Ang saklaw at saklaw ng pag-andar. Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero R.Ito ay nangangahulugan na ang function argument ay maaari lamang tumagal sa mga tunay na halaga kung saan ang function ay tinukoy, i.e. ito rin ay tumatanggap lamang ng mga tunay na halaga. Isang grupo ng X lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x, kung saan ang function y= f(x) ay tinukoy, tinatawag saklaw ng function. Isang grupo ng Y lahat ng tunay na halaga y na tinatanggap ng function ay tinatawag saklaw ng pag-andar. Ngayon ay maaari tayong magbigay ng mas tumpak na kahulugan ng function: tuntunin(batas) ng pagsusulatan sa pagitan ng mga set X at Y, kung saan para sa bawat elemento mula sa setAng X ay makakahanap ng isa at isang elemento lamang mula sa set Y, ay tinatawag na function.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ito na ang isang function ay itinuturing na ibinigay kung:

Nakatakda ang saklaw ng function X ;

Nakatakda ang saklaw ng function Y ;

Ang tuntunin (batas) ng pagsusulatan ay kilala, at tulad na para sa bawat isa

Isang function value lang ang makikita para sa isang argument value.

Ang pangangailangang ito ng pagiging natatangi ng function ay sapilitan.

monotonikong pag-andar. Kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumento x 1 at x 2 ng kondisyon x 2 > x 1 ang sumusunod f(x 2) > f(x 1), pagkatapos ay ang pag-andar f(x) ay tinatawag na dumarami; kung para sa alinman x 1 at x 2 ng kondisyon x 2 > x 1 ang sumusunod f(x 2) < f(x 1), pagkatapos ay ang pag-andar f(x) ay tinatawag na humihina. Ang isang function na tumataas lamang o bumababa lamang ay tinatawag monotonous.

Limitado at walang limitasyong mga pag-andar. Tinatawag ang function limitado kung mayroong ganoong positibong numero M ano | f(x) | M para sa lahat ng halaga x . Kung walang ganoong numero, kung gayon ang function ay walang limitasyon.

MGA HALIMBAWA.

Ang function na inilalarawan sa Fig. 3 ay may hangganan, ngunit hindi monotoniko. Ang function sa Figure 4 ay kabaligtaran lamang, monotonic, ngunit walang limitasyon. (Ipaliwanag mo ito!)

Tuloy-tuloy at hindi tuloy-tuloy na pag-andar. Function y = f (x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntox = a, kung:

1) ang function ay tinukoy para sa x = a, ibig sabihin. f (a) umiiral;

2) umiiral may hangganan limitahan lim f (x) ;

x→a

(Tingnan ang "Mga Limitasyon ng Mga Pag-andar")

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Kung hindi bababa sa isa sa mga kundisyong ito ay hindi natutugunan, kung gayon ang function ay tinatawag walang tigil sa punto x = a.

Kung ang function ay tuloy-tuloy sa lahat mga punto ng domain ng kahulugan nito, pagkatapos ito ay tinatawag na tuluy-tuloy na pag-andar.

Kahit at kakaibang mga function. Kung para sa anuman x f(- x) = f (x), pagkatapos ay tinawag ang function kahit; kung ito ay: f(- x) = - f (x), pagkatapos ay tinawag ang function kakaiba. Graph ng pantay na function simetriko tungkol sa Y axis(Fig.5), isang graph ng isang kakaibang function Simpanukat tungkol sa pinagmulan(Larawan 6).

Pana-panahong pag-andar. Function f (x) - periodical kung may ganyan hindi zero numero T para saan anuman x mula sa saklaw ng kahulugan ng function ay nagaganap: f (x + T) = f (x). ganyan hindi bababa sa ang numero ay tinatawag panahon ng pag-andar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang.

HALIMBAWA 1. Patunayan ang kasalanan x ay may panahon na 2.

SOLUSYON Alam natin na kasalanan ( x+ 2n) = kasalanan x, saan n= 0, ± 1, ± 2, …

Samakatuwid, ang pagdaragdag ng 2 n sa argumentong sine

Binabago ang halaga nito. May ibang number pa ba nito

Parehong ari-arian?

Magpanggap na tayo P- tulad ng isang numero, i.e. pagkakapantay-pantay:

kasalanan ( x+P) = kasalanan x,

Wasto para sa anumang halaga x. Ngunit pagkatapos ay mayroon

Lokasyon at x= / 2 , ibig sabihin.

kasalanan(/2 + P) = kasalanan / 2 = 1.

Ngunit ayon sa formula ng pagbabawas sin ( / 2 + P) = cos P. Pagkatapos

Ito ay sumusunod mula sa huling dalawang pagkakapantay-pantay na cos P= 1, ngunit kami

Alam natin na ito ay totoo lamang kapag P = 2n. Mula sa pinakamaliit

Isang hindi zero na numero sa 2 n ay 2, pagkatapos ang numerong ito

At mayroong panahon ng kasalanan x. Ito ay napatunayang katulad na 2 mula sa n ay , kaya ito ang period sin 2 x.

Function nulls. Ang halaga ng argumento kung saan ang function ay katumbas ng 0 ay tinatawag zero (ugat) function. Maaaring magkaroon ng maraming zero ang isang function. Halimbawa, ang function y = x (x + 1) (x-3) ay may tatlong zero: x= 0, x= -1, x= 3. Geometrically function null - ay ang abscissa ng punto ng intersection ng graph ng function na may axis X .

Ipinapakita ng Figure 7 ang graph ng function na may mga zero: x= a, x = b at x= c.

Asymptote. Kung ang graph ng isang function ay lumalapit sa isang tiyak na tuwid na linya nang walang katiyakan habang ito ay lumalayo sa pinanggalingan, ang tuwid na linyang ito ay tinatawag na asymptote.

Mga function na zero
Ang zero ng function ay ang halaga X, kung saan ang function ay nagiging 0, iyon ay, f(x)=0.

Ang mga zero ay ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may axis Oh.

Pagkakaparehas ng function
Tinatawag ang isang function kahit na para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan, ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x)

Ang pantay na function ay simetriko tungkol sa axis OU

Kakaibang function
Ang isang function ay tinatawag na kakaiba kung para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan, ang pagkakapantay-pantay f(-x) = -f(x) ay nasiyahan.

Ang isang kakaibang function ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan.
Ang isang function na hindi kahit na o kakaiba ay tinatawag na isang function. pangkalahatang pananaw.

Pagtaas ng Function
Ang function na f(x) ay tinatawag na pagtaas kung mas malaking halaga ang argument ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function, i.e.

Pagbaba ng function
Ang function na f(x) ay tinatawag na pagbaba kung ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function, i.e.

Tinatawag ang mga pagitan kung saan bumababa o tumataas lamang ang function mga pagitan ng monotony. Ang function na f(x) ay may 3 pagitan ng monotonicity:

Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity gamit ang serbisyo Mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga function

Lokal na maximum
Dot x 0 ay tinatawag na lokal na pinakamataas na punto kung para sa alinman X mula sa isang kapitbahayan ng isang punto x 0 ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f(x 0) > f(x)

Lokal na minimum
Dot x 0 ay tinatawag na lokal na minimum na punto kung para sa alinman X mula sa isang kapitbahayan ng isang punto x 0 ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f(x 0)< f(x).

Ang mga lokal na maximum na puntos at lokal na pinakamababang puntos ay tinatawag na mga lokal na extremum point.

mga lokal na extremum point.

Periodicity ng Function
Ang function na f(x) ay tinatawag na periodic, na may period T, kung para sa alinman X f(x+T) = f(x) .

Mga agwat ng tuluy-tuloy
Ang mga agwat kung saan ang function ay positibo lamang o negatibo lamang ay tinatawag na mga pagitan ng pare-parehong tanda.

Pagpapatuloy ng pag-andar
Ang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntong x 0 kung ang limitasyon ng function bilang x → x 0 ay katumbas ng halaga ng function sa puntong ito, i.e. .

break points
Ang mga punto kung saan nilalabag ang kondisyon ng pagpapatuloy ay tinatawag na mga punto ng discontinuity ng function.

x0- sukdulan.

Pangkalahatang pamamaraan para sa pag-plot ng mga function

1. Hanapin ang domain ng function na D(y).

2. Hanapin ang mga intersection point ng graph ng mga function na may mga coordinate axes.

3. Siyasatin ang function para sa even o odd.

4. Siyasatin ang function para sa periodicity.

5. Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity at extremum point ng function.

6. Maghanap ng mga pagitan ng convexity at inflection point ng function.

7. Hanapin ang mga asymptotes ng function.

8. Batay sa mga resulta ng pag-aaral, bumuo ng isang graph.

Halimbawa: Galugarin ang function at buuin ang graph nito: y = x 3 - 3x

1) Ang function ay tinukoy sa buong real axis, ibig sabihin, ang domain ng kahulugan nito ay D(y) = (-∞; +∞).

2) Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes:

gamit ang OX axis: lutasin ang equation x 3 - 3x \u003d 0

may axis ОY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Alamin kung ang function ay pantay o kakaiba:

y(-x) = (-x) 3 - 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 - 3x) = -y(x)

Ito ay sumusunod na ang pag-andar ay kakaiba.

4) Ang function ay hindi pana-panahon.

5) Hanapin ang mga pagitan ng monotonicity at ang extremum point ng function: y’ = 3x 2 - 3.

Mga kritikal na puntos: 3x 2 - 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Hanapin ang mga convexity interval at inflection point ng function: y'' = 6x

Mga kritikal na puntos: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Ang pag-andar ay tuloy-tuloy, wala itong mga asymptotes.

8) Batay sa mga resulta ng pag-aaral, gagawa tayo ng graph ng function.

Mga limitasyon at pagpapatuloy

Mga set

Sa ilalim marami ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga homogenous na bagay. Ang mga bagay na bumubuo ng isang set ay tinatawag mga elemento o mga tuldok set na ito. Ang mga set ay tinutukoy ng malalaking titik, at ang kanilang mga elemento sa pamamagitan ng maliliit na titik. Kung a ay isang elemento ng set A, pagkatapos ay ang notasyon aÎ A. Kung b ay hindi isang elemento ng set A, pagkatapos ito ay nakasulat na ganito: b Ï A. Ang isang set na hindi naglalaman ng isang elemento ay tinatawag na isang walang laman na hanay at ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: Ø.

Kung ang set B ay binubuo ng isang bahagi ng mga elemento ng set A o kasabay nito, pagkatapos ay ang set B tinawag subset nagtatakda at nagsasaad BÌ A.

Ang dalawang set ay tinatawag pantay kung sila ay binubuo ng parehong mga elemento.

Samahan dalawang parte A at B ay tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elementong kabilang sa kahit isa sa mga set: C=AÈ B.

pagtawid dalawang parte A at B ay tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elementong kabilang sa bawat ibinigay na set: C=AÇ B.

pagkakaiba set A at B ay tinatawag na set E A, na hindi kabilang sa set B: .

Supplement set AÌ B ay tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elemento ng set B, hindi pag-aari A.

Tinatawag ang mga set na ang mga elemento ay totoong numero numerical:

Kung saan NÌ ZÌ QÌ R, akoÌ R at R=akoÈ Q.

Isang grupo ng X, na ang mga elemento ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag segment(segment) at tinutukoy ng [ a; b]; hindi pagkakapantay-pantay a<x<b – pagitan at ipinapahiwatig ng () ; hindi pagkakapantay-pantay at - kalahating pagitan at ay tinutukoy ng at , ayon sa pagkakabanggit. Madalas mo ring kailangang harapin ang mga walang katapusang pagitan at kalahating pagitan: , , , at . Maginhawang tawagan silang lahat sa mga pagitan .

Pagitan, i.e. ang hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay (kung saan ), ay tinatawag na -kapitbahayan ng punto a.

Ang konsepto ng isang function. Mga pangunahing katangian ng pag-andar

Kung ang bawat elemento x set X isang elemento ang tumugma y set Y, tapos sinasabi namin yan sa set X binigay function y=f(x). Kung saan x tinawag malayang baryabol o argumento, a y – dependent variable o function, a f ay kumakatawan sa batas ng pagsusulatan. Isang grupo ng X tinawag domain ng kahulugan function, ngunit ang set Y – saklaw mga function.

Mayroong ilang mga paraan upang tukuyin ang mga function.

1) Analytical method - ang function ay ibinibigay ng isang formula ng form y=f(x).

2) Tabular na pamamaraan - ang function ay tinukoy ng isang talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng argumento at ang kaukulang mga halaga ng function y=f(x).

3) Graphical na paraan - ang imahe ng graph ng function, i.e. hanay ng mga puntos ( x; y) ng coordinate plane, ang abscissas kung saan ay kumakatawan sa mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay ang kaukulang mga halaga ng function. y=f(x).

4) Verbal na pamamaraan - ang pag-andar ay inilarawan sa pamamagitan ng panuntunan ng pagsasama-sama nito. Halimbawa, kinukuha ng Dirichlet function ang value 1 kung x ay isang rational na numero at 0 kung x ay isang hindi makatwirang numero.

Ang mga sumusunod na pangunahing katangian ng mga pag-andar ay nakikilala.

1 Kahit at kakaiba Function y=f(x) ay tinatawag na kahit, kung para sa anumang mga halaga x mula sa domain ng kahulugan nito, f(–x)=f(x), at kakaiba, kung f(–x)=–f(x). Kung wala sa mga equation sa itaas ang humawak, kung gayon y=f(x) ay tinatawag na pangkalahatang pag-andar. Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa axis Oy, at ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan.

2 Monotony Function y=f(x) ay tinatawag na dumarami (humihina) sa pagitan X, kung ang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa mas malaki (mas maliit) na halaga ng function. Hayaan x 1 ,x 2 О X, x 2 >x isa. Pagkatapos ay tumataas ang function sa pagitan X, kung f(x 2)>f(x 1) at bumababa kung f(x 2)<f(x 1).

Kasama ng pagtaas at pagbaba ng mga function, ang hindi bumababa at hindi tumataas na mga function ay isinasaalang-alang. Tinatawag ang function hindi bumababa (hindi tumataas), kung x 1 ,x 2 О X, x 2 >x 1 ang hindi pagkakapantay-pantay f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Ang pagtaas at pagbaba ng mga function, pati na rin ang mga hindi tumataas at hindi bumababa na mga function, ay tinatawag na monotonic.

3 Limitado Function y=f(x) ay tinatawag na hangganan sa pagitan X kung mayroong ganoong positibong numero M>0, ano | f(x)|≤M para kahit kanino xÎ X. V kung hindi ang function ay sinasabing walang hangganan sa X.

4 Pagkakapanahon Function y=f(x) ay tinatawag na periodic na may period T≠0 kung para sa alinman x wala sa saklaw ng pag-andar f(x+T)=f(x). Sa sumusunod, ang isang panahon ay mauunawaan bilang ang pinakamaliit na positibong yugto ng isang function.

Tinatawag ang function tahasan, kung ito ay ibinigay ng isang pormula ng form y=f(x). Kung ang function ay ibinigay ng equation F(x, y)=0 hindi pinahihintulutan patungkol sa dependent variable y, pagkatapos ito ay tinatawag na implicit.

Hayaan y=f(x) ay isang function ng independent variable na tinukoy sa set X may saklaw Y. Pagtugmain natin ang bawat isa yÎ Y iisang kahulugan xÎ X, Kung saan f(x)=y.Pagkatapos ang resultang function x=φ (y) na tinukoy sa set Y may saklaw X, ay tinatawag na baliktarin at ipinapahiwatig y=f –1 (x). Ang mga graph ng magkabaligtaran na function ay simetriko na may paggalang sa bisector ng una at ikatlong coordinate quarter.

Hayaan ang function y=f(u) ay isang function ng variable u tinukoy sa set U may saklaw Y, at ang variable u sa turn ay isang function u=φ (x) na tinukoy sa set X may saklaw U. Tapos binigay sa set X function y=f(φ (x)) ay tinatawag na kumplikadong pag-andar(komposisyon ng mga function, superposition ng mga function, function ng isang function).

Mga Tungkulin sa Elementarya

Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay kinabibilangan ng:

• function ng kapangyarihan y=x n; y=x-n at y=x 1/ n;
• exponential function y=isang x;
• logarithmic function y=log isang x;
• trigonometriko function y= kasalanan x, y= cos x, y=tg x at y=ctg x;
• kabaligtaran na mga function ng trigonometriko y= arcsin x, y= arccos x, y=arctg x at y=arctg x.

Mula sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya, maaaring makuha ang mga bagong pag-andar gamit ang mga algebraic na operasyon at superposisyon ng mga pag-andar.

Tinatawag na mga function na binuo mula sa mga pangunahing elementary function gamit ang isang may hangganang bilang ng algebraic operations at may hangganang bilang ng superposition operations. elementarya.

Algebraic ay isang function kung saan ang isang may hangganang bilang ng mga algebraic na operasyon ay ginaganap sa argumento. Kasama sa mga algebraic function ang:

buong rational function (polynomial o polynomial)

fractional rational function (ratio ng dalawang polynomial)

hindi makatwiran na pag-andar (kung ang mga operasyon sa argumento ay may kasamang root extraction).

Anumang non-algebraic function ay tinatawag transendente. Kabilang sa mga transendental na function ang exponential, logarithmic, trigonometric, inverse trigonometric function.

Mga function at ang kanilang mga katangian

Ang function ay isa sa pinakamahalagang konsepto ng matematika.Function ay tulad ng isang dependence ng variable y sa variable x, kung saan ang bawat halaga ng variable x ay tumutugma sa isang solong halaga ng variable y.

variable X tinawag malayang baryabol o argumento. variable sa tinawag dependent variable. Sinasabi rin nila iyonvariable y ay isang function ng variable x. Ang mga halaga ng dependent variable ay tinatawagmga halaga ng function.

Kung ang variable dependencysa mula sa isang variableX ay isang function, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:y= f( x ). (Basahin:sa katumbasf mula saX .) Simbolof( x) tukuyin ang halaga ng function na katumbas ng halaga ng argument na katumbas ngX .

Lahat ng mga halaga ng independent variable formsaklaw ng function . Ang lahat ng mga halaga na nabubuo ng umaasang variablesaklaw ng pag-andar .

Kung ang isang function ay ibinigay ng isang formula at ang domain nito ay hindi tinukoy, kung gayon ang domain ng function ay itinuturing na binubuo ng lahat ng mga halaga ng argumento kung saan ang formula ay may katuturan.

Mga paraan upang magtakda ng isang function:

1.analytical method (ang function ay itinakda gamit ang isang mathematical formula;

2.tabular na paraan (ang function ay nakatakda gamit ang talahanayan)

3.naglalarawang paraan (ang function ay ibinibigay sa pamamagitan ng pandiwang paglalarawan)

4.grapikong pamamaraan (ang function ay nakatakda gamit ang isang graph).

Function Graph tawagan ang hanay ng lahat ng mga punto ng coordinate plane, ang abscissas kung saan ay katumbas ng mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate - kaukulang mga halaga ng function.

PANGUNAHING KATANGIAN NG MGA TUNGKULIN

1. Mga function na zero

Ang function na zero ay ang halaga ng argumento kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

2. Mga agwat ng pag-andar

Ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng isang function ay tulad ng mga hanay ng mga halaga ng argumento kung saan ang mga halaga ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

3. Ang pagtaas (pagbaba) ng pag-andar.

Tumataas sa isang tiyak na pagitan, ang isang function ay isang function kung saan ang mas malaking halaga ng argument mula sa pagitan na ito ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function.

Function y= f ( x ) tinawag dumarami sa pagitan (a; b ), kung para sa alinman x 1 at x 2 mula sa pagitan na ito tulad nax 1 < x 2 , ang hindi pagkakapantay-pantayf ( x 1 )< f ( x 2 ).

humihina sa isang tiyak na agwat, ang isang function ay isang function na ang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

Function sa = f ( x ) tinawag humihina sa pagitan (a; b ) , kung para sa alinman x 1 at x 2 mula sa pagitan na ito tulad na x 1 < x 2 , ang hindi pagkakapantay-pantayf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Kahit na (kakaibang) function

Pati function - isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinmanX mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantayf (- x ) = f ( x ) . Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa y-axis.

Halimbawa, y = x 2 ay isang pantay na function.

kakaibang function- isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f (- x ) = - f (x ). Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

Halimbawa: y = x 3 - kakaibang pag-andar .

Ang isang pangkalahatang function ay hindi kahit na o kakaiba (y = x 2 +x ).

Mga katangian ng ilang function at ang kanilang mga graphics

1. Linear function ay tinatawag na function ng form , saan k at b - numero.

Ang domain ng kahulugan ng isang linear function ay ang setR tunay na mga numero.

Linear function na graphsa = kx + b ( k ≠ 0) ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto (0;b ) at parallel sa linyasa = kx .

Tuwid, hindi parallel sa axisOU, ay ang graph ng isang linear function.

Mga katangian ng isang linear na function.

1. Kailan k > 0 function sa = kx + b

2. Kailan k < 0 function y= kx + b bumababa sa domain ng kahulugan.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) ay ang buong linya ng numero, i.e. isang grupo ngR tunay na mga numero.

Sa k = 0 set ng mga value ng functiony= kx + b binubuo ng isang numerob .

3. Kailan b = 0 at k = 0 ang function ay hindi kahit na o kakaiba.

Sa k = 0 ang linear function ay may anyoy= b at sa b ≠ 0 ito ay pantay.

Sa k = 0 at b = 0 ang linear function ay may anyoy= 0 at parehong pantay at kakaiba sa parehong oras.

Linear function na graphy= b ay isang linyang dumadaan sa punto (0; b ) at parallel sa axisOh. Tandaan na kapag b = 0 function graphy= b kasabay ng axis Oh .

5. Kailan k > 0 meron tayo niyan sa> 0 kung at sa< 0 kung . Sa k < 0 mayroon tayong y > 0 kung at sa< 0, если .

2. Pag-andar y = x 2

Rtunay na mga numero.

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng variableX maramihang mga halaga mula sa saklaw ng pag-andar at pagkalkula ng kaukulang mga halagasa ayon sa pormula y = x 2 , i-graph ang function.

Function Graph y = x 2 tinawag parabola.

Mga katangian ng function y = x 2 .

1. Kung X= 0, pagkatapos y= 0, ibig sabihin. ang parabola ay may karaniwang punto (0; 0) na may mga coordinate axes - ang pinanggalingan.

2. Kung x ≠ 0 , pagkatapos sa > 0, ibig sabihin. lahat ng mga punto ng parabola, maliban sa pinanggalingan, ay nasa itaas ng x-axis.

3. Isang hanay ng mga halaga ng functionsa = X 2 ay ang span functionsa = X 2 bumababa.

X

3. Function

Ang saklaw ng function na ito ay ang span functiony = | x | bumababa.

7. Kinukuha ng function ang pinakamaliit na halaga sa puntoX, ito katumbas ng 0. Pinakamalaking halaga ay wala.

6. Function

Saklaw ng function: .

Saklaw ng pag-andar: .

Ang graph ay hyperbole.

1. Mga function na zero.

y ≠ 0, walang mga zero.

2. Mga pagitan ng sign constancy,

Kung k > 0, pagkatapos sa> 0 sa X > 0; sa < 0 при X < О.

Kung k < 0, то sa < 0 при X > 0; sa> 0 sa X < 0.

3. Mga pagitan ng pagtaas at pagbaba.

Kung k > 0, pagkatapos ay bumababa ang function kapag .

Kung k < 0, то функция возрастает при .

4. Even (kakaibang) function.

Ang pag-andar ay kakaiba.

Square trinomial

Uri ng equation palakol 2 + bx + c = 0, kung saan a , b at Sa - ilang mga numero, ata≠ 0, tinawag parisukat.

Sa isang quadratic equationpalakol 2 + bx + c = 0 koepisyent a tinawag ang unang koepisyent b - pangalawang coefficient, na may - libreng miyembro.

Root Formula quadratic equation mukhang:

.

Ang ekspresyon ay tinatawag may diskriminasyon quadratic equation at tinutukoy ngD .

Kung D = 0, pagkatapos ay mayroon lamang isang numero na nakakatugon sa equation palakol 2 + bx + c = 0. Gayunpaman, sumang-ayon kaming sabihin na sa kasong ito ang quadratic equation ay may dalawang pantay na tunay na ugat, at ang numero mismo tinawag dobleng ugat.

Kung D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Kung D > 0, pagkatapos ang quadratic equation ay may dalawang magkaibang tunay na ugat.

Hayaan ang quadratic equationpalakol 2 + bx + c = 0. Dahil a≠ 0, pagkatapos, paghahati sa magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan nga, makuha namin ang equation . Ipagpalagay at , dumating tayo sa equation , kung saan ang unang coefficient ay katumbas ng 1. Ang nasabing equation ay tinatawagbinigay.

Ang formula para sa mga ugat ng nasa itaas na quadratic equation ay:

.

Mga equation ng form

a x 2 + bx = 0, palakol 2 + kasama ang = 0, a x 2 = 0

tinawag hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay nalulutas sa pamamagitan ng factoring sa kaliwang bahagi ng equation.

Ang teorama ni Vieta .

Ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation ay katumbas ng ratio ng pangalawang koepisyent sa una, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay ang ratio ng libreng termino sa unang koepisyent, i.e.

Inverse theorem.

Kung ang kabuuan ng alinmang dalawang numeroX 1 at X 2 ay katumbas ng , at ang kanilang produkto ay, kung gayon ang mga numerong ito ay ang mga ugat ng quadratic equationOh 2 + b x + c = 0.

tingnan ang function Oh 2 + b x + c tinawag square trinomial. Ang mga ugat ng function na ito ay ang mga ugat ng katumbas na quadratic equationOh 2 + b x + c = 0.

Kung ang discriminant square trinomial mas malaki sa zero, kung gayon ang trinomial na ito ay maaaring katawanin bilang:

Oh 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 )

saan X 1 at X 2 - mga ugat ng trinomial

Kung ang discriminant ng isang square trinomial ay zero, ang trinomial na ito ay maaaring katawanin bilang:

Oh 2 + b x + c \u003d a (x-x 1 ) 2

saan X 1 ay ang ugat ng isang trinomial.

Halimbawa, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Uri ng equation Oh 4 + b X 2 + kasama ang= 0 ang tinatawag bi-square. Sa pamamagitan ng pagbabago ng variable ayon sa formulaX 2 = y ito ay nabawasan sa quadratic equationa y 2 + sa pamamagitan ng + kasama ang = 0.

quadratic function

quadratic function ay isang function na maaaring isulat bilang isang formulay = palakol 2 + bx + c , saan x ay isang malayang variable,a , b at c ay ilang mga numero, ata ≠ 0.

Ang mga katangian ng function at ang uri ng graph nito ay pangunahing tinutukoy ng mga halaga ng coefficienta at may diskriminasyon.

Mga katangian ng isang quadratic function

Domain:R;

Saklaw ng mga halaga:

sa a > 0 [- D/(4 a); ∞)

sa a < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Kahit, kakaiba:

sa b = 0 function ay pantay

sa b ≠ 0 ang function ay hindi kahit na o kakaiba

sa D> 0 dalawang zero: ,

sa D= 0 isang zero:

sa D < 0 нулей нет

Mga agwat ng tuluy-tuloy:

kung, a > 0, D> 0, pagkatapos

kung, a > 0, D= 0, pagkatapos

e kung a > 0, D < 0, то

kung ang< 0, D> 0, pagkatapos

kung ang< 0, D= 0, pagkatapos

kung ang< 0, D < 0, то

- Mga agwat ng monotonicity

para sa isang > 0

sa a< 0

Ang graph ng quadratic function ayparabola - isang kurba na simetriko tungkol sa isang tuwid na linya dumadaan sa vertex ng parabola (ang vertex ng parabola ay ang punto ng intersection ng parabola na may axis ng symmetry).

Upang mag-plot ng isang quadratic function, kailangan mo:

1) hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola at markahan ito sa coordinate plane;

2) bumuo ng ilang higit pang mga punto na kabilang sa parabola;

3) ikonekta ang mga minarkahang puntos na may makinis na linya.

Ang mga coordinate ng vertex ng parabola ay tinutukoy ng mga formula:

; .

Pag-convert ng mga function graph

1. lumalawak graphicsy = x 2 kasama ang axissa v|a| beses (kailan|a| < Ang 1 ay compression sa 1/|a| isang beses).

Kung ang< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (ang mga sanga ng parabola ay ididirekta pababa).

Resulta: function graphy=ah 2 .

2. Parallel na paglipat function graphy=ah 2 kasama ang axisX sa| m | (sa kanan sa

m > 0 at sa kaliwa saT< 0).

Resulta: function graphy \u003d a (x - t) 2 .

3. Parallel na paglipat function graph kasama ang axissa sa| n | (hanggang san> 0 at pababa saP< 0).

Resulta: function graphy \u003d a (x - t) 2 + p.

Quadratic inequalities

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyoOh 2 + b x + c > 0 atOh 2 + bx + c< 0, saanX - variable,a , b atSa - ilang mga numero, at,a≠ 0 ay tinatawag na pangalawang-degree na hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable.

Ang paglutas ng pangalawang-degree na hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable ay maaaring tingnan bilang paghahanap ng mga pagitan kung saan ang katumbas na quadratic function ay kumukuha ng mga positibo o negatibong halaga.

Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyoOh 2 + bx + c > 0 atOh 2 + bx + c< 0 gawin ang sumusunod:

1) hanapin ang discriminant ng isang square trinomial at alamin kung ang trinomial ay may mga ugat;

2) kung ang trinomial ay may mga ugat, pagkatapos ay markahan ang mga ito sa axisX at sa pamamagitan ng mga minarkahang punto, ang isang parabola ay iginuhit ng eskematiko, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas saa > 0 o pababa saa< 0; kung ang trinomial ay walang mga ugat, pagkatapos ay schematically ilarawan ang isang parabola na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano saa > 0 o sa ibaba kapaga < 0;

3) hanapin sa axisX mga pagitan kung saan ang mga punto ng parabola ay matatagpuan sa itaas ng axisX (kung malulutas nila ang hindi pagkakapantay-pantayOh 2 + bx + c > 0) o sa ibaba ng axisX (kung malulutas nila ang hindi pagkakapantay-pantayOh 2 + bx + c < 0).

Halimbawa:

Solusyonan natin ang hindi pagkakapantay-pantay .

Isaalang-alang ang function

Ang graph nito ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta pababa (dahil ).

Alamin kung paano matatagpuan ang graph na may kaugnayan sa axisX. Lutasin natin ang equation para dito . Nakukuha namin iyonx = 4. Ang equation ay may iisang ugat. Kaya ang parabola ay humipo sa axisX.

Ang pagkakaroon ng schematically na paglalarawan ng isang parabola, nalaman namin na ang function ay tumatagal ng mga negatibong halaga para sa anumanX, maliban sa 4.

Ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:X - anumang numero na hindi katumbas ng 4.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng pagitan

scheme ng solusyon

1. Maghanap ng mga zero function sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay.

2. Markahan ang posisyon ng mga zero sa number axis at tukuyin ang kanilang multiplicity (kungk i kahit, pagkatapos ay zero ng kahit multiplicity, kungk i kakaiba - pagkatapos ay kakaiba).

3. Maghanap ng mga palatandaan ng isang function sa mga pagitan sa pagitan ng mga zero nito, simula sa pinakakanang agwat: sa pagitan na ito, ang pag-andar sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay palaging positibo para sa pinababang anyo ng hindi pagkakapantay-pantay. Kapag dumadaan mula kanan pakaliwa sa zero ng isang function mula sa isang agwat patungo sa isang kalapit, dapat isaalang-alang ng isa:

kung ang zero ay kakaiba multiplicity, nagbabago ang tanda ng function,

kung ang zero ay pantay multiplicity, ang tanda ng function ay napanatili.

4. Isulat ang sagot.

Halimbawa:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Natagpuan ang mga function na zero. Sila ay pantay-pantay:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Minarkahan namin ang mga zero ng function sa linya ng coordinatef ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Hanapin ang mga palatandaan ng function na ito sa bawat isa sa mga pagitan (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) at

Makikita mula sa figure na ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang unyon ng mga pagitan (-∞; -6) at (-1; 4).

Sagot: (-∞ ; -6) at (-1; 4).

Ang itinuturing na paraan ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawagparaan ng pagitan.

Ang materyal na pamamaraan ay para sa mga layuning sanggunian at sumasaklaw sa malawak na hanay ng mga paksa. Ang artikulo ay nagbibigay ng isang pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya at isinasaalang-alang ang pinakamahalagang isyu - kung paano tama at FAST bumuo ng isang graph. Sa kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika nang hindi nalalaman ang mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ito ay magiging mahirap, kaya napakahalagang tandaan kung ano ang hitsura ng mga graph ng isang parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp, upang matandaan ang ilan. mga halaga ng function. Pag-uusapan din natin ang ilang mga katangian ng mga pangunahing pag-andar.

Hindi ako nagkukunwaring kumpleto at siyentipikong kabuoan ng mga materyales, ang diin ay ilalagay, una sa lahat, sa pagsasanay - ang mga bagay na kung saan kailangang harapin nang literal ang bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika. Mga tsart para sa mga dummies? Masasabi mo.

Sa pamamagitan ng popular na demand mula sa mga mambabasa naki-click na talaan ng mga nilalaman:

Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling abstract sa paksa
– master ang 16 na uri ng mga chart sa pamamagitan ng pag-aaral ng ANIM na pahina!

Grabe, anim, kahit ako mismo ay nagulat. Ang abstract na ito ay naglalaman ng pinahusay na mga graphics at magagamit para sa isang nominal na bayad, isang demo na bersyon ay maaaring matingnan. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

At magsisimula kami kaagad:

Paano gumawa ng mga coordinate axes nang tama?

Sa pagsasagawa, ang mga pagsusulit ay halos palaging iginuhit ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook, na may linya sa isang hawla. Bakit kailangan mo ng checkered markings? Pagkatapos ng lahat, ang trabaho, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. At ang hawla ay kinakailangan para lamang sa mataas na kalidad at tumpak na disenyo ng mga guhit.

Ang anumang pagguhit ng isang function graph ay nagsisimula sa mga coordinate axes.

Ang mga guhit ay two-dimensional at three-dimensional.

Isaalang-alang muna natin ang dalawang-dimensional na kaso Cartesian coordinate system:

1) Gumuhit kami ng mga coordinate axes. Ang axis ay tinatawag x-axis , at ang axis y-axis . Lagi naming sinusubukang iguhit ang mga ito maayos at hindi baluktot. Ang mga palaso ay hindi rin dapat katulad ng balbas ni Papa Carlo.

2) Nilagdaan namin ang mga palakol na may malalaking titik na "x" at "y". Huwag kalimutang lagdaan ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol: gumuhit ng zero at dalawa. Kapag gumagawa ng isang pagguhit, ang pinaka-maginhawa at karaniwang sukat ay: 1 yunit = 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - dumikit dito kung maaari. Gayunpaman, paminsan-minsan ay nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa isang notebook sheet - pagkatapos ay binabawasan namin ang sukat: 1 yunit = 1 cell (pagguhit sa kanan). Bihirang, ngunit nangyayari na ang sukat ng pagguhit ay kailangang bawasan (o dagdagan) pa

HUWAG mag-scribble mula sa machine gun ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Para sa coordinate na eroplano ay hindi isang monumento kay Descartes, at ang estudyante ay hindi isang kalapati. Inilagay namin sero at dalawang yunit sa kahabaan ng mga palakol. Minsan sa halip na mga yunit, ito ay maginhawa upang "makita" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa abscissa axis at "tatlo" sa ordinate axis - at ang sistemang ito (0, 2 at 3) ay natatanging magtatakda ng coordinate grid.

Mas mainam na tantiyahin ang tinantyang sukat ng pagguhit BAGO ang pagguhit ay iguguhit.. Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan ng pagguhit ng isang tatsulok na may vertices , , , kung gayon ito ay lubos na malinaw na ang sikat na sukat na 1 yunit = 2 mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - dito kailangan mong sukatin ang labinlimang sentimetro pababa, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o halos hindi magkasya) sa isang notebook sheet. Samakatuwid, agad kaming pumili ng mas maliit na sukat 1 unit = 1 cell.

Sa pamamagitan ng paraan, mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo ba na mayroong 15 sentimetro sa 30 mga cell ng notebook? Sukatin sa isang kuwaderno para sa interes na 15 sentimetro gamit ang isang ruler. Sa USSR, marahil ito ay totoo ... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung sukatin mo ang parehong mga sentimetro nang pahalang at patayo, kung gayon ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi checkered, ngunit hugis-parihaba. Ito ay maaaring mukhang walang kapararakan, ngunit ang pagguhit, halimbawa, ang isang bilog na may kumpas sa mga ganitong sitwasyon ay lubhang hindi maginhawa. Sa totoo lang, sa mga sandaling iyon ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa kawastuhan ni Kasamang Stalin, na ipinadala sa mga kampo para sa trabaho sa pag-hack sa produksyon, hindi pa banggitin ang domestic automotive industry, mga bumabagsak na eroplano o sumasabog na mga power plant.

Ang pagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon sa stationery. Sa ngayon, karamihan sa mga ibinebentang notebook, nang hindi nagsasabi ng masasamang salita, ay kumpleto na sa duwende. Para sa kadahilanang nabasa sila, at hindi lamang mula sa mga gel pen, kundi pati na rin sa mga bolpen! Magtipid sa papel. Para sa clearance gumaganang kontrol Inirerekomenda ko ang paggamit ng mga notebook ng Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 sheet, cage) o Pyaterochka, kahit na ito ay mas mahal. Maipapayo na pumili ng isang gel pen, kahit na ang pinakamurang Chinese gel refill ay mas mahusay kaysa sa isang bolpen, na maaaring pahiran o punitin ang papel. Ang tanging "mapagkumpitensya" panulat sa aking alaala ay si "Erich Krause". Siya ay nagsusulat nang malinaw, maganda at matatag - alinman sa isang buong tangkay, o may halos walang laman.

Bukod pa rito: ang pananaw ng isang rectangular coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytical geometry ay sakop sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector, ang detalyadong impormasyon tungkol sa coordinate quarters ay matatagpuan sa ikalawang talata ng aralin Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

3D na kaso

Halos pareho lang dito.

1) Gumuhit kami ng mga coordinate axes. Pamantayan: ilapat ang axis – nakadirekta pataas, axis – nakadirekta sa kanan, axis – pababa sa kaliwa mahigpit sa isang anggulo ng 45 degrees.

2) Pinirmahan namin ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol. Scale sa kahabaan ng axis - dalawang beses na mas maliit kaysa sa scale kasama ang iba pang mga axes. Tandaan din na sa tamang pagguhit, gumamit ako ng hindi karaniwang "serif" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit na sa itaas). Mula sa aking pananaw, ito ay mas tumpak, mas mabilis at mas aesthetically kasiya-siya - hindi mo kailangang hanapin ang gitna ng cell sa ilalim ng mikroskopyo at "i-sculpt" ang unit hanggang sa pinagmulan.

Kapag gumagawa muli ng 3D drawing - bigyang-priyoridad ang sukat
1 unit = 2 cell (drawing sa kaliwa).

Para saan ang lahat ng mga patakarang ito? Ang mga patakaran ay nariyan upang labagin. Ano na ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin ko sa Excel, at ang mga coordinate axes ay magmumukhang hindi tama sa mga tuntunin ng tamang disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga graph sa pamamagitan ng kamay, ngunit talagang nakakatakot na iguhit ang mga ito, dahil ang Excel ay nag-aatubili na iguhit ang mga ito nang mas tumpak.

Mga graph at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar

Ang linear function ay ibinibigay ng equation . Ang linear function graph ay direkta. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na malaman ang dalawang puntos.

Halimbawa 1

I-plot ang function. Maghanap tayo ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.

Kung , kung gayon

Kumuha kami ng ibang punto, halimbawa, 1.

Kung , kung gayon

Kapag naghahanda ng mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang ibinubuod sa isang talahanayan:

At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang draft, calculator.

Dalawang puntos ang natagpuan, gumuhit tayo:

Kapag gumuhit ng isang guhit, palagi naming pinipirmahan ang mga graphic.

Hindi magiging kalabisan na alalahanin ang mga espesyal na kaso ng isang linear na function:

Pansinin kung paano ko inilagay ang mga caption, hindi dapat malabo ang mga lagda kapag pinag-aaralan ang pagguhit. Sa kasong ito, lubos na hindi kanais-nais na maglagay ng lagda sa tabi ng punto ng intersection ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.

1) Ang isang linear na function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa, . Ang direktang proporsyonalidad na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay pinasimple - sapat na upang makahanap lamang ng isang punto.

2) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay binuo kaagad, nang hindi nakakahanap ng anumang mga puntos. Iyon ay, ang entry ay dapat na maunawaan tulad ng sumusunod: "y ay palaging katumbas ng -4, para sa anumang halaga ng x."

3) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay binuo din kaagad. Ang entry ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x ay palaging, para sa anumang halaga ng y, katumbas ng 1."

May magtatanong, well, bakit naaalala ang ika-6 na baitang?! Ganyan talaga, siguro nga, sa loob lang ng mga taon ng pagsasanay ay nakilala ko ang isang dosenang estudyante na nalilito sa gawaing paggawa ng graph tulad ng o .

Ang pagguhit ng isang tuwid na linya ay ang pinakakaraniwang aksyon kapag gumagawa ng mga guhit.

Ang tuwid na linya ay tinalakay nang detalyado sa kurso ng analytic geometry, at ang mga nais ay maaaring sumangguni sa artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Quadratic function graph, cubic function graph, polynomial graph

Parabola. Graph ng isang quadratic function () ay isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:

Alalahanin natin ang ilang katangian ng function.

Kaya, ang solusyon sa ating equation: - sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kung bakit ganito ay maaaring matutunan mula sa teoretikal na artikulo sa derivative at ang aralin sa extrema ng function. Pansamantala, kinakalkula namin ang katumbas na halaga ng "y":

Kaya ang vertex ay nasa punto

Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang brazenly ginagamit ang mahusay na proporsyon ng parabola. Dapat pansinin na ang pag-andar – ay hindi pantay, ngunit, gayunpaman, walang kinansela ang simetrya ng parabola.

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga punto, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Ang construction algorithm na ito ay maaaring matalinhagang tinatawag na "shuttle" o ang "back and forth" na prinsipyo sa Anfisa Chekhova.

Gumawa tayo ng drawing:

Mula sa mga isinasaalang-alang na mga graph, isa pang kapaki-pakinabang na tampok ang naiisip:

Para sa isang quadratic function () ang sumusunod ay totoo:

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Ang malalim na kaalaman sa kurba ay maaaring makuha sa aralin na Hyperbola at parabola.

Ang cubic parabola ay ibinibigay ng function na . Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Inililista namin ang mga pangunahing katangian ng pag-andar

Function Graph

Ito ay kumakatawan sa isa sa mga sangay ng parabola. Gumawa tayo ng drawing:

Ang mga pangunahing katangian ng function:

Sa kasong ito, ang axis ay patayong asymptote para sa hyperbola graph sa .

Ito ay isang MALAKING pagkakamali kung, kapag gumuhit ng isang guhit, sa pamamagitan ng kapabayaan, pinapayagan mo ang graph na bumalandra sa asymptote.

Gayundin isang panig na limitasyon, sabihin sa amin na ang isang hyperbole hindi limitado mula sa itaas at hindi limitado mula sa ibaba.

Tuklasin natin ang function sa infinity: , ibig sabihin, kung magsisimula tayong gumalaw sa kahabaan ng axis sa kaliwa (o pakanan) hanggang sa infinity, kung gayon ang "mga laro" ay magiging isang payat na hakbang malapit nang walang katapusan lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola malapit nang walang katapusan lumapit sa axis.

Kaya ang axis ay pahalang na asymptote para sa graph ng function, kung ang "x" ay may posibilidad na plus o minus infinity.

Ang function ay kakaiba, na nangangahulugan na ang hyperbola ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang katotohanang ito ay halata mula sa pagguhit, bilang karagdagan, madali itong ma-verify nang analytical: .

Ang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sangay ng isang hyperbola.

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa una at ikatlong coordinate quadrant(tingnan ang larawan sa itaas).

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa ikalawa at ikaapat na coordinate quadrant.

Hindi mahirap pag-aralan ang tinukoy na regularidad ng lugar ng paninirahan ng hyperbola mula sa punto ng view ng geometric transformations ng mga graph.

Halimbawa 3

Buuin ang tamang sangay ng hyperbola

Ginagamit namin ang pointwise na paraan ng pagtatayo, habang ito ay kapaki-pakinabang upang piliin ang mga halaga upang sila ay ganap na hatiin:

Gumawa tayo ng drawing:

Hindi magiging mahirap na bumuo ng kaliwang sangay ng hyperbola, narito ang kakaiba ng pag-andar ay makakatulong lamang. Sa halos pagsasalita, sa pointwise construction table, magdagdag ng minus sa bawat numero, ilagay ang kaukulang mga tuldok at iguhit ang pangalawang sangay.

Ang detalyadong geometric na impormasyon tungkol sa isinasaalang-alang na linya ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at parabola.

Graph ng isang exponential function

Sa talatang ito, agad kong isasaalang-alang ang exponential function, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso, ito ang exponent na nangyayari.

Ipinapaalala ko sa iyo na - ito ay isang hindi makatwiran na numero: , ito ay kinakailangan kapag gumagawa ng isang graph, na, sa katunayan, ako ay magtatayo nang walang seremonya. Tatlong puntos marahil sapat na:

Iwanan muna natin ang graph ng function sa ngayon, tungkol dito mamaya.

Ang mga pangunahing katangian ng function:

Sa panimula, magkapareho ang hitsura ng mga graph ng mga function, atbp.

Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay hindi gaanong karaniwan sa pagsasanay, ngunit nangyayari ito, kaya naramdaman kong kailangan itong isama sa artikulong ito.

Graph ng isang logarithmic function

Isaalang-alang ang isang function na may natural logarithm.
Gumawa tayo ng line drawing:

Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa mga aklat-aralin sa paaralan.

Ang mga pangunahing katangian ng function:

Domain:

Saklaw ng mga halaga: .

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas: , kahit na dahan-dahan, ngunit ang sangay ng logarithm ay umaakyat sa infinity.
Suriin natin ang pag-uugali ng function na malapit sa zero sa kanan: . Kaya ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng function na may "x" na may posibilidad na zero sa kanan.

Tiyaking alam at tandaan ang karaniwang halaga ng logarithm: .

Sa panimula, ang balangkas ng logarithm sa base ay mukhang pareho: , , (decimal logarithm hanggang base 10), atbp. Kasabay nito, mas malaki ang base, mas magiging flat ang chart.

Hindi namin isasaalang-alang ang kaso, isang bagay na hindi ko matandaan kung kailan ako huling gumawa ng graph na may ganoong batayan. Oo, at ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mga problema ng mas mataas na matematika.

Sa pagtatapos ng talata, sasabihin ko ang isa pang katotohanan: Exponential Function at Logarithmic Functionay dalawang magkabaligtaran na pag-andar. Kung titingnan mong mabuti ang graph ng logarithm, makikita mo na ito ay ang parehong exponent, ito ay matatagpuan sa isang maliit na naiiba.

Mga graph ng trigonometriko function

Paano nagsisimula ang trigonometric torment sa paaralan? Tama. Mula sa sine

I-plot natin ang function

Ang linyang ito ay tinatawag sinusoid.

Ipinaaalala ko sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwirang numero:, at sa trigonometrya ito ay nakakasilaw sa mga mata.

Ang mga pangunahing katangian ng function:

Ang function na ito ay periodical may period. Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang hiwa. Sa kaliwa at sa kanan nito, ang parehong piraso ng graph ay umuulit nang walang katapusang.

Domain: , ibig sabihin, para sa anumang halaga ng "x" mayroong isang halaga ng sine.

Saklaw ng mga halaga: . Ang function ay limitado: , ibig sabihin, lahat ng "laro" ay mahigpit na nakaupo sa segment .
Hindi ito nangyayari: o, mas tiyak, nangyayari ito, ngunit ang mga equation na ito ay walang solusyon.