Maktab o‘quv dasturida o‘rganilayotgan Pifagor teoremasining tarixi bilan qiziquvchilarni 1940 yilda oddiy ko‘ringan bu teoremaning uch yuz yetmishta isboti bilan kitobning nashr etilishi kabi fakt ham qiziqtiradi. Ammo u turli davrlardagi ko'plab matematiklar va faylasuflarning ongini qiziqtirdi. Ginnesning rekordlar kitobida u maksimal isbotlar soniga ega teorema sifatida qayd etilgan.

Pifagor teoremasining tarixi

Pifagor nomi bilan bog'liq bo'lgan teorema buyuk faylasuf tug'ilishidan ancha oldin ma'lum bo'lgan. Shunday qilib, Misrda inshootlarni qurishda tomonlar nisbati hisobga olingan to'g'ri uchburchak besh ming yil oldin. Bobil matnlarida Pifagor tug'ilishidan 1200 yil oldin to'g'ri burchakli uchburchakning bir xil nisbati qayd etilgan.

Savol tug'iladi, nima uchun hikoya davom etadi - Pifagor teoremasining kelib chiqishi unga tegishli? Faqat bitta javob bo'lishi mumkin - u uchburchakda tomonlar nisbatini isbotladi. U ko'p asrlar ilgari tajriba bilan o'rnatilgan aspekt nisbati va gipotenuzani ishlatganlar buni qilmagan.

Pifagor hayotidan

Bo'lajak buyuk olim, matematik, faylasuf miloddan avvalgi 570 yilda Samos orolida tug'ilgan. Tarixiy hujjatlarda o'ymakor bo'lgan Pifagorning otasi haqida ma'lumotlar saqlanib qolgan qimmatbaho toshlar, lekin ona haqida hech qanday ma'lumot yo'q. Aytishlaricha, bola bolaligidan musiqa va she'riyatga ishtiyoqini namoyon etgan g'ayrioddiy bola edi. Tarixchilar yosh Pifagorlarning o'qituvchilarini Germodamantes va Siroslik Ferekidlar deb atashadi. Birinchisi bolani muzalar olami bilan tanishtirdi, ikkinchisi faylasuf va italyan falsafa maktabining asoschisi bo'lib, yigitning nigohini logotipga qaratdi.

22 yoshida (miloddan avvalgi 548 yil) Pifagor Misrliklarning tili va dinini oʻrganish uchun Navkratisga boradi. Bundan tashqari, uning yo'li Memfisda bo'lib, u erda ruhoniylar tufayli, ularning ayyor sinovlaridan o'tib, u Misr geometriyasini tushundi, bu, ehtimol, qiziquvchan yigitni Pifagor teoremasini isbotlashga undadi. Keyinchalik tarix bu nomni teoremaga beradi.

Bobil shohi tomonidan asirga olingan

Ellasga uyga ketayotganda Pifagor Bobil shohi tomonidan qo'lga olinadi. Ammo asirlikda bo'lish boshlang'ich matematikning qiziquvchan ongiga foyda keltirdi, u ko'p narsalarni o'rganishi kerak edi. Darhaqiqat, o'sha yillarda Bobilda matematika Misrga qaraganda ancha rivojlangan edi. U o'n ikki yil davomida matematika, geometriya va sehrni o'rgandi. Va, ehtimol, uchburchak tomonlari nisbati va teoremaning ochilish tarixini isbotlashda Bobil geometriyasi ishtirok etgan. Buning uchun Pifagorda yetarli bilim va vaqt bor edi. Ammo bu Bobilda sodir bo'lgan, buni hech qanday hujjatli tasdiqlash yoki rad etish yo'q.

Miloddan avvalgi 530 yilda. Pifagor asirlikdan o'z vataniga qochib ketadi va u erda zolim Polikratning saroyida yarim qul maqomida yashaydi. Bunday hayot Pifagorga mos kelmaydi va u Samos g'orlariga nafaqaga chiqadi va keyin o'sha paytda Krotonning yunon mustamlakasi joylashgan Italiyaning janubiga boradi.

Yashirin monastir ordeni

Bu mustamlaka negizida Pifagor bir vaqtning o'zida diniy ittifoq va ilmiy jamiyat bo'lgan yashirin monastir ordeni tashkil qilgan. Bu jamiyatning o'ziga xos turmush tarziga rioya qilish haqida gapiradigan o'z ustavi bor edi.

Pifagor Xudoni tushunish uchun inson algebra va geometriya kabi fanlarni o'rganishi, astronomiyani bilishi va musiqani tushunishi kerakligini ta'kidladi. Tadqiqot ishlari raqamlar va falsafaning mistik tomonlarini bilishga qisqartirildi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'sha paytda Pifagor tomonidan targ'ib qilingan tamoyillar hozirgi vaqtda taqlid qilish mantiqiydir.

Pifagor talabalari tomonidan qilingan ko'plab kashfiyotlar unga tegishli edi. Shunga qaramay, qisqacha aytganda, o'sha davrning qadimgi tarixchilari va biograflari tomonidan Pifagor teoremasini yaratish tarixi bevosita ushbu faylasuf, mutafakkir va matematik nomi bilan bog'liq.

Pifagor ta'limoti

Ehtimol, teorema va Pifagor nomi o'rtasidagi bog'liqlik g'oyasi tarixchilar tomonidan buyuk yunonning hayotimizdagi barcha hodisalar oyoqlari va gipotenuzasi bilan mashhur uchburchakda shifrlanganligi haqidagi bayonoti bilan paydo bo'lgan. Va bu uchburchak yuzaga keladigan barcha muammolarni hal qilishning "kalitidir". Buyuk faylasufning aytishicha, uchburchakni ko'rish kerak, shunda muammoning uchdan ikki qismi hal qilingan deb taxmin qilish mumkin.

Pifagor o'z ta'limotini faqat o'z shogirdlariga og'zaki, hech qanday qayd qilmasdan, sir saqlagan holda aytib bergan. Afsuski, eng buyuk faylasufning ta'limoti bugungi kungacha saqlanib qolgani yo'q. Undan nimadir sizib chiqdi, ammo ma'lum bo'lgan narsaning qanchalik haqiqat va qanchalik yolg'on ekanligini aytish mumkin emas. Pifagor teoremasining tarixi bilan ham hamma narsa shubhasiz emas. Matematika tarixchilari Pifagorning muallifligiga shubha qilishadi, ularning fikricha, teorema uning tug'ilishidan ko'p asrlar oldin ishlatilgan.

Pifagor teoremasi

Bu g'alati tuyulishi mumkin, lekin tarixiy faktlar Pifagorning o'zi tomonidan teoremaning isboti yo'q - na arxivda, na boshqa manbalarda. Zamonaviy versiyada u Evklidning o'zidan boshqa hech kimga tegishli emas, deb ishoniladi.

Miloddan avvalgi 2300-yillarda misrliklar tomonidan yozib olingan Berlin muzeyida saqlanayotgan papirusda kashf etgan eng buyuk matematika tarixchilaridan biri Morits Kantorning dalillari mavjud. NS. tenglik, o'qiydi: 3² + 4² = 5².

Pifagor teoremasi tarixidan qisqacha

Evklidning "Prinsiplari" teoremasining formulasi tarjimada zamonaviy talqindagi kabi eshitiladi. Uni o'qishda hech qanday yangilik yo'q: to'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning kvadrati to'g'ri burchakka ulashgan tomonlarning kvadratlari yig'indisiga teng. Hindiston va Xitoyning qadimgi sivilizatsiyalari teoremadan foydalanganligi "Chjou - bi xuan jin" risolasi bilan tasdiqlangan. Unda Misr uchburchagi haqida ma'lumot mavjud bo'lib, u tomonlar nisbatini 3: 4: 5 sifatida tavsiflaydi.

Yana bir qiziqarli Xitoy matematik kitobi "Chu-pei" ham Pifagor uchburchagi haqida Basharaning hind geometriyasi chizmalariga to'g'ri keladigan tushuntirishlar va chizmalar bilan to'g'ri keladi. Kitobda uchburchakning o'zi haqida shunday yozilganki, agar to'g'ri burchakni uning tarkibiy qismlariga ajratish mumkin bo'lsa, u holda tomonlarning uchlarini bog'laydigan chiziq beshga teng bo'ladi, agar asos uchga teng bo'lsa va balandlik. to'rtga teng.

Miloddan avvalgi 7—5-asrlarga oid hind risolasi "Sulva Sutra". e., Misr uchburchagi yordamida to'g'ri burchakni qurish haqida gapiradi.

Teoremaning isboti

O'rta asrlarda talabalar teoremani isbotlashni juda qiyin deb hisoblashgan. Zaif o‘quvchilar isbotning ma’nosini tushunmay, teoremalarni yoddan o‘rgandilar. Shu munosabat bilan ular "eshaklar" laqabini oldilar, chunki Pifagor teoremasi ular uchun eshak uchun ko'prik kabi engib bo'lmas to'siq edi. O'rta asrlarda talabalar ushbu teorema mavzusi bo'yicha hazil-mutoyiba bilan chiqishgan.

Pifagor teoremasini eng oson yo'l bilan isbotlash uchun isbotda maydonlar tushunchasidan foydalanmasdan uning tomonlarini o'lchash kifoya. To'g'ri burchakka qarama-qarshi tomonning uzunligi c, qo'shni a va b, natijada biz tenglamani olamiz: a 2 + b 2 = c 2. Ushbu bayonot, yuqorida aytib o'tilganidek, to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchash yo'li bilan tasdiqlanadi.

Agar siz teoremani isbotlashni uchburchakning yon tomonlarida qurilgan to'rtburchaklar maydonini hisobga olgan holda boshlasangiz, butun shaklning maydonini aniqlashingiz mumkin. Bu tomoni (a + b) bo'lgan kvadratning maydoniga, boshqa tomondan, to'rtta uchburchak va ichki kvadrat maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi.

(a + b) 2 = 4 x ab / 2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2, kerak bo'lganda.

Amaliy qiymat Pifagor teoremasi shundan iboratki, uning yordami bilan siz segmentlarning uzunligini o'lchamasdan topishingiz mumkin. Tuzilmalarni qurishda masofalar hisoblab chiqiladi, tayanchlar va nurlarning joylashishi va tortishish markazlari aniqlanadi. Pifagor teoremasi barcha zamonaviy texnologiyalarda qo'llaniladi. 3D-6D o'lchamlarida film yaratishda biz teorema haqida unutmadik, bu erda odatdagi 3 o'lchovdan tashqari: balandlik, uzunlik, kenglik, vaqt, hid va ta'm hisobga olinadi. Ta'm va hidlar teorema bilan qanday bog'liq - deb so'rayapsizmi? Hamma narsa juda oddiy - filmni namoyish qilishda siz auditoriyaga qaerga va qanday hid va ta'mlarni yuborishni hisoblashingiz kerak.

Bu faqat boshlanishi. Qiziquvchan onglar yangi texnologiyalarni kashf qilish va yaratish uchun cheksiz imkoniyatlarni kutmoqda.

O'rtacha darajasi

To'g'ri uchburchak. Toʻliq tasvirlangan qoʻllanma (2019)

O‘ng uchburchak. BIRINCHI DARAJA.

Vazifalarda to'g'ri burchak kerak emas - pastki chap burchak, shuning uchun siz ushbu shaklda to'g'ri burchakli uchburchakni tanib olishni o'rganishingiz kerak,

va shunga o'xshash,

va shunga o'xshash

To'g'ri uchburchakda nima bor? Xo'sh ... birinchi navbatda, maxsus bor chiroyli ismlar uning partiyalari uchun.

Chizmaga diqqat!

Eslab qoling va chalkashtirmang: oyoqlari - ikkita, gipotenuz esa - faqat bitta(yagona va eng uzun)!

Xo'sh, nomlar muhokama qilindi, endi eng muhimi: Pifagor teoremasi.

Pifagor teoremasi.

Bu teorema to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq ko'plab muammolarni hal qilish uchun kalit hisoblanadi. Bu Pifagor tomonidan butunlay qadim zamonlarda isbotlangan va o'shandan beri u buni biladiganlarga ko'p foyda keltirdi. Va uning eng yaxshi tomoni shundaki, u sodda.

Shunday qilib, Pifagor teoremasi:

Hazilni eslaysizmi: "Pifagor shimlari har tomondan tengdir!"?

Keling, xuddi shu Pifagor shimlarini chizamiz va ularga qaraylik.

Bu qandaydir shortikga o'xshamaydimi? Xo'sh, ular qaysi tomonlarda va qayerda teng? Hazil nima uchun va qaerdan paydo bo'ldi? Va bu hazil Pifagor teoremasi bilan, aniqrog'i, Pifagorning o'zi teoremasini shakllantirish usuli bilan bog'liq. Va u buni quyidagicha shakllantirdi:

"sum kvadratlar oyoqlarda qurilgan ga teng kvadrat maydon gipotenuzaga qurilgan".

Bu biroz boshqacha eshitilmaydimi? Shunday qilib, Pifagor o'z teoremasining bayonotini chizganida, xuddi shunday rasm paydo bo'ldi.

Ushbu rasmda kichik kvadratlar maydonlarining yig'indisi katta kvadratning maydoniga teng. Va bolalar oyoq kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini yaxshiroq eslab qolishlari uchun, kimdir hazilkash va Pifagor shimlari haqida bu hazilni o'ylab topdi.

Nega endi biz Pifagor teoremasini shakllantirmoqdamiz?

Pifagor azob chekib, kvadratlar haqida gapirganmi?

Ko'ryapsizmi, qadimda ... algebra yo'q edi! Belgilar va boshqalar yo'q edi. Hech qanday yozuv yo'q edi. Qadimgi kambag'al shogirdlar uchun hamma narsani so'z bilan yodlash qanchalik dahshatli bo'lganini tasavvur qila olasizmi? Va bizda Pifagor teoremasining oddiy formulasi borligidan xursand bo'lishimiz mumkin. Yaxshi eslab qolish uchun yana takrorlaymiz:

Endi oson bo'lishi kerak:

Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

To'g'ri burchakli uchburchak haqidagi eng muhim teorema muhokama qilindi. Agar siz buning qanday isbotlangani bilan qiziqsangiz, nazariyaning keyingi darajalarini o'qing va endi keling ... trigonometriyaning qorong'u o'rmoniga boraylik! Sinus, kosinus, tangens va kotangens degan dahshatli so'zlarga.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Aslida, bu unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'riflarini maqolada topish kerak. Lekin men chindan ham xohlamayman, to'g'rimi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:

Nima uchun hamma narsa burchak bilan bog'liq? Burchak qayerda? Buni tushunish uchun siz 1 - 4 gaplarning so'zlarda qanday yozilishini bilishingiz kerak. Qarang, tushuning va eslang!

1.
Aslida, bu shunday eshitiladi:

Va burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi, ya'ni qarama-qarshi (burchak uchun) oyog'i bormi? Albatta bor! Bu oyoq!

Ammo burchak haqida nima deyish mumkin? Yaqindan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, oyoq. Demak, burchak uchun oyoq qo'shni va

Endi, diqqat! Qarang, bizda nima bor:

Ko'ryapsizmi, qanday ajoyib:

Endi tangens va kotangensga o'tamiz.

Endi buni qanday qilib so'z bilan yozishim mumkin? Burchakka nisbatan oyoq nima? Albatta, qarama-qarshi - burchakka qarama-qarshi "yotadi". Va oyoq? Burchakka ulashgan. Xo'sh, biz nima qildik?

Hisob va maxraj teskari ekanligini ko'rasizmi?

Va endi yana burchaklar va almashinuvni amalga oshirdi:

Xulosa

Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchak haqidagi asosiy teorema Pifagor teoremasi hisoblanadi.

Pifagor teoremasi

Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar yo'q bo'lsa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang

Ehtimol siz Pifagor teoremasini ko'p marta qo'llagan bo'lishingiz mumkin, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlashim mumkin? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.

Ko'ryapsizmi, biz uning tomonlarini qanday mohirlik bilan uzunliklarga bo'ldik va!

Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz

Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun bunday bo'lganligi haqida o'ylaysiz.

Kattaroq kvadratning maydoni qancha? To'g'ri, . Kichikroq maydonmi? Albatta, . To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ularni bir vaqtning o'zida ikkitasini oldik va gipotenuslar bilan bir-biriga suyandik. Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchaklar. Bu "hurdalar" maydoni teng ekanligini anglatadi.

Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.

Keling, aylantiramiz:

Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.

To'g'ri uchburchak va trigonometriya

To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar amal qiladi:

O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng

O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.

O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shni oyoqqa nisbatiga teng.

O'tkir burchakning kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyoqqa nisbatiga teng.

Va yana bir bor, bularning barchasi plastinka shaklida:

Bu juda qulay!

To'g'ri burchakli uchburchaklar uchun tenglik testlari

I. Ikki oyoqda

II. Oyoq va gipotenuzada

III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan

IV. Oyoqda va o'tkir burchakda

a)

b)

Diqqat! Bu erda oyoqlarning "mos" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar u shunday bo'lsa:

SHUNDA UCHBURCHAKLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramasdan.

Kerak ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkala uchburchakda qarama-qarshi edi.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi? Mavzuni ko'rib chiqing va "oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementining tengligi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uch tomon. Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklarning tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Ajoyib, shunday emasmi?

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan vaziyat taxminan bir xil.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

I. Keskin burchakda

II. Ikki oyoqda

III. Oyoq va gipotenuzada

To'g'ri uchburchakdagi median

Nega bunday?

To'g'ri burchakli uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalar ma'lum?

Va bundan nima kelib chiqadi?

Shunday qilib, shunday bo'ldi

1. - median:

Bu haqiqatni eslang! Ko'p yordam beradi!

Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.

Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan nima foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik

Yaqindan qarang. Bizda:, ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta mavjud bo'lib, uning masofalari uchburchakning barcha uchlari teng bo'ladi va bu TA'SRILANGAN AYLANA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?

Keling, bundan boshlaylik "bundan tashqari ..."

Keling, va ni ko'rib chiqaylik.

Ammo bunday uchburchaklarda barcha burchaklar tengdir!

Xuddi shu narsani va haqida ham aytish mumkin

Endi uni birga chizamiz:

Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foyda olish mumkin.

Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.

Keling, tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:

Balandlikni topish uchun biz nisbatni yechib, olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":

Shunday qilib, keling, o'xshashlikni qo'llaymiz:.

Endi nima bo'ladi?

Yana proportsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:

Ushbu formulalarning ikkalasi ham juda yaxshi eslab qolishi kerak va qaysi biri qo'llanilishi qulayroq bo'lsa. Keling, ularni yana yozamiz

Pifagor teoremasi:

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng:.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari:

• ikki oyoqda:
• oyoq va gipotenuzada: yoki
• oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
• oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak: yoki
• gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashligi belgilari:

• bitta o'tkir burchak: yoki
• ikki oyoqning mutanosibligidan:
• oyoq va gipotenuzaning proportsionalligidan: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens

• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati:
• To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyog'iga nisbati:.

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.

To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng:.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:

• oyoqlari orqali:

Ijodkorlik salohiyati odatda gumanitar fanlarga taalluqli bo‘lib, tabiiy fanlarni tahlil, amaliy yondashuv va formulalar va raqamlarning quruq tili bilan qoldiradi. Matematikani gumanitar fanlarga kiritish mumkin emas. Ammo "barcha fanlar malikasi" dagi ijodkorliksiz uzoqqa bormaysiz - odamlar bu haqda uzoq vaqtdan beri bilishadi. Masalan, Pifagor davridan beri.

Maktab darsliklarida, afsuski, odatda, matematikada nafaqat teoremalar, aksiomalar va formulalarni siqib chiqarish muhimligi tushuntirilmaydi. Uning asosiy tamoyillarini tushunish va his qilish muhimdir. Va shu bilan birga, ongingizni klişe va oddiy haqiqatlardan ozod qilishga harakat qiling - faqat shunday sharoitda barcha buyuk kashfiyotlar tug'iladi.

Ushbu kashfiyotlar bugungi kunda biz bilgan Pifagor teoremasini o'z ichiga oladi. Uning yordami bilan biz matematika nafaqat qiziqarli, balki qiziqarli bo'lishi kerakligini ko'rsatishga harakat qilamiz. Va bu sarguzasht nafaqat qalin ko'zoynakli nerds uchun, balki aqli kuchli va ruhi kuchli har bir kishi uchun mos keladi.

Masala tarixidan

To‘g‘rirog‘i, teorema “Pifagor teoremasi” deb atalsa ham, Pifagorning o‘zi uni kashf etmagan. To'g'ri burchakli uchburchak va uning maxsus xususiyatlari undan ancha oldin o'rganilgan. Bu masala bo'yicha ikkita qarama-qarshi nuqtai nazar mavjud. Bir versiyaga ko'ra, Pifagor birinchi bo'lib teoremaning to'liq isbotini topdi. Boshqasiga ko'ra, dalil Pifagor muallifligiga tegishli emas.

Bugun siz kim haq va kim nohaqligini tekshira olmaysiz. Ma'lumki, Pifagorning isboti, agar u mavjud bo'lsa, saqlanib qolmagan. Biroq, Evklidning "Elementlari" dan mashhur dalil Pifagorga tegishli bo'lishi mumkinligi haqida takliflar mavjud va Evklid buni faqat qayd etgan.

To‘g‘ri burchakli uchburchak bilan bog‘liq muammolar Fir’avn Amenemxet I davridagi Misr manbalarida, shoh Xammurapi davridagi Bobil loy lavhalarida, qadimgi hindlarning “Sulva sutra” risolasida va qadimgi Xitoy risolalarida ham topilganligi bugungi kunda ham ma’lum. "Chjou-bi suan jin" kompozitsiyasi.

Ko'rib turganingizdek, Pifagor teoremasi qadim zamonlardan beri matematiklarning ongini band qilgan. Bugungi kunda ham 367 ga yaqin turli dalillar mavjud. Bunda boshqa hech bir teorema u bilan raqobatlasha olmaydi. Yozuvchilar orasida Leonardo da Vinchi va AQShning yigirmanchi prezidenti Jeyms Garfild ham bor. Bularning barchasi ushbu teoremaning matematika uchun o'ta muhimligi haqida gapiradi: geometriya teoremalarining aksariyati undan olingan yoki u yoki bu tarzda u bilan bog'liq.

Pifagor teoremasining isboti

Maktab darsliklarida asosan algebraik isbotlar berilgan. Lekin teoremaning mohiyati geometriyada, shuning uchun avvalo shu fanga asoslangan mashhur teoremaning isbotlarini ko'rib chiqamiz.

Isbot 1

To'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasining eng oddiy isboti uchun siz ideal shartlarni belgilashingiz kerak: uchburchak nafaqat to'g'ri burchakli, balki teng burchakli ham bo'lsin. Bu uchburchak dastlab antik davr matematiklari tomonidan ko'rib chiqilgan deb hisoblashga asos bor.

Bayonot "To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga qurilgan kvadrat uning oyoqlariga qurilgan kvadratlar yig'indisiga teng" quyidagi chizma bilan tasvirlash mumkin:

To'g'ri burchakli ABC uchburchakka qarang: AC gipotenuzasida siz dastlabki ABCga teng to'rtta uchburchakdan iborat kvadrat qurishingiz mumkin. Va AB va BC oyoqlarida u kvadrat shaklida qurilgan, ularning har biri ikkita o'xshash uchburchakni o'z ichiga oladi.

Aytgancha, bu rasm Pifagor teoremasiga bag'ishlangan ko'plab latifalar va multfilmlarning asosini tashkil etdi. Ehtimol, eng mashhuri "Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir":

Isbot 2

Bu usul algebra va geometriyani birlashtiradi va matematik Bxaskari tomonidan qadimgi hind isbotining bir varianti sifatida qaralishi mumkin.

Tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing a, b va c(1-rasm). Keyin tomonlari ikki oyoq uzunligi yig'indisiga teng bo'lgan ikkita kvadrat quring, - (a + b)... Kvadratchalarning har birida 2 va 3-rasmdagidek tuzing.

Birinchi kvadratda 1-rasmdagi kabi bir xil uchburchaklardan to'rttasini quring. Natijada siz ikkita kvadratga ega bo'lasiz: biri a tomoni bilan, ikkinchisi tomoni bilan b.

Ikkinchi kvadratda to'rtta o'xshash qurilgan uchburchaklar tomoni gipotenuzaga teng bo'lgan kvadrat hosil qiladi c.

2-rasmdagi qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi 3-rasmdagi c tomoni bilan biz qurgan kvadratning maydoniga teng. Buni rasmdagi kvadratlarning maydonlarini hisoblash orqali osongina tekshirish mumkin. 2 formula bo'yicha. Va 3-rasmdagi chizilgan kvadratning maydoni. Yon tomoni bo'lgan katta kvadratning maydonidan kvadrat to'g'ri burchakli uchburchakda yozilgan to'rtta teng maydonlarni ayirish orqali. (a + b).

Bularning barchasini yozsak, bizda: a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab... Qavslarni kengaytiring, barcha kerakli algebraik hisoblarni bajaring va buni oling a 2 + b 2 = a 2 + b 2... Bunday holda, 3-rasmda yozilgan maydon. kvadratni an'anaviy formuladan foydalanib hisoblash mumkin S = c 2... Bular. a 2 + b 2 = c 2- Pifagor teoremasini isbotladingiz.

Isbot 3

Xuddi shu qadimiy hind isboti XII asrda "Bilimlar toji" ("Siddhanta Shiromani") risolasida tasvirlangan va asosiy dalil sifatida muallif talabalar va izdoshlarning matematik qobiliyatlari va kuzatishlariga qaratilgan murojaatdan foydalanadi: " Qara!"

Ammo biz ushbu dalilni batafsilroq tahlil qilamiz:

Kvadrat ichida, rasmda ko'rsatilganidek, to'rtta to'g'ri burchakli uchburchak chizing. Katta kvadratning yon tomoni, u ham gipotenuzdir, biz belgilaymiz bilan... Uchburchakning oyoqlari deyiladi a va b... Chizilgan rasmga ko'ra, ichki kvadratning yon tomoni (a-b).

Kvadrat formulaning maydonidan foydalaning S = c 2 tashqi kvadratning maydonini hisoblash uchun. Shu bilan birga, ichki kvadratning maydonini va barcha to'rtburchak uchburchakning maydonlarini qo'shib bir xil qiymatni hisoblang: (a-b) 2 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b.

Bir xil natija berishiga ishonch hosil qilish uchun kvadratning maydonini hisoblash uchun ikkala variantdan ham foydalanishingiz mumkin. Va bu sizga yozish huquqini beradi c 2 = (a-b) 2 + 4 * 1 \ 2 * a * b... Yechim natijasida siz Pifagor teoremasining formulasini olasiz c 2 = a 2 + b 2... Teorema isbotlangan.

Isbot 4

Bu qiziq qadimiy xitoy isboti "Kelin kursisi" deb ataladi - bu barcha konstruktsiyalar natijasida olingan stulga o'xshash shakl tufayli:

Bu ikkinchi isbotda biz allaqachon 3-rasmda ko'rgan chizmadan foydalanadi. Va tomoni c bo'lgan ichki kvadrat yuqorida keltirilgan qadimgi hind isbotida bo'lgani kabi qurilgan.

Agar siz 1-rasmdagi chizmadan ikkita yashil to'g'ri burchakli uchburchakni aqliy ravishda kesib tashlasangiz, ularni kvadratning qarama-qarshi tomonlariga c tomoni va gipotenuslari bilan o'tkazsangiz, nilufar uchburchaklar gipotenuslariga biriktirsangiz, siz "kelin kursisi" deb nomlangan figuraga ega bo'lasiz. " (2-rasm). Aniqlik uchun qog'oz kvadratlar va uchburchaklar bilan ham xuddi shunday qilishingiz mumkin. Siz "kelinning o'rindig'i" ikkita kvadratdan iborat ekanligini ko'rasiz: yon tomoni bilan kichik b va bir tomoni bilan katta a.

Bu konstruktsiyalar qadimgi Xitoy matematiklariga va ulardan keyin shunday xulosaga kelishga imkon berdi c 2 = a 2 + b 2.

Isbot 5

Bu geometriyaga tayangan holda Pifagor teoremasining yechimini topishning yana bir usuli. Bu Garfild usuli deb ataladi.

To‘g‘ri burchakli uchburchak tuzing ABC... Biz buni isbotlashimiz kerak BC 2 = AC 2 + AB 2.

Buning uchun oyoqni davom ettiring AS va chiziq segmentini chizish CD qaysi oyoqqa teng AB... Perpendikulyarni pastga tushiring AD Bo'lim ED... Segmentlar ED va AS teng. Nuqtalarni ulang E va V, va yana E va BILAN va quyidagi rasmdagi kabi rasmni oling:

Minorani isbotlash uchun biz yana allaqachon sinab ko'rgan usulga murojaat qilamiz: olingan shaklning maydonini ikki yo'l bilan toping va iboralarni bir-biriga tenglashtiring.

Ko'pburchakning maydonini toping YOTOQ uni tashkil etuvchi uchta uchburchakning maydonlarini qo'shish orqali mumkin. Va ulardan biri, ERUlar, nafaqat to'rtburchaklar, balki teng yon tomonli hamdir. Buni ham unutmaymiz AB = CD, AC = ED va BC = CE- bu bizga yozib olishni soddalashtirishga va uni ortiqcha yuklamaslikka imkon beradi. Shunday qilib, S ABED = 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Bundan tashqari, bu aniq YOTOQ Trapezoiddir. Shuning uchun biz uning maydonini quyidagi formula bo'yicha hisoblaymiz: S ABED = (DE + AB) * 1 / 2AD... Bizning hisob-kitoblarimiz uchun segmentni ifodalash qulayroq va tushunarli AD segmentlar yig'indisi sifatida AS va CD.

Keling, figuraning maydonini hisoblashning ikkala usulini ham ular orasiga teng belgi qo'yib yozamiz: AB * AC + 1 / 2BC 2 = (DE + AB) * 1/2 (AC + CD)... Biz soddalashtirish uchun bizga allaqachon ma'lum bo'lgan va yuqorida tavsiflangan segmentlarning tengligidan foydalanamiz o'ng tomon yozuvlar: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1/2 (AB + AC) 2... Endi qavslarni kengaytiramiz va tenglikni o'zgartiramiz: AB * AC + 1 / 2BC 2 = 1 / 2AC 2 + 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2AB 2... Barcha o'zgarishlarni tugatgandan so'ng, biz kerakli narsani olamiz: BC 2 = AC 2 + AB 2... Biz teoremani isbotladik.

Albatta, bu dalillar ro'yxati to'liq emas. Pifagor teoremasi vektorlar, kompleks sonlar, differensial tenglamalar, stereometriya va boshqalar yordamida ham isbotlanishi mumkin. Va hatto fizika: agar, masalan, suyuqlik chizmalarda ko'rsatilgandek kvadrat va uchburchak hajmlarga quyilsa. Suyuqlikni quyish orqali maydonlarning tengligini va natijada teoremaning o'zini isbotlash mumkin.

Pifagor uchliklari haqida bir necha so'z

Bu masala maktab o‘quv dasturida kam o‘rganilgan yoki o‘rganilmagan. Ayni paytda, u juda qiziqarli va bor katta ahamiyatga ega geometriyada. Pifagor uchliklari ko'plab matematik muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi. Ularning g'oyasi sizning keyingi ta'limingizda sizga foydali bo'lishi mumkin.

Xo'sh, Pifagor uchliklari nima? Bu natural sonlarning nomi bo'lib, uchtasi to'plangan, ikkitasining kvadratlari yig'indisi uchinchi sonning kvadratiga teng.

Pifagor uchliklari quyidagilar bo'lishi mumkin:

• ibtidoiy (barcha uchta raqam o'zaro tub);
• ibtidoiy emas (agar uchlikning har bir soni bir xil songa ko'paytirilsa, siz ibtidoiy bo'lmagan yangi uchlikni olasiz).

Bizning eramizdan oldin ham qadimgi misrliklarni Pifagor uchliklarining soni manikasi hayratda qoldirdi: masalalarda ular tomonlari 3,4 va 5 birlik bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqdilar. Aytgancha, tomonlari Pifagor uchligidagi raqamlarga teng bo'lgan har qanday uchburchak sukut bo'yicha to'rtburchaklardir.

Pifagor uchliklariga misollar: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50) va boshqalar.

Teoremaning amaliy qo'llanilishi

Pifagor teoremasi nafaqat matematikada, balki arxitektura va qurilishda, astronomiya va hatto adabiyotda ham qo'llaniladi.

Birinchidan, qurilish haqida: Pifagor teoremasi unda topiladi keng qo'llanilishi turli qiyinchilik darajasidagi vazifalarda. Masalan, Romanesk oynasiga qarang:

Deraza kengligini quyidagicha belgilaymiz b, keyin yarim doira radiusi sifatida belgilash mumkin R va orqali ifoda eting b: R = b / 2... Kichikroq yarim doiralarning radiusi orqali ham ifodalanishi mumkin b: r = b / 4... Ushbu muammoda bizni derazaning ichki doirasining radiusi qiziqtiradi (uni chaqiraylik p).

Pifagor teoremasi hisoblash uchun qulaydir R... Buning uchun biz to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalanamiz, bu rasmda nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan. Uchburchakning gipotenuzasi ikkita radiusdan iborat: b / 4 + p... Bir oyoq radiusdir b / 4, boshqa b / 2-p... Pifagor teoremasidan foydalanib, biz yozamiz: (b / 4 + p) 2 = (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2... Keyinchalik, biz qavslarni ochamiz va olamiz b 2/16 + bp / 2 + p 2 = b 2/16 + b 2/4-bp + p 2... Biz bu ifodani aylantiramiz bp / 2 = b 2/4-bp... Va keyin barcha shartlarni bo'linadi b, olish uchun shunga o'xshashlarni beramiz 3/2 * p = b / 4... Va oxirida biz buni topamiz p = b / 6- bu bizga kerak edi.

Teoremadan foydalanib, siz rafterning uzunligini hisoblashingiz mumkin gable tomi... Minora qanchalik balandligini aniqlang mobil aloqa signalning ma'lum bir manzilga etib borishi uchun zarurdir. Va hatto doimiy ravishda o'rnatiladi Rojdestvo daraxti shahar maydonida. Ko'rib turganingizdek, bu teorema nafaqat darslik sahifalarida yashaydi, balki ko'pincha haqiqiy hayotda foydalidir.

Adabiyotga kelsak, Pifagor teoremasi qadimgi zamonlardan beri yozuvchilarni ilhomlantirgan va bizning davrimizda ham shunday qilmoqda. Misol uchun, XIX asrda yashagan nemis yozuvchisi Adelbert fon Chamisso sonet yozishdan ilhomlangan:

Haqiqat nuri tez orada so'nmaydi,
Ammo, porlab, u deyarli tarqalmaydi
Va ming yillar oldin bo'lgani kabi,
Shubha va tortishuvlarga sabab bo'lmaydi.

Ko'zga tegsa, eng dono
Haqiqat nuri, xudolarga rahmat;
Va yuzta buqalar pichoqlangan, yolg'on gapirishadi -
Baxtli Pifagordan o'zaro sovg'a.

O'shandan beri buqalar umidsizlik bilan baqirishdi:
Buqa qabilasidan abadiy xavotirda
Bu erda eslatib o'tilgan voqea.

Ularga shunday tuyuladi: vaqt yaqinlashmoqda
Va yana qurbon qilinadilar
Ba'zi ajoyib teorema.

(Viktor Toporov tarjimasi)

Yigirmanchi asrda sovet yozuvchisi Yevgeniy Veltistov o'zining "Elektronikaning sarguzashtlari" kitobida Pifagor teoremasini isbotlashga butun bobni bag'ishladi. Va agar Pifagor teoremasi yagona dunyo uchun asosiy qonun va hatto dinga aylangan bo'lsa, mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan ikki o'lchovli dunyo haqidagi hikoyaga yarim bob. Unda yashash ancha oson, lekin ayni paytda zerikarliroq bo'lar edi: masalan, u erda hech kim "yumaloq" va "momiq" so'zlarining ma'nosini tushunmaydi.

Muallif “Elektronikaning sarguzashtlari” kitobida esa matematika o‘qituvchisi Taratarning og‘zi orqali shunday deydi: “Matematikada asosiy narsa – fikr, yangi g‘oyalar harakatidir”. Aynan mana shu ijodiy tafakkur parvozi Pifagor teoremasini vujudga keltiradi – uning turli-tuman dalillari borligi bejiz emas. Bu tanish chegaradan chiqib ketishga va tanish narsalarga yangicha qarashga yordam beradi.

Xulosa

Ushbu maqola sizga boshqa narsalarni ko'rish uchun yaratilgan maktab o'quv dasturi matematikada va nafaqat "Geometriya 7-9" (L. S. Atanasyan, V. N. Rudenko) va "Geometriya 7-11" (A. V. Pogorelov) darsliklarida keltirilgan Pifagor teoremasining isbotlarini o'rganing, balki boshqa qiziqarli usullarni ham o'rganing. mashhur teoremani isbotlang. Shuningdek, Pifagor teoremasini kundalik hayotda qanday qo'llash mumkinligi haqidagi misollarni ko'ring.

Birinchidan, bu ma'lumot sizga matematika darslarida yuqori ball olish imkonini beradi - qo'shimcha manbalardan olingan mavzu bo'yicha ma'lumotlar har doim yuqori baholanadi.

Ikkinchidan, biz sizga matematikaning qanchalik ko'p ekanligini his qilishingizga yordam berishni xohladik qiziqarli fan... Aniq misollar bilan unda ijodkorlik uchun har doim joy borligiga ishonch hosil qiling. Umid qilamizki, Pifagor teoremasi va ushbu maqola sizning mustaqil izlanishlaringizga va matematika va boshqa fanlar bo'yicha qiziqarli kashfiyotlaringizga ilhom beradi.

Agar siz ushbu maqoladagi dalillarni qiziqarli deb topsangiz, izohlarda bizga ayting. Ushbu ma'lumot o'qishingizda sizga foydali bo'ldimi? Pifagor teoremasi va ushbu maqola haqida fikringizni bizga yozing - bularning barchasini siz bilan muhokama qilishdan mamnun bo'lamiz.

blog. sayti, material to'liq yoki qisman nusxalangan holda, manbaga havola kerak.

Sizga berilgan uchburchakning to'g'ri burchakli ekanligiga ishonch hosil qiling, chunki Pifagor teoremasi faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun amal qiladi. To'g'ri burchakli uchburchaklarda uchta burchakdan biri har doim 90 daraja.

• To'g'ri burchakli uchburchakdagi to'g'ri burchak qiyshiq burchak bo'lgan egri chiziq emas, balki kvadrat belgisi bilan ko'rsatilgan.

Uchburchakning tomonlari uchun ko'rsatmalar qo'shing. Oyoqlarni "a" va "b" (oyoqlari - tomonlari to'g'ri burchak ostida kesishadi) va gipotenuzani "c" (gipotenuza - to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan to'g'ri burchakli uchburchakning eng katta tomoni) deb belgilang.

Uchburchakning qaysi tomonini topmoqchi ekanligingizni aniqlang. Pifagor teoremasi to'g'ri burchakli uchburchakning istalgan tomonini topishga imkon beradi (agar boshqa ikki tomoni ma'lum bo'lsa). Qaysi tomonni (a, b, c) topish kerakligini aniqlang.

• Masalan, 5 ga teng gipotenuza berilgan va 3 ga teng oyoq berilgan. Bunday holda, ikkinchi oyoqni topish kerak. Bu misolga keyinroq qaytamiz.
• Agar qolgan ikki tomon noma'lum bo'lsa, Pifagor teoremasini qo'llash uchun noma'lum tomonlardan birining uzunligini topish kerak. Buning uchun asosiy trigonometrik funktsiyalardan foydalaning (agar sizga qiyshiq burchaklardan birining qiymati berilgan bo'lsa).

Formuladagi a 2 + b 2 = c 2 o'rniga sizga berilgan qiymatlarni (yoki siz topgan qiymatlarni) almashtiring. Esda tutingki, a va b - oyoq, c - gipotenuz.

• Bizning misolimizda yozing: 3² + b² = 5².

O'zingiz bilgan har bir tomonni kvadratga aylantiring. Yoki darajalarni qoldiring - keyinroq raqamlarni kvadratga qo'yishingiz mumkin.

• Bizning misolimizda yozing: 9 + b² = 25.

Noma'lum tomonni tenglamaning bir tomonida ajratib oling. Buning uchun ma'lum qiymatlarni tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazing. Agar siz gipotenuzani topsangiz, u holda Pifagor teoremasida u allaqachon tenglamaning bir tomonida izolyatsiya qilingan (shuning uchun hech narsa qilish kerak emas).

• Bizning misolimizda noma'lum b² ni ajratish uchun tenglamaning o'ng tomoniga 9 ni o'tkazing. Siz b² = 16 ni olasiz.

Tenglamaning bir tomonida noma'lum (kvadrat) va boshqa tomonida kesma (son) bo'lgandan keyin tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini chiqaring.

• Bizning misolimizda b² = 16. Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling va b = 4 ni oling. Demak, ikkinchi oyoq 4 ga teng.

Kundalik hayotda Pifagor teoremasidan foydalaning, chunki uni qo'llash mumkin katta raqam amaliy vaziyatlar. Buni amalga oshirish uchun kundalik hayotda to'g'ri burchakli uchburchaklarni tan olishni o'rganing - ikkita ob'ekt (yoki chiziqlar) to'g'ri burchak ostida kesishgan va uchinchi ob'ekt (yoki chiziq) birinchi ikkita ob'ektning tepalarini (diagonal) bog'laydigan har qanday vaziyatda. (yoki chiziqlar), noma'lum tomonni topish uchun Pifagor teoremasidan foydalanishingiz mumkin (agar boshqa ikki tomon ma'lum bo'lsa).

• Misol: binoga suyanib turgan zinapoya berilgan. Zinapoyaning pastki qismi devor tagidan 5 metr masofada joylashgan. Zinapoyaning tepasi erdan 20 metr (devorga) joylashgan. Zinalar qancha uzun?
  • "Devorning tagidan 5 metr" degan ma'noni anglatadi a = 5; "Yerdan 20 metr masofada" degani b = 20 (ya'ni sizga to'g'ri burchakli uchburchakning ikkita oyog'i berilgan, chunki binoning devori va Yer yuzasi to'g'ri burchak ostida kesishadi). Narvonning uzunligi noma'lum bo'lgan gipotenuzaning uzunligi.
    • a² + b² = c²
    • (5) ² + (20) ² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • s = 20,6. Shunday qilib, zinapoyaning taxminiy uzunligi 20,6 metrni tashkil qiladi.

(Berlin muzeyining 6619-papirusiga ko'ra). Kantorning so'zlariga ko'ra, arpedonaptlar yoki "arqon tortuvchilar" tomonlari 3, 4 va 5 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida to'g'ri burchaklarni qurdilar.

Ularning qurilish usulini takrorlash juda oson. 12 m uzunlikdagi arqonni oling va uni bir uchidan 3 m, ikkinchisidan 4 metr masofada rangli chiziq bo'ylab bog'lang. To'g'ri burchak 3 va 4 metr uzunlikdagi tomonlar orasiga o'rnatiladi. Harpedonaptlar, masalan, barcha duradgorlar ishlatadigan yog'och kvadratdan foydalansak, ularning qurilish usuli ortiqcha bo'lib qoladi, deb ta'kidlashi mumkin. Darhaqiqat, Misr chizmalari ma'lum bo'lib, unda bunday asbob topilgan, masalan, duradgorlik ustaxonasi tasvirlangan chizmalar.

Bobil Pifagor teoremasi haqida biroz ko'proq ma'lum. Bir matnda Xammurapi davriga, ya'ni miloddan avvalgi 2000 yilga to'g'ri keladi. NS. , to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasining taxminiy hisobi berilgan. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, Mesopotamiyada ular hech bo'lmaganda ba'zi hollarda to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan hisoblashni bilishgan. Bir tomondan, Misr va Bobil matematikasi haqidagi bilimlarning hozirgi darajasiga, ikkinchi tomondan, yunon manbalarini tanqidiy o'rganishga asoslanib, Van der Vaerden (golland matematiki) bu boradagi teoremaning katta ehtimollik bilan amalga oshirilishi mumkin degan xulosaga keldi. Gipotenuzaning kvadrati Hindistonda miloddan avvalgi 18-asrda ma'lum bo'lgan. NS.

Miloddan avvalgi 400 yillar atrofida. e., Proklusga ko'ra, Platon algebra va geometriyani birlashtirgan Pifagor uchliklarini topish usulini bergan. Miloddan avvalgi 300 yillar atrofida. NS. Pifagor teoremasining eng qadimgi aksiomatik isboti Evklidning "Elementlar" asarida paydo bo'lgan.

So'z birikmasi

Geometrik formulalar:

Dastlab, teorema quyidagicha tuzilgan:

Algebraik formula:

Ya'ni, uchburchakning gipotenuzasi uzunligini va oyoqlarning uzunliklarini va orqali:

Teoremaning ikkala bayonoti ham ekvivalentdir, lekin ikkinchi bayonot ko'proq elementardir, u maydon tushunchasini talab qilmaydi. Ya'ni, ikkinchi bayonotni maydon haqida hech narsa bilmasdan va faqat to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari uzunligini o'lchamasdan tekshirish mumkin.

Teskari Pifagor teoremasi:

Isbot

Hozirgi vaqtda ilmiy adabiyotlarda ushbu teoremaning 367 ta isboti qayd etilgan. Ehtimol, Pifagor teoremasi shunday ta'sirchan miqdordagi dalillarga ega bo'lgan yagona teoremadir. Bu xilma-xillikni faqat geometriya uchun teoremaning asosiy ma'nosi bilan izohlash mumkin.

Albatta, kontseptual jihatdan ularning barchasini oz sonli sinflarga bo'lish mumkin. Ulardan eng mashhurlari: maydon usuli bilan isbotlash, aksiomatik va ekzotik isbotlar (masalan, differensial tenglamalar yordamida).

Shu kabi uchburchaklar orqali

Algebraik formulaning quyidagi isboti to'g'ridan-to'g'ri aksiomalardan qurilgan isbotlarning eng oddiyidir. Xususan, u figuraning maydoni tushunchasidan foydalanmaydi.

Bo'lsin ABC to'g'ri burchakli to'g'ri burchakli uchburchak mavjud C... Keling, balandlikni chizamiz C va uning asosini bilan belgilang H... Uchburchak ACH uchburchak kabi ABC ikki burchakda. Xuddi shunday, uchburchak CBH o'xshashdir ABC... Belgilanish bilan tanishtirish

olamiz

Ekvivalenti nima

Qo'shsak, olamiz

, buni isbotlash kerak edi

Hududlarni isbotlash

Quyidagi dalillar, oddiy ko'rinishga qaramay, unchalik oddiy emas. Ularning barchasi maydonning xususiyatlaridan foydalanadi, ularning isboti Pifagor teoremasining o'zini isbotlashdan ko'ra qiyinroqdir.

Teng to'ldiruvchi isbot

1. 1-rasmda ko'rsatilganidek, to'rtta teng to'g'ri burchakli uchburchakni joylashtiring.
2. Yonlari bilan to'rtburchak c kvadratdir, chunki ikkining yig'indisi o'tkir burchaklar 90 ° va ochilgan burchak 180 °.
3. Butun shaklning maydoni, bir tomondan, tomonlari (a + b) bo'lgan kvadratning maydoni, boshqa tomondan, to'rtta uchburchakning maydonlari va maydoni yig'indisidir. ichki kvadrat.

Q.E.D.

Evklidning isboti

Evklidning isboti ortidagi g'oya quyidagicha: keling, gipotenuzada qurilgan kvadrat maydonining yarmi oyoqlarda qurilgan kvadratlar maydonlarining yarmi yig'indisiga, keyin esa maydonlarga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. katta va ikkita kichik kvadratlarning soni teng.

Chapdagi chizilgan rasmni ko'rib chiqing. Unda biz to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga kvadratlar qurdik va AB gipotenuzasiga perpendikulyar to'g'ri burchakli C burchak cho'qqisidan s nurini chizdik, u gipotenuzaga qurilgan ABIK kvadratini ikkita to'rtburchaklar - BHJI -ga kesadi. va HAKJ. Ma'lum bo'lishicha, bu to'rtburchaklar maydonlari mos keladigan oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlariga to'liq teng.

Keling, DECA kvadratining maydoni AHJK to'rtburchaklar maydoniga teng ekanligini isbotlashga harakat qilaylik. Buning uchun yordamchi kuzatuvdan foydalanamiz: Bu to'rtburchakning balandligi va asosi bir xil bo'lgan uchburchakning maydoni. berilgan to'rtburchakning yarmiga teng. Bu uchburchakning maydonini poydevor va balandlik mahsulotining yarmi sifatida belgilashning natijasidir. Ushbu kuzatishdan kelib chiqadiki, ACK uchburchakning maydoni AHK uchburchagining maydoniga teng (rasmda ko'rsatilmagan), bu esa o'z navbatida AHJK to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng. .

Keling, ACK uchburchagining maydoni ham DECA kvadratining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Buning uchun qilish kerak bo'lgan yagona narsa ACK va BDA uchburchaklarining tengligini isbotlashdir (chunki BDA uchburchakning maydoni yuqoridagi xususiyatga ko'ra kvadrat maydonining yarmiga teng). Tenglik aniq: uchburchaklar ikki tomondan teng va ular orasidagi burchak. Ya'ni - AB = AK, AD = AC - CAK va BAD burchaklarining tengligini harakat usuli bilan isbotlash oson: biz CAK uchburchagini soat miliga teskari yo'nalishda 90 ° aylantiramiz, keyin ikkita uchburchakning mos tomonlari ostida ekanligi ayon bo'ladi. ko'rib chiqish mos keladi (chunki kvadrat tepasidagi burchak 90 °).

BCFG kvadrati va BHJI to'rtburchaklar maydonlarining tengligi haqidagi mulohazalar butunlay o'xshashdir.

Shunday qilib, biz gipotenuzada qurilgan kvadratning maydoni oyoqlarda qurilgan kvadratlarning maydonlarining yig'indisi ekanligini isbotladik. Ushbu dalilning g'oyasi yuqoridagi animatsiya bilan yanada ko'proq tasvirlangan.

Leonardo da Vinchining isboti

Isbotning asosiy elementlari simmetriya va harakatdir.

Chizilgan rasmni ko'rib chiqing, simmetriyadan ko'rinib turibdiki, segment kvadratni ikkita bir xil qismga ajratadi (chunki uchburchaklar va qurilishda tengdir).

Bir nuqta atrofida soat miliga teskari 90 daraja aylanib, biz soyali raqamlar va teng ekanligini ko'ramiz.

Endi aniq bo'ldiki, soyali rasmning maydoni kichik kvadratlar (oyoqlarda qurilgan) va asl uchburchakning maydonining yarmi yig'indisiga teng. Boshqa tomondan, u katta kvadratning yarmiga (gipotenuzaga qurilgan) va asl uchburchakning maydoniga teng. Shunday qilib, kichik kvadratlar maydonlari yig'indisining yarmi katta kvadrat maydonining yarmiga teng, shuning uchun oyoqlarda qurilgan kvadratlar maydonlarining yig'indisi kvadratning maydoniga teng. gipotenuzaga qurilgan.

Infinitesimal usuli bilan isbotlash

Differensial tenglamalar yordamida quyidagi dalil ko'pincha 20-asrning birinchi yarmida yashagan mashhur ingliz matematigi Hardiga tegishli.

Rasmda ko'rsatilgan chizmaga qarash va tomonning o'zgarishini kuzatish a, tomonlarning cheksiz kichik o'sishi uchun quyidagi munosabatni yozishimiz mumkin bilan va a(uchburchaklarning o'xshashligidan foydalangan holda):

O'zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanib, biz topamiz

Ikkala oyoqning o'sishida gipotenuzani o'zgartirishning umumiy ifodasi

Ushbu tenglamani integrallash va dastlabki shartlardan foydalanib, biz hosil bo'lamiz

Shunday qilib, biz kerakli javobga erishamiz

Ko'rinib turibdiki, yakuniy formuladagi kvadratik bog'liqlik uchburchak tomonlari va o'sishlar orasidagi chiziqli proportsionallik tufayli paydo bo'ladi, yig'indisi esa turli oyoqlarning o'sishidan mustaqil hissalar bilan bog'liq.

Oyoqlardan biri (bu holda, oyoq) o'sishni boshdan kechirmaydi deb hisoblasak, oddiyroq dalilni olish mumkin. Keyin integratsiya konstantasini olamiz

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

Uch tomondan o'xshash geometrik shakllar

Shu kabi uchburchaklar uchun umumlashtirish, yashil shakllar maydoni A + B = ko'k C maydoni

Shu kabi to'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida Pifagor teoremasi

Pifagor teoremasini umumlashtirish Evklid tomonidan o'z ishida qilingan Boshlanishlar, yon tomonlardagi kvadratlarning maydonlarini o'xshash geometrik shakllar joylariga kengaytirish:

Agar siz to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlariga o'xshash geometrik shakllarni (Evklid geometriyasiga qarang) qursangiz, ikkita kichik raqamning yig'indisi kattaroq shaklning maydoniga teng bo'ladi.

Ushbu umumlashtirishning asosiy g'oyasi shundaki, bunday geometrik figuraning maydoni uning har qanday chiziqli o'lchamlari kvadratiga, xususan, har qanday tomon uzunligining kvadratiga proportsionaldir. Shuning uchun, maydonlar bilan o'xshash raqamlar uchun A, B va C uzunligi bilan yon tomonlarga qurilgan a, b va c, bizda ... bor:

Ammo, Pifagor teoremasiga ko'ra, a 2 + b 2 = c 2, keyin A + B = C.

Aksincha, buni isbotlay olsak A + B = C Pifagor teoremasidan foydalanmasdan uchta o'xshash geometrik figuralar uchun biz teoremani teskari yo'nalishda harakatlantirgan holda isbotlashimiz mumkin. Misol uchun, boshlang'ich markaz uchburchak uchburchak sifatida qayta ishlatilishi mumkin C gipotenuzada va ikkita o'xshash to'g'ri burchakli uchburchak ( A va B), markaziy uchburchakni balandligiga bo'lish natijasida hosil bo'lgan boshqa ikki tomonda qurilgan. Uchburchakning ikkita kichik maydonining yig'indisi uchinchisining maydoniga teng bo'ladi, shuning uchun A + B = C va oldingi isbotlarni teskari tartibda bajarib, biz Pifagor teoremasini olamiz a 2 + b 2 = c 2.

Kosinus teoremasi

Pifagor teoremasi maxsus holat ixtiyoriy uchburchakda tomonlarning uzunliklarini bog'laydigan umumiyroq kosinus teoremasi:

bu yerda th - tomonlar orasidagi burchak a va b.

Agar th 90 daraja bo'lsa, u holda cos θ = 0 va formula odatdagi Pifagor teoremasiga soddalashtirilgan.

Ixtiyoriy uchburchak

Yonlari bo'lgan ixtiyoriy uchburchakning istalgan tanlangan burchagiga a, b, c biz teng yonli uchburchakni shunday chizamizki, uning asosidagi teng burchaklar th tanlangan burchakka teng bo'lsin. Faraz qilaylik, tanlangan burchak th belgilangan tomonga qarama-qarshi bo'lsin c... Natijada yon tomoniga qarama-qarshi joylashgan th burchakli ABD uchburchakka ega bo'ldik a va partiyalar r... Ikkinchi uchburchak yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan th burchagidan hosil bo'ladi b va partiyalar bilan uzunligi s, rasmda ko'rsatilganidek. Sobit ibn Qurra bu uchburchakning tomonlari quyidagicha bog‘langanligini ta’kidlagan:

th burchagi p / 2 ga yaqinlashganda, teng yonli uchburchakning asosi kamayadi va ikki tomon r va s kamroq va kamroq bir-biriga yopishadi. th = p / 2 bo'lganda, ADB to'g'ri burchakli uchburchakka aylanadi, r + s = c va biz dastlabki Pifagor teoremasini olamiz.

Keling, sabablardan birini ko'rib chiqaylik. ABC uchburchagining burchaklari ABD uchburchagi bilan bir xil, lekin teskari tartibda. (Ikkita uchburchak B cho'qqisida umumiy burchakka ega, ikkalasi ham th burchagiga ega va uchburchak burchaklarining yig'indisiga ko'ra bir xil uchinchi burchakka ega.) Shunga ko'ra, ABC DBA uchburchagining ABD aks etishiga o'xshaydi, pastki rasmda ko'rsatilganidek. Qarama-qarshi tomonlar va th burchakka qo'shni tomonlar orasidagi nisbatni yozamiz,

Shuningdek, boshqa uchburchakning aksi,

Keling, kasrlarni ko'paytiramiz va bu ikki nisbatni qo'shamiz:

Q.E.D.

Ixtiyoriy uchburchaklar uchun parallelogrammalar orqali umumlashtirish

Ixtiyoriy uchburchaklar uchun umumlashtirish,
yashil maydon uchastka = maydon ko'k

Yuqoridagi rasmda tezisning isboti

Keling, to'rtburchaklar bo'lmagan uchburchaklarni kvadratlar o'rniga uch tomondan parallelogrammalardan foydalanib umumlashtiraylik. (kvadratchalar maxsus holat.) Yuqori rasmda ko'rsatilgandek, o'tkir burchakli uchburchak uchun uzun tomondagi parallelogrammning maydoni boshqa ikki tomondagi parallelogrammalar yig'indisiga teng bo'ladi, agar parallelogramma bo'lsa. uzun tomoni rasmda ko'rsatilganidek qurilgan (strelkalar bilan belgilangan o'lchamlar bir xil va pastki parallelogrammning tomonlarini aniqlaydi). Kvadratchalarni parallelogrammlar bilan almashtirish Pifagorning boshlang'ich teoremasiga aniq o'xshaydi, uni milodiy 4-yilda Iskandariyalik Pappus ishlab chiqqan deb ishoniladi. NS.

Pastki rasmda isbotning borishi ko'rsatilgan. Keling, uchburchakning chap tomonini ko'rib chiqaylik. Chap yashil parallelogramm ko'k parallelogrammaning chap tomoni bilan bir xil maydonga ega, chunki ular bir xil asosga ega b va balandligi h... Bundan tashqari, chap yashil parallelogramm yuqori rasmdagi chap yashil parallelogramma bilan bir xil maydonga ega, chunki ularda umumiy asos(uchburchakning yuqori chap tomoni) va uchburchakning bu tomoniga perpendikulyar bo'lgan umumiy balandlik. Uchburchakning o'ng tomoni uchun xuddi shunday bahslashamiz, biz pastki parallelogramm ikkita yashil parallelogramm bilan bir xil maydonga ega ekanligini isbotlaymiz.

Kompleks sonlar

Pifagor teoremasi Dekart koordinata tizimidagi ikki nuqta orasidagi masofani topish uchun ishlatiladi va bu teorema barcha haqiqiy koordinatalar uchun to'g'ri keladi: masofa s ikki nuqta o'rtasida ( a, b) va ( c, d) teng

Agar siz murakkab sonlarni haqiqiy komponentlar bilan vektor sifatida ko'rib chiqsangiz, formula bilan hech qanday muammo bo'lmaydi x + men y = (x, y). ... Masalan, masofa s 0 + 1 orasida i va 1 + 0 i vektorning moduli sifatida hisoblaymiz (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), yoki

Shunga qaramay, murakkab koordinatali vektorlar bilan operatsiyalar uchun Pifagor formulasini ma'lum bir yaxshilash kerak. Kompleks sonli nuqtalar orasidagi masofa ( a, b) va ( c, d); a, b, c, va d barcha murakkab, biz mutlaq qiymatlar yordamida formula qilamiz. Masofa s vektor farqiga asoslanadi (a − c, b − d) quyidagi shaklda: farq qilsin a − c = p+ i q, qayerda p- farqning haqiqiy qismi, q xayoliy qism va i = √ (−1) ga teng. Xuddi shunday, ruxsat bering b − d = r+ i s... Keyin:

uchun murakkab konjugat son qayerda. Masalan, nuqtalar orasidagi masofa (a, b) = (0, 1) va (c, d) = (i, 0) , biz farqni hisoblaymiz (a − c, b − d) = (−i, 1) va natijada, agar murakkab konjugatlar ishlatilmasa, biz 0 ni olamiz. Shuning uchun, takomillashtirilgan formuladan foydalanib, biz olamiz

Modul quyidagicha aniqlanadi:

Stereometriya

Uch o'lchovli fazo uchun Pifagor teoremasining muhim umumlashtirilishi J.-P nomi bilan atalgan de Gua teoremasidir. de Gua: agar tetraedr to'g'ri burchakka ega bo'lsa (kubdagi kabi), u holda to'g'ri burchakka qarama-qarshi yotgan yuz maydonining kvadrati qolgan uchta yuzning maydonlari kvadratlarining yig'indisiga teng bo'ladi. Ushbu xulosani quyidagicha umumlashtirish mumkin: n- o'lchovli Pifagor teoremasi ":

Uch o'lchovli fazodagi Pifagor teoremasi AD diagonalini uch tomon bilan bog'laydi.

Yana bir umumlashma: Pifagor teoremasi stereometriyaga quyidagi shaklda qo'llanilishi mumkin. Rasmda ko'rsatilganidek, to'rtburchaklar parallelepipedni ko'rib chiqing. BD diagonali uzunligini Pifagor teoremasi bo‘yicha topamiz:

bu erda uch tomon to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi. AD diagonali uzunligini topish uchun BD gorizontal diagonali va AB vertikal chetidan foydalanamiz, buning uchun yana Pifagor teoremasidan foydalanamiz:

yoki agar hamma narsa bitta tenglamada yozilgan bo'lsa:

Ushbu natija vektorning kattaligini aniqlash uchun 3D ifodasidir v(diagonal AD) uning perpendikulyar komponentlari bilan ifodalangan ( v k) (uchta o'zaro perpendikulyar tomon):

Bu tenglamani ko'p o'lchovli fazo uchun Pifagor teoremasining umumlashtirilishi sifatida ko'rish mumkin. Biroq, natijada Pifagor teoremasini ketma-ket perpendikulyar tekisliklarda to'g'ri burchakli uchburchaklar ketma-ketligiga qayta-qayta qo'llashdan boshqa narsa emas.

Vektor maydoni

Ortogonal vektorlar tizimida tenglik amal qiladi, bu Pifagor teoremasi deb ham ataladi:

Agar vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyasi bo'lsa, bu formula Evklid masofasiga to'g'ri keladi - va vektor uzunligi uning komponentlari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga teng ekanligini anglatadi.

Cheksiz vektorlar sistemasidagi bu tenglikning analogi Parseval tengligi deyiladi.

Evklid bo'lmagan geometriya

Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining aksiomalaridan olingan bo'lib, aslida u yuqorida yozilgan shaklda Evklid bo'lmagan geometriya uchun haqiqiy emas. (Ya'ni, Pifagor teoremasi Evklidning parallellik postulatiga o'ziga xos ekvivalent bo'lib chiqadi) Boshqacha aytganda, Evklid bo'lmagan geometriyada uchburchak tomonlari orasidagi nisbat Pifagor teoremasidan farqli shaklda bo'lishi shart. . Masalan, sferik geometriyada to'g'ri burchakli uchburchakning barcha uch tomoni (aytaylik a, b va c), birlik sharning oktantini (sakkizinchi qismi) cheklovchi uzunligi p / 2 ga ega, bu Pifagor teoremasiga zid keladi, chunki a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Bu erda Evklid bo'lmagan geometriyaning ikkita holatini ko'rib chiqing - sferik va giperbolik geometriya; ikkala holatda ham, to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun Evklid fazosida bo'lgani kabi, Pifagor teoremasi o'rnini bosuvchi natija kosinus teoremasidan kelib chiqadi.

Biroq, Pifagor teoremasi giperbolik va elliptik geometriya uchun amal qiladi, agar uchburchakning to'rtburchaklik talabi uchburchakning ikki burchagi yig'indisi uchinchisiga teng bo'lishi sharti bilan almashtirilsa, deylik. A+B = C... Keyin tomonlar orasidagi nisbat quyidagicha ko'rinadi: diametrli doiralar maydonlarining yig'indisi a va b diametrli doira maydoniga teng c.

Sferik geometriya

Radiusli shardagi har qanday to'g'ri burchakli uchburchak uchun R(masalan, uchburchakdagi g burchak to'g'ri chiziq bo'lsa) tomonlari bilan a, b, c tomonlar o'rtasidagi munosabatlar quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu tenglikni sferik kosinus teoremasining maxsus holati sifatida olish mumkin, bu barcha sferik uchburchaklar uchun to'g'ri keladi:

bu erda kosh - giperbolik kosinus. Ushbu formula barcha uchburchaklar uchun amal qiladigan giperbolik kosinus teoremasining maxsus holatidir:

bu yerda g - uchi yon tomonga qarama-qarshi bo'lgan burchak c.

qayerda g ij metrik tenzor deyiladi. Bu pozitsiyaning funktsiyasi bo'lishi mumkin. Bunday egri chiziqli fazolarga Riman geometriyasi kiradi umumiy misol... Ushbu formula egri chiziqli koordinatalardan foydalanganda Evklid fazosiga ham mos keladi. Masalan, qutb koordinatalari uchun:

Vektor mahsuloti

Pifagor teoremasi vektor mahsulotining kattaligi uchun ikkita ifodani bog'laydi. O'zaro mahsulotni aniqlashning bir yondashuvi u tenglamani qondirishni talab qiladi:

bu formula nuqta mahsulotidan foydalanadi. Tenglamaning o'ng tomoni Gram determinanti deb ataladi a va b, bu ikki vektor hosil qilgan parallelogrammning maydoniga teng. Ushbu talabdan, shuningdek vektor mahsulotining uning tarkibiy qismlariga perpendikulyarligi talabidan kelib chiqqan holda a va b bundan kelib chiqadiki, 0 va 1 o'lchovli fazodan arzimas hollar bundan mustasno, vektor mahsuloti faqat uch va etti o'lchovda aniqlanadi. Biz burchakning ta'rifidan foydalanamiz n- o'lchovli fazo:

vektor mahsulotining bu xossasi uning qiymatini quyidagi shaklda beradi:

Asosiy orqali trigonometrik identifikatsiya Pifagor, biz uning qiymatini yozishning boshqa shaklini olamiz:

O'zaro mahsulotni aniqlashning muqobil yondashuvi uning kattaligi uchun ifodadan foydalanadi. Keyin, teskari tartibda bahslashsak, biz nuqta mahsuloti bilan bog'lanamiz:

Shuningdek qarang

Eslatmalar (tahrirlash)

1. Tarix mavzusi: Bobil matematikasidagi Pifagor teoremasi
2. (, 351-bet) 351-bet
3. (, I jild, 144-bet)
4. Tarixiy faktlar muhokamasi (, 351-bet) 351-betda keltirilgan
5. Kurt Von Fritz (1945 yil aprel). "Metapontum Gipasus tomonidan o'lchovsizlikning kashfiyoti". Matematika yilnomalari, ikkinchi seriya(Matematika yilnomalari) 46 (2): 242–264.
6. Lyuis Kerroll, "Tugunlar bilan hikoya", M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger aaboe Matematikaning dastlabki tarixidan epizodlar. - Amerika Matematik Assotsiatsiyasi, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Pifagor taklifi, Elisha Skott Loomis tomonidan
9. Evklidniki Elementlar: VI kitob, VI taklif 31: "To'g'ri burchakli uchburchaklarda to'g'ri burchakka cho'zilgan tomondagi raqam to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan tomonlardagi o'xshash va o'xshash tasvirlangan raqamlarga tengdir."
10. Lourens S. Leff keltirilgan ish... - Barronning ta'lim seriyasi. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Xovard Uitli Eves§4.8: ... Pifagor teoremasini umumlashtirish // Matematikaning buyuk lahzalari (1650 yilgacha). - Amerika Matematik Assotsiatsiyasi, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Tobit ibn Qorra (toʻliq ismi Sobit ibn Qurra ibn Marvan Al-Sabiʼ al-Harroniy) (milodiy 826-901) Bagʻdodda yashovchi tabib boʻlib, Evklid elementlari va boshqa matematik mavzularda koʻp yozgan.
13. Oydin Sayili (1960 yil mart). "Sobit ibn Qurra" ning Pifagor teoremasini umumlashtirish. Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. Judit D. Sally, Pol Sally Mashq 2.10 (ii) // Keltirilgan ish. - P. 62. - ISBN 0821844032
15. Bunday qurilishning tafsilotlari uchun qarang Jorj Jennings 1.32-rasm: Umumlashtirilgan Pifagor teoremasi // Ilovalar bilan zamonaviy geometriya: 150 ta raqam bilan. - 3-chi. - Springer, 1997. - B. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Braun, Karl M.Pirsi Element C: O'zboshimchalik uchun norma n-tuple ... // Tahlilga kirish. - Springer, 1995. - B. 124. - ISBN 0387943692 Shuningdek, 47-50-betlarga qarang.
17. Alfred Grey, Elza Abbena, Saymon Salamon Mathematica bilan egri va sirtlarning zamonaviy differensial geometriyasi. - 3-chi. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatiya Matritsa tahlili. - Springer, 1997. - B. 21. - ISBN 0387948465
19. Stiven V. Xoking keltirilgan ish... - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229
20. Erik V. Vaysshteyn CRC qisqacha matematika ensiklopediyasi. - 2. - 2003. - B. 2147. - ISBN 1584883472
21. Aleksandr R. Pruss