Ang mga interesado sa kasaysayan ng Pythagorean theorem, na pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan, ay magiging interesado rin sa katotohanang tulad ng paglalathala noong 1940 ng isang aklat na may tatlong daan at pitumpung patunay ng tila simpleng teorama na ito. Ngunit naiintriga nito ang isipan ng maraming mathematician at pilosopo ng iba't ibang panahon. Sa Guinness Book of Records, ito ay naitala bilang isang theorem na may pinakamataas na bilang ng mga patunay.

Kasaysayan ng Pythagorean Theorem

Na nauugnay sa pangalan ng Pythagoras, ang teorama ay kilala bago pa ang kapanganakan ng dakilang pilosopo. Kaya, sa Egypt, sa panahon ng pagtatayo ng mga istruktura, ang aspect ratio ay isinasaalang-alang kanang tatsulok limang libong taon na ang nakalipas. Binanggit ng mga tekstong Babylonian ang parehong ratio ng mga gilid ng isang right triangle 1200 taon bago ang kapanganakan ni Pythagoras.

Ang tanong ay lumitaw kung bakit ang kuwento ay nagsasabi - ang paglitaw ng Pythagorean theorem ay pag-aari niya? Maaari lamang magkaroon ng isang sagot - pinatunayan niya ang ratio ng mga gilid sa tatsulok. Ginawa niya ang hindi ginawa ng mga gumagamit lang ng aspect ratio at hypotenuse, na itinatag ng karanasan, ilang siglo na ang nakalilipas.

Mula sa buhay ni Pythagoras

Ang hinaharap na dakilang siyentipiko, matematiko, pilosopo ay ipinanganak sa isla ng Samos noong 570 BC. Ang mga makasaysayang dokumento ay nagpapanatili ng impormasyon tungkol sa ama ni Pythagoras, na isang carver mamahaling bato ngunit walang impormasyon tungkol sa ina. Sinabi nila tungkol sa ipinanganak na lalaki na siya ay isang natatanging bata na nagpakita ng pagkahilig sa musika at tula mula pagkabata. Iniuugnay ng mga mananalaysay sina Hermodamant at Pherekides ng Syros sa mga guro ng batang Pythagoras. Ang unang ipinakilala ang batang lalaki sa mundo ng Muses, at ang pangalawa, bilang isang pilosopo at tagapagtatag ng paaralan ng pilosopiya ng Italyano, ay itinuro ang tingin ng binata sa mga logo.

Sa edad na 22 (548 BC), pumunta si Pythagoras sa Naucratis upang pag-aralan ang wika at relihiyon ng mga Egyptian. Dagdag pa, ang kanyang landas ay nasa Memphis, kung saan, salamat sa mga pari, na dumaan sa kanilang mapanlikha na mga pagsubok, naunawaan niya ang geometry ng Egypt, na, marahil, ay nag-udyok sa matanong na binata na patunayan ang Pythagorean theorem. Sa kalaunan ay ibibigay ng kasaysayan ang pangalang ito sa teorama.

Binihag ng hari ng Babylon

Sa kanyang pag-uwi sa Hellas, si Pythagoras ay binihag ng hari ng Babylon. Ngunit ang pagiging sa pagkabihag ay nakinabang sa matanong na isip ng baguhan na dalubbilang, marami siyang dapat matutunan. Sa katunayan, noong mga taong iyon, ang matematika sa Babylon ay mas umunlad kaysa sa Ehipto. Siya ay gumugol ng labindalawang taon sa pag-aaral ng matematika, geometry at magic. At, marahil, ito ay ang Babylonian geometry na kasangkot sa patunay ng ratio ng mga gilid ng tatsulok at ang kasaysayan ng pagtuklas ng teorama. May sapat na kaalaman at oras si Pythagoras para dito. Ngunit na nangyari ito sa Babylon, walang dokumentaryo na kumpirmasyon o pagpapabulaanan nito.

Noong 530 BC Si Pythagoras ay tumakas mula sa pagkabihag sa kanyang tinubuang-bayan, kung saan siya nakatira sa korte ng malupit na si Polycrates sa katayuan ng isang semi-alipin. Ang ganitong buhay ay hindi angkop sa Pythagoras, at siya ay nagretiro sa mga kuweba ng Samos, at pagkatapos ay pumunta sa timog ng Italya, kung saan matatagpuan ang kolonya ng Croton ng Greece noong panahong iyon.

Lihim na monastic order

Sa batayan ng kolonya na ito, inorganisa ni Pythagoras ang isang lihim na monastikong orden, na isang relihiyosong unyon at isang siyentipikong lipunan sa parehong oras. Ang lipunang ito ay may charter nito, na nagsalita tungkol sa pagtalima ng isang espesyal na paraan ng pamumuhay.

Nagtalo si Pythagoras na upang maunawaan ang Diyos, dapat alam ng isang tao ang mga agham tulad ng algebra at geometry, alam ang astronomiya at maunawaan ang musika. Ang gawaing pananaliksik ay nabawasan sa kaalaman sa mystical side ng mga numero at pilosopiya. Dapat pansinin na ang mga prinsipyong ipinangaral noong panahong iyon ni Pythagoras ay may katuturan sa paggaya sa kasalukuyang panahon.

Marami sa mga natuklasan na ginawa ng mga disipulo ni Pythagoras ay iniuugnay sa kanya. Gayunpaman, sa madaling salita, ang kasaysayan ng paglikha ng Pythagorean theorem ng mga sinaunang istoryador at biographer noong panahong iyon ay direktang nauugnay sa pangalan ng pilosopo, palaisip at matematiko na ito.

Ang mga turo ni Pythagoras

Marahil ang mga istoryador ay inspirasyon ng pahayag ng dakilang Griyego na ang proverbial triangle na may mga binti at hypotenuse ay naka-encode ng lahat ng mga phenomena ng ating buhay. At ang tatsulok na ito ay ang "susi" sa paglutas ng lahat ng mga problema na lumabas. Sinabi ng dakilang pilosopo na ang isang tao ay dapat makakita ng isang tatsulok, pagkatapos ay maaari nating ipagpalagay na ang problema ay dalawang-katlo na nalutas.

Sinabi ni Pythagoras ang tungkol sa kanyang pagtuturo sa kanyang mga mag-aaral nang pasalita, nang hindi gumagawa ng anumang mga tala, na inilihim ito. Sa kasamaang palad, ang mga turo ng pinakadakilang pilosopo ay hindi nakaligtas hanggang sa araw na ito. Ang ilan sa mga ito ay tumagas, ngunit imposibleng sabihin kung gaano kalaki ang totoo at kung gaano kalaki ang mali sa kung ano ang nalaman. Kahit na sa kasaysayan ng Pythagorean theorem, hindi lahat ay tiyak. Ang mga mananalaysay ng matematika ay nagdududa sa pagiging may-akda ni Pythagoras, sa kanilang opinyon, ang teorama ay ginamit maraming siglo bago ang kanyang kapanganakan.

Pythagorean theorem

Maaaring mukhang kakaiba, ngunit makasaysayang katotohanan walang patunay ng teorama ni Pythagoras mismo - ni sa mga archive, o sa anumang iba pang mapagkukunan. Sa modernong bersyon, pinaniniwalaan na ito ay pag-aari ng walang iba kundi si Euclid mismo.

Mayroong katibayan ng isa sa mga pinakadakilang mananalaysay ng matematika, si Moritz Kantor, na natuklasan sa isang papyrus na nakaimbak sa Berlin Museum, na isinulat ng mga Egyptian noong 2300 BC. e. pagkakapantay-pantay, na mababasa: 3² + 4² = 5².

Maikling mula sa kasaysayan ng Pythagorean theorem

Ang pagbabalangkas ng teorama mula sa Euclidean na "Mga Simula" sa pagsasalin ay katulad ng sa makabagong interpretasyon. Walang bago sa pagbabasa nito: ang parisukat ng gilid sa tapat ng tamang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga panig na katabi ng tamang anggulo. Ang katotohanan na ang mga sinaunang sibilisasyon ng India at China ay gumamit ng teorama ay kinumpirma ng treatise na Zhou Bi Suan Jin. Naglalaman ito ng impormasyon tungkol sa Egyptian triangle, na naglalarawan sa aspect ratio bilang 3:4:5.

Hindi gaanong kawili-wili ang isa pang aklat ng matematika na Tsino na "Chu-pei", na binanggit din ang Pythagorean triangle na may paliwanag at mga guhit na tumutugma sa mga guhit ng Hindu geometry ng Baskhara. Tungkol sa tatsulok mismo, sinabi ng libro na kung ang isang tamang anggulo ay maaaring mabulok sa mga bahagi nito, kung gayon ang linya na nag-uugnay sa mga dulo ng mga gilid ay magiging katumbas ng lima, kung ang base ay tatlo, at ang taas ay apat.

Ang Indian treatise na "Sulva Sutra", mula noong mga ika-7-5 siglo BC. e., ay nagsasabi tungkol sa pagbuo ng isang tamang anggulo gamit ang Egyptian triangle.

Katibayan ng teorama

Sa Middle Ages, itinuturing ng mga mag-aaral na napakahirap patunayan ang isang teorama. Ang mga mahihinang estudyante ay natuto ng mga theorems sa pamamagitan ng puso, nang hindi nauunawaan ang kahulugan ng patunay. Sa bagay na ito, natanggap nila ang palayaw na "mga asno", dahil ang Pythagorean theorem ay isang hindi malulutas na balakid para sa kanila, tulad ng isang tulay para sa isang asno. Sa Middle Ages, ang mga mag-aaral ay nakaisip ng isang mapaglarong taludtod sa paksa ng teorama na ito.

Upang patunayan ang Pythagorean theorem sa pinakamadaling paraan, dapat mong sukatin lamang ang mga gilid nito, nang hindi ginagamit ang konsepto ng mga lugar sa patunay. Ang haba ng gilid sa tapat ng tamang anggulo ay c, at ang a at b na katabi nito, bilang isang resulta nakuha namin ang equation: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ang pahayag na ito, tulad ng nabanggit sa itaas, ay napatunayan sa pamamagitan ng pagsukat ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Kung sisimulan natin ang patunay ng teorama sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa lugar ng mga parihaba na itinayo sa mga gilid ng tatsulok, matutukoy natin ang lugar ng buong pigura. Ito ay magiging katumbas ng lugar ng isang parisukat na may gilid (a + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at ang panloob na parisukat.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , na dapat patunayan.

Praktikal na halaga Ang Pythagorean theorem ay maaari itong magamit upang mahanap ang mga haba ng mga segment nang hindi sinusukat ang mga ito. Sa panahon ng pagtatayo ng mga istraktura, ang mga distansya, paglalagay ng mga suporta at mga beam ay kinakalkula, ang mga sentro ng grabidad ay tinutukoy. Ang Pythagorean theorem ay inilapat din sa lahat ng modernong teknolohiya. Hindi nila nakalimutan ang tungkol sa teorama kapag lumilikha ng mga pelikula sa 3D-6D na sukat, kung saan, bilang karagdagan sa karaniwang 3 mga halaga: taas, haba, lapad, oras, amoy at panlasa ay isinasaalang-alang. Paano nauugnay ang mga panlasa at amoy sa teorama, itatanong mo? Ang lahat ay napaka-simple - kapag nagpapakita ng isang pelikula, kailangan mong kalkulahin kung saan at kung ano ang amoy at panlasa upang idirekta sa auditorium.

Ito ay simula pa lamang. Ang walang hangganang saklaw para sa pagtuklas at paglikha ng mga bagong teknolohiya ay naghihintay sa mga matanong na isipan.

Average na antas

Kanang tatsulok. Kumpletong may larawang gabay (2019)

KARAPATAN TRIANGLE. UNANG ANTAS.

Sa mga problema, ang isang tamang anggulo ay hindi kinakailangan - ang ibabang kaliwang bahagi, kaya kailangan mong matutunan kung paano makilala ang isang tamang tatsulok sa form na ito,

at sa ganyan

at sa ganyan

Ano ang maganda sa right triangle? Well... una sa lahat, may mga espesyal magagandang pangalan para sa kanyang panig.

Pansin sa pagguhit!

Tandaan at huwag malito: binti - dalawa, at ang hypotenuse - isa lamang(ang tanging, natatangi at pinakamahaba)!

Buweno, tinalakay namin ang mga pangalan, ngayon ang pinakamahalagang bagay: ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem.

Ang theorem na ito ay ang susi sa paglutas ng maraming problema na kinasasangkutan ng isang right triangle. Ito ay pinatunayan ni Pythagoras sa ganap na sinaunang panahon, at mula noon ay nagdulot ito ng maraming benepisyo sa mga nakakaalam nito. At ang pinakamagandang bagay sa kanya ay simple siya.

Kaya, Pythagorean theorem:

Naaalala mo ba ang biro: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig!"?

Iguhit natin itong napaka Pythagorean na pantalon at tingnan ang mga ito.

Mukha ba talagang shorts? Buweno, sa aling panig at saan sila pantay? Bakit at saan nanggaling ang biro? At ang biro na ito ay tiyak na konektado sa Pythagorean theorem, mas tiyak sa paraan mismo ni Pythagoras na bumalangkas ng kanyang theorem. At binalangkas niya ito ng ganito:

"Sum lugar ng mga parisukat, na binuo sa mga binti, ay katumbas ng parisukat na lugar itinayo sa hypotenuse.

Hindi ba medyo iba ang tunog, di ba? At kaya, nang iguhit ni Pythagoras ang pahayag ng kanyang teorama, isang larawan lamang ang lumabas.

Sa larawang ito, ang kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat. At upang mas matandaan ng mga bata na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, isang taong matalino ang nag-imbento ng biro na ito tungkol sa pantalon ng Pythagorean.

Bakit natin ngayon binabalangkas ang Pythagorean theorem

Nagdusa ba si Pythagoras at nagsalita tungkol sa mga parisukat?

Tingnan mo, noong sinaunang panahon walang ... algebra! Walang mga palatandaan at iba pa. Walang mga inskripsiyon. Naiisip mo ba kung gaano kahirap para sa mga mahihirap na sinaunang mag-aaral na kabisaduhin ang lahat gamit ang mga salita??! At maaari tayong matuwa na mayroon tayong simpleng pormulasyon ng Pythagorean theorem. Ulitin natin ito upang mas matandaan:

Ngayon ay dapat na madali:

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Well, ang pinakamahalagang teorama tungkol sa isang tamang tatsulok ay tinalakay. Kung interesado ka sa kung paano ito napatunayan, basahin ang susunod na antas ng teorya, at ngayon ay magpatuloy tayo ... sa madilim na kagubatan ... ng trigonometrya! Sa mga katakut-takot na salita sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle.

Sa katunayan, ang lahat ay hindi masyadong nakakatakot. Siyempre, ang "tunay" na kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay dapat tingnan sa artikulo. Pero ayaw mo talaga diba? Maaari tayong magalak: upang malutas ang mga problema tungkol sa isang tamang tatsulok, maaari mong punan ang mga sumusunod na simpleng bagay:

Bakit puro kanto lang? Saan ang sulok? Upang maunawaan ito, kailangan mong malaman kung paano isinusulat sa mga salita ang mga pahayag 1 - 4. Tingnan, unawain at tandaan!

1.
Ito ay talagang ganito:

Paano ang anggulo? Mayroon bang binti na nasa tapat ng sulok, iyon ay, ang tapat na binti (para sa sulok)? Syempre meron! Ito ay isang cathet!

Ngunit paano ang anggulo? Tingnan mong mabuti. Aling paa ang katabi ng sulok? Siyempre, ang pusa. Kaya, para sa anggulo, ang binti ay katabi, at

At ngayon, pansin! Tingnan kung ano ang nakuha namin:

Tingnan kung gaano ito kahusay:

Ngayon ay lumipat tayo sa tangent at cotangent.

Paano ito ilagay sa mga salita ngayon? Ano ang paa na nauugnay sa sulok? Kabaligtaran, siyempre - ito ay "namamalagi" sa tapat ng sulok. At ang cathet? Katabi ng kanto. Kaya ano ang nakuha namin?

Tingnan kung paano binabaligtad ang numerator at denominator?

At ngayon muli ang mga sulok at ginawa ang palitan:

Buod

Isulat natin sa madaling sabi ang ating natutunan.

Pythagorean theorem:

Ang pangunahing right triangle theorem ay ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Oo nga pala, naaalala mo ba kung ano ang mga binti at hypotenuse? Kung hindi, pagkatapos ay tingnan ang larawan - i-refresh ang iyong kaalaman

Posible na nagamit mo na ang Pythagorean theorem nang maraming beses, ngunit naisip mo na ba kung bakit totoo ang ganoong teorama. Paano mo ito mapapatunayan? Gawin natin tulad ng mga sinaunang Griyego. Gumuhit tayo ng isang parisukat na may gilid.

Nakita mo kung gaano katusong hinati namin ang mga gilid nito sa mga segment ng haba at!

Ngayon ikonekta natin ang mga minarkahang puntos

Narito kami, gayunpaman, nabanggit ng iba pa, ngunit ikaw mismo ay tumingin sa larawan at isipin kung bakit.

Ano ang lugar ng mas malaking parisukat? Tama, . Paano ang mas maliit na lugar? Tiyak, . Ang kabuuang lugar ng apat na sulok ay nananatili. Isipin na kinuha namin ang dalawa sa kanila at sumandal sa isa't isa na may hypotenuses. Anong nangyari? Dalawang parihaba. Kaya, ang lugar ng "mga pinagputulan" ay pantay.

Pagsama-samahin natin ang lahat.

Ibahin natin:

Kaya binisita namin ang Pythagoras - pinatunayan namin ang kanyang teorama sa isang sinaunang paraan.

Kanang tatsulok at trigonometrya

Para sa isang tamang tatsulok, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

Ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse

Ang cosine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.

Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa kabaligtaran na binti.

At muli, ang lahat ng ito sa anyo ng isang plato:

Ito ay napaka komportable!

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

I. Sa dalawang paa

II. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

III. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle

IV. Kasama ang binti at matinding anggulo

a)

b)

Pansin! Narito ito ay napakahalaga na ang mga binti ay "katugma". Halimbawa, kung ito ay magiging ganito:

TAPOS HINDI PANTAY ANG TRIANGLES, sa kabila ng katotohanan na mayroon silang isang magkaparehong talamak na anggulo.

Kailangan sa parehong triangles ang binti ay katabi, o sa pareho - kabaligtaran.

Napansin mo ba kung paano naiiba ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok mula sa karaniwang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok? Tingnan ang paksang "at bigyang-pansin ang katotohanan na para sa pagkakapantay-pantay ng "ordinaryong" triangles, kailangan mo ang pagkakapantay-pantay ng kanilang tatlong elemento: dalawang panig at isang anggulo sa pagitan nila, dalawang anggulo at isang gilid sa pagitan nila, o tatlong panig. Ngunit para sa pagkakapantay-pantay ng mga right-angled triangles, dalawang katumbas na elemento lamang ang sapat. Ang galing diba?

Humigit-kumulang sa parehong sitwasyon na may mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tamang tatsulok

I. Matinding sulok

II. Sa dalawang paa

III. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

Median sa isang kanang tatsulok

Bakit ganun?

Isaalang-alang ang isang buong parihaba sa halip na isang tamang tatsulok.

Gumuhit tayo ng isang dayagonal at isaalang-alang ang isang punto - ang punto ng intersection ng mga diagonal. Ano ang alam mo tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba?

At ano ang kasunod nito?

Kaya nangyari yun

1. - median:

Tandaan ang katotohanang ito! Malaking tulong!

Ang mas nakakagulat ay totoo rin ang kabaligtaran.

Anong kabutihan ang makukuha mula sa katotohanan na ang median na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse? Tingnan natin ang larawan

Tingnan mong mabuti. Mayroon kaming: , iyon ay, ang mga distansya mula sa punto hanggang sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay naging pantay. Ngunit sa isang tatsulok ay mayroon lamang isang punto, ang mga distansya mula sa kung saan halos lahat ng tatlong vertices ng tatsulok ay pantay, at ito ang CENTER OF THE CIRCUM na inilarawan. So anong nangyari?

Kaya magsimula tayo sa "bukod...".

Tingnan natin ang i.

Ngunit sa mga katulad na tatsulok ang lahat ng mga anggulo ay pantay!

Ang parehong masasabi tungkol sa at

Ngayon, pagsamahin natin ito:

Anong gamit ang makukuha mula sa "triple" na pagkakatulad na ito.

Well, halimbawa - dalawang formula para sa taas ng isang right triangle.

Isinulat namin ang mga relasyon ng mga kaukulang partido:

Upang mahanap ang taas, malulutas namin ang proporsyon at makuha unang formula na "Taas sa isang kanang tatsulok":

Kaya, ilapat natin ang pagkakatulad: .

Ano ang mangyayari ngayon?

Muli naming lutasin ang proporsyon at makuha ang pangalawang formula:

Ang parehong mga formula na ito ay dapat na matandaan nang mabuti at ang isa na mas maginhawang ilapat. Isulat natin muli ang mga ito.

Pythagorean theorem:

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti:.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

• sa dalawang paa:
• kasama ang binti at hypotenuse: o
• kasama ang binti at ang katabing talamak na anggulo: o
• kasama ang binti at ang kabaligtaran na talamak na anggulo: o
• sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle: o.

Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok:

• isang matalim na sulok: o
• mula sa proporsyonalidad ng dalawang binti:
• mula sa proporsyonalidad ng binti at hypotenuse: o.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle

• Ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:
• Ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
• Ang tangent ng isang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:
• Ang cotangent ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran:.

Taas ng tamang tatsulok: o.

Sa isang tamang tatsulok, ang median na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse: .

Lugar ng isang tamang tatsulok:

• sa pamamagitan ng mga catheter:

Ang potensyal para sa pagkamalikhain ay kadalasang iniuugnay sa mga humanidad, na iniiwan ang natural na siyentipikong pagsusuri, praktikal na diskarte at tuyong wika ng mga formula at numero. Ang matematika ay hindi maaaring uriin bilang asignaturang humanidades. Ngunit kung walang pagkamalikhain sa "reyna ng lahat ng agham" hindi ka makakarating sa malayo - alam ng mga tao ang tungkol dito sa mahabang panahon. Mula noong panahon ni Pythagoras, halimbawa.

Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay karaniwang hindi nagpapaliwanag na sa matematika ay mahalaga hindi lamang sa pag-cram ng mga theorems, axioms at formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras, subukang palayain ang iyong isip mula sa mga clichés at elementarya na katotohanan - tanging sa gayong mga kondisyon ay ipinanganak ang lahat ng mahusay na pagtuklas.

Ang ganitong mga pagtuklas ay kinabibilangan ng isa na kilala natin ngayon bilang Pythagorean theorem. Sa tulong nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang magagawa, ngunit dapat maging masaya. At na ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang para sa mga nerd na may makapal na salamin, ngunit para sa lahat na malakas ang isip at malakas ang espiritu.

Mula sa kasaysayan ng isyu

Sa mahigpit na pagsasalita, kahit na ang teorama ay tinatawag na "Pythagorean theorem", si Pythagoras mismo ay hindi nakatuklas nito. Ang tamang tatsulok at ang mga espesyal na katangian nito ay matagal nang pinag-aralan bago ito. Mayroong dalawang polar na pananaw sa isyung ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakahanap ng kumpletong patunay ng theorem. Ayon sa isa pa, ang patunay ay hindi kabilang sa may-akda ni Pythagoras.

Ngayon hindi mo na masusuri kung sino ang tama at kung sino ang mali. Nalaman lamang na ang patunay ng Pythagoras, kung mayroon man, ay hindi nakaligtas. Gayunpaman, may mga mungkahi na ang sikat na patunay mula sa Euclid's Elements ay maaaring pag-aari ni Pythagoras, at si Euclid ay nagtala lamang nito.

Alam din ngayon na ang mga problema tungkol sa isang right-angled triangle ay matatagpuan sa Egyptian sources mula sa panahon ni Pharaoh Amenemhet I, sa Babylonian clay tablets mula sa paghahari ni Haring Hammurabi, sa sinaunang Indian treatise Sulva Sutra at ang sinaunang Chinese work Zhou -bi suan jin.

Tulad ng makikita mo, ang Pythagorean theorem ay sumasakop sa isip ng mga mathematician mula noong sinaunang panahon. Humigit-kumulang 367 iba't ibang piraso ng ebidensya na umiiral ngayon ang nagsisilbing kumpirmasyon. Walang ibang theorem ang makakalaban dito sa bagay na ito. Kabilang sa mga kilalang may-akda ng ebidensya si Leonardo da Vinci at ang ika-20 Pangulo ng Estados Unidos, si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagsasalita ng labis na kahalagahan ng teorama na ito para sa matematika: karamihan sa mga theorems ng geometry ay nagmula dito o, sa isang paraan o iba pa, konektado dito.

Mga patunay ng Pythagorean theorem

Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay kadalasang nagbibigay ng mga algebraic na patunay. Ngunit ang kakanyahan ng teorama ay nasa geometry, kaya isaalang-alang muna natin ang mga patunay ng sikat na teorama na batay sa agham na ito.

Patunay 1

Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagorean theorem para sa isang right triangle, kailangan mong magtakda ng mga ideal na kondisyon: hayaan ang triangle ay hindi lamang right-angled, kundi pati na rin ang isosceles. May dahilan upang maniwala na ito ay isang tatsulok na orihinal na isinasaalang-alang ng mga sinaunang mathematician.

Pahayag "Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga binti nito" maaaring ilarawan sa sumusunod na pagguhit:

Tingnan ang isosceles right triangle ABC: Sa hypotenuse AC, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa mga binti AB at BC na binuo sa isang parisukat, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang magkatulad na tatsulok.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay nabuo ang batayan ng maraming mga anekdota at mga cartoon na nakatuon sa Pythagorean theorem. Marahil ang pinakasikat ay "Ang Pythagorean na pantalon ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon":

Patunay 2

Pinagsasama ng pamamaraang ito ang algebra at geometry at makikita bilang isang variant ng sinaunang Indian na patunay ng mathematician na si Bhaskari.

Bumuo ng isang tamang tatsulok na may mga gilid a, b at c(Larawan 1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang parisukat na may mga gilid na katumbas ng kabuuan ng mga haba ng dalawang binti - (a+b). Sa bawat isa sa mga parisukat, gumawa ng mga konstruksyon, tulad ng sa figure 2 at 3.

Sa unang parisukat, bumuo ng apat sa parehong mga tatsulok tulad ng sa Figure 1. Bilang resulta, dalawang parisukat ang nakuha: ang isa ay may gilid a, ang pangalawa ay may gilid b.

Sa pangalawang parisukat, apat na itinayo na magkatulad na tatsulok ay bumubuo ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse c.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga itinayong parisukat sa Fig. 2 ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo namin sa gilid c sa Fig. 3. Madali itong ma-verify sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga lugar ng mga parisukat sa Fig. 2 ayon sa formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng apat na pantay na right-angled triangles na nakasulat sa square mula sa lugar ng isang malaking square na may gilid (a+b).

Ibinaba ang lahat ng ito, mayroon tayong: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Palawakin ang mga bracket, gawin ang lahat ng kinakailangang algebraic na kalkulasyon at kunin iyon a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Kasabay nito, ang lugar ng inscribed sa Fig.3. ang parisukat ay maaari ding kalkulahin gamit ang tradisyonal na pormula S=c2. Yung. a2+b2=c2 Napatunayan mo na ang Pythagorean theorem.

Patunay 3

Ang parehong sinaunang patunay ng India ay inilarawan noong ika-12 siglo sa treatise na "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), at bilang pangunahing argumento ang may-akda ay gumagamit ng isang apela na nakatutok sa mga talento sa matematika at kapangyarihan ng pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: "Tingnan mo!".

Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:

Sa loob ng parisukat, bumuo ng apat na right-angled na tatsulok gaya ng ipinahiwatig sa pagguhit. Ang gilid ng malaking parisukat, na kung saan ay din ang hypotenuse, ay denoted Sa. Tawagan natin ang mga binti ng tatsulok a at b. Ayon sa pagguhit, ang gilid ng panloob na parisukat ay (a-b).

Gamitin ang square area formula S=c2 upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras, kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lugar ng panloob na parisukat at ang mga lugar ng lahat ng apat na tamang tatsulok: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian upang kalkulahin ang lugar ng isang parisukat upang matiyak na nagbibigay sila ng parehong resulta. At binibigyan ka niyan ng karapatang isulat iyon c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Bilang resulta ng solusyon, makukuha mo ang formula ng Pythagorean theorem c2=a2+b2. Napatunayan na ang theorem.

Patunay 4

Ang kakaibang sinaunang Chinese na patunay na ito ay tinatawag na "Bride's Chair" - dahil sa hugis ng upuan na nagreresulta mula sa lahat ng mga konstruksyon:

Ginagamit nito ang pagguhit na nakita na natin sa Figure 3 sa pangalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may gilid c ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian na patunay na ibinigay sa itaas.

Kung pinutol mo sa isip ang dalawang berdeng right-angled na tatsulok mula sa pagguhit sa Fig. 1, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid c at ikabit ang mga hypotenuse sa mga hypotenuse ng lilac triangles, makakakuha ka ng figure na tinatawag na "bride's upuan” (Larawan 2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat na papel at tatsulok. Makikita mo na ang "upuan ng nobya" ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang parisukat: maliit na may gilid b at malaki na may gilid a.

Ang mga constructions na ito ay nagpapahintulot sa mga sinaunang Tsino na mathematician at sa amin na sumusunod sa kanila na magkaroon ng konklusyon na c2=a2+b2.

Patunay 5

Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon sa Pythagorean theorem batay sa geometry. Ito ay tinatawag na Garfield Method.

Bumuo ng tamang tatsulok ABC. Kailangan nating patunayan iyon BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Upang gawin ito, ipagpatuloy ang binti AC at bumuo ng isang segment CD, na katumbas ng binti AB. Lower Perpendicular AD seksyon ED. Mga segment ED at AC ay pantay-pantay. ikonekta ang mga tuldok E at V, pati na rin ang E at SA at kumuha ng drawing tulad ng larawan sa ibaba:

Upang patunayan ang tore, muli naming ginagamit ang pamamaraan na nasubukan na namin: nahanap namin ang lugar ng nagresultang pigura sa dalawang paraan at tinutumbasan ang mga expression sa bawat isa.

Hanapin ang lugar ng isang polygon ISANG KAMA ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng tatlong tatsulok na bumubuo nito. At isa sa kanila ERU, ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. Huwag din nating kalimutan iyon AB=CD, AC=ED at BC=CE- ito ay magbibigay-daan sa amin upang pasimplehin ang pag-record at hindi mag-overload ito. Kaya, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

At the same time, obvious naman na ISANG KAMA ay isang trapezoid. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito gamit ang formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Para sa aming mga kalkulasyon, mas maginhawa at mas malinaw na kumatawan sa segment AD bilang kabuuan ng mga segment AC at CD.

Isulat natin ang parehong paraan upang makalkula ang lugar ng isang figure sa pamamagitan ng paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan nila: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na alam na namin at inilarawan sa itaas upang pasimplehin kanang banda mga tala: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. At ngayon binubuksan namin ang mga bracket at binabago ang pagkakapantay-pantay: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nang matapos ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang eksaktong kailangan namin: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Napatunayan namin ang teorama.

Siyempre, ang listahan ng ebidensyang ito ay malayo sa kumpleto. Ang Pythagorean theorem ay maaari ding patunayan gamit ang mga vectors, complex number, differential equation, stereometry, atbp. At kahit na ang mga physicist: kung, halimbawa, ang likido ay ibinubuhos sa parisukat at tatsulok na mga volume na katulad ng ipinapakita sa mga guhit. Sa pamamagitan ng pagbuhos ng likido, posible na patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar at ang teorama mismo bilang isang resulta.

Ilang salita tungkol sa Pythagorean triplets

Ang isyung ito ay maliit o hindi pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Samantala, ito ay lubhang kawili-wili at mayroon pinakamahalaga sa geometry. Ang mga triple ng Pythagorean ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema sa matematika. Ang ideya ng mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa karagdagang edukasyon.

Kaya ano ang Pythagorean triplets? Tinatawag na natural na mga numero, na nakolekta sa tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa ay katumbas ng pangatlong numerong parisukat.

Ang mga triple ng Pythagorean ay maaaring:

• primitive (lahat ng tatlong numero ay medyo prime);
• non-primitive (kung ang bawat numero ng isang triple ay i-multiply sa parehong numero, makakakuha ka ng isang bagong triple na hindi primitive).

Bago pa man ang ating panahon, ang mga sinaunang Egyptian ay nabighani sa kahibangan para sa bilang ng mga triple ng Pythagorean: sa mga gawain ay itinuturing nilang isang right-angled triangle na may mga gilid na 3.4 at 5 na mga yunit. Sa pamamagitan ng paraan, ang anumang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagorean triple ay bilang default na parihaba.

Mga halimbawa ng Pythagorean triples: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) atbp.

Praktikal na aplikasyon ng teorama

Ang Pythagorean theorem ay nakakahanap ng aplikasyon hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at konstruksiyon, astronomiya, at maging sa panitikan.

Una tungkol sa konstruksiyon: ang Pythagorean theorem ay matatagpuan dito malawak na aplikasyon sa mga gawain ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tingnan ang Romanesque window:

Tukuyin natin ang lapad ng bintana bilang b, kung gayon ang radius ng malaking kalahating bilog ay maaaring tukuyin bilang R at ipahayag sa pamamagitan ng b: R=b/2. Ang radius ng mas maliliit na kalahating bilog ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng b: r=b/4. Sa problemang ito, interesado kami sa radius ng panloob na bilog ng window (tawagan natin ito p).

Ang Pythagorean theorem ay madaling gamitin upang makalkula R. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang right-angled na tatsulok, na ipinahiwatig ng isang tuldok na linya sa figure. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay binubuo ng dalawang radii: b/4+p. Ang isang paa ay isang radius b/4, isa pa b/2-p. Gamit ang Pythagorean theorem, isinusulat namin: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Susunod, binuksan namin ang mga bracket at makuha b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Ibahin natin ang ekspresyong ito sa bp/2=b 2 /4-bp. At pagkatapos ay hatiin namin ang lahat ng mga termino sa b, nagbibigay kami ng mga katulad na makukuha 3/2*p=b/4. At sa huli mahahanap natin iyon p=b/6- na kung ano ang kailangan namin.

Gamit ang theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng rafter para sa bubong ng kabalyete. Tukuyin ang taas ng tore mga komunikasyon sa mobile Kinakailangan na ang signal ay umabot sa isang tiyak na pag-aayos. At kahit na stably install Christmas tree sa plaza ng lungsod. Tulad ng nakikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, ngunit kadalasang kapaki-pakinabang sa totoong buhay.

Sa abot ng panitikan, ang Pythagorean theorem ay nagbigay inspirasyon sa mga manunulat mula noong unang panahon at patuloy na ginagawa ito ngayon. Halimbawa, ang ikalabinsiyam na siglong Aleman na manunulat na si Adelbert von Chamisso ay naging inspirasyon niya na magsulat ng isang soneto:

Ang liwanag ng katotohanan ay hindi maglalaho,
Ngunit, sa pagkakaroon ng shone, ito ay malamang na hindi mawala
At, tulad ng libu-libong taon na ang nakalilipas,
Hindi magdudulot ng mga pagdududa at pagtatalo.

Ang pinakamatalino kapag nakadikit sa mata
Liwanag ng katotohanan, salamat sa mga diyos;
At isang daang toro, sinaksak, nagsinungaling -
Ang pagbabalik na regalo ng masuwerteng Pythagoras.

Mula noon, ang mga toro ay desperadong umuungal:
Forever aroused ang toro tribo
pangyayaring binanggit dito.

Sa tingin nila, oras na
At muli sila ay isasakripisyo
Ilang mahusay na teorama.

(isinalin ni Viktor Toporov)

At noong ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet na si Yevgeny Veltistov sa kanyang aklat na "The Adventures of Electronics" ay nagtalaga ng isang buong kabanata sa mga patunay ng Pythagorean theorem. At kalahating kabanata ng isang kuwento tungkol sa isang dalawang-dimensional na mundo na maaaring umiral kung ang Pythagorean theorem ay naging pangunahing batas at maging ang relihiyon para sa isang mundo. Mas madaling manirahan dito, ngunit mas nakakabagot din: halimbawa, walang nakakaintindi sa kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol".

At sa aklat na "The Adventures of Electronics", ang may-akda, sa pamamagitan ng bibig ng guro ng matematika na si Taratara, ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ang malikhaing paglipad ng pag-iisip na ito ang bumubuo ng Pythagorean theorem - hindi para sa wala na mayroon itong napakaraming magkakaibang mga patunay. Nakakatulong na lumampas sa karaniwan, at tumingin sa mga pamilyar na bagay sa isang bagong paraan.

Konklusyon

Ang artikulong ito ay nilikha upang maaari kang tumingin sa kabila kurikulum ng paaralan sa matematika at matutunan hindi lamang ang mga patunay ng Pythagorean theorem na ibinigay sa mga aklat-aralin na "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) at "Geometry 7-11" (A.V. Pogorelov), ngunit at iba pang mga kakaibang paraan upang patunayan. ang sikat na teorama. At tingnan din ang mga halimbawa kung paano mailalapat ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay.

Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo na mag-claim ng mas mataas na mga marka sa mga klase sa matematika - ang impormasyon sa paksa mula sa mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.

Pangalawa, gusto naming tulungan kang madama kung paano ang matematika kawili-wiling agham. Upang kumbinsihin sa pamamagitan ng mga tiyak na halimbawa na palaging may lugar para sa pagkamalikhain dito. Umaasa kami na ang Pythagorean theorem at ang artikulong ito ay magbibigay inspirasyon sa iyo na gawin ang iyong sariling pananaliksik at kapana-panabik na mga pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.

Sabihin sa amin sa mga komento kung nakita mong kawili-wili ang ebidensya na ipinakita sa artikulo. Nakatulong ba ang impormasyong ito sa iyong pag-aaral? Ipaalam sa amin kung ano ang iyong iniisip tungkol sa Pythagorean theorem at sa artikulong ito - ikalulugod naming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Siguraduhin na ang tatsulok na ibinigay sa iyo ay isang tamang tatsulok, dahil ang Pythagorean theorem ay nalalapat lamang sa mga tamang tatsulok. Sa mga tamang tatsulok, ang isa sa tatlong anggulo ay palaging 90 degrees.

• Ang isang tamang anggulo sa isang tamang tatsulok ay ipinapahiwatig ng isang parisukat sa halip na isang curve, na kumakatawan sa mga hindi tamang anggulo.

Lagyan ng label ang mga gilid ng tatsulok. Italaga ang mga binti bilang "a" at "b" (ang mga binti ay mga gilid na nagsasalubong sa tamang mga anggulo), at ang hypotenuse bilang "c" (ang hypotenuse ay ang pinakamalaking gilid ng isang tamang tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo).

Tukuyin kung aling bahagi ng tatsulok ang gusto mong hanapin. Ang Pythagorean theorem ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang anumang panig ng isang right triangle (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala). Tukuyin kung aling panig (a, b, c) ang kailangang matagpuan.

• Halimbawa, binigyan ng hypotenuse na katumbas ng 5, at binigyan ng isang binti na katumbas ng 3. Sa kasong ito, kailangan mong hanapin ang pangalawang binti. Babalik tayo sa halimbawang ito mamaya.
• Kung ang iba pang dalawang panig ay hindi kilala, kinakailangan upang mahanap ang haba ng isa sa mga hindi kilalang panig upang mailapat ang Pythagorean theorem. Upang gawin ito, gamitin ang mga pangunahing trigonometric function (kung bibigyan ka ng halaga ng isa sa mga hindi tamang anggulo).

Palitan sa formula ang isang 2 + b 2 \u003d c 2 ang mga halaga na ibinigay sa iyo (o ang mga halaga na iyong natagpuan). Tandaan na ang a at b ay mga binti, at ang c ay ang hypotenuse.

• Sa aming halimbawa, isulat ang: 3² + b² = 5².

Kuwadrado ang bawat kilalang panig. O iwanan ang mga degree - maaari mong i-square ang mga numero sa ibang pagkakataon.

• Sa aming halimbawa, isulat ang: 9 + b² = 25.

Ihiwalay ang hindi kilalang panig sa isang bahagi ng equation. Upang gawin ito, ilipat ang mga kilalang halaga sa kabilang panig ng equation. Kung nakita mo ang hypotenuse, pagkatapos ay sa Pythagorean theorem ito ay nakahiwalay na sa isang bahagi ng equation (kaya walang kailangang gawin).

• Sa aming halimbawa, ilipat ang 9 sa kanang bahagi ng equation upang ihiwalay ang hindi kilalang b². Makakakuha ka ng b² = 16.

Kunin ang square root ng magkabilang panig ng equation pagkatapos magkaroon ng hindi alam (squared) sa isang side ng equation at intercept (number) sa kabilang side.

• Sa aming halimbawa, b² = 16. Kunin ang square root ng magkabilang panig ng equation at makuha ang b = 4. Kaya ang pangalawang leg ay 4.

Gamitin ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay, dahil maaari itong ilapat sa malalaking numero praktikal na mga sitwasyon. Upang gawin ito, matutong kilalanin ang mga tamang tatsulok sa pang-araw-araw na buhay - sa anumang sitwasyon kung saan ang dalawang bagay (o mga linya) ay nagsalubong sa tamang mga anggulo, at ang ikatlong bagay (o linya) ay nag-uugnay (diagonal) sa tuktok ng unang dalawang bagay (o linya), maaari mong gamitin ang Pythagorean theorem upang mahanap ang hindi kilalang panig (kung ang iba pang dalawang panig ay kilala).

• Halimbawa: Binigyan ng hagdan na nakasandal sa isang gusali. Ang ibaba ng hagdan ay 5 metro mula sa base ng dingding. Ang tuktok ng hagdan ay 20 metro mula sa lupa (pataas sa dingding). Ano ang haba ng hagdan?
  • Ang ibig sabihin ng "5 metro mula sa base ng pader" ay a = 5; "ay 20 metro mula sa lupa" ay nangangahulugan na ang b = 20 (iyon ay, binibigyan ka ng dalawang paa ng isang kanang tatsulok, dahil ang pader ng gusali at ang ibabaw ng Earth ay nagsalubong sa tamang mga anggulo). Ang haba ng hagdan ay ang haba ng hypotenuse, na hindi alam.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20.6. Kaya, ang tinatayang haba ng hagdan ay 20.6 metro.

(ayon sa Papyrus 6619 ng Berlin Museum). Ayon kay Cantor, ang mga harpedonapt, o "mga string tensioner," ay gumawa ng mga tamang anggulo gamit ang mga right triangle na may mga gilid na 3, 4, at 5.

Napakadaling kopyahin ang kanilang paraan ng pagtatayo. Kumuha tayo ng lubid na 12 m ang haba at itali ito sa isang may kulay na strip sa layo na 3 m mula sa isang dulo at 4 na metro mula sa kabilang dulo. Ang isang tamang anggulo ay ilalagay sa pagitan ng mga gilid na 3 at 4 na metro ang haba. Maaaring tumutol sa Harpedonapts na ang kanilang paraan ng pagtatayo ay nagiging kalabisan kung, halimbawa, ang kahoy na parisukat na ginagamit ng lahat ng karpintero ay gagamitin. Sa katunayan, kilala ang mga guhit ng Egypt kung saan matatagpuan ang gayong tool - halimbawa, mga guhit na naglalarawan ng isang pagawaan ng karpintero.

Medyo higit pa ang nalalaman tungkol sa Pythagorean theorem sa mga Babylonians. Sa isang teksto mula noong panahon ni Hammurabi, iyon ay, hanggang 2000 BC. e. , ang isang tinatayang pagkalkula ng hypotenuse ng isang right triangle ay ibinigay. Mula dito maaari nating tapusin na sa Mesopotamia ay nakapagsagawa sila ng mga kalkulasyon na may mga right-angled na tatsulok, hindi bababa sa ilang mga kaso. Batay, sa isang banda, sa kasalukuyang antas ng kaalaman ng Egyptian at Babylonian mathematics, at sa kabilang banda, sa isang kritikal na pag-aaral ng Greek sources, napagpasyahan ni van der Waerden (isang Dutch mathematician) na may mataas na posibilidad na ang Ang hypotenuse square theorem ay kilala sa India noong mga ika-18 siglo BC. e.

Mga 400 BC. e., ayon kay Proclus, nagbigay si Plato ng paraan para sa paghahanap ng mga triple ng Pythagorean, pagsasama-sama ng algebra at geometry. Mga 300 BC. e. Ang Euclid's Elements ay naglalaman ng pinakamatandang axiomatic proof ng Pythagorean theorem.

Salita

Geometric formulation:

Ang teorama ay orihinal na nabuo bilang mga sumusunod:

Algebraic formulation:

Iyon ay, tinutukoy ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng, at ang mga haba ng mga binti sa pamamagitan ng at:

Ang parehong formulations ng theorem ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya, hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring ma-verify nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Inverse Pythagorean theorem:

Patunay

Sa ngayon, 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang, ang Pythagorean theorem ay ang tanging theorem na may napakaraming mga patunay. Ang ganitong uri ay maipapaliwanag lamang ng pangunahing kahalagahan ng teorama para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto, lahat ng mga ito ay maaaring hatiin sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng paraan ng lugar, axiomatic at exotic na mga patunay (halimbawa, gamit ang mga differential equation).

Sa pamamagitan ng mga katulad na tatsulok

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng patunay na binuo nang direkta mula sa mga axiom. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng figure area.

Hayaan ABC may right angled triangle C. Gumuhit tayo ng taas mula sa C at tukuyin ang base nito sa pamamagitan ng H. Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok ABC sa dalawang sulok. Gayundin, ang tatsulok CBH katulad ABC. Ipinapakilala ang notasyon

nakukuha natin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag, nakukuha namin

, na dapat patunayan

Mga patunay ng lugar

Ang mga sumusunod na patunay, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Ang lahat ng mga ito ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Patunay sa pamamagitan ng Pagkakatumbas

1. Ayusin ang apat na pantay na tamang tatsulok tulad ng ipinapakita sa Figure 1.
2. Quadrilateral na may mga gilid c ay isang parisukat dahil ang kabuuan ng dalawa matutulis na sulok 90° at ang tuwid na anggulo ay 180°.
3. Ang lugar ng buong figure ay katumbas, sa isang banda, sa lugar ng isang parisukat na may gilid (a + b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at ang lugar ng panloob na parisukat.

Q.E.D.

Patunay ni Euclid

Ang ideya ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahating lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng magkapantay ang malaki at dalawang maliit na parisukat.

Isaalang-alang ang guhit sa kaliwa. Dito, nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang tatsulok at gumuhit ng isang ray s mula sa tuktok ng tamang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Lumalabas na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong katumbas ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti.

Subukan nating patunayan na ang lugar ng parisukat na DECA ay katumbas ng lugar ng rektanggulo AHJK Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang pantulong na pagmamasid: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base bilang ibinigay Ang parihaba ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ibinigay na parihaba. Ito ay bunga ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa obserbasyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinakita), na, naman, ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parihaba AHJK.

Patunayan natin ngayon na ang area ng triangle ACK ay katumbas din ng kalahati ng area ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat ng ari-arian sa itaas). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay halata: ang mga tatsulok ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Namely - AB=AK, AD=AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng paraan ng paggalaw: paikutin natin ang tatsulok na CAK 90 ° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang mga kaukulang panig ng dalawang itinuturing na tatsulok ay magkakasabay. (dahil sa katotohanan na ang anggulo sa vertex ng parisukat ay 90°).

Ang argumento tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang parihaba na BHJI ay ganap na kahalintulad.

Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ang ideya sa likod ng patunay na ito ay higit na inilalarawan sa animation sa itaas.

Patunay ni Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa mahusay na proporsyon, pinutol ng segment ang parisukat sa dalawang magkaparehong bahagi (dahil ang mga tatsulok at pantay-pantay sa pagtatayo).

Gamit ang isang counterclockwise na pag-ikot ng 90 degrees sa paligid ng punto, makikita natin ang pagkakapantay-pantay ng mga may kulay na figure at .

Ngayon ay malinaw na ang lugar ng figure na inililim sa amin ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng maliit na mga parisukat (itinayo sa mga binti) at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas ng kalahati ng lugar ng malaking parisukat (itinayo sa hypotenuse) kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Kaya, kalahati ng kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng kalahati ng lugar ng malaking parisukat, at samakatuwid ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo. sa hypotenuse.

Patunay sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan

Ang sumusunod na patunay gamit ang mga differential equation ay kadalasang iniuugnay sa sikat na English mathematician na si Hardy, na nabuhay noong unang kalahati ng ika-20 siglo.

Isinasaalang-alang ang pagguhit na ipinakita sa figure at pagmamasid sa pagbabago sa gilid a, maaari nating isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa infinitesimal side increments Sa at a(gamit ang mga katulad na tatsulok):

Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nakita namin

Isang mas pangkalahatang expression para sa pagbabago ng hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas ng parehong mga binti

Ang pagsasama ng equation na ito at paggamit ng mga paunang kundisyon, nakuha namin

Kaya, nakarating kami sa nais na sagot

Madaling makita na ang quadratic dependence sa huling formula ay lilitaw dahil sa linear na proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at ang mga increment, habang ang kabuuan ay dahil sa mga independiyenteng kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas (sa kasong ito, ang binti). Pagkatapos ay para sa integration constant na nakukuha namin

Mga pagkakaiba-iba at Paglalahat

Magkatulad na mga geometric na hugis sa tatlong panig

Paglalahat para sa mga katulad na tatsulok, lugar ng berdeng mga numero A + B = lugar ng asul na C

Pythagorean theorem gamit ang magkatulad na right triangles

Isang generalization ng Pythagorean theorem ang ginawa ni Euclid sa kanyang trabaho Mga simula, pagpapalawak ng mga lugar ng mga parisukat sa mga gilid sa mga lugar ng magkatulad na mga geometric na hugis:

Kung gagawa tayo ng magkatulad na mga geometric na figure (tingnan ang Euclidean geometry) sa mga gilid ng isang right triangle, kung gayon ang kabuuan ng dalawang mas maliit na figure ay katumbas ng lugar ng mas malaking figure.

Ang pangunahing ideya ng generalization na ito ay ang lugar ng naturang geometric figure ay proporsyonal sa parisukat ng alinman sa mga linear na sukat nito at, sa partikular, sa parisukat ng haba ng anumang panig. Samakatuwid, para sa mga katulad na figure na may mga lugar A, B at C binuo sa mga gilid na may haba a, b at c, meron kami:

Ngunit, ayon sa Pythagorean theorem, a 2 + b 2 = c 2, pagkatapos A + B = C.

Sa kabaligtaran, kung mapapatunayan natin iyon A + B = C para sa tatlong magkakatulad na geometric na numero nang hindi ginagamit ang Pythagorean theorem, pagkatapos ay mapapatunayan natin ang theorem mismo, na gumagalaw sa tapat na direksyon. Halimbawa, ang panimulang gitnang tatsulok ay maaaring magamit muli bilang isang tatsulok C sa hypotenuse, at dalawang magkatulad na right triangle ( A at B) na binuo sa iba pang dalawang panig, na nabuo bilang isang resulta ng paghahati ng gitnang tatsulok sa taas nito. Ang kabuuan ng dalawang mas maliit na lugar ng mga tatsulok ay malinaw na katumbas ng lugar ng pangatlo, kaya A + B = C at, sa pagsasagawa ng mga nakaraang patunay sa baligtad na pagkakasunud-sunod, makuha natin ang Pythagorean theorem a 2 + b 2 = c 2 .

Cosine theorem

Ang Pythagorean theorem ay espesyal na kaso mas pangkalahatang cosine theorem, na nag-uugnay sa mga haba ng mga gilid sa isang arbitraryong tatsulok:

kung saan ang θ ay ang anggulo sa pagitan ng mga gilid a at b.

Kung ang θ ay 90 degrees kung gayon ang cos θ = 0 at ang formula ay pinasimple sa karaniwang Pythagorean theorem.

Arbitrary na tatsulok

Sa anumang napiling sulok ng isang arbitrary na tatsulok na may mga gilid a, b, c inscribe namin ang isang isosceles triangle sa paraang ang pantay na mga anggulo sa base nito θ ay katumbas ng napiling anggulo. Ipagpalagay natin na ang napiling anggulo θ ay matatagpuan sa tapat ng panig na ipinahiwatig c. Bilang isang resulta, nakakuha kami ng isang tatsulok na ABD na may anggulo θ, na matatagpuan sa tapat ng gilid a at mga partido r. Ang pangalawang tatsulok ay nabuo sa pamamagitan ng anggulo θ, na nasa tapat ng gilid b at mga partido Sa mahaba s, gaya ng ipinapakita sa larawan. Sinabi ni Thabit Ibn Qurra na ang mga panig sa tatlong tatsulok na ito ay magkakaugnay tulad ng sumusunod:

Habang lumalapit ang anggulo θ sa π/2, ang base ng isosceles triangle ay bumababa at ang dalawang panig na r at s ay nagsasapawan ng paunti-unti. Kapag θ = π/2, nagiging right triangle ang ADB, r + s = c at makuha namin ang paunang Pythagorean theorem.

Tingnan natin ang isa sa mga argumento. Ang Triangle ABC ay may parehong mga anggulo tulad ng triangle ABD, ngunit sa reverse order. (Ang dalawang tatsulok ay may isang karaniwang anggulo sa vertex B, parehong may anggulo θ, at mayroon ding parehong ikatlong anggulo, sa pamamagitan ng kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok) Alinsunod dito, ang ABC ay katulad ng reflection ABD ng tatsulok na DBA, tulad ng ipinapakita sa ibabang pigura. Isulat natin ang kaugnayan sa pagitan ng magkasalungat na panig at ang mga katabi ng anggulo θ,

Gayon din ang salamin ng isa pang tatsulok,

I-multiply ang mga fraction at idagdag ang dalawang ratio na ito:

Q.E.D.

Paglalahat para sa mga arbitrary na tatsulok sa pamamagitan ng mga paralelogram

Paglalahat para sa mga arbitrary na tatsulok,
lugar ng berde plot = lugar bughaw

Patunay ng thesis na sa figure sa itaas

Gumawa tayo ng karagdagang generalization para sa mga di-parihaba na tatsulok, gamit ang mga parallelogram sa tatlong panig sa halip na mga parisukat. (Ang mga parisukat ay isang espesyal na kaso.) Ipinapakita sa itaas na figure na para sa isang acute-angled triangle, ang lugar ng parallelogram sa mahabang gilid ay katumbas ng kabuuan ng parallelograms sa iba pang dalawang panig, sa kondisyon na ang parallelogram sa ang mahabang bahagi ay itinayo tulad ng ipinapakita sa figure (ang mga sukat na minarkahan ng mga arrow ay pareho at tinutukoy ang mga gilid ng mas mababang paralelogram). Ang pagpapalit ng mga parisukat sa pamamagitan ng mga parallelogram ay may malinaw na pagkakahawig sa paunang Pythagorean theorem at pinaniniwalaang binuo ni Pappus ng Alexandria noong 4 CE. e.

Ang ibabang figure ay nagpapakita ng pag-unlad ng patunay. Tingnan natin ang kaliwang bahagi ng tatsulok. Ang kaliwang berdeng paralelogram ay may parehong lugar sa kaliwang bahagi ng asul na paralelogram dahil pareho ang base ng mga ito b at taas h. Gayundin, ang kaliwang berdeng kahon ay may parehong lugar sa kaliwang berdeng kahon sa itaas na larawan dahil mayroon sila karaniwang lupa(itaas na kaliwang bahagi ng tatsulok) at ang kabuuang taas na patayo sa bahaging iyon ng tatsulok. Parehong nakikipagtalo para sa kanang bahagi ng tatsulok, pinatutunayan namin na ang mas mababang parallelogram ay may parehong lugar sa dalawang berdeng parallelogram.

Mga kumplikadong numero

Ang Pythagorean theorem ay ginagamit upang mahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang Cartesian coordinate system, at ang theorem na ito ay totoo para sa lahat ng totoong coordinate: distansya s sa pagitan ng dalawang puntos ( a, b) at ( c, d) katumbas

Walang mga problema sa formula kung ang mga kumplikadong numero ay itinuturing bilang mga vector na may mga tunay na bahagi x + ako y = (x, y). . Halimbawa, ang distansya s sa pagitan ng 0 + 1 i at 1 + 0 i kalkulahin bilang modulus ng vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o

Gayunpaman, para sa mga operasyon na may mga vector na may kumplikadong mga coordinate, kinakailangan na gumawa ng isang tiyak na pagpapabuti sa formula ng Pythagorean. Distansya sa pagitan ng mga puntos na may mga kumplikadong numero ( a, b) at ( c, d); a, b, c, at d lahat ng kumplikado, bumubuo kami gamit ang mga ganap na halaga. Distansya s batay sa pagkakaiba ng vector (a − c, b − d) sa sumusunod na anyo: hayaan ang pagkakaiba a − c = p+i q, saan p ay ang tunay na bahagi ng pagkakaiba, q ay ang haka-haka na bahagi, at i = √(−1). Gayundin, hayaan b − d = r+i s. Pagkatapos:

nasaan ang complex conjugate ng . Halimbawa, ang distansya sa pagitan ng mga punto (a, b) = (0, 1) at (c, d) = (i, 0) , kalkulahin ang pagkakaiba (a − c, b − d) = (−i, 1) at ang magiging resulta ay 0 kung hindi ginamit ang mga kumplikadong conjugates. Samakatuwid, gamit ang pinahusay na formula, nakukuha namin

Ang module ay tinukoy tulad nito:

Stereometry

Ang isang makabuluhang generalization ng Pythagorean theorem para sa three-dimensional space ay ang theorem ni de Gua, na pinangalanan pagkatapos ng J.-P. de Gua: kung ang isang tetrahedron ay may tamang anggulo (tulad ng sa isang kubo), kung gayon ang parisukat ng lugar ng mukha sa tapat ng tamang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga lugar ng iba pang tatlong mukha. Ang konklusyong ito ay maaaring ibuod bilang " n-dimensional na Pythagorean theorem":

Iniuugnay ng Pythagorean theorem sa tatlong dimensyon ang dayagonal AD sa tatlong panig.

Isa pang paglalahat: Ang Pythagorean theorem ay maaaring ilapat sa stereometry sa sumusunod na anyo. Isaalang-alang ang isang hugis-parihaba na kahon, tulad ng ipinapakita sa figure. Hanapin ang haba ng dayagonal na BD gamit ang Pythagorean theorem:

kung saan ang tatlong panig ay bumubuo ng isang tamang tatsulok. Gamitin ang pahalang na dayagonal na BD at ang patayong gilid AB upang mahanap ang haba ng dayagonal AD, gamit muli ang Pythagorean theorem:

o, kung ang lahat ay nakasulat sa isang equation:

Ang resultang ito ay isang 3D na expression para sa pagtukoy ng magnitude ng vector v(diagonal AD) na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga perpendikular na bahagi nito ( v k) (tatlong magkabilang patayo na gilid):

Ang equation na ito ay maaaring tingnan bilang isang generalization ng Pythagorean theorem para sa isang multidimensional space. Gayunpaman, ang resulta ay talagang walang iba kundi ang paulit-ulit na aplikasyon ng Pythagorean theorem sa isang sequence ng right triangles sa sunud-sunod na patayo na mga eroplano.

espasyo ng vector

Sa kaso ng isang orthogonal system ng mga vectors, isang pagkakapantay-pantay ang nagaganap, na tinatawag ding Pythagorean theorem:

Kung - ito ay mga projection ng vector papunta sa mga coordinate axes, ang formula na ito ay tumutugma sa Euclidean distance - at nangangahulugan na ang haba ng vector ay katumbas ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga bahagi nito.

Ang analogue ng pagkakapantay-pantay na ito sa kaso ng isang walang katapusang sistema ng mga vectors ay tinatawag na Parseval's equality.

Non-Euclidean geometry

Ang Pythagorean theorem ay nagmula sa mga axiom ng Euclidean geometry at, sa katunayan, ay hindi wasto para sa non-Euclidean geometry, sa anyo kung saan ito nakasulat sa itaas. (Ibig sabihin, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang uri ng katumbas ng Euclid's postulate of parallelism) Sa madaling salita, sa non-Euclidean geometry, ang ratio sa pagitan ng mga gilid ng triangle ay kinakailangang nasa isang anyo na naiiba sa Pythagorean theorem . Halimbawa, sa spherical geometry, lahat ng tatlong panig ng isang right triangle (sabihin a, b at c) na nagbubuklod sa octant (isang ikawalo) ng unit sphere ay may haba π/2, na sumasalungat sa Pythagorean theorem dahil a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Isaalang-alang dito ang dalawang kaso ng non-Euclidean geometry - spherical at hyperbolic geometry; sa parehong mga kaso, tulad ng para sa Euclidean space para sa right triangles, ang resulta na pumapalit sa Pythagorean theorem ay sumusunod mula sa cosine theorem.

Gayunpaman, ang Pythagorean theorem ay nananatiling wasto para sa hyperbolic at elliptic geometry kung ang pangangailangan na ang tatsulok ay right-angled ay papalitan ng kondisyon na ang kabuuan ng dalawang anggulo ng tatsulok ay dapat na katumbas ng pangatlo, sabihin nating A+B = C. Pagkatapos ay ganito ang ratio sa pagitan ng mga gilid: ang kabuuan ng mga lugar ng mga bilog na may mga diameter a at b katumbas ng lugar ng isang bilog na may diameter c.

spherical geometry

Para sa anumang tamang tatsulok sa isang globo na may radius R(halimbawa, kung ang anggulo γ sa tatsulok ay tama) na may mga gilid a, b, c ang relasyon sa pagitan ng mga partido ay magiging ganito:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring makuha bilang isang espesyal na kaso ng spherical cosine theorem, na wasto para sa lahat ng spherical triangles:

kung saan ang cosh ay ang hyperbolic cosine. Ang formula na ito ay isang espesyal na kaso ng hyperbolic cosine theorem, na wasto para sa lahat ng mga tatsulok:

kung saan ang γ ay ang anggulo na ang vertex ay nasa tapat ng gilid c.

saan g ij ay tinatawag na metric tensor. Maaari itong maging isang function ng posisyon. Ang mga naturang curvilinear space ay kinabibilangan ng Riemannian geometry bilang pangkalahatang halimbawa. Ang pormulasyon na ito ay angkop din para sa Euclidean space kapag gumagamit ng curvilinear coordinates. Halimbawa, para sa mga polar coordinate:

produkto ng vector

Ang Pythagorean theorem ay nag-uugnay sa dalawang expression para sa magnitude ng isang vector product. Ang isang diskarte sa pagtukoy ng cross product ay nangangailangan na ito ay matugunan ang equation:

ginagamit ng formula na ito ang produkto ng tuldok. Ang kanang bahagi ng equation ay tinatawag na Gram's determinant para sa a at b, na katumbas ng lugar ng parallelogram na nabuo ng dalawang vector na ito. Batay sa pangangailangang ito, pati na rin ang pangangailangan na ang produkto ng vector ay patayo sa mga bahagi nito a at b sinusundan nito na, maliban sa mga maliit na kaso ng 0- at 1-dimensional na espasyo, ang produkto ng vector ay tinukoy lamang sa tatlo at pitong dimensyon. Ginagamit namin ang kahulugan ng anggulo sa n-dimensional na espasyo:

ang pag-aari na ito ng produkto ng vector ay nagbibigay ng halaga nito sa sumusunod na anyo:

Sa pamamagitan ng pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan Pythagoras, nakakakuha tayo ng ibang anyo ng pagsulat ng halaga nito:

Ang isang alternatibong diskarte sa pagtukoy ng cross product ay gumagamit ng expression para sa magnitude nito. Pagkatapos, sa pagtatalo sa reverse order, nakakakuha kami ng koneksyon sa scalar product:

Tingnan din

Mga Tala

1. Paksa sa kasaysayan: Pythagoras's theorem sa Babylonian mathematics
2. ( , p. 351) p. 351
3. ( , Tomo I, p. 144)
4. Ang talakayan ng mga makasaysayang katotohanan ay ibinigay sa (, p. 351) p. 351
5. Kurt Von Fritz (Abr., 1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Ikalawang Serye(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "The story with knots", M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger Aaboe Mga yugto mula sa unang bahagi ng kasaysayan ng matematika. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Pythagorean Proposition ni Elisha Scott Loomis
9. kay Euclid Mga elemento: Aklat VI, Proposisyon VI 31: "Sa right-angled triangles ang figure sa gilid subtending the right angle ay katumbas ng katulad at katulad na inilarawan na figure sa mga gilid na naglalaman ng right angle."
10. Lawrence S. Leff binanggit na gawain. - Barron's Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...generalization ng Pythagorean theorem // Mga magagandang sandali sa matematika (bago ang 1650) . - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Si Tâbit ibn Qorra (buong pangalan na Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) ay isang manggagamot na naninirahan sa Baghdad na malawakang sumulat sa Mga Elemento ni Euclid at iba pang mga paksang matematika.
13. Aydin Sayili (Mar. 1960). "Paglalahat ng Pythagorean Theorem ni Thâbit ibn Qurra". Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Pagsasanay 2.10(ii) // Binanggit na gawain . - P. 62. - ISBN 0821844032
15. Para sa mga detalye ng naturang konstruksiyon, tingnan George Jennings Figure 1.32: Ang pangkalahatang Pythagorean theorem // Modernong geometry na may mga aplikasyon: na may 150 figure . - ika-3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy aytem C: Norm para sa isang arbitrary n-tuple ... // Isang panimula sa pagsusuri . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Tingnan din ang mga pahina 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry ng mga curve at surface na may Mathematica . - ika-3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia pagsusuri ng matris. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking binanggit na gawain. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics. - ika-2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss