To. buong mga numero Ang mga ito ay natural na mga numero, zero, pati na rin ang mga numero na kabaligtaran sa natural.

Integers. - Ang mga ito ay positive integers.

Halimbawa: 1, 3, 7, 19, 23, atbp. Ginagamit namin ang mga naturang numero upang mabilang (sa talahanayan mayroong 5 mansanas, ang kotse ay may 4 na gulong, atbp.)

Latin sulat \\ mathbb (n) - ay ipinahiwatig maraming natural na mga numero .

Ang mga negatibong numero ay hindi maaaring maiugnay sa mga likas na numero (ang upuan ay hindi maaaring magkaroon ng negatibong halaga ng mga binti) at fractional numbers (hindi maaaring ibenta ni Ivan ang 3.5 bisikleta).

Ang mga numero na kabaligtaran sa natural, ay negatibong integer: -8, -148, -981, ....

Mga pagkilos ng aritmetika na may integers.

Ano ang maaaring gawin sa mga integer? Maaari silang multiply, tiklop at ibawas mula sa bawat isa. Susuriin namin ang bawat operasyon sa isang partikular na halimbawa.

Pagdaragdag ng integers.

Dalawang integer na may parehong mga palatandaan ay nakatiklop bilang mga sumusunod: Ang mga module ng mga numerong ito ay ginawa at ang huling palatandaan ay ginawa bago natanggap ang halagang:

(+11) + (+9) = +20

Pagbabawas ng integer.

Dalawang integer na may iba't ibang mga palatandaan Ito ay nakatiklop bilang mga sumusunod: Mula sa module ng isang mas malaki, ang module ay bawas ng mas maliit na module at bago ang tugon na natanggap ay isang tanda ng isang mas malaking isa sa bilang ng mga numero:

(-7) + (+8) = +1

Pagpaparami ng integers.

Upang multiply ang isang integer sa isa pa, kailangan mong i-multiply ang mga module ng mga numerong ito at ilagay ang "+" sign bago ang tugon na natanggap, kung ang mga paunang numero ay may parehong mga palatandaan, at ang pag-sign "-", kung ang mga unang numero ay May iba't ibang mga palatandaan:

(-5) \\ cdot (+3) \u003d -15

(-3) \\ cdot (-4) \u003d +12

Dapat nating tandaan ang sumusunod ang panuntunan ng pagpaparami ng mga integer:

+ \\ CDOT + \u003d +.

+ \\ CDOT - \u003d -

- \\ cdot + \u003d -

- \\ cdot - \u003d +.

May isang panuntunan ng pagpaparami ng maraming numero. Tandaan Natin Ito:

Ang marka ng trabaho ay "+", kung ang bilang ng mga multiplier na may negatibong tanda ay kahit at "-", kung ang bilang ng mga multiplier na may negatibong tanda ay kakaiba.

(-5) \\ cdot (-4) \\ cdot (+1) \\ cdot (+6) \\ cdot (+1) \u003d +120

Dibisyon ng integers.

Ang dibisyon ng dalawang integers ay ginawa bilang mga sumusunod: ang module ng parehong numero ay nahahati sa module ng iba at kung ang mga character ng mga numero ay pareho, pagkatapos ay sa harap ng pribadong pag-sign "+" sign, at kung ang mga palatandaan Ang mga unang numero ay naiiba, pagkatapos ay naka-install ang "-" sign.

(-25) : (+5) = -5

Mga katangian ng karagdagan at pagpaparami ng mga integer

Susuriin namin ang mga pangunahing katangian ng karagdagan at pagpaparami para sa anumang integer A, B at C:

1. a + B \u003d B + A - ang remedyo na ari-arian ng karagdagan;
2. (A + b) + c \u003d a + (b + c) - isang combatant property ng karagdagan;
3. isang \\ cdot b \u003d b \\ cdot a - multiplication property;
4. (Isang \\ cdot c) \\ cdot b \u003d a \\ cdot (b \\ cdot c) - Ang kumbinasyon ng mga katangian ng multiplikasyon;
5. isang \\ cdot (b \\ cdot c) \u003d a \\ cdot b + a \\ cdot c - Pamamahagi ng ari-arian ng pagpaparami.

Mayroong maraming mga varieties ng mga numero, isa sa mga ito ay mga numero ng integer. Ang mga integer ay lumitaw upang mapadali ang kuwenta hindi lamang sa positibong panig, ngunit din sa negatibo.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Sa hapon ay may temperatura ng 3 degrees. Sa pamamagitan ng gabi, ang temperatura ay nahulog sa pamamagitan ng 3 degrees.
3-3=0
Sa kalye ito ay naging 0 degrees. Sa gabi, ang temperatura ay nahulog sa pamamagitan ng 4 degrees at nagsimulang ipakita sa thermometer -4 degree.
0-4=-4

Isang bilang ng mga integer.

Hindi namin magagawang ilarawan ang gayong gawain sa mga likas na numero, isaalang-alang ang gawaing ito sa direktang coordinate.

Nakakuha kami ng maraming numero:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ang bilang ng mga numero ay tinatawag na. isang bilang ng mga integer.

Buong positibong numero. Buong negatibong numero.

Ang isang bilang ng mga integer ay binubuo ng positibo at negatibong mga numero. Sa kanan ng zero ay natural na mga numero o sila ay tinatawag din buong positibong numero. At sa kaliwa ng zero go. buo negatibong numero.

Zero ay hindi positibong negatibong numero. Ito ang hangganan sa pagitan ng positibo at negatibong mga numero.

- Ito ay isang hanay ng mga numero na binubuo ng mga natural na numero, tulad ng maraming mga negatibong numero at zero.

Isang bilang ng mga integer sa positibo at sa. negatibong panig ay isang walang katapusang hanay.

Kung kumuha kami ng dalawang integers, ang mga numero na nakatayo sa pagitan ng mga buong numero ay tatawagan ang huling hanay.

Halimbawa:
Kunin ang mga integer mula -2 hanggang 4. Ang lahat ng mga numero na nakatayo sa pagitan ng mga numerong ito ay kasama sa huling hanay. Ang aming huling hanay ng mga numero ay ganito ang hitsura:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ang mga likas na numero ay tinutukoy ng Latin na titik N.
Ang mga integer ay ipinahiwatig ng Latin na titik Z. Ang lahat ng maraming mga natural na numero at integer ay maaaring ma-port sa figure.


PANGUNAHING INTEGERS. Sa madaling salita, ang mga ito ay mga negatibong integer.
Di-negatibong integer. - Ang mga ito ay positive integers.

Mahalagang komento!
1. Kung sa halip ng mga formula makikita mo ang Abracadabra, linisin ang cache. Paano gawin ito sa iyong browser ay nakasulat dito:
2. Bago ka magsimulang magbasa ng isang artikulo, bigyang pansin ang aming navigator para sa pinaka-kapaki-pakinabang na mapagkukunan para sa

Upang makagawa ng maraming pagpapasimple buhay kapag kailangan mong kalkulahin ang isang bagay upang manalo sa mahalagang oras sa OGE o ege upang gumawa ng mas kaunting mga pagkakamali ng bobo - basahin ang seksyon na ito!

Ito ang matututuhan mo:

• paano mas mabilis, mas madali at mas tumpak na bilangin ang paggamitmga numero ng pagpapangkat Kapag nagdadagdag at nagbabawas,
• kung paano walang mga error, mabilis na multiply at hatiin ang paggamit mga panuntunan sa pagpaparami at mga palatandaan ng destinasyon,
• paano makabuluhang mapabilis ang mga kalkulasyon gamit ang pinakamaliit na karaniwang multiple. (NOC) at ang pinakadakilang karaniwang divisor (Node).

Ang pag-aari ng mga reception ng seksyon na ito ay maaaring isalin ang laki ng mga antas sa isang direksyon o iba pa ... ipapasok mo ang University of Dreams o hindi, kailangan mong magbayad ng malaking pera para sa iyong pagsasanay o iyong mga magulang o gagawin mo sa badyet.

Hayaan ang "s dive karapatan sa ... (Drove!)

P.S. Huling mahalagang payo ...

Maraming integers. Binubuo ng 3 bahagi:

1. integers. (Isaalang-alang ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba);
2. natural na mga numero (lahat ng bagay ay nasa lugar sa lalong madaling malaman kung ano ang natural na mga numero);
3. zero - " " (Kung saan wala siya?)

letter Z.

Integers.

"Gumawa ang Diyos ng mga likas na numero, ang lahat ng bagay ay ang gawain ng mga kamay ng tao" (c) ang Aleman mathematician kronkener.

Natural na mga numero ay Ang mga numero na ginagamit namin para sa mga item sa account at ito ay sa ito na ang kanilang kasaysayan ng paglitaw ay batay sa - ang pangangailangan upang mabilang arrow, skin, atbp.

1, 2, 3, 4 ... N.

sulat N.

Alinsunod dito, hindi kasama sa kahulugan na ito (hindi mo mabibilang ang hindi?) At higit pa kaya huwag magpasok ng mga negatibong halaga (ito ba ay Apple?).

Bilang karagdagan, hindi kasama fractional Numbers. (Hindi rin namin maaaring sabihin "Mayroon akong laptop", o "ibinebenta ko ang kotse")

Sinuman natural na numero Maaari kang sumulat ng 10 digit:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Kaya, 14 ay hindi isang digit. Ito ang numero. Anong mga numero ang binubuo nito? Iyan ay tama, mula sa mga numero at.

Karagdagan. Pagpapangkat kapag nagdadagdag upang mabilis na mabilang at mas mali

Ano ang kagiliw-giliw na maaari mong sabihin tungkol sa pamamaraan na ito? Siyempre, ikaw ay tumugon ngayon "mula sa permutasyon ng mga tuntunin ng halaga ay hindi nagbabago." Tila primitive, pamilyar sa unang klase ang isang panuntunan, gayunpaman, kapag paglutas malaking halimbawa ito agad na nakalimutan!

Huwag kalimutan ang tungkol dito -gamitin ang pagpapangkatUpang mapadali ang proseso ng pagbibilang at bawasan ang posibilidad ng mga pagkakamali, dahil hindi ka magkakaroon ng calculator sa pagsusulit.

Panoorin ang iyong sarili, anong pagpapahayag na mas madaling tiklop?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Siyempre ang pangalawang! Kahit na ang resulta ay pareho. Ngunit! Isinasaalang-alang ang pangalawang paraan na mas mababa ang pagkakataon na magkamali at gagawin mo ang lahat nang mas mabilis!

Kaya, sa tingin mo sa iyong isip tulad nito:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Pagbabawas. Pagpapangkat kapag binabawasan ang pagbabasa nang mas mabilis at pagkakamali

Kapag nagbabawas, maaari din naming mag-grupo ng mga numero ng subtractable, halimbawa:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

At paano kung ang pagbabawas alternates sa halimbawa sa karagdagan? Maaari mo ring pangkat, sasagot ka, at tama iyan. Itanong lang, huwag kalimutan ang tungkol sa mga palatandaan sa harap ng mga numero, halimbawa: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Tandaan: Ang hindi tamang mga palatandaan ay hahantong sa isang maling resulta.

Pagpaparami. Paano multiply sa isip

Malinaw, mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga multiplier ang halaga ng trabaho ay hindi magbabago:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Hindi ko sasabihin sa iyo "Gamitin ito kapag nilulutas ang mga halimbawa" (naintindihan mo ang pahiwatig, tama?), At sasabihin ko sa iyo kung paano mabilis na magparami ng ilang mga numero sa isip. Kaya, tumingin mabuti sa talahanayan:

At kaunti pa tungkol sa pagpaparami. Siyempre, naaalala mo ang dalawang espesyal na okasyon ... Hulaan kung ano ang ibig kong sabihin? Ito ay:

Oh oo, isaalang-alang pa rin mga palatandaan ng divisibility. Mayroon lamang 7 panuntunan sa mga palatandaan ng divisibility, kung saan ang unang 3 alam mo nang eksakto!

Ngunit ang iba ay hindi mahirap matandaan.

7 palatandaan ng divisibility ng mga numero na tutulong sa iyo na mabilis na basahin sa isip!

• Ang unang tatlong panuntunan sa iyo, siyempre, alam.
• Ika-apat at ikalimang madaling matandaan - kapag naghahati at tumingin kami, kung ang halaga ng mga numero na bumubuo ng numero ay nahahati sa ito.
• Kapag naghahati sa pagbibigay kami ng pansin sa dalawang huling digit ng numero - ito ay hinati sa bilang na ginagawa nila?
• Kapag ang paghati sa numero ay dapat na sabay-sabay na pagbabahagi sa at sa. Iyan ang lahat ng karunungan.

Sa tingin mo ngayon - "Bakit kailangan ko ang lahat ng ito"?

Una, ang pagsusulit ay napupunta walang calculator At ang mga patakarang ito ay tutulong sa iyo na mag-navigate sa mga halimbawa.

At ikalawa, narinig mo ang mga gawain tungkol Node at Nok.? Pamilyar na pagdadaglat? Magsimula tayo sa pag-alala at pag-unawa.

Ang pinakadakilang karaniwang divider (node) ay kinakailangan upang mabawasan ang mga fraction at mabilis na computing

Ipagpalagay na mayroon kang dalawang numero: at. Sa ano ang pinakamalaking bilang pareho ba ang mga numerong ito? Ikaw, nang walang pag-iisip, sagot, dahil alam mo na:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Ano ang mga numero sa pagpapalawak? Iyan ay tama, 2 * 2 \u003d 4. Kaya ang iyong sagot ay. Hawak ang simpleng halimbawa sa aking ulo, hindi mo malilimutan ang algorithm kung paano mahahanap Node. Subukan na "itayo" siya sa aking ulo. Nangyari?

Upang makahanap ng node kailangan:

1. Tiyakin ang mga numero sa mga simpleng kadahilanan (sa mga naturang numero na hindi maaaring nahahati sa anumang bagay maliban o sa, halimbawa, 3, 7, 11, 13, atbp.).
2. Multiply ang mga ito.

Naiintindihan mo kung bakit kailangan namin ng mga palatandaan ng divisibility? Kaya na tumingin ka sa numero at maaaring magsimulang paghahati nang walang nalalabi.

Halimbawa, hanapin ang mga node ng 290 at 485

Unang numero -.

Sa pagtingin sa kanya, maaari mong agad na sabihin na ito ay nahahati sa, isulat:

imposibleng hatiin ang anumang bagay, ngunit maaari mo - at, nakukuha namin:

290 = 29 * 5 * 2

Kumuha ng isa pang numero - 485.

Ayon sa mga palatandaan ng divisibility, dapat itong nahahati, dahil nagtatapos ito. Hinati natin:

Sinusuri namin ang orihinal na numero.

• Hindi ito maaaring nahahati sa ito (ang huling digit ay kakaiba),
• - Hindi hinati, kung gayon ang numero ay hindi rin nahahati,
• sa at sa ito ay hindi rin hinati (ang halaga ng mga numero na kasama sa numero ay hindi nahahati sa at sa)
• hindi rin nahahati, dahil hindi ito nahahati at,
• hindi rin ito nahahati, dahil hindi ito nahahati at.
• imposibleng hatiin ang target,

Kaya ang bilang ay maaaring decomposed lamang sa at.

At ngayon nakita namin Node Ang mga numerong ito (s). Ano ang numerong ito? Tama,.

Pagsasanay?

Numero ng gawain 1. Maghanap ng mga numero ng node 6240 at 6800.

1) hatiin ko nang sabay-sabay, dahil ang parehong mga numero ay 100% na nahahati sa:

Task number 2. Maghanap ng mga numero ng node 345 at 324.

Dito hindi ako mabilis na makahanap ng hindi bababa sa isa pangkalahatang Divisor.Kaya lang mag-ipon sa simpleng mga kadahilanan (bilang maliit hangga't maaari):

Ang pinakamaliit na kabuuang multiple (NOC) - ay nakakatipid ng oras, tumutulong upang malutas ang mga gawain ng di-karaniwang

Ipagpalagay na mayroon kang dalawang numero - at. Ano ang pinakamaliit na bilang na hinati at walang nalalabi (i.e., isang focus)? Mahirap isipin? Narito mayroon kang isang visual na tip:

Naaalala mo ba kung ano ang ipinahiwatig ng sulat? Tama lang buong numero. Kaya kung ano ang pinakamaliit na numero ay angkop sa lugar x? :

Sa kasong ito.

Mula dito simpleng halimbawa Sinusunod nito ang ilang mga panuntunan.

Mga panuntunan para sa mabilis na paghahanap ng Nok.

Rule 1. Kung ang isa sa dalawang likas na numero ay nahahati sa isa pang numero, pagkatapos ay higit pa sa dalawang numero ang kanilang pinakamaliit na maramihang.

Hanapin ang mga sumusunod na numero:

• NOK (7; 21)
• NOK (6; 12)
• NOK (5; 15)
• NOK (3; 33)

Siyempre, madali kang tumingin sa gawaing ito at nakakuha ka ng mga sagot -, at.

Tandaan, pinag-uusapan natin ang dalawang numero sa panuntunan, kung ang mga numero ay mas malaki, ang panuntunan ay hindi gumagana.

Halimbawa, ang NOC (7; 14; 21) ay hindi katumbas ng 21, dahil hindi ito nahahati nang walang nalalabi.

Panuntunan 2. Kung ang dalawang (o higit sa dalawang) mga numero ay simple, pagkatapos ay ang pinakamaliit na karaniwang maramihang ay katumbas ng kanilang trabaho.

Hanapin Nok. Sa mga sumusunod na numero:

• Nok (1; 3; 7)
• Nok (3; 7; 11)
• Nok (2; 3; 7)
• Nok (3; 5; 2)

Kinakalkula? Narito ang mga sagot - ,; .

Tulad ng naiintindihan mo, hindi laging posible na gawin ito nang madali at kunin ang napaka X, kaya mayroong susunod na algorithm para sa isang maliit na mas mahirap na mga numero:

Pagsasanay?

Nakikita namin ang pinakamababang kabuuang maramihang - NOC (345; 234)

Hanapin ang pinakamaliit na kabuuang maraming (NOK) ang iyong sarili

Anong mga sagot ang nakuha mo?

Iyan ang nangyari sa akin:

Gaano karaming oras ang iyong ginugugol sa paghahanap Nok.? Ang aking oras ay 2 minuto, katotohanan na alam ko isang trick.Iminumungkahi kong buksan mo ngayon!

Kung ikaw ay napaka-matulungin, malamang na napansin mo na para sa tinukoy na mga numero na aming hinanap Node At ang agnas ng mga kadahilanan ng mga numerong ito ay maaari mong kunin mula sa halimbawang iyon, sa gayon ay pinasimple ang gawain, ngunit hindi ito lahat.

Tingnan ang larawan, maaari kang makarating sa iyo ng ilang higit pang mga saloobin:

Mabuti? Gagawa ako ng pahiwatig: subukan multiply Nok. at Node Sa pagitan ng kanilang sarili at isulat ang lahat ng mga kadahilanan na magiging sa mga multiplies. Makaya? Dapat mong makuha ang kadena na ito:

Tumingin sa kanya nang mas malapit: ihambing ang mga multiplier sa kung paano sila lumalabas at.

Anong konklusyon ang maaari mong gawin ito? Tama! Kung binago namin ang mga halaga Nok. at Node Ibig sabihin, pagkatapos ay makuha namin ang gawain ng mga numerong ito.

Alinsunod dito, pagkakaroon ng mga numero at halaga Node (O. Nok.) maaari naming mahanap ang Nok. (O. Node) Ayon sa naturang pamamaraan:

1. Maghanap ng isang produkto ng mga numero:

2. Delim ang nagresultang trabaho sa aming. Node (6240; 6800) = 80:

Iyon lang.

Nagsusulat kami ng panuntunan sa pangkalahatang anyo:

Subukan na hanapin NodeKung ito ay kilala:

Makaya? .

Mga negatibong numero - "lzhenchul" at ang kanilang pagkilala sa pamamagitan ng sangkatauhan.

Tulad ng naintindihan mo, ang mga ito ay ang mga numero na kabaligtaran sa natural, iyon ay:

Ang mga negatibong numero ay maaaring nakatiklop, ibawas, multiply at hatiin - lahat ay tulad ng sa natural. Tila na sila ay espesyal na tungkol sa mga ito? At ang katotohanan ay ang mga negatibong numero na "binuwag" ang kanilang nararapat na lugar sa matematika hanggang sa ang XIX century (bago ang sandaling iyon ay malaking halaga Mga pagtatalo, umiiral o hindi).

Ang negatibong numero mismo ay naganap dahil sa naturang operasyon na may natural na mga numero bilang "pagbabawas". Sa katunayan, mula sa pagbabawas - narito ang negatibong numero. Iyon ang dahilan kung bakit, maraming mga negatibong numero ang madalas na tinatawag na "ang pagpapalawak ng set natural na mga numero».

Ang mga negatibong numero ay hindi pinapapasok nang mahabang panahon. Kaya, Sinaunang Ehipto, Babylon I. Ancient Greece. - Mga tanawin ng kanilang oras, hindi nakilala ang mga negatibong numero, at sa kaso ng pagkuha ng mga negatibong ugat sa equation (halimbawa, tulad ng mayroon kami), ang mga ugat ay tinanggihan bilang imposible.

Sa unang pagkakataon, natanggap ng mga negatibong numero ang kanilang karapatang umiral sa Tsina, at pagkatapos ay sa siglo ng VII sa India. Ano sa palagay mo, ano ang dahilan para sa pagkilala na ito? Tama iyan, ang mga negatibong numero ay nagsimulang magpakita ng mga utang (kung hindi man ay may kakulangan). Ito ay pinaniniwalaan na ang mga negatibong numero ay isang pansamantalang halaga, na bilang isang resulta ay magbabago sa isang positibo (iyon ay, ang pinagkakautangan ay ibabalik ng pinagkakautangan). Gayunpaman, ang Indian Brahmagupta mathematician ay itinuturing na negatibong mga numero sa isang par na may positibo.

Sa Europa, ang pagiging kapaki-pakinabang ng mga negatibong numero, pati na rin sa katotohanan na maaari nilang tukuyin ang mga utang, dumating sila nang malaki, kapwa ng sanlibong taon. Ang unang pagbanggit ay napansin noong 1202 sa "Aklat ng Abaka" Leonard Pisansky (agad akong nagsasalita - sa Pisa Tower Ang may-akda ng aklat na relasyon ay walang anumang bagay, ngunit ang bilang ng Fibonacci ay ang kanyang mga kamay (palayaw Leonardo Pisansky - Fibonacci )). Dagdag pa, ang mga Europeo ay dumating sa katunayan na ang mga negatibong numero ay maaaring magpahiwatig hindi lamang ang mga utang, kundi pati na rin ang kakulangan ng anumang bagay, gayunpaman, hindi lahat ay nakilala.

Kaya, sa XVII siglo Pascal naniniwala na. Ano sa palagay mo, ano ang dahilan niya? Totoo, "walang mas mababa kaysa wala." Ang mga dayandang ng mga panahong iyon ay nananatiling ang katunayan na ang negatibong numero at ang operasyon ng pagbabawas ay ipinahiwatig ng parehong simbolo - ang minus "-". At katotohanan:. Ang bilang na "" ay positibo, na ibinawas mula sa, o negatibo, na summed up sa? ... isang bagay mula sa serye "Ano ang una: manok o itlog?" Narito ang isang uri ng pilosopiya ng matematika.

Ang mga negatibong numero ay nakakuha ng kanilang karapatan na umiiral sa pagdating ng analytical geometry, sa ibang salita, kapag ipinakilala ng matematika ang naturang konsepto bilang isang de-numerong axis.

Mula ngayon, ang pagkakapantay-pantay ay dumating. Gayunpaman, ang anumang pantay na katanungan ay higit pa sa mga sagot, halimbawa:

proporsyon

Ang proporsiyon na ito ay tinatawag na "Arno Paradox". Isipin kung ano ang kaduda-dudang ito?

Magkakasama tayo "" higit pa sa "" tama? Kaya, ayon sa lohika, ang kaliwang bahagi ng proporsyon ay dapat na mas malaki kaysa sa kanan, ngunit ang mga ito ay pantay ... kaya siya at ang kabalintunaan.

Bilang resulta, sumang-ayon ang matematika bago si Karl Gauss (oo, oo, ito ang isa na isinasaalang-alang ang halaga (o) mga numero) noong 1831 ilagay ang punto - sinabi niya na ang mga negatibong numero ay may parehong mga karapatan bilang positibo, at ang katotohanan na sila Mag-apply hindi sa lahat ng mga bagay ay hindi nangangahulugan ng anumang bagay, dahil ang fraraty ay hindi rin naaangkop sa maraming mga bagay (walang paraan na ang hukay ay paghuhukay ng magsasaka, imposible upang bumili ng tiket sa mga pelikula, atbp.).

Ang matematika ay nagpapalma lamang sa XIX century, nang nilikha ni William Hamilton at German Grassman ang teorya ng mga negatibong numero.

Ito ang mga kontrobersyal na ito, ang mga negatibong numero.

Ang paglitaw ng "kawalan ng laman", o isang scratch talambuhay.

Sa matematika - isang espesyal na numero. Sa unang sulyap, ito ay wala: idagdag, alisin - walang magbabago, ngunit ito ay nagkakahalaga lamang ito sa kanan "", at ang nakuha na numero ay magiging mas paulit-ulit. Namin ang lahat ng isang zero sa zero sa wala, ngunit nahahati sa "wala", iyon ay, hindi namin. Sa maikli, ang mahiwagang numero)

Ang kasaysayan ng zero ay mahaba at nakalilito. Zero trail na natagpuan sa mga komposisyon ng Tsino sa 2 libong ad. At kahit na mas maaga sa pamamagitan ng Maya. Ang unang paggamit ng zero na simbolo, na kung ano ito ngayon, ay napansin mula sa mga astronomong Griyego.

Mayroong maraming mga bersyon kung bakit ito ay pinili eksakto ang pagtatalaga "wala". Ang ilang mga historian ay may posibilidad na ang katunayan na ito ay isang ohomikron, i.e. Ang unang titik ng salitang Griyego ay walang - Ouben. Ayon sa isa pang bersyon, ang buhay ng zero na simbolo ay nagbigay ng salitang "Obol" (isang barya, halos walang mga halaga).

Zero (o zero) bilang isang simbolo ng matematika para sa unang pagkakataon ay lumilitaw sa Indians (paunawa, ang mga negatibong numero ay nagsimulang "bumuo" doon. Ang unang maaasahang katibayan ng pag-record ng zero ay kabilang sa 876, at sa kanila "- ang bilang ng mga numero.

Sa Europa, ang zero ay dumating din sa paggamit - lamang sa 1600g., At pati na rin ang mga negatibong numero, ay dumating sa pagtutol (kung ano ang maaari mong gawin, sila ay, Europeo).

"Zero madalas kinasusuklaman, natatakot sila na sila ay natatakot, ngunit ipinagbabawal," ang Amerikanong matematiko ni Charles ay ligtas. Kaya, ang Turkish Sultan Abdul-Hamid II sa dulo ng XIX. Inutusan niya ang kanyang mga sensor na hampasin ang lahat ng mga aklat-aralin ng kimika ng Water Formula H2O, pagkuha ng titik na "O" para sa zero at hindi nais ang kanyang mga inisyal na masira ng kapitbahayan na may kasuklam-suklam na zero. "

Sa internet, maaari mong matugunan ang parirala: "Zero ay ang pinaka-makapangyarihang puwersa sa uniberso, maaari niya ang lahat! Ang zero ay lumilikha ng order sa matematika, at nag-aambag din ito sa kaguluhan. " Talagang tama ang napansin :)

Buod ng seksyon at pangunahing mga formula

Maraming integer ang binubuo ng 3 bahagi:

• natural na mga numero (isaalang-alang ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba);
• ang mga numero na kabaligtaran sa natural;
• zero - "" "

Maraming integer ang ipinahiwatig letter Z.

1. Natural na mga numero

Ang mga natural na numero ay ang mga numero na ginagamit namin ang mga item sa account.

Maraming natural na numero ang ipinahiwatig sulat N.

Sa mga operasyon na may integers, kailangan mo ng kakayahang makahanap ng nod at noc.

Ang pinakadakilang karaniwang divider (node)

Upang makahanap ng node kailangan:

1. I-dismix ang mga numero sa simpleng mga kadahilanan (sa mga naturang numero na hindi maaaring nahahati sa anumang bagay, maliban o sa, halimbawa, atbp.).
2. Upang isulat ang mga multiplier na bahagi ng parehong mga numero.
3. Multiply ang mga ito.

Ang pinakamaliit na kabuuang maramihang (NOK)

Upang mahanap ang pangangailangan ng NOC:

1. I-dismix ang mga numero sa simpleng mga kadahilanan (maaari mo itong gawin ganap na ganap).
2. Upang isulat ang mga kadahilanan na kasama sa agnas ng isa sa mga numero (mas mahusay na gawin ang pinakamahabang chain).
3. Magdagdag ng mga nawawalang multiplier sa kanila mula sa pagpapalawak ng iba pang mga numero.
4. Maghanap ng isang produkto ng mga nagresultang multiplier.

2. Mga negatibong numero

ito ang mga numero na kabaligtaran sa natural, iyon ay:

Ngayon gusto kong marinig ka ...

Umaasa ako na pinahahalagahan mo ang sobrang kapaki-pakinabang na "mga trick" ng seksyon na ito at naunawaan kung paano sila tutulungan sa pagsusulit.

At mas mahalaga - sa buhay. Hindi ko pinag-uusapan ito, ngunit naniniwala ako, ang isang ito. Ang kakayahang mabilang nang mabilis at walang mga pagkakamali ay nagse-save sa maraming sitwasyon sa buhay.

Ngayon ang iyong paglipat!

Isulat, ilalapat mo ang mga pamamaraan ng pagpapangkat, mga palatandaan ng divisibility, node at noks sa mga kalkulasyon?

Siguro ginamit mo ang mga ito nang mas maaga? Saan at paano?

Marahil mayroon kang mga katanungan. O mga suhestiyon.

Isulat sa mga komento bilang iyong artikulo.

At good luck sa mga pagsusulit!

Well, ang paksa ay natapos na. Kung basahin mo ang mga linyang ito, ikaw ay sobrang cool.

Dahil ang 5% lamang ng mga tao ay makakapag-master ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbasa ka hanggang sa wakas, pagkatapos ay nakuha mo ang 5%!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naisip mo ang teorya sa paksang ito. At, ulitin ko, ito ... ito ay sobrang! Mas mahusay ka kaysa sa ganap na mayorya ng iyong mga kasamahan.

Ang problema ay hindi ito maaaring sapat ...

Para saan?

Para sa matagumpay na paglipas ng paggamit, para sa pagpasok sa Institute sa badyet at, pinaka-mahalaga, para sa buhay.

Hindi ko kayo kumbinsihin sa anumang bagay, sasabihin ko lang ang isang bagay ...

Ang mga taong nakatanggap ng isang mahusay na edukasyon ay kumikita nang higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ang mga ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay ang mga ito ay mas masaya (may mga naturang pananaliksik). Marahil dahil may mas maraming pagkakataon sa pabor sa kanila at nagiging mas maliwanag ang buhay? Hindi ko alam...

Ngunit, isipin ang aking sarili ...

Ano ang kailangan mong siguraduhin na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at maging sa huli ... mas maligaya?

Punan ang isang kamay sa pamamagitan ng paglutas ng mga gawain sa paksang ito.

Hindi mo hihilingin ang teorya sa pagsusulit.

Kakailanganin mong malutas ang mga gawain para sa isang sandali.

At kung hindi mo malutas ang mga ito (marami!), Tiyak na isang maling pagkakamali o walang oras lamang.

Ito ay tulad ng sa isport - kailangan mong ulitin maraming beses upang manalo para sigurado.

Hanapin kung saan mo nais ang isang koleksyon, ipinag-uutos sa mga solusyon, detalyadong pagtatasa At magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at kami, siyempre, inirerekumenda namin ang mga ito.

Upang mapunan ang kamay sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong makatulong na mapalawak ang buhay sa textbook na YouCever, na binabasa mo ngayon.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. Buksan ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
2. Buksan ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 mga artikulo ng aklat-aralin - Bumili ng aklat-aralin - 499 rubles.

Oo, mayroon kaming 99 tulad ng mga artikulo sa aming aklat-aralin at pag-access para sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto ay maaaring mabuksan kaagad.

Ang pag-access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinigay para sa buong pag-iral ng site.

Sa konklusyon ...

Kung ang aming mga gawain ay hindi gusto, maghanap ng iba. Huwag lamang tumigil sa teorya.

"Naiintindihan ko" at "maaari kong magpasya" ay ganap na iba't ibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Hanapin ang gawain at magpasya!

Impormasyon ng artikulong ito Forms. pangkalahatang pagtingin tungkol sa buong mga numero. Una, ang kahulugan ng integer ay ibinigay at ibinigay ang mga halimbawa. Susunod, ang mga integer ay itinuturing sa isang numerong linya, kung saan ito ay nagiging malinaw kung anong mga numero ang tinatawag na mga positibong numero ng integer, at kung saan ay negatibong integer. Pagkatapos nito, ipinapakita ito kung paano sa tulong ng mga integer, ang mga pagbabago ay inilarawan, at ang lahat ng mga negatibong numero ay isinasaalang-alang sa pakiramdam ng utang.

Pag-navigate ng pahina.

Integers - Kahulugan at mga halimbawa

Kahulugan.

Buong mga numero - Ang mga ito ay natural na mga numero, ang bilang ng zero, pati na rin ang mga numero laban sa natural.

Ang kahulugan ng integers ay nagpapahiwatig na ang alinman sa mga numero 1, 2, 3, ..., ang numero 0, pati na rin ang alinman sa mga numero -1, -2, -3, ... ay buo. Ngayon ay madali naming dalhin mga halimbawa ng integer.. Halimbawa, ang numero 38 ay isang integer, ang numero 70 040 ay isang integer din, zero ay isang integer (naaalala namin na ang zero ay hindi isang natural na numero, zero ay isang integer), ang numero -999, -1, -8 934 832 - Gayundin ay mga halimbawa ng mga numero ng integer.

Ang lahat ng integer ay madaling kinakatawan bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga integer, na may sumusunod na form: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... ang pagkakasunud-sunod ng mga integer ay maaaring maitala at higit pa: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Mula sa kahulugan ng integers ito ay sumusunod na ang hanay ng mga natural na numero ay isang subset ng maraming integers. Samakatuwid, ang anumang likas na numero ay integer, ngunit hindi anumang integer ay natural.

Integers sa coordinate direct.

Kahulugan.

Buong positibong numero - Ang mga ito ay integers na mas zero.

Kahulugan.

Buong negatibong numero - Ang mga ito ay integers na mas mababa sa zero.

Ang mga positibo at negatibong numero ay maaari ring matukoy sa pamamagitan ng kanilang posisyon sa direktang coordinate. Sa pahalang na direktang punto, na ang mga coordinate ay buong positibong numero, kasinungalingan sa kanan ng sanggunian. Sa turn, ang mga puntos na may buong negatibong mga coordinate ay matatagpuan sa kaliwa ng punto O.

Ito ay malinaw na ang hanay ng lahat ng integers positibong numero ay isang hanay ng mga natural na numero. Sa turn, ang hanay ng lahat ng mga negatibong numero ay ang hanay ng lahat ng mga numero na kabaligtaran sa mga natural na numero.

Hiwalay, gugugulin namin ang iyong pansin sa katotohanan na ang anumang likas na numero na maaari naming matapang na tawagin ang kabuuan, at anumang integer na maaari naming tawagan ang natural. Natural na maaari naming pangalanan lamang ang anumang integer positibong numero, dahil ang buong negatibong numero at zero ay hindi natural.

Interesable at buong di-negatibong numero

Ibigay natin ang kahulugan ng integer na hindi mapaghihiwalay na mga numero at integer non-negatibong mga numero.

Kahulugan.

Ang lahat ng mga positibong numero kasama ang bilang ng zero na tinatawag buong di-negatibong numero.

Kahulugan.

Mga kagiliw-giliw na numero - Ang mga ito ay lahat ng buong negatibong numero kasama ang isang bilang ng 0.

Sa ibang salita, ang isang negatibong numero ay isang integer na mas malaki kaysa sa zero, alinman sa katumbas ng zero, at isang integer indifference number ay isang integer na mas mababa sa zero o katumbas ng zero.

Ang mga halimbawa ng mga di-dami ng integer ay ang mga numero -511, -10 030, 0, -2, at bilang mga halimbawa ng mga hindi negatibong numero ng integer, nagbibigay kami ng mga numero 45, 506, 0, 900 321.

Kadalasan, ang mga salitang "buong naninirahan" at "buong di-negatibong numero" ay ginagamit para sa igsi ng pagtatanghal. Halimbawa, sa halip na ang pariralang "numero A ay isang buo, at isang mas zero o katumbas ng zero," maaaring sabihin ng isa "A - isang negatibong numero".

Paglalarawan ng mga pagbabago sa mga halaga gamit ang integers.

Panahon na upang pag-usapan kung ano ang kailangan ng buong numero.

Ang pangunahing layunin ng integers ay na sa kanilang tulong na ito ay maginhawa upang ilarawan ang pagbabago sa bilang ng anumang mga item. Sabihin mo sa akin ang mga halimbawa.

Magkaroon ng isang bilang ng mga detalye sa warehouse. Kung ang warehouse ay dinala sa warehouse, halimbawa, 400 bahagi, ang bilang ng mga bahagi sa warehouse ay tataas, at ang bilang 400 ay nagpapahayag ng pagbabagong ito sa halaga sa isang positibong panig (pataas). Kung ito ay kinuha mula sa warehouse, halimbawa, 100 bahagi, pagkatapos ay ang bilang ng mga bahagi sa bodega ay bababa, at ang numero 100 ay ipahayag ang pagbabago sa halaga sa negatibong bahagi (hanggang sa pagbabawas). Walang mga detalye sa warehouse, at hindi sila makikilahok mula sa warehouse, pagkatapos ay maaari naming pag-usapan ang bilang ng mga bahagi (iyon ay, maaari itong maging tungkol sa zero pagbabago sa dami).

Sa mga halimbawa na ibinigay, ang pagbabago sa bilang ng mga bahagi ay maaaring inilarawan gamit ang integers 400, -100 at 0, ayon sa pagkakabanggit. Ang isang positibong integer 400 ay nagpapakita ng pagbabago sa numero sa isang positibong bahagi (pagtaas). Ang isang negatibong integer -100 ay nagpapahayag ng pagbabago sa dami sa negatibong panig (pagbaba). Ipinapakita ng isang integer 0 na ang halaga ay nananatiling hindi nagbabago.

Dali ng paggamit ng mga integer kumpara sa paggamit ng mga natural na numero ay hindi kinakailangan upang malinaw na ipahiwatig ang bilang o bumababa, - isang integer ay tumutukoy sa pagbabago sa quantitatively, at ang halaga ng isang integer ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pagbabago.

Ang mga integer ay maaari ring ipahayag hindi lamang ang pagbabago sa dami, kundi pati na rin ang pagbabago sa anumang halaga. Haharapin natin ito sa halimbawa ng pagbabago sa temperatura.

Nadagdagang temperatura, sabihin nating, 4 degrees ay ipinahayag ng isang positibong numero ng integer 4. Ang pagbaba sa temperatura, halimbawa, sa pamamagitan ng 12 degrees ay maaaring inilarawan ng isang negatibong integer -12. At ang invariance ng temperatura ay ang pagbabago nito, tinutukoy ng isang integer 0.

Hiwalay, kailangan mong sabihin tungkol sa interpretasyon ng mga negatibong integer bilang ang halaga ng utang. Halimbawa, kung mayroon kaming 3 mansanas, pagkatapos ay isang positibong numero 3 ay nagpapakita ng bilang ng mga mansanas na pagmamay-ari namin. Sa kabilang banda, kung kailangan naming magbigay ng 5 mansanas sa sinuman, at wala kaming mga ito sa stock, pagkatapos ay ang sitwasyong ito ay maaaring inilarawan gamit ang isang negatibong integer -5. Sa kasong ito, kami ay "nagtataglay" -5 mansanas, ang isang minus sign ay nagpapahiwatig ng isang utang, at ang numero 5 ay tumutukoy sa utang quantitatively.

Ang pag-unawa sa isang negatibong integer bilang utang ay nagbibigay-daan, halimbawa, bigyang-katwiran ang panuntunan ng pagdaragdag ng mga negatibong integer. Magbigay tayo ng isang halimbawa. Kung ang isang tao ay may 2 mansanas sa isang tao at isang mansanas - isa pa, pagkatapos ay ang kabuuang utang ay 2 + 1 \u003d 3 mansanas, kaya -2 + (- 1) \u003d - 3.

Bibliography.

• Vilenkin N.YA. at iba pa. Matematika. Grade 6: aklat-aralin para sa mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon.

Pariralang " numeric Sets."Kadalasang nangyayari sa mga aklat-aralin sa matematika. Mayroong madalas na posible upang matugunan ang mga parirala ng naturang plano:

"Bla-blah blah, kung saan ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero."

Ganap, sa halip na ang katapusan ng parirala, maaari mong makita ang rekord na ito. Ito ay nangangahulugang katulad ng teksto ay bahagyang mas mataas - ang numero ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero. Maraming madalas na hindi nakikibahagi sa kung ano ang iba't ibang ay tinukoy ng isa o ibang variable. Bilang resulta, ang ganap na maling pamamaraan ay ginagamit sa paglutas ng problema o patunay ng teorama. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga katangian ng mga numero na kabilang sa iba't ibang mga set ay maaaring magkaroon ng mga pagkakaiba.

Ang mga numerong hanay ay hindi gaanong. Sa ibaba makikita mo ang mga kahulugan ng iba't ibang mga hanay ng numerong.

Kasama sa hanay ng mga natural na numero ang lahat ng integer na higit sa zero - positive integers.

Halimbawa: 1, 3, 20, 3057. Ang set ay hindi kasama ang isang figure ng 0.

Kasama sa numerical set na ito ang lahat ng integer nang higit pa at mas mababa sa zero, pati na rin ang zero..

Halimbawa: -15, 0, 139.

Ang mga nakapangangatwiran na numero, sa pangkalahatan ay nagsasalita, ay maraming mga fraction na hindi nabawasan (kung ang fraction ay nabawasan, ito ay isang integer, at para sa kasong ito ay hindi kinakailangan upang ipakilala ang isa pang numerical set).

Isang halimbawa ng mga numero na kasama sa rational set: 3/5, 9/7, 1/2.

,

kung saan - ang huling pagkakasunud-sunod ng mga bilang ng bahagi ng integer ng bilang na kabilang sa hanay ng mga tunay na numero. Ang pagkakasunud-sunod na ito ay ang panghuli, iyon ay, ang bilang ng mga numero sa mga cell phone ng tunay na bilang ng huling numero.

- Walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero sa praksyonal na bahagi ng tunay na numero. Ito ay lumiliko out na sa fractional bahagi mayroong isang walang katapusang bilang ng mga numero.

Ang mga naturang numero ay hindi maaaring isumite bilang isang bahagi. SA kung hindi, ang isang katulad na numero ay maaaring maiugnay sa isang hanay ng mga nakapangangatwiran na numero.

Mga halimbawa ng mga tunay na numero:

Tingnan natin ang halaga ng ugat ng dalawa pang maingat. Sa bahagi ng integer mayroon lamang isang digit - 1, kaya maaari naming isulat:

Sa praksyonal na bahagi (pagkatapos ng punto), ang mga numero 4, 1, 4, 2 at iba pa. Samakatuwid, para sa unang apat na digit ay maaaring nakasulat:

Dare ko na umaasa na ngayon ang pag-record ng kahulugan ng isang hanay ng mga tunay na numero ay naging mas malinaw.

Konklusyon

Dapat tandaan na ang parehong function ay maaaring magpakita ng ganap na iba't ibang mga katangian depende sa kung saan ang set ay nabibilang sa variable. Kaya tandaan ang mga pundasyon - gagamitin ka nila.

Post Views: 5 198.