ ((a) _ (15)) $ ni topishingiz kerak bo'lganligi sababli, biz quyidagilarni ta'kidlaymiz. :

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Lekin shart bo'yicha $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = $ 6, shuning uchun $ 5d = $ 6, bizda:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Javob: 20.4

Hammasi shu! Bizga ba'zi tenglamalar tizimini tuzish va birinchi hadni va farqni hisoblashning hojati yo'q edi - hamma narsa bir-ikki qatorda hal qilindi.

Keling, boshqa turdagi vazifalarni ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy a'zolarini topish. Hech kimga sir emaski, agar birinchi atama salbiy bo'lsa-da, progressiya oshsa, unda ertami-kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayib borayotgan progressiyaning a'zolari ertami-kechmi salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, elementlardan ketma-ket o'tib, bu lahzani "boshqa" tishlash har doim ham mumkin emas. Ko'pincha, muammolar formulalarni bilmasdan turib, hisob-kitoblar bir nechta varaqlarni oladi - javobni topib, biz shunchaki uxlab qolamiz. Shuning uchun biz bu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilamiz.

Muammo raqami 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy hadlar bor -38,5; -35,8; ...?

Yechim. Shunday qilib, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, biz darhol farqni topamiz:

E'tibor bering, farq ijobiy, shuning uchun progressiya oshadi. Birinchi atama salbiy, shuning uchun bir nuqtada biz haqiqatan ham ijobiy raqamlarga qoqilib qolamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.

Keling, aniqlashga harakat qilaylik: atamalarning salbiyligi qancha vaqt (ya'ni, $ n $ qaysi natural songacha) saqlanib qoladi:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n)) \ lt 0 \ O'ngga strelka ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ to'rtta \ chap | \ cdot 10 \ o'ng. \\ & -385 + 27 \ cdot \ chap (n-1 \ o'ng) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ O'ng strelka ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Oxirgi qatorga biroz tushuntirish kerak. Shunday qilib, biz $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, biz raqamning faqat butun qiymatlari bilan qanoatlanamiz (bundan tashqari: $ n \ in \ mathbb (N) $), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aynan $ n = 15 $ va hech qanday holatda emas. 16 dir.

Muammo raqami 5. Arifmetik progressiyada $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Bu progressiyaning birinchi musbat hadining sonini toping.

Bu avvalgisi bilan bir xil muammo bo'lar edi, lekin biz $ ((a) _ (1)) $ ni bilmaymiz. Ammo qo'shni shartlar ma'lum: $ ((a) _ (5)) $ va $ ((a) _ (6)) $, shuning uchun biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, biz beshinchi atamani standart formula bo'yicha birinchi va farq jihatidan ifodalashga harakat qilamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Endi biz oldingi vazifaga o'xshash tarzda davom etamiz. Biz ketma-ketlikning qaysi nuqtasida ijobiy raqamlar bo'lishini bilib olamiz:

\ [\ start (hizala) & (a) _ (n)) = - 162+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ O'ng strelka ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Bu tengsizlikning eng kichik butun yechimi 56 ga teng.

E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushirildi, shuning uchun $ n = 55 $ varianti bizga mos kelmaydi.

Oddiy masalalarni yechishni o‘rganganimizdan so‘ng, endi murakkabroq masalalarga o‘tamiz. Ammo birinchi navbatda, arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini o'rganamiz, bu kelajakda bizga ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydi. :)

O'rtacha arifmetik va teng chegaralar

$ \ left (((a) _ (n)) \ o'ng) $ ortib boruvchi arifmetik progressiyaning bir nechta ketma-ket a'zolarini ko'rib chiqing. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:

Son qatoridagi arifmetik progressiyaning a'zolari

Men $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ ixtiyoriy shartlarini alohida qayd etdim, har qanday $ ((a) _ (1)) , \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ va boshqalar. Chunki men hozir gaplashadigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.

Va qoida juda oddiy. Keling, rekursiya formulasini eslaylik va uni barcha belgilangan a'zolar uchun yozamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ oxiri (tekislash) \]

Biroq, bu tengliklarni boshqacha tarzda qayta yozish mumkin:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ oxiri (tekislash) \]

Xo'sh, nima? Va $ ((a) _ (n-1)) $ va $ ((a) _ (n + 1)) $ shartlari $ ((a) _ (n)) $ dan bir xil masofada joylashganligi haqiqatdir. . Va bu masofa $ d $ ga teng. $ ((a) _ (n-2)) $ va $ ((a) _ (n + 2)) $ shartlari haqida ham shunday deyish mumkin - ular $ ((a) _ (n) dan ham olib tashlanadi. ) $ bir xil masofa $ 2d $ ga teng. Siz cheksiz davom etishingiz mumkin, ammo ma'no rasmda yaxshi ko'rsatilgan.

Progressiya a'zolari markazdan bir xil masofada yotadi

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, siz $ ((a) _ (n)) $ ni topishingiz mumkin:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1)) (2) \]

Biz ajoyib bayonotni chiqardik: arifmetik progressiyaning har bir a'zosi qo'shni atamalarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng! Bundan tashqari: biz $ ((a) _ (n)) $ chap va o'ngdan bir qadam emas, balki $ k $ qadamlarimizdan chetga chiqishimiz mumkin - va baribir formula to'g'ri bo'ladi:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Bular. Agar biz $ ((a) _ (100)) $ va $ ((a) _ (200)) $ ni bilsak, $ ((a) _ (150)) $ ni osongina topishimiz mumkin, chunki $ (( a) _ (150)) = \ frac ((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotgandek tuyulishi mumkin. Biroq, amalda ko'plab masalalar o'rtacha arifmetikdan foydalanish uchun maxsus "o'tkirlashadi". Qarab qo'ymoq:

Muammo raqami 6. $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ va $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ raqamlari ketma-ket aʼzo boʻlgan $ x $ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiyaning (tartibda).

Yechim. Ko'rsatilgan sonlar progressiyaning a'zolari bo'lganligi sababli ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: markaziy element$ x + 1 $ qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:

\ [\ start (hizalama) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2)))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2)))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Natijada klassik kvadrat tenglama olinadi. Uning ildizlari: $ x = 2 $ va $ x = -3 $ - bu javoblar.

Javob: −3; 2.

Muammo raqami 7. $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ raqamlari arifmetik progressiyani tashkil etadigan $$ qiymatlarini toping (shu tartibda).

Yechim. Yana oʻrta atamani qoʻshni atamalarning oʻrtacha arifmetik qiymatida ifodalaymiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ to'rt \ chap | \ cdot 2 \ o'ng .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Yana kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz bor: $ x = 6 $ va $ x = 1 $.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida siz shafqatsiz raqamlarni chiqarsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, unda tekshirishga imkon beradigan ajoyib texnika mavjud: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?

Masalan, 6-masalada biz -3 va 2 javoblarni oldik. Bu javoblarning to'g'riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni boshlang'ich holatga ulab, nima bo'lishini ko'raylik. Sizga shuni eslatib o'tamanki, bizda arifmetik progressiya hosil qilishi kerak bo'lgan uchta raqam ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ va $ 14 + 4 (() ^ (2)) $ mavjud. $ x = -3 $ almashtiring:

\ [\ boshlash (tekislash) & x = -3 \ O'ng strelka \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (tekislash) \]

Qabul qilingan raqamlar -54; −2; 52 dan farq qiladigan 50, shubhasiz, arifmetik progressiyadir. Xuddi shu narsa $ x = 2 $ uchun sodir bo'ladi:

\ [\ boshlash (tekislash) & x = 2 \ O'ngga strelka \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (tekislash) \]

Yana progressiya, lekin 27 farq bilan. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilinadi. Qiziqqanlar ikkinchi muammoni mustaqil tekshirishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.

Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz yana bir narsaga qoqilib qoldik qiziq fakt, buni ham eslash kerak:

Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi o'rtacha hisoblanadi birinchi navbatda arifmetika va oxirgi, keyin bu raqamlar arifmetik progressiya hosil qiladi.

Kelajakda ushbu bayonotni tushunish bizga muammoning shartiga asoslanib, kerakli progressiyani tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" ga kirishdan oldin, biz allaqachon ko'rib chiqilgan narsadan bevosita kelib chiqadigan yana bir haqiqatga e'tibor qaratishimiz kerak.

Guruhlash va elementlar yig'indisi

Keling, yana raqamlar o'qiga qaytaylik. Keling, progressiyaning bir nechta a'zolarini ta'kidlaymiz, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolar bor:

Raqamlar qatorida 6 ta element belgilangan

Keling, "chap dum" ni $ ((a) _ (n)) $ va $ d $, "o'ng quyruq" ni $ ((a) _ (k)) $ va $ d $ shaklida ifodalashga harakat qilaylik. . Bu juda oddiy:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Endi e'tibor bering, quyidagi summalar teng:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (tekislash) \]

Oddiy qilib aytganda, agar biz jami $ S $ soniga teng bo'lgan progressiyaning ikkita elementini boshlang'ich deb hisoblasak va keyin biz bu elementlardan qarama-qarshi yo'nalishda (bir-biriga qarab yoki aksincha) yurishni boshlasak. , keyin biz qoqiladigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$ S $. Buni grafik jihatdan eng aniq ifodalash mumkin:

Teng chekinish teng miqdorni beradi

Ushbu haqiqatni tushunish bizga muammolarni tubdan hal qilish imkonini beradi yuqori daraja Biz yuqorida ko'rib chiqqanimizdan ko'ra qiyinchiliklar. Masalan, bunday:

Muammo raqami 8. Birinchi hadi 66, ikkinchi va o‘n ikkinchi hadlarning ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lgan eng kichik bo‘lgan arifmetik progressiyaning ayirmasini aniqlang.

Yechim. Keling, biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (tekislash) \]

Shunday qilib, biz $ d $ progressiyasining farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farq atrofida quriladi, chunki $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ chap (66 + d \ o'ng) \ cdot \ chap (66 + 11d \ o'ng) = \\ & = 11 \ cdot \ chap (d + 66 \ o'ng) \ cdot \ chap (d + 6 \ o'ng). \ end (tekislash) \]

Tankdagilar uchun: men ikkinchi qavsdan 11 ning umumiy koeffitsientini chiqardim. Shunday qilib, qidirilayotgan mahsulot $ d $ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun, $ f \ chap (d \ o'ng) = 11 \ chap (d + 66 \ o'ng) \ chap (d + 6 \ o'ng) $ funktsiyasini ko'rib chiqing - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, chunki qavslarni kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

\ [\ boshlash (tekislash) & f \ chap (d \ o'ng) = 11 \ chap (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ o'ng) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (tekislash) \]

Ko'rib turganingizdek, etakchi atama uchun koeffitsient 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz haqiqatan ham shoxlari yuqori bo'lgan parabola bilan ishlaymiz:

jadval kvadratik funktsiya- parabola

Eslatma: minimal qiymat bu parabola o'z cho'qqisini abscissa $ ((d) _ (0)) $ bilan oladi. Albatta, bu abscissani hisoblashimiz mumkin standart sxema($ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $ formulasi mavjud), ammo kerakli cho'qqi simmetriya o'qida joylashganligini payqash ancha oqilona bo'lar edi. parabola, shuning uchun $ ((d) _ (0)) $ nuqtasi $ f \ chap (d \ o'ng) = 0 $ tenglamaning ildizlaridan teng masofada joylashgan:

\ [\ boshlash (tekislash) & f \ chap (d \ o'ng) = 0; \\ & 11 \ cdot \ chap (d + 66 \ o'ng) \ cdot \ chap (d + 6 \ o'ng) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ to'rtta ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklda ildizlarni topish juda va juda oson edi. Shuning uchun abscissa o'rtachaga teng arifmetik raqamlar−66 va −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frak (-66-6) (2) = - 36 \]

Topilgan raqam bizga nima beradi? U bilan kerakli mahsulot eng kichik qiymatni oladi (Aytgancha, biz $ ((y) _ (\ min)) $ hisoblamadik - bu bizdan talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam asl progressiya o'rtasidagi farq, ya'ni. biz javob topdik. :)

Javob: −36

Muammo raqami 9. $ - \ frac (1) (2) $ va $ - \ frac (1) (6) $ raqamlari orasiga uchta raqamni kiriting, shunda ular berilgan raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi.

Yechim. Asosan, birinchi va oxirgi raqamlar allaqachon ma'lum bo'lgan beshta raqamdan iborat ketma-ketlikni yaratishimiz kerak. Yo'qolgan raqamlarni $ x $, $ y $ va $ z $ o'zgaruvchilari bilan belgilaymiz:

\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ o'ng \ ) \]

E'tibor bering, $ y $ soni ketma-ketligimizning "o'rtasi" - u $ x $ va $ z $ raqamlaridan, $ - \ frac (1) (2) $ va $ - \ raqamlaridan bir xil masofada joylashgan. frak (1) (6) $. Va agar biz hozirda $ x $ va $ z $ raqamlaridan $ y $ ni ololmasak, progressiyaning oxiri bilan vaziyat boshqacha. O'rtacha arifmetikni eslab qolish:

Endi $ y $ ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $ x $ $ - \ frac (1) (2) $ va hozirgina topilgan $ y = - \ frac (1) (3) $ raqamlari o'rtasida joylashgan. Shunung uchun

Shunga o'xshab, biz qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni javobda asl raqamlar orasiga qo'yish kerak bo'lgan tartibda yozamiz.

Javob: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Muammo raqami 10. 2 va 42 raqamlari orasiga bir nechta raqamlarni qo'ying, bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi, agar kiritilgan raqamlarning birinchi, ikkinchi va oxirgisi yig'indisi 56 ekanligini bilsangiz.

Yechim. Bundan ham qiyin vazifa, ammo avvalgilari bilan bir xil sxema bo'yicha - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqam kiritishni aniq bilmaymiz. Shuning uchun, aniqlik uchun, hamma narsani kiritgandan so'ng, aniq $ n $ raqamlari bo'ladi deb faraz qilaylik va ularning birinchisi 2, oxirgisi esa 42. Bu holda, kerakli arifmetik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

\ [\ chap (((a) _ (n)) \ o'ng) = \ chap \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ o'ng \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Ammo e'tibor bering, $ ((a) _ (2)) $ va $ ((a) _ (n-1)) $ raqamlari 2 va 42 raqamlaridan bir-biriga qarab bir qadamda olinadi, ya'ni ... ketma-ketlikning markaziga. Bu shuni anglatadiki

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Ammo keyin yuqorida yozilgan iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:

\ [\ start (align) & (a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ chap (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ o'ng) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ oxiri (tekislash) \]

$ ((a) _ (3)) $ va $ ((a) _ (1)) $ ni bilib, biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

\ [\ start (hizala) & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ chap (3-1 \ o'ng) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ O'ng strelka d = 5. \\ \ oxiri (tekislash) \]

Qolgan a'zolarni topishgina qoladi:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ oxiri (tekislash) \]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap tomoniga kelamiz - 42 raqami. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Progressiya bilan bog'liq so'z muammolari

Xulosa qilib aytganda, men bir nechta nisbatan oddiy vazifalarni ko'rib chiqmoqchiman. Xo'sh, qanchalik oddiy: maktabda matematikani o'rganayotgan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik talabalar uchun bu vazifalar qalay kabi ko'rinishi mumkin. Shunga qaramay, matematikada OGE va USEda aynan shunday muammolar uchraydi, shuning uchun men ular bilan tanishib chiqishingizni maslahat beraman.

Muammo raqami 11. Brigada yanvar oyida 62 dona detal ishlab chiqargan bo‘lsa, keyingi har bir oyda oldingisiga nisbatan 14 dona ko‘p detal ishlab chiqardi. Noyabr oyida jamoa nechta qismdan iborat edi?

Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha rejalashtirilgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiyani ifodalaydi. Bundan tashqari:

\ [\ boshlash (tekislash) & (a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 14. \\ \ end (tekislash) \]

Noyabr - yilning 11 oyi, shuning uchun biz $ ((a) _ (11)) $ ni topishimiz kerak:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Binobarin, noyabr oyida 202 ta detal ishlab chiqariladi.

Muammo raqami 12. Yanvar oyida jilovlash ustaxonasi 216 ta kitobni bog'ladi va har oy oldingisiga qaraganda 4 taga ko'proq kitobni bog'ladi. Dekabr oyida ustaxonada nechta kitob bog'landi?

Yechim. Hammasi bir xil:

$ \ start (tekislash) & (a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ chap (n-1 \ o'ng) \ cdot 4. \\ \ end (tekislash) $

Dekabr - yilning oxirgi, 12- oyi, shuning uchun biz $ ((a) _ (12)) $ ni qidiramiz:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob bog'lanadi.

Xo'sh, agar siz shu paytgacha o'qigan bo'lsangiz, sizni tabriklashga shoshildim: arifmetik progressiyalar bo'yicha "Yosh jangchilar kursi" ni muvaffaqiyatli tamomladingiz. Siz keyingi darsga ishonch bilan o'tishingiz mumkin, u erda biz progressiyaning yig'indisi formulasini, shuningdek, undan muhim va juda foydali natijalarni o'rganamiz.

Birinchi daraja

Arifmetik progressiya. Misollar bilan batafsil nazariya (2019)

Raqamlar ketma-ketligi

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisigacha aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (-chi raqam kabi) har doim bitta.
Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deb ataladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf:.

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik mavjud.
Masalan:

va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi VI asrda Rim muallifi Boethius tomonidan kiritilgan va ko'proq tushunilgan. keng ma'no cheksiz sonlar ketma-ketligi kabi. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar shug'ullangan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan olingan.

Bu sonli ketma-ketlik bo'lib, uning har bir atamasi avvalgisiga teng bo'lib, bir xil raqamga qo'shiladi. Bu son arifmetik progressiyaning ayirmasi deb ataladi va bilan belgilanadi.

Qaysi sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundingizmi? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu an arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning th a'zosining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish yo'li.

1. Usul

Progressiya sonining oldingi qiymatiga progressiyaning uchinchi hadiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa qolmagani yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning th a'zosi teng.

2. Usul

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'indini yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda adashmaganimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar oldingi qiymatga arifmetik progressiyaning farqini qo'shishning hojati bo'lmagan usulni o'ylab topishdi. Siz chizgan rasmga diqqat bilan qarang ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning a'zosining qiymati qanday qo'shilganligini ko'rib chiqamiz:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Shu tarzda berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini mustaqil ravishda topishga harakat qiling.

Hisoblanganmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:

E'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya a'zolarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi bir xil raqamga ega bo'ldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - biz uni kiritamiz umumiy shakl va oling:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ortib boradi, ba'zan esa kamayadi.

Ko'tarilish- a'zolarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kattaroq bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Kamaymoqda- a'zolarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'sish va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, ushbu arifmetik progressiyaning soni qanday bo'lishini tekshirib ko'raylik:

O'shandan beri:

Shunday qilib, biz formulaning arifmetik progressiyani kamaytirish va oshirishda ishlashiga ishonch hosil qildik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Olingan natijalarni solishtiramiz:

Arifmetik progressiya xossasi

Vazifani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, deysiz va o'zingiz bilgan formula bo'yicha hisoblashni boshlaysiz:

Keling, a, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa? Tan oling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, bu muammoni biron bir formuladan foydalanib, bitta harakatda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz hozir chekinishga harakat qilamiz.

Arifmetik progressiyaning kerakli hadini shunday belgilaymizki, biz uni topish formulasini bilamiz - bu biz boshida olingan formuladir:
, keyin:

• progressiyaning oldingi a'zosi:
• progressiyaning keyingi a'zosi:

Keling, progressiyaning oldingi va keyingi a'zolarini umumlashtiramiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi a’zolari yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya a’zosining ikkilangan qiymati hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya a'zosining qiymatini topish uchun ularni qo'shib, ga bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni tuzatamiz. Progressiya qiymatini o'zingiz hisoblang, chunki bu unchalik qiyin emas.

Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! O'rganish uchun faqat bitta formula qoldi, uni afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" - Karl Gauss osongina o'zi uchun aniqlagan ...

Karl Gauss 9 yoshga to‘lganda, boshqa sinf o‘quvchilarining ishini tekshirish bilan band bo‘lgan o‘qituvchi darsda quyidagi masalani qo‘ydi: “Hammasining yig‘indisini sanang. natural sonlar dan (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuziv ". Tasavvur qiling-a, shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss edi) bir daqiqada muammoga toʻgʻri javob berganida, jasur sinfdoshlarining koʻpchiligi uzoq hisob-kitoblardan soʻng notoʻgʻri natija olganida oʻqituvchi hayratda qolganini tasavvur qiling...

Yosh Karl Gauss siz osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi a'zolardan tashkil topgan arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning berilgan a'zolari yig'indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, ammo agar vazifada Gauss izlaganidek, uning a'zolari yig'indisini topish kerak bo'lsa-chi?

Keling, berilgan progressiyani chizamiz. Belgilangan raqamlarga diqqat bilan qarang va ular bilan turli matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.


Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani payqadingiz? To'g'ri! Ularning miqdori teng

Endi ayting-chi, berilgan progressiyada shunday juftliklar nechta? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita a'zosining yig'indisi teng va shunga o'xshash teng juftliklarga asoslanib, biz umumiy yig'indini olamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi quyidagicha bo'ladi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin biz progressiyadagi farqni bilamiz. Formulada yig'indini, th had uchun formulani almashtirishga harakat qiling.
Nima qildingiz?

Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: o'zingiz hisoblab ko'ring --dan boshlanadigan raqamlar yig'indisi va --dan boshlanadigan raqamlar yig'indisi qancha.

Qanchaga oldingiz?
Gauss a'zolar yig'indisi teng ekanligini va a'zolar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning a'zolari yig'indisi formulasini III asrda qadimgi yunon olimi Diofant isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan maksimal darajada foydalanganlar.
Masalan, tasavvur qiling Qadimgi Misr va o'sha davrning eng shijoatli qurilish maydoni - piramida qurilishi ... Rasmda uning bir tomoni ko'rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda deysiz? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.


Bu arifmetik progressiya emasmi? Agar bazaga blokli g'isht qo'yilgan bo'lsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirib hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bunday holda, progressiya quyidagicha ko'rinadi:.
Arifmetik progressiyaning farqi.
Arifmetik progressiyaning a'zolari soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (biz bloklar sonini 2 usulda hisoblaymiz).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Birga keldimi? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisini o'zlashtirdingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Tayyorlamoq

Vazifalar:

1. Masha yozga kelib forma oladi. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Masha bir hafta ichida necha marta cho'kadi, agar birinchi mashg'ulotda u cho'zilgan bo'lsa.
2. Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
3. Jurnallarni saqlashda, yog'och ishlab chiqaruvchilar ularni har biri shunday qilib yig'adilar yuqori qatlam oldingisidan bir jurnal kamroq o'z ichiga oladi. Agar loglar devorning asosi bo'lib xizmat qilsa, bitta devorda qancha log bor.

Javoblar:

1. Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaymiz. Ushbu holatda
   (hafta = kunlar).

   Javob: Ikki hafta o'tgach, Masha kuniga bir marta chayqalishi kerak.

2. Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
   Arifmetik progressiyaning farqi.
   Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo biz bu faktni arifmetik progressiyaning --chi hadini topish formulasi yordamida tekshiramiz:

   Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
   Mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiring:

   Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlar yig'indisi ga teng.

3. Piramida muammosini eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun, a, chunki har bir yuqori qatlam bir jurnalga kamayadi, keyin faqat qatlamlar to'plamida, ya'ni.
   Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

   Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Keling, xulosa qilaylik

1. - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlik. U ko'payishi va kamayishi mumkin.
2. Formulani topish Arifmetik progressiyaning th a'zosi - formulasi bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
3. Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu erda progressiyadagi sonlar soni.
4. Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:
   
   , bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamlar ketma-ketligi

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin siz har doim qaysi biri birinchi, qaysi ikkinchi va hokazo, ya'ni biz ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son bilan bog'lanishi mumkin va bitta. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deb ataladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf deb ataymiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf:.

Agar ketma-ketlikning uchinchi hadini qandaydir formula bilan berish mumkin bo'lsa, bu juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikda:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng va farq). Yoki (, farq).

N-sonli formula

Biz takroriy formulani chaqiramiz, unda a'zoni aniqlash uchun siz oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, bunday formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun biz oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak. Masalan, keling. Keyin:

Xo'sh, endi formula nima?

Har bir qatorda biz qo'shamiz, ba'zi bir raqamga ko'paytiramiz. Nima uchun? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Hozir ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi atama teng. Farqi nimada? Va mana nima:

(bu progressiyaning ketma-ket kelgan a'zolarining ayirmasiga teng bo'lgan ayirma deyilgani uchun).

Shunday qilib, formula:

Keyin yuzinchi had:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nimaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi raqamlarning yig'indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi, lekin bittaning yig'indisi bir xil ekanligini, oxiridan uchinchi va uchinchi raqamlarning yig'indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar nechta bo'ladi? To'g'ri, barcha raqamlarning yarmi soni, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig‘indisining umumiy formulasi quyidagicha bo‘ladi:

Misol:
Hammasining yig‘indisini toping ikki xonali raqamlar, koʻpaytmalar.

Yechim:

Birinchi bunday raqam. Har bir keyingi oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va farq bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Ushbu progressiyaning 3-term formulasi:

Agar ularning barchasi ikki xonali bo'lishi kerak bo'lsa, progressiyaning nechta a'zosi bor?

Juda oson: .

Progressiyadagi oxirgi muddat teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

1. Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda m ko'proq yuguradi. Agar birinchi kuni km m ga yugursa, u haftada necha kilometr yuguradi?
2. Velosipedchi har kuni oldingisiga qaraganda ko'proq kilometr yuradi. Birinchi kuni u km yurdi. Km masofani bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatning oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
3. Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Sovutgichning narxi har yili qancha pasayganini aniqlang, agar rubl uchun sotuvga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan keyin u rublga sotilgan.

Javoblar:

1. Bu erda eng muhimi arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kunlar). Ushbu progressiyaning birinchi a'zolarining yig'indisini aniqlashingiz kerak:
   .
   Javob:
2. Bu erda berilgan:, topish kerak.
   Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
   .
   Qiymatlarni almashtiring:

   Ildiz aniq mos emas, shuning uchun javob.
   Oxirgi kun uchun bosib o‘tgan masofani 3-sonli formuladan foydalanib hisoblaymiz:
   (km).
   Javob:

3. Berilgan:. Toping: .
   Bu osonroq bo'lishi mumkin emas edi:
   (rub).
   Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonli ketma-ketlikdir.

Arifmetik progressiya o'suvchi () va kamayuvchi () bo'lishi mumkin.

Masalan:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi

formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning qo'shni a'zolari ma'lum bo'lsa, uni osongina topish imkonini beradi - progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiya a'zolari yig'indisi

Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

Qaerda qiymatlar soni.

Kimdir "progressiya" so'zidan ehtiyot bo'ladi, bu oliy matematikaning tarmoqlaridan juda murakkab atama. Ayni paytda, eng oddiy arifmetik progressiya taksi hisoblagichining ishi (ular hali ham qoladi). Va bir nechta elementar tushunchalarni tahlil qilib, arifmetik ketma-ketlikning mohiyatini (va matematikada "mohiyatni tushunishdan" muhimroq narsa yo'q) tushunish unchalik qiyin emas.

Matematik raqamlar ketma-ketligi

Bir qator raqamlarni raqamli ketma-ketlik bilan nomlash odatiy holdir, ularning har biri o'z raqamiga ega.

a 1 - ketma-ketlikning birinchi a'zosi;

va 2 - ketma-ketlikning ikkinchi a'zosi;

va 7 - ketma-ketlikning ettinchi a'zosi;

n esa ketma-ketlikning n-chi a'zosi;

Biroq, bizni hech qanday o'zboshimchalik bilan raqamlar va raqamlar to'plami qiziqtirmaydi. Biz e'tiborimizni sonli ketma-ketlikka qaratamiz, bunda n-sonning qiymati uning tartib raqami bilan matematik tarzda aniq ifodalanishi mumkin bo'lgan bog'liqlik orqali bog'lanadi. Boshqacha qilib aytganda: n-sonning son qiymati n ning qandaydir funktsiyasidir.

a - sonli ketma-ketlik a'zosining qiymati;

n - uning seriya raqami;

f (n) - n son qatoridagi tartib argument bo'lgan funksiya.

Ta'rif

Arifmetik progressiya odatda har bir keyingi had oldingisidan bir xil songa kattaroq (kamroq) bo'lgan sonli ketma-ketlik deb ataladi. Arifmetik ketma-ketlikning n-a’zosi formulasi quyidagicha:

a n - arifmetik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;

a n + 1 - keyingi raqam uchun formula;

d - farq (ma'lum bir raqam).

Aniqlash osonki, agar farq musbat (d>0) boʻlsa, koʻrib chiqilayotgan qatorning har bir keyingi hadi oldingisidan kattaroq boʻladi va bunday arifmetik progressiya ortib boradi.

Quyidagi grafikda raqamlar ketma-ketligi nima uchun "o'sish" deb nomlanganini tushunish oson.

Farq salbiy bo'lgan hollarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Belgilangan a'zoning qiymati

Ba'zan arifmetik progressiyaning har qanday ixtiyoriy a'zosi a n qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Buni arifmetik progressiyaning barcha a'zolarining qiymatlarini birinchisidan boshlab keraklisiga qadar ketma-ket hisoblash orqali amalga oshirishingiz mumkin. Biroq, masalan, besh minginchi yoki sakkiz millioninchi a'zoning ma'nosini topish kerak bo'lsa, bu yo'l har doim ham maqbul emas. An'anaviy hisoblash uzoq vaqt talab etadi. Biroq, ma'lum bir arifmetik progressiyani maxsus formulalar yordamida tekshirish mumkin. n-chi had uchun formula ham mavjud: arifmetik progressiyaning istalgan a'zosining qiymatini progressiyaning birinchi hadining yig'indisi progressiyaning ayirmasi bilan kerakli hadning soniga ko'paytirilib, kamaygan holda aniqlash mumkin. bitta.

Formula progressiyani oshirish va kamaytirish uchun universaldir.

Berilgan a'zoning qiymatini hisoblash misoli

Arifmetik progressiyaning n-chi hadining qiymatini topishga oid quyidagi masalani yechamiz.

Shart: parametrlarga ega arifmetik progressiya mavjud:

Ketma-ketlikdagi birinchi had 3;

Raqamlar qatoridagi farq 1,2 ga teng.

Topshiriq: siz 214 a'zoning qiymatini topishingiz kerak

Yechish: berilgan atamaning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

a (n) = a1 + d (n-1)

Muammo bayonotidagi ma'lumotlarni ifodaga almashtirsak, bizda:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Javob: Ketma-ketlikdagi 214-son 258,6.

Ushbu hisoblash usulining afzalliklari aniq - butun yechim 2 dan ortiq chiziqni oladi.

Berilgan a'zolar soni yig'indisi

Ko'pincha, ma'lum bir arifmetik qatorda uning ma'lum bir segmentining qiymatlari yig'indisini aniqlash talab qilinadi. Bu, shuningdek, har bir atamaning qiymatlarini hisoblashni va keyin yig'ishni talab qilmaydi. Agar yig'indisi topilishi kerak bo'lgan atamalar soni kam bo'lsa, bu usul qo'llaniladi. Boshqa hollarda quyidagi formuladan foydalanish qulayroqdir.

1 dan n gacha bo‘lgan arifmetik progressiya a’zolari yig‘indisi birinchi va n-chi a’zolar yig‘indisiga teng bo‘lib, n a’zoning soniga ko‘paytirilib, ikkiga bo‘linadi. Agar formulada n-sonning qiymati maqolaning oldingi bandidagi ifoda bilan almashtirilsa, biz quyidagilarni olamiz:

Hisoblash misoli

Masalan, quyidagi shartlar bilan muammoni hal qilaylik:

Ketma-ketlikdagi birinchi had nolga teng;

Farqi 0,5 ga teng.

Muammoda siz 56 dan 101 gacha bo'lgan qator a'zolarining yig'indisini aniqlashingiz kerak.

Yechim. Progressiya yig'indisini aniqlash uchun formuladan foydalanamiz:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Birinchidan, biz progressiyaning 101 a'zosining qiymatlari yig'indisini aniqlaymiz, ularning muammomiz shartlari ma'lumotlarini formulaga almashtiramiz:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525

Shubhasiz, 56-dan 101-gacha bo'lgan progressiya a'zolarining yig'indisini bilish uchun S 101 dan S 55 ni ayirish kerak.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5

Shunday qilib, ushbu misol uchun arifmetik progressiyaning yig'indisi:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Arifmetik progressiyaning amaliy qo'llanilishiga misol

Maqolaning oxirida, keling, birinchi xatboshida berilgan arifmetik ketma-ketlik misoliga qaytaylik - taksimetr (taksi mashinasining hisoblagichi). Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Taksiga chiqish (bu 3 km yugurishni o'z ichiga oladi) 50 rublni tashkil qiladi. Har bir keyingi kilometr 22 rubl / km miqdorida to'lanadi. Sayohat masofasi 30 km. Sayohat narxini hisoblang.

1. Narxi qo'nish narxiga kiritilgan dastlabki 3 kmni tashlab qo'yamiz.

30 - 3 = 27 km.

2. Keyingi hisoblash arifmetik sonlar qatorini tahlil qilishdan boshqa narsa emas.

A'zolar soni - bosib o'tgan kilometrlar soni (birinchi uchtadan minus).

A'zo qiymati yig'indisidir.

Bu masaladagi birinchi atama 1 = 50 p ga teng bo'ladi.

Progressiyadagi farq d = ​​22 p.

bizni qiziqtirgan raqam arifmetik progressiyaning (27 + 1) -th hadining qiymati - 27-kilometrning oxirida hisoblagich ko'rsatkichi 27,999 ... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalendar ma'lumotlarini o'zboshimchalik bilan uzoq vaqt davomida hisoblash ma'lum raqamli ketma-ketliklarni tavsiflovchi formulalarga asoslanadi. Astronomiyada orbita uzunligi geometrik jihatdan osmon jismining yorug'lik nurigacha bo'lgan masofasiga bog'liq. Bundan tashqari, turli xil sonli qatorlar statistikada va matematikaning boshqa amaliy sohalarida muvaffaqiyatli qo'llaniladi.

Raqamlar ketma-ketligining yana bir turi geometrikdir

Geometrik progressiya arifmetik bilan solishtirganda katta o'zgarish tezligi bilan tavsiflanadi. Siyosatda, sotsiologiyada, tibbiyotda u yoki bu hodisaning, masalan, epidemiya davridagi kasallikning yuqori tarqalish tezligini ko‘rsatish uchun jarayon eksponensial rivojlanadi, deb bejiz aytishmaydi.

Geometrik sonli qatorning N-soni oldingisidan farq qiladi, chunki u qandaydir doimiy songa ko'paytiriladi - maxraj, masalan, birinchi had 1 ga, maxraj mos ravishda 2 ga teng, keyin:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;

b n + 1 - geometrik progressiyaning keyingi hadining formulasi;

q - geometrik progressiyaning (doimiy son) maxraji.

Agar arifmetik progressiyaning grafigi to'g'ri chiziq bo'lsa, geometrik bir oz boshqacha rasmni chizadi:

Arifmetikada bo'lgani kabi, geometrik progressiya ham ixtiyoriy hadning qiymati uchun formulaga ega. Geometrik progressiyaning har qanday n-chi hadi progressiyaning maxrajining birinchi hadining n ning darajasiga ko‘paytmasiga teng bo‘lib, bittaga kamaytiriladi:

Misol. Bizda birinchi hadi 3 ga, progressiyaning maxraji 1,5 ga teng bo‘lgan geometrik progressiya bor. Progressiyaning 5-chi hadini toping

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Berilgan a'zolar sonining yig'indisi maxsus formula yordamida xuddi shu tarzda hisoblanadi. Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi progressiyaning n-chi hadi va uning maxraji va progressiyaning birinchi hadi o‘rtasidagi ayirmaning birga kamaytirilgan maxrajiga bo‘linganiga teng:

Agar b n yuqorida ko'rib chiqilgan formuladan foydalangan holda almashtirilsa, ko'rib chiqilayotgan sonli qatorning birinchi n ta a'zosi yig'indisining qiymati quyidagicha bo'ladi:

Misol. Geometrik progressiya 1 ga teng birinchi haddan boshlanadi. Maxraj 3 ga teng o'rnatiladi. Birinchi sakkiz hadning yig'indisini toping.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280