На погляд алгебраїчні дроби здаються дуже складними, і непідготовлений учень може подумати, що з ними неможливо нічого зробити. Нагромадження змінних, чисел і навіть ступенів навіює страх. Тим не менш, для скорочення звичайних (наприклад, 15/25) та алгебраїчних дробів використовуються одні й ті самі правила.

Кроки

Скорочення дробів

Ознайомтеся з простими дробами. Операції із звичайними та алгебраїчними дробами аналогічні. Наприклад, візьмемо дріб 15/35. Щоб спростити цей дріб, слід знайти спільний дільник . Обидва числа діляться на п'ять, тому ми можемо виділити 5 у чисельнику та знаменнику:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Тепер можна скоротити загальні множники, тобто викреслити 5 у чисельнику та знаменнику. В результаті отримуємо спрощений дріб 3/7 . У алгебраїчних виразах загальні множники виділяються так само, як і в звичайних. У попередньому прикладі ми змогли легко виділити 5 з 15 - той же принцип застосуємо і до більш складних виразів, таких як 15x - 5. Знайдемо спільний множник. В даному випадку це буде 5, тому що обидва члени (15x і -5) діляться на 5. Як і раніше, виділимо загальний множник і перенесемо його вліво.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Щоб перевірити, чи все правильно, достатньо помножити на 5 вираз, що стоїть у дужках - в результаті вийдуть ті ж числа, що були спочатку. Складні члени можна виділяти так само, як і прості. Для алгебраїчних дробів застосовні самі принципи, як і звичайних. Це найпростіший спосіб скоротити дріб. Розглянемо наступний дріб:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Зазначимо, що і в чисельнику (згори), і в знаменнику (знизу) присутній член (x+2), тому його можна скоротити так само, як загальний множник 5 у дробі 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

В результаті отримуємо спрощений вираз: (x-3)/(x+10)

Скорочення алгебраїчних дробів

Знайдіть загальний множник у чисельнику, тобто у верхній частині дробу. При скороченні алгебраїчного дробу насамперед слід спростити обидві його частини. Почніть з чисельника і постарайтеся розкласти його якомога більше множників. Розглянемо в цьому розділі наступний дріб:

9x-3 15x+6

Почнемо з чисельника: 9x – 3. Для 9x та -3 загальним множником є ​​число 3. Винесемо 3 за дужки, як це робиться із звичайними числами: 3*(3x-1). В результаті цього перетворення вийде наступний дріб:

3(3x-1) 15x+6

Знайдіть загальний множник у чисельнику. Продовжимо виконання наведеного вище прикладу та випишемо знаменник: 15x+6. Як і раніше, знайдемо, на скільки діляться обидві частини. І в цьому випадку загальним множником є ​​3, так що можна записати: 3*(5x+2). Перепишемо дріб у такому вигляді:

3(3x-1) 3(5x+2)

Скоротіть однакові члени. На цьому етапі можна спростити дріб. Скоротіть однакові члени у чисельнику та знаменнику. У прикладі це число 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Визначте, що дріб має найпростіший вигляд. Дроб повністю спрощена в тому випадку, коли в чисельнику і знаменнику не залишилося спільних множників. Врахуйте, що не можна скорочувати ті члени, які стоять усередині дужок - у наведеному прикладі немає можливості виділити x з 3x та 5x, оскільки повними членами є (3x -1) та (5x + 2). Таким чином, дріб не піддається подальшому спрощенню, і остаточна відповідь виглядає так:

(3x-1)(5x+2)

Потренуйтесь скорочувати дроби самостійно. Кращий спосібзасвоїти метод полягає в самостійне рішеннязадач. Під прикладами наведено правильні відповіді.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Відповідь:(x=13)

2x 2-x 5x

Відповідь:(2x-1)/5

Спеціальні прийоми

Винесіть негативний знак межі дробу. Припустимо, дано такий дріб:

3(x-4) 5(4-x)

Зауважте, що (x-4) і (4-x) “майже” ідентичні, але не можна скоротити відразу, оскільки вони “перевернуті”. Тим не менш, (x - 4) можна записати як -1 * (4 - x), подібно до того як (4 + 2x) можна переписати у вигляді 2 * (2 + x). Це називається "зміною знака".

-1 * 3 (4-x) 5(4-x)

Тепер можна скоротити однакові члени (4-x):

-1 * 3 (4-х) 5 (4-х)

Отже, отримуємо остаточну відповідь: -3/5 . Навчіться розпізнавати різницю квадратів. Різниця квадратів - це коли квадрат одного числа віднімається з квадрата іншого числа, як у виразі (a 2 - b 2). Різницю повних квадратів завжди можна розкласти на дві частини - суму та різницю відповідних квадратного коріння. Тоді вираз набуде наступного вигляду:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Цей прийом дуже корисний при пошуку спільних членів в дробах алгебри.

• Перевірте, чи правильно ви розклали той чи інший вираз на множники. Для цього перемножте множники - в результаті має вийти те саме вираз.
• Щоб повністю спростити дріб, завжди виділяйте найбільші множники.

На цьому уроці ми вивчимо основну властивість дробу, дізнаємось, які дроби є рівними один одному. Навчимося скорочувати дроби, визначати, чи є дроб скоротимий чи ні, попрактикуємося у скороченні дробів і дізнаємося, коли варто використовувати скорочення, а коли ні.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autom beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci або assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Ця інформація доступна зареєстрованим користувачам

Основна властивість дробу

Уявіть собі таку ситуацію.

За столом 3 людини та 5 яблук. Діляться 5 яблук на трьох. Кожному дістається по \(\mathbf(\frac(5)(3))\) яблука.

А за сусіднім столом ще 3 людини і теж 5 яблук. Кожному знову по \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

При цьому всього 10 яблук та 6 людина. Кожному по \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Але це одне й те саме.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Ці дроби еквівалентні.

Можна збільшити вдвічі кількість людей і вдвічі кількість яблук. Результат буде тим самим.

У математиці це формулюється так:

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме число (не рівне 0), то новий дріб буде дорівнювати вихідному.

Цю властивість іноді називають « основною властивістю дробу ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Наприклад, Шлях від міста до села 14 км.

Ми йдемо дорогою і визначаємо пройдений шлях кілометровими стовпчиками. Пройшовши шість стовпчиків, шість кілометрів, ми розуміємо, що пройшли \(\mathbf(\frac(6)(14))\) шляху.

Але якщо ми не бачимо стовпчиків (може, їх не встановили), можна рахувати шлях по електричним стовпамвздовж дороги. Їх 40 штук за кожен кілометр. Тобто всього 560 по всьому шляху. Шість кілометрів-\(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) стовпів. Тобто ми пройшли 240 з 560 стовпів-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

Приклад 1

Позначте точку з координатами ( 5; 7 ) на координатної площини XОY. Вона відповідатиме дробу \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

З'єднай початок координат з точкою, що вийшла. Побудуй іншу точку, яка має координати вдвічі більші за попередні. Який дріб ти дістав? Чи будуть вони рівні?

Рішення

Дріб на координатній площині можна відзначати точкою. Щоб зобразити дріб \(\mathbf(\frac(5)(7))\), відзначимо точку з координатою 5 по осі Yі 7 по осі X. Проведемо пряму із початку координат через нашу точку.

На цій же прямій лежатиме і точка, що відповідає дробу (mathbf(frac(10)(14)))

Вони є еквівалентними: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)

Дроби та їх скорочення – ще одна тема, яка починається у 5 класі. Тут формується основа цієї події, та був ці вміння тягнуться ниточкою у вищу математику. Якщо учень не засвоїв, то у нього можуть виникнути проблеми в алгебрі. Тому краще усвідомити кілька правил раз і назавжди. А ще запам'ятати одну заборону і ніколи її не порушувати.

Дроб та її скорочення

Що це таке знає кожен учень. Будь-які дві цифри розташовані між горизонтальною межею відразу сприймаються, як дріб. Однак не всі розуміють, що нею може стати будь-яка кількість. Якщо воно ціле, його завжди можна розділити на одиницю, тоді вийде неправильний дріб. Але про це згодом.

Початок завжди простий. Спочатку потрібно з'ясувати, як скоротити правильний дріб. Тобто таку, яка має чисельник менше, ніж знаменник. Для цього потрібно згадати основну властивість дробу. Воно стверджує, що з множенні (як і, розподілі) одночасно її чисельника і знаменника на однакове число виходить, рівноцінна вихідний дріб.

Дії поділу, які виконуються у цій властивості та призводять до скорочення. Тобто максимальному її спрощенню. Дроб можна скорочувати доти, поки над рисою і під нею є спільні множники. Коли їх уже не буде, то скорочення неможливе. І кажуть, що цей дріб нескоротний.

Два способи

1.Покрокове скорочення.У ньому використовується метод прикидки, коли обидва числа поділяються на мінімальний загальний множник, який помітив учень. Якщо після першого скорочення видно, що це не кінець, то поділ триває. Поки що дріб не стане нескоротним.

2. Знаходження найбільшого спільного дільника у чисельника та знаменника.Це найраціональніший спосіб того, як скорочувати дроби. Він має на увазі розкладання чисельника та знаменника на прості множники. Серед них потім потрібно вибрати однакові. Їхній твір дасть найбільший загальний множник, на який скорочується дріб.

Обидва ці способи рівноцінні. Учню пропонується освоїти їх та користуватися тим, який більше сподобався.

Що робити, якщо є букви та дії додавання та віднімання?

З першою частиною питання все більш-менш зрозуміло. Літери можна скорочувати так само, як і числа. Головне, щоб вони виступали у ролі множників. А ось з другого у багатьох виникають проблеми.

Важливо запам'ятати! Скорочувати можна лише числа, які є множниками. Якщо вони доданки — не можна.

Щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, мають вигляд алгебраїчного висловлювання, потрібно засвоїти правило. Спочатку уявити чисельник і знаменник у вигляді твору. Потім можна скорочувати, якщо з'явилися спільні множники. Для представлення у вигляді множників стануть у нагоді такі прийоми:

• угруповання;
• винесення за дужку;
• застосування тотожностей скороченого множення.

Причому останній спосібдає можливість відразу отримати доданки у вигляді множників. Тому його необхідно використовувати завжди, якщо помітна відома закономірність.

Але це ще не страшно, потім з'являються завдання зі ступенями та корінням. Ось тоді потрібно набратися сміливості та засвоїти пару нових правил.

Вираз зі ступенем

Дріб. У чисельнику та знаменнику твір. Є літери та числа. А вони ще й зведені в ступінь, який теж складається з доданків або множників. Є що злякатися.

Для того, щоб розібратися в тому, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно вивчити два моменти:

• якщо у показнику ступеня коштує сума, то її можна розкласти на множники, ступенями яких будуть вихідні доданки;
• якщо різницю, то на ділене і дільник, у першого ступеня буде зменшуване, у другого — віднімається.

Після виконання цих дій стає видно загальні множники. У таких прикладах немає необхідності обчислювати всі ступені. Достатньо просто скоротити ступені з однаковими показниками та підставами.

Для того, щоб остаточно засвоїти те, як скорочувати дроби зі ступенями, потрібно багато практикуватися. Після кількох однотипних прикладів дії виконуватимуться вже автоматично.

А якщо у виразі стоїть корінь?

Його також можна скоротити. Тільки знову ж таки, дотримуючись правил. Причому вірні всі, описані вище. Загалом, якщо стоїть питання про те, як скоротити дріб із корінням, то треба ділити.

На ірраціональні висловлювання теж можна поділити. Тобто якщо в чисельнику та знаменнику стоять однакові множники, укладені під знак кореня, їх можна сміливо скорочувати. Це призведе до спрощення виразу та виконання завдання.

Якщо після скорочення під межею дробу залишилася ірраціональність, то її потрібно позбутися. Інакше кажучи, помножити її у чисельник і знаменник. Якщо після цієї операції з'явилися спільні множники, їх знову потрібно буде скоротити.

Ось, мабуть, і все про те, як скорочувати дроби. Правил небагато, а заборона одна. Ніколи не скорочувати доданки!

Розберемося в тому, що таке скорочення дробів, навіщо і як скорочувати дроби, наведемо правило скорочення дробів та приклади його використання.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке "скорочення дробів"

Скоротити дріб

Скоротити дріб - означає розділити її чисельник і знаменник на спільний дільник, позитивний та відмінний від одиниці.

В результаті такої дії вийде дріб з новим чисельником і знаменником, що дорівнює вихідному дробу.

Наприклад, візьмемо звичайний дріб 6 24 і скоротимо її. Розділимо чисельник та знаменник на 2 , внаслідок чого отримаємо 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . У цьому прикладі ми скоротили вихідний дріб на 2 .

Приведення дробів до нескоротного виду

У попередньому прикладі ми скоротили дріб 6 24 на 2 , внаслідок чого отримали дріб 3 12 . Неважко помітити, що цей дріб можна скоротити ще. Як правило, метою скорочення дробів є отримання в результаті нескоротного дробу. Як привести дріб до нескоротного виду?

Це можна зробити, якщо скоротити чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник (НДД). Тоді, за якістю найбільшого спільного дільника, у чисельнику та у знаменнику будуть взаємно прості числа, і дріб виявиться нескоротним.

a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)

Приведення дробу до нескоротного виду

Щоб привести дріб до нескоротного виду, потрібно його чисельник і знаменник розділити на їх НОД.

Повернемося до дробу 6 24 з першого прикладу і наведемо його до нескоротного вигляду. Найбільший загальний дільник чисел 6 та 24 дорівнює 6 . Скоротимо дріб:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Скорочення дробів зручно застосовувати, щоб не працювати з великими цифрами. Взагалі, в математиці існує негласне правило: якщо можна спростити будь-який вираз, потрібно це робити. Під скороченням дробу найчастіше мають на увазі її приведення до нескоротного виду, а не просто скорочення на загальний дільник чисельника та знаменника.

Правило скорочення дробів

Щоб скорочувати дроби, досить запам'ятати правило, яке складається з двох кроків.

Правило скорочення дробів

Щоб скоротити дріб потрібно:

1. Знайти НОД чисельника та знаменника.
2. Розділити чисельник та знаменник на їх НОД.

Розглянемо практичні приклади.

Приклад 1. Скоротимо дріб.

Дано дріб 182 195 . Скоротимо її.

Знайдемо НОД чисельника та знаменника. Для цього в даному випадку найзручніше скористатися алгоритмом Евкліда.

195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182, 195) = 13

Розділимо чисельник та знаменник на 13 . Отримаємо:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Готово. Ми отримали нескоротний дріб, який дорівнює вихідному дробу.

Як ще можна скорочувати дроби? У деяких випадках зручно розкласти чисельник та знаменник на прості множники, а потім із верхньої та нижньої частин дробу прибрати всі загальні множники.

Приклад 2. Скоротимо дріб

Даний дріб 360 2940 . Скоротимо її.

Для цього представимо вихідний дріб у вигляді:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

Позбавимося загальних множників у чисельнику та знаменнику, в результаті чого отримаємо:

360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

Зрештою, розглянемо ще один спосіб скорочення дробів. Це так зване послідовне скорочення. З використанням цього способу скорочення проводиться у кілька етапів, на кожному з яких дріб скорочується на якийсь очевидний спільний дільник.

Приклад 3. Скоротимо дріб

Скоротимо дріб 2000 4400 .

Відразу видно, що чисельник та знаменник мають загальний множник 100 . Скорочуємо дріб на 100 і отримуємо:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Результат, що вийшов, знову скорочуємо на 2 і отримуємо вже нескоротний дріб:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

От і дісталися скорочення. Застосовується тут основна властивість дробу. АЛЕ! Не все так просто. З багатьма дробами (зокрема зі шкільного курсу) можна їм обійтися. А якщо взяти дроби «крутіше»? Розберемо докладніше!Рекомендую подивитися матеріали з дробами.

Отже, ми знаємо, що чисельник і знаменник дробу можна множити і ділити одне й те саме число, дріб від цього зміниться. Розглянемо три підходи:

Підхід перший.

Для скорочення ділять чисельник та знаменник на спільний дільник. Розглянемо приклади:

Скоротимо:

У наведених прикладах ми відразу бачимо, які взяти дільники для скорочення. Процес нескладний – ми перебираємо 2,3.4,5 тощо. У більшості прикладів шкільного курсу цього цілком достатньо. А от якщо буде дріб:

Тут процес із підбором дільників може затягнутися надовго;). Звичайно, такі приклади лежать поза шкільним курсом, але справлятися з ними треба вміти. Трохи нижче розглянемо, як це робиться. А поки що повернемося до процесу скорочення.

Як розглянуто вище, щоб скоротити дріб, ми здійснювали розподіл на певний нами спільний делитель(ли). Все правильно! Варто лише додати ознаки ділимості чисел:

— якщо число парне воно ділиться на 2.

— якщо число останніх двох цифр ділиться на 4, те й саме число ділиться на 4.

- Якщо сума цифр з яких складається число ділиться на 3, то і саме число ділиться на 3. Наприклад, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Дванадцять ділиться на 3, отже і 123 031 ділиться на 3.

— якщо наприкінці числа стоїть 5 чи 0, число ділиться на 5.

— якщо сума цифр з яких складається число ділиться на 9, то й саме число ділиться на 9. Наприклад, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Вісімнадцять ділиться на 9, отже 623032 ділиться на 9.

Другий підхід.

Якщо коротко суть, то насправді все дійство зводиться до розкладання чисельника та знаменника на множники і далі до скорочення рівних множників у чисельнику та знаменнику (цей підхід – це наслідок з першого підходу):

Візуально, щоб не заплутатися і помилитися рівні множники просто перекреслюють. Питання - а як розкласти число на множники? Потрібно визначити перебором усі дільники. Це тема окрема, вона нескладна, перегляньте інформацію в підручнику чи інтернеті. Жодних великих проблем із розкладанням на множники чисел, які присутні у дробах шкільного курсу, ви не зустрінете.

Формально принцип скорочення можна записати так:

Третій підхід.

Тут найцікавіше для просунутих і тих, хто хоче стати ним. Скоротимо дріб 143/273. Спробуйте самі! Ну і як швидко вийшло? А тепер дивіться!

Перевертаємо її (числитель та знаменник міняємо місцями). Ділимо куточком отриманий дріб переводимо в змішане число, тобто виділяємо цілу частину:

Вже простіше. Ми бачимо, що чисельник і знаменник можна скоротити на 13:

А тепер не забуваємо знову перевернути дроб назад, давайте запишемо весь ланцюжок:

Перевірено – часу йде менше, ніж перебір і перевірку дільників. Повернемося до наших двох прикладів:

Перший. Ділимо куточком (не на калькуляторі), отримаємо:

Цей дріб простіше звичайно, але зі скороченням знову проблема. Тепер окремо розбираємо дріб 1273/1463, перевертаємо його:

Тут уже простіше. Можемо розглянути такий дільник як 19. Інші не підходять, це видно: 190: 19 = 10, 1273: 19 = 67. Ура! Запишемо:

Наступний приклад. Скоротимо 88179/2717.

Ділимо, отримаємо:

Окремо розбираємо дріб 1235/2717, перевертаємо її:

Можемо розглянути такий дільник як 13 (до 13 не підходять):

Чисельник 247: 13 = 19 Знаменник 1235: 13 = 95

*У процесі побачили ще один дільник рівний 19. Виходить, що:

Тепер записуємо вихідне число:

І не важливо, що буде більше в дробі – чисельник чи знаменник, якщо знаменник, то перевертаємо та діємо як описано. Таким чином ми можемо скоротити будь-який дріб, третій підхід можна назвати універсальним.

Звичайно, два приклади, розглянуті вище, це непрості приклади. Спробуємо цю технологію на вже розглянутих нами «нескладних» дробах:

Дві четверті.

Сімдесят дві шістдесяті. Чисельник більше знаменника, перевертати не потрібно:

Зрозуміло, третій підхід застосували до таких простим прикладампросто як альтернативу. Спосіб, як уже сказано, універсальний, але не для всіх дробів зручний та коректний, особливо це стосується простих.

Розмаїття дробів велике. Важливо, щоб ви засвоїли принципи. Суворого правила роботи з дробами просто немає. Подивилися, прикинули як зручніше діяти і вперед. З практикою прийде навичка і клацатимете їх як насіння.

Висновок:

Якщо бачите спільний дільник для чисельника та знаменника, то використовуйте їх для скорочення.

Якщо вмієте швидко розкладати на множники число, розкладіть чисельник і знаменник, далі скорочуйте.

Якщо не можете визначити спільний дільник, то скористайтеся третім підходом.

*Для скорочення дробів важливо засвоїти принципи скорочення, розуміти основну властивість дробу, знати підходи до вирішення, бути дуже уважним при обчисленнях.

І запам'ятайте! Дріб заведено скорочувати до упору, тобто скорочувати її поки що є спільний дільник.

З повагою, Олександр Крутицьких.