Sa araling ito ay pag-aaralan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction, alamin kung aling mga fraction ang katumbas ng bawat isa. Matututunan natin kung paano magkansela ng mga fraction, matukoy kung ang isang fraction ay maaaring kanselahin o hindi, magsanay sa pagbabawas ng mga fraction at alamin kung kailan gagamit ng pagkansela at kung kailan hindi.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Ang impormasyong ito ay magagamit sa mga rehistradong gumagamit

Pangunahing katangian ng isang fraction

Isipin ang sitwasyong ito.

Sa lamesa 3 tao at 5 mansanas. Ibahagi 5 mansanas para sa tatlo. Ang bawat isa ay nakakakuha ng \ (\ mathbf (\ frac (5) (3)) \) mansanas.

At sa kabilang table pa 3 tao at gayundin 5 mansanas. Ang bawat isa ay may \ (\ mathbf (\ frac (5) (3)) \)

Bukod dito, sa kabuuan 10 mansanas 6 tao. Bawat \ (\ mathbf (\ frac (10) (6)) \)

Ngunit sila ay iisa at pareho.

\ (\ mathbf (\ frac (5) (3) = \ frac (10) (6)) \)

Ang mga fraction na ito ay katumbas.

Maaari mong doblehin ang bilang ng mga tao at doblehin ang bilang ng mga mansanas. Magiging pareho ang resulta.

Sa matematika, ito ay nabuo bilang mga sumusunod:

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami o hinati sa parehong numero (hindi katumbas ng 0), kung gayon ang bagong fraction ay magiging katumbas ng orihinal..

Ang ari-arian na ito kung minsan ay tinatawag na " ang pangunahing pag-aari ng fraction ».

$$ \ mathbf (\ frac (a) (b) = \ frac (a \ cdot c) (b \ cdot c) = \ frac (a: d) (b: d)) $$

Halimbawa, ang Landas mula sa lungsod patungo sa nayon- 14 km.

Naglalakad kami sa kalsada at tinutukoy ang distansya na nilakbay ng mga poste ng kilometro. Matapos makapasa sa anim na column, anim na kilometro, naiintindihan namin na nalampasan namin ang \ (\ mathbf (\ frac (6) (14)) \) na mga landas.

Ngunit kung hindi namin makita ang mga haligi (marahil hindi sila naka-install), maaari naming bilangin ang landas sa pamamagitan ng mga poste ng kuryente sa kahabaan ng kalsada. Ang kanilang 40 piraso bawat kilometro. Yun lang 560 hanggang sa dulo. Anim na kilometro- \ (\ mathbf (6 \ cdot40 = 240) \) mga haligi. Ibig sabihin, nakapasa kami 240 mula sa 560 mga haligi- \ (\ mathbf (\ frac (240) (560)) \)

\ (\ mathbf (\ frac (6) (14) = \ frac (240) (560)) \)

Halimbawa 1

Markahan ang punto ng mga coordinate ( 5; 7 ) sa coordinate plane XOY... Tutugma ito sa \ (\ mathbf (\ frac (5) (7)) \)

Ikonekta ang pinanggalingan sa resultang punto. Bumuo ng isa pang punto, na may mga coordinate na dalawang beses na mas malaki kaysa sa mga nauna. Anong fraction ang nakuha mo? Magiging pantay ba sila?

Solusyon

Ang isang fraction sa coordinate plane ay maaaring markahan ng isang punto. Upang kumatawan sa fraction \ (\ mathbf (\ frac (5) (7)) \), markahan ang punto gamit ang coordinate 5 kasama ang axis Y at 7 kasama ang axis X... Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya mula sa pinagmulan hanggang sa ating punto.

Ang punto na tumutugma sa fraction \ (\ mathbf (\ frac (10) (14)) \)

Ang mga ito ay katumbas ng: \ (\ mathbf (\ frac (5) (7) = \ frac (10) (14)) \)

Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang paksa ng pagbabago ng mga algebraic fraction: isaalang-alang ang naturang aksyon bilang pagkansela ng mga algebraic fraction. Ating tutukuyin ang mismong termino, bubuo ng panuntunan sa pagbabawas at susuriin ang mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang kahulugan ng algebraic fraction reduction

Sa mga materyales tungkol sa karaniwang fraction isinaalang-alang namin ang pagbabawas nito. Tinukoy namin ang pagbawas ng isang ordinaryong fraction bilang paghahati ng numerator at denominator nito sa isang karaniwang salik.

Ang pagbabawas ng isang algebraic fraction ay isang katulad na aksyon.

Kahulugan 1

Pagbawas ng mga algebraic fraction Ay ang paghahati ng numerator at denominator nito sa pamamagitan ng isang karaniwang salik. Bukod dito, sa kaibahan sa pagbabawas ng isang ordinaryong fraction (isang numero lamang ang maaaring maging isang karaniwang denominador), ang isang polynomial, sa partikular, isang monomial o isang numero, ay maaaring magsilbi bilang ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng isang algebraic fraction.

Halimbawa, ang algebraic fraction na 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 ay maaaring bawasan ng 3, bilang resulta ay nakukuha natin ang: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. Maaari nating kanselahin ang parehong fraction sa pamamagitan ng variable na x, at ito ay magbibigay sa atin ng expression na 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Posible ring bawasan ang ibinigay na fraction ng isang monomial 3 x o alinman sa mga polynomial x + 2 y, 3 x + 6 y, x 2 + 2 x y, o 3 x 2 + 6 x y.

Ang pangwakas na layunin ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay isang fraction ng isang mas simpleng anyo, sa pinakamagandang kaso Ay isang irreducible fraction.

Lahat ba ng algebraic fraction ay maaaring kanselahin?

Muli, mula sa mga materyales tungkol sa mga ordinaryong fraction, alam natin na mayroong mga kanselahin at hindi mababawasan na mga praksyon. Ang mga uncancellable fraction ay mga fraction na walang common denominator at numerator factor maliban sa 1.

Sa mga algebraic fraction, ang lahat ay pareho: maaaring mayroon silang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, o maaaring hindi. Ang pagkakaroon ng mga karaniwang kadahilanan ay nagpapahintulot sa iyo na gawing simple ang orihinal na bahagi sa pamamagitan ng pagbawas. Kapag walang karaniwang mga kadahilanan, imposibleng i-optimize ang ibinigay na fraction sa pamamagitan ng paraan ng pagbabawas.

Sa mga pangkalahatang kaso, isang ibinigay na uri ang fraction ay medyo mahirap unawain kung ito ay mababawasan. Siyempre, sa ilang mga kaso, ang pagkakaroon ng isang karaniwang kadahilanan sa pagitan ng numerator at denominator ay halata. Halimbawa, sa algebraic fraction 3 x 2 3 y, malinaw na ang karaniwang kadahilanan ay ang numero 3.

Sa fraction - x · y 5 · x · y · z 3 agad din nating naiintindihan na posibleng bawasan ito ng x, o y, o ng x · y. Gayunpaman, ang mga halimbawa ng mga algebraic fraction ay mas karaniwan, kapag ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi madaling makita, at mas madalas na wala ito.

Halimbawa, maaari nating kanselahin ang fraction x 3 - 1 x 2 - 1 ng x - 1, habang ang tinukoy na common factor ay wala sa record. Ngunit ang fraction x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ay hindi maaaring bawasan sa aksyon, dahil ang numerator at denominator ay walang karaniwang salik.

Kaya, ang tanong ng paglilinaw sa pagiging makansela ng isang algebraic na bahagi ay hindi gaanong simple, at kadalasan ay mas madaling magtrabaho sa isang bahagi ng isang naibigay na anyo kaysa sa pagsubok na alamin kung ito ay maaaring kanselahin. Kasabay nito, ang mga naturang pagbabago ay nagaganap, na sa mga partikular na kaso ay nagbibigay-daan sa pagtukoy ng karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator o konklusyon na ang fraction ay hindi mababawasan. Suriin natin ang isyung ito nang detalyado sa susunod na parapo ng artikulo.

Panuntunan sa pagkansela para sa mga algebraic fraction

Panuntunan sa pagkansela para sa mga algebraic fraction binubuo ng dalawang sunud-sunod na pagkilos:

• paghahanap ng mga karaniwang salik ng numerator at denominator;
• sa kaso ng paghahanap ng tulad, ang pagpapatupad ng direktang aksyon ng pagbabawas ng fraction.

Ang pinaka-maginhawang paraan para sa paghahanap ng mga common denominator ay ang pagsasaliksik ng mga polynomial sa numerator at denominator ng isang binigay na algebraic fraction. Ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang agad na mailarawan ang presensya o kawalan ng mga karaniwang kadahilanan.

Ang mismong aksyon ng pagkansela ng isang algebraic fraction ay batay sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, na ipinahayag ng pagkakapantay-pantay na hindi natukoy, kung saan ang a, b, c ay ilang polynomial, at ang b at c ay nonzero. Sa unang hakbang, ang fraction ay binabawasan sa anyong a c b c, kung saan agad nating napapansin ang karaniwang kadahilanan c. Ang ikalawang hakbang ay upang maisagawa ang pagbabawas, i.e. paglipat sa isang fraction ng anyong a b.

Mga karaniwang halimbawa

Sa kabila ng ilang katibayan, linawin natin ang tungkol sa espesyal na kaso kapag ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay pantay. Ang mga nasabing fraction ay magkaparehong katumbas ng 1 sa buong ODZ ng mga variable ng fraction na ito:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

Dahil ang mga ordinaryong fraction ay isang espesyal na kaso ng mga algebraic fraction, naaalala namin kung paano sila maaaring kanselahin. Ang mga natural na numerong nakasulat sa numerator at denominator ay nabubulok sa prime factor, pagkatapos ay kinansela ang mga karaniwang salik (kung mayroon man).

Halimbawa, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Ang produkto ng simpleng pantay na mga kadahilanan ay maaaring isulat bilang mga degree, at sa proseso ng pagbabawas ng fraction, gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga degree na may parehong mga base. Kung gayon ang solusyon sa itaas ay magiging ganito:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(ang numerator at denominator ay hinati sa isang karaniwang salik 2 2 3). O para sa kalinawan, umaasa sa mga katangian ng pagpaparami at paghahati, binibigyan namin ang solusyon ng sumusunod na anyo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang pagbabawas ng mga algebraic fraction ay isinasagawa, na mayroong mga monomial na may mga integer coefficient sa numerator at denominator.

Halimbawa 1

Ang isang algebraic fraction ay ibinigay - 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z. Ito ay kinakailangan upang mabawasan ito.

Solusyon

Posibleng isulat ang numerator at denominator ng isang binigay na fraction bilang produkto ng mga pangunahing salik at variable, at pagkatapos ay isagawa ang pagbabawas:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 3 a a a a a b b c c z 2 3 a a b b c c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a a 2 c c c c c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Gayunpaman, ang isang mas makatwirang paraan ay ang pagsulat ng solusyon sa anyo ng isang expression na may mga kapangyarihan:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 cc 7 zz = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6.

Sagot:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kapag mayroong mga fractional numerical coefficient sa numerator at denominator ng isang algebraic fraction, mayroong dalawang paraan ng karagdagang mga aksyon: alinman sa hiwalay na hatiin ang mga fractional coefficient na ito, o alisin muna ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa ilang natural na numero... Ang huling pagbabagong-anyo ay isinasagawa sa bisa ng pangunahing pag-aari ng isang algebraic fraction (mababasa mo ang tungkol dito sa artikulong "Pagbawas ng isang algebraic fraction sa isang bagong denominator").

Halimbawa 2

Ang tinukoy na fraction ay 2 5 x 0.3 x 3. Ito ay kinakailangan upang mabawasan ito.

Solusyon

Posibleng bawasan ang fraction sa ganitong paraan:

2 5 x 0.3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Subukan nating lutasin ang problema sa ibang paraan, na dati nang naalis ang mga fractional coefficients - pinaparami natin ang numerator at denominator sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient na ito, i.e. sa LCM (5, 10) = 10. Pagkatapos makuha namin:

2 5 x 0.3 x 3 = 10 2 5 x 10 0.3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Sagot: 2 5 x 0.3 x 3 = 4 3 x 2

Kapag kinansela namin ang mga algebraic fraction pangkalahatang pananaw, kung saan ang mga numerator at denominator ay maaaring parehong monomial at polynomial, ang isang problema ay posible kapag ang karaniwang salik ay hindi palaging nakikita kaagad. O, bukod dito, ito ay hindi umiiral. Pagkatapos, upang matukoy ang karaniwang kadahilanan o ayusin ang katotohanan ng kawalan nito, ang numerator at denominator ng algebraic fraction ay pinarami.

Halimbawa 3

Ang rational fraction ay 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3. Ito ay kinakailangan upang mabawasan ito.

Solusyon

I-factor natin ang mga polynomial sa numerator at denominator. Isagawa natin ang mga bracket:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Nakikita namin na ang expression sa mga panaklong ay maaaring mabago gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Malinaw na nakikita na posible na bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang karaniwang kadahilanan b 2 (a + 7)... Gumawa tayo ng pagbawas:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Sumulat tayo ng isang maikling solusyon nang walang paliwanag bilang isang kadena ng pagkakapantay-pantay:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Sagot: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Nangyayari na ang mga karaniwang kadahilanan ay nakatago sa pamamagitan ng mga numerical coefficient. Pagkatapos, kapag binabawasan ang mga fraction, pinakamainam na kunin ang mga numerical factor sa pinakamataas na kapangyarihan ng numerator at denominator sa labas ng mga bracket.

Halimbawa 4

Binigyan ka ng algebraic fraction 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2. Dapat bawasan ito kung maaari.

Solusyon

Sa unang tingin, wala ang numerator at denominator karaniwang denominador... Gayunpaman, subukan nating i-convert ang ibinigay na fraction. Kunin natin ang factor x sa numerator sa labas ng mga bracket:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Ngayon ay makikita mo ang ilang pagkakatulad sa pagitan ng expression sa mga bracket at ng expression sa denominator dahil sa x 2 y . Kunin natin ang mga numerical coefficient sa pinakamataas na kapangyarihan ng mga polynomial na ito mula sa bracket:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Ngayon ang karaniwang kadahilanan ay nakikita, isinasagawa namin ang pagbawas:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Sagot: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x.

Bigyang-diin natin na ang kasanayan sa pagbabawas ng mga rational fraction ay nakasalalay sa kakayahang mag-factor ng polynomial.

Kung may napansin kang error sa text, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Sa artikulong ito, titingnan natin mga pangunahing operasyon na may mga algebraic fraction:

• pagbabawas ng mga fraction
• pagpaparami ng mga fraction
• paghahati ng mga fraction

Magsimula tayo sa pagkansela ng mga algebraic fraction.

Mukhang, algorithm halata naman.

Upang bawasan ang mga algebraic fraction, kailangan

1. I-factor ang numerator at denominator ng isang fraction.

2. Bawasan ang pantay na mga kadahilanan.

Gayunpaman, ang mga mag-aaral ay madalas na nagkakamali ng "pagkansela" hindi mga kadahilanan, ngunit mga termino. Halimbawa, may mga baguhan na, sa isang fraction, "bawasan" sa pamamagitan ng at nakuha bilang isang resulta, na, siyempre, ay hindi totoo.

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

1. Bawasan ang fraction:

1. I-factor natin ang numerator sa pamamagitan ng formula ng parisukat ng kabuuan, at ang denominator sa pamamagitan ng formula ng pagkakaiba ng mga parisukat

2. Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

2. Bawasan ang fraction:

1. I-factor ang numerator. Dahil ang numerator ay naglalaman ng apat na termino, ilalapat namin ang pagpapangkat.

2. I-factor ang denominator. Maaari din tayong mag-apply ng pagpapangkat.

3. Isulat natin ang fraction na nakuha natin at kanselahin ang parehong mga kadahilanan:

Pagpaparami ng mga algebraic fraction.

Kapag nagpaparami ng algebraic fractions, pinaparami natin ang numerator sa numerator, at pinaparami natin ang denominator sa denominator.

Mahalaga! Hindi na kailangang magmadali sa pag-multiply sa numerator at denominator ng fraction. Pagkatapos nating maisulat ang produkto ng mga numerator ng mga fraction sa numerator, at ang produkto ng mga denominator sa denominator, kailangan nating i-factor ang bawat salik sa mga salik at kanselahin ang fraction.

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

3. Pasimplehin ang expression:

1. Isulat natin ang produkto ng mga fraction: sa numerator, ang produkto ng mga numerator, at sa denominator, ang produkto ng mga denominator:

2. I-factor natin ang bawat panaklong:

Ngayon kailangan nating kanselahin ang parehong mga kadahilanan. Tandaan na ang mga expression at naiiba lamang sa sign: at bilang isang resulta ng paghahati ng unang expression sa pangalawa, makakakuha tayo ng -1.

Kaya,

Nagsasagawa kami ng paghahati ng mga algebraic fraction ayon sa sumusunod na panuntunan:

Yan ay upang hatiin sa isang fraction, kailangan mong i-multiply sa pamamagitan ng "inverted".

Nakikita natin na ang paghahati ng mga fraction ay bumababa sa multiplikasyon, at Ang multiplikasyon sa huli ay bumababa sa pagbabawas ng mga fraction.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:

4. Pasimplehin ang expression:

Ang pagbabawas ng mga fraction ay kinakailangan upang dalhin ang fraction sa higit pa simpleng isip, halimbawa, sa sagot na nakuha bilang resulta ng paglutas ng expression.

Pagbawas ng mga fraction, kahulugan at formula.

Ano ang pagbawas ng fraction? Ano ang ibig sabihin ng pagkansela ng isang fraction?

Kahulugan:
Pagbawas ng mga fraction- ito ang dibisyon ng fraction, ang numerator at denominator sa parehong positibong numero, hindi katumbas ng zero at isa. Bilang resulta ng pagbabawas, ang isang fraction na may mas mababang numerator at denominator ay nakuha, katumbas ng nakaraang fraction ayon sa.

Formula para sa pagbabawas ng mga fraction ang pangunahing pag-aari ng mga rational na numero.

\ (\ frac (p \ times n) (q \ times n) = \ frac (p) (q) \)

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:
Kanselahin ang fraction \ (\ frac (9) (15) \)

Solusyon:
Maaari naming i-faction ang fraction sa prime factor at kanselahin ang common factor.

\ (\ frac (9) (15) = \ frac (3 \ times 3) (5 \ times 3) = \ frac (3) (5) \ times \ color (red) (\ frac (3) (3) ) = \ frac (3) (5) \ times 1 = \ frac (3) (5) \)

Sagot: pagkatapos ng pagbabawas, nakuha namin ang fraction \ (\ frac (3) (5) \). Sa pamamagitan ng pangunahing katangian ng mga rational na numero, ang inisyal at ang resultang fraction ay pantay.

\ (\ frac (9) (15) = \ frac (3) (5) \)

Paano ko babawasan ang mga fraction? Pagbawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.

Upang makakuha ng hindi mababawasang bahagi bilang resulta, kailangan natin hanapin ang pinakadakila karaniwang divisor(Gcd) para sa numerator at denominator ng fraction.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang GCD, gagamitin namin sa halimbawa ang agnas ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Kunin ang uncancellable fraction \ (\ frac (48) (136) \).

Solusyon:
Hanapin ang GCD (48, 136). Isulat natin ang mga numerong 48 at 136 sa pamamagitan ng mga pangunahing salik.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD (48, 136) = 2⋅2⋅2 = 6

\ (\ frac (48) (136) = \ frac (\ color (red) (2 \ times 2 \ times 2) \ times 2 \ times 3) (\ color (red) (2 \ times 2 \ times 2) \ times 17) = \ frac (\ color (red) (6) \ times 2 \ times 3) (\ color (red) (6) \ times 17) = \ frac (2 \ times 3) (17) = \ frac (6) (17) \)

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo.

1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang kadahilanan para sa numerator at denominator.
2. Kinakailangang hatiin ang numerator at denominator sa pinakamalaking karaniwang divisor bilang resulta ng paghahati upang makakuha ng hindi mababawasang bahagi.

Halimbawa:
Bawasan ang fraction \ (\ frac (152) (168) \).

Solusyon:
Hanapin ang GCD (152, 168). Isulat natin ang mga numerong 152 at 168 ayon sa prime factor.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD (152, 168) = 2⋅2⋅2 = 6

\ (\ frac (152) (168) = \ frac (\ color (red) (6) \ times 19) (\ color (red) (6) \ times 21) = \ frac (19) (21) \)

Sagot: Ang \ (\ frac (19) (21) \) ay isang irreducible fraction.

Hindi regular na pagbawas ng fraction.

Paano mag-cut hindi wastong bahagi?
Ang mga patakaran para sa pagbabawas ng mga fraction para sa regular at hindi wastong mga fraction ay pareho.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:
Kanselahin ang hindi tamang fraction \ (\ frac (44) (32) \).

Solusyon:
Isulat natin ang numerator at denominator sa mga pangunahing salik. At pagkatapos ay bawasan natin ang mga karaniwang kadahilanan.

\ (\ frac (44) (32) = \ frac (\ color (red) (2 \ times 2) \ times 11) (\ color (red) (2 \ times 2) \ times 2 \ times 2 \ times 2 ) = \ frac (11) (2 \ times 2 \ times 2) = \ frac (11) (8) \)

Pagbawas ng mga halo-halong fraction.

Ang mga pinaghalong fraction ay sumusunod sa parehong mga patakaran tulad ng mga ordinaryong fraction. Ang pinagkaiba lang ay kaya natin huwag hawakan ang buong bahagi, ngunit bawasan ang praksyonal na bahagi o pinaghalong shot i-convert sa improper fraction, bawasan at i-convert pabalik sa tamang fraction.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:
Kanselahin ang pinaghalong fraction \ (2 \ frac (30) (45) \).

Solusyon:
Kami ay malulutas sa dalawang paraan:
Unang paraan:
Isulat natin ang praksyonal na bahagi sa pangunahing mga kadahilanan, ngunit hindi natin hawakan ang buong bahagi.

\ (2 \ frac (30) (45) = 2 \ frac (2 \ times \ color (red) (5 \ times 3)) (3 \ times \ color (red) (5 \ times 3)) = 2 \ frac (2) (3) \)

Pangalawang paraan:
Una, isinasalin namin ito sa isang hindi wastong bahagi, at pagkatapos ay isusulat namin ito sa mga pangunahing kadahilanan at kanselahin ito. Kino-convert namin ang nagresultang maling fraction sa isang tama.

\ (2 \ frac (30) (45) = \ frac (45 \ times 2 + 30) (45) = \ frac (120) (45) = \ frac (2 \ times \ color (red) (5 \ times 3) \ times 2 \ times 2) (3 \ times \ color (red) (3 \ times 5)) = \ frac (2 \ times 2 \ times 2) (3) = \ frac (8) (3) = 2 \ frac (2) (3) \)

Mga tanong sa paksa:
Maaari mo bang kanselahin ang mga fraction kapag nagdaragdag o nagbabawas?
Sagot: hindi, kailangan mo munang magdagdag o magbawas ng mga fraction ayon sa mga patakaran, at pagkatapos ay bawasan. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:

Suriin ang expression na \ (\ frac (50 + 20-10) (20) \).

Solusyon:
Madalas silang nagkakamali na kanselahin ang parehong mga numero sa numerator at denominator sa aming kaso, ang numero 20, ngunit hindi sila maaaring kanselahin hanggang sa magsagawa ka ng karagdagan at pagbabawas.

\ (\ frac (50+ \ color (red) (20) -10) (\ color (red) (20)) = \ frac (60) (20) = \ frac (3 \ times 20) (20) = \ frac (3) (1) = 3 \)

Anong mga numero ang maaaring bawasan ng isang fraction?
Sagot: Maaari mong kanselahin ang isang fraction sa pamamagitan ng pinakamalaking karaniwang kadahilanan o ang karaniwang divisor ng numerator at denominator. Halimbawa, ang fraction \ (\ frac (100) (150) \).

Isulat natin ang mga numerong 100 at 150 sa mga pangunahing salik.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay ang bilang ng GCD (100, 150) = 2⋅5⋅5 = 50

\ (\ frac (100) (150) = \ frac (2 \ times 50) (3 \ times 50) = \ frac (2) (3) \)

Nakatanggap ng irreducible fraction \ (\ frac (2) (3) \).

Ngunit hindi palaging kinakailangan na hatiin sa GCD, hindi palaging kailangan ang isang hindi mababawasang bahagi, maaari mong bawasan ang isang bahagi ng isang pangunahing divisor ng numerator at denominator. Halimbawa, ang numerong 100 at 150 ay may karaniwang divisor na 2. Bawasan ang fraction \ (\ frac (100) (150) \) ng 2.

\ (\ frac (100) (150) = \ frac (2 \ times 50) (2 \ times 75) = \ frac (50) (75) \)

Natanggap ang nakanselang fraction \ (\ frac (50) (75) \).

Anong mga fraction ang maaaring paikliin?
Sagot: maaari mong kanselahin ang mga fraction kung saan ang numerator at denominator ay may isang karaniwang divisor. Halimbawa, ang fraction \ (\ frac (4) (8) \). Ang numero 4 at 8 ay may isang numero kung saan pareho nilang hinahati ang numerong ito 2. Samakatuwid, ang nasabing fraction ay maaaring kanselahin ng numero 2.

Halimbawa:
Paghambingin ang dalawang fraction na \ (\ frac (2) (3) \) at \ (\ frac (8) (12) \).

Ang dalawang fraction na ito ay pantay. Isaalang-alang nang detalyado ang fraction \ (\ frac (8) (12) \):

\ (\ frac (8) (12) = \ frac (2 \ times 4) (3 \ times 4) = \ frac (2) (3) \ times \ frac (4) (4) = \ frac (2) (3) \ beses 1 = \ frac (2) (3) \)

Mula dito nakukuha namin ang \ (\ frac (8) (12) = \ frac (2) (3) \)

Ang dalawang fraction ay pantay-pantay kung at kung ang isa sa mga ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng isa pang fraction sa pamamagitan ng isang karaniwang salik ng numerator at denominator.

Halimbawa:
Bawasan ang mga sumusunod na fraction kung maaari: a) \ (\ frac (90) (65) \) b) \ (\ frac (27) (63) \) c) \ (\ frac (17) (100) \) d ) \ (\ frac (100) (250) \)

Solusyon:
a) \ (\ frac (90) (65) = \ frac (2 \ times \ color (red) (5) \ times 3 \ times 3) (\ color (red) (5) \ times 13) = \ frac (2 \ times 3 \ times 3) (13) = \ frac (18) (13) \)
b) \ (\ frac (27) (63) = \ frac (\ color (red) (3 \ times 3) \ times 3) (\ color (red) (3 \ times 3) \ times 7) = \ frac (3) (7) \)
c) \ (\ frac (17) (100) \) irreducible fraction
d) \ (\ frac (100) (250) = \ frac (\ color (red) (2 \ times 5 \ times 5) \ times 2) (\ color (red) (2 \ times 5 \ times 5) \ beses 5) = \ frac (2) (5) \)

Sa artikulong ito, susuriin namin nang detalyado kung paano pagbabawas ng mga fraction... Una, talakayin natin ang tinatawag na pagbawas ng fraction. Pagkatapos nito, pag-usapan natin ang pagbabawas ng isang nakanselang fraction sa isang hindi mababawas na anyo. Dagdag pa, kukuha tayo ng panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction at, sa wakas, isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglalapat ng panuntunang ito.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng pagkansela ng fraction?

Alam namin na ang mga ordinaryong fraction ay nahahati sa mga kanselahin at hindi mababawasan na mga fraction. Mula sa mga pangalan maaari mong hulaan na ang mga nakanselang fraction ay maaaring bawasan, ngunit hindi mababawasan ang mga hindi mababawasan.

Ano ang ibig sabihin ng pagkansela ng fraction? Bawasan ang fraction- nangangahulugan ito na hatiin ang numerator at denominator nito sa positibo at hindi isa. Malinaw na bilang isang resulta ng pagbawas ng fraction, isang bagong fraction na may mas maliit na numerator at denominator ay nakuha, at, sa bisa ng pangunahing pag-aari ng fraction, ang resultang fraction ay katumbas ng orihinal.

Halimbawa, bawasan natin ang karaniwang fraction na 8/24 sa pamamagitan ng paghahati ng numerator at denominator nito sa 2. Sa madaling salita, maaari nating bawasan ang fraction na 8/24 ng 2. Dahil 8: 2 = 4 at 24: 2 = 12, ang resulta ng pagbabawas na ito ay ang fraction na 4/12, na katumbas ng orihinal na fraction 8/24 (tingnan ang pantay at hindi pantay na mga fraction). Bilang resulta, mayroon tayo.

Pagbabawas ng mga ordinaryong fraction sa isang hindi mababawasan na anyo

Karaniwan ang pinakalayunin ng pagbawas ng isang fraction ay upang makakuha ng hindi mababawasan na fraction na katumbas ng orihinal na nakanselang fraction. Ang layuning ito ay maaaring makamit sa pamamagitan ng pagbabawas ng orihinal na nakanselang bahagi ng numerator at denominator nito. Bilang resulta ng naturang pagbabawas, palaging nakukuha ang isang hindi mababawasang bahagi. Sa katunayan, ang fraction ay hindi mababawasan, dahil ito ay kilala mula dito na at -. Dito, sabihin natin na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng isang fraction ay ang pinakamalaking bilang kung saan maaaring kanselahin ang fraction na ito.

Kaya, pagbabawas ng isang ordinaryong fraction sa isang hindi mababawasan na anyo ay binubuo sa paghahati sa numerator at denominator ng orihinal na nakanselang fraction sa kanilang GCD.

Tingnan natin ang isang halimbawa, kung saan bumalik tayo sa fraction na 8/24 at bawasan ito ng pinakamalaking karaniwang divisor ng 8 at 24, na 8. Dahil 8: 8 = 1 at 24: 8 = 3, dumating tayo sa hindi mababawasang bahagi na 1/3. Kaya, .

Tandaan na ang pariralang "bawasan ang fraction" ay kadalasang nangangahulugan ng pagbabawas ng orihinal na fraction sa hindi mababawasang anyo. Sa madaling salita, ang paghahati ng numerator at denominator sa pamamagitan ng kanilang pinakamalaking karaniwang divisor (at hindi ng alinman sa kanilang mga karaniwang divisor) ay madalas na tinatawag na pagbabawas ng isang fraction.

Paano mo mapapaikli ang isang fraction? Panuntunan at mga halimbawa ng pagbabawas ng mga fraction

Ito ay nananatiling lamang upang pag-aralan ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction, na nagpapaliwanag kung paano bawasan ang isang naibigay na fraction.

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction ay binubuo ng dalawang hakbang:

• una, ang GCD ng numerator at denominator ng fraction ay matatagpuan;
• pangalawa, ang numerator at denominator ng fraction ay hinati sa kanilang GCD, na nagbibigay ng hindi mababawasan na fraction na katumbas ng orihinal.

Pag-aralan natin halimbawa ng pagbawas ng fraction ayon sa nakasaad na tuntunin.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction na 182/195.

Solusyon.

Gawin natin ang parehong mga hakbang, na inireseta ng panuntunan ng pagbawas ng fraction.

Una, makikita natin ang GCD (182, 195). Ito ay pinaka-maginhawang gamitin ang algorithm ng Euclid (tingnan ang): 195 = 182 1 + 13, 182 = 13 14, iyon ay, GCD (182, 195) = 13.

Ngayon hinati namin ang numerator at denominator ng fraction 182/195 sa 13, at makuha namin ang hindi mababawasan na fraction 14/15, na katumbas ng orihinal na fraction. Kinukumpleto nito ang pagbawas ng fraction.

Sa madaling sabi, ang solusyon ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:.

Sagot:

Dito tayo makakatapos sa pagbabawas ng mga fraction. Ngunit para sa kapakanan ng pagiging kumpleto, isaalang-alang ang dalawa pang paraan upang bawasan ang mga fraction, na kadalasang ginagamit sa mga banayad na kaso.

Minsan ang numerator at denominator ng isang nakanselang fraction ay madali. Ang pagbawas ng fraction sa kasong ito ay napaka-simple: kailangan mo lamang alisin ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan mula sa numerator at denominator.

Kapansin-pansin na ang pamamaraang ito ay direktang sumusunod mula sa panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction, dahil ang produkto ng lahat ng mga karaniwang pangunahing kadahilanan ng numerator at denominator ay katumbas ng kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Tingnan natin ang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Bawasan ang fraction 360/2 940.

Solusyon.

Palawakin natin ang numerator at denominator sa prime factor: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 at 2 940 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7. kaya, .

Ngayon ay inaalis namin ang mga karaniwang kadahilanan sa numerator at denominator, para sa kaginhawahan, i-cross out lang namin ang mga ito: .

Sa wakas, pinarami namin ang natitirang mga kadahilanan:, at ang pagbawas ng fraction ay kumpleto na.

Narito ang isang buod ng solusyon: .

Sagot:

Isaalang-alang ang isa pang paraan upang bawasan ang isang fraction, na sunud-sunod na pagbawas. Dito, sa bawat hakbang, ang fraction ay kinansela ng ilang karaniwang divisor ng numerator at denominator, na maliwanag o madaling matukoy gamit ang