Funktsiyaning domeni va qiymatlari diapazoni. Boshlang'ich matematikada funksiyalar faqat haqiqiy sonlar to'plamida o'rganiladi R Bu shuni anglatadiki, funktsiya argumenti faqat funktsiya belgilangan haqiqiy qiymatlarni olishi mumkin, ya'ni. u ham faqat haqiqiy qiymatlarni oladi. Kopgina X barcha yaroqli argument qiymatlari x buning uchun funktsiya y= f(x) aniqlanadi, deyiladi funksiya doirasi... Kopgina Y barcha haqiqiy qiymatlar y Bu funksiya qabul qilinadi funktsiya diapazoni... Endi biz funktsiyaning aniqroq ta'rifini berishimiz mumkin: qoidaX va Y to'plamlar o'rtasidagi muvofiqlik (qonun)., unga ko'ra to'plamning har bir elementi uchunX funktsiya deb ataladigan Y to'plamidan bitta va faqat bitta elementni topishingiz mumkin.

Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, funktsiya berilgan hisoblanadi, agar:

Funktsiya doirasi ko'rsatilgan X ;

Funktsiya qiymatlari diapazoni o'rnatiladi Y ;

Xat yozish qoidasi (qonuni) ma'lum va har biri uchun shunday

Argument qiymatlari faqat bitta funktsiya qiymatini topish mumkin.

Aniq funktsiyalar uchun bu talab majburiydir.

Monotonik funktsiya. Agar argumentning har qanday ikkita qiymati uchun x 1 va x 2 shartdan x 2 > x 1 tasi f(x 2) > f(x 1), keyin funksiya f(x) deyiladi ortib boradi; har qanday bo'lsa x 1 va x 2 shartdan x 2 > x 1 tasi f(x 2) < f(x 1), keyin funksiya f(x) deyiladi kamayib borayotgan... Faqat ortib boruvchi yoki faqat kamayib boruvchi funksiya chaqiriladi monoton.

Cheklangan va cheksiz funktsiyalar. Funktsiya chaqiriladi cheklangan agar shunday ijobiy raqam bo'lsa M nima | f(x) | M barcha qadriyatlar uchun x. Agar bunday raqam mavjud bo'lmasa, u holda funktsiya - cheksiz.

MISOL

3-rasmda tasvirlangan funksiya cheklangan, ammo monotonik emas. 4-rasmdagi funksiya aksincha, monoton, lekin cheksizdir. (Iltimos, tushuntiring!).

Uzluksiz va uzluksiz funktsiyalar. Funktsiya y = f (x) deyiladi davomiy nuqtadax = a, agar:

1) funksiya da belgilangan x = a, ya'ni. f (a) mavjud;

2) mavjud cheklangan chegara lim f (x) ;

x→a

("Funktsiya chegaralari" ga qarang)

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Agar ushbu shartlardan kamida bittasi bajarilmasa, u holda funktsiya chaqiriladi uzluksiz nuqtada x = a.

Agar funktsiya uzluksiz bo'lsa hammasidan uning ta'rif sohasining nuqtalari keyin deyiladi uzluksiz funksiya.

Juft va toq funksiyalar. Agar uchun har qanday x f(- x) = f (x), keyin funksiya chaqiriladi hatto agar sodir bo'lsa: f(- x) = - f (x), keyin funksiya chaqiriladi g'alati... Hatto funksiya grafigi Y o'qiga nisbatan simmetrik(5-rasm), toq funksiyaning grafigi Simkelib chiqishiga nisbatan metrik(6-rasm).

Davriy funktsiya. Funktsiya f (x) - davriy agar shunday bo'lsa nolga teng raqam T nima uchun har qanday x funktsiyani aniqlash domenidan quyidagilar amalga oshiriladi: f (x + T) = f (x). Bunday kamida raqam chaqiriladi funktsiya davri... Barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir.

MISOL 1. Bu gunohni isbotlang x 2 davrga ega.

Yechim. Biz bilamizki gunoh ( x + 2n) = gunoh x, qayerda n= 0, ± 1, ± 2, ...

Shuning uchun 2-ilova n sinus argumenti uchun emas

Uning ma'nosini o'zgartiradi. Yana shunday raqam bormi

Xuddi shu mulkmi?

Keling, shunday da'vo qilaylik P- bunday raqam, ya'ni. tenglik:

gunoh ( x + P) = gunoh x,

Har qanday qiymat uchun amal qiladi x... Ammo keyin bor

Joy va at x= / 2, ya'ni.

Gunoh (/ 2 + P) = gunoh / 2 = 1.

Ammo kamaytirish formulasiga ko'ra, gunoh (/ 2 + P) = cos P... Keyin

Oxirgi ikki tenglikdan cos kelib chiqadi P= 1, lekin biz

Bu faqat qachon to'g'ri ekanligini bilamiz P = 2n... Eng kichigidan beri

Nolga teng bo'lmagan 2 raqami n 2 bo'lsa, bu raqam

Va gunoh davri bor x... Xuddi shunday isbotlash mumkinki 2 dan n demak, bu davr gunoh 2 x.

Funktsiya nollari. Funktsiya 0 ga teng bo'lgan argumentning qiymati chaqiriladi nol (ildiz) funktsiyasi... Funktsiyada bir nechta nol bo'lishi mumkin.Masalan, funksiya y = x (x + 1) (x-3) uchta nolga ega: x= 0, x= -1, x= 3. Geometrik funktsiya nol - bu funktsiya grafigining o'qi bilan kesishish nuqtasining abscissasidir NS .

7-rasmda nolga ega funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan: x= a, x = b va x= c.

Asimptot. Agar funktsiya grafigi koordinata boshidan uzoqlikda joylashgan qandaydir to‘g‘ri chiziqqa cheklanmagan holda yaqinlashsa, bu to‘g‘ri chiziq deyiladi. asimptota.

Funktsiya nollari
Funktsiyaning noli bu qiymatdir NS, bunda funktsiya 0 ga aylanadi, ya'ni f (x) = 0.

Nollar funksiya grafigining o‘q bilan kesishgan nuqtalaridir Oh.

Paritet funksiyasi
Funktsiya har qanday bo'lsa ham chaqiriladi NS domendan f (-x) = f (x) tengligi.

Juft funksiya o'qga nisbatan simmetrikdir OU

G'alati funktsiya
Agar mavjud bo'lsa, funktsiya g'alati deyiladi NS domendan f (-x) = -f (x) tengligi bajariladi.

Toq funksiya kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir.
Juft ham, toq ham bo‘lmagan funksiya funksiya deyiladi. umumiy ko'rinish.

Funktsiyani oshirish
f (x) funksiya agar ortib boruvchi deyiladi ko'proq ma'no argument funktsiyaning kattaroq qiymatiga mos keladi, ya'ni.

Pastga tushish funksiyasi
Agar argumentning katta qiymati funktsiyaning kichik qiymatiga to'g'ri kelsa, f (x) funksiya kamayuvchi deb ataladi, ya'ni.

Funksiya faqat kamayadi yoki faqat ortadi oraliqlar deyiladi monotonlik intervallari... f (x) funktsiyasi 3 ta monotonlik oralig'iga ega:

Xizmatning ko'tarilish va pasayish funksiyasi intervallaridan foydalanib, monotonlik intervallarini toping

Mahalliy maksimal
Nuqta x 0 agar mavjud bo'lsa, mahalliy maksimal nuqta deb ataladi NS nuqta yaqinidan x 0 tengsizlik bajariladi: f (x 0)> f (x)

Mahalliy minimal
Nuqta x 0 agar mavjud bo'lsa, mahalliy minimal nuqta deyiladi NS nuqta yaqinidan x 0 tengsizlik bajariladi: f (x 0)< f(x).

Mahalliy maksimal nuqtalar va mahalliy minimal nuqtalar mahalliy ekstremal nuqtalar deb ataladi.

mahalliy ekstremal nuqtalar.

Funktsiyaning davriyligi
f (x) funksiyasi davriy, davriy deyiladi T har qanday bo'lsa NS f (x + T) = f (x) tengligi bajariladi.

Doimiylik intervallari
Funktsiya faqat musbat yoki faqat manfiy bo'lgan intervallarga doimiylik intervallari deyiladi.

Funktsiyaning uzluksizligi
f (x) funksiya x 0 nuqtada uzluksiz deyiladi, agar funktsiyaning x → x 0 sifatida chegarasi shu nuqtadagi funktsiya qiymatiga teng bo'lsa, ya'ni. .

Tanaffus nuqtalari
Uzluksizlik sharti buzilgan nuqtalar funksiyaning uzilish nuqtalari deyiladi.

x 0- uzilish nuqtasi.

Funksiya grafiklarini tuzishning umumiy sxemasi

1. D (y) funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

2. Funksiyalar grafigining koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.

3. Funksiyani juft yoki toq paritet uchun tekshiring.

4. Funksiyaning davriyligini tekshiring.

5. Funksiyaning monotonlik oraliqlari va ekstremum nuqtalarini toping.

6. Funksiyaning qavariq oraliqlari va burilish nuqtalarini toping.

7. Funksiyaning asimptotalarini toping.

8. Tadqiqot natijalari asosida grafik tuzing.

Misol: Funksiyani tekshirib, uning grafigini tuzing: y = x 3 - 3x

1) Funksiya butun son oʻqi boʻyicha aniqlangan, yaʼni uning aniqlanish sohasi D (y) = (-∞; + ∞).

2) Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping:

OX o'qi bilan: x 3 - 3x = 0 tenglamani yeching

OY o'qi bilan: y (0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

3) Funksiyaning juft yoki toq ekanligini aniqlaymiz:

y (-x) = (-x) 3 - 3 (-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 - 3x) = -y (x)

Bundan kelib chiqadiki, funktsiya g'alati.

4) Funksiya davriy emas.

5) Funksiyaning monotonlik oraliqlari va ekstremum nuqtalarini toping: y ’= 3x 2 - 3.

Kritik nuqtalar: 3x 2 - 3 = 0, x 2 = 1, x = ± 1.

y (-1) = (-1) 3 - 3 (-1) = 2

y (1) = 1 3 - 3 * 1 = -2

6) Funksiyaning qavariq oraliqlari va burilish nuqtalarini toping: y ’’ = 6x

Kritik nuqtalar: 6x = 0, x = 0.

y (0) = 0 3 - 3 * 0 = 0

7) Funktsiya uzluksiz, uning asimptotalari yo'q.

8) Tadqiqot natijalari asosida funksiya grafigini tuzamiz.

Cheklovlar va uzluksizlik

To'plamlar

ostida ko'pchilik bir hil ob'ektlar to'plami tushuniladi. To'plamni tashkil etuvchi ob'ektlar deyiladi elementlar yoki nuqta bu to'plam. To'plamlar katta harflar bilan, elementlari esa kichik harflar bilan belgilanadi. Agar a to'plamning bir qismidir A, keyin belgi ishlatiladi aÎ A... Agar b to'plamning a'zosi emas A, keyin shunday yoziladi: b Ï A... Tarkibida hech qanday element bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va quyidagicha belgilanadi: Ø.

Agar to'plam B to'plam elementlarining bir qismidan iborat A yoki unga to'g'ri keladi, keyin to'plam B deyiladi pastki to'plam to'plamlar va belgilang BÌ A.

Ikki to'plam chaqiriladi teng agar ular bir xil elementlardan iborat bo'lsa.

Mustahkamlash ikkita to'plam A va B to'plam deb ataladi C, kamida bitta to'plamga tegishli barcha elementlardan iborat: C=AÈ B.

Kesib o'tish ikkita to'plam A va B to'plam deb ataladi C, berilgan to'plamlarning har biriga tegishli barcha elementlardan iborat: C=AÇ B.

Farq to'plamlar A va B to'plam deb ataladi E A to'plamga tegishli emas B: .

Qo'shimcha ko'pchilik AÌ B to'plam deb ataladi C to'plamning barcha elementlaridan iborat B tegishli emas A.

Elementlari haqiqiy sonlar bo'lgan to'plamlar deyiladi raqamli:

Qayerda NÌ ZÌ QÌ R, IÌ R va R=IÈ Q.

Kopgina X elementlari tengsizlikni qanoatlantiruvchi deyiladi segment(segment) va [ bilan belgilanadi a; b]; tengsizlik a<x<b – interval va () bilan belgilanadi; tengsizliklar va - yarim oraliqlar va mos ravishda va bilan belgilanadi. Bundan tashqari, ko'pincha cheksiz intervallar va yarim oraliqlar bilan shug'ullanishingiz kerak:,,, va. Ularning barchasi qo'ng'iroq qilish uchun qulay intervallar .

Interval, ya'ni. tengsizlikni qondiradigan nuqtalar to'plami (qaerda), nuqtaning qo'shnisi deb ataladi a.

Funktsiya tushunchasi. Funksiyaning asosiy xossalari

Agar har bir element x ko'pchilik X bitta elementga mos keladi y ko'pchilik Y, keyin ular buni to'plamda aytishadi X berilgan funktsiyasi y=f(x). Qayerda x deyiladi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil, a y – qaram o'zgaruvchi yoki funktsiyasi, a f yozishmalar qonunini bildiradi. Kopgina X deyiladi qamrovi funktsiyalari va to'plami Y – diapazon funktsiyalari.

Funktsiyalarni aniqlashning bir necha usullari mavjud.

1) Analitik usul - funktsiya shakl formulasi bilan beriladi y=f(x).

2) Jadval usuli - funktsiya argument qiymatlari va mos keladigan funktsiya qiymatlarini o'z ichiga olgan jadval bilan belgilanadi. y=f(x).

3) Grafik usul - funksiya grafigining tasviri, ya'ni. nuqtalar to'plami ( x; y) koordinata tekisligining abstsissalari argument qiymatlarini, ordinatalari esa funksiyaning mos qiymatlari. y=f(x).

4) Og'zaki yo'l - funktsiya uning tarkibi qoidasi bilan tavsiflanadi. Masalan, Dirixlet funksiyasi 1 if qiymatini oladi x Ratsional son va 0 bo'lsa x Irratsional son.

Funksiyalarning quyidagi asosiy xossalari ajratiladi.

1 Juft va toq Funktsiya y=f(x) deyiladi hatto agar biron bir qiymat uchun x uning ta'rifi doirasidan, f(–x)=f(x), va g'alati, agar f(–x)=–f(x). Agar sanab o'tilgan tengliklarning hech biri bajarilmasa, unda y=f(x) deyiladi umumiy funktsiya... Juft funksiya grafigi o‘qga nisbatan simmetrikdir Oy, va toq funksiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.

2 Monotonlik Funktsiya y=f(x) deyiladi ortib boradi (kamayib borayotgan) intervalda X, agar bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq (kichik) qiymatiga mos kelsa. Bo'lsin x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 . Keyin funksiya intervalda ortadi X, agar f(x 2)>f(x 1) va agar kamayadi f(x 2)<f(x 1).

O'suvchi va kamayuvchi funktsiyalar bilan bir qatorda kamaymaydigan va o'smaydigan funktsiyalar ko'rib chiqiladi. Funktsiya chaqiriladi kamaymaydigan (oshmaydigan) agar uchun x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 tengsizlik f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

O'suvchi va kamayuvchi funktsiyalar, shuningdek, o'smaydigan va kamaymaydigan funktsiyalar monoton deyiladi.

3 Cheklovlar Funktsiya y=f(x) oraliqda chegaralangan deb ataladi X agar shunday ijobiy raqam bo'lsa M> 0 shundayki | f(x)|≤M har kim uchun xÎ X... V aks holda funksiya cheksiz deb ataladi X.

4 Chastotasi Funktsiya y=f(x) davrli davriy deyiladi T≠ 0, agar mavjud bo'lsa x funktsiya domenidan f(x+T)=f(x). Keyinchalik, davr funktsiyaning eng kichik ijobiy davrini anglatadi.

Funktsiya chaqiriladi aniq agar u shaklning formulasi bilan berilgan bo'lsa y=f(x). Agar funktsiya tenglama bilan berilgan bo'lsa F(x, y) = 0 qaram o'zgaruvchiga nisbatan ruxsat etilmaydi y keyin uni chaqirishadi yashirin.

Bo'lsin y=f(x) to‘plamda aniqlangan mustaqil o‘zgaruvchining funksiyasi X diapazon bilan Y... Keling, har biriga yozishmalar qilaylik yÎ Y yagona ma'no xÎ X qaysi vaqtda f(x)=y Keyin hosil bo'lgan funksiya x=φ (y) to'plamda belgilangan Y diapazon bilan X deyiladi teskari va belgilandi y=f –1 (x). O'zaro teskari funksiyalarning grafiklari birinchi va uchinchi koordinata choragining bissektrisalariga nisbatan simmetrikdir.

Funktsiyaga ruxsat bering y=f(u) o‘zgaruvchining funksiyasi u to'plamda aniqlanadi U diapazon bilan Y va o'zgaruvchi u o‘z navbatida funksiya hisoblanadi u=φ (x) to'plamda belgilangan X diapazon bilan U... Keyin to'plamda beriladi X funktsiyasi y=f(φ (x)) deyiladi murakkab funktsiya(funksiyalarning tarkibi, funksiyalarning superpozitsiyasi, funksiyaning funksiyasi).

Elementar funksiyalar

Asosiy elementar funktsiyalarga quyidagilar kiradi:

• quvvat funktsiyasi y=x n; y=x - n va y=x 1/ n;
• eksponensial funktsiya y=a x;
• logarifmik funktsiya y= jurnal a x;
• trigonometrik funktsiyalar y= gunoh x, y= cos x, y= tg x va y= ctg x;
• teskari trigonometrik funktsiyalar y= arksin x, y= arkkos x, y= arctg x va y= arcctg x.

Yangi funksiyalarni algebraik amallar va funksiyalarning superpozitsiyasi yordamida asosiy elementar funksiyalardan olish mumkin.

Cheklangan sonli algebraik amallar va chekli sonli superpozitsiya amallari yordamida asosiy elementar funksiyalardan tuzilgan funksiyalar deyiladi. boshlang'ich.

Algebraik argument ustida chekli sonli algebraik amallar bajariladigan funksiya deyiladi. Algebraik funktsiyalarga quyidagilar kiradi:

Butun ratsional funktsiya (polinom yoki polinom)

Kasr ratsional funktsiya (ikkita ko'phadning nisbati)

· Irratsional funktsiya (argument ustidagi amallarning bir qismi sifatida ildiz chiqarish mavjud bo'lsa).

Har qanday algebraik bo'lmagan funksiya deyiladi transsendental... Transsendental funktsiyalarga ko'rsatkichli, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik funktsiyalar kiradi.

Funksiyalar va ularning xossalari

Funksiya eng muhim matematik tushunchalardan biridir.Funktsiya y o'zgaruvchining x o'zgaruvchiga shunday bog'liqligi shunday deyiladiki, x o'zgaruvchining har bir qiymati y o'zgaruvchining bitta qiymatiga mos keladi.

O'zgaruvchan NS deyiladi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil. O'zgaruvchan da deyiladi qaram o'zgaruvchi. Bu ham aytiladiy o'zgaruvchisi x o'zgaruvchining funktsiyasidir. Tobe o'zgaruvchi qiymatlari deyiladifunksiya qiymatlari.

Agar o'zgaruvchining bog'liqligida o'zgaruvchidanNS funktsiya bo'lsa, u qisqacha quyidagicha yoziladi:y= f( x ). (O'qing:da tengf danNS .) Belgisif( x) ga teng argument qiymatiga mos keladigan funksiya qiymatini belgilangNS .

Mustaqil o'zgaruvchan shaklning barcha qiymatlarifunktsiya domeni . Bog'liq o'zgaruvchi shakllanadigan barcha qiymatlarfunktsiya diapazoni .

Agar funktsiya formula bilan ko'rsatilgan bo'lsa va uning doirasi ko'rsatilmagan bo'lsa, u holda funktsiya doirasi formula mantiqiy bo'lgan argumentning barcha qiymatlaridan iborat deb hisoblanadi.

Funktsiyani o'rnatish usullari:

1.analitik usul (funksiya matematik formula yordamida o'rnatiladi;

2. jadval usuli (funksiya jadval yordamida o'rnatiladi)

3.tasviriy yo‘l (funksiya og‘zaki tavsif orqali beriladi)

4.grafik usul (funksiya grafik yordamida o'rnatiladi).

Funktsiya grafigi abscissalari argument va ordinatalar qiymatlariga teng bo'lgan koordinata tekisligining barcha nuqtalari to'plamini chaqiring. - mos keladigan funktsiya qiymatlari.

FUNKSIYALARNING ASOSIY XUSUSIYATLARI

1. Funktsiya nollari

Funktsiya nol - bu funktsiya qiymati nolga teng bo'lgan argument qiymati..

2. Funksiya doimiyligi intervallari

Funktsiyaning doimiy belgisi intervallari - bu funktsiya qiymatlari faqat ijobiy yoki faqat manfiy bo'lgan argument qiymatlari to'plami.

3. Ortib boruvchi (kamayuvchi) funksiya.

Ortib bormoqda ma'lum bir oraliqda, bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga mos keladigan funktsiyadir.

Funktsiya y = f ( x ) chaqirdi ortib boradi intervalda (a; b ), har qanday bo'lsa x 1 va x 2 bu oraliqdan shundaykix 1 < x 2 , tengsizlik haqiqatdirf ( x 1 )< f ( x 2 ).

Kamaymoqda ma'lum bir oraliqda, bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kichikroq qiymatiga mos keladigan funktsiyadir.

Funktsiya da = f ( x ) chaqirdi kamayib borayotgan intervalda (a; b ) har qanday bo'lsa x 1 va x 2 bu oraliqdan shundayki x 1 < x 2 , tengsizlik haqiqatdirf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Paritet (toq) funksiya

Hatto funktsiya - ta'rif sohasi kelib chiqishi va har qanday uchun simmetrik bo'lgan funksiyaNS domendan, tenglikf (- x ) = f ( x ) ... Juft funksiya grafigi ordinata o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Masalan, y = x 2 juft funksiya hisoblanadi.

G'alati funktsiya- ta'rif sohasi kelib chiqishi va har qanday uchun simmetrik bo'lgan funksiya NS ta'rif sohasi tenglikni qanoatlantiradi f (- x ) = - f (x ). Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.

Masalan: y = x 3 - g'alati funktsiya .

Umumiy funksiya juft yoki toq emas (y = x 2 + x ).

Ayrim funksiyalarning xossalari va ularning grafikasi

1. Chiziqli funksiya shaklning funksiyasi deyiladi , qayerda k va b - raqamlar.

Chiziqli funktsiyaning sohasi to'plamdirR haqiqiy raqamlar.

Chiziqli funksiya grafigida = kx + b ( k ≠ 0) nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq (0;b ) va parallel chiziqda = kx .

To'g'ri, o'qga parallel emasOU, chiziqli funksiya grafigidir.

Chiziqli funksiya xossalari.

1. Qachon k > 0 funktsiyasi da = kx + b

2. Qachon k < 0 funktsiyasi y = kx + b ta'rif sohasining qisqarishi.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) butun son qatori, ya'ni. kopginaR haqiqiy raqamlar.

Da k = 0 funktsiya qiymatlari to'plamiy = kx + b bitta raqamdan iboratb .

3. Qachon b = 0 va k = 0 funksiya juft ham, toq ham emas.

Da k = 0 chiziqli funksiya ko'rinishga egay = b va da b ≠ 0 bu teng.

Da k = 0 va b = 0 chiziqli funksiya ko'rinishga egay = 0 va toq va juft.

Chiziqli funksiya grafigiy = b nuqtadan o'tuvchi chiziq (0; b ) va o'qga parallelOh. Buning uchun e'tibor bering b = 0 funktsiya grafigiy = b o'qiga to'g'ri keladi Oh .

5. Qachon k > 0 bizda shunday da> 0 agar va da< 0 agar. Da k < 0 bizda y> 0 bo'lsa va da< 0, если .

2. Funktsiya y = x 2

Rhaqiqiy raqamlar.

O'zgaruvchiga biriktirish orqaliNS funktsiya sohasidan bir nechta qiymatlar va tegishli qiymatlarni hisoblashda formula bo'yicha y = x 2 , funksiyaning grafigini ifodalaymiz.

Funktsiya grafigi y = x 2 chaqirdi parabola.

y = x funksiyaning xossalari 2 .

1. Agar NS= 0, keyin y = 0, ya'ni. parabola koordinata o'qlari (0; 0) bilan umumiy nuqtaga ega - bosh.

2. Agar x ≠ 0 , keyin da > 0, ya'ni. parabolaning koordinatadan tashqari barcha nuqtalari abscissa o'qi ustida yotadi.

3. Funksiya qiymatlari to‘plamida = NS 2 oraliq funksiyasidirda = NS 2 kamayadi.

NS

3.Funktsiya

Ushbu funktsiyaning doirasi span funktsiyasidiry = | x | kamayadi.

7. Funksiya nuqtadagi eng kichik qiymatni oladiNS, bu 0 ga teng. Eng yuqori qiymat mavjud emas.

6. Funktsiya

Funktsiya doirasi: .

Funktsiya diapazoni: .

Grafik giperboladir.

1. Funksiyaning nollari.

da ≠ 0, nol yo'q.

2. Doimiylik intervallari,

Agar k > 0, keyin da uchun > 0 NS > 0; da < 0 при NS < О.

Agar k < 0, то da < 0 при NS > 0; da uchun > 0 NS < 0.

3. O'sish va kamayish oraliqlari.

Agar k > 0, keyin funktsiya sifatida kamayadi .

Agar k < 0, то функция возрастает при .

4. Funksiyaning pariteti (g‘alatiligi).

Funktsiya g'alati.

Kvadrat trinomial

Shakl tenglamasi bolta 2 + bx + c = 0, bu erda a , b va bilan - ba'zi raqamlar, bundan tashqaria ≠ 0 deyiladi kvadrat.

Kvadrat tenglamadabolta 2 + bx + c = 0 koeffitsienti a chaqirdi birinchi koeffitsient, b - ikkinchi koeffitsientlar, s - bepul a'zo.

Ildiz formulasi kvadrat tenglama kabi ko'rinadi:

.

ifoda deyiladi diskriminant kvadrat tenglama va bilan belgilanadiD .

Agar D = 0, u holda tenglamani qanoatlantiradigan faqat bitta raqam mavjud bolta 2 + bx + c = 0. Biroq, biz bu holda kvadrat tenglama ikkita teng haqiqiy ildizga ega ekanligini va sonning o'zini aytishga rozi bo'ldik. deyiladi qo'sh ildiz.

Agar D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Agar D > 0 bo'lsa, kvadrat tenglama ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi.

Kvadrat tenglama berilsinbolta 2 + bx + c = 0. beri a ≠ 0 bo'lsa, bu tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lisha, tenglamani olamiz ... Taxmin qilib va , tenglamaga kelamiz , unda birinchi koeffitsient 1 ga teng. Bunday tenglama deyiladiberilgan.

Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi:

.

Shaklning tenglamalari

a x 2 + bx = 0, bolta 2 + bilan = 0, a x 2 = 0

deyiladi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar tenglamaning chap tomonini koeffitsientlarga ajratish yo'li bilan yechiladi.

Vyeta teoremasi .

Kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientning birinchi koeffitsientga nisbatiga teng bo'ladi va ildizlarning mahsuloti bo'sh muddatning birinchi koeffitsientga nisbati, ya'ni.

Qarama-qarshi teorema.

Har qanday ikkita raqamning yig'indisi bo'lsaNS 1 va NS 2 ga teng , va ularning mahsuloti, u holda bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadiOh 2 + b x + c = 0.

Ko'rish funktsiyasi Oh 2 + b x + c chaqirdi kvadrat trinomial. Bu funksiyaning ildizlari mos keladigan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadiOh 2 + b x + c = 0.

Agar diskriminant bo'lsa kvadrat trinomial noldan katta bo'lsa, bu trinomiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

Oh 2 + b x + c = a (x-x 1 ) (x-x 2 )

qayerda NS 1 va NS 2 - trinomialning ildizlari

Agar kvadrat trinomning diskriminanti nolga teng bo'lsa, bu trinomiya quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Oh 2 + b x + c = a (x-x 1 ) 2

qayerda NS 1 trinomning ildizidir.

Masalan, 3x 2 - 12x + 12 = 3 (x - 2) 2 .

Shakl tenglamasi Oh 4 + b NS 2 + bilan= 0 deyiladi biquadratik. Formuladan foydalanib o'zgaruvchini almashtirish orqaliNS 2 = y u kvadrat tenglamaga keltiriladia y 2 + tomonidan + c = 0.

Kvadrat funksiya

Kvadrat funksiya shakl formulasi bilan yoziladigan funksiya deyiladiy = bolta 2 + bx + c , qayerda x - mustaqil o'zgaruvchi;a , b va c - ba'zi raqamlar, bundan tashqaria ≠ 0.

Funktsiyaning xususiyatlari va uning grafigining turi asosan koeffitsient qiymatlari bilan belgilanadia va diskriminant.

Kvadrat funksiyaning xossalari

Domen:R;

Qiymatlar diapazoni:

da a > 0 [- D/(4 a); ∞)

da a < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Juft toq:

da b = 0 funksiya juft

da b ≠ 0 funksiyasi toq ham, juft ham emas

da D> 0 ikkita nol:,

da D= 0 bir nol:

da D < 0 нулей нет

Doimiylik intervallari:

agar, a> 0, D> 0, keyin

agar, a> 0, D= 0, keyin

e a> 0 bo'lsa, D < 0, то

agar a< 0, D> 0, keyin

agar a< 0, D= 0, keyin

agar a< 0, D < 0, то

- Monotoniyaning intervallari

a> 0 uchun

da a< 0

Kvadrat funksiyaning grafigiparabola - to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik egri chiziq parabolaning cho'qqisidan o'tuvchi (parabola cho'qqisi - parabolaning simmetriya o'qi bilan kesishgan nuqtasi).

Kvadrat funktsiya grafigini tuzish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) parabolaning uchi koordinatalarini toping va uni koordinata tekisligida belgilang;

2) parabolaga tegishli yana bir qancha nuqtalarni yasang;

3) belgilangan nuqtalarni silliq chiziq bilan bog'lang.

Parabola tepasining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

; .

Funksiya grafiklarini konvertatsiya qilish

1. Cho'zish grafikay = x 2 eksa bo'ylabda v|a | marta (da|a | < 1 - 1 ga siqish /|a | bir marta).

Agar, va< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси NS (parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi).

Natija: funktsiya grafigiy = ah 2 .

2. Parallel uzatish funktsiya grafikasiy = ah 2 eksa bo'ylabNS yoqilgan| m | (o'ngda

m > 0 va chapgaT< 0).

Natija: funksiya grafigiy = a (x - t) 2 .

3. Parallel uzatish funktsiya grafikasi eksa bo'ylabda yoqilgan| n | (yuqorigan> 0 va pastdaNS< 0).

Natija: funksiya grafigiy = a (x - t) 2 + p.

Kvadrat tengsizliklar

Shaklning tengsizliklariOh 2 + b x + c> 0 vaOh 2 + bx + c< 0, qayerdaNS - o'zgaruvchan,a , b vabilan - ba'zi raqamlar, bundan tashqari,a ≠ 0 ga bitta o'zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklar deyiladi.

Bitta o‘zgaruvchida ikkinchi darajali tengsizlikni yechish mos kvadrat funksiya musbat yoki manfiy qiymatlarni qabul qiladigan oraliqlarni topish deb qaralishi mumkin.

Shaklning tengsizliklarini yechishOh 2 + bx + c> 0 vaOh 2 + bx + c< 0 quyidagilarni bajaring:

1) kvadrat uch a’zoning diskriminantini toping va uch a’zoning ildizlari bor-yo‘qligini aniqlang;

2) agar trinomialning ildizlari bo'lsa, ularni o'qda belgilangNS va belgilangan nuqtalar orqali shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan sxematik ravishda parabola chiziladi.a > 0 yoki pastgaa< 0; agar trinomialning ildizlari bo'lmasa, u holda yuqori yarim tekislikda joylashgan parabolani sxematik tarzda tasvirlang.a > 0 yoki pastki qismidaa < 0;

3) o'qda topingNS parabola nuqtalari o'qdan yuqorida joylashgan intervallarNS (agar tengsizlik yechilsaOh 2 + bx + c> 0) yoki eksa ostidaNS (agar tengsizlik yechilsaOh 2 + bx + c < 0).

Misol:

Tengsizlikni yeching .

Funktsiyani ko'rib chiqing

Uning grafigi parabola bo'lib, shoxlari pastga yo'naltirilgan (chunki. ).

Keling, grafik o'qga nisbatan qanday joylashganligini bilib olaylikNS. Buning uchun tenglamani yechamiz ... Biz buni tushunamizx = 4. Tenglama bitta ildizga ega. Demak, parabola o'qga tegadiNS.

Parabolani chizib, biz funktsiya har qanday uchun salbiy qiymatlarni olishini aniqlaymizNS, 4 bundan mustasno.

Javobni quyidagicha yozish mumkin:NS - 4 ga teng bo'lmagan har qanday raqam.

Tengsizliklarni interval usuli yordamida yechish

yechim sxemasi

1. Nollarni toping tengsizlikning chap tomonidagi funksiya.

2. Nollarning son o‘qidagi o‘rnini belgilang va ularning ko‘pligini aniqlang (agark i juft bo'lsa, u holda juft ko'plikning nolga teng, agark i g'alati - keyin g'alati).

3. Funksiyaning belgilarini toping uning nollari orasidagi intervallarda, eng o'ng oraliqdan boshlab: bu oraliqda, tengsizlikning chap tomonidagi funktsiya har doim ijobiy bo'ladi. tengsizliklarning qisqartirilgan shakli uchun. Funktsiyaning noldan o'ngdan chapga bir bo'shliqdan qo'shnisiga o'tishda quyidagilarni hisobga olish kerak:

agar nol toq bo'lsa ko'plik, funktsiyaning belgisi o'zgaradi,

agar nol juft bo'lsa ko`plik, funksiya belgisi saqlanadi.

4. Javobingizni yozib oling.

Misol:

(x + 6) (x + 1) (NS - 4) < 0.

Funktsiya nollari topildi. Ular teng:NS 1 = -6; NS 2 = -1; NS 3 = 4.

Koordinata chizig'ida funktsiyaning nollarini belgilaymizf ( x ) = (x + 6) (x + 1) (NS - 4).

(-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) va har bir oraliqda bu funksiyaning belgilarini topamiz.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, tengsizlikning yechimlari to'plami (-∞; -6) va (-1; 4) oraliqlarning birlashmasidan iborat.

Javob: (-∞ ; -6) va (-1; 4).

Tengsizliklarni yechishning ko'rib chiqilgan usuli deyiladiintervallar usuli bilan.

The uslubiy material ma'lumot uchun mo'ljallangan va keng mavzularni qamrab oladi. Maqolada asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari ko'rib chiqiladi va eng muhim masala ko'rib chiqiladi - grafikni qanday qilib to'g'ri va TEZ qurish kerak... Oliy matematikani oʻrganish jarayonida asosiy elementar funksiyalarning grafiklarini bilmasdan turib, qiyin boʻladi, shuning uchun parabola, giperbola, sinus, kosinus va boshqalarning grafiklari qanday koʻrinishini eslab qolish, baʼzilarini eslab qolish juda muhim. funksiyalarning qiymatlari. Shuningdek, biz asosiy funktsiyalarning ba'zi xususiyatlari haqida gapiramiz.

Men materiallarning to'liqligi va ilmiy puxtaligiga da'vo qilmayman, urg'u, birinchi navbatda, amalda - o'sha narsalarga qaratiladi. Oliy matematikaning har qanday mavzusida har qadamda tom ma'noda shug'ullanish kerak... Dummies uchun jadvallar? Siz shunday deyishingiz mumkin.

O'quvchilarning mashhur talabiga binoan bosiladigan tarkib jadvali:

Bundan tashqari, mavzu bo'yicha ultra qisqacha konspekt mavjud
- OLTI sahifani o'rganish orqali 16 turdagi jadvallarni o'zlashtiring!

Jiddiy, olti, hatto men hayron bo'ldim. Ushbu konspekt yaxshilangan grafiklarni o'z ichiga oladi va token to'lovi evaziga mavjud, demo versiyasini ko'rish mumkin. Grafiklar doimo qo'lda bo'lishi uchun faylni chop etish qulay. Loyihani qo'llab-quvvatlaganingiz uchun tashakkur!

Va darhol boshlaymiz:

Koordinata o'qlarini qanday qilib to'g'ri chizish mumkin?

Amalda, testlar deyarli har doim talabalar tomonidan alohida daftarlarda, qafasda chiziladi. Nega sizga katakli chiziqlar kerak? Axir, ish, qoida tariqasida, A4 varaqlarida bajarilishi mumkin. Va qafas faqat chizmalarning yuqori sifatli va aniq dizayni uchun kerak.

Funktsiya grafigining har qanday chizmasi koordinata o'qlaridan boshlanadi.

Chizmalar 2D va 3D formatlarida mavjud.

Avval ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqing kartezyen to'rtburchaklar koordinatalar tizimi:

1) Koordinata o'qlarini chizamiz. Eksa deyiladi abscissa va eksa y o'qi ... Biz har doim ularni chizishga harakat qilamiz toza va egri emas... O'qlar ham Papa Karloning soqoliga o'xshamasligi kerak.

2) Biz o'qlarni "X" va "Y" bosh harflari bilan imzolaymiz. Baltalarga imzo qo'yishni unutmang.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating: nol va ikkita birlikni chizish... Chizilgan rasmni bajarishda eng qulay va keng tarqalgan shkala: 1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan) - iloji bo'lsa, unga yopishib oling. Biroq, vaqti-vaqti bilan chizilgan daftar varag'iga mos kelmasligi sodir bo'ladi - keyin biz o'lchovni kamaytiramiz: 1 birlik = 1 katak (o'ngda chizilgan). Kamdan-kam hollarda, lekin shunday bo'ladiki, chizilgan o'lchovni yanada qisqartirish (yoki oshirish) kerak

"Pulemyot bilan chizish" KERAK EMAS ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Uchun koordinata tekisligi- Dekart yodgorligi emas, talaba - kaptar emas. qo'yamiz nol va eksa bo'ylab ikkita birlik... Ba'zan o'rniga birliklarda, boshqa qiymatlarni "belgilash" qulay, masalan, abscissada "ikki" va ordinatada "uch" - va bu tizim (0, 2 va 3) koordinatalar panjarasini ham aniq belgilab beradi.

Chizma qurishdan oldin chizmaning taxminiy o'lchamlarini taxmin qilish yaxshiroqdir.... Shunday qilib, masalan, agar topshiriq sizga uchlari bo'lgan uchburchakni chizishni talab qilsa, 1 birlik = 2 hujayradan iborat mashhur shkala ishlamasligi aniq. Nega? Keling, bir nuqtani ko'rib chiqaylik - bu erda siz o'n besh santimetr pastga o'lchashingiz kerak va aniqki, chizma daftar varag'iga sig'maydi (yoki deyarli sig'maydi). Shuning uchun biz darhol 1 birlik = 1 hujayradan iborat kichikroq shkalani tanlaymiz.

Aytgancha, taxminan santimetr va daftar hujayralari. 30 ta tetrad hujayralar 15 santimetrni o'z ichiga oladi, bu rostmi? Daftarda o'lchagich bilan 15 santimetrni qiziqish uchun o'lchang. SSSRda, ehtimol, bu haqiqat edi ... Shunisi qiziqki, agar siz ushbu santimetrlarni gorizontal va vertikal ravishda o'lchasangiz, natijalar (hujayralarda) boshqacha bo'ladi! Qat'iy aytganda, zamonaviy daftarlar katak emas, balki to'rtburchaklar. Ehtimol, bu bema'nilik bo'lib tuyulishi mumkin, ammo bunday sxemalarda, masalan, kompas bilan doira chizish juda noqulay. Rostini aytsam, shunday damlarda siz mahalliy avtomobilsozlik, qulagan samolyotlar yoki portlovchi elektr stansiyalari haqida gapirmasa ham, ishlab chiqarishdagi xakerlik uchun lagerlarga yuborilgan o'rtoq Stalinning to'g'riligi haqida o'ylay boshlaysiz.

Sifat haqida gapirganda yoki ish yuritish uchun qisqacha tavsiya. Bugungi kunda daftarlarning aksariyati sotuvda, yomon so'zlarni aytmaslik uchun, gomoseksualizm bilan to'la. Ular nafaqat jel qalamlardan, balki sharikli qalamlardan ham namlanadi! Ular qog'ozda tejashadi. Ro'yxatdan o'tish uchun nazorat ishlari Arxangelsk PPM (18 varaq, qafas) yoki "Pyaterochka" daftarlaridan foydalanishni tavsiya etaman, garchi u qimmatroq bo'lsa. Jel qalamini tanlash tavsiya etiladi, hatto eng arzon xitoy jeli ham qog'ozni surtadigan yoki yirtib tashlaydigan sharikli qalamga qaraganda ancha yaxshi. Yagona "raqobatbardosh" sharikli qalam mening xotiramda "Erich Krause". U aniq, chiroyli va barqaror yozadi - to'liq yadro bilan yoki deyarli bo'sh.

Qo'shimcha: To'rtburchaklar koordinatalar tizimini analitik geometriya ko'zlari bilan ko'rish maqolada yoritilgan. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari, koordinata choraklari haqida batafsil ma'lumotni darsning ikkinchi xatboshida topish mumkin Chiziqli tengsizliklar.

Uch o'lchamli korpus

Bu erda deyarli bir xil.

1) Koordinata o'qlarini chizamiz. Standart: eksa qo'llaniladi - yuqoriga, eksa - o'ngga, o'q - chapga va pastga yo'naltirilgan qat'iy 45 daraja burchak ostida.

2) Biz o'qlarni imzolaymiz.

3) O'qlar bo'ylab masshtabni o'rnating. Eksa shkalasi - boshqa o'qlardagi shkalaning yarmi... E'tibor bering, o'ngdagi rasmda men eksa bo'ylab nostandart "serif" ishlatganman (bu imkoniyat yuqorida aytib o'tilgan)... Mening fikrimcha, bu aniqroq, tezroq va estetik jihatdan yoqimliroq - mikroskop ostida hujayraning o'rtasini izlash va kelib chiqishi yonida bir birlikni "haykal" qilishning hojati yo'q.

3D chizmani qayta bajarayotganda - masshtabga ustunlik bering
1 birlik = 2 katak (chapda chizilgan).

Bu qoidalarning barchasi nima uchun? Qoidalarni buzish kerak. Endi nima qilmoqchiman. Gap shundaki, maqolaning keyingi chizmalari men tomonidan Excelda tuziladi va koordinata o'qlari to'g'ri dizayn nuqtai nazaridan noto'g'ri ko'rinadi. Men barcha diagrammalarni qo'lda chizishim mumkin edi, lekin ularni chizish juda dahshatli, chunki Excel ularni yanada aniqroq chizadi.

Elementar funksiyalarning grafiklari va asosiy xossalari

Chiziqli funktsiya tenglama bilan berilgan. Chiziqli funksiyalar grafigi Streyt... To'g'ri chiziq qurish uchun ikkita nuqtani bilish kifoya.

1-misol

Funktsiyani chizing. Keling, ikkita nuqtani topamiz. Nuqtalardan biri sifatida nolni tanlash foydalidir.

Agar, keyin

Boshqa nuqtani oling, masalan, 1.

Agar, keyin

Vazifalarni to'ldirishda nuqtalarning koordinatalari odatda jadvalda umumlashtiriladi:

Va qiymatlarning o'zi og'zaki yoki qoralama, kalkulyatorda hisoblanadi.

Ikki nuqta topildi, keling, chizmani bajaramiz:

Chizma chizishda biz har doim grafiklarga imzo qo'yamiz.

Chiziqli funktsiyaning maxsus holatlarini eslash ortiqcha bo'lmaydi:

Imzolarni qanday tartiblaganimga e'tibor bering, imzolar chizmani o'rganishda nomuvofiqlikka yo'l qo'ymasligi kerak... Bunday holda, chiziqlarning kesishish nuqtasi yaqinida yoki grafiklar orasidagi pastki o'ngda imzo qo'yish juda istalmagan.

1) () ko'rinishdagi chiziqli funksiya to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik deyiladi. Masalan, . To'g'ridan-to'g'ri proportsional grafik har doim koordinatali nuqtadan o'tadi. Shunday qilib, to'g'ri chiziqni qurish soddalashtirilgan - faqat bitta nuqtani topish kifoya.

2) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni o'rnatadi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan o'rnatiladi. Funktsiya grafigi darhol, hech qanday nuqta topmasdan quriladi. Ya'ni, yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "o'yin har doim x ning har qanday qiymati uchun -4 ga teng".

3) Shaklning tenglamasi o'qga parallel to'g'ri chiziqni o'rnatadi, xususan, o'qning o'zi tenglama bilan o'rnatiladi. Funktsiya grafigi ham darhol quriladi. Belgilanishni quyidagicha tushunish kerak: "x har doim, y ning istalgan qiymati uchun 1 ga teng".

Ba'zilar so'rashadi, nega 6-sinfni eslaysizmi ?! Bu shunday, balki shundaydir, faqat amaliyot yillarida men yoki kabi grafik yaratish vazifasini boshdan kechirgan o'nlab talabalarni uchratdim.

To'g'ri chiziq chizish - chizishning eng keng tarqalgan bosqichidir.

To'g'ri chiziq analitik geometriya kursida batafsil ko'rib chiqiladi va xohlovchilar maqolaga murojaat qilishlari mumkin. Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.

Kvadrat, kub funksiya grafigi, polinom grafigi

Parabola. Kvadrat funksiya syujeti () parabola. Mashhur ishni ko'rib chiqing:

Funktsiyaning ayrim xossalarini eslaylik.

Demak, tenglamamizning yechimi: - aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan. Nima uchun bunday bo'lganligini siz hosila haqidagi nazariy maqoladan va funktsiyaning ekstremal qismiga oid darsdan bilib olishingiz mumkin. Shu bilan birga, biz "o'yin" ning tegishli qiymatini hisoblaymiz:

Shunday qilib, cho'qqi nuqtada

Endi biz parabolaning simmetriyasini qo'pol ravishda ishlatib, boshqa nuqtalarni topamiz. Funktsiyani ta'kidlash kerak – hatto emas, lekin, shunga qaramay, parabolaning simmetriyasi bekor qilinmagan.

Qolgan nuqtalarni qanday tartibda topish, menimcha, yakuniy jadvaldan aniq bo'ladi:

Ushbu qurilish algoritmini majoziy ma'noda "shuttle" yoki Anfisa Chexova bilan "oldinga va orqaga" tamoyili deb atash mumkin.

Keling, chizmani bajaramiz:

Ko'rib chiqilgan grafiklardan yana bir foydali belgi esga tushadi:

Kvadrat funksiya uchun () quyidagilar to'g'ri:

Agar, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan.

Agar, u holda parabolaning shoxlari pastga yo'naltirilgan.

Egri chiziq haqida chuqur bilimlarni Giperbola va Parabola darsida olish mumkin.

Kub parabola funksiya bilan berilgan. Mana maktabdan tanish rasm:

Funktsiyaning asosiy xossalarini sanab o'tamiz

Funktsiya grafigi

U parabolaning shoxlaridan birini ifodalaydi. Keling, chizmani bajaramiz:

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bunday holda, eksa vertikal asimptota da giperbolaning grafigi uchun.

Agar chizmani tuzishda grafikning asimptota bilan kesishishiga e'tibor bermasangiz, bu KATTA xato bo'ladi.

Bundan tashqari, bir tomonlama chegaralar bizga giperbola ekanligini aytadi yuqoridan cheklanmagan va pastdan cheklanmagan.

Funktsiyani cheksizlikda ko'rib chiqamiz: ya'ni, agar biz o'q bo'ylab chapga (yoki o'ngga) cheksizgacha harakat qilishni boshlasak, u holda "o'yinlar" bo'ladi. cheksiz yaqin nolga yaqinlashadi va shunga mos ravishda giperbolaning shoxlari cheksiz yaqin o'qiga yaqinlashing.

Shunday qilib, eksa gorizontal asimptota funktsiya grafigi uchun, agar "x" ortiqcha yoki minus cheksizlikka moyil bo'lsa.

Funktsiya shunday g'alati, va demak, giperbola kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir. Bu haqiqat chizmadan yaqqol ko'rinib turibdi, qo'shimcha ravishda u analitik jihatdan osongina tekshiriladi: .

() ko'rinishdagi funktsiya grafigi giperbolaning ikkita tarmog'ini ifodalaydi.

Agar, u holda giperbola birinchi va uchinchi koordinata choraklarida joylashgan(yuqoridagi rasmga qarang).

Agar, u holda giperbola ikkinchi va to'rtinchi koordinata choraklarida joylashgan.

Giperbolaning yashash joyining ko'rsatilgan muntazamligini grafiklarning geometrik o'zgarishlari nuqtai nazaridan tahlil qilish oson.

3-misol

Giperbolaning o'ng shoxini tuzing

Biz nuqta-nuqta qurish usulidan foydalanamiz, shu bilan birga qiymatlarni to'liq bo'linishi uchun tanlash foydalidir:

Keling, chizmani bajaramiz:

Giperbolaning chap novdasini qurish qiyin bo'lmaydi, bu erda faqat toq funksiya yordam beradi. Taxminan aytganda, nuqta-nuqta qurish jadvalida har bir raqamga minus qo'shing, tegishli nuqtalarni qo'ying va ikkinchi novdani torting.

Ko'rib chiqilgan chiziq haqida batafsil geometrik ma'lumotni Giperbola va Parabola maqolasida topish mumkin.

Eksponensial funksiya grafigi

Ushbu bo'limda men darhol eksponensial funktsiyani ko'rib chiqaman, chunki oliy matematika muammolarida 95% hollarda bu eksponensial hisoblanadi.

Sizga shuni eslatib o'taman - bu irratsional raqam: bu jadvalni tuzishda talab qilinadi, men buni marosimsiz quraman. Uch ochko balki etarli:

Funksiya grafigini hozircha yolg‘iz qoldiraylik, bu haqda keyinroq to‘xtalib o‘tamiz.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Asosan, funktsiya grafiklari bir xil ko'rinadi va hokazo.

Aytishim kerakki, ikkinchi holat amalda kamroq uchraydi, lekin u sodir bo'ladi, shuning uchun men uni ushbu maqolaga kiritishni zarur deb bildim.

Logarifmik funksiya grafigi

Natural logarifmli funktsiyani ko'rib chiqing.
Nuqtama-nuqta chizmasini bajaramiz:

Agar siz logarifm nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, maktab darsliklariga murojaat qiling.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Domen:

Qiymatlar diapazoni:.

Funktsiya yuqoridan cheklanmagan: , asta-sekin bo'lsa-da, lekin logarifmning shoxi cheksizlikka ko'tariladi.
Keling, o'ngdagi nolga yaqin funktsiyaning harakatini ko'rib chiqaylik: ... Shunday qilib, eksa vertikal asimptota "x" o'ng tomonda nolga moyil bo'lgan funksiya grafigi uchun.

Logarifmning odatiy qiymatini bilish va eslab qolish juda muhimdir.: .

Asosan, asosiy logarifmning grafigi bir xil ko'rinadi:,, (o'nlik logarifm asosi 10) va hokazo. Bundan tashqari, taglik qanchalik katta bo'lsa, grafik tekisroq bo'ladi.

Biz ishni ko'rib chiqmaymiz, negadir men oxirgi marta qachon bunday asos bilan grafik qurganimni eslay olmayman. Va logarifm oliy matematika muammolarida juda kam uchraydigan mehmon bo'lib tuyuladi.

Paragraf oxirida yana bir fakt haqida gapiraman: Ko‘rsatkichli funksiya va logarifmik funksiyaIkki oʻzaro teskari funksiyalar... Agar siz logarifm grafigiga diqqat bilan qarasangiz, bu bir xil ko'rsatkich ekanligini ko'rishingiz mumkin, shunchaki u biroz boshqacha joylashgan.

Trigonometrik funksiya grafiklari

Trigonometrik azob maktabda qanday boshlanadi? To'g'ri. Sinusdan

Keling, funktsiyani chizamiz

Bu qator deyiladi sinusoid.

Eslatib o'taman, "pi" irratsional son: va trigonometriyada u ko'zni qamashtiradi.

Funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

Bu funksiya davriy davr bilan. Bu nimani anglatadi? Keling, segmentni ko'rib chiqaylik. Uning chap va o'ng tomonida grafikning aynan bir qismi cheksiz takrorlanadi.

Domen:, ya'ni "x" ning har qanday qiymati uchun sinus qiymati mavjud.

Qiymatlar diapazoni:. Funktsiya shunday cheklangan:, ya'ni barcha "geymerlar" segmentda qat'iy ravishda o'tirishadi.
Bu sodir bo'lmaydi: yoki, aniqrog'i, sodir bo'ladi, lekin bu tenglamalar yechimga ega emas.