Cross-multiplikasyon

Karaniwang pamamaraan ng divisors

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Upang matantya kung gaano kalaki ang nakukuha ng hindi gaanong karaniwang multiple na pamamaraan, subukang kalkulahin ang parehong mga halimbawa gamit ang paraan ng criss-cross.

Common denominator ng mga fraction

Nang walang calculator, siyempre. Sa tingin ko pagkatapos na ang mga komento ay magiging kalabisan.

Tingnan din:

Noong una, gusto kong isama ang mga pamamaraan para sa pag-cast sa karaniwang denominador sa talata na "Pagdaragdag at pagbabawas ng mga praksyon". Ngunit napakaraming impormasyon, at napakalaki ng kahalagahan nito (pagkatapos ng lahat, ang mga karaniwang denominador ay hindi lamang para sa mga numeric na fraction) kaya mas mabuting pag-aralan ang isyung ito nang hiwalay.

Kaya, sabihin nating mayroon tayong dalawang fraction na may magkaibang denominator. At gusto naming tiyakin na ang mga denominator ay magiging pareho. Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay nanggagaling sa pagsagip, na, naaalala, ay parang ganito:

Ang fraction ay hindi magbabago kung ang numerator at denominator nito ay i-multiply sa parehong nonzero na numero.

Kaya, kung pipiliin mo ang tamang mga kadahilanan, ang mga denominador ng mga fraction ay magiging pantay - ang prosesong ito ay tinatawag. At ang mga kinakailangang numero, "pag-level" ng mga denominador, ay tinatawag.

Bakit kailangan mo pang magdala ng mga fraction sa isang common denominator? Narito ang ilang mga dahilan:

1. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Walang ibang paraan upang maisagawa ang operasyong ito;
2. Paghahambing ng mga fraction. Minsan ang pag-convert sa isang common denominator ay ginagawang mas madali ang gawaing ito;
3. Paglutas ng mga problema para sa pagbabahagi at porsyento. Ang mga porsyento ay, sa katunayan, mga karaniwang expression na naglalaman ng mga fraction.

Mayroong maraming mga paraan upang mahanap ang mga numero na, kapag pinarami, ginagawang pantay ang mga denominador ng mga fraction. Tatlo lamang sa kanila ang isasaalang-alang namin - sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng pagiging kumplikado at, sa isang kahulugan, kahusayan.

Cross-multiplikasyon

Ang pinakasimpleng at maaasahang paraan na garantisadong magpapatag ng mga denominador. Magpapatuloy tayo: i-multiply natin ang unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction, at ang pangalawa sa denominator ng una. Bilang resulta, ang mga denominador ng parehong mga fraction ay magiging katumbas ng produkto ng orihinal na mga denominador. Tingnan mo:

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Isaalang-alang ang mga denominator ng mga kalapit na fraction bilang mga karagdagang salik. Nakukuha namin:

Oo, ganoon kasimple. Kung nagsisimula ka pa lamang matuto ng mga fraction, mas mainam na magtrabaho sa partikular na pamamaraang ito - sa ganitong paraan masisiguro mo ang iyong sarili laban sa maraming pagkakamali at garantisadong makukuha ang resulta.

Ang tanging disbentaha ng pamamaraang ito ay kailangan mong magbilang ng marami, dahil ang mga denominator ay pinarami "nauna sa panahon", at bilang isang resulta, napakalaking mga numero ay maaaring makuha. Ito ang presyong babayaran para sa pagiging maaasahan.

Karaniwang pamamaraan ng divisors

Ang pamamaraan na ito ay nakakatulong upang lubos na mabawasan ang mga kalkulasyon, ngunit, sa kasamaang-palad, ito ay bihirang ginagamit. Ang pamamaraan ay ang mga sumusunod:

1. Bago ka magpatuloy (iyon ay, ang criss-cross method), tingnan ang mga denominator. Marahil ang isa sa kanila (ang isa na mas malaki) ay nahahati sa isa pa.
2. Ang bilang na nakuha bilang resulta ng naturang dibisyon ay magiging karagdagang salik para sa fraction na may mas mababang denominator.
3. Sa kasong ito, ang isang fraction na may malaking denominator ay hindi kailangang i-multiply sa anumang bagay - ito ang mga matitipid. Kasabay nito, ang posibilidad ng pagkakamali ay nabawasan nang husto.

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Tandaan na 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Dahil sa parehong mga kaso ang isang denominador ay pantay na nahahati ng isa, inilalapat namin ang karaniwang paraan ng mga kadahilanan. Meron kami:

Tandaan na ang pangalawang bahagi ay hindi kailanman pinarami ng anuman. Sa katunayan, pinutol namin sa kalahati ang dami ng computation!

Sa pamamagitan ng paraan, kinuha ko ang mga fraction sa halimbawang ito para sa isang dahilan. Kung gusto mong malaman, subukang bilangin ang mga ito nang crosswise. Pagkatapos ng pagbabawas, ang mga sagot ay magiging pareho, ngunit magkakaroon ng higit pang trabaho.

Ito ang lakas ng paraan ng mga karaniwang divisors, ngunit, inuulit ko, maaari lamang itong ilapat kapag ang isa sa mga denominator ay nahahati ng isa nang walang nalalabi. Na kung saan ay sapat na bihira.

Pinakamababang Karaniwang Maramihang Pamamaraan

Kapag dinadala namin ang mga praksyon sa isang karaniwang denominator, talagang sinusubukan naming maghanap ng isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga denominador. Pagkatapos ay dinadala namin ang mga denominador ng parehong mga fraction sa numerong ito.

Mayroong maraming mga naturang numero, at ang pinakamaliit sa mga ito ay hindi kinakailangang katumbas ng direktang produkto ng mga denominador ng orihinal na mga fraction, dahil ito ay ipinapalagay sa "criss-cross" na pamamaraan.

Halimbawa, para sa mga denominador 8 at 12, ang bilang na 24 ay lubos na angkop, dahil 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ang bilang na ito ay mas mababa kaysa sa produkto 8 · 12 = 96.

Ang pinakamaliit na bilang na nahahati ng bawat isa sa mga denominador ay tinatawag na kanilang (LCM).

Notasyon: ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng a at b ay tinutukoy ng LCM (a; b). Halimbawa, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Kung makakahanap ka ng ganoong numero, ang kabuuang halaga ng pagtutuos ay magiging minimal. Tingnan ang mga halimbawa:

Paano mahanap ang pinakamababang karaniwang denominator

Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Tandaan na 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Ang mga salik 2 at 3 ay coprime (wala silang karaniwang divisors maliban sa 1), at ang salik 117 ay karaniwan. Samakatuwid, ang LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Katulad nito, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Ang mga kadahilanan 3 at 4 ay medyo prime, at ang kadahilanan 5 ay karaniwan. Samakatuwid, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Ngayon dinadala namin ang mga fraction sa mga karaniwang denominador:

Pansinin kung gaano kapaki-pakinabang ang pag-factor ng mga orihinal na denominator:

1. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang parehong mga kadahilanan, agad kaming nakarating sa hindi bababa sa karaniwang maramihang, na, sa pangkalahatan, ay isang hindi maliit na problema;
2. Mula sa nagresultang pagpapalawak, maaari mong malaman kung aling mga salik ang "nawawala" para sa bawat isa sa mga praksyon. Halimbawa, 234 3 = 702, samakatuwid, para sa unang fraction, ang karagdagang salik ay 3.

Huwag isipin na ang mga kumplikadong fraction ay wala sa mga tunay na halimbawa. Nagkikita sila sa lahat ng oras, at ang mga gawain sa itaas ay hindi ang limitasyon!

Ang problema lang ay kung paano mahahanap ang NOC na ito. Minsan ang lahat ay matatagpuan sa loob ng ilang segundo, literal na "sa pamamagitan ng mata", ngunit sa kabuuan ito ay isang kumplikadong problema sa computational na nangangailangan ng hiwalay na pagsasaalang-alang. Hindi namin ito tatapusin dito.

Tingnan din:

Common denominator ng mga fraction

Sa una, gusto kong isama ang mga karaniwang pamamaraan ng denominator sa talata ng Pagdaragdag at Pagbabawas ng mga Fraction. Ngunit napakaraming impormasyon, at napakalaki ng kahalagahan nito (pagkatapos ng lahat, ang mga karaniwang denominador ay hindi lamang para sa mga numeric na fraction) kaya mas mabuting pag-aralan ang isyung ito nang hiwalay.

Kaya, sabihin nating mayroon tayong dalawang fraction na may magkaibang denominator. At gusto naming tiyakin na ang mga denominator ay magiging pareho. Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay nanggagaling sa pagsagip, na, naaalala, ay parang ganito:

Ang fraction ay hindi magbabago kung ang numerator at denominator nito ay i-multiply sa parehong nonzero na numero.

Kaya, kung pipiliin mo ang tamang mga kadahilanan, ang mga denominador ng mga fraction ay magiging pantay - ang prosesong ito ay tinatawag. At ang mga kinakailangang numero, "pag-level" ng mga denominador, ay tinatawag.

Bakit kailangan mo pang magdala ng mga fraction sa isang common denominator?

Common denominator, konsepto at kahulugan.

Narito ang ilang mga dahilan:

1. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Walang ibang paraan upang maisagawa ang operasyong ito;
2. Paghahambing ng mga fraction. Minsan ang pag-convert sa isang common denominator ay ginagawang mas madali ang gawaing ito;
3. Paglutas ng mga problema para sa pagbabahagi at porsyento. Ang mga porsyento ay, sa katunayan, mga karaniwang expression na naglalaman ng mga fraction.

Mayroong maraming mga paraan upang mahanap ang mga numero na, kapag pinarami, ginagawang pantay ang mga denominador ng mga fraction. Tatlo lamang sa kanila ang isasaalang-alang namin - sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng pagiging kumplikado at, sa isang kahulugan, kahusayan.

Cross-multiplikasyon

Ang pinakamadali at pinaka-maaasahang paraan na ginagarantiyahan upang ihanay ang mga denominator. Magpapatuloy tayo: i-multiply natin ang unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction, at ang pangalawa sa denominator ng una. Bilang resulta, ang mga denominador ng parehong mga fraction ay magiging katumbas ng produkto ng orihinal na mga denominador. Tingnan mo:

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Isaalang-alang ang mga denominator ng mga kalapit na fraction bilang mga karagdagang salik. Nakukuha namin:

Oo, ganoon kasimple. Kung nagsisimula ka pa lamang matuto ng mga fraction, mas mainam na magtrabaho sa partikular na pamamaraang ito - sa ganitong paraan masisiguro mo ang iyong sarili laban sa maraming pagkakamali at garantisadong makukuha ang resulta.

Ang tanging disbentaha ng pamamaraang ito ay kailangan mong magbilang ng marami, dahil ang mga denominator ay pinarami "nauna sa panahon", at bilang isang resulta, napakalaking mga numero ay maaaring makuha. Ito ang presyong babayaran para sa pagiging maaasahan.

Karaniwang pamamaraan ng divisors

Ang pamamaraan na ito ay nakakatulong upang lubos na mabawasan ang mga kalkulasyon, ngunit, sa kasamaang-palad, ito ay bihirang ginagamit. Ang pamamaraan ay ang mga sumusunod:

1. Bago ka magpatuloy (iyon ay, ang criss-cross method), tingnan ang mga denominator. Marahil ang isa sa kanila (ang isa na mas malaki) ay nahahati sa isa pa.
2. Ang bilang na nakuha bilang resulta ng naturang dibisyon ay magiging karagdagang salik para sa fraction na may mas mababang denominator.
3. Sa kasong ito, ang isang fraction na may malaking denominator ay hindi kailangang i-multiply sa anumang bagay - ito ang mga matitipid. Kasabay nito, ang posibilidad ng pagkakamali ay nabawasan nang husto.

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Tandaan na 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Dahil sa parehong mga kaso ang isang denominador ay pantay na nahahati ng isa, inilalapat namin ang karaniwang paraan ng mga kadahilanan. Meron kami:

Tandaan na ang pangalawang bahagi ay hindi kailanman pinarami ng anuman. Sa katunayan, pinutol namin sa kalahati ang dami ng computation!

Sa pamamagitan ng paraan, kinuha ko ang mga fraction sa halimbawang ito para sa isang dahilan. Kung gusto mong malaman, subukang bilangin ang mga ito nang crosswise. Pagkatapos ng pagbabawas, ang mga sagot ay magiging pareho, ngunit magkakaroon ng higit pang trabaho.

Ito ang lakas ng paraan ng mga karaniwang divisors, ngunit, inuulit ko, maaari lamang itong ilapat kapag ang isa sa mga denominator ay nahahati ng isa nang walang nalalabi. Na kung saan ay sapat na bihira.

Pinakamababang Karaniwang Maramihang Pamamaraan

Kapag dinadala namin ang mga praksyon sa isang karaniwang denominator, talagang sinusubukan naming maghanap ng isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga denominador. Pagkatapos ay dinadala namin ang mga denominador ng parehong mga fraction sa numerong ito.

Mayroong maraming mga naturang numero, at ang pinakamaliit sa mga ito ay hindi kinakailangang katumbas ng direktang produkto ng mga denominador ng orihinal na mga fraction, dahil ito ay ipinapalagay sa "criss-cross" na pamamaraan.

Halimbawa, para sa mga denominador 8 at 12, ang bilang na 24 ay lubos na angkop, dahil 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ang bilang na ito ay mas mababa kaysa sa produkto 8 · 12 = 96.

Ang pinakamaliit na bilang na nahahati ng bawat isa sa mga denominador ay tinatawag na kanilang (LCM).

Notasyon: ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng a at b ay tinutukoy ng LCM (a; b). Halimbawa, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Kung makakahanap ka ng ganoong numero, ang kabuuang halaga ng pagtutuos ay magiging minimal. Tingnan ang mga halimbawa:

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Tandaan na 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Ang mga salik 2 at 3 ay coprime (wala silang karaniwang divisors maliban sa 1), at ang salik 117 ay karaniwan. Samakatuwid, ang LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Katulad nito, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Ang mga kadahilanan 3 at 4 ay medyo prime, at ang kadahilanan 5 ay karaniwan. Samakatuwid, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Ngayon dinadala namin ang mga fraction sa mga karaniwang denominador:

Pansinin kung gaano kapaki-pakinabang ang pag-factor ng mga orihinal na denominator:

1. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang parehong mga kadahilanan, agad kaming nakarating sa hindi bababa sa karaniwang maramihang, na, sa pangkalahatan, ay isang hindi maliit na problema;
2. Mula sa nagresultang pagpapalawak, maaari mong malaman kung aling mga salik ang "nawawala" para sa bawat isa sa mga praksyon. Halimbawa, 234 3 = 702, samakatuwid, para sa unang fraction, ang karagdagang salik ay 3.

Upang matantya kung gaano kalaki ang nakukuha ng hindi gaanong karaniwang multiple na pamamaraan, subukang kalkulahin ang parehong mga halimbawa gamit ang paraan ng criss-cross. Nang walang calculator, siyempre. Sa tingin ko pagkatapos na ang mga komento ay magiging kalabisan.

Huwag isipin na ang mga kumplikadong fraction ay wala sa mga tunay na halimbawa. Nagkikita sila sa lahat ng oras, at ang mga gawain sa itaas ay hindi ang limitasyon!

Ang problema lang ay kung paano mahahanap ang NOC na ito. Minsan ang lahat ay matatagpuan sa loob ng ilang segundo, literal na "sa pamamagitan ng mata", ngunit sa kabuuan ito ay isang kumplikadong problema sa computational na nangangailangan ng hiwalay na pagsasaalang-alang. Hindi namin ito tatapusin dito.

Tingnan din:

Common denominator ng mga fraction

Sa una, gusto kong isama ang mga karaniwang pamamaraan ng denominator sa talata ng Pagdaragdag at Pagbabawas ng mga Fraction. Ngunit napakaraming impormasyon, at napakalaki ng kahalagahan nito (pagkatapos ng lahat, ang mga karaniwang denominador ay hindi lamang para sa mga numeric na fraction) kaya mas mabuting pag-aralan ang isyung ito nang hiwalay.

Kaya, sabihin nating mayroon tayong dalawang fraction na may magkaibang denominator. At gusto naming tiyakin na ang mga denominator ay magiging pareho. Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay nanggagaling sa pagsagip, na, naaalala, ay parang ganito:

Ang fraction ay hindi magbabago kung ang numerator at denominator nito ay i-multiply sa parehong nonzero na numero.

Kaya, kung pipiliin mo ang tamang mga kadahilanan, ang mga denominador ng mga fraction ay magiging pantay - ang prosesong ito ay tinatawag. At ang mga kinakailangang numero, "pag-level" ng mga denominador, ay tinatawag.

Bakit kailangan mo pang magdala ng mga fraction sa isang common denominator? Narito ang ilang mga dahilan:

1. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Walang ibang paraan upang maisagawa ang operasyong ito;
2. Paghahambing ng mga fraction. Minsan ang pag-convert sa isang common denominator ay ginagawang mas madali ang gawaing ito;
3. Paglutas ng mga problema para sa pagbabahagi at porsyento. Ang mga porsyento ay, sa katunayan, mga karaniwang expression na naglalaman ng mga fraction.

Mayroong maraming mga paraan upang mahanap ang mga numero na, kapag pinarami, ginagawang pantay ang mga denominador ng mga fraction. Tatlo lamang sa kanila ang isasaalang-alang namin - sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng pagiging kumplikado at, sa isang kahulugan, kahusayan.

Cross-multiplikasyon

Ang pinakamadali at pinaka-maaasahang paraan na ginagarantiyahan upang ihanay ang mga denominator. Magpapatuloy tayo: i-multiply natin ang unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction, at ang pangalawa sa denominator ng una. Bilang resulta, ang mga denominador ng parehong mga fraction ay magiging katumbas ng produkto ng orihinal na mga denominador.

Tingnan mo:

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Isaalang-alang ang mga denominator ng mga kalapit na fraction bilang mga karagdagang salik. Nakukuha namin:

Oo, ganoon kasimple. Kung nagsisimula ka pa lamang matuto ng mga fraction, mas mainam na magtrabaho sa partikular na pamamaraang ito - sa ganitong paraan masisiguro mo ang iyong sarili laban sa maraming pagkakamali at garantisadong makukuha ang resulta.

Ang tanging disbentaha ng pamamaraang ito ay kailangan mong magbilang ng marami, dahil ang mga denominator ay pinarami "nauna sa panahon", at bilang isang resulta, napakalaking mga numero ay maaaring makuha. Ito ang presyong babayaran para sa pagiging maaasahan.

Karaniwang pamamaraan ng divisors

Ang pamamaraan na ito ay nakakatulong upang lubos na mabawasan ang mga kalkulasyon, ngunit, sa kasamaang-palad, ito ay bihirang ginagamit. Ang pamamaraan ay ang mga sumusunod:

1. Bago ka magpatuloy (iyon ay, ang criss-cross method), tingnan ang mga denominator. Marahil ang isa sa kanila (ang isa na mas malaki) ay nahahati sa isa pa.
2. Ang bilang na nakuha bilang resulta ng naturang dibisyon ay magiging karagdagang salik para sa fraction na may mas mababang denominator.
3. Sa kasong ito, ang isang fraction na may malaking denominator ay hindi kailangang i-multiply sa anumang bagay - ito ang mga matitipid. Kasabay nito, ang posibilidad ng pagkakamali ay nabawasan nang husto.

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Tandaan na 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Dahil sa parehong mga kaso ang isang denominador ay pantay na nahahati ng isa, inilalapat namin ang karaniwang paraan ng mga kadahilanan. Meron kami:

Tandaan na ang pangalawang bahagi ay hindi kailanman pinarami ng anuman. Sa katunayan, pinutol namin sa kalahati ang dami ng computation!

Sa pamamagitan ng paraan, kinuha ko ang mga fraction sa halimbawang ito para sa isang dahilan. Kung gusto mong malaman, subukang bilangin ang mga ito nang crosswise. Pagkatapos ng pagbabawas, ang mga sagot ay magiging pareho, ngunit magkakaroon ng higit pang trabaho.

Ito ang lakas ng paraan ng mga karaniwang divisors, ngunit, inuulit ko, maaari lamang itong ilapat kapag ang isa sa mga denominator ay nahahati ng isa nang walang nalalabi. Na kung saan ay sapat na bihira.

Pinakamababang Karaniwang Maramihang Pamamaraan

Kapag dinadala namin ang mga praksyon sa isang karaniwang denominator, talagang sinusubukan naming maghanap ng isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga denominador. Pagkatapos ay dinadala namin ang mga denominador ng parehong mga fraction sa numerong ito.

Mayroong maraming mga naturang numero, at ang pinakamaliit sa mga ito ay hindi kinakailangang katumbas ng direktang produkto ng mga denominador ng orihinal na mga fraction, dahil ito ay ipinapalagay sa "criss-cross" na pamamaraan.

Halimbawa, para sa mga denominador 8 at 12, ang bilang na 24 ay lubos na angkop, dahil 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ang bilang na ito ay mas mababa kaysa sa produkto 8 · 12 = 96.

Ang pinakamaliit na bilang na nahahati ng bawat isa sa mga denominador ay tinatawag na kanilang (LCM).

Notasyon: ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng a at b ay tinutukoy ng LCM (a; b). Halimbawa, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Kung makakahanap ka ng ganoong numero, ang kabuuang halaga ng pagtutuos ay magiging minimal. Tingnan ang mga halimbawa:

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Tandaan na 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Ang mga salik 2 at 3 ay coprime (wala silang karaniwang divisors maliban sa 1), at ang salik 117 ay karaniwan. Samakatuwid, ang LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Katulad nito, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Ang mga kadahilanan 3 at 4 ay medyo prime, at ang kadahilanan 5 ay karaniwan. Samakatuwid, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Ngayon dinadala namin ang mga fraction sa mga karaniwang denominador:

Pansinin kung gaano kapaki-pakinabang ang pag-factor ng mga orihinal na denominator:

1. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang parehong mga kadahilanan, agad kaming nakarating sa hindi bababa sa karaniwang maramihang, na, sa pangkalahatan, ay isang hindi maliit na problema;
2. Mula sa nagresultang pagpapalawak, maaari mong malaman kung aling mga salik ang "nawawala" para sa bawat isa sa mga praksyon. Halimbawa, 234 3 = 702, samakatuwid, para sa unang fraction, ang karagdagang salik ay 3.

Upang matantya kung gaano kalaki ang nakukuha ng hindi gaanong karaniwang multiple na pamamaraan, subukang kalkulahin ang parehong mga halimbawa gamit ang paraan ng criss-cross. Nang walang calculator, siyempre. Sa tingin ko pagkatapos na ang mga komento ay magiging kalabisan.

Huwag isipin na ang mga kumplikadong fraction ay wala sa mga tunay na halimbawa. Nagkikita sila sa lahat ng oras, at ang mga gawain sa itaas ay hindi ang limitasyon!

Ang problema lang ay kung paano mahahanap ang NOC na ito. Minsan ang lahat ay matatagpuan sa loob ng ilang segundo, literal na "sa pamamagitan ng mata", ngunit sa kabuuan ito ay isang kumplikadong problema sa computational na nangangailangan ng hiwalay na pagsasaalang-alang. Hindi namin ito tatapusin dito.

Tingnan din:

Common denominator ng mga fraction

Sa una, gusto kong isama ang mga karaniwang pamamaraan ng denominator sa talata ng Pagdaragdag at Pagbabawas ng mga Fraction. Ngunit napakaraming impormasyon, at napakalaki ng kahalagahan nito (pagkatapos ng lahat, ang mga karaniwang denominador ay hindi lamang para sa mga numeric na fraction) kaya mas mabuting pag-aralan ang isyung ito nang hiwalay.

Kaya, sabihin nating mayroon tayong dalawang fraction na may magkaibang denominator. At gusto naming tiyakin na ang mga denominator ay magiging pareho. Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay nanggagaling sa pagsagip, na, naaalala, ay parang ganito:

Ang fraction ay hindi magbabago kung ang numerator at denominator nito ay i-multiply sa parehong nonzero na numero.

Kaya, kung pipiliin mo ang tamang mga kadahilanan, ang mga denominador ng mga fraction ay magiging pantay - ang prosesong ito ay tinatawag. At ang mga kinakailangang numero, "pag-level" ng mga denominador, ay tinatawag.

Bakit kailangan mo pang magdala ng mga fraction sa isang common denominator? Narito ang ilang mga dahilan:

1. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Walang ibang paraan upang maisagawa ang operasyong ito;
2. Paghahambing ng mga fraction. Minsan ang pag-convert sa isang common denominator ay ginagawang mas madali ang gawaing ito;
3. Paglutas ng mga problema para sa pagbabahagi at porsyento. Ang mga porsyento ay, sa katunayan, mga karaniwang expression na naglalaman ng mga fraction.

Mayroong maraming mga paraan upang mahanap ang mga numero na, kapag pinarami, ginagawang pantay ang mga denominador ng mga fraction. Tatlo lamang sa kanila ang isasaalang-alang namin - sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng pagiging kumplikado at, sa isang kahulugan, kahusayan.

Cross-multiplikasyon

Ang pinakamadali at pinaka-maaasahang paraan na ginagarantiyahan upang ihanay ang mga denominator. Magpapatuloy tayo: i-multiply natin ang unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction, at ang pangalawa sa denominator ng una. Bilang resulta, ang mga denominador ng parehong mga fraction ay magiging katumbas ng produkto ng orihinal na mga denominador. Tingnan mo:

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Isaalang-alang ang mga denominator ng mga kalapit na fraction bilang mga karagdagang salik. Nakukuha namin:

Oo, ganoon kasimple. Kung nagsisimula ka pa lamang matuto ng mga fraction, mas mainam na magtrabaho sa partikular na pamamaraang ito - sa ganitong paraan masisiguro mo ang iyong sarili laban sa maraming pagkakamali at garantisadong makukuha ang resulta.

Ang tanging disbentaha ng pamamaraang ito ay kailangan mong magbilang ng marami, dahil ang mga denominator ay pinarami "nauna sa panahon", at bilang isang resulta, napakalaking mga numero ay maaaring makuha.

Common denominator ng mga fraction

Ito ang presyong babayaran para sa pagiging maaasahan.

Karaniwang pamamaraan ng divisors

Ang pamamaraan na ito ay nakakatulong upang lubos na mabawasan ang mga kalkulasyon, ngunit, sa kasamaang-palad, ito ay bihirang ginagamit. Ang pamamaraan ay ang mga sumusunod:

1. Bago ka magpatuloy (iyon ay, ang criss-cross method), tingnan ang mga denominator. Marahil ang isa sa kanila (ang isa na mas malaki) ay nahahati sa isa pa.
2. Ang bilang na nakuha bilang resulta ng naturang dibisyon ay magiging karagdagang salik para sa fraction na may mas mababang denominator.
3. Sa kasong ito, ang isang fraction na may malaking denominator ay hindi kailangang i-multiply sa anumang bagay - ito ang mga matitipid. Kasabay nito, ang posibilidad ng pagkakamali ay nabawasan nang husto.

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Tandaan na 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Dahil sa parehong mga kaso ang isang denominador ay pantay na nahahati ng isa, inilalapat namin ang karaniwang paraan ng mga kadahilanan. Meron kami:

Tandaan na ang pangalawang bahagi ay hindi kailanman pinarami ng anuman. Sa katunayan, pinutol namin sa kalahati ang dami ng computation!

Sa pamamagitan ng paraan, kinuha ko ang mga fraction sa halimbawang ito para sa isang dahilan. Kung gusto mong malaman, subukang bilangin ang mga ito nang crosswise. Pagkatapos ng pagbabawas, ang mga sagot ay magiging pareho, ngunit magkakaroon ng higit pang trabaho.

Ito ang lakas ng paraan ng mga karaniwang divisors, ngunit, inuulit ko, maaari lamang itong ilapat kapag ang isa sa mga denominator ay nahahati ng isa nang walang nalalabi. Na kung saan ay sapat na bihira.

Pinakamababang Karaniwang Maramihang Pamamaraan

Kapag dinadala namin ang mga praksyon sa isang karaniwang denominator, talagang sinusubukan naming maghanap ng isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga denominador. Pagkatapos ay dinadala namin ang mga denominador ng parehong mga fraction sa numerong ito.

Mayroong maraming mga naturang numero, at ang pinakamaliit sa mga ito ay hindi kinakailangang katumbas ng direktang produkto ng mga denominador ng orihinal na mga fraction, dahil ito ay ipinapalagay sa "criss-cross" na pamamaraan.

Halimbawa, para sa mga denominador 8 at 12, ang bilang na 24 ay lubos na angkop, dahil 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ang bilang na ito ay mas mababa kaysa sa produkto 8 · 12 = 96.

Ang pinakamaliit na bilang na nahahati ng bawat isa sa mga denominador ay tinatawag na kanilang (LCM).

Notasyon: ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng a at b ay tinutukoy ng LCM (a; b). Halimbawa, LCM (16; 24) = 48; LCM (8; 12) = 24.

Kung makakahanap ka ng ganoong numero, ang kabuuang halaga ng pagtutuos ay magiging minimal. Tingnan ang mga halimbawa:

Gawain. Hanapin ang mga halaga ng mga expression:

Tandaan na 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Ang mga salik 2 at 3 ay coprime (wala silang karaniwang divisors maliban sa 1), at ang salik 117 ay karaniwan. Samakatuwid, ang LCM (234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Katulad nito, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Ang mga kadahilanan 3 at 4 ay medyo prime, at ang kadahilanan 5 ay karaniwan. Samakatuwid, LCM (15; 20) = 5 3 4 = 60.

Ngayon dinadala namin ang mga fraction sa mga karaniwang denominador:

Pansinin kung gaano kapaki-pakinabang ang pag-factor ng mga orihinal na denominator:

1. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang parehong mga kadahilanan, agad kaming nakarating sa hindi bababa sa karaniwang maramihang, na, sa pangkalahatan, ay isang hindi maliit na problema;
2. Mula sa nagresultang pagpapalawak, maaari mong malaman kung aling mga salik ang "nawawala" para sa bawat isa sa mga praksyon. Halimbawa, 234 3 = 702, samakatuwid, para sa unang fraction, ang karagdagang salik ay 3.

Upang matantya kung gaano kalaki ang nakukuha ng hindi gaanong karaniwang multiple na pamamaraan, subukang kalkulahin ang parehong mga halimbawa gamit ang paraan ng criss-cross. Nang walang calculator, siyempre. Sa tingin ko pagkatapos na ang mga komento ay magiging kalabisan.

Huwag isipin na ang mga kumplikadong fraction ay wala sa mga tunay na halimbawa. Nagkikita sila sa lahat ng oras, at ang mga gawain sa itaas ay hindi ang limitasyon!

Ang problema lang ay kung paano mahahanap ang NOC na ito. Minsan ang lahat ay matatagpuan sa loob ng ilang segundo, literal na "sa pamamagitan ng mata", ngunit sa kabuuan ito ay isang kumplikadong problema sa computational na nangangailangan ng hiwalay na pagsasaalang-alang. Hindi namin ito tatapusin dito.

Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominator, ang mga fraction ay unang humahantong sa karaniwang denominador... Nangangahulugan ito na nakahanap sila ng isang solong denominator, na hinati sa orihinal na denominator ng bawat algebraic fraction na bahagi ng expression na ito.

Tulad ng alam mo, kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (o hinati) sa parehong nonzero na numero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago. Ito ang pangunahing katangian ng isang fraction. Samakatuwid, kapag ang mga fraction ay humahantong sa isang common denominator, mahalagang i-multiply nila ang orihinal na denominator ng bawat fraction sa nawawalang factor sa isang common denominator. Sa kasong ito, kinakailangan na i-multiply sa kadahilanang ito at ang numerator ng fraction (para sa bawat fraction ay mayroon itong sariling).

Halimbawa, ibinigay ang sumusunod na halaga algebraic fractions:

Kinakailangang gawing simple ang expression, iyon ay, magdagdag ng dalawang algebraic fraction. Upang gawin ito, una sa lahat, ito ay kinakailangan upang dalhin ang mga termino-fractions sa isang karaniwang denominator. Ang unang hakbang ay ang paghahanap ng monomial na nahahati sa parehong 3x at 2y. Sa kasong ito, ito ay kanais-nais na ito ay ang pinakamaliit, iyon ay, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang (LCM) para sa 3x at 2y.

Para sa mga numerical coefficient at variable, ang LCM ay hinahanap nang hiwalay. LCM (3, 2) = 6 at LCM (x, y) = xy. Pagkatapos ang mga nahanap na halaga ay pinarami: 6xy.

Ngayon kailangan nating matukoy kung anong salik ang magpaparami ng 3x upang makakuha ng 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Nangangahulugan ito na kapag binabawasan ang unang algebraic fraction sa isang common denominator, ang numerator nito ay dapat na i-multiply sa 2y (ang denominator ay na-multiply na kapag binabawasan sa isang common denominator). Ang multiplier para sa numerator ng pangalawang fraction ay hinahanap sa katulad na paraan. Ito ay magiging katumbas ng 3x.

Kaya, nakukuha namin ang:

Dagdag pa, maaari ka nang kumilos bilang sa mga fraction na may parehong denominator: ang mga numerator ay idinagdag, at isang karaniwan ay nakasulat sa denominator:

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, isang pinasimple na expression ang nakuha, na isang algebraic fraction, na siyang kabuuan ng dalawang orihinal:

Ang mga algebraic fraction sa orihinal na expression ay maaaring maglaman ng mga denominator, na mga polynomial sa halip na monomial (tulad ng sa halimbawa sa itaas). Sa kasong ito, bago humanap ng common denominator, dapat mong i-factor ang mga denominator (kung maaari). Dagdag pa, ang karaniwang denominator ay kinokolekta mula sa iba't ibang mga kadahilanan. Kung ang kadahilanan ay nasa ilang mga paunang denominator, kung gayon ito ay kinuha nang isang beses. Kung ang kadahilanan ay may iba't ibang antas sa orihinal na mga denominador, kung gayon ito ay kukunin gamit ang isang mas malaki. Halimbawa:

Dito ang polynomial a 2 - b 2 ay maaaring katawanin bilang produkto (a - b) (a + b). Ang salik 2a - 2b ay pinalawak bilang 2 (a - b). Kaya ang karaniwang denominator ay magiging 2 (a - b) (a + b).

Ang denominator ng arithmetic fraction a / b ay ang numero b, na nagpapakita ng mga sukat ng mga unit fraction na bumubuo sa fraction. Ang denominator ng algebraic fraction na A / B ay tinatawag na algebraic expression B. Upang maisagawa ang mga operasyon ng arithmetic na may mga fraction, dapat na bawasan ang mga ito sa pinakamababang common denominator.

Kakailanganin mong

• Upang gumana sa mga algebraic fraction kapag naghahanap ng pinakamababang karaniwang denominator, kailangan mong malaman ang mga paraan ng factoring polynomials.

Mga tagubilin

Isaalang-alang ang pagbawas sa pinakamababang common denominator ng dalawang arithmetic fraction n / m at s / t, kung saan ang n, m, s, t ay mga integer. Malinaw na ang dalawang fraction na ito ay maaaring bawasan sa anumang denominator na mahahati ng m at t. Ngunit sinusubukan nilang dalhin ang mga ito sa pinakamababang karaniwang denominator. Ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga denominador m at t ng mga praksyon na ito. Ang hindi bababa sa maramihang (LCM) ng mga numero ay ang pinakamaliit na nahahati ng lahat ng ibinigay na mga numero nang sabay-sabay. Yung. sa aming kaso ito ay kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero m at t. Ito ay itinalaga bilang LCM (m, t). Pagkatapos ang mga praksiyon ay pinarami ng mga kaukulang: (n / m) * (LCM (m, t) / m), (s / t) * (LCM (m, t) / t).

Hanapin natin ang pinakamababang common denominator ng tatlong fraction: 4/5, 7/8, 11/14. Una, palawakin natin ang mga denominator 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3, 14 = 2 * 7. Susunod, kinakalkula namin ang LCM (5, 8, 14), pagpaparami ng lahat ng bilang na kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2 ^ 3 * 7 = 280. Tandaan na kung ang isang kadahilanan ay nangyari sa pagpapalawak ng ilang mga numero (factor 2 sa pagpapalawak ng mga denominator 8 at 14), pagkatapos ay kunin natin ang kadahilanan sa sa mas malaking lawak(2 ^ 3 sa aming kaso).

Kaya, ang kabuuan ay natanggap. Ito ay 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Dito natin nakukuha ang mga numero kung saan kailangan nating i-multiply ang mga fraction na may katumbas na denominator upang madala ang mga ito sa pinakamababang common denominator. Nakukuha namin ang 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Ang mga algebraic fraction ay binabawasan sa pinakamababang common denominator sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga arithmetic. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang problema sa pamamagitan ng isang halimbawa. Hayaang ibigay ang dalawang fraction (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) at (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1). I-factor ang parehong denominador. Tandaan na ang denominator ng unang fraction ay isang perpektong parisukat: 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1) ^ 2. Para sa

Paano mahanap ang LCM (least common multiple)

Ang isang karaniwang maramihang ng dalawang integer ay isang integer na pantay na nahahati ng parehong ibinigay na mga numero.

Ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng dalawang integer ay ang pinakamaliit na integer na nahahati ng parehong ibinigay na mga numero.

Paraan 1... Maaari mong mahanap ang LCM, sa turn, para sa bawat isa sa mga ibinigay na numero, na isinusulat sa pataas na pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga numero na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga ito sa 1, 2, 3, 4, at iba pa.

Halimbawa para sa mga numero 6 at 9.
I-multiply namin ang numero 6, sunud-sunod, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin: 6, 12, 18 , 24, 30
I-multiply namin ang numero 9, sunud-sunod, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin ang: 9, 18 , 27, 36, 45
Gaya ng nakikita mo, ang LCM para sa mga numero 6 at 9 ay magiging 18.

Ang pamamaraang ito ay maginhawa kapag ang parehong mga numero ay maliit at madaling i-multiply sa isang pagkakasunud-sunod ng mga integer. Gayunpaman, may mga pagkakataong kailangan mong hanapin ang LCM para sa dalawang-digit o tatlong-digit na mga numero at gayundin kapag ang orihinal na mga numero ay tatlo o higit pa.

Paraan 2... Mahahanap mo ang LCM sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga orihinal na numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Pagkatapos ng pagpapalawak, kinakailangang tanggalin ang parehong mga numero mula sa nagresultang serye ng mga pangunahing kadahilanan. Ang natitirang mga numero ng unang numero ay magiging isang kadahilanan para sa pangalawa, at ang natitirang mga numero ng pangalawa ay magiging isang kadahilanan para sa una.

Halimbawa para sa numerong 75 at 60.
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 75 at 60 ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, pinalawak namin ang 75 at 60 sa pangunahing mga kadahilanan:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Tulad ng nakikita mo, ang mga kadahilanan 3 at 5 ay matatagpuan sa parehong mga linya. Sa isip ay "pinutol" natin sila.
Isulat natin ang natitirang mga salik na kasama sa pagkabulok ng bawat isa sa mga numerong ito. Kapag pinalawak ang numero 75, mayroon kaming natitira na numero 5, at kapag pinalawak ang numero 60, mayroon kaming 2 * 2
Kaya, upang matukoy ang LCM para sa mga numero 75 at 60, kailangan nating i-multiply ang natitirang mga numero mula sa agnas ng 75 (ito ay 5) sa pamamagitan ng 60, at ang mga numero na natitira mula sa decomposition ng numero 60 (ito ay 2 * 2 ) multiply sa 75. Iyon ay, para sa kadalian ng pag-unawa , sinasabi namin na kami ay nagpaparami ng "crosswise".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ganito namin nahanap ang LCM para sa mga numerong 60 at 75. Ito ang numerong 300.

Halimbawa... Tukuyin ang LCM para sa mga numero 12, 16, 24
Sa kasong ito, ang ating mga aksyon ay magiging mas kumplikado. Ngunit, una, gaya ng nakasanayan, i-decompose natin ang lahat ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Upang matukoy nang tama ang LCM, pipiliin namin ang pinakamaliit sa lahat ng numero (ito ang numero 12) at sunud-sunod na dumaan sa mga salik nito, tinatawid ang mga ito kung ang isa man lang sa iba pang serye ng mga numero ay naglalaman ng pareho, hindi pa natatanggal na kadahilanan.

Hakbang 1. Nakita namin na ang 2 * 2 ay nangyayari sa lahat ng mga hanay ng mga numero. Cross out ang mga ito.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Hakbang 2. Sa prime factor ng numero 12, ang numero 3 na lang ang natitira. Ngunit ito ay naroroon sa prime factor ng numero 24. I-cross out ang numero 3 mula sa magkabilang row, habang para sa numero 16 walang aksyon na ipinapalagay.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Tulad ng nakikita mo, kapag pinalawak ang numero 12, "pinutol" namin ang lahat ng mga numero. Nangangahulugan ito na ang paghahanap ng NOC ay nakumpleto na. Ito ay nananatiling lamang upang kalkulahin ang halaga nito.
Para sa numero 12, kinukuha namin ang natitirang mga kadahilanan ng numero 16 (ang pinakamalapit sa pataas na pagkakasunud-sunod)
12 * 2 * 2 = 48
Ito ang NOC

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito, ang paghahanap ng LCM ay medyo mas mahirap, ngunit kapag kailangan mong hanapin ito para sa tatlo o higit pang mga numero, sa ganitong paraan nagbibigay-daan sa iyo na gawin ito nang mas mabilis. Gayunpaman, ang parehong paraan ng paghahanap ng LCM ay tama.

Ipagpatuloy natin ang pag-uusap tungkol sa least common multiple, na sinimulan natin sa seksyong "LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples". Sa paksang ito, titingnan natin ang mga paraan upang mahanap ang LCM para sa tatlong numero o higit pa, susuriin natin ang tanong kung paano hanapin ang LCM ng isang negatibong numero.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kinakalkula ang least common multiple (LCM) sa mga tuntunin ng gcd

Naitatag na namin ang relasyon sa pagitan ng least common multiple at ng greatest common divisor. Ngayon ay matututunan natin kung paano matukoy ang LCM sa mga tuntunin ng GCD. Alamin muna natin kung paano ito gagawin para sa mga positibong numero.

Kahulugan 1

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng pinakamalaki karaniwang divisor maaaring sa pamamagitan ng formula na LCM (a, b) = a b: gcd (a, b).

Halimbawa 1

Hanapin ang LCM ng mga numero 126 at 70.

Solusyon

Kunin natin ang a = 126, b = 70. Palitan ang mga halaga sa formula para sa pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pinakamalaking karaniwang divisor LCM (a, b) = a b: GCD (a, b).

Hinahanap ang gcd ng mga numero 70 at 126. Para dito kailangan namin ang algorithm ng Euclid: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, samakatuwid, GCD (126 , 70) = 14 .

Kinakalkula namin ang LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Sagot: LCM (126, 70) = 630.

Halimbawa 2

Hanapin ang katok ng mga numero 68 at 34.

Solusyon

Ang GCD sa kasong ito ay hindi mahirap, dahil ang 68 ay nahahati sa 34. Kinakalkula namin ang least common multiple gamit ang formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Sagot: LCM (68, 34) = 68.

Sa halimbawang ito, ginamit namin ang panuntunan ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang para sa mga positibong integer a at b: kung ang unang numero ay nahahati sa pangalawa, ang LCM ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng unang numero.

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor

Ngayon tingnan natin ang isang paraan upang mahanap ang LCM, na batay sa mga factoring number sa prime factor.

Kahulugan 2

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan nating magsagawa ng ilang simpleng hakbang:

• buuin ang produkto ng lahat ng pangunahing salik ng mga numero kung saan kailangan nating hanapin ang LCM;
• ibinubukod namin ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan mula sa mga nakuhang produkto;
• ang produktong nakuha pagkatapos alisin ang mga karaniwang prime factor ay magiging katumbas ng LCM ng mga numerong ito.

Ang pamamaraang ito ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa pagkakapantay-pantay na LCM (a, b) = a b: GCD (a, b). Kung titingnan mo ang formula, magiging malinaw: ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga kadahilanan na kasangkot sa pagkabulok ng dalawang numerong ito. Sa kasong ito, ang GCD ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na nasa mga factorization ng dalawang numerong ito.

Halimbawa 3

Mayroon kaming dalawang numero, 75 at 210. Maaari naming i-factor ang mga ito tulad ng sumusunod: 75 = 3 5 5 at 210 = 2 3 5 7... Kung bubuo ka ng produkto ng lahat ng salik ng dalawang orihinal na numero, makakakuha ka ng: 2 3 3 5 5 5 7.

Kung ibubukod namin ang mga salik 3 at 5 na karaniwan para sa parehong mga numero, makakakuha kami ng produkto ng sumusunod na anyo: 2 3 5 5 7 = 1050... Ang produktong ito ang aming magiging LCM para sa mga numero 75 at 210.

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numero 441 at 700 sa pamamagitan ng pagpapalawak ng parehong mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Solusyon

Hanapin natin ang lahat ng prime factor ng mga numerong ibinigay sa kondisyon:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Nakakuha kami ng dalawang kadena ng mga numero: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 at 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7.

Ang produkto ng lahat ng mga salik na lumahok sa pagkabulok ng mga numerong ito ay magkakaroon ng anyo: 2 2 3 3 5 5 7 7 7... Hanapin ang mga karaniwang salik. Ang numerong ito ay 7. Ibukod natin ito sa pangkalahatang gawain: 2 2 3 3 5 5 7 7... Lumalabas na ang NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Sagot: LCM (441, 700) = 44 100.

Magbigay tayo ng isa pang pormulasyon ng pamamaraan para sa paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-decomposing ng mga numero sa prime factor.

Kahulugan 3

Dati, hindi namin isinama sa kabuuang bilang ng mga salik na karaniwan sa parehong numero. Ngayon ay gagawin natin ito nang iba:

• I-decompose natin ang parehong mga numero sa mga pangunahing kadahilanan:
• idagdag ang nawawalang mga salik ng pangalawang numero sa produkto ng mga pangunahing salik ng unang numero;
• makuha namin ang produkto, na magiging ninanais na LCM ng dalawang numero.

Halimbawa 5

Bumalik tayo sa mga numerong 75 at 210, kung saan hinanap na natin ang LCM sa isa sa mga naunang halimbawa. I-decompose natin ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan: 75 = 3 5 5 at 210 = 2 3 5 7... Sa produkto ng mga salik 3, 5 at 5 ang bilang na 75 ay idagdag ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 7 numero 210. Nakukuha namin: 2 · 3 · 5 · 5 · 7. Ito ang LCM ng mga numero 75 at 210.

Halimbawa 6

Kalkulahin ang LCM ng mga numero 84 at 648.

Solusyon

I-decompose natin ang mga numero mula sa kundisyon sa mga pangunahing kadahilanan: 84 = 2 2 3 7 at 648 = 2 2 2 3 3 3 3... Idagdag sa produkto ang mga salik 2, 2, 3 at 7 numero 84 nawawalang mga salik 2, 3, 3 at
3 numero 648. Nakukuha namin ang trabaho 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Sagot: LCM (84, 648) = 4,536.

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Hindi alintana kung gaano karaming mga numero ang ating kinakaharap, ang algorithm ng ating mga aksyon ay palaging magiging pareho: sunud-sunod nating hahanapin ang LCM ng dalawang numero. Mayroong teorama para sa kasong ito.

Teorama 1

Ipagpalagay na mayroon kaming mga integer a 1, a 2,…, a k... NOC m k ng mga numerong ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3),…, m k = LCM (m k - 1, a k).

Ngayon tingnan natin kung paano mo mailalapat ang teorama upang malutas ang mga partikular na problema.

Halimbawa 7

Kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng apat na numero 140, 9, 54, at 250 .

Solusyon

Ipakilala natin ang notasyon: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Magsimula tayo sa pagkalkula ng m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Inilapat namin ang algorithm ng Euclid upang kalkulahin ang GCD ng mga numero 140 at 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Nakukuha namin ang: GCD (140, 9) = 1, LCM (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Samakatuwid, m 2 = 1,260.

Ngayon ay kinakalkula namin sa pamamagitan ng parehong algorithm m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Sa kurso ng mga kalkulasyon, nakukuha namin ang m 3 = 3 780.

Nananatili para sa amin na kalkulahin ang m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Sinusunod namin ang parehong algorithm. Nakukuha natin ang m 4 = 94,500.

Ang LCM ng apat na numero mula sa halimbawang kundisyon ay 94500.

Sagot: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Tulad ng nakikita mo, ang mga kalkulasyon ay simple, ngunit sa halip matrabaho. Upang makatipid ng oras, maaari kang pumunta sa ibang paraan.

Kahulugan 4

Inaalok namin sa iyo ang sumusunod na algorithm ng mga aksyon:

• mabulok ang lahat ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
• sa produkto ng mga kadahilanan ng unang numero, idagdag ang nawawalang mga kadahilanan mula sa produkto ng pangalawang numero;
• idagdag ang nawawalang mga salik ng ikatlong numero sa produktong nakuha sa nakaraang yugto, atbp.;
• ang magreresultang produkto ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng lahat ng numero mula sa kundisyon.

Halimbawa 8

Kinakailangang hanapin ang LCM ng limang numero 84, 6, 48, 7, 143.

Solusyon

I-decompose natin ang lahat ng limang numero sa prime factor: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Pangunahing numero, na kung saan ay ang bilang 7, ay hindi maaaring decomposed sa pangunahing mga kadahilanan. Ang mga nasabing numero ay kasabay ng kanilang prime factorization.

Ngayon kunin ang produkto ng prime factor 2, 2, 3 at 7 ng 84 at idagdag ang mga nawawalang factor ng pangalawang numero sa kanila. Hinati namin ang numero 6 sa 2 at 3. Ang mga salik na ito ay nasa produkto na ng unang numero. Samakatuwid, tinanggal namin ang mga ito.

Patuloy kaming nagdaragdag ng mga nawawalang kadahilanan. Dumaan tayo sa numerong 48, mula sa produkto ng mga pangunahing kadahilanan kung saan kinukuha natin ang 2 at 2. Pagkatapos ay magdagdag ng prime factor ng 7 ng ikaapat na numero at mga factor ng 11 at 13 para sa ikalima. Nakukuha namin ang: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng orihinal na limang numero.

Sagot: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Paghahanap ng Pinakamaliit na Karaniwang Multiple ng mga Negatibong Numero

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga negatibong numero, ang mga numerong ito ay dapat munang mapalitan ng mga numero na may kabaligtaran na tanda, at pagkatapos ay ang mga kalkulasyon ay dapat isagawa ayon sa mga algorithm sa itaas.

Halimbawa 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) at LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Ang ganitong mga aksyon ay pinahihintulutan dahil sa katotohanan na kung tatanggapin natin iyon a at - a- magkasalungat na numero,
pagkatapos ay ang hanay ng mga multiple a tumutugma sa hanay ng mga multiple - a.

Halimbawa 10

Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga negatibong numero − 145 at − 45 .

Solusyon

Palitan natin ang mga numero − 145 at − 45 sa magkasalungat na numero 145 at 45 ... Ngayon, ayon sa algorithm, kinakalkula namin ang LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, na dati nang natukoy ang GCD ayon sa Euclidean algorithm.

Nakuha namin na ang LCM ng mga numero ay 145 at − 45 katumbas 1 305 .

Sagot: LCM (- 145, - 45) = 1,305.

Kung may napansin kang error sa text, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter