Шляхом складання, рівняння системи почленно складають, при цьому 1-но або обидва (кілька) рівнянь можна помножити на будь-яке число. В результаті приходять до рівнозначної слу, де в одному з рівнянь є лише одна змінна.

Для вирішення системи способом почленного складання (вирахування) дотримуйтесь наступних кроків:

1. Вибираємо змінну, у якій будуть робитися однакові коефіцієнти.

2. Тепер потрібно скласти або відняти рівняння і отримаємо рівняння з однією змінною.

рішення системи - це точки перетину графіків функції.

Розглянемо на прикладах.

Приклад 1.

Дана система:

Проаналізувавши цю систему можна помітити, що коефіцієнти при змінної рівні по модулю і різні за знаком (-1 і 1). У такому випадку рівняння легко скласти почленно:

Дії, які обведені червоним кольором, виконуємо в розумі.

Результатом почленного складання стало зникнення змінної y. Саме в цьому і В цьому, власне, і полягає сенс методу - позбутися від 1-ої з змінних.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

У вигляді системи рішення виглядає десь так:

відповідь: x = -4 , y = 1.

Приклад 2.

Дана система:

У цьому прикладі можете користуватися «шкільним» методом, але в ньому є немаленький мінус - коли ви будете висловлювати будь-яку змінну з будь-якого рівняння, то отримаєте рішення в звичайних дробах. А рішення дробів займає досить часу і ймовірність допущення помилок збільшується.

Тому краще користуватися почленного складанням (відніманням) рівнянь. Проаналізуємо коефіцієнти у відповідних змінних:

Потрібно підібрати число, яке можна поділити і на 3 і на 4 , При цьому потрібно, що б це число було мінімально можливим. це найменше спільне кратне . Якщо вам важко підібрати підходяще число, то можете перемножити коефіцієнти:.

Наступний крок:

1-е рівняння множимо на,

3-е рівняння множимо на,

Цим відео я починаю цикл уроків, присвячених системам рівнянь. Сьогодні ми поговоримо про рішення систем лінійних рівнянь шляхом складання - це один з найбільш простих способів, Але одночасно і один з найефективніших.

Спосіб складання складається з трьох простих кроків:

1. Подивитися на систему і вибрати змінну, у якій в кожному рівнянні стоять однакові (або протилежні) коефіцієнти;
2. Виконати алгебраїчне віднімання (для протилежних чисел - додавання) рівнянь одна з одної, після чого привести подібні доданки;
3. Вирішити нове рівняння, що вийшло після другого кроку.

Якщо все зробити правильно, то на виході ми отримаємо одне-єдине рівняння з однією змінною - вирішити його не складе труднощів. Потім залишиться лише підставити знайдений корінь в вихідну система і отримати остаточну відповідь.

Однак на практиці все не так просто. Причин тому кілька:

• Рішення рівнянь способом додавання має на увазі, що у всіх рядках повинні бути присутніми змінні з однаковими / протилежними коефіцієнтами. А що робити, якщо ця вимога не виконується?
• Далеко не завжди після складання / віднімання рівнянь зазначеним способом ми отримаємо гарну конструкцію, яка легко вирішується. Чи можливо якось спростити викладки і прискорити обчислення?

Щоб отримати відповідь на ці питання, а заодно розібратися з кількома додатковими тонкощами, на яких «завалюються» багато учнів, дивіться мій відеоурок:

Цим уроком ми починаємо цикл лекцій, присвячений системам рівнянь. А почнемо ми з найпростіших з них, а саме з ті, які містять два рівняння і дві змінних. Кожне з них буде лінійним.

Системи - це матеріал 7-го класу, але цей урок також буде корисний старшокласникам, які хочуть освіжити свої знання в цій темі.

Взагалі, існує два методи вирішення подібних систем:

1. Метод складання;
2. Метод вираження однієї змінної через іншу.

Сьогодні ми займемося саме першим методом - будемо застосовувати спосіб вирахування і складання. Але для цього потрібно розуміти наступний факт: як тільки у вас є два або більше рівнянь, ви маєте право взяти будь-які два з них і скласти один з одним. Складаються вони почленно, тобто «Ікси» складаються з «іксами» і наводяться подібні, «ігреки» з «ігреками» - знову наводяться подібні, а те, що стоїть праворуч від знака рівності, також складається один з одним, і там теж наводяться подібні.

Результатами подібних махінацій буде нове рівняння, яке, якщо і має коріння, то вони обов'язково будуть перебувати серед коренів вихідного рівняння. Тому наше завдання - зробити віднімання або додавання таким чином, щоб або $ x $, або $ y $ зник.

Як цього добитися і яким інструментом для цього користуватися - про це ми зараз і поговоримо.

Рішення легких завдань із застосуванням способу складання

Отже, вчимося застосовувати метод складання на прикладі двох найпростіших виразів.

Завдання № 1

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 5x-4y \u003d 22 \\\\ & 7x + 4y \u003d 2 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Зауважимо, що у $ y $ коефіцієнт в першому рівнянні $ -4 $, а в другому - $ + 4 $. Вони взаємно протилежні, тому логічно припустити, що якщо ми їх складемо, то в отриманій сумі «ігреки» взаємно знищаться. Складаємо і отримуємо:

Вирішуємо найпростішу конструкцію:

Прекрасно, ми знайшли «ікс». Що тепер з ним робити? Ми маємо право підставити його в будь-який з рівнянь. Підставами до першого:

\\ [- 4y \u003d 12 \\ left | : \\ Left (-4 \\ right) \\ right. \\]

Відповідь: $ \\ left (2; -3 \\ right) $.

Завдання № 2

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & -6x + y \u003d 21 \\\\ & 6x-11y \u003d -51 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Тут повністю аналогічна ситуація, тільки вже з «іксами». Складемо їх:

Ми отримали найпростіше лінійне рівняння, давайте вирішимо його:

Тепер давайте знайдемо $ x $:

Відповідь: $ \\ left (-3; 3 \\ right) $.

важливі моменти

Отже, тільки що ми вирішили дві найпростіших системи лінійних рівнянь методом складання. Ще раз ключові моменти:

1. Якщо є протилежні коефіцієнти при одній з змінних, то необхідно скласти всі змінні в рівнянні. У цьому випадку одна з них знищиться.
2. Знайдену змінну підставляємо в будь-який з рівнянь системи, щоб знайти другу.
3. Остаточну запис відповіді можна уявити по-різному. Наприклад, так - $ x \u003d ..., y \u003d ... $, або у вигляді координати точок - $ \\ left (...; ... \\ right) $. Другий варіант краще. Головне пам'ятати, що першою координатою йде $ x $, а другий - $ y $.
4. Правило записувати відповідь у вигляді координат точки застосовується не завжди. Наприклад, його не можна використовувати, коли в ролі змінних виступають не $ x $ і $ y $, а, наприклад, $ a $ і $ b $.

У таких завданнях ми розглянемо прийом віднімання, коли коефіцієнти не протилежні.

Рішення легких завдань із застосуванням методу вирахування

Завдання № 1

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 10x-3y \u003d 5 \\\\ & -6x-3y \u003d -27 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Зауважимо, що протилежних коефіцієнтів тут немає, проте є однакові. Тому віднімаємо з першого рівняння друге:

Тепер підставляємо значення $ x $ в будь-який з рівнянь системи. Давайте спочатку:

Відповідь: $ \\ left (2; 5 \\ right) $.

Завдання № 2

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 5x + 4y \u003d -22 \\\\ & 5x-2y \u003d -4 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Ми знову бачимо однаковий коефіцієнт $ 5 $ при $ x $ в першому і в другому рівнянні. Тому логічно припустити, що потрібно з першого рівняння відняти друге:

Одну змінну ми вирахували. Тепер давайте знайдемо другу, наприклад, підставивши значення $ y $ в другу конструкцію:

Відповідь: $ \\ left (-3; -2 \\ right) $.

нюанси рішення

Отже, що ми бачимо? По суті, схема нічим не відрізняється від рішення попередніх систем. Відмінність тільки в тому, що ми рівняння не складається, а віднімаємо. Ми проводимо алгебраїчне віднімання.

Іншими словами, як тільки ви бачите систему, що складається з двох рівнянь з двома невідомими, перше, на що вам необхідно подивитися - це на коефіцієнти. Якщо вони деінде однакові, рівняння віднімаються, а якщо вони протилежні - застосовується метод складання. Завжди це робиться для того, щоб одна з них зникла, і в підсумком рівнянні, яка залишилася після вирахування, залишилася б тільки одна змінна.

Зрозуміло, це ще не все. Зараз ми розглянемо системи, в яких рівняння взагалі неузгоджені. Тобто немає в них таких змінних, які були б або однакові, або протилежні. В цьому випадку для вирішення таких систем застосовується додатковий прийом, а саме домноженіе кожного з рівнянь на спеціальний коефіцієнт. Як знайти його і як вирішувати взагалі такі системи, зараз ми про це і поговоримо.

Рішення задач методом домноженія на коефіцієнт

Приклад № 1

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 5x-9y \u003d 38 \\\\ & 3x + 2y \u003d 8 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Ми бачимо, що ні при $ x $, ні при $ y $ коефіцієнти не тільки не взаємно протилежні, але і взагалі ніяк не співвідносяться з іншим рівнянням. Ці коефіцієнти ніяк не зникнуть, навіть якщо ми складемо або віднімемо рівняння один з одного. Тому необхідно застосувати домноженіе. Давайте спробуємо позбутися від змінної $ y $. Для цього ми домножимо перше рівняння на коефіцієнт при $ y $ з другого рівняння, а друге рівняння - при $ y $ з першого рівняння, при цьому не чіпаючи знак. Множимо і отримуємо нову систему:

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 10x-18y \u003d 76 \\\\ & 27x + 18y \u003d 72 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Дивимося на неї: при $ y $ протилежні коефіцієнти. У такій ситуації необхідно застосовувати метод складання. складемо:

Тепер необхідно знайти $ y $. Для цього підставимо $ x $ в перший вираз:

\\ [- 9y \u003d 18 \\ left | : \\ Left (-9 \\ right) \\ right. \\]

Відповідь: $ \\ left (4; -2 \\ right) $.

Приклад № 2

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 11x + 4y \u003d -18 \\\\ & 13x-6y \u003d -32 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Знову коефіцієнти ні при одній з змінних не узгоджені. Домножим на коефіцієнти при $ y $:

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 11x + 4y \u003d -18 \\ left | 6 \\ right. \\\\ & 13x-6y \u003d -32 \\ left | 4 \\ right. \\\\\\ end (align) \\ right . \\]

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 66x + 24y \u003d -108 \\\\ & 52x-24y \u003d -128 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Наша нова система рівносильна попередньої, проте коефіцієнти при $ y $ є взаємно протилежними, і тому тут легко застосувати метод складання:

Тепер знайдемо $ y $, підставивши $ x $ в перше рівняння:

Відповідь: $ \\ left (-2; 1 \\ right) $.

нюанси рішення

Ключове правило тут таке: завжди множимо лише на позитивні числа - це позбавить вас від дурних і образливих помилок, пов'язаних зі зміною знаків. А взагалі, схема рішення досить проста:

1. Дивимося на систему і аналізуємо кожне рівняння.
2. Якщо ми бачимо, що ні при $ y $, ні при $ x $ коефіцієнти не узгоджені, тобто вони не є ні рівними, ні протилежними, то робимо наступне: вибираємо змінну, від якої потрібно позбутися, а потім дивимося на коефіцієнти при цих рівняннях. Якщо перше рівняння домножимо на коефіцієнт з другого, а друге, відповідне, домножимо на коефіцієнт з першого, то в результаті ми отримаємо систему, яка повністю рівносильна попередньої, і коефіцієнти при $ y $ будуть узгоджені. Всі наші дії або перетворення спрямовані лише на те, щоб отримати одну змінну в одному рівнянні.
3. Знаходимо одну змінну.
4. Підставляємо знайдену змінну в одне з двох рівнянь системи і знаходимо другу.
5. Записуємо відповідь у вигляді координати точок, якщо у нас змінні $ x $ і $ y $.

Але навіть в такому нехитрому алгоритмі є свої тонкощі, наприклад, коефіцієнти при $ x $ або $ y $ можуть бути дробом і іншими «некрасивими» числами. Ці випадки ми зараз розглянемо окремо, тому що в них можна діяти трохи інакше, ніж за стандартним алгоритмом.

Рішення задач з дробовими числами

Приклад № 1

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 4m-3n \u003d 32 \\\\ & 0,8m + 2,5n \u003d -6 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Для початку зауважимо, що в другому рівнянні присутні дробу. Але зауважимо, що можна розділити $ 4 $ на $ 0,8 $. Отримаємо $ 5 $. Давайте друге рівняння домножимо на $ 5 $:

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 4m-3n \u003d 32 \\\\ & 4m + 12,5m \u003d -30 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Віднімаємо рівняння один з одного:

$ N $ ми знайшли, тепер порахуємо $ m $:

Відповідь: $ n \u003d 4; m \u003d 5 $

Приклад № 2

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 2,5p + 1,5k \u003d -13 \\ left | 4 \\ right. \\\\ & 2p-5k \u003d 2 \\ left | 5 \\ right. \\\\\\ end (align ) \\ right. \\]

Тут, як і в попередній системі, присутні дробові коефіцієнти, однак ні при одній з змінних коефіцієнти в ціле число раз один в одного не вкладаються. Тому використовуємо стандартний алгоритм. Позбудеться від $ p $:

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 5p + 3k \u003d -26 \\\\ & 5p-12,5k \u003d 5 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Застосовуємо метод вирахування:

Давайте знайдемо $ p $, підставивши $ k $ в другу конструкцію:

Відповідь: $ p \u003d -4; k \u003d -2 $.

нюанси рішення

Ось і вся оптимізація. У першому рівнянні ми не стали домножать взагалі ні на що, а друге рівняння помножити на $ 5 $. У підсумку ми отримали узгоджене і навіть однакове рівняння при першій змінної. У другій системі ми діяли за стандартним алгоритмом.

Але як знайти числа, на які необхідно домножать рівняння? Адже якщо домножать на дробові числа, Ми отримаємо нові дробу. Тому дробу необхідно помножити на число, яке б дало нове ціле число, а вже після цього домножать змінні на коефіцієнти, слідуючи стандартним алгоритмом.

На закінчення хотів би звернути вашу увагу на формат запису відповіді. Як я вже і говорив, оскільки тут у нас тут не $ x $ і $ y $, а інші значення, ми користуємося нестандартної записом виду:

Рішення складних систем рівнянь

В якості заключного акорду до сьогоднішнього відеоуроку давайте розглянемо пару дійсно складних систем. Їх складність буде полягати в тому, що в них і зліва, і справа стоятимуть змінні. Тому для їх вирішення нам доведеться застосовувати попередню обробку.

Система № 1

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 3 \\ left (2x-y \\ right) + 5 \u003d -2 \\ left (x + 3y \\ right) +4 \\\\ & 6 \\ left (y + 1 \\ right ) -1 \u003d 5 \\ left (2x-1 \\ right) +8 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Кожне рівняння несе в собі певну складність. Тому з кожним виразом давайте зробимо як зі звичайною лінійною конструкцією.

Разом ми отримаємо остаточну систему, яка рівносильна вихідної:

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 8x + 3y \u003d -1 \\\\ & -10x + 6y \u003d -2 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Подивимося на коефіцієнти при $ y $: $ 3 $ укладається в $ 6 $ два рази, тому домножимо перше рівняння на $ 2 $:

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 16x + 6y \u003d -2 \\\\ & -10 + 6y \u003d -2 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Коефіцієнти при $ y $ тепер рівні, тому віднімаємо з першого рівняння друге: $$

Тепер знайдемо $ y $:

Відповідь: $ \\ left (0; - \\ frac (1) (3) \\ right) $

Система № 2

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 4 \\ left (a-3b \\ right) -2a \u003d 3 \\ left (b + 4 \\ right) -11 \\\\ & -3 \\ left (b-2a \\ right ) -12 \u003d 2 \\ left (a-5 \\ right) + b \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Перетворимо перший вираз:

Розбираємося з другим:

\\ [- 3 \\ left (b-2a \\ right) -12 \u003d 2 \\ left (a-5 \\ right) + b \\]

\\ [- 3b + 6a-12 \u003d 2a-10 + b \\]

\\ [- 3b + 6a-2a-b \u003d -10 + 12 \\]

Разом, наша первісна система прийме такий вигляд:

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 2a-15b \u003d 1 \\\\ & 4a-4b \u003d 2 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Подивившись на коефіцієнти при $ a $, ми бачимо, що перше рівняння потрібно помножити на $ 2 $:

\\ [\\ Left \\ (\\ begin (align) & 4a-30b \u003d 2 \\\\ & 4a-4b \u003d 2 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Віднімаємо з першої конструкції другу:

Тепер знайдемо $ a $:

Відповідь: $ \\ left (a \u003d \\ frac (1) (2); b \u003d 0 \\ right) $.

От і все. Сподіваюся, цей відеоурок допоможе вам розібратися в цій нелегкій темі, а саме в рішенні систем простих лінійних рівнянь. Далі ще буде багато уроків, присвячених цій темі: ми розберемо більш складні приклади, Де змінних буде більше, а самі рівняння вже будуть нелінійними. До нової зустрічі!

Огбо «Центр освіти для дітей з особливими освітніми потребами р Смоленська»

Центр дистанційної освіти

Урок алгебри в 7 класі

Тема уроку: Метод алгебраїчного додавання.

1. 1. Тип уроку: Урок первинного пред'явлення нових знань.

Мета уроку: контроль рівня засвоєння знань і умінь рішення систем рівнянь способом підстановки; формування умінь і навичок вирішення систем рівнянь способом додавання.

Завдання уроку:

Предметні: навчитися виконувати рішення систем рівнянь з двома змінними методом складання.

метапредметние: Пізнавальні УУД: Аналізувати (виділяти головне), визначати поняття, узагальнювати, робити висновки. регулятивні УУД : Визначати мету, проблему в навчальній діяльності. комунікативні УУД: Викладати свою думку, аргументуючи його. Особистісні УУД: форміровать позитивну мотивацію до навчання, створювати позитивний емоційний ставлення учня до уроку і предмету.

Форма роботи: індивідуальна

Етапи уроку:

1) Організаційний етап.

організувати роботу навчається по темі через створення установки на цілісність мислення і розуміння даної теми.

2. Опитування навчається по заданому додому матеріалу, актуалізація знань.

Мета: перевірити знання навчається, отримані в ході виконання домашньої роботи, Виявити помилки, зробити роботу над помилками. Повторити матеріал минулого уроку.

3. Вивчення нового матеріалу.

1). формувати вміння розв'язувати системи лінійних рівнянь способом додавання;

2). розвивати і вдосконалювати наявні знання в нових ситуаціях;

3). виховувати навички контролю і самоконтролю, розвивати самостійність.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Мета: збереження зору, зняття втоми з глазво час роботи на уроці.

5. Закріплення вивченого матеріалу

Мета: перевірити знання, вміння і навички, отримані на уроці

6. Підсумок уроку, інформація про домашнє завдання, Рефлексія.

Хід уроку (робота в електронний документ Google):

1. Сьогодні урок я хотіла почати з філософської загадки Вальтера.

Що найшвидше, але і найповільніший, найбільше, але і найменше, найтриваліше і короткий, найдорожче, але і дешево цінується нами?

час

Згадаймо основні поняття по темі:

Перед нами система двох рівнянь.

Згадаймо, як ми вирішували системи рівнянь на минулому уроці.

методом підстановки

Ще раз зверни увагу на вирішену систему і скажи, чому ми не можемо вирішити кожне рівняння системи не вдаючись до методу підстановки?

Тому що це - рівняння системи з двома змінними. Ми вміємо розв'язувати рівняння тільки з однією змінною.

Тільки отримавши рівняння з однією змінною нам вдалося вирішити систему рівнянь.

3. Ми приступаємо до вирішення такої системи:

Виберемо рівняння, в якому зручно одну змінну висловити через іншу.

Такого рівняння немає.

Тобто в даній ситуації нам не підходить вивчений раніше метод. Який вихід з даної ситуації?

Знайти новий метод.

Спробуємо сформулювати мету уроку.

Навчитися вирішувати системи новим методом.

Що нам необхідно зробити, щоб навчитися вирішувати системи новим методом?

знати правила (алгоритм) рішення системи рівняння, виконати практичні завдання

Приступимо до виведення нового методу.

Зверни увагу на висновок, який ми зробили після рішення першої системи. Вирішити систему вдалося лише після того, як ми отримали лінійне рівняння з однією змінною.

Подивися на систему рівнянь і подумай, як з двох даних рівнянь отримати одне рівняння з однією змінною.

Скласти рівняння.

Що значить скласти рівняння?

Окремо скласти суму лівих частин, суму правих частин рівнянь і отримані суми прирівняти.

Спробуємо. Працюємо разом зі мною.

13x + 14x + 17y-17y \u003d 43 + 11

Отримали лінійне рівняння з однією змінною.

Вирішили систему рівнянь?

Рішення системи - пара чисел.

Як знайти у?

Знайдене значення х підставити в рівняння системи.

Має значення, в яке рівняння підставимо значення х?

Значить знайдене значення х можна підставити в ...

будь-яке рівняння системи.

Ми познайомилися з новим методом - методом алгебраїчного додавання.

Вирішуючи систему, ми проговорили алгоритм розв'язання системи даним методом.

Алгоритм ми розглянули. Тепер застосуємо його до вирішення завдань.

Уміння вирішувати системи рівнянь може стане в нагоді в практиці.

Розглянемо задачу:

У господарстві є кури і вівці. Скільки тих і інших, якщо у них разом 19 голів і 46 ніг?

Знаючи, що всього курей і овець 19, складемо перше рівняння: х + у \u003d 19

4х - число ніг у овець

2у - число ніг у курей

Знаючи, що всього 46 ніг, складемо друге рівняння: 4х + 2у \u003d 46

Складемо систему рівнянь:

Вирішимо систему рівнянь, застосовуючи алгоритм рішення методом складання.

Проблема! Коефіцієнти перед х і у - нерівні і не протилежні! Що ж робити?

Розглянемо ще один приклад!

Додамо в наш алгоритм ще один крок і поставимо його на перше місце: Якщо коефіцієнти перед переменнимі- неоднакові і не протилежні, то треба зрівняти модулі при якій-небудь змінної! А далі вже будемо діяти за алгоритмом.

4. Електронна физкультминутка для очей: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. вирішимо завдання методом алгебраїчного додавання, закріпивши новий матеріал і дізнаємося, скільки ж курей і овець було в господарстві.

Додаткові завдання:

6.

Рефлексія.

Я за свою роботу на уроці ставлю оцінку - ...

6. Використані ресурси-інтернет:

сервіси Google для освіти

Учитель математики Соколова Н. Н.

Розберемо два види рішення систем рівняння:

1. Рішення системи методом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (вирахування) рівнянь системи.

Для того щоб вирішити систему рівнянь методом підстановки потрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння висловлюємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної, отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (вирахування) потрібно:
1.Вибрать змінну у якій будемо робити однакові коефіцієнти.
2.Складиваем або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно на прикладах рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Рішення системи рівнянь методом підстановки

2x + 5y \u003d 1 (1 рівняння)
x-10y \u003d 3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що в другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x \u003d 3 + 10y

2. Після того як висловили підставляємо в перше рівняння 3 + 10y замість змінної x.
2 (3 + 10y) + 5y \u003d 1

3.Решаем отримане рівняння з однією змінною.
2 (3 + 10y) + 5y \u003d 1 (розкриваємо дужки)
6 + 20y + 5y \u003d 1
25y \u003d 1-6
25y \u003d -5 |: (25)
y \u003d -5: 25
y \u003d -0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетину графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається їх x і y.Найдем x, в першому пункті де ми висловлювали туди підставляємо y.
x \u003d 3 + 10y
x \u003d 3 + 10 * (- 0,2) \u003d 1

Точки прийнято записувати на першому місці пишемо змінну x, а на другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (вирахування).

Рішення системи рівнянь методом складання

3x-2y \u003d 1 (1 рівняння)
2x-3y \u003d -10 (2 рівняння)

1.Вибіраются змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, для цього ми маємо право помножити рівняння або поділити на будь-яке число. Перше рівняння домножаем на 2, а друге на 3 та отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y \u003d 1 | * 2
6x-4y \u003d 2

2x-3y \u003d -10 | * 3
6x-9y \u003d -30

2.Із першого рівняння віднімемо друге, щоб позбутися від змінної x.Решаем лінійне рівняння.
__6x-4y \u003d 2

5y \u003d 32 | : 5
y \u003d 6,4

3.Находім x. Підставляємо в будь-який з рівнянь знайдений y, припустимо в перше рівняння.
3x-2y \u003d 1
3x-2 * 6,4 \u003d 1
3x-12,8 \u003d 1
3x \u003d 1 + 12,8
3x \u003d 13,8 |: 3
x \u003d 4,6

Точкою перетину буде x \u003d 4,6; y \u003d 6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

Дуже часто учні не можуть з вибором способу вирішення систем рівнянь.

У даній статті ми розглянемо один із способів вирішення систем - спосіб підстановки.

якщо знаходять загальне рішення двох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему. В системі рівнянь кожне невідоме позначає одне і те ж число у всіх рівняннях. Щоб показати, що дані рівняння утворюють систему, їх зазвичай записують одне під іншим і об'єднують фігурною дужкою, наприклад

Помічаємо, що при х \u003d 15, а у \u003d 5 обидва рівняння системи вірні. Ця пара чисел і є рішення системи рівнянь. Кожна пара значень невідомих, яка одночасно задовольняє обом рівнянням системи, називається рішенням системи.

Система може мати одне рішення (як в нашому прикладі), нескінченно багато рішень і не мати рішень.

Як же вирішувати системи способом підстановки? Якщо коефіцієнти при якому - небудь невідомому в обох рівняннях рівні за абсолютною величиною (якщо ж не рівні, то зрівнює), то, складаючи обидва рівняння (або віднімаючи одне з іншого), можна отримати рівняння з одним невідомим. Потім вирішуємо це рівняння. Визначаємо одне невідоме. Підставляємо отримане значення невідомого в одне з рівнянь системи (в перше або в друге). Знаходимо інше невідоме. Давайте розглянемо на прикладах застосування цього способу.

Приклад 1. Вирішіть систему рівнянь

Тут коефіцієнти при у за абсолютним значенням рівні між собою, але протилежні за знаком. Давайте спробуємо почленно скласти рівняння системи.

Отримане значення х \u003d 4, підставляємо в яке-небудь рівняння системи (наприклад на початку) і знаходимо значення у:

2 * 4 + у \u003d 11, у \u003d 11 - 8, у \u003d 3.

Наша система має рішення х \u003d 4, у \u003d 3. Або ж відповідь можна записати в круглих дужках, як координати точки, на першому місці х, на другому у.

Відповідь: (4; 3)

приклад 2. Вирішити систему рівнянь

Зрівняємо коефіцієнти при змінної х, для цього помножимо перше рівняння на 3, а друге на (-2), отримаємо

Будьте уважні при складанні рівнянь

Тоді у \u003d - 2. Підставами до першого рівняння замість у число (-2), отримаємо

4х + 3 (-2) \u003d - 4. Вирішуємо це рівняння 4х \u003d - 4 + 6, 4-х \u003d 2, х \u003d ½.

Відповідь: (1/2; - 2)

Приклад 3. Вирішіть систему рівнянь

Помножимо перше рівняння на (-2)

вирішуємо систему

отримуємо 0 \u003d - 13.

Система рішень не має, так ка 0 НЕ дорівнює (-13).

Відповідь: рішень немає.

Приклад 4. Вирішіть систему рівнянь

Помічаємо, що всі коефіцієнти другого рівняння діляться на 3,

давайте розділимо друге рівняння на три і ми отримуємо систему, яка складається з двох однакових рівнянь.

Ця система має нескінченно багато рішень, так як перше і друге рівняння однакові (ми отримали всього одне рівняння з двома змінними). Як же уявити рішення цієї системи? Давайте висловимо змінну у з рівняння х + у \u003d 5. Отримаємо у \u003d 5 - х.

тоді відповідь запишеться так: (Х; 5-х), х - будь-яке число.

Ми розглянули рішення систем рівнянь способом додавання. Якщо залишилися питання або що - то незрозуміло запишіться на урок і ми з вами усунемо всі проблеми.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.