У цій статті ми всебічно розглянемо. Основні тригонометричні тотожності являють собою рівності, що встановлюють зв'язок між синусом, косинус, тангенсом і котангенсом одного кута, і дозволяють знаходити будь-яку з цих тригонометричних функцій через відому іншу.

Відразу перерахуємо основні тригонометричні тотожності, які розберемо у цій статті. Запишемо їх у таблицю, а нижче дамо висновок цих формул і наведемо необхідні пояснення.

Навігація на сторінці.

Зв'язок між синусом і косинусом одного кута

Іноді говорять не про основні тригонометричні тотожності, перераховані в таблиці вище, а про одне єдине основному тригонометричному тотожностівиду . Пояснення цьому факту досить просте: рівності виходять з основної тригонометричної тотожності після поділу обох його частин на і відповідно, а рівності і випливають з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Докладніше про це поговоримо у наступних пунктах.

Тобто особливий інтерес представляє саме рівність, якій і дали назву основної тригонометричної тотожності.

Перш ніж довести головне тригонометрична тотожність, дамо його формулювання: сума квадратів синуса і косинуса одного кута тотожно дорівнює одиниці. Тепер доведемо його.

Основне тригонометричне тотожність дуже часто використовується при перетворення тригонометричних виразів. Воно дозволяє суму квадратів синуса та косинуса одного кута замінювати одиницею. Не менш часто основне тригонометричне тотожність використовується і у зворотному порядку: одиниця замінюється сумою квадратів синуса та косинуса будь-якого кута.

Тангенс та котангенс через синус та косинус

Тотожності, що пов'язують тангенс і котангенс з синусом і косінусом одного кута виду і відразу випливають з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Справді, за визначенням синус є ордината y, косинус є абсциса x, тангенс є відношення ординати до абсциси, тобто, , а котангенс є ставлення абсциси до ординати, тобто, .

Завдяки такій очевидності тотожностей і часто визначення тангенсу та котангенсу дають не через відношення абсциси та ординати, а через відношення синуса та косинуса. Так тангенсом кута називають ставлення синуса до косинусу цього кута, а котангенсом – відношення косинуса до сінусу.

На закінчення цього пункту слід зазначити, що тотожність і мають місце всім таких кутів , у яких входять до них тригонометричні функції мають сенс. Так формула справедлива для будь-яких, відмінних від (інакше в знаменнику буде нуль, а розподіл на нуль ми не визначали), а формула - для всіх, відмінних від, де z-будь-яке.

Зв'язок між тангенсом та котангенсом

Ще більш очевидною тригонометричною тотожністю, ніж два попередні, є тотожність, що зв'язує тангенс і котангенс одного кута виду . Зрозуміло, що воно має місце для будь-яких кутів , відмінних від , інакшеабо тангенс або котангенс не визначені.

Доказ формули дуже просто. За визначенням та , звідки . Можна було доказ провести і трохи інакше. Так як і , то .

Отже, тангенс та котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є .

Ви можете замовити докладне рішеннявашого завдання !!!

Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції (`sin x, cos x, tg x` або `ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми й розглянемо далі.

Найпростішими називаються рівняння `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, де `x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коріння.

1. Рівняння `sin x=a`.

При `|a|>1` немає рішень.

При `|a| \leq 1` має нескінченну кількість рішень.

Формула коренів: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Рівняння `cos x=a`

При `|a|>1` — як і у випадку із синусом, рішень серед дійсних чисел не має.

При `|a| \leq 1` має безліч рішень.

Формула коренів: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Приватні випадки для синуса та косинуса у графіках.

3. Рівняння `tg x=a`

Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Рівняння `ctg x=a`

Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.

Формула коренів: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z `

Формули коренів тригонометричних рівнянь у таблиці

Для синусу:
Для косинуса:
Для тангенсу та котангенсу:
Формули розв'язання рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:

Методи розв'язання тригонометричних рівнянь

Розв'язання будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:

• за допомогою перетворити його до найпростішого;
• вирішити отримане найпростіше рівняння, використовуючи вище написані формули коренів та таблиці.

Розглянемо на прикладах основні способи розв'язання.

Алгебраїчний метод.

У цьому вся методі робиться заміна змінної та її підстановка на рівність.

приклад. Розв'язати рівняння: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,

робимо заміну: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тоді `2y^2-3y+1=0`,

знаходимо коріння: `y_1=1, y_2=1/2`, звідки випливають два випадки:

1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Відповідь: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.

Розкладання на множники.

приклад. Розв'язати рівняння: `sin x+cos x=1`.

Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x+cos x-1=0`. Використовуючи , перетворимо та розкладемо на множники ліву частину:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. ` sin x/2 = 0 `, ` x/2 = \ pi n`, ` x_1 = 2 \ pi n `.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Відповідь: `x_1=2pi n`, `x_2=pi/2+ 2pi n`.

Приведення до однорідного рівняння

Спочатку потрібно це тригонометричне рівняння привести до одного з двох видів:

`a sin x+b cos x=0` (однорідне рівняння першого ступеня) або `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однорідне рівняння другого ступеня).

Потім розділити обидві частини на `cos x \ ne 0` - для першого випадку, і на ` cos ^ 2 x \ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`: `a tg x+b=0` та `a tg^2 x + b tg x +c =0`, які потрібно вирішити відомими способами.

приклад. Розв'язати рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.

Рішення. Запишемо праву частинуяк `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`

` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.

Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву та праву частини на `cos^2 x \ne 0`, отримаємо:

`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Введемо заміну `tg x=t`, в результаті `t^2 + t - 2=0`. Коріння цього рівняння: `t_1=-2` та `t_2=1`. Тоді:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Перехід до половинного кута

приклад. Розв'язати рівняння: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: 22 sin (x/2) cos (x/2) - 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=10 sin^2 x/2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Застосувавши описаний вище метод алгебри, отримаємо:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введення допоміжного кута

У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x = c`, де a, b, c – коефіцієнти, а x – змінна, розділимо обидві частини на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +``\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.

Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса та косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 та їх модулі не більше 1. Позначимо їх наступним чином: `\frac a(sqrt(a^2+b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C`, тоді:

` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.

Докладніше розглянемо на наступному прикладі:

приклад. Розв'язати рівняння: `3 sin x+4 cos x=2`.

Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3^2+4^2)`, отримаємо:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Позначимо `3/5 = cos \ varphi`, `4/5 = sin \ varphi`. Так як ` sin \ varphi> 0 `, ` cos \ varphi> 0 `, то як допоміжний кут візьмемо ` \ varphi = arcsin 4/5 `. Тоді нашу рівність запишемо у вигляді:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо нашу рівність у такому вигляді:

`sin (x+\varphi) = 2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Відповідь. `x=(-1)^n arcsin 2/5-``arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-раціональні тригонометричні рівняння

Це рівності з дробами, у чисельниках та знаменниках яких є тригонометричні функції.

приклад. Розв'язати рівняння. `frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Рішення. Помножимо та розділимо праву частину рівності на `(1+cos x)`. В результаті отримаємо:

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Враховуючи, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тоді `sin x=0` або `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Враховуючи, що ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, рішеннями будуть `x=2\pi n, n \in Z` та `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ in Z`.

Відповідь. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрія та тригонометричні рівняння зокрема застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати всі формули тригонометричних рівнянь - вони вам знадобляться!

Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть і вміти вивести. Це не так складно, як здається. Переконайтеся, переглядаючи відео.

Тригонометричні функції- запит «sin» перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія

Tan

Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... Вікіпедія

Косінус- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …

Котангенс- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …

Секанс- Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …

Історія тригонометрії- Геодезичні виміри (XVII століття) … Вікіпедія

Формула тангенсу половинного кута- У тригонометрії формула тангенса половинного кута пов'язує тангенс половинного кута з тригонометричними функціями повного кута: Різні варіаціїцієї формули виглядають наступним чином… Вікіпедія

Тригонометрія- (Від грец. τρίγονο (трикутник) і грец. μετρειν (вимірювати), тобто вимір трикутників) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. Даний термін вперше з'явився в 1595 р. як ... Вікіпедія

Рішення трикутників- (Лат. Solutio triangulorum) історичний термін, що означає рішення головної тригонометричної задачі: за відомими даними про трикутник (сторони, кути і т. д.) знайти інші його характеристики. Трикутник може розташовуватись на … … Вікіпедія

Книги

• Набір таблиць. Алгебра та початку аналізу. 10 клас. 17 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціямидля вчителя. Навчальний альбом із 17 аркушів.… Купити за 3944 руб
• Таблиці інтегралів та інші математичні формули, Двайт Г.Б.. Десяте видання відомого довідника містить досить докладні таблиці невизначених певних інтегралів, а також велике числоінших математичних формул: розкладання в ряди,…

У статті докладно розповідається про основні тригонометричні тотожності. Ці рівності встановлюють зв'язок між sin, cos, tg, ctg заданого кута. За відомої однієї функції можна через неї знайти іншу.

Тригонометричні тотожності для розгляду у денній статті. Нижче покажемо приклад їхнього виведення з поясненням.

sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α = sin α cos α , ctg α = cos α sin α tg α · ctg α = 1 tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α

Yandex.RTB R-A-339285-1

Поговоримо про важливе тригонометричне тотожність, яке вважається основою основ у тригонометрії.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Задані рівності t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α виводять з основного шляхом поділу обох частин на sin 2 α і cos 2 α. Після чого отримуємо tg α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α і t g α · c t g α = 1 - це наслідок визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Рівність sin 2 α + cos 2 α = 1 є основною тригонометричною тотожністю. Для його доказу необхідно звернутися до теми з одиничним колом.

Нехай дані координати точки А (1 , 0) , яка після повороту на кут α стає в точку А 1 . За визначенням sin та cos точка А 1 отримає координати (cos α , sin α) . Так як А 1 знаходиться в межах одиничного кола, значить координати повинні задовольняти умові x 2 + y 2 = 1 цього кола. Вираз cos 2 α + sin 2 α = 1 має бути справедливим. Для цього необхідно довести основну тригонометричну тотожність для всіх кутів повороту α.

У тригонометрії вираз sin 2 α + cos 2 α = 1 застосовують як теорему Піфагора у тригонометрії. Для цього розглянемо докладний доказ.

Використовуючи одиничне коло, повертаємо точку А з координатами (1 , 0) навколо центральної точки на кут α . Після повороту точка змінює координати і стає рівною А 1 (х, у). Опускаємо перпендикулярну пряму А1Н на Ох з точки А1.

На малюнку добре видно, що утворився прямокутний трикутникО А 1 Н. За модулем катети О А 1 Н і О Н рівні, запис набуде такого вигляду: | А 1 H | = | у | , | Про Н | = | х | . Гіпотенуза О А 1 має значення, що дорівнює радіусу одиничного кола, | Про А 1 | = 1. Використовуючи даний вираз, можемо записати рівність з теореми Піфагора: | А 1 Н | 2+ | Про Н | 2 = | Про А 1 | 2 . Цю рівність запишемо як | y | 2+ | x | 2 = 1 2 що означає y 2 + x 2 = 1 .

Використовуючи визначення sin α = y та cos α = x , підставимо дані кута замість координат точок і перейдемо до нерівності sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Основний зв'язок між sin і cos кута можливий через дану тригонометричну тотожність. Таким чином, можна вважати sin кута з відомим cos і навпаки. Щоб виконати це, необхідно дозволяти sin 2 α + cos 2 = 1 щодо sin і cos, тоді отримаємо вирази виду sin α = ± 1 - cos 2 α і cos α = ± 1 - sin 2 α відповідно. Розмір кута α визначає знак перед коренем виразу. Для докладного з'ясування необхідно прочитати розділ обчислення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу з використанням тригонометричних формул.

Найчастіше основну формулу застосовують для перетворень чи спрощень тригонометричних виразів. Є можливість замінювати суму квадратів синуса та косинуса на 1 . Підстановка тотожності то, можливо як у прямому, і у зворотному порядку: одиницю замінюють на вираз суми квадратів синуса і косинуса.

Тангенс та котангенс через синус та косинус

З визначення косинуса та синуса, тангенсу та котангенсу видно, що вони взаємопов'язані один з одним, що дозволяє окремо перетворювати необхідні величини.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

З визначення синус є ординатою у, а косинус - абсцис x. Тангенс - це і є відносини ординати та абсциси. Таким чином маємо:

t g α = y x = sin α cos α , а вираз котангенсу має зворотне значення, тобто

c t g α = x y = cos α sin α .

Звідси випливає, що отримані тотожності tg = sin cos α і c t g = cos sin α задаються за допомогою sin і cos кутів. Тангенс вважаються ставленням синуса до косинус кута між ними, а котангенс навпаки.

Зазначимо, що t g α = sin α cos α і c t g α = cos α sin α вірні для будь-якого значення кута α значення якого входять в діапазон. З формули t g α = sin α cos α значення кута α відмінно від π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α приймає значення кута α відмінні від π · z z приймає значення будь-якого цілого числа.

Зв'язок між тангенсом та котангенсом

Є формула, яка показує зв'язок між кутами через тангенс та котангенс. Дане тригонометричне тотожність є важливим у тригонометрії і позначається як t g α · c t g α = 1 . Воно має сенс при α з будь-яким значенням, крім π 2 · z інакше функції будуть не визначені.

Формула t g α · c t g α = 1 має свої особливості у доказі. З визначення ми маємо, що t g α = y x і c t g α = x y , звідси отримуємо t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Перетворивши вираз і підставивши t g α = sin α cos α і c t g α = cos α sin α , отримаємо t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Тоді вираз тангенсу та котангенсу має сенс того, коли в результаті отримуємо взаємно зворотні числа.

Тангенс та косинус, котангенс та синус

Перетворивши основні тотожності, дійшли висновку, що тангенс пов'язаний через косинус, а котангенс через синус. Це видно за формулами t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.

Визначення звучить так: сума квадрата тангенсу кута і 1 дорівнює дробу, де в чисельнику маємо 1 , а в знаменнику квадрат косинуса даного кута, а сума квадрата котангенсу кута навпаки. Завдяки тригонометричній тотожності sin 2 α + cos 2 α = 1 можна розділити відповідні сторони на cos 2 α і отримати t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , де значення cos 2 α не повинно дорівнювати нулю. При розподілі на sin 2 α отримаємо тотожність 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α де значення sin 2 α не повинно дорівнювати нулю.

З наведених виразів отримали, що тотожність tg 2 α + 1 = 1 cos 2 ? проміжку π · z.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Тригонометричні тотожності— це рівності, які встановлюють зв'язок між синусом, косінусом, тангенсом і котангенсом одного кута, що дозволяє знаходити будь-яку з даних функцій за умови, що буде відома будь-яка інша.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ця тотожність говорить про те, що сума квадрата синуса одного кута і квадрата косинуса одного кута дорівнює одиниці, що на практиці дає можливість обчислити синус одного кута, коли відомий його косинус і навпаки.

При перетворенні тригонометричних виразів дуже часто використовують дану тотожність, яка дозволяє замінювати одиницею суму квадратів косинуса і синуса одного кута і проводити операцію заміни у зворотному порядку.

Знаходження тангенсу та котангенсу через синус та косинус

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Дані тотожності утворюються з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Адже якщо розібратися, то визначення ординатою y є синус, а абсцисою x — косинус. Тоді тангенс дорівнюватиме \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), а відношення \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)— буде котангенсом.

Додамо, що тільки для таких кутів \alpha , при яких тригонометричні функції, що входять до них, мають сенс, матимуть місце тотожності , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Наприклад: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)є справедливою для кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2)+\pi z, а ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Для кута \alpha, відмінного від \pi z, z - є цілим числом.

Залежність між тангенсом та котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ця тотожність справедлива тільки для таких кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2) z. Інакше чи котангенс чи тангенс не будуть визначені.

Маючи вищевикладені пункти, отримуємо, що tg \alpha = \frac(y)(x), а ctg \alpha=\frac(x)(y). Звідси слідує що tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Таким чином, тангенс та котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є взаємно зворотними числами.

Залежності між тангенсом та косинусом, котангенсом та синусом

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— сума квадрата тангенса кута \alpha і 1 дорівнює зворотному квадрату косинуса цього кута. Ця тотожність справедлива для всіх \alpha , відмінних від \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)— сума 1 і квадрат котангенса кута \alpha дорівнює зворотному квадрату синуса даного кута. Ця тотожність справедлива для будь-якого \alpha , відмінного від \pi z .

Приклади з розв'язуванням задач на використання тригонометричних тотожностей

Приклад 1

Знайдіть \sin \alpha і tg \alpha якщо \cos \alpha=-\frac12і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Показати рішення

Рішення

Функції \sin \alpha та \cos \alpha пов'язує формула \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Підставивши до цієї формули \cos \alpha = -\frac12, Отримаємо:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Це рівняння має 2 розв'язки:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті синус позитивний, тому \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Для того щоб знайти tg \alpha , скористаємося формулою tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Приклад 2

Знайдіть \cos \alpha і ctg \alpha , якщо і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Показати рішення

Рішення

Підставивши у формулу \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1це за умовою число \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), отримуємо \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Це рівняння має два рішення \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті косинус негативний, тому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Для того щоб знайти ctg \alpha , скористаємося формулою ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Відповідні величини нам відомі.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).