Gawain 1. (Sa pagkalkula ng lugar ng curvilinear trapezium).

Sa isang decartular rectangular xoy coordinate system, ang isang figure ay ibinigay (tingnan ang figure), bounded sa pamamagitan ng axis x, straight x \u003d a, x \u003d b (isang curvilinear trapezium. Kinakailangan ito upang kalkulahin ang lugar ng curvilinear trapezium.
Desisyon. Ang geometry ay nagbibigay sa amin ng mga recipe para sa pagkalkula ng mga lugar ng mga polygon at ilang bahagi ng bilog (sektor, segment). Paggamit ng mga geometric na pagsasaalang-alang, maaari naming mahanap lamang ang tinatayang halaga ng ninanais na lugar, arguing bilang mga sumusunod.

Binali namin ang segment [a; b] (base ng curvilinear trapezium) sa mga pantay na bahagi; Ang partisyon na ito ay isinasagawa sa tulong ng mga puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Gagamitin namin nang direkta, parallel axes. Pagkatapos ay ang tinukoy na curvilinear trapezium ay pumutol sa mga bahagi ng n, sa mga makitid na haligi. Ang lugar ng buong trapezium ay katumbas ng kabuuan ng lugar ng mga haligi.

Isaalang-alang ang isang hiwalay na K-B na kulay, i.e. Isang curvilinear trapezium, ang base na nagsisilbing segment. Palitan ito ng isang rektanggulo na may parehong base at isang taas ng f (x k) (tingnan ang figure). Ang lugar ng rektanggulo ay katumbas ng \\ (f (x_k) \\ cdot \\ delta x_k \\), kung saan ang \\ (\\ delta x_k \\) ay ang haba ng segment; Natural na isaalang-alang ang binubuo ng trabaho sa tinatayang halaga ng lugar ng hanay ng K-ika.

Kung gagawin mo na ngayon ang lahat ng iba pang mga haligi, pupunta kami sa sumusunod na resulta: ang lugar ng isang naibigay na hubog na trapezion ay humigit-kumulang katumbas ng lugar ng n stepped figure na binubuo ng n rectangles (tingnan ang figure):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ delta x_k + \\ dots + f (x_ (n - 1)) \\ delta x_ (n - 1) \\)
Dito, alang-alang sa pagkakapareho ng pagtatalaga, naniniwala kami na ang isang \u003d x 0, b \u003d x n; \\ (\\ Delta x_0 \\) - Haba ng segment, \\ (\\ delta x_1 \\) - haba ng haba, atbp. Kasabay nito, habang sumang-ayon kami sa itaas, \\ (\\ delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ delta x_ (n-1) \\)

Kaya, (s \\ approx s_n \\), at ito ay isang tinatayang pagkakapantay-pantay, mas tumpak, mas n.
Sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay pinaniniwalaan na ang ninanais na lugar ng curvilinear trapezium ay katumbas ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod (s n):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Task 2. (tungkol sa paglipat ng punto)
Ang materyal na punto ay lumilipat sa tuwid. Ang pag-asa ng bilis sa oras ay ipinahayag ng formula v \u003d v (t). Hanapin ang kilusan ng punto sa pagitan ng oras [a; b].
Desisyon. Kung ang kilusan ay pare-pareho, ang gawain ay magiging napaka-simple: s \u003d vt, i.e. S \u003d v (b - a). Para sa hindi pantay na trapiko, kailangan mong gamitin ang parehong mga ideya kung saan batay ang desisyon ng nakaraang gawain.
1) hatiin namin ang agwat ng oras [a; b] sa mga pantay na bahagi.
2) Isaalang-alang ang agwat ng oras at ipinapalagay namin na sa panahong ito ang bilis ay pare-pareho, tulad ng sa panahon ng t k. Kaya, naniniwala kami na v \u003d v (t k).
3) Hanapin ang tinatayang halaga ng paggalaw ng punto sa pagitan ng oras, ito ay isang tinatayang halaga na nagpapahiwatig ng S K
\\ (S_k \u003d v (t_k) \\ delta t_k \\)
4) Hanapin ang tinatayang kilusan ng S:
(s \\ approx s_n \\) kung saan
\\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (T_0) \\ delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n - 1)) \\ delta t_ (n-1) \\)
5) Ang nais na kilusan ay katumbas ng (mga) limitasyon ng pagkakasunud-sunod:
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Sumulat tayo. Ang mga solusyon ng iba't ibang mga gawain ay nagmamaneho sa parehong modelo ng matematika. Maraming mga hamon mula sa iba't ibang lugar ng agham at teknolohiya ang humantong sa proseso ng paglutas ng parehong modelo. Kaya ang matematiko modelo ay dapat na partikular na natutunan.

Ang konsepto ng isang partikular na integral

Dadim mathematical Paglalarawan. Ang modelo na itinayo sa tatlong itinuturing na mga gawain para sa pag-andar y \u003d f (x), tuloy-tuloy (ngunit hindi kinakailangang nonnegative, dahil ito ay ipinapalagay sa itinuturing na mga gawain) sa segment [a; b]
1) Hatiin ang segment [a; b] sa mga pantay na bahagi;
2) gumawa kami ng isang halagang $ s_n \u003d f (x_0) \\ delta x_0 + f (x_1) \\ delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ delta x_ (n-1) $$
3) kalkulahin ang $$ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) s_n $$

Sa kurso ng pagtatasa ng matematika, ito ay pinatunayan na ang limitasyon na ito sa kaso ng isang tuloy-tuloy (o piecewise tuloy-tuloy) function ay umiiral. Tinawag siya isang tiyak na mahalaga mula sa function y \u003d f (x) sa pamamagitan ng segment [a; b] At tumutukoy:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Ang mga numero A at B ay tinatawag na mga limitasyon ng pagsasama (ayon sa pagkakabanggit sa pamamagitan ng mas mababang at itaas).

Bumalik tayo sa mga gawain sa itaas. Ang kahulugan ng isang lugar na ibinigay sa gawain 1 ay maaari na ngayong muling isulat ang mga sumusunod:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)
Narito ang lugar ng curvilinear trapezoid na itinatanghal sa figure sa itaas. Ito ay binubuo ang geometriko na kahulugan ng isang tiyak na mahalaga.

Pagtukoy sa punto ng kilusan ng paglipat sa isang tuwid na linya na may bilis na v \u003d v (t) sa panahon ng oras mula sa T \u003d A hanggang T \u003d B, na ibinigay sa gawain 2, maaari mong muling isulat ito:

Newton's Formula - Leibnia.

Upang magsimula, sasagutin nila ang tanong: Ano ang kaugnayan sa pagitan ng isang tiyak na mahalaga at primitive?

Ang sagot ay matatagpuan sa problema 2. Sa isang banda, ang paggalaw ng punto ay lumipat sa isang tuwid na linya na may bilis na V \u003d v (t) sa panahon ng oras mula sa T \u003d A hanggang T \u003d B at kinakalkula ng Formula.
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \\)

Sa kabilang banda, ang coordinate ng paglipat point ay isang primitive para sa bilis - tumutukoy sa kanyang (t); Nangangahulugan ito na ang kilusan ay ipinahayag ng formula s \u003d s (b) - s (a). Bilang resulta, nakukuha namin ang:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
kung saan ang (t) ay primitive para sa v (t).

Ang sumusunod na teorama ay pinatunayan sa kurso ng pagtatasa ng matematika.
Teorama. Kung ang function y \u003d f (x) ay tuloy-tuloy sa segment [a; b], pagkatapos ay ang formula ay wasto
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d f (b) -f (a) \\)
kung saan f (x) ay primitive para sa f (x).

Ang resultang formula ay karaniwang tinatawag na. newton Formula - Leibnia. Sa karangalan ng pisika ng Ingles ng Isaac Newton (1643-1727) at ang pilosopong Aleman ng Gottfried Leibnitsa (1646-1716), na nakatanggap ng malaya mula sa bawat isa at halos sabay-sabay.

Sa pagsasagawa, sa halip na mag-record ng f (b) - f (a), ginagamit nila ang rekord (\\ left. F (x) \\ right | _a ^ b \\) (kung minsan ay tinatawag itong ito double substitution.) At, naaayon, muling isulat ang formula ni Newton - Leibnitsa sa form na ito:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ left. F (x) \\ right | _a ^ b \\)

Kinakalkula ang isang partikular na integral, unang mahanap ang primitive, at pagkatapos ay isagawa ang isang double substitution.

Umasa sa Formula ni Newton - Leibnitsa, maaari kang makakuha ng dalawang katangian ng isang partikular na integral.

Ari-arian 1. Ang integral mula sa halaga ng mga function ay katumbas ng kabuuan ng mga integrals:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \\)

Ari-arian 2. Ang isang permanenteng multiplier ay maaaring maabot ng integral na tanda:
\\ (\\ int \\ limits_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \\)

Pagkalkula ng mga flat na tampok gamit ang isang partikular na integral

Sa tulong ng integral, posible na kalkulahin ang lugar ng hindi lamang curvilinear trapezes, kundi pati na rin flat figure ng isang mas kumplikadong species, halimbawa, ito iniharap sa figure. Ang Figure P ay limitado sa tuwid x \u003d a, x \u003d b at mga graph ng patuloy na pag-andar y \u003d f (x), y \u003d g (x), at sa segment [a; b] Ang hindi pagkakapantay-pantay \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) ay ginanap. Upang kalkulahin ang square s ng naturang figure, kami ay kumilos bilang mga sumusunod:
\\ (S \u003d s_ (abcd) \u003d s_ (adcb) - s_ (aabb) \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ limits_a ^ b g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Kaya, ang lugar ay isang figure na hangganan ng tuwid x \u003d a, x \u003d b at mga graph ng mga function y \u003d f (x), y \u003d g (x), tuloy-tuloy sa segment at tulad ng para sa anumang x mula sa segment [ A; b] Ang hindi pagkakapantay-pantay \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) ay ginanap, kinakalkula ng formula
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Talaan ng mga indefinite integrals (primitive) ilang mga function

$$ \\ int 0 \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + c $$$$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \\; \\; (N \\ neq -1) $$$$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$$$ \\ int e ^ x dx \u003d e ^ x + c $$$$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + c \\; \\; (A\u003e 0, \\; \\; isang \\ neq 1) $$$$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + c $$$$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + c $$$ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + C $$$$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ text (arcsin) x + c $$$$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) \u003d \\ Text (arctg) x + c $$$$ \\ int \\ text (SH) x dx \u003d \\ text (sh) x + c $$$$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) X + C $$.

Pumunta sa pagsasaalang-alang ng mga integral application application. Sa araling ito, susuriin natin ang tipikal at pinaka-karaniwang gawain. kalkulasyon ng isang flat figure na may isang tiyak na integral. Sa wakas, ang lahat ng kahulugan ng kahulugan sa pinakamataas na matematika - ay matatagpuan sa kanya. Maliit. Kailangan nating magdala ng mas malapit sa buhay bansa Cottage Area. Elementary function at hanapin ang lugar nito gamit ang isang partikular na integral.

Para sa matagumpay na pag-unlad ng materyal, kinakailangan:

1) Unawain hindi tiyak na mahalaga hindi bababa sa average na antas. Kaya dapat maging pamilyar ang mga teapotes sa aralin Hindi.

2) upang ma-apply ang Newton Labnic formula at kalkulahin ang isang tiyak na integral. Upang maitatag ang mainit na pagkakaibigan na may ilang mga integral sa pahina Tiyak na mahalaga. Mga halimbawa ng mga solusyon. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar sa tulong ng isang tiyak na integral" palaging nagpapahiwatig ng pagtatayo ng pagguhitSamakatuwid, ang iyong kaalaman at kakayahan ng mga guhit sa gusali ay magiging isang kagyat na isyu. Sa pinakamaliit, kailangan mong bumuo ng isang tuwid, parabola at hyperbola.

Magsimula tayo sa isang curvilinear trapezium. Ang isang curvilinear trapezium ay isang flat figure limitado sa pamamagitan ng isang graph ng ilang mga tampok. y. = f.(x.), aksis Baka. at mga linya x. = a.; x. = b..

Ang lugar ng curvilinear trapezium ay ayon sa bilang na katumbas ng isang partikular na integral

Ang anumang partikular na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan. Sa aralin Tiyak na mahalaga. Mga halimbawa ng mga solusyonsinabi namin na ang isang mahalagang bahagi ay isang numero. At ngayon ay oras na upang sabihin ang isa pang kapaki-pakinabang na katotohanan. Mula sa pananaw ng geometry, ang isang mahalagang bahagi ay isang lugar. I.e, isang partikular na integral (kung umiiral ito) geometrically tumutugma sa lugar ng ilang mga figure. Isaalang-alang ang isang partikular na integral

Integrand.

tinutukoy ang curve sa eroplano (maaari itong iguguhit kapag ninanais), at isang mahalagang bahagi mismo ay bilang katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezium.

Halimbawa 1.

, , , .

Ito ay isang tipikal na pagbabalangkas ng gawain. Ang pinakamahalagang punto ng desisyon ay upang bumuo ng isang drawing. At ang pagguhit ay dapat na itinayo Tama.

Kapag nagtatayo ng pagguhit, inirerekumenda ko ang sumusunod na order: una Mas mahusay na bumuo ng lahat ng tuwid (kung sila ay) at lamang mamaya - Parabolas, hyperbolas, iskedyul ng iba pang mga function. Na may pamamaraan ng pag-check-in construction ay matatagpuan sa reference material Mga Tsart at Mga Katangian ng Elementary Functions.. Mayroon ka ring makahanap ng isang napaka-kapaki-pakinabang na materyal na may kaugnayan sa aming aralin ang materyal - kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola.

Sa gawaing ito, ang desisyon ay maaaring magmukhang iyon.

Magsagawa ng pagguhit (tandaan na ang equation y. \u003d 0 ay nagtatakda ng axis. Baka.):

Hampasin ang isang curvilinear trapezion ay hindi, ito ay malinaw dito tungkol sa kung aling lugar ay may isang pagsasalita. Ang desisyon ay patuloy na ganito:

Sa segment [-2; 1] iskedyul ng pag-andar y. = x. 2 + 2 ay matatagpuan sa axis.Baka., kaya:

Sagot: .

Na may kahirapan sa pagkalkula ng isang mahalagang bahagi at paggamit ng formula ng Newton-Leibnia

,

sumangguni sa lecture. Tiyak na mahalaga. Mga halimbawa ng mga solusyon. Matapos makumpleto ang gawain, laging kapaki-pakinabang upang tingnan ang pagguhit at pagtatantya, ang tunay na isa ay naka-out. Sa kasong ito, "Sa mga mata" binibilang namin ang bilang ng mga selula sa pagguhit - mahusay, humigit-kumulang 9 ay lilipad, tila ang katotohanan. Ito ay malinaw na kung mayroon kami, sabihin, sagutin: 20 square unit, ito ay malinaw na ang isang error ay ginawa sa isang lugar - sa figure ng 20 mga cell, ito ay malinaw na hindi karapat-dapat, mula sa lakas ng isang dosena. Kung ang sagot ay negatibong, ang gawain ay hindi rin nagpasya.

Halimbawa 2.

Kalkulahin ang lugar ng hugis, limitadong mga linya xy. = 4, x. = 2, x. \u003d 4 at axis. Baka..

Ito ay isang halimbawa para sa. self-decide.. Kumpletong solusyon at sagot sa dulo ng aralin.

Ano ang gagawin kung ang curvilinear trapezium ay matatagpuan sa ilalim ng axis.Baka.?

Halimbawa 3.

Kalkulahin ang lugar ng hugis, limitadong mga linya y. = e - X., x. \u003d 1 at coordinate axes.

Solusyon: Magsagawa ng pagguhit:

Kung ang isang curvilinear trapezium ganap na matatagpuan sa ilalim ng axis. Baka. , ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa kasong ito:

.

Pansin! Huwag malito ang dalawang uri ng mga gawain:

1) Kung ikaw ay inanyayahan upang malutas ang isang simpleng integral nang walang anumang geometriko kahulugan, maaaring ito ay negatibo.

2) Kung ikaw ay inanyayahan upang mahanap ang figure ng figure gamit ang isang tiyak na integral, pagkatapos ay ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit sa pamamagitan lamang ng itinuturing na formula ay lumilitaw na minus.

Sa pagsasagawa, ang figure ay madalas na matatagpuan sa itaas at mas mababang kalahating eroplano, at samakatuwid, mula sa pinakasimpleng mga tsart ng paaralan, pumunta sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 4.

Hanapin ang lugar flat hugis limit na linya y. = 2x. – x. 2 , y. = -x..

Solusyon: Una kailangan mong gumuhit ng pagguhit. Kapag nagtatayo ng pagguhit sa mga gawain sa lugar, interesado kami sa mga punto ng intersection ng mga linya. Maghanap ng mga punto ng intersection ng parabola. y. = 2x. – x. 2 at direct. y. = -x.. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical. Malutas namin ang equation:

Kaya, ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a. = 0, itaas na limit pagsasama b. \u003d 3. Kadalasan ito ay madalas na mas kapaki-pakinabang at mas mabilis upang bumuo ng mga linya ng daloy, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nilinaw na parang "sa kanilang sarili". Gayunpaman, isang analytical na paraan upang mahanap ang mga limitasyon pagkatapos ng lahat, kung minsan ay kinakailangan upang mag-aplay kung, halimbawa, ang iskedyul ay sapat na malaki, o isang sinanay na konstruksiyon ay hindi nagbubunyag ng mga limitasyon sa pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). Bumalik kami sa aming gawain: mas nakapangangatwiran unang bumuo ng isang tuwid na linya at lamang pagkatapos parabola. Magsagawa ng pagguhit:

Ulitin na sa kasalukuyang konstruksiyon, ang mga limitasyon ng pagsasama ay madalas na malaman "awtomatikong".

At ngayon ang nagtatrabaho formula:

Kung sa segment [ a.; b.] Ilang tuloy-tuloy na pag-andar f.(x.) higit pa o pantay Ilang tuloy-tuloy na pag-andar g.(x.), pagkatapos ay ang lugar ng kaukulang figure ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Dito, hindi na kailangang mag-isip kung saan matatagpuan ang figure sa axis o sa ilalim ng axis, at mahalaga kung ano ang graph sa itaas(kamag-anak sa ibang iskedyul) at ano - sa ibaba.

Sa halimbawang ito, malinaw na sa segment ng parabola ay matatagpuan sa itaas tuwid, at samakatuwid ay wala sa 2 x. – x. 2 kailangang ibawas x..

Ang pagkumpleto ng solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ang nais na pigura ay limitado sa parabola y. = 2x. – x. 2 itaas at tuwid. y. = -x. ibaba.

Sa segment 2. x. – x. 2 ≥ -x.. Ayon sa kaukulang formula:

Sagot: .

Sa katunayan, ang formula ng paaralan para sa lugar ng curvilinear trapezium sa mas mababang kalahating eroplano (tingnan ang Halimbawa ng numero 3) - pribadong kaso Formula.

.

Dahil ang axis. Baka. Wastong sa pamamagitan ng equation. y. \u003d 0, at iskedyul ng function g.(x.) Matatagpuan sa ibaba ng axis. Baka.T.

.

At ngayon ay isang pares ng mga halimbawa para sa isang malayang desisyon

Halimbawa 5.

Halimbawa 6.

Maghanap ng isang lugar ng mga numero limitadong linya

Sa kurso ng paglutas ng mga gawain para sa pagkalkula ng lugar na may isang tiyak na integral, isang nakakatawa kaso nangyayari minsan. Ang pagguhit ay nakumpleto nang tama, mga kalkulasyon - tama, ngunit, sa pamamagitan ng kawalan ng pansin, ... natagpuan ang lugar ay hindi ang figure.

Halimbawa 7.

Unang execute ang pagguhit:

Figure na ang lugar na kailangan namin upang mahanap ay may kulay na asul(Tumingin mabuti sa kondisyon - kaysa sa figure ay limitado!). Ngunit sa pagsasanay, matinding, madalas magpasiya na kailangan mong mahanap ang lugar ng figure, na kung saan ay may kulay berde!

Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din sa na ito ay itinuturing na sa ito ang laki ng dalawang tiyak na mga integral. Talaga:

1) sa segment [-1; 1] sa axis. Baka. Matatagpuan ang Iskedyul Direct. y. = x.+1;

2) sa segment sa itaas ng axis. Baka. Matatagpuan ang isang tsart ng hyperbola y. = (2/x.).

Ito ay malinaw na ang parisukat ay maaaring (at kailangan) upang mabulok, kaya:

Sagot:

Halimbawa 8.

Kalkulahin ang lugar ng hugis, limitadong mga linya

Isipin ang equation sa form na "paaralan"

at gawin ang kasalukuyang pagguhit:

Mula sa pagguhit ito ay malinaw na ang itaas na limitasyon mayroon kaming "mabuti": b. = 1.

Ngunit ano ang mas mababang limitasyon?! Ito ay malinaw na ito ay hindi isang integer, ngunit ano?

Maaaring, a.\u003d (- 1/3)? Ngunit kung saan ay ang garantiya na ang pagguhit ay ginawa gamit ang perpektong katumpakan, maaari itong maging na a.\u003d (- 1/4). At kung sa pangkalahatan ay hindi wastong nagtayo ng iskedyul?

Sa ganitong mga kaso, kailangan mong gumastos ng dagdag na oras at tukuyin ang mga limitasyon ng pagsasama na analytically.

Hanapin ang intersection ng mga graph.

Upang gawin ito, lutasin ang equation:

.

Kaya, a.=(-1/3).

Ang karagdagang solusyon ay walang halaga. Ang pangunahing bagay ay hindi upang malito sa mga substitusyon at mga palatandaan. Ang mga kalkulasyon ay hindi ang pinakasimpleng. Sa cut.

, ,

ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Sa pagtatapos ng aralin, isaalang-alang ang dalawang gawain na mas mahirap.

Halimbawa 9.

Kalkulahin ang lugar ng hugis, limitadong mga linya

Solusyon: Ipakita ang hugis na ito sa pagguhit.

Para sa pagtingin sa pagguhit, kailangan mong malaman hitsura Sinusoids. Sa pangkalahatan, ito ay kapaki-pakinabang upang malaman ang mga graph ng lahat ng mga elementarya function, pati na rin ang ilang mga halaga sinus. Maaari silang matagpuan sa talahanayan ng mga halaga trigonometriko functions.. Sa ilang mga kaso (halimbawa, sa ito), pinapayagan na bumuo ng isang eskematiko pagguhit, kung saan ang mga graph at mga limitasyon ng pagsasama ay dapat na masasalamin sa prinsipyo.

Sa mga limitasyon ng pagsasama, walang problema dito, sinusundan sila nang direkta mula sa kondisyon:

- "x" ay nag-iiba mula sa zero hanggang "pi". Gumuhit kami ng karagdagang solusyon:

Sa cut graph function. y. \u003d Sin 3. x. Na matatagpuan sa itaas ng axis. Baka., kaya:

(1) Paano isama ang Sines at Cosines sa mga kakaibang degree, maaari mong tingnan ang aralin Mga integral mula sa trigonometriko functions.. Plugin ang isang sine.

(2) ginagamit namin ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan sa anyo ng

(3) palitan namin ang variable. t. \u003d Cos. x., pagkatapos: matatagpuan sa itaas ng axis, kaya:

.

.

Tandaan: Mangyaring tandaan kung paano kinuha ang integral mula sa padaplis sa Cuba, isang resulta ng pangunahing trigonometric Identity.

.

Sa katunayan, upang mahanap ang lugar ng figure, walang tulad ng kaalaman ng hindi tiyak at tinukoy na integral. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar sa tulong ng isang tiyak na integral" palaging nagpapahiwatig ng pagtatayo ng pagguhitSamakatuwid, ang isang mas may-katuturang isyu ay ang iyong kaalaman at kakayahan ng mga guhit na gusali. Sa pagsasaalang-alang na ito, ito ay kapaki-pakinabang upang i-refresh sa memorya ng mga graphics ng mga pangunahing elementarya function, at hindi bababa sa magagawang bumuo ng isang tuwid, at hyperbola.

Ang curvilinear trapezion ay tinatawag na flat figure, limitado sa axis, tuwid, at isang tuloy-tuloy na iskedyul sa isang segment ng isang function na hindi nagbabago sa pag-sign sa agwat na ito. Hayaan ang figure na ito ay matatagpuan hindi kukulangin Ang abscissa axis:

Pagkatapos ang lugar ng curvilinear trapezium ay ayon sa bilang na katumbas ng isang partikular na integral. Ang anumang partikular na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan.

Mula sa pananaw ng geometry, ang isang mahalagang bahagi ay isang lugar.

I.e, Ang isang partikular na integral (kung umiiral ito) geometrically tumutugma sa lugar ng ilang mga hugis. Halimbawa, isaalang-alang ang isang partikular na integral. Ang function ng integrand ay nagtatakda ng isang curve sa eroplano, na matatagpuan sa itaas ng axis (na kung saan nais ay maaaring gumuhit ng pagguhit), at ang tiyak na integral mismo ay numerically katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezium.

Halimbawa 1.

Ito ay isang tipikal na pagbabalangkas ng gawain. Una ako. ang pinaka importanteng bagay Mga Solusyon - Pagguhit ng gusali. At ang pagguhit ay dapat na itinayo Tama.

Kapag nagtatayo ng pagguhit, inirerekumenda ko ang sumusunod na order: una Mas mahusay na bumuo ng lahat ng tuwid (kung sila ay) at lamang mamaya - Parabolas, hyperbolas, iskedyul ng iba pang mga function. Ang mga graph ng function ay mas kapaki-pakinabang sa pagtatayo potion.

Sa gawaing ito, ang desisyon ay maaaring magmukhang iyon.
Gawin ang pagguhit (tandaan na ang equation ay nagtatakda ng axis):

Sa iskedyul ng segment isang function ay matatagpuan sa axis., kaya:

Sagot:

Matapos makumpleto ang gawain, laging kapaki-pakinabang upang tingnan ang pagguhit at pagtatantya, ang tunay na isa ay naka-out. Sa kasong ito, "Sa mga mata" binibilang namin ang bilang ng mga selula sa pagguhit - mahusay, humigit-kumulang 9 ay lilipad, tila ang katotohanan. Ito ay malinaw na kung mayroon kami, sabihin, sagutin: 20 square unit, ito ay malinaw na ang isang error ay ginawa sa isang lugar - sa figure ng 20 mga cell, ito ay malinaw na hindi karapat-dapat, mula sa lakas ng isang dosena. Kung ang sagot ay negatibong, ang gawain ay hindi rin nagpasya.

Halimbawa 3.

Kalkulahin ang lugar ng hugis, limitadong mga linya, at mga coordinate axes.

Desisyon: Magsagawa ng pagguhit:

Kung ang curvilinear trapezium ay matatagpuan sa ilalim ng axis.(o hindi bababa sa. hindi mas mataas Ito axis), pagkatapos ay ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa kasong ito:

Pansin! Huwag malito ang dalawang uri ng mga gawain:

1) Kung ikaw ay inanyayahan upang malutas ang isang simpleng integral nang walang anumang geometriko kahulugan, maaaring ito ay negatibo.

2) Kung ikaw ay inanyayahan upang mahanap ang figure ng figure gamit ang isang tiyak na integral, pagkatapos ay ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit sa pamamagitan lamang ng itinuturing na formula ay lumilitaw na minus.

Sa pagsasagawa, ang figure ay madalas na matatagpuan sa itaas at mas mababang kalahating eroplano, at samakatuwid, mula sa pinakasimpleng mga tsart ng paaralan, pumunta sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 4.

Hanapin ang lugar ng isang flat figure, limitadong linya ,.

Desisyon: Una kailangan mong gumuhit ng pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag nagtatayo ng pagguhit sa mga gawain sa lugar, interesado kami sa mga punto ng intersection ng mga linya. Maghanap ng mga punto ng intersection ng parabola at direktang. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical. Malutas namin ang equation:

Kaya, ang mas mababang limitasyon ng pagsasama, ang itaas na limitasyon ng pagsasama.

Ang paraan na ito ay mas mahusay, kung maaari, huwag gamitin.

Ito ay mas kapaki-pakinabang at mas mabilis upang bumuo ng mga linya ng linya, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nilinaw na parang "sa kanilang sarili". Gayunpaman, isang analytical na paraan upang mahanap ang mga limitasyon pagkatapos ng lahat, kung minsan ay kinakailangan upang mag-aplay kung, halimbawa, ang iskedyul ay sapat na malaki, o isang sinanay na konstruksiyon ay hindi nagbubunyag ng mga limitasyon sa pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). At tulad ng isang halimbawa, isinasaalang-alang din namin.

Bumalik kami sa aming gawain: mas nakapangangatwiran unang bumuo ng isang tuwid na linya at lamang pagkatapos parabola. Magsagawa ng pagguhit:

At ngayon ang nagtatrabaho formula: Kung sa segment ng ilang tuloy-tuloy na pag-andar higit pa o pantay Ang ilang tuloy-tuloy na pag-andar, ang lugar ng figure, limitado sa pamamagitan ng mga graph ng mga function at direktang ito, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Narito ito ay hindi na kinakailangan upang isipin kung saan ang figure ay matatagpuan - sa axis o sa ilalim ng axis, at, halos nagsasalita, mahalaga kung ano ang graph sa itaas(kamag-anak sa ibang iskedyul) at ano - sa ibaba.

Sa halimbawang ito, ito ay malinaw na sa segment ng parabola ay matatagpuan sa itaas tuwid, at samakatuwid ito ay kinakailangan upang mabawasan

Ang pagkumpleto ng solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ang nais na figure ay limitado sa parabola mula sa itaas at direktang ibaba.
Sa segment, ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Halimbawa 4.

Kalkulahin ang lugar ng hugis, limitadong mga linya ,,,.

Desisyon: Unang gawin ang pagguhit:

Figure na ang lugar na kailangan namin upang mahanap ay may kulay na asul (Tumingin mabuti sa kondisyon - kaysa sa figure ay limitado!). Ngunit sa pagsasanay, ang "glitch" ay madalas na lumitaw sa alumana, na kailangan mo upang makahanap ng isang lugar ng figure, na kung saan ay may kulay na berde!

Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang pa rin at ang katunayan na sa loob nito ang lugar ng pigura ay itinuturing na gumagamit ng dalawang partikular na integral.

Talaga:

1) Ang isang tuwid na iskedyul ay matatagpuan sa segment sa axis;

2) Sa segment sa ibabaw ng axis mayroong isang graph ng hyperboles.

Ito ay malinaw na ang parisukat ay maaaring (at kailangan) upang mabulok, kaya:

Mula sa artikulong ito, matututunan mo kung paano makahanap ng isang lugar ng mga numero na limitado sa pamamagitan ng mga linya gamit ang mga kalkulasyon gamit ang mga integral. Sa kauna-unahang pagkakataon, nakatagpo tayo ng gayong gawain sa mataas na paaralan, nang ipasa natin ang pag-aaral ng ilang mga integral at oras na upang simulan ang geometriko interpretasyon ng kaalaman na nakuha sa pagsasanay.

Kaya, kung ano ang kinakailangan upang matagumpay na malutas ang problema ng paghahanap para sa isang lugar ng figure sa tulong ng mga integrals:

• Kasanayan competently bumuo ng mga guhit;
• Ang kakayahang malutas ang isang tiyak na mahalaga sa tulong ng kilalang Newton-Leibnic formula;
• Ang kakayahang "makita" ang isang mas kapaki-pakinabang na solusyon solusyon - i.e. Unawain kung paano ito isang kaso ay magiging mas maginhawa upang isagawa ang pagsasama? Kasama ang x axis (baka) o ang axis ng laro (oy)?
• Well, kung saan walang tamang computing?) Kabilang dito ang isang pag-unawa kung paano malutas ang iba pang uri ng integrals at ang tamang mga de-numerong kalkulasyon.

Ang algorithm para sa paglutas ng gawain ng pagkalkula ng lugar ng figure, limitadong mga linya:

1. Gumawa ng pagguhit. Iminumungkahi na gawin ito sa isang piraso sa isang hawla, na may malaking sukat. Nag-subscribe kami ng lapis sa bawat tsart ang pangalan ng function na ito. Ang lagda ng mga graph ay ginawa eksklusibo para sa kaginhawahan ng karagdagang computing. Matapos matanggap ang isang graph ng nais na figure, sa karamihan ng mga kaso ito ay makikita kaagad kung aling mga limitasyon ng pagsasama ay gagamitin. Kaya, nilulutas namin ang gawain sa isang graphic na paraan. Gayunpaman, nangyayari ito na ang mga halaga ng mga limitasyon ay fractional o hindi makatwiran. Samakatuwid, maaari kang gumawa ng karagdagang mga kalkulasyon, pumunta sa dalawang hakbang.

2. Kung ang mga limitasyon ng pagsasama ay malinaw na hindi tinukoy, nakita namin ang mga intersection point ng mga graph sa bawat isa, at tinitingnan namin kung ang aming graphic na solusyon sa analytical ay coincided.

3. Susunod, kinakailangan upang pag-aralan ang pagguhit. Depende sa kung paano matatagpuan ang mga graphics ng mga function, may iba't ibang mga diskarte sa paghahanap ng lugar ng figure. Isaalang-alang iba't ibang mga halimbawa Upang mahanap ang lugar ng figure sa tulong ng mga integral.

3.1. Ang pinaka-klasikong at simpleng opsyon sa gawain ay kapag kailangan mo upang mahanap ang lugar ng curvilinear trapezium. Ano ang isang curvilinear trapeze? Ito ay isang flat figure limitado sa x axis. (y \u003d 0)tuwid. x \u003d a, x \u003d B. at anumang curve tuloy sa agwat mula sa. a. bago b.. Kasabay nito, ang figure na ito ay di-negatibo at hindi mas mababa kaysa sa abscissa axis. Sa kasong ito, ang lugar ng curvilinear trapezium ay may bilang na katumbas ng isang partikular na integral na kinakalkula ng formula ng Newton Labender:

Halimbawa 1. y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Anong mga linya ang limitado ang figure? Mayroon kaming parabola. y \u003d x2 - 3x + 3.na matatagpuan sa itaas ng axis. Oh., ito ay di-negatibo, dahil Ang lahat ng mga punto ng parabola na ito ay positibo. Susunod, direkta x \u003d 1. at x \u003d 3.na nagpapatakbo ng parallel sa axis. Ou.ay ang mga mahigpit na linya ng figure sa kaliwa at kanan. Well. y \u003d 0.Siya ay isang X axis na naglilimita sa figure sa ibaba. Ang resultang figure ay may kulay, tulad ng makikita mula sa pagguhit sa kaliwa. Sa kasong ito, maaari mong agad na simulan ang paglutas ng problema. Mayroon kaming isang simpleng halimbawa ng isang curvilinear trapezium, na higit pang paglutas sa tulong ng Newton-Leibnic formula.

3.2. Sa nakaraang talata 3.1, ang kaso ay disassembled kapag ang curvilinear trapezium ay matatagpuan sa itaas ng x axis. Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang mga kondisyon ng gawain ay pareho, maliban na ang function ay tumatakbo sa ilalim ng x axis. Ang karaniwang formula ng Newton-Labender ay idinagdag na minus. Paano malutas ang gayong gawain na isaalang-alang pa.

Halimbawa 2. . Kalkulahin ang lugar ng hugis, limitadong mga linya y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

Sa halimbawang ito, mayroon kaming isang parabola y \u003d x2 + 6x + 2.na nagmumula sa axis. Oh., tuwid. x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0. Dito y \u003d 0. Nililimitahan ang ninanais na figure mula sa itaas. Tuwid. x \u003d -4. at x \u003d -1. Ang mga ito ay mga hangganan na kung saan ang isang tiyak na integral ay kakalkulahin. Ang prinsipyo ng paglutas ng problema ng paghahanap ng isang lugar ng figure halos ganap na tumutugma sa numero ng halimbawa 1. Ang tanging pagkakaiba ay ang tinukoy na function ay hindi positibo, at lahat ng bagay ay patuloy din sa agwat [-4; -1] . Ano ang hindi nangangahulugang positibo? Tulad ng makikita mula sa figure, ang figure, na nasa loob ng tinukoy na ICS, ay may eksklusibong "negatibong" coordinate, na kailangan naming makita at tandaan kapag nilulutas ang problema. Ang lugar ng figure ay naghahanap para sa Newton Labitsa formula, lamang sa isang minus sign sa simula.

Ang artikulo ay hindi nakumpleto.

Sa nakaraang seksyon na nakatuon sa pagtatasa ng geometriko na kahulugan ng isang mahalagang bahagi, nakatanggap kami ng maraming mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng curvilinear trapezium:

Yandex.RTB R-A-339285-1.

S (g) \u003d ∫ a b f (x) d x para sa tuluy-tuloy at di-negatibong mga pag-andar y \u003d f (x) sa segment [a; b]

S (g) \u003d - ∫ a b f (x) d x para sa tuluy-tuloy at di-positibong function na y \u003d f (x) sa segment [a; b].

Ang mga formula na ito ay naaangkop upang malutas ang relatibong simpleng mga gawain. Sa katunayan, kami ay madalas na magtrabaho sa mas kumplikadong mga numero. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang seksyon na ito ay nagtatalaga sa pagtatasa ng mga algorithm para sa pagkalkula ng lugar ng mga numero, na limitado sa mga function na tahasang, i.e. Bilang y \u003d f (x) o x \u003d g (y).

Teorama

Hayaan ang mga function y \u003d f 1 (x) at y \u003d f 2 (x) ay tinutukoy at patuloy sa interface [a; b], may f 1 (x) ≤ f 2 (x) para sa anumang halaga x mula sa [a; b]. Pagkatapos ay ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng figure g, bounded sa pamamagitan ng mga linya x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) at y \u003d f 2 (x) ay titingnan s (g) \u003d ∫ ABF 2 (x) - f 1 (x) dx.

Ang isang katulad na formula ay naaangkop sa lugar ng figure, limitado ng mga linya y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) at x \u003d g 2 (y): s (g) \u003d ∫ cd (G 2 (y) - g 1 (y) dy.

Ebidensiya

Susuriin namin ang tatlong kaso kung saan ang formula ay magiging patas.

Sa unang kaso, binigyan ang ari-arian ng additivity ng lugar, ang kabuuan ng lugar ng orihinal na figure g at ang curvilinear trapezium g 1 ay katumbas ng lugar ng figure g 2. Ibig sabihin nito ay

Samakatuwid, s (g) \u003d s (g 2) - s (g 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) Dx.

Magsagawa ng huling paglipat maaari naming gamitin ang ikatlong ari-arian ng isang partikular na integral.

Sa ikalawang kaso, ang pagkakapantay-pantay ay totoo: s (g) \u003d s (g 2) + s (g 1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x ) - F 1 (x)) DX.

Maghahanap ng graphic ilustrasyon:

Kung ang parehong mga function ay hindi positibo, nakakuha kami: S (G) \u003d S (G 2) - S (G 1) \u003d - ∫ ABF 2 (X) DX - - ∫ ABF 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. Maghahanap ng graphic ilustrasyon:

Hayaan nating buksan ang pagsasaalang-alang ng pangkalahatang kaso kapag y \u003d f 1 (x) at y \u003d f 2 (x) ay tumatawid sa o x axis.

Ang mga punto ng intersection na tinutukoy namin bilang X i, i \u003d 1, 2 ,. . . , N - 1. Ang mga puntong ito ay pumutol sa segment [a; b] sa mga bahagi x i - 1; x i, i \u003d 1, 2 ,. . . , n, kung saan α \u003d x 0.< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Kaya,

S (g) \u003d σ i \u003d 1 n s (g i) \u003d σ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f (x )) dx \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Maaari naming ipatupad ang huling paglipat gamit ang ikalimang mga katangian ng isang partikular na integral.

Inilalarawan namin ang tsart ng pangkalahatang kaso.

Ang formula s (g) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x ay maaaring ituring na napatunayan.

At ngayon ay nagpapatuloy kami sa pag-aaral ng mga halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng mga numero, na limitado sa mga linya y \u003d f (x) at x \u003d g (y).

Pagsasaalang-alang sa alinman sa mga halimbawa ay magsisimula tayo sa pagtatayo ng iskedyul. Ang imahe ay magpapahintulot sa amin na kumatawan sa kumplikadong mga numero bilang mga asosasyon simple figure.. Kung ang pagtatayo ng mga graph at mga numero ay mahirap para sa kanila, maaari mong tuklasin ang seksyon sa mga pangunahing elementarya function, geometric conversion ng mga graph ng mga function, pati na rin ang mga graph ng gusali sa panahon ng pananaliksik sa pag-andar.

Halimbawa 1.

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang lugar ng figure, na kung saan ay limitado sa parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 at ang tuwid na mga linya y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4 .

Desisyon

Ipakita ang mga linya sa graph sa Cartesian coordinate system.

Sa segment [1; 4] Ang tsart ng parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 ay matatagpuan sa itaas tuwid y \u003d - 1 3 x - 1 2. Sa pagsasaalang-alang na ito, upang makakuha ng isang sagot, ginagamit namin ang formula mas maaga, pati na rin ang isang paraan para sa pagkalkula ng isang tiyak na mahalaga ayon sa Newton-Leibnitsa formula:

S (g) \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx \u003d \u003d ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 - 9 2 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Sagot: S (g) \u003d 13.

Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 2.

Ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng figure, na kung saan ay limitado sa mga linya y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7.

Desisyon

Sa kasong ito, mayroon lamang kami ng isang tuwid na linya na matatagpuan kahilera sa abscissa axis. Ito ay x \u003d 7. Hinihiling nito sa amin na hanapin ang pangalawang limitasyon sa pagsasama sa iyong sarili.

Nagtatayo kami ng iskedyul at nagdadala ng mga linya dito, ang data sa kondisyon ng gawain.

Ang pagkakaroon ng isang tsart sa harap ng mga mata, madali naming matukoy na ang mas mababang limitasyon ng pagsasama ay ang abscissa ng intersection point ng iskedyul y \u003d x at ang sahig ng parabola y \u003d x + 2. Upang mahanap ang abscissa, gamitin ang pagkakapantay-pantay:

y \u003d x + 2 o d z: x ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 d \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ o dzx 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ odz

Ito ay lumiliko out na ang abscissa ng intersection point ay x \u003d 2.

Iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanan na pangkalahatang halimbawa Sa pagguhit ng linya y \u003d x + 2, y \u003d x intersect sa punto (2; 2), kaya ang detalyadong mga kalkulasyon ay maaaring mukhang hindi kailangan. Dinala kami rito detalyadong solusyon dahil lamang sa higit pa kumplikadong mga kaso Ang desisyon ay hindi maaaring maging halata. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng intersection ng mga linya ay mas mahusay na palaging kalkulahin analytically.

Sa pagitan [2; 7] Ang graph ng function y \u003d x ay matatagpuan sa itaas ng graph ng function y \u003d x + 2. Ilapat ang formula para sa pagkalkula ng parisukat:

S (g) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 \u003d 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Sagot: S (g) \u003d 59 6.

Halimbawa 3.

Kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng figure, na limitado sa pamamagitan ng mga graph ng mga function y \u003d 1 x at y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Desisyon

Ilapat ang mga linya sa iskedyul.

Matukoy ang mga limitasyon ng pagsasama. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga intersection point ng mga linya, equating expression 1 x at - x 2 + 4 x - 2. Ibinigay na ang X ay hindi zero, ang pagkakapantay-pantay 1 x \u003d x 2 + 4 x - 2 ay nagiging katumbas na equation ng ikatlong antas - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 na may integer coefficients. Upang i-refresh ang algorithm sa memorya sa pamamagitan ng paglutas ng mga naturang equation, maaari naming, makipag-ugnay sa seksyon na "solusyon ng kubiko equation".

Ang ugat ng equation na ito ay x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0.

Paghati sa expression - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 bawat bounce x - 1, nakuha namin: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0.

Ang natitirang mga ugat na maaari naming mahanap mula sa equation x 2 - 3 x - 1 \u003d 0:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 d \u003d (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3.

Natagpuan namin ang isang agwat x ∈ 1; 3 + 13 2, kung saan ang figure g ay concluded sa itaas ng asul at sa ibaba ng pulang linya. Nakatutulong ito sa amin upang matukoy ang lugar ng pigura:

S (g) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - Ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2 .

Sagot: s (g) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Halimbawa 4.

Ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng figure, na kung saan ay limitado sa curves y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 at ang axis ng abscissa.

Desisyon

Ilalapat namin ang lahat ng mga linya sa iskedyul. Maaari kaming makakuha ng isang function ng function na Y \u003d - Mag-log 2 x + 1 mula sa graph Y \u003d log 2 x, kung inilalagay namin ito simetrikal na kamag-anak sa abscissa axis at itaas ang isang unit paitaas. Ang abscissa axis equation y \u003d 0.

Ipahiwatig ang mga punto ng intersection ng mga linya.

Tulad ng makikita mula sa figure, ang mga graph ng mga function y \u003d x 3 at y \u003d 0 intersect sa punto (0; 0). Ito ay nakuha dahil ang x \u003d 0 ay ang tanging wastong ugat ng equation x 3 \u003d 0.

x \u003d 2 ay ang tanging ugat ng equation - log 2 x + 1 \u003d 0, kaya ang mga graph ng mga function y \u003d - Mag-log 2 x + 1 at y \u003d 0 intersect sa punto (2; 0).

x \u003d 1 ay ang tanging ugat ng equation x 3 \u003d - log 2 x + 1. Sa koneksyon na ito, ang mga graph ng mga function y \u003d x 3 at y \u003d - log 2 x + 1 intersect sa punto (1; 1). Ang huling pahayag ay maaaring hindi maliwanag, ngunit equation x 3 \u003d - log 2 x + 1 ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa isang ugat, dahil ang function y \u003d x 3 ay mahigpit na pagtaas, at ang function y \u003d - log 2 x + 1 ay mahigpit na bumababa .

Ang isang karagdagang solusyon ay nagsasangkot ng ilang mga pagpipilian.

Numero ng pagpipilian 1.

Figure G Maaari naming isipin bilang ang kabuuan ng dalawang curvilinear trapezes na matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, ang una ay matatagpuan sa ibaba ng midline sa segment X ∈ 0; 1, at ang ikalawa sa ibaba ng pulang linya sa segment X ∈ 1; 2. Nangangahulugan ito na ang lugar ay katumbas ng S (g) \u003d ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) D x.

Opsyon na numero 2.

Ang Figure G ay maaaring kinakatawan bilang isang pagkakaiba ng dalawang numero, ang una ay matatagpuan sa itaas ng abscissa axis at sa ibaba ng asul na linya sa segment X ∈ 0; 2, at ang ikalawa sa pagitan ng pula at asul na mga linya sa segment x ∈ 1; 2. Ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang lugar tulad ng sumusunod:

S (g) \u003d ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Sa kasong ito, upang mahanap ang lugar ay kailangang gamitin ang formula ng form s (g) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Sa katunayan, ang mga linya na naglilimita sa figure ay maaaring kinakatawan bilang mga function mula sa argumento y.

Pinapayagan ang mga equation y \u003d x 3 at - log 2 x + 1 kamag-anak sa x:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Nakukuha namin ang nais na lugar:

S (g) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy \u003d - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 \u003d - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 Ln 2 - 0 4 4 \u003d 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4

Sagot: s (g) \u003d 1 ln 2 - 1 4

Halimbawa 5.

Ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang lugar ng figure, na kung saan ay limitado sa mga linya y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Desisyon

Ang pulang linya ay ilalapat sa iskedyul ng linya, tinukoy na pag-andar y \u003d x. Asul na may isang linya y \u003d - 1 2 x + 4, sa itim, tinutukoy namin ang linya y \u003d 2 3 x - 3.

Tandaan ang mga intersection point.

Maghanap ng mga punto ng intersection ng mga graph ng mga function y \u003d x at y \u003d - 1 2 x + 4:

x \u003d - 1 2 x + 4 o d z: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 d \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 p r o sa e p a: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 n Ako ay kumakain XP at sa N at IX 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 Ako ay nasa lietsirenemura sa n at ni ⇒ (4; 2) tohkaperesen at ako y \u003d x at y \u003d - 1 2 x + 4

Makikita natin ang punto ng intersection ng mga graph ng mga function y \u003d x at y \u003d 2 3 x - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 o d z: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 d \u003d (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 П р е р K A: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 Ako ay nasa Liemiraneni ⇒ (9; 3) toh to aperecechiy \u003d x at y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 n e i l i e t with i r e n e m u r a in n e n i

Makikita natin ang punto ng intersection ng mga linya y \u003d - 1 2 x + 4 at y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 ⇔ 7 x \u003d 42 ⇔ x \u003d 6 - 1 2 · 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) t tungkol sa hkanereceniy \u003d - 1 2 x + 4 at y \u003d 2 3 x - 3

Paraan ng pamamaraan 1.

Isipin ang lugar ng ninanais na figure bilang kabuuan ng mga lugar ng indibidwal na mga numero.

Pagkatapos ay ang figure ng figure ay katumbas ng:

S (g) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

Paraan ng numero 2.

Ang lugar ng orihinal na figure ay maaaring kinakatawan bilang kabuuan ng dalawang iba pang mga numero.

Pagkatapos ay malutas namin ang equation ng linya na may kaugnayan sa X, at pagkatapos lamang na ilapat namin ang formula para sa pagkalkula ng figure ng figure.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 hanggang r at may n at ako l at ako y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 h e r n i l and i y \u003d - 1 2 x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 S at Nil at Ni.

Kaya, ang lugar ay pantay:

S (g) \u003d ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 Dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - Y 2 Dy \u003d ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 Dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 \u003d 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 4 4 + 3 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3.

Tulad ng makikita mo, ang mga halaga ay nag-tutugma.

Sagot: S (g) \u003d 11 3.

Resulta

Upang mahanap ang lugar ng figure, na kung saan ay limitado sa tinukoy na mga linya, kailangan naming bumuo ng mga linya sa eroplano, hanapin ang mga punto ng kanilang intersection, ilapat ang formula para sa paghahanap ng lugar. Sa seksyon na ito, isinasaalang-alang namin ang mga pinaka-karaniwang mga pagpipilian sa gawain.

Kung napansin mo ang isang pagkakamali sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter