тригонометричні тотожності - це рівності, які встановлюють зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, яка дозволяє знаходити будь-яку з цих функцій за умови, що буде відома будь-яка інша.

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)

tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1

Дане тотожність говорить про те, що сума квадрата синуса одного кута і квадрата косинуса одного кута дорівнює одиниці, що на практиці дає можливість обчислити синус одного кута, коли відомий його косинус і навпаки.

При перетворенні тригонометричних виразів дуже часто використовують дане тотожність, яке дозволяє замінювати одиницею суму квадратів косинуса і синуса одного кута і також виробляти операцію заміни в зворотному порядку.

Знаходження тангенса і котангенс через синус і косинус

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), \\ enspace

Дані тотожності утворюються з визначень синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Адже якщо розібратися, то по визначенню ординатою y є синус, а абсцисою x - косинус. Тоді тангенс буде дорівнює відношенню \\ Frac (y) (x) \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha), А відношення \\ Frac (x) (y) \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - буде котангенсом.

Додамо, що тільки для таких кутів \\ alpha, при яких входять до них тригонометричні функції мають сенс, матимуть місце тотожності, ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha).

наприклад: tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha) є справедливою для кутів \\ alpha, які відмінні від \\ Frac (\\ pi) (2) + \\ pi z, а ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha) - для кута \\ alpha, відмінного від \\ pi z, z - є цілим числом.

Залежність між тангенсом і котангенсом

tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d 1

Дане тотожність справедливо тільки для таких кутів \\ alpha, які відмінні від \\ Frac (\\ pi) (2) z. Інакше або котангенс або тангенс не будуть визначені.

Спираючись на вищевикладені пункти, отримуємо, що tg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x), а ctg \\ alpha \u003d \\ frac (x) (y). Звідси слідує що tg \\ alpha \\ cdot ctg \\ alpha \u003d \\ frac (y) (x) \\ cdot \\ frac (x) (y) \u003d 1. Таким чином, тангенс і котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є взаємно зворотними числами.

Залежності між тангенсом і косинусом, котангенсом і синусом

tg ^ (2) \\ alpha + 1 \u003d \\ frac (1) (\\ cos ^ (2) \\ alpha) - сума квадрата тангенса кута \\ alpha і 1, дорівнює зворотному квадрату косинуса цього кута. Дане тотожність справедливо для всіх \\ alpha, відмінних від \\ Frac (\\ pi) (2) + \\ pi z.

1 + ctg ^ (2) \\ alpha \u003d \\ frac (1) (\\ sin ^ (2) \\ alpha) - сума 1 і квадрат котангенс кута \\ alpha, дорівнює оберненому квадрату синуса даного кута. Дане тотожність справедливо для будь-якого \\ alpha, відмінного від \\ pi z.

Приклади з рішеннями завдань на використання тригонометричних тотожностей

приклад 1

Знайдіть \\ sin \\ alpha і tg \\ alpha, якщо \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ frac12 і \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi ;

Показати рішення

Рішення

Функції \\ sin \\ alpha і \\ cos \\ alpha пов'язує формула \\ Sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. Підставивши в цю формулу \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ frac12, Отримаємо:

\\ Sin ^ (2) \\ alpha + \\ left (- \\ frac12 \\ right) ^ 2 \u003d 1

Це рівняння має 2 рішення:

\\ Sin \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1 \\ frac14) \u003d \\ pm \\ frac (\\ sqrt 3) (2)

За умовою \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . У другій чверті синус позитивний, тому \\ Sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2).

Для того, щоб знайти tg \\ alpha, скористаємося формулою tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt 3) (2): \\ frac12 \u003d \\ sqrt 3

приклад 2

Знайдіть \\ cos \\ alpha і ctg \\ alpha, якщо і \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi .

Показати рішення

Рішення

Підставивши в формулу \\ Sin ^ (2) \\ alpha + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1 дане за умовою число \\ Sin \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sqrt3) (2), отримуємо \\ Left (\\ frac (\\ sqrt3) (2) \\ right) ^ (2) + \\ cos ^ (2) \\ alpha \u003d 1. Це рівняння має два рішення \\ Cos \\ alpha \u003d \\ pm \\ sqrt (1 \\ frac34) \u003d \\ pm \\ sqrt \\ frac14.

За умовою \\ Frac (\\ pi) (2)< \alpha < \pi . У другій чверті косинус негативний, тому \\ Cos \\ alpha \u003d - \\ sqrt \\ frac14 \u003d - \\ frac12.

Для того, щоб знайти ctg \\ alpha, скористаємося формулою ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha). Відповідні величини нам відомі.

ctg \\ alpha \u003d - \\ frac12: \\ frac (\\ sqrt3) (2) \u003d - \\ frac (1) (\\ sqrt 3).

У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є Апорія "Ахіллес і черепаха". Ось як вона звучить:

Припустимо, Ахіллес біжить в десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані в тисячу кроків. За той час, за яке Ахіллес пробіжить це відстань, черепаха в ту ж сторону проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і так далі. Процес буде продовжуватися до безкінечності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

Це міркування стало логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт ... Всі вони так чи інакше розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії тривають і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки не вдалося ... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні і філософські підходи; жоден з них не став загальновизнаним вирішенням питання ..."[Вікіпедія," Апорії Зенона "]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

З точки зору математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини к. Цей перехід має на увазі застосування замість постійних. Наскільки я розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць вимірювання або ще не розроблений, або його не застосовували до апорії Зенона. Застосування ж нашої звичайної логіки призводить нас в пастку. Ми, по інерції мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до зворотного величиною. З фізичної точки зору це виглядає, як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахіллес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахіллес вже не може перегнати черепаху.

Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху в десять разів коротшим від попереднього. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, в десять разів менше попереднього. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" в цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і не переходити до зворотних величин. Мовою Зенона це виглядає так:

За той час, за яке Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в ту ж сторону проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, рівний першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

Цей підхід адекватно описує реальність без всяких логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На зеноновських апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про нездоланність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити і вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

Інша цікава Апорія Зенона оповідає про що летить стрілі:

Летюча стріла нерухома, так як в кожен момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.

У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - достатньо уточнити, що в кожен момент часу летить стріла спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут потрібно відзначити інший момент. За однією фотографії автомобіля на дорозі неможливо визначити ні факт його руху, ні відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але по ним не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але по ним не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, Так це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

середовище, 4 липня 2018 р

Дуже добре відмінності між безліччю і мультімножество описані в Вікіпедії. Дивимося.

Як бачите, "в безлічі не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи в безлічі є, таку силу-силенну називається "мультімножество". Подібну логіку абсурду розумних істот не понять ніколи. Це рівень папуг, що говорять і дресированих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають в ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

Колись інженери, які побудували міст, під час випробувань моста знаходилися в човні під мостом. Якщо міст нападав, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняття", є одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. Застосуємо математичну теорію множин до самих математикам.

Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо в касі, видаємо зарплату. Ось приходить до нас математик за своїми грошима. Відраховуємо йому всю суму і розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри одного гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі і вручаємо математику його "математичне безліч зарплати". Пояснюємо математику, що інші купюри він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

В першу чергу, спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - нізьзя!". Далі почнуться запевнення нас в тому, що на купюрах однакового гідності є різні номери купюр, а значить їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами - на монетах немає номерів. Тут математик почне судорожно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількість бруду, кристалічна структура і розташування атомів у кожної монети унікально ...

А тепер у мене найцікавіше запитання: де проходить та межа, за якою елементи мультимножини перетворюються в елементи множини і навпаки? Такий межі не існує - все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони з однаковою площею поля. Площа полів однакова - значить у нас вийшло мультімножество. Але якщо розглядати назви цих же стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, один і той же набір елементів одночасно є і безліччю, і мультімножество. Як правильно? А ось тут математик-шаман-Шуллер дістає з рукава козирного туза і починає нам розповідати або про безліч, або про мультімножество. У будь-якому випадку він переконає нас у своїй правоті.

Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, досить відповісти на одне питання: чим елементи одного безлічі відрізняються від елементів іншого безлічі? Я вам покажу, без всяких "мислиме що не єдине ціле" або "не мислиме як єдине ціле".

неділю, 18 березня 2018 р

Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, яка до математики ніякого відношення не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа і користуватися нею, але на то вони і шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам і премудростям, інакше шамани просто вимруть.

Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію і спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її не існує. Ні в математиці формули, за якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри - це графічні символи, за допомогою яких ми записуємо числа і на мові математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики цю задачу вирішити не можуть, а ось шамани - елементарно.

Давайте розберемося, що і як ми робимо для того, щоб знайти суму цифр заданого числа. І так, нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

1. Записуємо число на папірці. Що ж ми зробили? Ми перетворили число в графічний символ числа. Це не математичне дію.

2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це не математична дія.

3. перетворювати окремі графічні символи в числа. Це не математичне дію.

4. Складаємо отримані числа. Ось це вже математика.

Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

З точки зору математики не має значення, в якій системі числення ми записуємо число. Так ось, в різних системах числення сума цифр одного і того ж числа буде різною. В математиці система числення вказується у вигляді нижнього індексу праворуч від числа. З великим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про. Запишемо це число в двійковій, вісімковій, десятковій і шістнадцятковій системах числення. Ми не будемо розглядати кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося на результат.

Як бачите, в різних системах числення сума цифр одного і того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики ніякого відношення не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б абсолютно різні результати.

Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр не має. Це ще один аргумент на користь того, що. Питання до математикам: як в математиці позначається те, що не є числом? Що, для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке допустити, але для вчених - немає. Реальність полягає не тільки з чисел.

Отриманий результат слід розглядати як доказ того, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й ті ж дії з різними одиницями вимірювання однієї і тієї ж величини призводять до різних результатів після їх порівняння, значить це не має нічого спільного з математикою.

Що ж таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниця виміру і від того, хто це дію виконує.

Табличка на двері Відкриває двері і каже:

Ой! А це хіба не жіночий туалет?
- Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільной святості душ при вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілочка вгору. Який ще туалет?

Жіночий ... Німб зверху і стрілочка вниз - це чоловічий.

Якщо у вас перед очима кілька разів на день миготить ось таке ось витвір дизайнерського мистецтва,

Тоді не дивно, що в своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в какао людині (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурепою, яка не знає фізику. Просто у неї дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно вчать. Ось приклад.

1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "Кака людина" або число "двадцять шість" в шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють в цій системі числення, автоматично сприймають цифру і літеру як один графічний символ.

У цій статті ми всебічно розглянемо. Основні тригонометричні тотожності є рівності, що встановлюють зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, і дозволяють знаходити будь-яку з цих тригонометричних функцій через відому іншу.

Відразу перерахуємо основні тригонометричні тотожності, які розберемо в цій статті. Запишемо їх у таблицю, а нижче дамо висновок цих формул і наведемо необхідні пояснення.

Навігація по сторінці.

Зв'язок між синусом і косинусом одного кута

Іноді говорять не про основні тригонометричних тотожностейах, перерахованих в таблиці вище, а про одне єдиному основному тригонометричному тотожність виду . Пояснення цьому факту досить просте: рівності виходять з основного тригонометричного тотожності після поділу обох його частин на і відповідно, а рівності і випливають з визначень синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Детальніше про це поговоримо в наступних пунктах.

Тобто, особливий інтерес представляє саме рівність, якому і дали назву основного тригонометричного тотожності.

Перш ніж довести основне тригонометричну тотожність, дамо його формулювання: сума квадратів синуса і косинуса одного кута тотожно дорівнює одиниці. Тепер доведемо його.

Основне тригонометричну тотожність дуже часто використовується при перетворенні тригонометричних виразів. Воно дозволяє суму квадратів синуса і косинуса одного кута замінювати одиницею. Не менш часто основне тригонометричну тотожність використовується і в зворотному порядку: одиниця замінюється сумою квадратів синуса і косинуса будь-якого кута.

Тангенс і котангенс через синус і косинус

Тотожності, що зв'язують тангенс і котангенс з синусом і косинусом одного кута виду і відразу слідують з визначень синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Дійсно, за визначенням синус є ордината y, косинус є абсциса x, тангенс є ставлення ординати до абсциссе, тобто, , А котангенс є ставлення абсциси до ординате, тобто, .

Завдяки такій очевидності тотожностей і часто визначення тангенса і котангенс дають не через ставлення абсциси і ординати, а через ставлення синуса і косинуса. Так тангенсом кута називають відношення синуса до косинусу цього кута, а котангенсом - відношення косинуса до синуса.

На закінчення цього пункту слід зазначити, що тотожності і мають місце для всіх таких кутів, при яких входять до них тригонометричні функції мають сенс. Так формула справедлива для будь-яких, відмінних від (інакше в знаменнику буде нуль, а розподіл на нуль ми не визначали), а формула - для всіх, відмінних від, де z - будь-яке.

Зв'язок між тангенсом і котангенсом

Ще більш очевидним тригонометричним тотожністю, ніж два попередніх, є тотожність, що зв'язує тангенс і котангенс одного кута виду . Зрозуміло, що воно має місце для будь-яких кутів, відмінних від, в інакше або тангенс, або котангенс не визначені.

доведення формули дуже просто. За визначенням і, звідки . Можна було доказ провести і трохи інакше. Так як і , то .

Отже, тангенс і котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є.

Ви можете замовити докладний рішення вашої задачі !!!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції ( `sin x, cos x, tg x` або` ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми і розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, де` x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коренів.

1. Рівняння `sin x \u003d a`.

При `| a |\u003e 1` не має рішень.

При `| a | \\ Leq 1` має нескінченне число рішень.

Формула коренів: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z`

2. Рівняння `cos x \u003d a`

При `| a |\u003e 1` - як і у випадку з синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `| a | \\ Leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in Z`

Окремі випадки для синуса і косинуса в графіках.

3. Рівняння `tg x \u003d a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x \u003d arctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

4. Рівняння `ctg x \u003d a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

Формули коренів тригонометричних рівнянь в таблиці

Для синуса:
Для косинуса:
Для тангенса і котангенс:
Формули рішення рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи рішення тригонометричних рівнянь

Рішення будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

• за допомогою перетворити його до найпростішого;
• вирішити отримане просте рівняння, використовуючи вище написані формули коренів і таблиці.

Розглянемо на прикладах основні методи вирішення.

Алгебраїчний метод.

У цьому методі робиться заміна змінної та її підстановка в рівність.

Приклад. Вирішити рівняння: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

робимо заміну: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, тоді` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

знаходимо коріння: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2`, звідки йдуть два випадки:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 ',` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1/2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3 \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Відповідь: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3 \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Розкладання на множники.

Приклад. Вирішити рівняння: `sin x + cos x \u003d 1 '.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Використовуючи, перетворимо і розкладемо на множники ліву частину:

`Sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2sin x / 2) \u003d 0`,

1. `Sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
2. `Cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1 ', `x / 2 \u003d arctg 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Відповідь: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно дане тригонометрическое рівняння привести до одного з двох видів:

`A sin x + b cos x \u003d 0` (однорідне рівняння першого ступеня) або` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \\ ne 0` - для першого випадку, і на` cos ^ 2 x \\ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`:` a tg x + b \u003d 0` і `a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, які потрібно вирішити відомими способами.

Приклад. Вирішити рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1 '.

Рішення. запишемо праву частину, Як `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`Sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву і праву частини на `cos ^ 2 x \\ ne 0`, отримаємо:

`\\ Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Введемо заміну `tg x \u003d t`, в результаті` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Коріння цього рівняння: `t_1 \u003d -2` і` t_2 \u003d 1 '. тоді:

1. `Tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in Z`
2. `Tg x \u003d 1 ',` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Перехід до половинному куті

Приклад. Вирішити рівняння: `11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d `` 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2 `

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

Застосувавши описаний вище алгебраїчний метод, отримаємо:

1. `Tg x / 2 \u003d 2`, `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`,
2. `Tg x / 2 \u003d 3/4`, `x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x \u003d c`, де a, b, c - коефіцієнти, а x - змінна, розділимо обидві частини на` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\\ Frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d` `\\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса і косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 і їх модулі не більш 1. Позначимо їх наступним чином: `\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi` , `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, тоді:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Детальніше розглянемо на наступному прикладі:

Приклад. Вирішити рівняння: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, отримаємо:

`\\ Frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Позначимо `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. Так як `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, то в якості допоміжного кута візьмемо `\\ varphi \u003d arcsin 4/5`. Тоді наше рівність запишемо у вигляді:

`Cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо наше рівність в наступному вигляді:

`Sin (x + \\ varphi) \u003d 2/5`,

`X + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`,

`X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Відповідь. `X \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Дрібно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробом, в чисельнику і знаменниках яких є тригонометричні функції.

Приклад. Розв'язати рівняння. `\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Рішення. Помножимо і розділимо праву частину рівності на `(1 + cos x)`. В результаті отримаємо:

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ Frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ Frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

З огляду на, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Тоді `sin x \u003d 0` або` 1-sin x \u003d 0`.

1. `Sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in Z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

З огляду на, що `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`, рішеннями будуть` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in Z` і `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ in Z`.

Відповідь. `X \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Тригонометрія, і тригонометричні рівняння зокрема, застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати все формули тригонометричних рівнянь - вони вам точно знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть, і вміти вивести. Це не так і складно, як здається. Переконайтеся самі, переглянувши відео.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями - синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом - задаються тригонометричними формулами. А так як зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, то цим пояснюється і велика кількість тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші - функції кратного кута, треті - дозволяють знизити ступінь, четверті - висловити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.

У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, Яких достатньо для вирішення переважної більшості завдань тригонометрії. Для зручності запам'ятовування і використання будемо групувати їх за призначенням, і заносити в таблиці.

Навігація по сторінці.

Основні тригонометричні тотожності

Основні тригонометричні тотожності задають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута. Вони випливають з визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс, а також поняття одиничному колі. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.

Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок і приклади застосування дивіться в статті.

формули приведення

формули приведення випливають з властивостей синуса, косинуса, тангенса і котангенс, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.

Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило для їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити в статті.

формули додавання

Тригонометричні формули додавання показують, як тригонометричні функції суми або різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули служать базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.

Формули подвійного, потрійного і т.д. кута

Формули подвійного, потрійного і т.д. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок базується на формулах складання.

Більш детальна інформація зібрана в статті формули подвійного, потрійного і т.д. кута.

Формули половинного кута

Формули половинного кута показують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають з формул подвійного кута.

Їх висновок і приклади застосування можна подивитися в статті.

Формули пониження степеня

Тригонометричні формули пониження степеня покликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косинусам в першого ступеня, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.

Формули суми і різниці тригонометричних функцій

Основне призначення формул суми і різниці тригонометричних функцій полягає в переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощення тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, так як дозволяють розкладати на множники суму і різницю синусів і косинусів.

Формули твори синусів, косинусів і синуса на косинус

Перехід від добутку тригонометричних функцій до суми або різниці здійснюється за допомогою формул твори синусів, косинусів і синуса на косинус.

Башмаков М. І. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-е изд. - М .: Просвещение, 1993. - 351 с .: іл. - ISBN 5-09-004617-4.

алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусєв В. А., Мордкович А. Г. Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.

Copyright by cleverstudents

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту www.сайт, включаючи внутрішні матеріали і зовнішнє оформлення, не може бути відтворена в будь-якій формі або використовувати без попередньої письмової згоди власника авторських прав.