Ang degree ay ginagamit upang gawing simple ang pag-record ng pagpaparami ng bilang ng kanilang sarili. Halimbawa, sa halip na mag-record maaari mong isulat. 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5)) (Ang isang paliwanag ng paglipat na ito ay ibinigay sa unang bahagi ng artikulong ito). Pinapayagan ka ng degree na gawing simple ang pagsusulat ng mahaba o kumplikadong mga expression o equation; Gayundin, ang mga degree ay madaling nakatiklop at binabawasan, na humahantong sa isang pagpapadali ng pagpapahayag o equation (halimbawa, 4 2 * 4 3 \u003d 4 5 (/ DisplayStyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Tandaan: Kung kailangan mo upang malutas ang nagpapahiwatig equation (sa equation na ito, ang hindi alam ay nasa isang tagapagpahiwatig ng degree), basahin.

Mga hakbang

Solusyon ng pinakasimpleng gawain na may degree.

Multiply ang pundasyon ng antas mismo sa bilang ng mga oras na katumbas ng indicator. Kung kailangan mong malutas ang gawain nang manu-mano nang manu-mano, muling isulat ang antas sa anyo ng operasyon ng multiplikasyon, kung saan ang pundasyon ng antas ay pinarami mismo. Halimbawa, binigyan ng degree 3 4 (DisplayStyle 3 ^ (4)). Sa kasong ito, ang base ng degree 3 ay dapat na multiplied mismo 4 beses: 3 * 3 * 3 * 3 (\\ displayStyle 3 * 3 * 3 * 3). Narito ang iba pang mga halimbawa:

Upang magsimula, i-multiply ang unang dalawang numero. Halimbawa, 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (displayStyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Huwag mag-alala - ang proseso ng pagkalkula ay hindi kumplikado na tila sa unang sulyap. Una, multiply ang unang dalawang apat, at pagkatapos ay palitan ang mga ito sa resulta. Ganito:

• 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\\ displayStyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (\\ displayStyle 4 * 4 \u003d 16)

1. Multiply ang resulta (sa aming halimbawa 16) hanggang sa susunod na numero. Ang bawat kasunod na resulta ay tataas sa proporsyon sa. Sa aming halimbawa, multiply 16 sa 4. Kaya:

   • 4 5 \u003d 16 * 4 * 4 * 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 * 4 \u003d 64 (\\ displayStyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 * 4 * 4 (\\ displayStyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 * 4 \u003d 256 (\\ displayStyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 * 4 (\\ displayStyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 * 4 \u003d 1024 (\\ displayStyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Patuloy na i-multiply ang resulta ng pagpaparami ng unang dalawang numero sa susunod na numero hanggang matanggap mo ang pangwakas na sagot. Upang gawin ito, baguhin ang unang dalawang numero, at pagkatapos ay ang resulta ay pinarami ng susunod na numero sa pagkakasunud-sunod. Ang pamamaraan na ito ay may bisa para sa anumang antas. Sa aming halimbawa dapat mong makuha ang: 4 5 \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024 (\\ displayStyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. Magpasya ang mga sumusunod na gawain. Suriin ang sagot gamit ang calculator.

   • 8 2 (/ DisplayStyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (DisplayStyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (DisplayStyle 10 ^ (7))

3. Sa calculator, hanapin ang susi na ipinahiwatig bilang "EXP", o " x n (\\ displayStyle x ^ (n))", O" ^ ". Gamit ang key na ito, itataas mo ang numero sa antas. Kalkulahin ang lawak sa isang malaking tagapagpahiwatig manu-manong imposible (halimbawa, degree 9 15 (/ DisplayStyle 9 ^ (15))), Ngunit ang calculator ay madaling makayanan ang gawaing ito. Sa Windows 7, ang karaniwang calculator ay maaaring ilipat sa mode ng engineering; Upang gawin ito, i-click ang "Tingnan" -\u003e "Engineering". Upang lumipat sa normal na mode, i-click ang "Tingnan" -\u003e "normal".

   • Suriin ang tugon sa tulong search engine (Google o Yandex). Gamit ang "^" key sa keyboard ng computer, ipasok ang search engine expression, na agad na nagpapakita ng tamang sagot (at maaaring mag-alok ng katulad na mga expression upang mag-aral).

   Karagdagan, pagbabawas, pagpaparami ng degrees.

   1. Maaari kang magdagdag at deduct degrees lamang kung mayroon silang parehong mga base. Kung kailangan mong magdagdag ng mga degree na may parehong mga base at tagapagpahiwatig, maaari mong palitan ang pagpapatakbo ng pagdaragdag ng pagpaparami. Halimbawa, ang pagpapahayag ay ibinigay 4 5 + 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Tandaan na ang antas 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5)) maaaring katawanin bilang. 1 * 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); sa ganitong paraan, 4 5 + 4 5 \u003d 1 * 4 5 + 1 * 4 5 \u003d 2 * 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (kung saan 1 +1 \u003d 2). Iyon ay, isaalang-alang ang bilang ng mga katulad na degree, at pagkatapos ay multiply tulad ng isang degree at ito ay ang numero. Sa aming halimbawa, bumuo ng 4 sa ikalimang antas, at pagkatapos ay ang resultang resulta multiply sa pamamagitan ng 2. Tandaan na ang karagdagan operasyon ay maaaring mapalitan ng pagpapatakbo ng multiplikasyon, halimbawa, 3 + 3 \u003d 2 * 3 (\\ displayStyle 3 + 3 \u003d 2 * 3). Narito ang iba pang mga halimbawa:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 * 3 2 (DisplayStyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 * 4 5 (DisplayStyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ displayStyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. Kapag multiply degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nakatiklop (ang base ay hindi nagbabago). Halimbawa, ang pagpapahayag ay ibinigay x 2 * x 5 (\\ displayStyle x ^ (2) * x ^ (5). Sa kasong ito, kailangan mo lamang tiklop ang mga tagapagpahiwatig, na iniiwan ang batayan na hindi nabago. Sa ganitong paraan, x 2 * x 5 \u003d x 7 (\\ displayStyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7). Narito ang isang visual na paliwanag ng panuntunang ito:

      Kapag nagtatayo ng isang degree, ang mga tagapagpahiwatig ay pinarami. Halimbawa, binigyan ng degree. Dahil ang mga tagapagpahiwatig ng degree ay variable, pagkatapos (x 2) 5 \u003d x 2 * 5 \u003d x 10 (\\ displayStyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10)). Ang kahulugan ng panuntunang ito ay na multiply mo ang antas (x 2) (\\ displayStyle (x ^ (2))) Sarili para sa kanyang sarili limang beses. Ganito:

      • (x 2) 5 (\\ displayStyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\\ displayStyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2)
      • Dahil ang base ay pareho, ang mga tagapagpahiwatig ng antas ay idagdag lamang: (x 2) 5 \u003d x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 \u003d x 10 (\\ displayStyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Ang antas na may negatibong tagapagpahiwatig ay dapat na convert sa isang bahagi (sa kabaligtaran degree). Hindi problema, kung hindi mo alam kung ano ang return degree. Kung bibigyan ka ng degree na may negatibong tagapagpahiwatig, halimbawa, 3 - 2 (\\ displayStyle 3 ^ (- 2)), Isulat ang degree na ito sa pantalon denominator (sa numerator, lugar 1), at gawin ang positibong tagapagpahiwatig. Sa aming halimbawa: 1 3 2 (\\ displayStyle (\\ frac (1) (3 ^ (2)))). Narito ang iba pang mga halimbawa:

      Kapag naghahati degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay ibabawas (ang batayan ay hindi nagbabago). Ang operasyon ng dibisyon ay ang kabaligtaran ng operasyon ng multiplikasyon. Halimbawa, ang pagpapahayag ay ibinigay 4 4 4 2 (displayStyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))). Tanggalin ang degree sa denamineytor, mula sa tagapagpahiwatig ng antas na nakaharap sa numerator (huwag baguhin ang base). Sa ganitong paraan, 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ displayStyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Ang antas na nakaharap sa denamineytor ay maaaring nakasulat sa form na ito: 1 4 2 (displaystyle (\\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\\ displayStyle 4 ^ (- 2)). Tandaan na ang fraction ay isang numero (degree, expression) na may negatibong tagapagpahiwatig ng degree.

   4. Nasa ibaba ang ilang mga expression na makakatulong sa iyo na matuto upang malutas ang mga gawain sa degree. Sinasaklaw ng mga expression na ito ang materyal na itinakda sa seksyon na ito. Upang makita ang sagot, i-highlight lamang ang walang laman na espasyo pagkatapos ng pag-sign ng pagkakapantay-pantay.

   Paglutas ng mga gawain na may mga fractional indicator.

   Ang antas na may fractional indicator (halimbawa,) ay na-convert sa pagpapatakbo ng root extraction. Sa aming halimbawa: x 1 2 (\\ displayStyle x ^ (\\ frac (1) (2))) = X (\\ displayStyle (\\ sqrt (x))). Hindi mahalaga kung anong numero ang nasa denominador ng fractional indicator. Halimbawa, x 1 4 (\\ displayStyle x ^ (\\ frac (1) (4))) - Ito ang ugat ng ikaapat na antas mula sa "X", iyon ay x 4 (\\ displayStyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Kung ang tagapagpahiwatig ng antas ay irregular fraction., pagkatapos ay ang isang degree ay maaaring decomposed para sa dalawang degree upang gawing simple ang solusyon ng problema. Walang kumplikado sa ito - tandaan lamang ang panuntunan ng multiplikasyon sa pamamagitan ng degree. Halimbawa, binigyan ng degree. Lumiko tulad ng isang degree sa ugat, ang antas ng kung saan ay katumbas ng protruser ng fractional indicator, at pagkatapos ay gawin ang ugat na ito sa degree na katumbas ng numerator ng fractional indicator. Upang gawin ito, tandaan na 5 3 (displayStyle (\\ frac (5) (3))) = (1 3) * 5 (\\ displayStyle ((\\ frac (1) (3))) * 5). Sa aming halimbawa:

      • x 5 3 (\\ displayStyle x ^ (\\ frac (5) (3)))
      • x 1 3 \u003d x 3 (\\ displayStyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      • x 5 3 \u003d x 5 * x 1 3 (\\ displayStyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\\ displayStyle ((\\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Sa ilang mga calculators mayroong isang pindutan upang kalkulahin ang degree (kailangan mo munang pumasok sa base, pagkatapos ay pindutin ang pindutan, at pagkatapos ay ipasok ang tagapagpahiwatig). Ito ay tinutukoy bilang ^ o x ^ y.
   3. Tandaan na ang anumang numero sa unang antas ng pantay sa sarili nito, halimbawa, 4 1 \u003d 4. (DisplayStyle 4 ^ (1) \u003d 4.) Bukod dito, ang anumang numero na pinarami o hinati ng isa ay katumbas ng sarili nito, halimbawa, 5 * 1 \u003d 5 (\\ displayStyle 5 * 1 \u003d 5) at 5/1 \u003d 5 (\\ displayStyle 5/1 \u003d 5).
   4. Alam na ang degrees 0 0 ay hindi umiiral (tulad ng isang degree ay walang solusyon). Kapag sinubukan mong malutas ang naturang degree sa calculator o sa computer makakakuha ka ng isang error. Ngunit tandaan na ang anumang numero sa zero degree ay 1, halimbawa, 4 0 \u003d 1. (\\ displayStyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. Sa pinakamataas na matematika, na nagpapatakbo ng mga haka-haka na numero: e a i x \u003d c o s a x + i s i n a x (\\ displaystyle e ^ (a) ix \u003d cosax + isinax)Saan i \u003d (- 1) (\\ displayStyle i \u003d (\\ sqrt (()) - 1)); e - pare-pareho, humigit-kumulang katumbas ng 2.7; A - arbitrary pare-pareho. Ang patunay ng pagkakapantay-pantay na ito ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin sa mas mataas na matematika.

   Mga babala

   • Gamit ang isang pagtaas sa tagapagpahiwatig ng degree, ang halaga nito ay nagdaragdag magkano. Samakatuwid, kung ang sagot ay tila mali sa iyo, sa katunayan siya ay maaaring maging tapat. Maaari mong suriin ito sa pamamagitan ng pagbuo ng isang iskedyul ng anumang indicative function., halimbawa, 2 x.

Aralin at pagtatanghal sa paksa: "Degree na may negatibong tagapagpahiwatig. Kahulugan at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema"

Karagdagang mga materyales
Mahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, mga review, kagustuhan. Ang lahat ng mga materyales ay naka-check sa pamamagitan ng antivirus program.

Mga manwal sa pagsasanay at simulators sa online na tindahan na "integral" para sa grade 8
Manwal sa aklat-aralin ng Maravina G.K. Aelimov Textbook Manual Sh.A.

Pagpapasiya ng isang degree na may negatibong tagapagpahiwatig

Guys, kami ay mahusay na ma-erect ang numero sa isang degree.
Halimbawa: $ 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 \u003d $ 16 $ ((- 3)) ^ 3 \u003d (- 3) * (- 3) * (- 3) \u003d $ 27.

Alam namin na ang anumang numero sa isang zero degree ay nagkakaisa. $ a ^ 0 \u003d 1 $, $ a ≠ $ 0.
Ang tanong ay arises, at ano ang mangyayari kung bumuo tayo ng isang numero sa isang negatibong antas? Halimbawa, ano ang magiging bilang ng $ 2 ^ (- 2) $?
Ang unang mathematicians na itinakda ng isyung ito ay nagpasya na ito ay hindi nagkakahalaga upang lumikha ng isang bisikleta, at ito ay mabuti na ang lahat ng mga katangian ng degree ay mananatiling pareho. Iyon ay, sa pagpaparami ng mga degree na may parehong base, ang mga tagapagpahiwatig ng degree ay nakatiklop.
Isaalang-alang natin ang gayong kaso: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) \u003d 2 ^ (3-3) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
Natanggap na ang gawain ng naturang mga numero ay dapat magbigay ng isang yunit. Ang yunit sa trabaho ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga kabaligtaran na numero, iyon ay, $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) $.

Ang ganitong pangangatwiran ay humantong sa sumusunod na kahulugan.
Kahulugan. Kung ang $ N $ ay isang likas na numero at $ a ≠ 0 $, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay ay ginaganap: $ a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) $.

Isang mahalagang pagkakakilanlan na kadalasang ginagamit: $ (\\ frac (a) (b)) ^ (- n) \u003d (\\ frac (b) (a)) ^ n $.
Sa partikular, $ (\\ frac (1) (a)) ^ (- n) \u003d A ^ n $.

Mga halimbawa ng mga solusyon

Halimbawa 1.
Kalkulahin: $ 2 ^ (- 3) + (\\ frac (2) (5)) ^ (- 2) -8 ^ (- 1) $.

Desisyon.
Isaalang-alang ang bawat pagsunod nang hiwalay.
1. $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2 * 2 * 2) \u003d \\ frac (1) (8) $.
2. $ (\\ frac (2) (5)) ^ (- 2) \u003d (\\ frac (5) (2)) ^ 2 \u003d \\ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (8) $.
Ito ay nananatiling upang magsagawa ng mga operasyon ng karagdagan at pagbabawas: $ \\ frac (1) (8) + \\ frac (25) (4) - \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (25) (4) \u003d 6 \\ frac ( 1) (4) $.
Sagot: $ 6 \\ frac (1) (4) $.

Halimbawa 2.
Ipakita ang isang tinukoy na numero sa anyo ng degree. simpleng numero $ \\ Frac (1) (729) $.

Desisyon.
Malinaw na, $ \\ frac (1) (729) \u003d 729 ^ (- 1) $.
Ngunit 729 ay hindi isang simpleng numero na nagtatapos sa 9. Maaari itong ipagpalagay na ang numerong ito ay ang antas ng triple. Sunud-sunod na hatiin ang 729 hanggang 3.
1) $ \\ frac (729) (3) \u003d $ 243;
2) $ \\ frac (243) (3) \u003d 81 $;
3) $ \\ frac (81) (3) \u003d 27 $;
4) $ \\ frac (27) (3) \u003d 9 $;
5) $ \\ frac (9) (3) \u003d $ 3;
6) $ \\ frac (3) (3) \u003d 1 $.
Ang anim na operasyon ay ginaganap at ito ay nangangahulugang: $ 729 \u003d 3 ^ $ 6.
Para sa aming gawain:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Sagot: $ 3 ^ (- 6) $.

Halimbawa 3. Maghanda ng isang expression sa anyo ng degree: $ \\ frac (A ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * A ^ 8) ^ (- 1)) $.
Desisyon. Ang unang aksyon ay laging ginagawa sa loob ng mga bracket, pagkatapos ay ang pagpaparami ng $ \\ frac (A ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * A ^ 8) ^ (- 1 )) \u003d \\ Frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (a ^ ((- 4))) (A ^ ((- 5) )) \u003d A ^ (-4 - (- 5)) \u003d A ^ (- 4 + 5) \u003d isang $.
Sagot: $ a $.

Halimbawa 4. Patunayan ang pagkakakilanlan:
$ (\\ Frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.

Desisyon.
Sa kaliwang bahagi, isaalang-alang ang bawat pabrika sa mga bracket nang hiwalay.
1. $ \\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \\ frac (y) (x)) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \\ Frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \\ frac (y) (x) + \\ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + Y ^ 2) (x + 2y + \\ frac (y ^ 2) (x)) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x )) \u003d \\ Frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (1) (x ^ 2) + \\ frac (1) (y ^ 2))) (x (\\ frac (x) (y) + \\ frac (y) (x))) \u003d \\ frac (\\ Frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\\ frac (x ^ 2) (y) + y) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\\ Frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) \u003d \\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \\ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) \u003d \\ Frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \\ frac (y) (x ^ 2) \u003d \\ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Binabaling namin ang fraction na ibinabahagi namin.
$ \\ Frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) \u003d \\ frac (1- \\ frac (y) (x)) (\\ frac (x) (y) +1 ) \u003d \\ Frac (\\ frac (xy) (x)) (\\ frac (x + y) (y)) \u003d \\ frac (xy) (x) * \\ frac (y) (x + y) \u003d \\ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Magsagawa ng dibisyon.
$ \\ Frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \\ frac (y (xy)) (x (x + y)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \\ frac (x (x + y)) (y (xy)) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.
Nakatanggap ng isang tunay na pagkakakilanlan, na kinakailangan upang patunayan.

Sa pagtatapos ng aralin, muli naming isulat ang mga patakaran ng pagkilos na may degree, dito ang tagapagpahiwatig ay isang integer.
$ a ^ s * a ^ t \u003d a ^ (s + t) $.
$ \\ Frac (a ^ s) (a ^ t) \u003d a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t \u003d a ^ (st) $.
$ (AB) ^ s \u003d a ^ s * b ^ s $.
$ (\\ Frac (a) (b)) ^ s \u003d \\ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Mga Gawain para sa Self Solutions.

1. Kalkulahin: $ 3 ^ (- 2) + (\\ frac (3) (4)) ^ (- 3) +9 ^ (- 1) $.
2. kumakatawan sa isang tinukoy na numero sa anyo ng isang simpleng bilang ng $ \\ frac (1) (16384) $.
3. Maghanda ng isang expression sa anyo ng isang degree:
$ \\ Frac (b ^ (- 8) * (b ^ 3) ^ (- 4)) ((b ^ 2 * b ^ (- 7)) ^ 3) $.
4. Patunayan ang pagkakakilanlan:
$ (\\ Frac (b ^ (- m) -c ^ (- m)) (b ^ (- m) + c ^ (- m)) + \\ frac (b ^ (- m) + c ^ (- m )) (C ^ (- m) -b ^ (- m))) \u003d \\ frac (4) (b ^ mc ^ (- m) -b ^ (- m) c ^ m) $.

Ang ehersisyo ay isang operasyon, malapit na nauugnay sa pagpaparami, ang operasyon na ito ay ang resulta ng isang maramihang pagpaparami ng anumang numero sa sarili nito. Ipapalabas ko ang formula: A1 * A2 * ... * an \u003d an.

Halimbawa, a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.

Sa pangkalahatan, ang eksibisyon ay kadalasang ginagamit sa iba't ibang mga formula sa matematika at pisika. Ang tampok na ito ay may higit na pang-agham na patutunguhan kaysa apat na pangunahing: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, dibisyon.

Paninigas

Ang pagtayo ng bilang ay hindi kumplikado. Ito ay nauugnay sa pagpaparami katulad ng pagpaparami at karagdagan. Ang pagtatala ng isang ay isang buod ng n-ika, ang bilang ng mga numero na "isang" na pinarami ng bawat isa.

Isaalang-alang ang ehersisyo sa degree. mga simpleng halimbawa, paglipat sa complex.

Halimbawa, 42. 42 \u003d 4 * 4 \u003d 16. Apat na squared (pangalawang degree) ay labing-anim. Kung hindi mo maintindihan ang pagpaparami ng 4 * 4, pagkatapos ay basahin ang aming upang maging tungkol sa pagpaparami.

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Limang sa Cuba (sa ikatlong antas) ay katumbas ng isang daan at dalawampu't lima.

Isa pang halimbawa: 9 ^ 3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Siyam sa Cuba ay katumbas ng pitong daan-dalawampu't siyam.

Formula.

Upang mabilis na magtayo hanggang sa lawak, kailangan mong tandaan at malaman ang mga formula na nakalista sa ibaba. Walang anuman sa natural, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang kakanyahan at pagkatapos ay hindi lamang sila maaalala, ngunit tila sila ay liwanag.

Erecting.

Ano ang kumakatawan sa iyong sarili? Ito ay isang produkto ng mga numero at mga variable sa anumang dami. Halimbawa, dalawa - unrochene. At ito ang paninigas ng naturang mga unibersidad sa artikulong ito.

Sinasamantala ang mga formula para sa ehersisyo upang kalkulahin ang pagtatayo ng unibersal sa antas ay hindi magiging mahirap.

Halimbawa, (3x ^ 2y ^ 3) ^ 2 \u003d 3 ^ 2 * x ^ 2 * 2 * y ^ (3 * 2) \u003d 9x ^ 4y ^ 6; Kung ito ay walang ginagawa sa degree, ang bawat composite ay hindi nakuha sa antas.

Madali sa degree variable na may isang degree, ang degree ay pinarami. Halimbawa, (x ^ 2) ^ 3 \u003d x ^ (2 * 3) \u003d x ^ 6;

Negatibo

Negatibong degree - ang kabaligtaran na numero. Ano ang kabaligtaran na numero? Anumang numero x reverse ay magiging 1 / x. Iyon ay, x-1 \u003d 1 / x. Ito ang kakanyahan ng negatibong antas.

Isaalang-alang ang isang halimbawa (3Y) ^ - 3:

(3Y) ^ - 3 \u003d 1 / (27y ^ 3).

Bakit iyon? Tulad ng isang minus hanggang sa lawak, pagkatapos ay inilipat lamang sa denamineytor ang expression na itoAt pagkatapos ay itinayo sa kanyang ikatlong antas. Tama lang?

Cross-degree.

Simulan natin na isaalang-alang ang isyu sa. tiyak na halimbawa. 43/2. Ano ang degree 3/2? 3 - Ang numerator, ay nangangahulugang ang pagtayo ng bilang (sa kasong ito 4) sa kubo. Ang numero 2 ay ang denamineytor, ito ay ang pagkuha ng ugat ng ikalawang antas mula sa (sa kasong ito 4).

Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang parisukat na ugat ng 43 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8. Sagot: 8.

Kaya, ang denominador ng fractional degree ay maaaring, parehong 3 at 4 at sa kawalang-hanggan sa anumang numero at ang numerong ito ay tumutukoy sa antas square root.extracting mula sa isang ibinigay na numero. Siyempre, ang denamineytor ay hindi maaaring maging zero.

Mabilis na ugat

Kung ang ugat ay itinayo sa isang degree na katumbas ng antas ng ugat mismo, pagkatapos ay ang sagot ay isang pagpapalabas ng pagpapakain. Halimbawa, (√h) 2 \u003d x. At kaya sa anumang kaso pagkakapantay-pantay ng antas ng ugat at ang antas ng pagtatayo ng ugat.

Kung (√x) ^ 4. Na (√x) ^ 4 \u003d x ^ 2. Upang suriin ang desisyon transfer ang expression sa expression na may isang fractional degree. Dahil ang ugat ay parisukat, ang denamineytor ay 2. At kung ang ugat ay itinayo sa ikaapat na antas, pagkatapos ay ang numerator 4. Makukuha namin ang 4/2 \u003d 2. Sagot: x \u003d 2.

Anyway. ang pinakamahusay na paraan Ilipat lamang ang expression sa expression na may isang fractional degree. Kung ang fraction ay hindi pag-urong, pagkatapos ay ang sagot na ito at magiging, kung ang ugat ng tinukoy na numero ay hindi inilalaan.

Consturbation sa degree ng integrated number.

Ano ang isang komprehensibong numero? Ang isang komplikadong numero ay isang expression na may formula A + b * i; A, B - wastong mga numero. Ako - ang bilang na ang numero -1 ay nagbibigay sa parisukat.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. (2 + 3i) ^ 2.

(2 + 3i) ^ 2 \u003d 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 \u003d 4 + 12i ^ -9 \u003d -5 + 12i.

Mag-sign up para sa kurso "Palakasin ang oral account, hindi kaisipan aritmetika" upang malaman kung paano mabilis at tama fold, ibawas, multiply, hatiin, magtayo ng mga numero sa isang parisukat at kahit na kunin ang mga ugat. Sa loob ng 30 araw, matututunan mo kung paano gamitin ang madaling mga diskarte upang gawing simple ang mga operasyon ng aritmetika. Sa bawat aralin, mga bagong diskarte, maliwanag na mga halimbawa at kapaki-pakinabang na mga gawain.

Online

Sa tulong ng aming calculator, maaari mong kalkulahin ang pagtayo ng numero sa degree:

Grade 7.

Ang ehersisyo ay nagsisimula upang pumasa lamang sa mga schoolchildren sa ikapitong grado.

Ang ehersisyo ay isang operasyon, malapit na nauugnay sa pagpaparami, ang operasyon na ito ay ang resulta ng isang maramihang pagpaparami ng anumang numero sa sarili nito. Ipapalabas ko ang formula: A1 * A2 * ... * an \u003d an.

Halimbawa, a \u003d 2, n \u003d 3: 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.

Mga halimbawa para sa paglutas:

Pagtatanghal

Pagtatanghal sa ehersisyo hanggang sa kinakalkula sa ikapitong graders. Ang pagtatanghal ay maaaring linawin ang ilang mga hindi maunawaan na sandali, ngunit marahil ay walang mga sandaling sandali salamat sa aming artikulo.

Kinalabasan

Sinuri lamang namin ang tuktok ng malaking bato ng yelo upang maunawaan ang mas mahusay na matematika - Mag-sign up para sa aming kurso: Palakasin ang oral account ay hindi isang mental arithmetic.

Mula sa kurso hindi mo lamang makilala ang mga dose-dosenang mga diskarte para sa pinasimple at mabilis na pagpaparami, karagdagan, pagpaparami, dibisyon, pagkalkula ng interes, ngunit gumagana din ang mga ito sa mga espesyal na gawain at pang-edukasyon na mga laro! Ang oral account ay nangangailangan din ng maraming pansin at konsentrasyon na aktibong sinanay sa paglutas ng mga kagiliw-giliw na gawain.

Ang bilang na itinayo sa antas Tumawag tulad ng isang numero na multiplied mismo ilang beses.

Antas ng isang numero na may negatibong halaga (A - n) Maaari itong matukoy sa pagkakahawig ng kung paano ang antas ng parehong numero na may positibong tagapagpahiwatig ay tinutukoy. (a n) . Gayunpaman, nangangailangan din ito ng karagdagang kahulugan. Ang formula na ito ay tinukoy bilang:

a - N. \u003d (1 / a n)

Ang mga katangian ng mga negatibong halaga ng grado ng mga numero ay katulad ng degree na may positibong tagapagpahiwatig. Nagpakita ng equation a. m / a n \u003d isang M-N. maaaring maging patas na

« Wala kahit saan, tulad ng sa matematika, ang kaliwanagan at ang katumpakan ng output ay hindi pinapayagan ang isang tao na alisin ang takip mula sa tugon sa paligid ng tanong».

A. D. Alexandrov.

para sa n. higit pa m. At kailan m. higit pa n. . Isaalang-alang ang halimbawa: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Upang magsimula sa, ito ay kinakailangan upang matukoy ang numero na kumikilos ng mga kahulugan. b \u003d a (-n) . Sa halimbawang ito -N. ay isang tagapagpahiwatig ng degree. b. - Ang nais na numerong halaga a. - ang pundasyon ng degree sa anyo ng natural numerical value.. Pagkatapos ay tukuyin ang modyul, iyon ay, ang absolute value ng negatibong numero, na kumikilos bilang tagapagpahiwatig ng antas. Kalkulahin ang antas ng bilang ng mga kamag-anak na ganap na numero, bilang tagapagpahiwatig. Ang halaga ng degree ay naghahati sa yunit sa resultang numero.

Larawan. One.

Isaalang-alang ang antas ng numero na may negatibong fractional indicator. Isipin na ang numero ay anumang positibong numero, ang numero n. at m. - integers.. Ayon sa kahulugan a. na kung saan ay itataas sa degree. - ay katumbas ng isang yunit na nahahati sa parehong bilang na may positibong antas (Larawan 1). Kapag ang antas ng isang numero ay bahagi, pagkatapos ay sa ganitong mga kaso na ginagamit ng eksklusibong mga numero na may positibong tagapagpahiwatig.

Ito ay nagkakahalaga ng pag-alalaAng zero na iyon ay hindi maaaring maging isang tagapagpahiwatig ng lawak ng numero (division rule para sa zero).

Ang pagkalat ng naturang konsepto dahil ang bilang ay naging tulad ng mga manipulasyon tulad ng mga kalkulasyon ng pagsukat, pati na rin ang pag-unlad ng matematika, tulad ng agham. Ang pagpasok ng mga negatibong halaga ay dahil sa pag-unlad ng algebra na nagbigay mga karaniwang solusyon Arithmetic tasks, anuman ang kanilang tiyak na kahulugan at paunang numerong data. Sa India, sa mga siglo ng VI-XI, ang mga negatibong halaga ng mga numero ay sistematikong ginagamit sa paglutas ng mga problema at pinalawak sa parehong paraan. Sa European science, ang mga negatibong numero ay nagsimulang malawakan na ginagamit ni R. Descarte, na nagbigay ng geometric interpretasyon ng mga negatibong numero bilang mga direksyon ng mga segment. Ipinanukala ng mga decartes ang pagtatalaga ng bilang na itinayo upang ipakita bilang isang dalawang-kuwento na formula isang N. .

Mula sa paaralan, alam namin ang lahat ng panuntunan sa ehersisyo sa degree: Anumang numero na may indicator N ay katumbas ng resulta ng pagpaparami ng isang ibinigay na numero sa sarili nito ng isang n ng maraming beses. Sa ibang salita, 7 hanggang degree 3 ay 7, na pinarami ng kanyang sarili ng tatlong beses, iyon ay, 343. Isa pang panuntunan - ang pagtatayo ng anumang halaga sa antas ng 0 ay nagbibigay ng isang yunit, at ang pagtatayo ng isang negatibong halaga ay ang resulta ng Ang karaniwang pagtayo, kung ito ay kahit na, at ang parehong resulta sa "minus" sign, kung ito ay kakaiba.

Ang mga patakaran ay nagbibigay at sumagot kung paano magpalaki ng isang numero sa isang negatibong antas. Para sa mga ito kailangan mong bumuo sa conventional method. Ang ninanais na magnitude ay nasa modyul ng tagapagpahiwatig, at pagkatapos ay ang yunit upang hatiin ang resulta.

Mula sa mga panuntunang ito ay nagiging malinaw na ang pagpapatupad mga tunay na gawain Na may operating ng malalaking halaga ay nangangailangan ng availability teknikal na paraan. Manu-manong i-multiply ang maximum na hanay ng mga numero sa dalawampu't tatlumpu, at hindi hihigit sa tatlo o apat na beses. Hindi ito banggitin na mamaya upang hatiin ang yunit sa resulta. Samakatuwid, ang mga walang espesyal na calculator ng engineering, sasabihin namin kung paano bumuo ng isang numero sa isang negatibong antas sa Excel.

Paglutas ng mga gawain sa Excel.

Upang malutas ang mga gawain sa disenyo sa Excel ay nagbibigay-daan sa isa sa dalawang mga pagpipilian na gagamitin.

Ang una ay ang paggamit ng isang formula na may isang standard sign lid. Ipasok ang sumusunod na data sa mga cell ng nagtatrabaho sheet:

Sa parehong paraan, maaari kang bumuo ng nais na halaga sa anumang antas - negatibo, fractional. Tuparin namin ang mga sumusunod na pagkilos at sagutin ang tanong kung paano bumuo ng isang numero sa isang negatibong antas. Halimbawa:

Posible upang itama sa formula nang direkta \u003d B2 ^ -c2.

Ang ikalawang opsyon ay ang paggamit ng natapos na function na "degree" na nagho-host ng dalawang sapilitang argumento - ang numero at tagapagpahiwatig. Upang magpatuloy sa paggamit nito, sapat na ito sa anumang libreng cell upang maglagay ng sign na "pantay" (\u003d), na nagpapahiwatig ng simula ng formula, at pumasok sa mga salita sa itaas. Ito ay nananatiling pumili ng dalawang mga cell na lalahok sa operasyon (o tukuyin ang mga tukoy na numero nang manu-mano), at mag-click sa Enter key. Tingnan natin ang ilang simpleng mga halimbawa.

			Formula.	Resulta
			Degree (B2; C2)
			Degree (b3; c3)	0,002915

Tulad ng makikita mo, walang kumplikado kung paano itaas ang numero sa isang negatibong antas at sa karaniwang paggamit ng Excel. Sa katunayan, upang malutas ang gawaing ito, maaari mong gamitin ang parehong karaniwang lahat ng simbolo ng "cap" at maginhawa para sa memorizing ang built-in function ng programa. Ito ay isang tiyak na plus!

Hayaan nating maging mas kumplikadong mga halimbawa. Alalahanin ang panuntunan kung paano bumuo ng isang numero sa isang negatibong antas ng praksyonal na kalikasan, at makikita natin na ang gawaing ito ay lubusang nalutas sa Excel.

Fractional indicator.

Kung sa madaling sabi, ang algorithm para sa pagkalkula ng numero na may fractional indicator ay susunod.

1. I-convert ang fractional indicator sa tama o hindi tamang bahagi.
2. I-encregular ang aming numero sa numerator ng nagresultang na-convert na fraction.
3. Mula sa bilang na nakuha sa nakaraang talata, kalkulahin ang ugat, na may kondisyon na ang root indicator ay ang denomoter ng fraction na nakuha sa unang yugto.

Sumasang-ayon na kahit na ang operating na may maliliit na numero at tamang mga fraction, ang mga naturang kalkulasyon ay maaaring tumagal ng maraming oras. Ito ay mabuti na ang processor ng talahanayan ay excel nang walang pagkakaiba, kung ano ang isang numero at kung aling antas ang magtayo. Subukan upang malutas ang pagtatrabaho excel sheet Susunod na halimbawa:

Sinasamantala ang mga panuntunan sa itaas, maaari mong suriin at tiyakin na ang pagkalkula ay ginawa ng tama.

Sa pagtatapos ng aming artikulo, nagbibigay kami ng isang talahanayan sa anyo ng isang table na may mga formula at mga resulta, ilang mga halimbawa kung paano magtayo ng isang numero sa isang negatibong antas, pati na rin ang ilang mga halimbawa sa pagpapatakbo ng mga fractional numbers at degree.

Talaan ng mga halimbawa

Suriin ang mga sumusunod na halimbawa sa listahan ng trabaho ng Excel Book. Para sa lahat ng bagay upang gumana ng tama, kailangan mong gumamit ng isang halo-halong link kapag kinopya ang formula. I-secure ang numero ng haligi na naglalaman ng erected number, at ang bilang ng string na naglalaman ng tagapagpahiwatig. Ang iyong formula ay dapat magkaroon ng tungkol sa sumusunod na form: "\u003d $ b4 ^ c $ 3".

Numero / degree.

Mangyaring tandaan na ang mga positibong numero (kahit mareosous) ay kinakalkula nang walang anumang mga tagapagpahiwatig. Walang mga problema sa pagtayo ng anumang mga numero sa integer indicator. Ngunit ang pagtatayo ng isang negatibong numero sa isang fractional degree ay magreresulta sa isang error para sa iyo, dahil imposibleng matupad ang panuntunan na ipinahiwatig sa simula ng aming artikulo tungkol sa pagtatayo negatibong numero, dahil ang pagkakapare-pareho ay ang katangian ng isang labis na integer.