MBNOU "3-sonli litsey (badiiy)"

Darsni matematika o'qituvchisi tayyorladi

Svatkovskaya Elena Aleksandrovna

GEOMETRIYA FANIDAN OCHIQ DARS

"PİFAGOR TEOREMASI" MAVZUDAGI MAMULLARNI YECHISH.

Dars turi: dars - umumlashtirish.
Dars maqsadlari: A) tarbiyaviy: turdosh fanlarni o‘rganish va ta’limni davom ettirish uchun yetarli bo‘lgan kundalik hayot va mehnat faoliyatida zarur bo‘lgan geometrik bilim va ko‘nikmalar tizimini kuchli va ongli ravishda egallashni ta’minlash; algoritmik fikrlashni shakllantirish; fanga qiziqishni shakllantirish; B) rivojlanmoqda: talabalarda aniq, tejamkor, ma'lumotli nutqni, eng mos tilni (xususan, ramziy, grafik) tanlash qobiliyatini rivojlantirish; tuzilmagan savol, ma'lumotlarni tahlil qilish, tadqiqot vazifalari bilan muammolarni hal qilish orqali o'quvchilarning sinfdagi ijodiy aqliy faoliyati; maktab o'quvchilarining shaxsining intellektual fazilatlarini rivojlantirishga ko'maklashish (mustaqillik, fikrlashning moslashuvchanligi, muammoni "ko'rish" qobiliyati, baholash harakatlari, umumlashtirish), tezkor almashtirish; individual va mustaqil ishlash ko'nikmalarini shakllantirish qobiliyati; fikrni aniq va aniq ifodalash qobiliyatini shakllantirish; Pifagor teoremasini qo'llash, natija va uning teskari teoremasi ko'nikmalarni shakllantirish: to'g'ri burchakli uchburchakdan noma'lum oyoq yoki gipotenuzani yoki boshqa figuralarning elementlarini topish, uchburchak turini aniqlash. B) tarbiyaviy berilgan algoritmga muvofiq harakat qilish va yangilarini loyihalash qobiliyatini tarbiyalash; voqelikni bilish usullari bilan umumiy tanishtirish; matematik fikrlashning go'zalligi va nafisligini tushunish; o‘quvchilarni amaliy masalalarni yechishda, axborot texnologiyalaridan foydalangan holda jalb qilish orqali fanga qiziqish uyg‘otish; matematik yozuvlarni aniq va to'g'ri bajarish qobiliyatini shakllantirish.
KOPLEKETLARNI rivojlantirish:
Mas'uliyat va moslashuvchanlik Muloqot qobiliyatlari Ijodkorlik va qiziquvchanlik Tanqidiy va tizimli fikrlash Axborot va ommaviy axborot vositalari bilan ishlash qobiliyati Muammolarni qo'yish va hal qilish qobiliyati O'z-o'zini rivojlantirishga e'tibor berish Ijtimoiy javobgarlik

AKT: taqdimot darsida va kompyuter testida foydalanish.

DARS REJASI:

O'tilgan materialni takrorlash. (1-4 slaydlar) Uy vazifasini tekshirish: hind matematigi Bxaskaraning terak masalasi. (slayd 5-6) Og'zaki so'rov. (7-13-slaydlar) O'tilgan materialni test shaklida tekshirish, so'ngra talabalarning o'zlari tomonidan tekshirish. (slaydlar 14-17) “Pifagor teoremasi” mavzusidagi masalalarni yechish:

a) 11-asr arab matematigining qushlar haqidagi qadimiy muammosi; (slaydlar 18-20) b) otuvchilar haqidagi muammo; (21-slayd) v) aylana xossalaridan foydalanilgan masala. (22-25 slaydlar)

Uyga vazifa: (26-29-slaydlar)

a) qamish haqidagi qadimiy muammo; b) aylanaga tegish xossasidan foydalaniladigan masala. v) eslatmani tahlil qilish; d) Krossvordni yeching.

Tarixiy ma'lumotlar (30-34-slaydlar). Darsni yakunlash, baholash.

Darslar davomida:
1. O'TKAZILGAN MATERIALNING TAKRORI. Doskaga nazariy hisob-kitoblar bilan 1-4 slaydlar proyeksiya qilinadi.
2. UY VAZIFANI TEKSHIRING. 5-6 slaydlar doskaga proyeksiya qilinadi. Talabalar to'g'riligini tekshiradilar Terak haqidagi masala hind matematiki Bxaskara.
Daryo bo‘yida yolg‘iz terak o‘sdi. To'satdan kuchli shamol uning tanasini sindirdi. Bechora terak qulab tushdi. To'g'ri chiziqning daryo oqimi bilan burchagi esa uning magistrali edi. Esingizda bo'lsin, o'sha joyda daryoning kengligi bor-yo'g'i to'rt fut edi. Tepasi daryoning chetiga suyanib, magistraldan atigi uch fut qolgan edi. Sizdan iltimos qilaman, tezda ayting: terak qanchalik baland?
Yechim.CD magistralning balandligi bo'lsin.BD = ABPifagor teoremasi bo'yicha, biz borAB²=AC²+BC²,AB²=9+16=25, AB = 5.CD = CB + BD,CD = 3 + 5 = 8.Javob: 8 fut.

3. OG'OZIQ SO'ROQ. 7-13-slaydlar doskaga proyeksiya qilinadi, ularda bir vaqtning o'zida yechimni sharhlash bilan vazifalar ko'rsatiladi. a) A burchakning kosinusini va B burchakning kosinusini toping.
(chunki cos b) AOC to'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasi qanday yoziladi. (AC²=AO²+OS²) v) Tomonlari butun sonlardan iborat bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchaklar nima deyiladi? raqamlar?(Pifagorcha)

d) Tomonlari proporsional bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar nima deyiladi

3, 4 va 5 raqamlariga birlikmi?(Misr)

e) Rasmda nechta Pifagor uchburchagi ko'rsatilgan?(3)

f) EH to‘g‘ri burchakli uchburchakning EH oyog‘ini topingF.

H F

EH=HF=x
x²+x²=1600
2x²=1600
x²=800
x=20√2 (mm)

g) ABCD perimetrini toping.

BC=CD=DE=AE=4
AD=8

TriangleABE:
AB²=AE²+BE²
AB²=16+16
AB²=32
AB=4√2

P=4+4+8+4√2=
=16+4√2

4. O'TKAZILGAN MATERIALNING SINOV SHAKLIDA TASHIRISH.

Talabalar test topshiriqlari yozilgan kartalarni olishadi (2 nusxada fotokopisi bilan).

qog'oz). Savollarga javob berib, talabalar birinchi nusxani topshiradilar.

o'qituvchiga, ikkinchisida esa slaydlardagi topshiriqlarning to'g'riligini tekshiradilar,

o'qituvchi tomonidan doskaga proektsiyalangan (14-17 slaydlar).

1 variant 1. Quyidagi uchburchaklardan qaysi biri to'rtburchaklar?
2. Pifagor teoremasini qo'llang? a B C) 3. To'rtburchak uchburchakning oyog'ini toping holnik, agar uning gipotenuzasi 17 sm bo'lsa, ikkinchi oyog'i esa 8 sm. a) 289 sm c) 15 sm e) 64 sm b) 120 sm d) 23 sm 4. Kvadrat tomoni a. summasini toping uning diagonallari uzunligi. a) a c) 2a
e) 2a b) a d) a
Variant 2 1. Berilgan uchburchaklardan qaysi biri to'rtburchaklar?
2. Bu uchburchaklardan qaysi biri mumkin Pifagor teoremasini qo'llang?a B C) 3. To‘rtburchakning gipotenuzasini toping uchburchak, agar uning oyoqlari teng bo'lsa 5 sm va 12 sm. a) 5 sm c) 12 sm e) 169 sm b) 13 sm d) 17 sm 4. Kvadrat diagonalining yarmi b. Uning tomonini toping. a) c) b e) bb) b d) 2b

5. “PİFAGOR TEOREMASI” MAVZUDAGI MASALALAR YECHISH.

Hamma talabalar doskada va daftarda masalalar yechishadi, ikkitasi esa kompyuterda o'tirishadi va

muammolarni mustaqil hal qiladi.

a) 11-asr arab matematigining qushlar haqidagi muammosi (doskada 18-20-slaydlar):

Daryoning ikki qirg'og'ida bir-biriga qarama-qarshi palma daraxtlari o'sadi. Birining balandligi 30 tirsak, ikkinchisining balandligi 20 tirsak. Ularning tagliklari orasidagi masofa 50 tirsak. Har bir palma daraxtining tepasida bir qush o'tiradi. To'satdan ikkala qush ham palma daraxtlari orasidan suv yuzasiga suzayotgan baliqni payqadi. Ular bir vaqtning o'zida uning oldiga yugurdilar va bir vaqtning o'zida unga etib kelishdi. Baliq balandroq palma tagidan qancha masofada paydo bo'lgan?

Shunday qilib, ADB uchburchagida: AB \u003d BD + AD

AB \u003d 302 + X

AB=900+ X

uchburchakda AEC: AC \u003d Idoralar + AE

AC \u003d 202 + (50 - X)

AC=400+2500 – 100X+X

AC \u003d 2900 - 100X + X.

Ammo AB = AC, chunki ikkala qush ham bu masofalarni bir vaqtning o'zida uchib o'tgan.

Shuning uchun, AB \u003d AC,

900 + X \u003d 2900 - 100X + X,

100X=2000,

b) Otishmalar haqidagi topshiriq (topshiriq matni bilan 21-slayd doskada):

To'g'ri yo'lga parallel ravishda undan 500 metr masofada otishmalar zanjiri joylashgan. Ekstremal o'qlar orasidagi masofa 120 metrni tashkil qiladi. O'qning masofasi 2,8 kilometrni tashkil qiladi. Yo'lning qaysi qismi hujum ostida?

Shunday qilib, ABE uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchakdir.

AB=AE+BE

AE=AB-BE=2800-500=7840000-250000=7590000

AE=100
(m)

AE+FD=200 (m)

AD=120+200 (m).

Javob: olov ostidagi yo‘l uzunligi 120+200 metr.

Keyin doskaga o'qituvchining izohlari bilan 22-24 slaydlar proyeksiyalanadi. Talabalar

ushbu eslatmaning shunga o'xshash nusxasini oling.

v) Doira xossalaridan foydalangan holda topshiriq (doskada matnli 25-slayd

Markazi O boʻlgan aylana boʻylab AB akkordasi chizilgan. K nuqtasi akkordning o'rtasidir.
Toping: - aylana radiusi, agar AB=24 sm, OK=5 sm bo'lsa; - AB, radius 17 sm bo'lsa, OK = 8 sm.

Shunday qilib, KOV uchburchagi to'rtburchaklar shaklida: AB \u003d 2AK \u003d 2KV; RH=OK+KV RH=OK+KV RH=12+5=144+25=169 KV=RH-CO=17-8=289-64=225 RH=13 (sm). CV=15 (sm) AB=2KV=30 (sm).

6. UYGA VAZIFA. Talabalar topshiriqlar matni bilan chop etilgan qog'ozni olishadi.
a) Xitoyning "To'qqiz kitobdagi matematika" dan qadimiy muammo:

“Yeri 1 zhang = 10 chi boʻlgan suv ombori bor, uning markazida qamishlar oʻsadi, ular suvdan 1 chi baland chiqib turadi, qamishni qirgʻoq tomon tortsang, u shunchaki tegib ketadi. Savol tug'iladi: suvning chuqurligi va qamishning uzunligi qancha? "
b) Aylanaga teguvchi xossalardan foydalanish masalasi:

Markazi O bo'lgan aylanaga MK tangens chizilgan, bu erda M teginish nuqtasidir.
Toping:

a) MK, agar OK = 12 m va aylana radiusi 8 mm bo'lsa;

b) aylana radiusi, agar MK=6 sm, OK=8 sm.

c) Eslatmani tahlil qilish.

d) Krossvordni yeching:

Gorizontal:

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlaridan biri; Pifagor teoremasida qo'llaniladigan harakat; To'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomoni; Darsda o'rganilgan teoremaga nomi berilgan qadimgi yunon matematigi; Pifagor teoremasida ko'rsatilgan raqam; "Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng" degan gap to'g'ri bo'lgan uchburchak turi; Pifagor teoremasida gipotenuzaning ham, oyoqlarning ham ko'tarilgan kuchi.

7. TARIXIY XULOSA.

Doskada 29-33-slaydlar Pifagorning tug‘ilishi, Pifagor teoremasining ochilishi haqidagi ma’lumotlar ko‘rsatilgan. Materialni oldindan tayyorlagan talabalar parchalarni o'qiydilar.

a) Pifagor 600-590 yillarda tug'ilgan. Masih tug'ilishidan oldin va taxminan yuz yil yashagan. Uning tug'ilishi haqida ko'plab g'alati afsonalar bizning kunlarimizgacha etib kelgan. Ulardan ba'zilari u oddiy o'lik odam emas, balki dunyoga kirib, insoniyatni o'rgatish uchun odam qiyofasini olgan xudolardan biri ekanligini ta'kidlaydilar.

b) 1000 yillik qadimiy an'analar davomida Pifagor shaxsi uchun haqiqiy va chuqur hurmatga sazovor ma'lumotlar ko'plab afsonalar, ertaklar va ertaklar bilan aralashib ketgan. Afsonalar Pifagorni mo''jiza yaratuvchisi deb e'lon qilish uchun bir-biri bilan kurashdilar; Uning oltin sonli ekanligi, odamlar uni bir vaqtning o'zida ikki xil shaharda shogirdlari bilan gaplashayotganini ko'rganlari, bir kuni u ko'plab hamrohlari bilan daryodan o'tayotganda va u bilan gaplashganda, daryo qirg'oqlaridan to'lib toshgan va hayqirgan. baland g'ayritabiiy ovoz: "Ha Yashasin Pifagor!" U Tirreniyada ko'plab tirreniyaliklarning hayotiga zomin bo'lgan zaharli ilonni chaqishi bilan o'ldirgan, zilzilalar haqida bashorat qilgan, epidemik kasalliklarni to'xtatgan, bo'ronlarning oldini olgan, dengiz to'lqinlarini bostirgan.

c) Porfiriy Pifagor haqida shunday hikoya qiladi: Tarentumda u o'tda yashil loviya chaynab yurgan buqani ko'rdi va cho'ponning oldiga bordi va unga buqaga buni qilmaslikni aytishni maslahat berdi. Cho'pon kula boshladi va buqa gapirishni bilmasligini aytdi; keyin Pifagorning o'zi buqaning oldiga borib, qulog'iga nimadir deb pichirladi, shundan so'ng u nafaqat qunduzdan uzoqlashdi, balki boshqa loviyaga tegmadi, balki o'sha vaqtdan beri yashadi va ma'badda Tarentumda juda qarilikda vafot etdi. Hera shahri, u erda u muqaddas buqa sifatida tanilgan va o'tkinchilar tomonidan unga non bilan oziqlangan.

d) Masalan, Diogen Laertes shunday deydi: “Italiyada paydo bo'lgan Pifagor o'ziga er ostidan turar joy ajratdi va onasiga hamma narsani va qachon sodir bo'layotganini yozib qo'yishni buyurdi va u kelguncha lavhalarni unga tushirdi. tashqariga. Onam shunday qildi; Pifagor esa vaqt kutgandan so‘ng, skeletdek qurigan holda chiqib, xalq yig‘ini oldida paydo bo‘ldi va o‘zining Hadesdan kelganini e’lon qildi va shu bilan birga, ular bilan sodir bo‘lgan hamma narsani ularga o‘qib berdi. Hamma o'qiganlaridan hayratda qoldi, yig'ladi va yig'ladi va Pifagor Xudo hisoblangan. Shunga qaramay, Pifagor haqidagi barcha afsonalarning asosiy ohangi bir xil edi:

"Hech kim haqida juda ko'p va g'ayrioddiy gapirilmaydi" (Porfiri).

e) Pifagor tomonidan teoremaning kashfiyoti go'zal afsonalar bilan o'ralgan. Prokl Evklid elementlarining I kitobining oxirgi jumlasini sharhlar ekan, shunday yozadi: “Agar siz qadimgi afsonalarni takrorlashni yaxshi ko'radiganlarga quloq solsangiz, bu teorema Pifagorga borib taqaladi, deyishingizga to'g'ri keladi; Aytishlaricha, bu kashfiyot sharafiga u buqani qurbon qilgan. Biroq, saxiyroq hikoyachilar bitta buqani bitta gecatombga aylantirdilar va bu allaqachon yuzta. Garchi Tsitseron har qanday qon to'kilishi Pifagor tartibining nizomiga yot ekanligini payqagan bo'lsa-da, bu afsona Pifagor teoremasi bilan mustahkam birlashdi va ikki ming yil o'tgach, iliq javoblarni uyg'otishni davom ettirdi.

8. DARSNI XAMLASHTIRISH.

To'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari 3 sm va 5 sm bo'lsa, uning gipotenuzasi tushgan balandlikni toping.

Ushbu muammoni hal qilish uchun uchburchakni va, albatta, to'rtburchakni chizish kerak. Keyingi yechimning qulayligi uchun men uni gipotenuzada yotqizaman.

Endi balandlikni chizamiz. Bu nima haqida? Bu uchburchakning burchagidan qarama-qarshi tomonga chizilgan va bu tomon bilan to'g'ri burchak hosil qiluvchi chiziq.

34 sm ildiz qaerdan paydo bo'lgan? Pifagor teoremasidan foydalanib, oyoqlari ma'lum bo'lgan uchburchakning gipotenuzasini topish juda oson: (bir oyoqning kvadrati) + (ikkinchi oyoqning kvadrati) \u003d (gipotenuzaning kvadrati) \u003d 9 + 25 \u003d 34.
Gipotenuza \u003d gipotenuza kvadratining ildizi \u003d 34 sm ildiz.

Balandlikni chizgandan so'ng, ikkita ichki uchburchak paydo bo'ldi. Bizning vazifamizda, aslida, harflar bilan belgilash foydasiz, ammo aniqlik uchun:

Demak, ABC uchburchagi bor edi, unda BD balandligi AC gipotenuzasiga tushirilgan. Ikkita ichki to'g'ri burchakli uchburchaklar paydo bo'ldi: ADB va BDC. Biz balandlik gipotenuzani qanday ajratganini bilmaymiz, shuning uchun kichikroq noma'lum qismni - AD - x bilan, kattaroq - DC - AC va x o'rtasidagi farq bilan belgilaymiz, ya'ni. (ildiz 34)-x sm.

Kerakli balandlikni y bilan belgilaymiz. Endi, Pifagor teoremasiga ko'ra, ikkita ichki to'g'ri burchakli uchburchakdan biz tenglamalar tizimini tuzamiz:
x^2 + y^2 = 9
((34 ning ildizi)-x)^2 + y^2 = 25

Birinchi tenglamadan y ^ 2 ni ifodalang: y ^ 2 = 9 - x ^ 2
Oldinroq ikkinchi tenglamani soddalashtirgan holda almashtiring: ((34 ning ildizi)-x)^2 + y^2 = 34 - 2*(34 ning ildizi)*x + x^2 + y^2 = 34 - 2*( 34 ning ildizi)*x + x^2 + 9 - x^2 = 43 - 2*(34 ning ildizi)*x = 25
2*(34 ning ildizi)*x = 18
x = 9/(34 ning kvadrat ildizi)

Xayr! Deyarli tugatildi! Endi yana Pifagor teoremasiga ko'ra, ABD uchburchagidan:
(kvadrat gipotenuza) - ((topilgan x) kvadrat) = kvadrat istalgan balandlik
AB^2 - x^2 = 9 - 81/34 = 225/34 = h^2
h = 15/(34 ning kvadrat ildizi)

Kvadrat ildizlar va irratsional tenglamalarni (ildiz belgisi ostida noma'lum bo'lgan tenglamalar) echishni o'rganishni birinchi marta boshlaganingizda, ehtimol siz ulardan amaliy foydalanish haqida birinchi fikrga ega bo'lgansiz. Raqamlarning kvadrat ildizini ajratib olish qobiliyati Pifagor teoremasini qo'llash bo'yicha muammolarni hal qilish uchun ham zarur. Bu teorema har qanday to'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining uzunliklarini bog'laydi.

To'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlarining uzunliklari (to'g'ri burchak ostida yaqinlashadigan ikki tomon) va harflari bilan belgilansin va gipotenuzaning uzunligi (to'g'ri burchakka qarama-qarshi joylashgan uchburchakning eng uzun tomoni) belgilansin. xat orqali. Keyin mos keladigan uzunliklar quyidagi munosabat bilan bog'lanadi:

Bu tenglama to'g'ri burchakli uchburchakning boshqa ikki tomonining uzunligi ma'lum bo'lgan taqdirda uning tomoni uzunligini topishga imkon beradi. Bundan tashqari, u har uch tomonning uzunligi oldindan ma'lum bo'lgan taqdirda, ko'rib chiqilayotgan uchburchakning to'g'ri burchakli yoki yo'qligini aniqlash imkonini beradi.

Pifagor teoremasidan foydalanib masalalar yechish

Materialni mustahkamlash uchun biz Pifagor teoremasini qo'llash bo'yicha quyidagi muammolarni hal qilamiz.

Shunday qilib, berilgan:

1. Oyoqlardan birining uzunligi 48, gipotenuzasi 80 ga teng.
2. Oyoqning uzunligi 84, gipotenuzasi 91.

Keling, yechimga o'tamiz:

a) ma’lumotlarni yuqoridagi tenglamaga qo‘yish quyidagi natijalarni beradi:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 yoki b = -64

Uchburchak tomonining uzunligini manfiy son sifatida ifodalab bo'lmagani uchun ikkinchi variant avtomatik ravishda o'chiriladi.

Birinchi rasmga javob: b = 64.

b) Ikkinchi uchburchakning oyoq uzunligi xuddi shunday topiladi:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 yoki b = -35

Oldingi holatda bo'lgani kabi, salbiy yechim tashlanadi.

Ikkinchi rasmga javob: b = 35

Bizga beriladi:

1. Uchburchakning kichik tomonlari uzunligi mos ravishda 45 va 55 ga, kattaroq tomonlari esa 75 ga teng.
2. Uchburchakning kichik tomonlari uzunligi mos ravishda 28 va 45 ga, kattaroq tomonlari esa 53 ga teng.

Muammoni hal qilamiz:

a) Berilgan uchburchakning kichik tomonlari uzunliklari kvadratlari yig'indisi kattaroqining uzunligi kvadratiga teng yoki yo'qligini tekshirish kerak:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Shuning uchun birinchi uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak emas.

b) Xuddi shu operatsiya bajariladi:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Demak, ikkinchi uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir.

Birinchidan, (-2, -3) va (5, -2) koordinatali nuqtalar hosil qilgan eng katta segment uzunligini toping. Buning uchun to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqtalar orasidagi masofani topish uchun taniqli formuladan foydalanamiz:

Xuddi shunday, (-2, -3) va (2, 1) koordinatali nuqtalar orasiga o'ralgan segment uzunligini topamiz:

Nihoyat, (2, 1) va (5, -2) koordinatali nuqtalar orasidagi segment uzunligini aniqlaymiz:

Chunki tenglik mavjud:

u holda mos keladigan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir.

Shunday qilib, biz muammoning javobini shakllantirishimiz mumkin: eng qisqa uzunlikdagi tomonlar kvadratlarining yig'indisi eng uzun uzunlikdagi tomonning kvadratiga teng bo'lganligi sababli, nuqtalar to'g'ri burchakli uchburchakning uchlari hisoblanadi.

Poydevor (qat'iy gorizontal joylashgan), tirgak (qat'iy vertikal ravishda joylashgan) va kabel (diagonal ravishda cho'zilgan) mos ravishda to'g'ri burchakli uchburchakni tashkil qiladi, Pifagor teoremasi kabelning uzunligini topish uchun ishlatilishi mumkin:

Shunday qilib, kabelning uzunligi taxminan 3,6 metrni tashkil qiladi.

Berilgan: R nuqtadan P nuqtagacha (uchburchakning oyog'i) masofa 24, R nuqtadan Q nuqtagacha (gipotenuza) - 26.

Shunday qilib, biz Vityaga muammoni hal qilishga yordam beramiz. Rasmda ko'rsatilgan uchburchakning tomonlari to'g'ri burchakli uchburchak hosil qilishi kerakligi sababli, uchinchi tomonning uzunligini topish uchun Pifagor teoremasidan foydalanishingiz mumkin:

Shunday qilib, hovuzning kengligi 10 metrni tashkil qiladi.

Sergey Valerievich

Abadiy birlik ramzi sifatida
Abadiy do'stlikning oddiy belgisi sifatida
Siz ulandingiz, gipotenuza,
Siz bilan abadiy konkida uchadi.
Siz sirni yashirdingiz
Tez orada dono yunon paydo bo'ldi
Va Pifagor teoremasi
U sizni abadiy ulug'ladi.

Maqsadlar:

• Pifagor teoremasini masalalar yechishda qo‘llash bo‘yicha bilim va ko‘nikmalarni tizimlashtirish, umumlashtirish, ularning amaliy qo‘llanilishini ko‘rsatish;
• matematik fikrlashni rivojlantirishga yordam berish;
• qiziquvchanlikni tarbiyalash.

Uskunalar: Pifagor portreti, televizor minorasining chizmasi va maketi, aqliy hisoblash uchun jadvallar.

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

2. Tayyor chizmalar bo'yicha ishlash

Ushbu shartlardan foydalanib, uchburchakning maydonini topish mumkinmi?
- Bu vazifalarga yana qanday savol berish mumkin?
- Uchburchaklarning maydonlarini toping.
Uchburchaklarning tomonlarini topish uchun qanday teoremadan foydalandingiz?
– 1, 4 va 3 uchburchaklar qanday nomlanadi? (Pifagorcha)
Bunday uchburchaklarga ko'proq misollar keltiring.
– Tomonlari 6, 29 va 25 boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchakmi? Buni isbotlash uchun qanday teoremadan foydalandingiz?

Bu vaqtda 4 nafar talaba mustaqil ishlaydi.

1. Agar to‘rtburchakning diagonali 10 sm bo‘lsa va bir tomoni bilan 30 o burchak hosil qilsa, uning maydonini toping. (25√3 sm2)

2. To‘g‘ri to‘rtburchak trapetsiyada asoslari 22 sm va 6 sm, katta tomoni 20 sm.Trapezoidning maydonini toping. (224 sm 2)

3. Tayyor chizmalar bo’yicha 3 darajali mustaqil ish.

1 variant

1) a = 3 sm h = 4 sm Bilan -?	2) c = 10 sm h = 8 sm a -?	3) a \u003d 10 sm h = 5 sm S-?

Variant 2

1) a = 0,3 sm c = 0,5 sm v - ?

2) AD = 3 sm BD-?

3) BD = 10 sm AD = 8 sm Sp. - ?

3 variant

Javoblar jadvali yordamida o'z-o'zini tekshirish ishi.

4. Muammoni hal qilish

Rombning diagonallari 10 sm va 24 sm bo'lsa, uning tomoni va maydonini toping.

Berilgan: ABCD - romb, BD = 10 sm, AC = 24 sm
Toping: AB va S rombi

1. BD romb diagonallari xossasi bilan AC ga perpendikulyar.
2. ABO uchburchagini ko'rib chiqaylik: O = 90, BO = 5 sm, AO = 12 sm.Pifagor teoremasiga ko'ra, AB = BO 2 + AO 2 AB = 13 sm.
3. S \u003d 1/2 * 10 * 24 \u003d 120 sm 2.

Javob: AB \u003d 13 sm, S \u003d 120 sm 2

AB = 10 sm, BC = DA = 13 sm, CD = 20 sm bo'lsa, asoslari AB va CD bo'lgan ABCD trapesiyaning maydonini toping.

Berilgan: ABCD - trapesiya, AB va CD asoslari, AB \u003d 10
CD = 20 sm, BC = DA = 13 sm
Toping: S?

1. AH balandligini chizing va ADH uchburchagini ko'rib chiqing: H = 90, AD = 13 sm,
DH \u003d (20 - 10): 2 \u003d 5 sm.
AN \u003d 13 2 - 5 2 \u003d 12 sm

2. S \u003d (20 + 10): 2 * 12 \u003d 180 sm 2

Javob: S \u003d 180 sm 2.

Muammolarni yechishda qanday formulalardan foydalangansiz? Uchburchakning maydonini hisoblash uchun qanday formulalar mavjud?

Bugun Masha L. sizni yon tomoni bo'ylab teng qirrali uchburchakning maydonini hisoblash formulasi bilan tanishtiradi. (Talaba uyda mustaqil ravishda topshiriq tayyorladi.)

S = a 2 * √3/4, bu erda a - uchburchakning tomoni.

Ushbu formulani qo'llash bo'yicha masalani yechish.

Uchburchak tomoni 1 sm bo'lgan 4 ta uchburchakdan iborat. Qancha teng tomonli uchburchakni ko'rasiz? Bu uchburchakning maydoni qancha?

Muammoning yechimi: 5 ta teng qirrali uchburchak, a \u003d 2 sm, keyin S \u003d √3 kv. birlik.

5. Amaliy topshiriq

O'quvchilarning bajarilgan ishlar bo'yicha hisoboti: Qishlog'imizda balandligi 124 m bo'lgan teleminora bor.Uning vertikal turishi uchun kengaytmalar kerak, ular bir necha darajali. Bizga 4 nafar pastroq yigit uchun qancha metr arqon kerak bo'lishini aniqlash topshirildi.

Stretch belgilari bir xil uzunlikda bo'lganligi sababli, vazifa bitta cho'zilish uzunligini topishga qisqartirildi. Buning uchun biz to'g'ri burchakli uchburchakni tanladik, uning oyoqlari AC va CB masofalaridir. Biz arqonning 40 m (AC = 40 m) balandlikda biriktirilganligini bilib oldik va minora poydevoridan sirtdagi arqon qo'shimchasiga masofani o'lchab oldik (CB = 24 m). Pifagor teoremasiga ko'ra, AB \u003d 46,7 m, ya'ni kabelga kamida 186,8 m kerak bo'ladi.

Ma'ruza davomida teleminoraning maketi va uning chizmasi ko'rsatiladi.

6. Darsning qisqacha mazmuni

7. Uyga vazifa

Darsni shunday yakunlang: Aytishlaricha, fanning san’atdan farqi shundaki, san’at ijodi abadiy bo‘lsa-da, ilmning buyuk ijodi umidsiz qariydi. Yaxshiyamki, bunday emas, Pifagor teoremasi bunga misol bo'ladi, biz undan foydalanganmiz va masalalarni yechishda qo'llaymiz.

Dars mavzusi

Pifagor teoremasi

Dars maqsadlari

Maktab o'quvchilarini Pifagor teoremasi bilan tanishtirish;
Pifagor teoremasini tuzing va isbotlang;
Maktab o'quvchilarini masalalar yechishda ushbu teoremani qo'llashning turli usullari bilan tanishtirish;
Olingan bilimlarni amaliyotda qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish;
Talabalarning geometriyaga e'tiborini, mustaqilligini va qiziqishini rivojlantirish;
Matematik nutq madaniyatini tarbiyalash.

Dars maqsadlari

Vazifalarni bajarishda shakllarning xossalaridan foydalanishni o'rganing.
Masalani yechishda Pifagor teoremasini qo‘llay bilish.

Dars rejasi

Qisqacha biografik ma'lumot.
Teorema va uning isboti.
Qiziq faktlar.
Muammoni hal qilish.
Uy vazifasi.

Pifagor haqida qisqacha biografik ma'lumotlar

Afsuski, Pifagor o'z tarjimai holi haqida hech qanday yozuv qoldirmadi, shuning uchun biz bu buyuk faylasuf va mashhur matematik haqidagi barcha ma'lumotlarni faqat uning izdoshlarining xotiralari tufayli bilib olishimiz mumkin, va hatto har doim ham adolatli emas. Shuning uchun bu odam haqida ko'plab afsonalar mavjud. Ammo haqiqat shundaki, Pifagor buyuk ellin donishmasi, faylasufi va iste'dodli matematiki edi.

Ishonchsiz ma'lumotlarga ko'ra, buyuk donishmand va ajoyib olim Pifagor miloddan avvalgi 570-yillarda Samos orolida kambag'al oilada tug'ilgan.

Yorqin bolaning tug'ilishi Pafiya tomonidan bashorat qilingan. Shuning uchun, kelajakdagi yoritgich o'zining Pifagor ismini oldi, ya'ni bu aynan Pafiya e'lon qilgan kishi. U kelajakda tug'ilgan chaqaloq odamlarga ko'p foyda va yaxshilik olib kelishini bashorat qilgan.

Yangi tug'ilgan chaqaloq aqldan ozgan darajada chiroyli edi va zamonaviy davrda o'zining ajoyib qobiliyatlari bilan atrofdagilarni xursand qildi. Yosh iste’dod donishmand oqsoqollar safida o‘tgani esa, kelajakda o‘z samarasini berdi. Shunday qilib, Hermodamantus tufayli Pifagor musiqaga oshiq bo'ldi va Feresid bolaning ongini logotipga yo'naltirdi. Pifagor Samoseyda yashagach, Mileyga bordi va u erda boshqa olim Thales bilan uchrashdi.

Pifagor o'sha davrda ma'lum bo'lgan barcha donishmandlarning bilimlari bilan tanishdi, chunki u boshqalarga taqiqlangan barcha sirlarni o'rgatish va bilishga qabul qilindi. U haqiqatning tubiga kirib, insoniyat tomonidan to'plangan barcha bilimlarni o'zlashtirishga harakat qildi.

Yigirma ikki yil Misrda bo'lganidan so'ng, Pifagor Bobilga ko'chib o'tdi va u erda turli xil donishmandlar va sehrgarlar bilan aloqani davom ettirdi. Umrining oxirida Samiosga qaytib, u o'sha davrning eng donishmandlaridan biri sifatida tan olingan.

Pifagor teoremasi

Hatto bu teoremani o'rganish imkoniga ega bo'lmagan odam ham, ehtimol, "Pifagor shimlari" haqidagi iborani eshitgandir. Bu teoremaning o‘ziga xos xususiyati shundaki, u Yevklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biriga aylangan. Bu sizga to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari orasidagi yozishmalarni osongina topish va o'rnatish imkonini beradi.

Pifagor teoremasi har bir maktab o'quvchisi tomonidan nafaqat "Pifagor shimlari har tomondan teng" degan gap bilan, balki uning soddaligi va ahamiyati bilan eslab qoldi. Va bir qarashda, bu teorema, garchi u oddiy ko'rinsa ham, katta ahamiyatga ega, chunki geometriyada u deyarli har bir qadamda qo'llaniladi.

Pifagor teoremasi juda ko'p turli xil dalillarga ega va ehtimol shunchalik ko'p dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bunday xilma-xillik bu teoremaning cheksiz ahamiyatini ta'kidlaydi.

Pifagor teoremasi geometrik, algebraik, mexanik va boshqa dalillarni o'z ichiga oladi.

Pifagor teoremani kashf etgani haqida turli xil afsonalar mavjud. Ammo, bularning barchasiga qaramay, Pifagor nomi geometriya tarixiga abadiy kirdi va Pifagor teoremasi bilan mustahkam birlashdi. Axir, bu zo'r matematik birinchi bo'lib o'z nomi bilan atalgan teoremaning isbotini taqdim etadi.

Teoremaning bayonlari

Pifagor teoremasining bir nechta formulalari mavjud.

Evklid teoremasi to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchak ustiga chizilgan tomonining kvadrati to'g'ri burchakni o'rab turgan tomonlarning kvadratlariga teng ekanligini aytadi.

Vazifa: Pifagor teoremasining turli formulalarini toping. Ularning orasidagi farqni topdingizmi?

Evklidning soddalashtirilgan isboti

Biz parchalanish usulini yoki Evklid isbotini olishimizdan qat'i nazar, kvadratlarning har qanday tartibidan foydalanish mumkin. Ba'zi hollarda kichik soddalashtirishlarga erishish mumkin.

Keling, bir oyoqqa qurilgan va uchburchak bilan bir xil joyga ega bo'lgan kvadratni olaylik. Bu kvadratning oyog'iga qarama-qarshi tomonning davomi gipotenuzaga qurilgan kvadrat tepasidan o'tishini ko'ramiz.

Teoremaning isboti juda oddiy ko'rinadi, chunki raqamlarning maydonlarini uchburchakning maydoni bilan solishtirish juda oddiy bo'ladi. Va biz uchburchakning S maydoni kvadratning ½ ga, shuningdek to'rtburchakning S ning ½ ga teng ekanligini ko'ramiz.

Eng oddiy dalil

Algebraik isbot

Pifagor teoremasining algebraik isboti algebrada mavjud bo'lgan elementar usullarni o'z ichiga oladi. Bu o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli bilan birlashtirilgan tenglamalarni echish usullari.

Keling, ushbu dalilni batafsil ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, bizda to'g'ri burchagi C bo'lgan ABC to'rtburchaklar mavjud.

Ushbu burchakdan CD balandligini chizing.

Burchakning kosinus ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

cosA=AD/AC=AC/AB. Demak, AB*AD=AC2.

Va shunga mos ravishda:

cosB = BD/BC=BC/AB.

Demak, AB*BD=BC2.

Endi bu tengliklarni hadlar bo‘yicha qo‘shamiz va ko‘ramiz: AD+DB=AB,

AC2+BC2=AB(AD+DB)=AB2.

Hammasi shu, teorema isbotlangan.

Olimlar Pifagor teoremasini multfilmlar yordamida isbotladilar. Institutdan bir guruh hamfikrlar. Steklova mukofotni maktab o'quvchilari va o'qituvchilari uchun ishlab chiqqan original matematik loyihasi uchun oldi. Ular ushbu zerikarli mavzuni juda qiziqarli va ma'lumotli mavzuga aylantirgan mini matematika darslarini yaratdilar. Yosh olimlar o‘zlarining g‘ayrioddiy eskizlarini disklarga chiqarib, hamma ko‘rishi uchun internetga joylashtirdilar.

Savollar

1. Pifagor kim?
2. Pifagor teoremasi nima deydi?
3. Pifagor teoremasining formulalari qanday?
4. Pifagor teoremasi qanday masalalarni yechishda ishlatiladi?
5. Pifagor teoremasi qayerda amaliy qo‘llanilishini topdi?
6. Pifagor teoremasidan foydalanishning qanday usullarini bilasiz?

Pifagor teoremasidan foydalanish masalalari

Pifagor teoremasi haqidagi bilimlardan foydalanib, quyidagi muammolarni hal qilishga harakat qiling:

Ikki guruh turistlar turistik bazani bir vaqtning o‘zida tark etishdi. Birinchi guruh janubga qarab yetti kilometr piyoda yo‘l oldi, ikkinchisi esa g‘arbga burilib, to‘qqiz kilometr piyoda yo‘l oldi. Teorema bilimlaridan foydalanib, turistlar guruhlari orasidagi masofani toping.

Agar to'g'ri burchakli uchburchakda uning oyog'i 15 sm, gipotenuzasi 16 sm bo'lsa, ikkinchi oyog'i qanday bo'ladi?

Trapetsiyaning katta asosi 24 sm, kichiki 16 va toʻrtburchak trapetsiyaning katta diagonali 26 sm boʻlsa, uning maydoni qancha boʻladi?

Uy vazifasi

Qisqa hisobot shaklida siz tushunadigan va muammolarni hal qiladigan Pifagor teoremasining bir nechta dalillarini tayyorlang.

1. To‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlari 8 sm va 32 sm bo‘lishi sharti bilan uning diagonalini toping.

2. Agar teng yonli uchburchakda perimetri 38 sm, tomoni 15 sm bo'lsa, asosiga tortilgan uchburchakning medianasini toping.

3. Uchburchakning tomonlari 10 sm, 6 sm va 9 sm.Bu uchburchak toʻgʻri burchakli yoki yoʻqligini aniqlab koʻring?

Mavzular > Matematika > Matematika 8-sinf