Yoki arifmetika tartiblangan sonlar ketma-ketligining bir turi boʻlib, uning xossalari maktab algebrasi kursida oʻrganiladi. Ushbu maqolada arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topish masalasi batafsil muhokama qilinadi.

Bu qanday taraqqiyot?

Savolni ko'rib chiqishni davom ettirishdan oldin (arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topish mumkin), nima muhokama qilinishini tushunish kerak.

Har bir oldingi sondan qandaydir qiymatni qo'shish (ayirish) natijasida olingan haqiqiy sonlarning har qanday ketma-ketligi algebraik (arifmetik) progressiya deb ataladi. Matematika tiliga tarjima qilingan ushbu ta'rif quyidagi shaklni oladi:

Bu yerda i qator elementining tartib raqami a i. Shunday qilib, faqat bitta urug'ni bilib, siz butun seriyani osongina qayta tiklashingiz mumkin. Formuladagi d parametr progressiya farqi deb ataladi.

Ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatori uchun quyidagi tenglik mavjudligini osongina ko'rsatish mumkin:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Ya'ni, n-elementning qiymatini tartibda topish uchun birinchi a elementga 1 n-1 marta ayirma d qo'shiladi.

Arifmetik progressiya yig‘indisi nimaga teng: formula

Ko'rsatilgan miqdor uchun formulani berishdan oldin, oddiy narsani ko'rib chiqishga arziydi maxsus holat... Rivojlanish berilgan natural sonlar 1 dan 10 gacha, siz ularning yig'indisini topishingiz kerak. Progressiyada (10) a'zolar kam bo'lganligi uchun masalani birma-bir yechish, ya'ni barcha elementlarni tartibda yig'ish mumkin.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Birini ko'rib chiqishga arziydi qiziq narsa: har bir atama keyingisidan bir xil qiymat bilan farq qilganligi uchun d = 1, u holda birinchisini o'ninchi bilan, ikkinchisini to'qqizinchi bilan va hokazolarni juftlik bilan yig'ish bir xil natija beradi. Haqiqatan ham:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Ko'rib turganingizdek, bu summalarning faqat 5 tasi bor, ya'ni seriyadagi elementlar sonidan roppa-rosa ikki baravar kam. Keyin yig'indilar sonini (5) har bir summaning (11) natijasiga ko'paytirsangiz, birinchi misolda olingan natijaga erishasiz.

Agar bu fikrni umumlashtirsak, quyidagi ifodani yozishimiz mumkin:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Bu ibora shuni ko'rsatadiki, ketma-ket barcha elementlarni jamlash umuman shart emas, birinchi a 1 va oxirgi a n qiymatini bilish kifoya. jami atamalar n.

Gauss bu tenglik haqida birinchi marta uning berilgan yechimini izlayotganda o'ylagan deb ishoniladi maktab o'qituvchisi vazifa: birinchi 100 ta butun sonni qo'shing.

m dan n gacha bo'lgan elementlar yig'indisi: formula

Oldingi paragrafda keltirilgan formula arifmetik progressiyaning yig’indisini (birinchi elementlar) qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob beradi, lekin ko’pincha masalalarda progressiyaning o’rtasida joylashgan sonlar qatorini umumlashtirish kerak bo’ladi. Buni qanday qilish kerak?

Bu savolga javob berishning eng oson yo'li quyidagi misolni ko'rib chiqishdir: m-dan n-gacha bo'lgan hadlar yig'indisini topish kerak bo'lsin. Muammoni hal qilish uchun progressiyaning m dan n gacha bo'lgan berilgan segmenti yangi sonli qator shaklida taqdim etilishi kerak. Bunday holda mthning ifodalanishi a m terimi birinchi bo'ladi, a n esa n- (m-1) bo'ladi. Bunday holda, yig'indining standart formulasini qo'llash orqali siz quyidagi ifodani olasiz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulalardan foydalanishga misol

Arifmetik progressiyaning yig'indisini qanday topishni bilgan holda, berilgan formulalardan foydalanishning oddiy misolini ko'rib chiqishga arziydi.

Quyida sonli ketma-ketlik berilgan, siz uning a'zolarining yig'indisini 5-dan boshlab va 12-chi bilan yakunlashingiz kerak:

Berilgan raqamlar d ning farqi 3 ekanligini ko'rsatadi. n-element uchun ifodadan foydalanib, progressiyaning 5 va 12-chi hadlari qiymatlarini topish mumkin. Ma'lum bo'lishicha:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Ko'rib chiqilayotgan algebraik progressiyaning oxiridagi raqamlarning qiymatlarini bilish, shuningdek, ular qatordagi qaysi raqamlarni egallashini bilish uchun siz oldingi paragrafda olingan yig'indi uchun formuladan foydalanishingiz mumkin. Bu shunday bo'ladi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu qiymat boshqacha tarzda olinishi mumkin: birinchi navbatda, standart formuladan foydalanib, birinchi 12 elementning yig'indisini toping, so'ngra xuddi shu formuladan foydalanib, birinchi 4 elementning yig'indisini hisoblang, so'ngra birinchi yig'indidan ikkinchisini ayiring.

Onlayn kalkulyator.
Arifmetik progressiya yechimi.
Berilgan: a n, d, n
Toping: a 1

Ushbu matematik dastur foydalanuvchi tomonidan belgilangan \ (a_n, d \) va \ (n \) raqamlariga asoslangan \ (a_1 \) arifmetik progressiyani topadi.
\ (a_n \) va \ (d \) raqamlari nafaqat butun, balki kasr sifatida ham ko'rsatilishi mumkin. Bundan tashqari, kasr son o'nlik kasr (\ (2,5 \)) va kabi kiritilishi mumkin oddiy kasr(\ (- 5 \ frac (2) (7) \)).

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki yechim topish jarayonini ham ko'rsatadi.

Ushbu onlayn kalkulyator o'rta maktab o'quvchilari uchun foydali bo'lishi mumkin umumta'lim maktablari ga tayyorgarlik ko'rmoqda nazorat ishlari va imtihonlar, imtihon oldidan bilimlarni tekshirishda, ota-onalar matematika va algebra bo'yicha ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilishlari kerak. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki iloji boricha tezroq qilishni xohlaysizmi? Uy vazifasi matematikadami yoki algebradami? Bunday holda, siz bizning dasturlarimizdan batafsil yechim bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning ta'lim va / yoki kichik birodarlaringizni o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga hal qilinayotgan muammolar sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Agar siz raqamlarni kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Raqamni kiritish qoidalari

\ (a_n \) va \ (d \) raqamlari nafaqat butun, balki kasr sifatida ham ko'rsatilishi mumkin.
\ (n \) soni faqat musbat butun son bo'lishi mumkin.

O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlardagi butun va kasr qismlar nuqta yoki vergul bilan ajratilishi mumkin.
Masalan, siz kiritishingiz mumkin o'nli kasrlar shuning uchun 2,5 yoki 2,5

Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.
Kasrning soni, maxraji va butun qismi sifatida faqat butun sondan foydalanish mumkin.

Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas.

Raqamli kasrni kiritishda hisoblagich maxrajdan bo'linish belgisi bilan ajratiladi: /
Kiritish:
Natija: \ (- \ frac (2) (3) \)

Butun qism kasrdan ampersand bilan ajratiladi: &
Kiritish:
Natija: \ (- 1 \ frac (2) (3) \)

a n, d, n raqamlarini kiriting

1 ni toping

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Ehtimol, sizda AdBlock yoqilgan.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, iltimosingiz navbatda turibdi.
Bir necha soniyadan so'ng, yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar Siz qarorida xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Unutmang qaysi vazifani ko'rsating Siz qaror qilasiz va nima maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Raqamlar ketma-ketligi

Kundalik amaliyotda turli ob'ektlarning raqamlanishi ko'pincha ularni joylashtirish tartibini ko'rsatish uchun ishlatiladi. Masalan, har bir ko‘chadagi uylar raqamlangan. Kitobxonlar obunalari kutubxonada raqamlanadi, so‘ngra maxsus kartotekalarda belgilangan raqamlar tartibida joylashtiriladi.

Omonat kassasida, omonatchining shaxsiy hisob raqamiga ko'ra, siz ushbu hisobni osongina topishingiz va unda qanday depozit borligini ko'rishingiz mumkin. 1-sonli hisobda a1 rubl, 2-sonli hisobda a2 rubl va boshqalar bo'lsin. raqamli ketma-ketlik
a 1, a 2, a 3, ..., a N
bu erda N - barcha hisoblar soni. Bu erda 1 dan N gacha bo'lgan har bir natural n soniga a n raqami beriladi.

Matematika ham o'rganadi cheksiz sonli ketma-ketliklar:
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
a 1 raqami deyiladi ketma-ketlikning birinchi a'zosi, a 2 raqami - ikkinchi muddat, a 3 raqami - uchinchi muddat va hokazo.
a n raqami deyiladi ketma-ketlikning n-chi (n-chi) hadi, n natural soni esa uning raqam.

Masalan, 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... va 1 = 1 natural sonlar kvadratlari ketma-ketligida ketma-ketlikning birinchi hadi; va n = n 2 bo'ladi n-a'zo ketma-ketliklar; a n + 1 = (n + 1) 2 - ketma-ketlikdagi (n + 1) th (en plus birinchi) had. Ko'pincha ketma-ketlik uning n-chi hadi formulasi bilan berilishi mumkin. Masalan, formula \ (a_n = \ frac (1) (n), \; n \ in \ mathbb (N) \) ketma-ketlikni belgilaydi \ (1, \; \ frac (1) (2), \; \ frac ( 1) (3), \; \ frac (1) (4), \ nuqta, \ frac (1) (n), \ nuqta \)

Arifmetik progressiya

Yilning uzunligi taxminan 365 kun. Aniqroq qiymat \ (365 \ frac (1) (4) \) kun, shuning uchun bir kunga teng xato har to'rt yilda to'planadi.

Ushbu xatoni hisobga olish uchun har to'rtinchi yilga bir kun qo'shiladi va uzaytirilgan yil kabisa yili deb ataladi.

Masalan, uchinchi ming yillikda kabisa yillari 2004, 2008, 2012, 2016, ... yillardir.

Bu ketma-ketlikda uning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, bir xil songa qo'shiladi 4. Bunday ketma-ketliklar deyiladi. arifmetik progressiyalar.

Ta'rif.
1, a 2, a 3, ..., a n, ... sonli ketma-ketlik deyiladi. arifmetik progressiya agar hamma uchun tabiiy n tenglik
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \)
bu yerda d qandaydir son.

Bu formula a n + 1 - a n = d ekanligini bildiradi. d soni farq deyiladi arifmetik progressiya.

Arifmetik progressiyaning ta'rifi bo'yicha bizda quyidagilar mavjud:
\ (a_ (n + 1) = a_n + d, \ to'rtlik a_ (n-1) = a_n-d, \)
qayerda
\ (a_n = \ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \), bu erda \ (n> 1 \)

Shunday qilib, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, ikkita qo'shni a'zoning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng bo'ladi. Bu "arifmetik" progressiya nomini tushuntiradi.

E'tibor bering, agar a 1 va d berilgan bo'lsa, a n + 1 = a n + d takrorlanuvchi formuladan foydalanib, arifmetik progressiyaning qolgan a'zolarini hisoblash mumkin. Shu tarzda, progressiyaning dastlabki bir necha shartlarini hisoblash qiyin emas, ammo, masalan, 100 allaqachon juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi. Buning uchun odatda n-sonli formuladan foydalaniladi. Arifmetik progressiyaning ta'rifi bo'yicha
\ (a_2 = a_1 + d, \)
\ (a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d, \)
\ (a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d \)
va hokazo.
Umuman,
\ (a_n = a_1 + (n-1) d, \)
chunki n-chi muddat arifmetik progressiya birinchi haddan d sonining (n-1) marta qo'shilishi bilan olinadi.
Bu formula deyiladi arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi bilan.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi

1 dan 100 gacha bo‘lgan barcha natural sonlar yig‘indisini topamiz.
Keling, bu summani ikki shaklda yozamiz:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Keling, ushbu tengliklarni atama bo'yicha qo'shamiz:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu summa 100 ta shartga ega
Shuning uchun, 2S = 101 * 100, bundan S = 101 * 50 = 5050.

Endi ixtiyoriy arifmetik progressiyani ko'rib chiqaylik
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
S n bu progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisi bo’lsin:
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Keyin arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisi
\ (S_n = n \ cdot \ frac (a_1 + a_n) (2) \)

\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) bo'lgani uchun, keyin ushbu formulada n ni almashtirsak, biz topish uchun boshqa formulani olamiz. arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi:
\ (S_n = n \ cdot \ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \)

Kitoblar (darsliklar) Referatlar USE va OGE testlari onlayn O'yinlar, boshqotirmalar Grafik funktsiyalari Rus tilining grafik lug'ati Yoshlar lug'ati Rus maktablari katalogi Rossiya o'rta maktablari katalogi Rossiya universitetlari katalogi Vazifalar ro'yxati

Kimdir "progressiya" so'zidan ehtiyot bo'ladi, bu oliy matematikaning tarmoqlaridan juda murakkab atama. Ayni paytda, eng oddiy arifmetik progressiya taksi hisoblagichining ishi (ular hali ham qoladi). Va bir nechta elementar tushunchalarni tahlil qilib, arifmetik ketma-ketlikning mohiyatini (va matematikada "mohiyatni tushunishdan" muhimroq narsa yo'q) tushunish unchalik qiyin emas.

Matematik raqamlar ketma-ketligi

Bir qator raqamlarni raqamli ketma-ketlik bilan nomlash odatiy holdir, ularning har biri o'z raqamiga ega.

a 1 - ketma-ketlikning birinchi a'zosi;

va 2 - ketma-ketlikning ikkinchi a'zosi;

va 7 - ketma-ketlikning ettinchi a'zosi;

n esa ketma-ketlikning n-chi a'zosi;

Biroq, bizni hech qanday o'zboshimchalik bilan raqamlar va raqamlar to'plami qiziqtirmaydi. Biz e'tiborimizni sonli ketma-ketlikka qaratamiz, bunda n-sonning qiymati uning tartib raqami bilan matematik jihatdan aniq ifodalanishi mumkin bo'lgan bog'liqlik orqali bog'lanadi. Boshqacha qilib aytganda: n-sonning son qiymati n ning qandaydir funktsiyasidir.

a - sonli ketma-ketlik a'zosining qiymati;

n - uning seriya raqami;

f (n) - n son qatoridagi tartib argument bo'lgan funksiya.

Ta'rif

Arifmetik progressiya odatda har bir keyingi had oldingisidan bir xil songa kattaroq (kamroq) bo'lgan sonli ketma-ketlik deb ataladi. Arifmetik ketma-ketlikning n-a’zosi formulasi quyidagicha:

a n - arifmetik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;

a n + 1 - keyingi raqam uchun formula;

d - farq (ma'lum bir raqam).

Aniqlash osonki, agar farq musbat (d>0) boʻlsa, koʻrib chiqilayotgan qatorning har bir keyingi hadi oldingisidan kattaroq boʻladi va bunday arifmetik progressiya ortib boradi.

Quyidagi grafikda raqamlar ketma-ketligi nima uchun "o'sish" deb nomlanganini tushunish oson.

Farq salbiy bo'lgan hollarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Belgilangan a'zoning qiymati

Ba'zan arifmetik progressiyaning har qanday ixtiyoriy a'zosi a n qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Buni arifmetik progressiyaning barcha a'zolarining qiymatlarini birinchisidan boshlab keraklisiga qadar ketma-ket hisoblash orqali amalga oshirishingiz mumkin. Biroq, masalan, besh minginchi yoki sakkiz millioninchi a'zoning ma'nosini topish kerak bo'lsa, bu yo'l har doim ham maqbul emas. An'anaviy hisoblash uzoq vaqt talab etadi. Biroq, ma'lum bir arifmetik progressiyani maxsus formulalar yordamida tekshirish mumkin. n-chi had uchun formula ham mavjud: arifmetik progressiyaning istalgan a'zosining qiymatini progressiyaning birinchi hadining yig'indisi progressiyaning ayirmasi bilan kerakli hadning soniga ko'paytirilib, kamayishi bilan aniqlash mumkin. bitta.

Formula progressiyani oshirish va kamaytirish uchun universaldir.

Berilgan a'zoning qiymatini hisoblash misoli

Arifmetik progressiyaning n-chi hadining qiymatini topishga oid quyidagi masalani yechamiz.

Shart: parametrlarga ega arifmetik progressiya mavjud:

Ketma-ketlikdagi birinchi had 3;

Raqamlar qatoridagi farq 1,2 ga teng.

Topshiriq: siz 214 a'zoning qiymatini topishingiz kerak

Yechish: berilgan atamaning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

a (n) = a1 + d (n-1)

Muammo bayonotidagi ma'lumotlarni ifodaga almashtirsak, bizda:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Javob: Ketma-ketlikdagi 214-son 258,6.

Ushbu hisoblash usulining afzalliklari aniq - butun yechim 2 dan ortiq chiziqni oladi.

Berilgan a'zolar soni yig'indisi

Ko'pincha, ma'lum bir arifmetik qatorda uning ma'lum bir segmentining qiymatlari yig'indisini aniqlash talab qilinadi. Bu, shuningdek, har bir atamaning qiymatlarini hisoblashni va keyin yig'ishni talab qilmaydi. Agar yig'indisi topilishi kerak bo'lgan atamalar soni kam bo'lsa, bu usul qo'llaniladi. Boshqa hollarda quyidagi formuladan foydalanish qulayroqdir.

1 dan n gacha bo‘lgan arifmetik progressiya a’zolari yig‘indisi birinchi va n-chi a’zolar yig‘indisiga teng bo‘lib, n a’zoning soniga ko‘paytirilib, ikkiga bo‘linadi. Agar formulada n-sonning qiymati maqolaning oldingi bandidagi ifoda bilan almashtirilsa, biz quyidagilarni olamiz:

Hisoblash misoli

Masalan, quyidagi shartlar bilan muammoni hal qilaylik:

Ketma-ketlikdagi birinchi had nolga teng;

Farqi 0,5 ga teng.

Muammoda siz 56 dan 101 gacha bo'lgan qator a'zolarining yig'indisini aniqlashingiz kerak.

Yechim. Progressiya yig'indisini aniqlash uchun formuladan foydalanamiz:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Birinchidan, biz progressiyaning 101 a'zosining qiymatlari yig'indisini aniqlaymiz, ularning muammomiz shartlari ma'lumotlarini formulaga almashtiramiz:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525

Shubhasiz, 56-dan 101-gacha bo'lgan progressiya a'zolarining yig'indisini bilish uchun S 101 dan S 55 ni ayirish kerak.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5

Shunday qilib, ushbu misol uchun arifmetik progressiyaning yig'indisi:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Arifmetik progressiyaning amaliy qo'llanilishiga misol

Maqolaning oxirida, keling, birinchi xatboshida berilgan arifmetik ketma-ketlik misoliga qaytaylik - taksimetr (taksi mashinasining hisoblagichi). Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Taksiga chiqish (bu 3 km yugurishni o'z ichiga oladi) 50 rublni tashkil qiladi. Har bir keyingi kilometr 22 rubl / km miqdorida to'lanadi. Sayohat masofasi 30 km. Sayohat narxini hisoblang.

1. Narxi qo'nish narxiga kiritilgan dastlabki 3 kmni tashlab qo'yamiz.

30 - 3 = 27 km.

2. Keyingi hisoblash arifmetik sonlar qatorini tahlil qilishdan boshqa narsa emas.

A'zolar soni - bosib o'tgan kilometrlar soni (birinchi uchtadan minus).

A'zo qiymati yig'indisidir.

Bu masaladagi birinchi atama 1 = 50 p ga teng bo'ladi.

Progressiyadagi farq d = ​​22 p.

bizni qiziqtirgan raqam arifmetik progressiyaning (27 + 1) -th hadining qiymati - 27-kilometrning oxirida hisoblagich ko'rsatkichi 27,999 ... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalendar ma'lumotlarini o'zboshimchalik bilan uzoq vaqt davomida hisoblash ma'lum raqamli ketma-ketliklarni tavsiflovchi formulalarga asoslanadi. Astronomiyada orbita uzunligi geometrik jihatdan osmon jismining yorug'lik nurigacha bo'lgan masofasiga bog'liq. Bundan tashqari, turli xil sonli qatorlar statistikada va matematikaning boshqa amaliy sohalarida muvaffaqiyatli qo'llaniladi.

Raqamlar ketma-ketligining yana bir turi geometrikdir

Geometrik progressiya arifmetik bilan solishtirganda katta o'zgarish tezligi bilan tavsiflanadi. Siyosatda, sotsiologiyada, tibbiyotda u yoki bu hodisaning, masalan, epidemiya davridagi kasallikning yuqori tarqalish tezligini ko‘rsatish uchun jarayon eksponensial rivojlanadi, deb bejiz aytishmaydi.

Geometrik sonli qatorning N-soni oldingisidan farq qiladi, chunki u qandaydir doimiy songa ko'paytiriladi - maxraj, masalan, birinchi had 1 ga, maxraj mos ravishda 2 ga teng, keyin:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;

b n + 1 - geometrik progressiyaning keyingi hadining formulasi;

q - geometrik progressiyaning (doimiy son) maxraji.

Agar arifmetik progressiyaning grafigi to'g'ri chiziq bo'lsa, geometrik bir oz boshqacha rasmni chizadi:

Arifmetikada bo'lgani kabi, geometrik progressiya ham ixtiyoriy hadning qiymati uchun formulaga ega. Geometrik progressiyaning har qanday n-chi hadi progressiyaning maxrajining birinchi hadining n ning darajasiga ko‘paytmasiga teng bo‘lib, bittaga kamaytiriladi:

Misol. Bizda birinchi hadi 3 ga, progressiyaning maxraji 1,5 ga teng bo‘lgan geometrik progressiya bor. Progressiyaning 5-chi hadini toping

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Berilgan a'zolar sonining yig'indisi maxsus formula yordamida xuddi shu tarzda hisoblanadi. Geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi progressiyaning n-chi hadi va uning maxraji va progressiyaning birinchi hadi o‘rtasidagi ayirmaning birga kamaytirilgan maxrajiga bo‘linganiga teng:

Agar b n yuqorida ko'rib chiqilgan formuladan foydalangan holda almashtirilsa, ko'rib chiqilayotgan sonli qatorning birinchi n ta a'zosi yig'indisining qiymati quyidagicha bo'ladi:

Misol. Geometrik progressiya 1 ga teng birinchi haddan boshlanadi. Maxraj 3 ga teng o'rnatiladi. Birinchi sakkiz hadning yig'indisini toping.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Formulaning asosiy mohiyati nimadan iborat?

Ushbu formula sizga topishga imkon beradi har qanday RAQAMI BO'YICHA" n " .

Albatta, siz birinchi atamani ham bilishingiz kerak. a 1 va progressiyaning farqi d, Xo'sh, bu parametrlarsiz siz ma'lum bir progressiyani qayd eta olmaysiz.

Ushbu formulani yodlash (yoki chayqalish) etarli emas. Uning mohiyatini o'zlashtirish va formulani turli vazifalarda qo'llash kerak. Bundan tashqari, to'g'ri vaqtda unutmang, ha ...) Qanday qilib unutmang- bilmayman. Va bu erda qanday eslash kerak agar kerak bo'lsa, men sizga aniq aytib beraman. Darsni oxirigacha o'zlashtirganlar.)

Demak, arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini ko‘rib chiqamiz.

Umuman formula nima - biz tasavvur qila olamiz.) Arifmetik progressiya nima, a'zoning soni, progressiyaning farqi - oldingi darsda mavjud. Aytgancha, agar o'qimagan bo'lsangiz, bir ko'ring. U erda hamma narsa oddiy. Nima ekanligini aniqlash uchun qoladi n-chi muddat.

Umuman olganda progressni raqamlar qatori sifatida yozish mumkin:

a 1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- arifmetik progressiyaning birinchi a'zosini bildiradi; a 3- uchinchi muddat; a 4- to'rtinchisi va boshqalar. Agar biz beshinchi muddatga qiziqqan bo'lsak, biz bilan ishlaymiz deb ayting a 5 agar yuz yigirmanchi bo'lsa - dan a 120.

Va umumiy ma'noda qanday belgilash kerak har qanday arifmetik progressiyaning a'zosi, s har qanday raqam? Juda oddiy! Mana bunday:

a n

Bu shunday arifmetik progressiyaning n-chi hadi. N harfi bir vaqtning o'zida a'zolarning barcha raqamlarini yashiradi: 1, 2, 3, 4 va hokazo.

Va bunday yozuv bizga nima beradi? O'ylab ko'ring, ular raqam o'rniga xat yozishdi ...

Ushbu yozuv bizga arifmetik progressiya bilan ishlash uchun kuchli vositani beradi. Belgilanishdan foydalanish a n, biz tezda topamiz har qanday a'zosi har qanday arifmetik progressiya. Va bir qator muammolarni hal qilish uchun. O'zingiz ko'rasiz.

Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasida:

a n = a 1 + (n-1) d

a 1- arifmetik progressiyaning birinchi a'zosi;

n- a'zo raqami.

Formula har qanday progressiyaning asosiy parametrlarini bog'laydi: a n; a 1; d va n. Rivojlanishdagi barcha muammolar ushbu parametrlar atrofida aylanadi.

n-sonli formuladan ma'lum bir progressiyani qayd etish uchun ham foydalanish mumkin. Masalan, muammo progressiyaning shart bilan ko'rsatilganligini aytishi mumkin:

a n = 5 + (n-1) 2.

Bunday vazifa hatto chalkashtirib yuborishi mumkin ... Hech qanday ketma-ketlik yo'q, farq yo'q ... Ammo shartni formula bilan solishtirganda, bu progressiyada ekanligini tushunish oson. a 1 = 5 va d = 2.

Va bu yanada g'azablangan bo'ladi!) Xuddi shu shartni olsak: a n = 5 + (n-1) 2, ha qavslarni ochish va shunga o'xshashlarni olib kelish kerakmi? Keling, yangi formulani olamiz:

a n = 3 + 2n.

bu Faqat umumiy emas, balki ma'lum bir rivojlanish uchun. Tuzoq shu yerda yashiringan. Ba'zi odamlar birinchi atama uchlik deb o'ylashadi. Garchi aslida birinchi atama beshta bo'lsa ham ... Birozdan keyin biz bunday o'zgartirilgan formula bilan ishlaymiz.

Rivojlanish uchun vazifalarda yana bir belgi bor - a n + 1... Bu, siz taxmin qilgansiz, progressiyadagi "en plus birinchi" atamasi. Ma’nosi sodda va zararsiz.) soni n dan birga katta bo‘lgan progressiya a’zosi. Misol uchun, agar biron bir muammoda biz qabul qilamiz a n keyin beshinchi muddat a n + 1 oltinchi a'zo bo'ladi. Va hokazo.

Ko'pincha belgilash a n + 1 rekursiv formulalarda uchraydi. Bu dahshatli so'zdan qo'rqmang!) Bu shunchaki arifmetik progressiya a'zosini ifodalash usuli. oldingi orqali. Aytaylik, takrorlanuvchi formuladan foydalanib, bizga shunday arifmetik progressiya berilgan:

a n + 1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

To'rtinchi - uchinchi orqali, beshinchi - to'rtinchi orqali va hokazo. Va darhol qanday hisoblash kerak, yigirmanchi muddatni ayting, a 20? Lekin hech qanday yo'l yo'q!) 19-chi muddat tan olinmaguncha, 20-sonni sanab bo'lmaydi. Bu takrorlanuvchi formula va n-sonli formula o'rtasidagi asosiy farqdir. Takroriy faqat orqali ishlaydi oldingi had va n-sonning formulasi orqali birinchi va imkon beradi to'g'ridan-to'g'ri uning raqami bo'yicha istalgan a'zoni toping. Raqamlarning butun qatorini tartibda sanamasdan.

Arifmetik progressiyada takrorlanuvchi formulani oddiy formulaga osongina aylantirish mumkin. Ketma-ket keluvchi shartlarni sanang, farqni hisoblang d, agar kerak bo'lsa, birinchi atamani toping a 1, formulani odatdagi shaklda yozing va u bilan ishlang. GIAda bunday vazifalar tez-tez uchrab turadi.

Arifmetik progressiyaning n-a a'zosi formulasini qo'llash.

Birinchidan, formulaning bevosita qo'llanilishini ko'rib chiqaylik. Oldingi dars oxirida muammo bor edi:

Sizga arifmetik progressiya (a n) berilgan. Agar a 1 = 3 va d = 1/6 bo'lsa, 121 ni toping.

Bu muammoni hech qanday formulalarsiz, oddiygina arifmetik progressiyaning ma'nosidan kelib chiqib hal qilish mumkin. Qo'shing, ha ... bir yoki ikki soat qo'shing.)

Va formulaga ko'ra, eritma bir daqiqadan kamroq vaqtni oladi. Vaqtingiz mumkin.) Biz qaror qilamiz.

Shartlar formuladan foydalanish uchun barcha ma'lumotlarni taqdim etadi: a 1 = 3, d = 1/6. Bu nimaga teng ekanligini aniqlash uchun qoladi n. Muammo yo'q! Biz topishimiz kerak a 121... Shunday qilib, biz yozamiz:

Iltimos, diqqat qiling! Indeks o'rniga n aniq raqam paydo bo'ldi: 121. Bu juda mantiqiy.) Bizni arifmetik progressiyaning a'zosi qiziqtiradi. soni bir yuz yigirma bir. Bu bizniki bo'ladi n. Bu ma'no n= 121 Qavslar ichidagi formulani qo'shimcha ravishda almashtiramiz. Formuladagi barcha raqamlarni almashtiramiz va hisoblaymiz:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

Hammasi shu. Xuddi shunday tez besh yuz o'ninchi hadni va ming va uchtani topish mumkin edi. Biz o'rniga qo'yamiz n harf uchun kerakli indeks raqami " a " va qavs ichida va biz hisoblaymiz.

Sizga bir narsani eslatib o'taman: bu formula sizga topishga imkon beradi har qanday arifmetik progressiya atamasi RAQAMI BO'YICHA" n " .

Keling, vazifani ayyorroq hal qilaylik. Keling, bunday muammoga duch kelaylik:

Arifmetik progressiyaning birinchi hadini (a n) toping, agar a 17 = -2; d = -0,5.

Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, men sizga birinchi qadamni aytaman. Arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasini yozing! Ha ha. Qo'llaringiz bilan to'g'ridan-to'g'ri daftaringizga yozing:

a n = a 1 + (n-1) d

Va endi, formulaning harflariga qarab, bizda qanday ma'lumotlar bor va nima etishmayotganligini aniqlaymiz? U yerda d = -0,5, o'n ettinchi a'zo bor ... Hammasi shumi? Agar hammasi shu deb o'ylasangiz, muammoni hal qilmaysiz, ha ...

Bizda hali raqam bor n! Holatida a 17 = -2 yashirin ikkita parametr. Bu ham o'n ettinchi hadning qiymati (-2) va uning soni (17). Bular. n = 17. Bu "arzimas narsa" ko'pincha boshdan o'tib ketadi va usiz (bosh emas, "arzimas narsa"siz!) Muammoni hal qilib bo'lmaydi. Garchi ... boshsiz ham.)

Endi siz ahmoqona ma'lumotlarimizni formulaga almashtirishingiz mumkin:

a 17 = a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh Ha, a 17-2 ekanligini bilamiz. Mayli, almashtiramiz:

-2 = a 1 + (17-1) (-0,5)

Umuman olganda, hammasi shu. Formuladan arifmetik progressiyaning birinchi hadini ifodalash va hisoblash qoladi. Javob quyidagicha bo'ladi: a 1 = 6.

Ushbu usul - formulani yozish va ma'lum ma'lumotlarni oddiy almashtirish - oddiy vazifalarda juda ko'p yordam beradi. Albatta, siz formuladan o'zgaruvchini ifodalay olishingiz kerak, lekin nima qilish kerak !? Ushbu mahoratsiz matematikadan umuman qochish mumkin ...

Yana bir mashhur jumboq:

a 1 = 2 bo'lsa, arifmetik progressiyaning (a n) farqini toping; a 15 = 12.

Biz nima qilyapmiz? Siz hayron qolasiz, biz formulani yozyapmiz!)

a n = a 1 + (n-1) d

Biz bilgan narsalarni ko'rib chiqing: a 1 = 2; a 15 = 12; va (Men buni alohida ta'kidlayman!) n = 15. Formulada o'rniga qo'ying:

12 = 2 + (15-1) d

Biz arifmetikani hisoblaymiz.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Bu to'g'ri javob.

Shunday qilib, vazifalar a n, a 1 va d hal qilingan. Raqamni qanday topishni o'rganish qoladi:

99 soni arifmetik progressiyaning (a n) a'zosi bo'lib, bu erda a 1 = 12; d = 3. Ushbu a'zoning raqamini toping.

Formulada bizga ma'lum bo'lgan miqdorlarni n-chi hadga almashtiramiz:

a n = 12 + (n-1) 3

Bir qarashda ikkita noma'lum narsa bor: a n va n. Lekin a n sonli progressiyaning ba’zi a’zosi n... Va biz bu progressiya a'zosini bilamiz! Bu 99. Biz uning raqamini bilmaymiz. n, shuning uchun bu raqamni topish talab qilinadi. 99 progressiyaning hadini formulaga almashtiramiz:

99 = 12 + (n-1) 3

Formuladan ifodalaymiz n, hisobga oling. Javobni olamiz: n = 30.

Va endi xuddi shu mavzudagi jumboq, lekin yanada ijodiy):

117 soni arifmetik progressiyaning (a n) a’zosi ekanligini aniqlang:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Formulani yana yozamiz. Nima, parametrlar yo'qmi? Hm ... Nima uchun bizga ko'zlar berilgan?) Progressiyaning birinchi a'zosini ko'rasizmi? Ko'ramiz. Bu -3,6. Siz ishonch bilan yozishingiz mumkin: a 1 = -3,6. Farq d raqamdan aniqlash mumkinmi? Agar arifmetik progressiyaning farqi nima ekanligini bilsangiz, bu oson:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Shunday qilib, biz eng oddiy narsani qildik. Noma'lum raqam bilan shug'ullanish qoladi n va tushunarsiz raqam 117. Oldingi masalada, hech bo'lmaganda, u berilgan progressiyaning a'zosi ekanligi ma'lum edi. Va bu erda biz hatto bilmaymiz ... Qanday bo'lish kerak!? Xo'sh, qanday bo'lish kerak, qanday bo'lish kerak ... Ijodkorlikni yoqing!)

Biz deylik bu 117 bizning taraqqiyotimiz a'zosi. Noma'lum raqam bilan n... Va oldingi vazifada bo'lgani kabi, keling, ushbu raqamni topishga harakat qilaylik. Bular. formulani yozamiz (ha, ha!)) va raqamlarimizni almashtiramiz:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yana formuladan ifodalaymizn, biz hisoblaymiz va olamiz:

Voy! Raqam chiqdi kasrli! Bir yuz bir yarim. Va progressiyadagi kasr sonlar bo'lishi mumkin emas. Qanday xulosa chiqarishimiz mumkin? Ha! 117 raqami emas bizning taraqqiyotimiz a'zosi. U yuzdan birinchi va yuz ikkinchi a'zolar orasida joylashgan. Agar raqam tabiiy bo'lib chiqsa, ya'ni. musbat butun son bo'lsa, u holda son topilgan son bilan progressiyaning a'zosi bo'ladi. Va bizning holatlarimizda muammoga javob quyidagicha bo'ladi: yo'q.

GIA ning haqiqiy versiyasiga asoslangan vazifa:

Arifmetik progressiya shart bilan berilgan:

a n = -4 + 6,8n

Progressiyaning birinchi va o‘ninchi a’zolarini toping.

Bu erda progressiya butunlay tanish tarzda o'rnatilmagan. Qandaydir formula ... Bu sodir bo'ladi.) Biroq, bu formula (yuqorida yozganimdek) - arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi hamdir! U ham ruxsat beradi progressiyaning istalgan a'zosini soni bo'yicha toping.

Biz birinchi a'zoni qidirmoqdamiz. O'ylaydigan kishi. birinchi hadi minus to'rt bo'lishi juda xato!) Chunki masaladagi formula o'zgartirilgan. Undagi arifmetik progressiyaning birinchi hadi yashirin. Hech narsa, hozir topamiz.)

Xuddi oldingi vazifalarda bo'lgani kabi, biz almashtiramiz n = 1 ushbu formulaga:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Bu yerda! Birinchi muddat -4 emas, balki 2,8!

Xuddi shunday, biz o'ninchi atamani qidiramiz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Hammasi shu.

Va endi, ushbu satrlarni o'qiganlar uchun - va'da qilingan bonus.)

Aytaylik, GIA yoki USE qiyin jangovar vaziyatda siz arifmetik progressiyaning n-chi hadi uchun foydali formulani unutdingiz. Biror narsa esga olinadi, lekin qandaydir noaniq ... Yoki n u erda yoki n + 1 yoki n-1 ... Qanday bo'lish kerak!?

Sokin! Ushbu formuladan xulosa chiqarish oson. Juda qat'iy emas, lekin aniqlik va to'g'ri yechim uchun bu albatta etarli bo'ladi!) Xulosa qilish uchun arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini eslab qolish va bir necha daqiqa vaqt ajratish kifoya. Siz shunchaki rasm chizishingiz kerak. Aniqlik uchun.

Raqamlar o'qini chizing va unda birinchisini belgilang. ikkinchi, uchinchi va boshqalar. a'zolari. Va farqga e'tibor bering d a'zolar o'rtasida. Mana bunday:

Biz rasmga qaraymiz va aniqlaymiz: ikkinchi atama nimaga teng? Ikkinchi bir narsa d:

a 2 = a 1 + 1 D

Uchinchi atama nima? Uchinchi muddat birinchi had plyusga teng ikki d.

a 3 = a 1 + 2 D

Tushundingizmi? Ba’zi so‘zlarni qalin harf bilan ajratib ko‘rsatishim bejiz emas. Yaxshi, yana bir qadam).

To'rtinchi muddat nima? To'rtinchi muddat birinchi had plyusga teng uch d.

a 4 = a 1 + 3 D

Bo'shliqlar sonini aniqlash vaqti keldi, ya'ni. d, har doim talab qilingan muddat sonidan bitta kam n. Ya'ni raqamga n, intervallar soni bo'ladi n-1. Shunday qilib, formula bo'ladi (variantlar yo'q!):

a n = a 1 + (n-1) d

Umuman olganda, rasmli rasmlar matematikaning ko'plab masalalarini hal qilishda juda yordam beradi. Rasmlarni e'tiborsiz qoldirmang. Agar rasm chizish qiyin bo'lsa, unda ... faqat formula!) Bundan tashqari, n-sonli formula sizga matematikaning butun kuchli arsenalini - tenglamalar, tengsizliklar, tizimlar va boshqalarni ulash imkonini beradi. Siz rasmni tenglamaga qo'sha olmaysiz ...

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

Isitish uchun:

1. Arifmetik progressiyada (a n) a 2 = 3; a 5 = 5,1. 3 ni toping.

Maslahat: rasmga ko'ra, muammo 20 soniyada hal qilinadi ... Formulaga ko'ra, bu qiyinroq bo'lib chiqadi. Ammo formulani o'zlashtirish uchun bu foydaliroq.) 555-bo'lim bu masalani rasm va formula bo'yicha ham hal qildi. Farqni his eting!)

Va bu endi isinish emas.)

2. Arifmetik progressiyada (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. 3 ni toping.

Nima, rasm chizishni xohlamaysizmi?) Albatta! Formulaga ko'ra yaxshiroq, ha ...

3. Arifmetik progressiya quyidagi shart bilan aniqlanadi:a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Bu progressiyaning bir yuz yigirma beshinchi hadini toping.

Bu vazifada progressiya takroriy tarzda beriladi. Lekin bir yuz yigirma beshinchi muddatgacha hisoblash... Bunday jasoratni hamma ham qila olmaydi.) Lekin n-sonning formulasi hammaning kuchida!

4. Arifmetik progressiya (a n) berilgan:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Progressiyadagi eng kichik musbat hadning sonini toping.

5. 4-topshiriq shartiga ko‘ra progressiyaning eng kichik ijobiy va eng katta manfiy a’zolari yig‘indisini toping.

6. O'suvchi arifmetik progressiyaning beshinchi va o'n ikkinchi hadlarining ko'paytmasi -2,5 ga, uchinchi va o'n birinchi hadlarning yig'indisi nolga teng. 14 ni toping.

Eng oson ish emas, ha ...) Bu erda "barmoqlarda" usuli ishlamaydi. Biz formulalar yozishimiz va tenglamalarni yechishimiz kerak.

Javoblar (tartibsiz):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Bo'ldimi? Bu yoqimli!)

Hammasi yaxshi emasmi? Bo'lib turadi. Aytgancha, oxirgi vazifada bitta nozik nuqta bor. Muammoni o'qishda ehtiyotkorlik talab qilinadi. Va mantiq.

Bu barcha muammolarni hal qilish 555-bo'limda batafsil ko'rib chiqiladi. Va to'rtinchisi uchun fantaziya elementi, oltinchi uchun esa nozik moment va n-sonning formulasi bo'yicha har qanday muammolarni hal qilishning umumiy yondashuvlari - hamma narsa yozilgan. . Tavsiya eting.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollar yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Darhol tasdiqlash testi. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Masalan, ketma-ketlik \ (2 \); \(5\); \(sakkiz\); \(o'n bir\); \ (14 \) ... arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uchga farq qiladi (oldingi elementdan uchlik qoʻshish orqali olish mumkin):

Ushbu progressiyada \ (d \) farq ijobiy (\ (3 \) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi atama oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \ (d \) ham manfiy bo'lishi mumkin. Masalan, arifmetik progressiyada \ (16 \); \(o'n\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... progressiyaning farqi \ (d \) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kichikroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Rivojlanish kichik lotin harfi bilan ko'rsatilgan.

Progressiyani tashkil etuvchi raqamlar uni chaqiradi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element soniga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \ (a_n = \ chap \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ o'ng \) \) \ (a_1 = 2 \) elementlaridan iborat; \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) va boshqalar.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \ (a_n = \ chap \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ o'ng \) \)

Arifmetik progressiya uchun masalalar yechish

Aslida, yuqoridagi ma'lumotlar arifmetik progressiya uchun deyarli har qanday muammoni hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \ (b_1 = 7; d = 4 \) shartlar bilan belgilanadi. \ (b_5 \) toping.
Yechim:

Javob: \ (b_5 = 23 \)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \ (62; 49; 36 ... \) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping..
Yechim:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va biz bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirib, qaysi birini toping: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) \ (x \) harfi bilan ko'rsatilgan elementning qiymatini toping.
Yechim:

	\ (x \) ni topish uchun biz keyingi elementning oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda - progressiyaning farqini bilishimiz kerak. Keling, uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \).
	Va endi biz kerakli narsani hech qanday muammosiz topamiz: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Bu progressiyaning birinchi olti hadining yig'indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Lekin biz ularning ma'nolarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, avval biz berilgan qiymatlardan foydalanib, o'z navbatida qiymatlarni hisoblaymiz: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Siz izlayotgan miqdor topildi.

Javob: \ (S_6 = 9 \).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Bu progressiya orasidagi farqni toping.
Yechim:

Javob: \ (d = 7 \).

Arifmetik progressiya uchun muhim formulalar

Ko'rib turganingizdek, ko'plab arifmetik progressiya muammolarini asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi oldingisiga bir xil sonni qo'shish orqali olinadi (farq progressiyaning).

Biroq, ba'zida "boshqa" qaror qabul qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \ (b_5 \) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \ (b_ (386) \) ni topishimiz kerak. Bu nima, biz \ (385 \) marta to'rtta qo'shamiz? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Siz hisoblash uchun qiynoqqa solasiz ...

Shuning uchun bunday hollarda ular "boshqa" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Va asosiylari progressiyaning n-chi hadi formulasi va birinchi hadlar yig'indisi \ (n \) formulasi.

Formula \ (n \) - th a'zosi: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), bu erda \ (a_1 \) progressiyaning birinchi hadi;
\ (n \) - qidirilayotgan elementning raqami;
\ (a_n \) - \ (n \) sonli progressiyaning a'zosi.

Bu formula bizga progressiyaning faqat birinchi va farqini bilib, kamida uch yuzinchi, hatto millioninchi elementni tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya shartlar bilan belgilanadi: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). \ (b_ (246) \) toping.
Yechim:

Javob: \ (b_ (246) = 1850 \).

Birinchi n ta atamalar yig'indisi formulasi: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), bu erda

\ (a_n \) - oxirgi yig'indisi;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya shartlar bilan belgilanadi \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Bu progressiyaning birinchi \ (25 \) a'zolari yig'indisini toping.
Yechim:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Birinchi yigirma besh elementning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi shartlarning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsilroq qarang). Birinchi elementni \ (n \) o'rniga bitta element qo'yib hisoblaymiz.
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \)		Endi \ (n \) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \)		Xo'sh, endi biz hech qanday muammosiz kerakli miqdorni hisoblashimiz mumkin.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2,8 + 84,4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Javob tayyor.

Javob: \ (S_ (25) = 1090 \).

Birinchi shartlarning yig'indisi \ (n \) uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: siz shunchaki \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ ni olishingiz kerak. (\ cdot 25 \ ) o'rniga \ (a_n \) formulasini qo'ying \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig'indisi formulasi: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), bu erda

\ (S_n \) - birinchi elementlarning kerakli yig'indisi \ (n \);
\ (a_1 \) - birinchi yig'indisi;
\ (d \) - progressiya farqi;
\ (n \) - yig'indidagi elementlar soni.

Misol. Birinchi \ (33 \) - arifmetik progressiyaning sobiq a'zolari yig'indisini toping: \ (17 \); \ (15,5 \); \(o'n to'rt\)…
Yechim:

Javob: \ (S_ (33) = - 231 \).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Biz mavzuni nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqish orqali yakunlaymiz (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \ (- 19,3 \); \(-19\); \ (- 18,7 \) ...
Yechim:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz ham hal qilishni boshlaymiz: birinchi navbatda \ (d \) topamiz.
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \)		Endi biz yig'indining formulasida \ (d \) ni almashtiramiz ... va bu erda kichik bir nuance paydo bo'ladi - biz \ (n \) bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Birinchi ijobiy elementga kelganimizda elementlar qo‘shishni to‘xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \ (a_n = a_1 + (n-1) d \).
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \)		Bizga \ (a_n \) noldan katta bo'lishi kerak. Keling, \ (n \) bu nima sodir bo'lishini bilib olaylik.
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \)
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \)		Tengsizlikning ikkala tomonini \ (0,3 \) ga ajratamiz.
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Belgilarni o'zgartirishni unutmang, minus birga o'ting
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Biz hisoblaymiz ...
\ (n> 65 333 ... \)		... va ma'lum bo'lishicha, birinchi musbat element \ (66 \) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi salbiy \ (n = 65 \) ga ega. Har ehtimolga qarshi buni tekshirib ko'ramiz.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19,3+ (66-1) 0,3 = 0,2 \)		Shunday qilib, birinchi \ (65 \) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38,6 + 19,2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630,5 \)		Javob tayyor.

Javob: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya shartlar bilan belgilanadi: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). \ (26 \) dan \ (42 \) elementgacha bo'lgan summani toping.
Yechim:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	Ushbu masalada siz elementlarning yig'indisini topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \ (26 \) - th dan boshlab. Bunday holat uchun bizda formula yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Oson - yig'indini olish uchun \ (26 \) - th dan \ (42 \) - oh, siz birinchi navbatda \ (1 \) - th dan \ (42 \) - oh gacha bo'lgan yig'indini topishingiz kerak va keyin ayirish kerak. yig'indisidan birinchi bo'lib \ (25 \) - th (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz uchun \ (a_1 = -33 \) va farq \ (d = 4 \) (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rttasini qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \ (42 \) - yh elementlarning yig'indisini topamiz.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Endi birinchi \ (25 \) yig'indisi - ty elementlar.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Javob: \ (S = 1683 \).

Arifmetik progressiya uchun yana bir qancha formulalar mavjudki, ularni amaliy jihatdan foydaliligi pastligi sababli biz ushbu maqolada ko‘rib chiqmadik. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.