Ang mga salita at patunay ng Vieta theorem para sa mga square equation. Reverse Vieta theorem. Vieta theorem para sa cubic equation at isang arbitrary order equation.

Quadratic equations.

Vieta theorem

Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng tinukoy na parisukat na equation
(1) .
Pagkatapos ay ang halaga ng mga ugat ay katumbas ng koepisyent na may kabaligtarang tanda. Ang produkto ng Roots ay ang libreng miyembro:
;
.

Tandaan sa maraming Roots

Kung ang discriminant ng equation (1) ay zero, ang equation na ito ay may isang ugat. Ngunit upang maiwasan ang malaking salita, ito ay pinaniniwalaan na sa kasong ito, equation (1) ay may dalawang maramihang, o pantay, root:
.

Ang unang patunay

Hanapin ang mga ugat ng equation (1). Upang gawin ito, ilapat ang formula para sa mga ugat ng square equation:
;
;
.

Nakita namin ang halaga ng mga ugat:
.

Upang makahanap ng trabaho, ilapat ang formula:
.
Pagkatapos

.

Ang teorama ay pinatunayan.

Ikalawang patunay

Kung ang mga numero ay ang mga ugat ng square equation (1), pagkatapos
.
Ibunyag ang mga braket.

.
Kaya, ang equation (1) ay kukuha ng form:
.
Paghahambing sa (1) nakita namin:
;
.

Ang teorama ay pinatunayan.

Reverse Vieta theorem.

Magkaroon ng mga arbitrary na numero. Pagkatapos ay ang mga ugat ng square equation.
,
Saan
(2) ;
(3) .

Katunayan ng reverse vieta teorama

Isaalang-alang quadratic equation.
(1) .
Kailangan nating patunayan na kung pareho ang mga ugat ng equation (1).

Kapalit (2) at (3) sa (1):
.
Pagpapangkat ng mga miyembro ng kaliwang bahagi ng equation:
;
;
(4) .

Kapalit sa (4):
;
.

Kapalit sa (4):
;
.
Ginagawa ang equation. Iyon ay, ang bilang ay ang ugat ng equation (1).

Ang teorama ay pinatunayan.

Vieta theorem para sa isang kumpletong square equation.

Ngayon isaalang-alang ang isang kumpletong square equation.
(5) ,
Kung saan, at may ilang mga numero. At.

Hinati namin ang equation (5) sa:
.
Iyon ay, nakuha namin ang parehong equation
,
saan; .

Pagkatapos ang teorama ng Vieta para sa isang kumpletong square equation ay may sumusunod na form.

Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng isang kumpletong square equation
.
Kung gayon ang halaga at produkto ng mga ugat ay tinutukoy ng mga formula:
;
.

Vieta theorem para sa kubiko equation.

Katulad nito, maaari tayong magtatag ng mga link sa pagitan ng mga ugat ng kubiko. Isaalang-alang ang isang kubiko equation.
(6) ,
Kung saan ,,, may ilang mga numero. At.
Hinati namin ang equation na ito sa:
(7) ,
kung saan,
Hayaan, maging ang mga ugat ng equation (7) (at equation (6)). Pagkatapos

.

Ihambing sa equation (7) nakita namin:
;
;
.

Vieta theorem para sa n-th degree equation.

Sa parehong paraan, maaari kang makahanap ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat ,, ..., para sa equation nth degree.
.

Vieta theorem for. n-th equations. Ang degree ay ang mga sumusunod:
;
;
;

.

Upang makakuha ng mga formula na ito, isulat namin ang equation sa sumusunod na form:
.
Pagkatapos ay tinutukoy namin ang mga coefficients kapag ,, ..., at ihambing ang isang libreng miyembro.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, isang reference na libro sa matematika para sa mga inhinyero at mga mag-aaral ng mga attendant, "LAN", 2009.
Cm. Nikolsky, MK. Potapov et al., Algebra: Tutorial para sa Grade 8 ng General Education Institutions, Moscow, Enlightenment, 2006.

Ang isa sa mga pamamaraan ng mga solusyon ng square equation ay ang application vieta Formula.na tinatawag na karangalan kay Francois Vieta.

Siya ay isang sikat na abogado, at nagsilbi noong ika-16 na siglo sa Pranses na hari. SA libreng oras Nakikibahagi sa astronomiya at matematika. Itinatag ang relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficients ng square equation.

Mga Bentahe ng Formula:

1 . Paglalapat ng formula, maaari mong mabilis na makahanap ng solusyon. Dahil hindi mo kailangang ipasok ang pangalawang koepisyent sa parisukat, pagkatapos ay ibawas ang 4As mula dito, maghanap ng diskriminasyon, upang palitan ang halaga nito sa formula para sa paghahanap ng mga ugat.

2 . Walang mga solusyon, maaari mong tukuyin ang mga palatandaan ng Roots, kunin ang mga halaga ng mga ugat.

3 . Pagpapasya sa sistema ng dalawang talaan, madaling mahanap ang mga ugat mismo. Sa kasalukuyang parisukat na equation, ang halaga ng mga ugat ay katumbas ng halaga ng ikalawang koepisyent na may minus sign. Ang produkto ng mga ugat sa tinukoy na square equation ay katumbas ng halaga ng ikatlong koepisyent.

4 . Ayon sa mga ugat, magsulat ng isang parisukat na equation, ibig sabihin, upang malutas ang kabaligtaran na gawain. Halimbawa, ang pamamaraan na ito ay ginagamit sa paglutas ng mga problema sa teoretikal na mekanika.

5 . Ito ay maginhawa upang gamitin ang formula kapag ang mas lumang koepisyent ay katumbas ng isa.

Mga disadvantages:

1 . Ang formula ay hindi pangkalahatan.

Vieta theorem grade 8.

Formula.
Kung x 1 at x 2 ang mga ugat ng ibinigay na square equation x 2 + px + q \u003d 0, pagkatapos:

Mga halimbawa
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ang mga ugat ng equation x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P \u003d -2, q \u003d -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -P,

X 1 x 2 \u003d -1 3 \u003d -3 \u003d Q.

Reverse Theorem.

Formula.
Kung ang mga numero x 1, x 2, p, q ay may kaugnayan sa mga kondisyon:

Na ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng equation x 2 + px + q \u003d 0.

Halimbawa
Gumawa ng isang parisukat na equation para sa mga ugat nito:

X 1 \u003d 2 -? 3 at x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p \u003d -4; Q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Ang nais na equation ay: x 2 - 4x + 1 \u003d 0.

Unang antas

Parisukat equation. Kumpletuhin ang Gabay (2019)

Sa mga tuntunin ng "square equation", ang susi ay ang salitang "parisukat". Nangangahulugan ito na ang variable ay dapat na naroroon sa equation (ang parehong IX) sa parisukat, at dapat na walang ICs sa ikatlong (at mas malaki) degree.

Ang solusyon ng maraming mga equation ay nabawasan sa paglutas ng mga tiyak na square equation.

Alamin kung paano matukoy na mayroon kaming isang parisukat na equation, at hindi iba.

Halimbawa 1.

Ang bawat miyembro ng equation sa denamineytor at ang dominaridad ay mapupuksa

Inilipat namin ang lahat sa mga miyembro ng kaliwa at lugar sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga grado ng ICA

Ngayon ay maaari mong sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay parisukat!

Halimbawa 2.

Doming Leeva I. kanang bahagi sa:

Ang equation na ito, bagaman ito ay orihinal na ito, ay hindi parisukat!

Halimbawa 3.

Doming lahat sa:

Nakakatakot? Ang ikaapat at ikalawang antas ... Gayunpaman, kung papalitan natin, makikita natin na mayroon tayong isang simpleng square equation:

Halimbawa 4.

Tila, ngunit tumingin tayo nang mabuti. Inilipat namin ang lahat sa kaliwa:

Tingnan, nabawasan - at ngayon ito ay isang simpleng linear equation!

Subukan na malaman kung alin sa mga sumusunod na equation ang parisukat, at hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

1. parisukat;
2. parisukat;
3. hindi parisukat;
4. hindi parisukat;
5. hindi parisukat;
6. parisukat;
7. hindi parisukat;
8. parisukat.

Matematika conventionally hatiin ang lahat ng square equation sa uri:

• Buong square equation. - Mga equation kung saan ang mga coefficients at, pati na rin ang isang libreng miyembro ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, sa buong square equation na ilaan ipinakita - Ang mga ito ay mga equation kung saan ang koepisyent (equation mula sa halimbawa ay hindi lamang kumpleto, ngunit ibinigay din!)

• Hindi kumpletong square equation. - Mga equation kung saan ang koepisyent at libreng miyembro ay zero:

  Hindi kumpleto, dahil kulang sila ng ilang uri ng item. Ngunit ang equation ay dapat palaging naroroon sa square !!! Kung hindi, hindi ito magiging parisukat, ngunit ilang iba pang equation.

Bakit ka nakarating sa gayong dibisyon? Tila may x sa parisukat, at okay. Ang ganitong dibisyon ay dahil sa mga pamamaraan ng mga solusyon. Isaalang-alang ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Desisyon ng hindi kumpleto square equation.

Upang magsimula, hihinto kami sa paglutas ng mga hindi kumpletong square equation - mas simple ang mga ito!

Ang mga hindi kumpletong parisukat na equation ay mga uri:

1. Sa equation na ito, ang koepisyent ay pantay.
2. Sa equation na ito, ang isang libreng miyembro ay pantay.
3. Sa equation na ito, ang koepisyent at libreng miyembro ay pantay.

1. at. Tulad ng alam natin kung paano kunin ang isang parisukat na ugat, ipahayag natin mula sa equation na ito

Ang pagpapahayag ay maaaring parehong negatibo at positibo. Ang bilang na itinayo sa parisukat ay hindi maaaring maging negatibo, dahil sa pagpaparami ng dalawang negatibong o dalawang positibong numero - ang resulta ay palaging isang positibong numero, upang kung ang equation ay walang mga solusyon.

At kung nakakuha ka ng dalawang ugat. Ang mga formula na ito ay hindi kailangang kabisaduhin. Ang pangunahing bagay na dapat mong malaman at tandaan palagi na maaaring hindi ito mas mababa.

Subukan nating malutas ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5:

Magpasya equation.

Ngayon ay nananatili itong alisin mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo ba kung paano i-extract ang mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda !!!

Halimbawa 6:

Magpasya equation.

Sagot:

Halimbawa 7:

Magpasya equation.

Oh! Ang parisukat ng numero ay hindi maaaring maging negatibo, na nangangahulugang ang equation

walang Roots!

Para sa mga naturang equation kung saan walang mga ugat, ang matematika ay dumating sa isang espesyal na icon - (walang laman na hanay). At ang sagot ay maaaring nakasulat bilang:

Sagot:

Kaya, ang parisukat na equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin inalis ang ugat.
Halimbawa 8:

Magpasya equation.

Ibubuod ko ang mga braket:

Sa ganitong paraan,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakamadaling uri ng hindi kumpletong square equation (bagaman lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay laging may isang ugat lamang:

Narito kami ay gagawin nang walang mga halimbawa.

Paglutas ng mga full square equation.

Ipinaaalala namin sa iyo na ang buong square equation ay ang equation ng equation kung saan

Ang solusyon ng kumpletong square equation ay medyo mas kumplikado (napakaliit) kaysa sa itaas.

Tandaan, anumang square equation ay maaaring malutas sa tulong ng discriminant! Kahit na hindi kumpleto.

Ang natitirang mga paraan ay makakatulong na gawing mas mabilis ito, ngunit kung mayroon kang mga problema sa mga square equation, upang magsimula, ang solusyon ay tinatawag na tulong ng discriminant.

1. Ang solusyon ng mga square equation sa tulong ng discriminant.

Ang solusyon ng mga equation square sa ganitong paraan ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay upang matandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos at isang pares ng mga formula.

Kung, ang equation ay naka-root espesyal na pansin Humakbang. Ang discriminant () ay nagpapahiwatig sa amin sa bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, pagkatapos ay ang formula ay nabawasan. Kaya, ang equation ay magkakaroon ng isang buong ugat.
• Kung, hindi namin magagawang kunin ang ugat mula sa discriminant sa hakbang. Ipinapahiwatig nito na ang equation ay walang mga ugat.

Bumalik tayo sa aming mga equation at isaalang-alang ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Magpasya equation.

Hakbang 1. Lumaktaw kami.

Hakbang 2.

Nakahanap kami ng diskriminasyon:

Kaya ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3.

Sagot:

Halimbawa 10:

Magpasya equation.

Ang equation ay iniharap sa isang karaniwang form, kaya Hakbang 1. Lumaktaw kami.

Hakbang 2.

Nakahanap kami ng diskriminasyon:

Kaya ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Magpasya equation.

Ang equation ay iniharap sa isang karaniwang form, kaya Hakbang 1. Lumaktaw kami.

Hakbang 2.

Nakahanap kami ng diskriminasyon:

Hindi nito ma-extract ang ugat mula sa diskriminasyon. Ang mga ugat ng equation ay hindi umiiral.

Ngayon alam namin kung paano isulat ang mga sagot sa tama.

Sagot:Walang mga ugat

2. Solusyon ng mga square equation gamit ang Vieta theorem.

Kung naaalala mo, iyon ay, tulad ng isang uri ng mga equation na tinatawag na ipinakita (kapag ang koepisyent A ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling malutas gamit ang Vieta theorem:

Ang kabuuan ng mga ugat tinukoy Ang parisukat na equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Halimbawa 12:

Magpasya equation.

Ang equation na ito ay angkop para sa paglutas gamit ang Vieta theorem, dahil .

Ang halaga ng mga ugat ng equation ay pantay, i.e. Nakukuha namin ang unang equation:

At ang gawain ay:

Magpapasiya din kami ng system:

• at. Ang halaga ay pantay;
• at. Ang halaga ay pantay;
• at. Ang halaga ay pantay.

at ang solusyon ng sistema:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Magpasya equation.

Sagot:

Halimbawa 14:

Magpasya equation.

Ang equation ay ibinigay, at samakatuwid:

Sagot:

Parisukat equation. Average na antas

Ano ang isang parisukat na equation?

Sa ibang salita, ang parisukat na equation ay ang equation ng species kung saan ang hindi alam ay ilang mga numero, at.

Ang bilang ay tinatawag na Elder o unang koepisyent. square equation - ang pangalawang koepisyent, ngunit - libre Miyembro.

Bakit? Dahil kung ang equation ay agad na nagiging linear, dahil mawala.

Kasabay nito, at maaaring maging zero. Sa dumi na ito, ang equation ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga sangkap ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto.

Mga solusyon ng iba't ibang uri ng mga parisukat na equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng hindi kumpletong square equation:

Upang magsimula, susuriin namin ang mga pamamaraan ng mga solusyon ng hindi kumpleto na mga equation square - mas madali ang mga ito.

Maaari mong piliin ang uri ng naturang mga equation:

I., sa equation na ito, ang koepisyent at libreng miyembro ay pantay.

II. Sa equation na ito, ang koepisyent ay pantay.

III. Sa equation na ito, ang isang libreng miyembro ay pantay.

Ngayon isaalang-alang ang solusyon ng bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay laging may isang ugat lamang:

Ang bilang na itinayo sa parisukat ay hindi maaaring maging negatibo, dahil sa pagpaparami ng dalawang negatibong o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. Samakatuwid:

kung, ang equation ay walang mga solusyon;

kung natutunan namin ang dalawang ugat

Ang mga formula na ito ay hindi kailangang kabisaduhin. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan na maaaring hindi ito mas mababa.

Mga halimbawa:

Mga Solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda!

Ang parisukat ng numero ay hindi maaaring maging negatibo, na nangangahulugang ang equation

walang mga ugat.

Upang maitala nang maikli na ang gawain ay walang mga solusyon, gumamit ng isang walang laman na hanay na icon.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Ibubuod ko ang pabrika para sa mga braket:

Ang produkto ay zero, kung hindi bababa sa isa sa mga multiplier ay zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang parisukat na equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Magpasya equation.

Desisyon:

Ikalat ang kaliwang bahagi ng equation ng pabrika at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga paraan ng paglutas ng mga full square equation:

1. Diskrimina

Paglutas ng mga equation ng parisukat sa ganitong paraan madali, ang pangunahing bagay ay upang matandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos at isang pares ng mga formula. Tandaan, ang anumang parisukat na equation ay maaaring malutas sa tulong ng discriminant! Kahit na hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat mula sa discriminant sa root formula? Ngunit ang diskriminasyon ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating magbayad ng espesyal na pansin sa hakbang 2. Ang diskriminasyon ay nagpapahiwatig sa atin sa bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, ang equation ay may ugat:
• Kung, ang equation ay may parehong ugat, at sa katunayan, isang ugat:

  Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na double.

• Kung, ang ugat ng discriminant ay hindi aalisin. Ipinapahiwatig nito na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit posible ang iba't ibang bilang ng mga ugat? Hayaan nating buksan ang geometrical na kahulugan ng square equation. Ang graph ng function ay parabola:

Sa isang partikular na kaso, na isang parisukat na equation. At nangangahulugan ito na ang mga ugat ng square equation ay ang mga punto ng intersection sa axis ng abscissa (axis). Ang parabola ay hindi maaaring tumawid sa axis sa lahat, o i-cross ito sa isa (kapag ang tuktok ng parabola ay namamalagi sa axis) o dalawang puntos.

Bilang karagdagan, ang isang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sangay ng parabola. Kung, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung ito ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga Solusyon:

Sagot:

Sagot:.

Sagot:

Kaya, walang mga solusyon.

Sagot:.

2. Vieta teorama

Ang teorama ng Vieta ay napakadaling gamitin: Kailangan mo lamang kunin ang ganoong ilang numero, ang produkto na katumbas ng isang libreng miyembro ng equation, at ang halaga ay ang pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran na pag-sign.

Mahalagang tandaan na ang teorama ng Vieta ay maaari lamang magamit sa pinababang square equation ().

Isaalang-alang ang ilang halimbawa:

Halimbawa ng numero 1:

Magpasya equation.

Desisyon:

Ang equation na ito ay angkop para sa paglutas gamit ang Vieta theorem, dahil . Ang natitirang mga coefficients:; .

Ang halaga ng mga ugat ng equation ay:

At ang gawain ay:

Pipili namin ang mga pares ng mga numero, ang produkto ng kung saan ay pantay, at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

• at. Ang halaga ay pantay;
• at. Ang halaga ay pantay;
• at. Ang halaga ay pantay.

at ang solusyon ng sistema:

Kaya, ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: .

Halimbawa ng numero 2:

Desisyon:

Pipiliin namin ang mga pares ng mga numero na ibinigay sa trabaho, at pagkatapos ay suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

at: sa halagang ibinibigay nila.

at: sa halagang ibinibigay nila. Upang makakuha ng sapat upang baguhin lamang ang mga palatandaan ng mga pinaghihinalaang Roots: at, dahil sa trabaho.

Sagot:

Halimbawa ng numero 3:

Desisyon:

Ang libreng miyembro ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat - isang negatibong numero. Posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo, at ang iba ay positibo. Samakatuwid ang halaga ng mga ugat ay pantay ang mga pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pipiliin namin ang mga pares ng mga numero na ibinigay sa trabaho, at ang pagkakaiba ng kung saan ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay pantay-pantay - hindi angkop;

at: - Hindi angkop;

at: - Hindi angkop;

at: - angkop. Ito ay nananatiling lamang upang tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang halaga ay dapat na pantay, pagkatapos ay isang negatibong dapat ay isang mas maliit na root module :. Suriin:

Sagot:

Halimbawa ng numero 4:

Magpasya equation.

Desisyon:

Ang equation ay ibinigay, at samakatuwid:

Ang libreng miyembro ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo, at ang iba ay positibo.

Pipili namin ang mga pares ng mga numero, ang produkto nito ay pantay, at pagkatapos ay tinutukoy namin kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang ay angkop para sa unang kondisyon at:

Sagot:

Halimbawa ng numero 5:

Magpasya equation.

Desisyon:

Ang equation ay ibinigay, at samakatuwid:

Ang halaga ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugan na ang hindi bababa sa isa sa mga ugat ay negatibo. Ngunit dahil ang kanilang trabaho ay positibo, nangangahulugan ito ng parehong mga ugat na may minus sign.

Pipiliin namin ang mga pares ng mga numero, ang produkto nito ay:

Malinaw, ang mga ugat ay mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, ito ay napaka-maginhawa - upang lumikha ng mga ugat pasalita, sa halip na isaalang-alang ang pangit discriminant. Subukan na gamitin ang teorama ng Vieta hangga't maaari.

Ngunit ang Vieta theorem ay kinakailangan upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang matulungan kang gamitin ito, dapat kang magdala ng pagkilos sa automatismo. At para dito, paninirang-puri ang higit pang mga takong ng mga halimbawa. Ngunit hindi isang scaling: hindi maaaring gamitin ang discriminant! Lamang vieta teorama:

Mga solusyon sa gawain para sa malayang trabaho:

Task 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Sa Vieta theorem:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili ng trabaho:

Ay hindi angkop dahil ang halaga;

: Halaga - kung ano ang kailangan mo.

Sagot: .

Task 2.

At muli, ang aming paboritong Vieta teorama: sa halaga ay dapat lumabas, at ang gawain ay pantay.

Ngunit dahil hindi ito dapat, ngunit, baguhin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa halaga).

Sagot: .

Task 3.

Hmm ... at kung saan ay ano?

Kinakailangang ilipat ang lahat ng mga tuntunin sa isang bahagi:

Ang halaga ng mga ugat ay pantay, ang gawain.

Kaya, huminto! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang Vieta theorem ay naaangkop lamang sa mga equation sa itaas. Kaya kailangan mo munang dalhin ang equation. Kung hindi ka nagtatrabaho, itapon ang ideyang ito at magpasya sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant). Ipaalala sa akin na dalhin ang parisukat na equation - nangangahulugan ito na gumawa ng isang senior koepisyent sa:

Mahusay. Pagkatapos ay ang halaga ng mga ugat ay pantay, at ang gawain.

Narito ito ay mas madali upang kunin ang simple: pagkatapos ng lahat, isang simpleng numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: .

Task 4.

Ang libreng miyembro ay negatibo. Ano ang espesyal sa ito? At ang katunayan na ang mga ugat ay magkakaiba ang mga palatandaan. At ngayon sa pagpili, hindi namin suriin ang halaga ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, at ang trabaho.

Kaya, ang mga ugat ay pantay at, ngunit isa sa kanila na may minus. Sinasabi sa atin ng Vieta theorem na ang halaga ng mga ugat ay katumbas ng ikalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Kaya minus ay sa isang mas maliit na ugat: at, dahil.

Sagot: .

Task 5.

Ano ang kailangang gawin muna? Tama, dalhin ang equation:

Muli: Pinipili namin ang mga multiplier ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na pantay:

Ang mga ugat ay pantay at, ngunit isa sa kanila na may minus. Ano? Ang kanilang halaga ay dapat pantay, nangangahulugan ito na ang minus ay magiging mas malaking ugat.

Sagot: .

Ako ay magbubuod:

1. Ang Vieta theorem ay ginagamit lamang sa ibinigay na mga square equation.
2. Gamit ang Vieta theorem maaari mong mahanap ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
3. Kung ang equation ay hindi ibinigay o walang angkop na pares ng mga multiplier ng isang libreng miyembro, na nangangahulugang walang mga buong ugat, at kinakailangan upang malutas ang isa pang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant).

3. paraan ng paglalaan ng isang buong parisukat

Kung ang lahat ng mga tuntunin na binubuo ng isang hindi kilalang, upang ipakita sa anyo ng mga bahagi ng dinaglat na pagpaparami ng kabuuan ng kabuuan o pagkakaiba, pagkatapos ay pagkatapos na palitan ang mga variable, ang isang equation sa anyo ng isang hindi kumpletong square equation ng uri ay maaaring kinakatawan .

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Magpasya equation :.

Desisyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Magpasya equation :.

Desisyon:

Sagot:

SA pangkalahatan Ang pagbabagong ito ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Walang nagpapaalala? Ito ang discriminant! Iyon lang, ang formula ng discriminant at nakuha.

Parisukat equation. Sandali tungkol sa pangunahing bagay

Quadratic equation.- Ito ang equation ng species, kung saan - ang hindi alam, - ang mga coefficients ng square equation, ay isang libreng miyembro.

Buong square equation. - Equation kung saan ang mga coefficients ay hindi katumbas ng zero.

Ang nabawasan na square equation. - Equation kung saan ang koepisyent, iyon ay :.

Hindi kumpletong square equation. - Equation kung saan ang koepisyent at libreng miyembro ay zero:

• kung ang koepisyent, ang equation ay:,
• kung ang isang libreng miyembro, ang equation ay may form:,
• kung, ang equation ay may form :.

1. Algorithm paglutas ng hindi kumpletong square equation.

1.1. Isang hindi kumpletong parisukat na equation ng species kung saan, ::

1) Ipahayag ang hindi alam:

2) Sinusuri ang tanda ng pagpapahayag:

• kung, ang equation ay walang mga solusyon,
• kung, ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong parisukat na equation ng species kung saan, ::

1) Ibuod ko ang pabrika para sa mga braket:

2) Ang produkto ay zero, kung hindi bababa sa isa sa mga multiplier ay zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong parisukat na equation ng species, kung saan:

Ang equation na ito ay laging may isang ugat lamang :.

2. Algorithm para sa paglutas ng mga full square equation ng species kung saan

2.1. Solusyon sa tulong ng discriminant

1) binibigyan namin ang equation sa. standard.: ,

2) Kalkulahin ang diskriminant ayon sa formula: na nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

• kung, ang equation ay may ugat na nasa formula:
• kung, ang equation ay may ugat, na sa pamamagitan ng formula:
• kung, ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang Vieta theorem

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang square equation (equation ng form, kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , ngunit.

2.3. Paglutas ng isang buong paraan ng paglalaan ng parisukat

Ang teorama ng Vieta (mas tiyak, teorama, reverse theorem ng Vieta) ay binabawasan ang oras upang malutas ang mga equation ng parisukat. Kailangan lang gamitin ito. Paano matututunan upang malutas ang mga square equation sa Vieta theorem? Ito ay madali, kung ripen kami ng kaunti.

Ngayon ay sasabihin lamang namin ang solusyon sa teorama ng Vieta ng kasalukuyang square equation. Ang naihatid na parisukat na equation ay isang equation kung saan ang isang, iyon ay, ang koepisyent sa harap ng x² ay katumbas ng isa. Maaari mo ring malutas ang mga square equation sa Vieta theorem, ngunit mayroon nang hindi bababa sa isa sa mga ugat ay hindi isang integer. Mas mahirap hulaan.

Ang teorama, ang reverse teorama ng Vieta, ay nagsabi: Kung ang mga numero x1 at x2 ay tulad na

pagkatapos x1 at x2 - ang mga ugat ng square equation

Kapag paglutas ng isang parisukat na equation sa teorama, ang Vieta ay posible lamang 4 na mga pagpipilian. Kung naaalala mo ang kurso ng pangangatuwiran, ang paghahanap ng buong ugat ay maaaring matuto nang napakabilis.

I. Kung Q ay isang positibong numero,

nangangahulugan ito na ang mga ugat ng X1 at X2 ay ang mga bilang ng parehong sign (dahil lamang ang pagpaparami ng mga numero na may parehong mga palatandaan ay isang positibong numero).

I.a. Kung -P ay isang positibong numero, (ayon sa pagkakabanggit, P.<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Kung -p ay isang negatibong numero, (ayon sa pagkakabanggit, P\u003e 0), pagkatapos ay ang parehong mga ugat ay mga negatibong numero (may mga bilang ng isang tanda, isang negatibong numero ang nakuha).

II. Kung Q ay isang negatibong numero,

nangangahulugan ito na ang mga ugat ng X1 at X2 ay may iba't ibang mga palatandaan (na may multiplikasyon ng mga numero ng negatibong numero ay nakuha lamang sa kaso kapag may iba't ibang mga palatandaan mula sa multiplier). Sa kasong ito, ang X1 + X2 ay hindi na ang halaga, ngunit sa pamamagitan ng pagkakaiba (dahil kapag nagdadagdag ng mga numero iba't ibang mga palatandaan Babawasan namin ang mas maliit kaysa sa isang mas maliit na module). Samakatuwid, ang x1 + x2 ay nagpapakita kung magkano ang mga ugat ng x1 at x2 ay iba, ibig sabihin, kung magkano ang isang ugat ay mas malaki kaysa sa iba pang (sa pamamagitan ng module).

Ii.a. Kung -P ay isang positibong numero, (I.e. P.<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

Ii.b. Kung -p ay isang negatibong numero, (P\u003e 0), ang mas malaki (module) root ay isang negatibong numero.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga square equation sa Vieta theorem sa mga halimbawa.

Lutasin ang pinababang square equation sa Vieta theorem:

Narito q \u003d 12\u003e 0, kaya ang mga ugat ng x1 at x2 ay ang mga bilang ng isang tanda. Ang kanilang halaga ay -p \u003d 7\u003e 0, kaya ang parehong mga ugat ay positibong numero. Pinili namin ang mga integer na ang produkto ay 12. Ito ay 1 at 12, 2 at 6, 3 at 4. Ang halaga ay 7 sa pares 3 at 4. Kaya, 3 at 4 ang mga ugat ng equation.

Sa halimbawang ito, q \u003d 16\u003e 0, nangangahulugan ito na ang mga ugat ay x1 at x2 - ang bilang ng isang tanda. Ang kanilang halaga ay -p \u003d -10.<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Dito q \u003d -15.<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, ang mas mahabang bilang ay positibo. Kaya, ang mga ugat ay 5 at -3.

q \u003d -36.<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Ang Vieta theorem ay kadalasang ginagamit upang suriin ang mga ugat na natagpuan. Kung nakakita ka ng mga ugat, maaari mong gamitin ang mga formula (\\ simulan (mga kaso) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (mga kaso) \\) kalkulahin ang mga halaga \\ (p \\) at \\ (\\). At kung sila ay nakuha sa pamamagitan ng parehong tulad ng sa source equation - nangangahulugan ito na ang mga ugat ay natagpuan ng tama.

Halimbawa, ipaalam sa amin, gamit, lutasin ang equation \\ (x ^ 2 + x-56 \u003d 0 \\) at ang mga ugat ay nakuha: \\ (x_1 \u003d 7 \\), \\ (x_2 \u003d -8 \\). Suriin kung hindi kami nagkakamali sa proseso ng paglutas. Sa aming kaso \\ (p \u003d 1 \\), at \\ (q \u003d -56 \\). Sa pamamagitan ng Viet's theorem, mayroon kami:

\\ (Magsimula (mga kaso) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (mga kaso) \\ (\\ leftrightArrow \\) \\ (\\ simulan (mga kaso) 7 + (- 8) \u003d - 1 \\\\ 7 \\ cdot (-8) \u003d - 56 \\ end (mga kaso) \\ (\\ leftrightArrow \\) \\ (\\ simulan (mga kaso) -1 \u003d -1 \\\\ - 56 \u003d -56 \\ end (mga kaso) \\)

Sumang-ayon ang parehong mga pahayag, nangangahulugan ito na nalutas namin nang tama ang equation.

Ang ganitong tseke ay maaaring isagawa nang pasalita. Kakailanganin ng 5 segundo at pinapanatili ka mula sa mga nakakatakot na pagkakamali.

Reverse Vieta theorem.

Kung \\ (magsimula (mga kaso) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (mga kaso) \\), pagkatapos ay \\ (x_1 \\) at \\ (x_2 \\) - ang mga ugat ng square equation \\ (x ^ 2 + px + q \u003d 0 \\).

O sa isang simpleng paraan: Kung mayroon kang isang view equation \\ (x ^ 2 + px + q \u003d 0 \\), pagkatapos ay paglutas ng system \\ (\\ simulan (mga kaso) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q end (mga kaso) \\) makikita mo ang mga ugat nito.

Dahil sa teorama na ito, maaari mong mabilis na kunin ang mga ugat ng square equation, lalo na kung ang mga ugat na ito. Ang kasanayang ito ay mahalaga, dahil ito ay nagse-save ng maraming oras.

Halimbawa . Lutasin ang equation \\ (x ^ 2-5x + 6 \u003d 0 \\).

Desisyon : Gamit ang reverse teorama ng kanluran, makuha namin na ang mga ugat ay nagbibigay kasiyahan sa mga kondisyon: \\ (\\ simulan (mga kaso) x_1 + x_2 \u003d 5 \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d 6 \\ end (mga kaso) \\).
Tingnan ang pangalawang equation ng system \\ (x_1 \\ cdot x_2 \u003d 6 \\). Ano ang dalawang maaari mong mabulok ang numero \\ (6 \\)? Sa \\ (2 \\) at \\ (3 \\), \\ (6 \\) at \\ (1 \\) o \\ (- 2 \\) at \\ (- 3 \\), at \\ (- 6 \\) at \\ (- isa \\). At anong pares ang pipiliin, ang unang equation ng system ay mag-prompt: \\ (x_1 + x_2 \u003d 5 \\). Side \\ (2 \\) at \\ (3 \\), dahil \\ (2 + 3 \u003d 5 \\).
Sagot. : \\ (x_1 \u003d 2 \\), \\ (x_2 \u003d 3 \\).

Mga halimbawa . Gamit ang teorama, reverse theorem ng Vieta, hanapin ang mga ugat ng square equation:
a) \\ (x ^ 2-15x + 14 \u003d 0 \\); b) \\ (x ^ 2 + 3x-4 \u003d 0 \\); c) \\ (x ^ 2 + 9x + 20 \u003d 0 \\); d) \\ (x ^ 2-88x + 780 \u003d 0 \\).

Desisyon :
a) \\ (x ^ 2-15x + 14 \u003d 0 \\) - Sa anong mga pagkakamali ay nalalanta \\ (14 \\)? (2 \\) at \\ (7 \\), \\ (- 2 \\) at \\ (- 7 \\), \\ (- 1 \\) at \\ (- 14 \\), \\ (1 \\) at \\ (14 \\ ). Anong mga pares ng mga numero sa halaga ang magbibigay sa \\ (15 \\)? Sagot: \\ (1 \\) at \\ (14 \\).

b) \\ (x ^ 2 + 3x-4 \u003d 0 \\) - Sa anong mga dahilan ang paglalahad \\ (- 4 \\)? (- 2 \\) at \\ (2 \\), \\ (4 \\) at \\ (- 1 \\), \\ (1 \\) at \\ (- 4 \\). Anong mga pares ng mga numero sa halaga ang magbibigay sa \\ (- 3 \\)? Sagot: \\ (1 \\) at \\ (- 4 \\).

c) \\ (x ^ 2 + 9x + 20 \u003d 0 \\) - Sa anong mga pagkakamali ay nalalanta \\ (20 \\)? (4 \\) at \\ (5 \\), \\ (- 4 \\) at \\ (- 5 \\), \\ (2 \\) at \\ (10 \u200b\u200b\\), \\ (- 2 \\) at \\ (- 10 \\), \\ (- 20 \\) at \\ (- 1 \\), \\ (20 \\) at \\ (1 \\). Anong mga pares ng mga numero sa halaga ang magbibigay \\ (- 9 \\)? Sagot: \\ (- 4 \\) at \\ (- 5 \\).

d) \\ (x ^ 2-88x + 780 \u003d 0 \\) - kung saan ang mga kadahilanan ay lumabas (780 \\)? \\ (390 \\) at \\ (2 \\). Nagbigay ba sila ng \\ (88 \\)? Hindi. Aling mga kadahilanan ang may \\ (780 \\)? (78 \\) at \\ (10 \u200b\u200b\\). Nagbigay ba sila ng \\ (88 \\)? Oo. Sagot: \\ (78 \\) at \\ (10 \u200b\u200b\\).

Opsyonal, ang huling termino ay nakalagay sa lahat ng posibleng multiplier (tulad ng sa huling halimbawa). Maaari mong agad na suriin kung ang kanilang kabuuan \\ (- p \\).

Mahalaga! Ang Vieta theorem at ang reverse theorem ay gumagana lamang c, iyon ay, kung saan ang koepisyent bago \\ (x ^ 2 \\) ay katumbas ng isa. Kung hindi namin binigyan ang equation, maaari naming gawin ito sa pamamagitan lamang ng paghihiwalay sa koepisyent na nakaharap \\ (x ^ 2 \\).

Halimbawa, Hayaan ang equation \\ (2x ^ 2-4x-6 \u003d 0 \\) at gusto naming samantalahin ang isa sa mga Vieta theorems. Ngunit hindi namin maaaring, dahil ang koepisyent bago \\ (x ^ 2 \\) ay katumbas ng \\ (2 \\). Alisin ito, paghahati sa buong equation sa \\ (2 \\).

\\ (2x ^ 2-4x-6 \u003d 0 \\) \\ (|: 2 \\)
\\ (x ^ 2-2x-3 \u003d 0 \\)

Handa na. Ngayon ay maaari mong gamitin ang parehong theorems.

Mga sagot sa mga madalas itanong

Tanong: Sa Vieta theorem, maaari mong malutas ang anumang?
Sagot: Sa kasamaang palad hindi. Kung ang equation ay hindi integer o ang equation ay walang mga ugat sa lahat, ang Vieta theorem ay hindi makakatulong. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin discriminant . Sa kabutihang palad, 80% ng mga equation sa kurso ng paaralan ng matematika ay may mga solusyon.