Ushbu maqolada biz parallel chiziqlar haqida gapiramiz, ta'riflar beramiz, parallellik belgilari va shartlarini belgilaymiz. Nazariy materialning ravshanligi uchun biz illyustratsiyalar va tipik misollar yechimidan foydalanamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1

Samolyotdagi parallel chiziqlar- tekislikda umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita to'g'ri chiziq.

Ta'rif 2

Uch o'lchovli fazoda parallel chiziqlar- uch o'lchamli fazoda bir tekislikda yotgan va umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita to'g'ri chiziq.

Shuni ta'kidlash kerakki, kosmosda parallel to'g'ri chiziqlarni aniqlash uchun "bir tekislikda yotish" ni aniqlash juda muhimdir: uch o'lchovli fazoda umumiy nuqtalarga ega bo'lmagan va bir xilda yotmaydigan ikkita to'g'ri chiziq. tekislik parallel emas, balki kesishadi.

Chiziqlarning parallelligini ko'rsatish uchun ∥ belgisidan foydalanish odatiy holdir. Ya'ni, agar berilgan a va b chiziqlar parallel bo'lsa, bu shartni qisqacha quyidagicha yozish kerak: a ‖ b. So'zlarda to'g'ri chiziqlarning parallelligi quyidagicha ifodalanadi: a va b to'g'ri chiziqlar parallel yoki a to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqqa parallel yoki b to'g'ri chiziq a to'g'ri chiziqqa parallel.

Keling, o'ynaydigan bayonotni tuzamiz muhim rol o'rganilayotgan mavzuda.

Aksioma

Berilganga parallel bo'lgan yagona to'g'ri chiziq berilgan chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtadan o'tadi. Bu fikrni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi.

Agar biz kosmos haqida gapiradigan bo'lsak, teorema to'g'ri:

Teorema 1

Fazoning berilgan to'g'ri chiziqqa tegishli bo'lmagan har qanday nuqtasi orqali berilgan to'g'ri chiziqqa parallel bitta to'g'ri chiziq bo'ladi.

Bu teoremani yuqoridagi aksioma (10-11 sinf geometriya dasturi) asosida isbotlash oson.

Parallellik mezoni to'g'ri chiziqlarning parallelligi kafolatlangan etarli shartdir. Boshqacha qilib aytganda, bu shartning bajarilishi parallellik faktini tasdiqlash uchun etarli.

Xususan, tekislik va fazoda to'g'ri chiziqlar parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shartlar mavjud. Tushuntiraylik: zarur shart - bu to'g'ri chiziqlar parallelligi uchun bajarilishi zarur bo'lgan shart; agar bajarilmasa, chiziqlar parallel emas.

Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, to'g'ri chiziqlar parallelligining zarur va yetarli sharti shunday shart bo'lib, unga rioya qilinishi to'g'ri chiziqlar bir-biriga parallel bo'lishi uchun zarur va yetarlidir. Bir tomondan, bu parallellik belgisi bo'lsa, boshqa tomondan, bu parallel to'g'ri chiziqlarga xos xususiyatdir.

Kerakli va etarli shartning aniq formulasini berishdan oldin, yana bir nechta qo'shimcha tushunchalarni eslaylik.

Ta'rif 3

Sekant chiziq- belgilangan ikkita to'g'ri kelmaydigan to'g'ri chiziqning har birini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq.

Ikki to'g'ri chiziqni kesib o'tib, sekant sakkizta rivojlanmagan burchak hosil qiladi. Kerakli va etarli shartni shakllantirish uchun biz o'zaro faoliyat, mos keladigan va bir tomonlama burchak turlaridan foydalanamiz. Keling, ularni rasmda ko'rsatamiz:

Teorema 2

Agar tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq sekant bilan kesishsa, berilgan toʻgʻri chiziqlar parallel boʻlishi uchun oʻzaro oʻzaro burchaklarning teng boʻlishi yoki mos burchaklarning teng boʻlishi yoki bir tomonli toʻgʻri chiziqning yigʻindisi zarur va yetarlidir. burchaklar 180 darajaga teng.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartni grafik tarzda ko'rsatamiz:

Bu shartlarning isboti 7-9-sinflar uchun geometriya dasturida mavjud.

Umuman olganda, bu shartlar uch o'lchovli fazo uchun ham amal qiladi, chunki ikkita chiziq va sekant chiziq bir tekislikka tegishli.

Chiziqlar parallelligi faktini isbotlashda tez-tez ishlatiladigan yana bir nechta teoremalarni ko'rsatamiz.

Teorema 3

Tekislikda uchinchisiga parallel bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq bir-biriga parallel. Bu mezon yuqorida ko'rsatilgan parallellik aksiomasi asosida isbotlangan.

Teorema 4

Uch o'lchovli fazoda uchinchisiga parallel bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq bir-biriga parallel.

Atributni isbotlash 10-sinf geometriya dasturida o‘rganiladi.

Keling, ushbu teoremalarga misol keltiramiz:

Chiziqlar parallelligini isbotlovchi yana bir juft teoremani keltiramiz.

Teorema 5

Tekislikda uchinchisiga perpendikulyar ikkita to'g'ri chiziq bir-biriga parallel.

Keling, uch o'lchamli makon uchun shunga o'xshashni tuzamiz.

Teorema 6

Uch o'lchovli fazoda uchinchisiga perpendikulyar ikkita to'g'ri chiziq bir-biriga parallel.

Keling, misol qilib keltiramiz:

Yuqoridagi barcha teoremalar, mezonlar va shartlar to'g'ri chiziqlar parallelligini geometriya usullari bilan qulay tarzda isbotlash imkonini beradi. Ya'ni, to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash uchun mos burchaklar teng ekanligini ko'rsatish yoki berilgan ikkita to'g'ri chiziq uchinchisiga perpendikulyar ekanligini ko'rsatish va hokazo. Ammo shuni yodda tutingki, tekislikdagi yoki uch o'lchovli fazoda to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash uchun ko'pincha koordinata usulidan foydalanish qulayroqdir.

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasidagi chiziqlar parallelligi

Berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida to'g'ri chiziq quyidagilardan birining tekisligidagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan aniqlanadi. mumkin bo'lgan turlari... Demak, uch o'lchamli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan to'g'ri chiziq fazodagi to'g'ri chiziqning ba'zi tenglamalariga mos keladi.

Berilgan to‘g‘ri chiziqlarni tavsiflovchi tenglama turiga qarab to‘g‘ri to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi to‘g‘ri chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shartlarni yozamiz.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlarning parallellik shartidan boshlaylik. U toʻgʻri chiziqning yoʻnalish vektori va tekislikdagi toʻgʻri chiziqning normal vektori taʼriflariga asoslanadi.

Teorema 7

Bir-biriga mos kelmaydigan ikkita toʻgʻri chiziq tekislikda parallel boʻlishi uchun berilgan toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki berilgan toʻgʻri chiziqlarning normal vektorlari kollinear yoki bitta toʻgʻri chiziqning yoʻnalish vektori boʻlishi zarur va yetarlidir. chiziq boshqa to'g'ri chiziqning normal vektoriga perpendikulyar.

Ko'rinib turibdiki, tekislikdagi to'g'ri chiziqlarning parallellik sharti kollinear vektorlar shartiga yoki ikkita vektorning perpendikulyarlik shartiga asoslanadi. Ya'ni, a → = (a x, a y) va b → = (b x, b y) a va b to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa;

va nb → = (nbx, nby) a va b chiziqlarning normal vektorlari bo‘lsa, yuqoridagi zarur va yetarli shartni quyidagicha yozish mumkin: a → = t b → ⇔ ax = t bxay = t by yoki na → = t nb. → ⇔ nax = t nbxnay = t nby yoki a →, nb → = 0 ⇔ ax nbx + ay nby = 0, bu erda t qandaydir haqiqiy son. Yo'nalishli yoki to'g'ri vektorlarning koordinatalari to'g'ri chiziqlarning berilgan tenglamalari bilan aniqlanadi. Keling, ba'zi asosiy misollarni ko'rib chiqaylik.

1. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi a to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan aniqlanadi: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; chiziq b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. U holda berilgan chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda (A 1, B 1) va (A 2, B 2) koordinatalariga ega bo'ladi. Parallellik sharti quyidagicha yoziladi:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. a to'g'ri chiziq qiyaligi y = k 1 x + b 1 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan tasvirlanadi. b - y = k 2 x + b 2 chiziq. U holda berilgan chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda (k 1, - 1) va (k 2, - 1) koordinatalarga ega bo'ladi va parallellik sharti quyidagicha yoziladi:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Shunday qilib, to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi parallel to'g'ri chiziqlar qiyalik koeffitsientli tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda berilgan to'g'ri chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari teng bo'ladi. Va qarama-qarshi fikr to'g'ri: agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi mos kelmaydigan to'g'ri chiziqlar bir xil qiyalik koeffitsientlariga ega bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamalari bilan aniqlansa, bu berilgan to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

1. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi a va b to'g'ri chiziqlar tekislikdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari bilan beriladi: x - x 1 ax = y - y 1 ay va x - x 2 bx = y - y 2 yoki parametrik tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamalari: x = x 1 + l axy = y 1 + l ay va x = x 2 + l bxy = y 2 + l tomonidan.

U holda berilgan chiziqlarning yo'nalish vektorlari mos ravishda: a x, a y va b x, b y bo'ladi va parallellik sharti quyidagicha yoziladi:

a x = t b x a y = t b y

Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Ikkita to'g'ri chiziq berilgan: 2 x - 3 y + 1 = 0 va x 1 2 + y 5 = 1. Ularning parallel yoki yo'qligini aniqlash kerak.

Yechim

To'g'ri chiziq tenglamasini segmentlarga umumiy tenglama shaklida yozamiz:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Na → = (2, - 3) 2 x - 3 y + 1 = 0 chiziqning normal vektori, nb → = 2, 1 5 esa x 1 2 + y 5 chiziqning normal vektori ekanligini ko'ramiz. = 1.

Olingan vektorlar kollinear emas, chunki t ning tengligi to'g'ri bo'ladigan bunday qiymati yo'q:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Shunday qilib, tekislikdagi to'g'ri chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shart bajarilmaydi, bu esa berilgan to'g'ri chiziqlar parallel emasligini bildiradi.

Javob: berilgan chiziqlar parallel emas.

2-misol

y = 2 x + 1 va x 1 = y - 4 2 to'g'ri chiziqlar berilgan. Ular parallelmi?

Yechim

x 1 = y - 4 2 chiziqning kanonik tenglamasini qiyalik bilan chiziq tenglamasiga aylantiring:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Ko'ramizki, y = 2 x + 1 va y = 2 x + 4 chiziqlar tenglamalari bir xil emas (agar boshqacha bo'lsa, chiziqlar bir xil bo'lar edi) va chiziqlarning qiyaliklari teng, ya'ni berilgan chiziqlar parallel.

Keling, muammoni boshqacha hal qilishga harakat qilaylik. Birinchidan, berilgan chiziqlar mos kelishini tekshiramiz. Biz y = 2 x + 1 to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasidan foydalanamiz, masalan, (0, 1), bu nuqtaning koordinatalari x 1 = y - 4 2 to'g'ri chiziq tenglamasiga mos kelmaydi va shuning uchun chiziqlar bir-biriga mos kelmaydi.

Keyingi bosqichda berilgan chiziqlarning parallellik shartining bajarilishi aniqlanadi.

y = 2 x + 1 to'g'ri chiziqning normal vektori n a → = (2, - 1) vektor, ikkinchi berilgan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori esa b → = (1, 2) ga teng. Ushbu vektorlarning skalyar mahsuloti nolga teng:

n a →, b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Shunday qilib, vektorlar perpendikulyar: bu bizga dastlabki to'g'ri chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shartning bajarilishini ko'rsatadi. Bular. berilgan to'g'ri chiziqlar parallel.

Javob: ma'lumotlar liniyalari parallel.

Uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash uchun quyidagi zarur va etarli shart qo'llaniladi.

Teorema 8

Uch o'lchovli fazoda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita to'g'ri chiziq parallel bo'lishi uchun bu to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari kollinear bo'lishi zarur va etarli.

Bular. uch o‘lchamli fazodagi to‘g‘ri chiziqlarning berilgan tenglamalari uchun: ular parallelmi yoki yo‘qmi degan savolga javob berilgan to‘g‘ri chiziqlarning yo‘nalish vektorlarining koordinatalarini aniqlash, shuningdek, ularning kollinearlik holatini tekshirish yo‘li bilan topiladi. . Boshqacha qilib aytganda, a → = (ax, ay, az) va b → = (bx, by, bz) mos ravishda a va b chiziqlarning yo‘nalish vektorlari bo‘lsa, ular parallel bo‘lishi uchun shunday haqiqiy son t mavjud bo'lishi kerak, shuning uchun tenglik amal qiladi:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

3-misol

To'g'ri chiziqlar x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 va x = 2 + 2 l y = 1 z = - 3 - 6 l. Bu chiziqlarning parallelligini isbotlash kerak.

Yechim

Masala shartlari fazoda bir to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalarini, ikkinchi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalarini fazoda o‘rnatdi. Yo'nalish vektorlari a → va b → berilgan chiziqlar koordinatalariga ega: (1, 0, - 3) va (2, 0, - 6).

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2, keyin a → = 1 2 b →.

Binobarin, kosmosdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va etarli shart qondiriladi.

Javob: berilgan chiziqlarning parallelligi isbotlangan.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Dars maqsadlari: Ushbu darsda siz "parallel chiziqlar" tushunchasi bilan tanishasiz, to'g'ri chiziqlar parallel ekanligiga ishonch hosil qilishni, shuningdek, parallel to'g'ri chiziq va sekantdan hosil bo'lgan burchaklar qanday xususiyatlarga ega ekanligini bilib olasiz.

Parallel chiziqlar

Bilasizki, "to'g'ri chiziq" tushunchasi geometriyaning aniqlanmagan tushunchalaridan biridir.

Siz allaqachon bilasizki, ikkita to'g'ri chiziq mos kelishi mumkin, ya'ni barcha umumiy nuqtalarga ega, kesishishi mumkin, ya'ni bitta umumiy nuqta bo'lishi mumkin. To'g'ridan-to'g'ri kesishgan turli burchaklar, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak esa ular tomonidan hosil qilingan burchaklarning eng kichiki hisoblanadi. To'g'ri chiziqlar hosil qilgan burchak 90 0 ga teng bo'lganda, kesishishning alohida holatini perpendikulyarlik holati deb hisoblash mumkin.

Lekin ikkita to'g'ri chiziqning umumiy nuqtalari bo'lmasligi mumkin, ya'ni ular kesishmaydi. Bunday to'g'ri chiziqlar deyiladi parallel.

Elektron ta'lim resursi bilan ishlash « ».

"Parallel chiziqlar" tushunchasi bilan tanishish uchun video darslik materiallarida ishlang

Shunday qilib, endi siz parallel chiziqlarning ta'rifini bilasiz.

Video darslik fragmenti materiallaridan siz bu haqda bilib oldingiz turli xil turlari ikkita to'g'ri chiziq uchinchisini kesishganda hosil bo'ladigan burchaklar.

1 va 4 burchak juftlari; 3 va 2 deb ataladi ichki bir tomonlama burchaklar(ular to'g'ri chiziqlar orasida yotadi a va b).

5 va 8 burchaklarining juftlari; 7 va 6 qo'ng'iroq tashqi bir tomonlama burchaklar(ular to'g'ri chiziqlardan tashqarida yotadi a va b).

1 va 8 burchak juftlari; 3 va 6; 5 va 4; 7 va 2 to'g'ri chiziqlar uchun bir tomonlama burchaklar deb ataladi a va b va sekant c... Ko'rib turganingizdek, bir juft mos burchakdan biri o'ng tomonda joylashgan a va b ikkinchisi esa ulardan tashqarida.

To'g'ri chiziqlar parallelligi belgilari

Shubhasiz, ta'rifdan foydalanib, ikkita to'g'ri chiziqning parallelligi haqida xulosa chiqarish mumkin emas. Shuning uchun, ikkita chiziq parallel, degan xulosaga kelish uchun foydalaning belgilar.

Video darsining birinchi qismidagi materiallarni o'qib, ulardan birini allaqachon shakllantirishingiz mumkin:

Teorema 1... Uchinchisiga perpendikulyar bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq kesishmaydi, ya'ni ular parallel.

Video darsning ikkinchi qismi materiallari bilan ishlash orqali ma'lum burchak juftlarining tengligiga asoslangan to'g'ri chiziqlar parallelligining boshqa belgilari bilan tanishasiz."To'g'ri chiziqlar parallellik belgilari".

Shunday qilib, siz to'g'ri chiziqlar parallelligining yana uchta belgisini bilishingiz kerak.

2-teorema (chiziqlar parallelligining birinchi mezoni)... Agar kesishgan ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida yotgan burchaklar teng bo'lsa, to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

Guruch. 2. uchun rasm birinchi belgisi to'g'ri chiziqlar parallelligi

Elektron o'quv resursi bilan ishlash orqali to'g'ri chiziqlar parallelligining birinchi belgisini yana bir bor takrorlang « ».

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar parallelligining birinchi mezonini isbotlashda uchburchaklar tengligi mezoni (ikki tomon bo'ylab va ular orasidagi burchak), shuningdek, bitta to'g'ri chiziqqa perpendikulyar to'g'ri chiziqlar parallelligi mezoni qo'llaniladi. chiziq.

1-mashq.

To'g'ri chiziqlar parallelligining birinchi mezonining formulasini va uning isbotini daftaringizga yozing.

3-teorema (chiziqlar parallelligining ikkinchi mezoni)... Agar ikkita to'g'ri kesmaning kesishmasida mos burchaklar teng bo'lsa, to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

Elektron o'quv resursi bilan ishlash orqali to'g'ri chiziqlar parallelligining ikkinchi belgisini yana bir bor takrorlang « ».

To'g'ri chiziqlar parallelligining ikkinchi mezonini isbotlashda vertikal burchaklar xossasi va to'g'ri chiziqlar parallelligining birinchi mezoni qo'llaniladi.

Vazifa 2.

To'g'ri chiziqlar parallelligining ikkinchi mezonining formulasini va uning isbotini daftaringizga yozing.

4-teorema (chiziqlar parallelligining uchinchi mezoni)... Agar ikkita to'g'ri chiziq kesishmasida bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 0 bo'lsa, to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

Elektron ta'lim resursi bilan ishlash orqali to'g'ri chiziqlar parallelligining uchinchi belgisini yana bir bor takrorlang « ».

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar parallelligining birinchi mezonini isbotlashda biz qo'shni burchaklar xossasidan va to'g'ri chiziqlar parallelligining birinchi mezonidan foydalanamiz.

Vazifa 3.

To‘g‘ri chiziqlar parallelligining uchinchi mezoni formulasini va uning isbotini daftaringizga yozing.

Eng oddiy vazifalarni hal qilishni mashq qilish uchun elektron o'quv resursi materiallari bilan ishlang « ».

To'g'ri chiziqlarning parallellik belgilari masalalarni yechishda qo'llaniladi.

Endi video dars materiallari bilan ishlagan holda to'g'ri chiziqlarning parallellik belgilariga oid masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqing."To'g'ri chiziqlar parallellik belgilari" mavzusidagi masalalarni yechish.

Endi nazorat elektron ta'lim resursi topshiriqlarini bajarib, o'zingizni sinab ko'ring « ».

Murakkabroq masalalarni yechish bilan ishlashni istagan har bir kishi videodars materiallari bilan ishlashi mumkin «To`g`ri chiziqlar parallellik belgilariga oid masalalar».

Parallel chiziq xossalari

Parallel chiziqlar bir qator xususiyatlarga ega.

Ushbu xususiyatlar nima ekanligini video darslik materiallari bilan ishlash orqali bilib olasiz. "Parallel chiziqlarning xossalari".

Shunday qilib, muhim fakt Siz bilishingiz kerak bo'lgan narsa parallellik aksiomasi.

Parallellik aksiomasi... Berilgan to'g'ri chiziqda yotmaydigan nuqta orqali siz berilgan to'g'ri chiziqqa parallel, bundan tashqari, faqat bitta to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

Video dars materiallaridan bilib olganingizdek, ushbu aksiomaga asoslanib, ikkita oqibatni shakllantirish mumkin.

Xulosa 1. Agar chiziq parallel chiziqlardan birini kesib o'tsa, u boshqa parallel to'g'ri chiziqni ham kesib o'tadi.

Xulosa 2. Agar ikkita chiziq uchinchisiga parallel bo'lsa, ular bir-biriga parallel.

Vazifa 4.

Tuzilgan natijalar va ularning isbotlarini daftaringizga yozing.

Parallel chiziqlar va sekant tomonidan hosil qilingan burchaklarning xossalari tegishli mezonlarga qarama-qarshi teoremalardir.

Shunday qilib, video darslik materiallaridan siz burchaklarni kesib o'tish xususiyatini bilib oldingiz.

5-teorema (chiziqlar parallelligining birinchi mezoniga qarama-qarshi teorema)... Ikki parallel kesishuvchi to'g'ri chiziq kesishganda, yotgan burchaklar teng bo'ladi.

Vazifa 5.

Elektron o'quv resursi bilan ishlashdan keyin parallel to'g'ri chiziqlarning birinchi xossasini yana bir bor takrorlang « ».

6-teorema (chiziqlar parallelligining ikkinchi mezoniga qarama-qarshi teorema)... Ikki parallel to'g'ri chiziq kesishganda, mos burchaklar teng bo'ladi.

Vazifa 6.

Bu teoremaning bayonini va uning isbotini daftaringizga yozing.

Yana bir bor, elektron ta'lim resursi bilan ishlash orqali parallel to'g'ri chiziqlarning ikkinchi xususiyatini takrorlang « ».

7-teorema (chiziqlar parallelligining uchinchi mezoniga qarama-qarshi teorema)... Ikki parallel to'g'ri chiziq kesishganda, bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 0 ga teng.

Vazifa 7.

Bu teoremaning bayonini va uning isbotini daftaringizga yozing.

Elektron o'quv resursi bilan ishlash orqali parallel to'g'ri chiziqlarning uchinchi xususiyatini yana bir bor takrorlang « ».

Parallel chiziqlarning barcha xossalari masalalar yechishda ham qo'llaniladi.

Video darslikdagi muammolarni hal qilishning umumiy misollarini ko'rib chiqing “Parallel chiziqlar va ular bilan sekant orasidagi burchaklarga oid masalalar”.

Parallel chiziqlar. Parallel chiziqlarning xossalari va xususiyatlari

1. Parallel aksiomasi. Berilgan nuqta orqali berilganga parallel ravishda bittadan ortiq to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin emas.

2. Agar ikkita to'g'ri chiziq bir xil to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular bir-biriga parallel.

3. Bir to g ri chiziqqa perpendikulyar ikkita to g ri chiziq parallel.

4. Agar ikkita parallel toʻgʻri chiziq uchdan birini kesib oʻtsa, bu holda hosil boʻlgan ichki kesishuvchi burchaklar teng boʻladi; mos keladigan burchaklar teng; ichki bir tomonlama burchaklar 180 ° gacha qo'shiladi.

5. Agar ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida uchinchisi o'zaro teng ichki burchaklar hosil bo'lsa, u holda to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

6. Agar ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida uchinchisi mos burchaklarni hosil qilsa, u holda to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

7. Agar ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida ichki bir tomonlama burchaklarning uchinchi yig'indisi 180 ° bo'lsa, to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

Thales teoremasi... Agar burchakning bir tomonida teng segmentlar ajratilgan bo'lsa va ularning uchlari orqali burchakning ikkinchi tomonini kesib o'tadigan parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazilsa, burchakning ikkinchi tomoniga ham teng segmentlar joylashtiriladi.

Proportsional chiziq segmenti teoremasi... Burchakning yon tomonlarini kesib o'tuvchi parallel to'g'ri chiziqlar ulardagi proportsional segmentlarni kesib tashlaydi.

Uchburchak. Uchburchaklar uchun tenglik testlari.

1. Agar bitta uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak mos ravishda boshqa uchburchakning ikki tomoniga va ular orasidagi burchakka teng bo'lsa, uchburchaklar teng bo'ladi.

2. Agar bir uchburchakning yon va ikkita qo‘shni burchaklari mos ravishda boshqa uchburchakning yon va ikkita qo‘shni burchagiga teng bo‘lsa, uchburchaklar teng bo‘ladi.

3. Agar bir uchburchakning uch tomoni mos ravishda boshqa uchburchakning uch tomoniga teng bo'lsa, u holda uchburchaklar teng bo'ladi.

To'g'ri burchakli uchburchaklar uchun tenglik testlari

1. Ikki oyoqda.

2. Oyoq va gipotenuzada.

3. Gipotenuza va o'tkir burchak bo'yicha.

4. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab.

Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema va uning oqibatlari

1. Miqdori ichki burchaklar uchburchak 180 °.

2. Uchburchakning tashqi burchagi unga qo‘shni bo‘lmagan ikkita ichki burchaklar yig‘indisiga teng.

3. Qavariq n-burchakning ichki burchaklarining yig‘indisi

4. Miqdori tashqi burchaklar ga-gon 360 ° ga teng.

5. Tomonlari oʻzaro perpendikulyar boʻlgan burchaklar, agar ikkala oʻtkir yoki ikkalasi ham oʻtkir boʻlsa, teng boʻladi.

6. Qo'shni burchaklarning bissektrisalari orasidagi burchak 90 ° ga teng.

7. Parallel to'g'ri chiziqlarga ega bo'lgan ichki bir tomonlama burchaklarning bissektrisalari va sekant perpendikulyar.

Teng yonli uchburchakning asosiy xossalari va belgilari

1. Teng yonli uchburchakning poydevoridagi burchaklar teng.

2. Agar uchburchakning ikki burchagi teng bo'lsa, u teng yon tomonli bo'ladi.

3. Teng yonli uchburchakda asosga chizilgan mediana, bissektrisa va balandlik mos tushadi.

4. Agar uchburchakning har qanday juft segmentlari - mediana, bissektrisa, balandlik - uchburchakda to'g'ri kelsa, u teng yon tomonli bo'ladi.

Uchburchakning tengsizligi va uning oqibatlari

1. Uchburchakning ikki tomonining yig‘indisi uning uchinchi tomonidan katta.

2. Ko‘p chiziqli bog‘lanishlar yig‘indisi koordinata boshini bog‘lovchi chiziq segmentidan katta

birinchi havola oxirgisining oxiri bilan.

3. Uchburchakning katta burchagiga qarama-qarshi katta tomoni yotadi.

4. Uchburchakning katta tomoniga qarama-qarshi katta burchak yotadi.

5. Gipotenuza to'g'ri uchburchak ko'proq oyoq.

6. Agar bir nuqtadan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar va qiya chiziqlar o'tkazilsa, u holda

1) perpendikulyar qiyalikdan qisqa;

2) kattaroq proyeksiya kattaroq qiyalikka mos keladi va aksincha.

Uchburchakning o'rta chizig'i.

Uchburchakning ikki tomonining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segmentga uchburchakning o'rta chizig'i deyiladi.

Uchburchakning markaz chizig'i teoremasi.

Uchburchakning o'rta chizig'i uchburchakning yon tomoniga parallel va uning yarmiga teng.

Median uchburchak teoremalari

1. Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi va uni yuqoridan sanab, 2: 1 nisbatda ajratadi.

2. Agar uchburchakning medianasi chizilgan tomonining yarmiga teng bo'lsa, u holda uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladi.

3. To'g'ri burchakli uchburchakning medianasi, cho'qqisidan chizilgan to'g'ri burchak, gipotenuzaning yarmiga teng.

Uchburchakning tomonlariga markaz perpendikulyarlarining xossasi... Uchburchakning yon tomonlariga o'rta perpendikulyarlar bir nuqtada kesishadi, bu uchburchak atrofida tasvirlangan aylananing markazidir.

Uchburchakning balandliklari haqidagi teorema... Uchburchakning balandliklarini o'z ichiga olgan chiziqlar bir nuqtada kesishadi.

Uchburchakning bissektrisalari haqidagi teorema... Uchburchakning bissektrisalari bir nuqtada kesishadi, bu uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazidir.

Uchburchak bissektrisasining xossasi... Uchburchakning bissektrisasi uning tomonini qolgan ikki tomoniga proporsional bo'laklarga ajratadi.

Uchburchaklarning o'xshashlik belgilari

1. Agar bir uchburchakning ikkita burchagi mos ravishda boshqasining ikkita burchagiga teng bo'lsa, u holda uchburchaklar o'xshashdir.

2. Agar bir uchburchakning ikki tomoni mos ravishda ikkinchisining ikki tomoniga proporsional bo'lsa va bu tomonlar orasidagi burchaklar teng bo'lsa, uchburchaklar o'xshash bo'ladi.

3. Agar bir uchburchakning uch tomoni mos ravishda ikkinchisining uch tomoniga proporsional bo'lsa, uchburchaklar o'xshash bo'ladi.

O'xshash uchburchaklarning maydonlari

1. O'xshash uchburchaklar maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng.

2. Ikkita uchburchak bo'lsa teng burchaklar, keyin ularning maydonlari bu burchaklarni o'rab turgan tomonlarning mahsuloti deb ataladi.

To'g'ri uchburchakda

1. To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuzaning ko'paytmasiga va qarama-qarshi tomonning sinusiga yoki bu oyoqqa tutash o'tkir burchakning kosinusiga teng.

2. Toʻgʻri burchakli uchburchakning oyogʻi ikkinchi oyogʻining qarama-qarshi tomonning tangensiga yoki shu oyoqqa tutashgan oʻtkir burchak kotangensiga koʻpaytirilganiga teng.

3. 30 ° burchakka qarama-qarshi bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuzaning yarmiga teng.

4. To'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i gipotenuzaning yarmi bo'lsa, u holda bu oyoqqa qarama-qarshi burchak 30 ° ga teng.

5. R =; r =, bu erda a, b - oyoqlar, c esa to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi; r va R mos ravishda chizilgan va chegaralangan doiralarning radiuslari.

Pifagor teoremasi va Pifagor teoremasiga teskari teorema

1. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi kvadrati oyoqlari kvadratlari yig'indisiga teng.

2. Agar uchburchakning bir tomonining kvadrati uning qolgan ikki tomonining kvadratlari yig‘indisiga teng bo‘lsa, u holda uchburchak to‘rtburchak bo‘ladi.

To'g'ri burchakli uchburchakda o'rtachalar proportsionaldir.

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi, to'g'ri burchakning cho'qqisidan chizilgan, oyoqlarning gipotenuzaga proyeksiyalariga o'rtacha proportsionaldir va har bir oyog'i gipotenuzaga va uning gipotenuzaga proyeksiyasiga o'rtacha proportsionaldir.

Uchburchakdagi metrik nisbatlar

1. Kosinuslar teoremasi. Uchburchak tomonining kvadrati boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning ular orasidagi burchakning kosinusiga ikki baravar ko'paytmasiga teng.

2. Kosinuslar teoremasidan xulosa. Paralelogramma diagonallari kvadratlari yig'indisi uning barcha tomonlari kvadratlari yig'indisiga teng.

3. Uchburchak medianasining formulasi. Agar m uchburchakning c tomoniga chizilgan medianasi bo'lsa, u holda m = , bu yerda a va b uchburchakning qolgan tomonlari.

4. Sinuslar teoremasi. Uchburchakning tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proporsionaldir.

5. Umumiy sinuslar teoremasi. Uchburchak tomonining qarama-qarshi burchak sinusiga nisbati uchburchak atrofida aylananing diametriga teng.

Uchburchak uchun maydon formulalari

1. Uchburchakning maydoni poydevor va balandlikning yarmiga teng.

2. Uchburchakning maydoni uning ikki tomonining ular orasidagi burchak sinusiga ko‘paytmasining yarmiga teng.

3. Uchburchakning maydoni uning yarim perimetri chizilgan doira radiusi ko‘paytmasiga teng.

4. Uchburchakning maydoni uning uch tomonining ko'paytmasini aylananing to'rt barobar radiusiga bo'linganiga teng.

5. Geron formulasi: S =, bu erda p - yarim perimetr; a, b, c - uchburchakning tomonlari.

Teng tomonli uchburchak elementlari... Tomoni a bo‘lgan teng yonli uchburchakning balandligi, maydoni, chizilgan va aylanasi h, S, r, R bo‘lsin. Keyin
To'rtburchaklar

Paralelogramma. Parallelogramma to'rtburchak bo'lib, uning qarama-qarshi tomonlari juft parallel.

Paralelogrammaning xossalari va xususiyatlari.

1. Diagonal parallelogrammani ikkita teng uchburchakka ajratadi.

2. Parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari juftlikda teng.

3. Parallelogrammaning qarama-qarshi burchaklari juftlikda teng.

4. Paralelogrammaning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.

5. Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib teng bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogrammdir.

6. Agar to'rtburchakning qarama-qarshi ikki tomoni teng va parallel bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogrammdir.

7. Agar to'rtburchakning diagonallari kesishish nuqtasiga teng bo'lsa, u holda bu to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.

To'rtburchak tomonlari o'rta nuqtalarining xossasi... Har qanday to'rtburchak tomonlarining o'rta nuqtalari parallelogrammning uchlari bo'lib, ularning maydoni to'rtburchakning yarmiga teng.

To'rtburchak. To'rtburchak - to'g'ri burchakli parallelogramm.

To'rtburchakning xossalari va atributlari.

1. To‘rtburchakning diagonallari teng.

2. Agar parallelogrammning diagonallari teng bo'lsa, bu parallelogramm to'rtburchak bo'ladi.

Kvadrat. Kvadrat to'rtburchak bo'lib, uning barcha tomonlari tengdir.

Romb. Romb barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Rombning xossalari va xususiyatlari.

1. Rombning diagonallari perpendikulyar.

2. Rombning diagonallari uning burchaklarini yarmiga bo'ladi.

3. Agar parallelogrammning diagonallari perpendikulyar bo'lsa, bu parallelogramm rombdir.

4. Agar parallelogrammaning diagonallari uning burchaklarini ikkiga bo'lsa, bu parallelogramm rombdir.

Trapesiya. Trapezoid to'rtburchak bo'lib, uning faqat ikkita qarama-qarshi tomoni (asoslari) parallel bo'ladi. Trapetsiyaning o'rta chizig'i - parallel bo'lmagan tomonlarning (tomonlarning) o'rta nuqtalarini bog'laydigan segment.

1. Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslariga parallel va ularning yarim yig'indisiga teng.

2. Trapetsiya diagonallarining o’rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment asoslarning yarim farqiga teng.

Trapezoidning ajoyib xususiyati... Trapetsiya diagonallarining kesishish nuqtasi, yon tomonlari kengaytmalarining kesishish nuqtasi va asoslarning o'rtasi bitta to'g'ri chiziqda yotadi.

Izossellar trapesiya... Agar tomonlar teng bo'lsa, trapetsiya teng yon tomonli deyiladi.

Teng yonli trapesiyaning xossalari va belgilari.

1. Teng yonli trapetsiya asosidagi burchaklar teng.

2. Teng yonli trapetsiyaning diagonallari teng.

3. Trapetsiya asosidagi burchaklar teng bo'lsa, u teng yon tomonli bo'ladi.

4. Trapetsiyaning diagonallari teng bo'lsa, u teng yon tomonli bo'ladi.

5. Teng yonli trapetsiyaning lateral tomonining asosga proyeksiyasi asoslarning yarim farqiga, diagonalining proyeksiyasi esa asoslarning yarim yig‘indisiga teng.

To'rtburchak uchun maydon formulalari

1. Paralelogrammaning maydoni poydevor va balandlikning mahsulotiga teng.

2. Parallelogrammning maydoni uning qo‘shni tomonlarini ular orasidagi burchak sinusiga ko‘paytmasiga teng.

3. To'rtburchakning maydoni uning ikki qo'shni tomonining ko'paytmasiga teng.

4. Rombning maydoni uning diagonallari ko'paytmasining yarmiga teng.

5. Trapetsiyaning maydoni poydevor va balandlikning yarmi yig'indisining ko'paytmasiga teng.

6. To'rtburchakning maydoni uning diagonallari orasidagi burchak sinusi ko'paytmasining yarmiga teng.

7. To‘rtburchak uchun Heron formulasi, uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin:

S =, bu erda a, b, c, d - bu to'rtburchakning tomonlari, p - yarim perimetr, S - maydon.

Shunga o'xshash raqamlar

1. O'xshash raqamlarning mos keladigan chiziqli elementlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientiga teng.

2. O'xshash figuralar maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng.

Oddiy ko'pburchak.

Muntazam n-burchakning tomoni a n, chizilgan va aylanalarning radiuslari r n va R n bo‘lsin. Keyin

Doira.

Aylana - aylananing markazi deb ataladigan ma'lum bir nuqtadan uzoqda joylashgan tekislikdagi nuqtalarning bir xil musbat masofada joylashgan joyi.

Doiraning asosiy xossalari

1. Akkordga perpendikulyar diametr akkord va u qisqargan yoylarni yarmiga bo'ladi.

2. Diametrli bo'lmagan akkordning o'rta nuqtasidan o'tadigan diametr shu akkordaga perpendikulyar.

3. Xordaga perpendikulyar o‘rta nuqta aylana markazidan o‘tadi.

4. Teng akkordlar aylana markazidan bir xil masofada joylashgan.

5. Markazdan teng masofada joylashgan aylananing akkordlari teng.

6. Doira uning har qanday diametriga nisbatan simmetrikdir.

7. Parallel akkordlar orasiga tutilgan aylana yoylari teng.

8. Ikki akkorddan eng kattasi markazdan kamroq masofada joylashgani.

9. Diametri aylananing eng katta akkordidir.

Doira tangensi... Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq aylanaga teguvchi deyiladi.

1. Tangens chiziq teginish nuqtasiga o'tkazilgan radiusga perpendikulyar.

2. Agar aylananing biror nuqtasidan o‘tuvchi a to‘g‘ri chiziq shu nuqtaga o‘tkazilgan radiusga perpendikulyar bo‘lsa, a to‘g‘ri chiziq aylanaga tangens bo‘ladi.

3. Agar M nuqtadan o'tuvchi chiziqlar A va B nuqtalardagi aylanaga tegsa, MA = MB va ﮮ AMO = ﮮ BMO bo'ladi, bunda O nuqta aylananing markazidir.

4. Burchakka chizilgan aylananing markazi shu burchakning bissektrisasida yotadi.

Doira tangensi... Ikkita aylana bitta umumiy nuqtaga (tegish nuqtasi) ega bo'lsa, teginish deyiladi.

1. Ikki aylananing teginish nuqtasi ularning markaziy chizig'ida yotadi.

2. Markazlari O 1 va O 2 bo‘lgan r va R radiusli doiralar R + r = O 1 O 2 bo‘lgandagina tashqi tomondan tegib turadi.

3. r va R radiusli doiralar (r

4. Markazi O 1 va O 2 boʻlgan doiralar K nuqtaga tashqi tomondan tegib turadi. Ayrim toʻgʻri chiziq bu aylanalarga turli A va B nuqtalarda tegadi va C nuqtada K nuqtadan oʻtuvchi umumiy tangens bilan kesishadi. Keyin ﮮ AK B = 90 ° va ﮮ O 1 SO 2 = 90 °.

5. r va R radiusli ikkita teginish aylanaga umumiy tashqi tangensning segmenti umumiy tashqi teglar orasidagi umumiy ichki tangensning segmentiga teng. Bu ikkala segment tengdir.

Doira bilan bog'langan burchaklar

1. Doira yoyining kattaligi unga tayangan markaziy burchakning kattaligiga teng.

2. Chizilgan burchak yarmiga teng burchak kattaligi u tayanadigan yoy.

3. Xuddi shu yoyga asoslangan chizilgan burchaklar teng.

4. Kesishgan akkordlar orasidagi burchak akkordlar tomonidan kesilgan qarama-qarshi yoylarning yarmi yig'indisiga teng.

5. Doiradan tashqarida kesishgan ikkita sekant orasidagi burchak aylanadagi sekantlar tomonidan kesilgan yoylarning yarim farqiga teng.

6. Tangens nuqtadan chizilgan tangens va akkord orasidagi burchak aylanada shu akkord tomonidan kesilgan yoyning burchak qiymatining yarmiga teng.

Doira akkordlarining xossalari

1. Ikkita kesishuvchi aylananing markaziy chizig‘i ularning umumiy xordasiga perpendikulyar.

2. E nuqtada kesishgan aylananing AB va CD akkordalari segmentlari uzunliklarining ko'paytmalari teng, ya'ni AE EB = CE ED.

Chizilgan va chegaralangan doiralar

1. Muntazam uchburchakning chizilgan va chegaralangan doiralarining markazlari bir-biriga mos tushadi.

2. To'g'ri burchakli uchburchak atrofida aylananing markazi gipotenuzaning o'rtasidir.

3. Agar aylana to'rtburchakka chizilgan bo'lsa, uning qarama-qarshi tomonlari yig'indilari teng bo'ladi.

4. Agar to'rtburchakni aylana ichiga yozish mumkin bo'lsa, u holda uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng.

5. Agar to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180 ° bo'lsa, u holda uning atrofida aylana tasvirlanishi mumkin.

6. Agar trapetsiyaga aylana chizish mumkin bo'lsa, u holda aylananing markazidan to'g'ri burchak ostida trapetsiya tomoni ko'rinadi.

7. Agar trapezoidga aylana chizish mumkin bo'lsa, u holda aylananing radiusi teginish nuqtasi lateral tomonni ajratadigan segmentlarga o'rtacha proportsionaldir.

8. Agar aylanani ko‘pburchak ichiga yozish mumkin bo‘lsa, uning maydoni ko‘pburchak yarim perimetrining shu aylana radiusi ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.

Tangens va sekant teoremasi va uning natijasi

1. Agar bir nuqtadan aylanaga tangens va sekant chizilgan bo'lsa, u holda butun sekantning tashqi qismiga ko'paytmasi tegning kvadratiga teng bo'ladi.

2. Berilgan nuqta va aylana uchun butun sekantning tashqi qismiga ko‘paytmasi o‘zgarmasdir.

Radiusi R bo'lgan aylana aylanasi C = 2pR ga teng

Ikki to'g'ri chiziqning parallelligini teorema asosida isbotlash mumkin, unga ko'ra bitta to'g'ri chiziqqa nisbatan chizilgan ikkita perpendikulyar parallel bo'ladi. To'g'ri chiziqlar parallelligining ma'lum belgilari mavjud - ularning uchtasi bor va biz ularning barchasini aniqroq ko'rib chiqamiz.

Parallelizmning birinchi belgisi

Chiziqlar parallel bo'ladi, agar ularning uchinchi chizig'ining kesishmasida xochda yotgan shakllangan ichki burchaklar teng bo'lsa.

Faraz qilaylik, AB va CD to'g'ri chiziqlarni EF to'g'ri chiziq bilan kesishgan joyda / 1 va / 2 burchaklar hosil bo'ldi. Ular teng, chunki EF to'g'ri chiziq boshqa ikkita to'g'ri chiziqqa nisbatan bir qiyalikdan o'tadi. Chiziqlarning kesishmasida biz Ki L nuqtalarini qo'yamiz - biz EF sekantining segmentini oldik. Biz uning o'rtasini topamiz va O nuqtani qo'yamiz (189-rasm).

AB chiziqqa O nuqtadan perpendikulyar tushiramiz. Uni OM deb ataymiz. Perpendikulyarni CD to'g'ri chiziq bilan kesishguncha davom ettiramiz. Natijada, asl AB chizig'i MN ga qat'iy perpendikulyar bo'ladi, ya'ni SD_ | _MN, lekin bu bayonot isbotlashni talab qiladi. Perpendikulyar va kesishish chizig'ini chizish natijasida biz ikkita uchburchak hosil qildik. Ulardan biri MY, ikkinchisi NOK. Keling, ularni batafsil ko'rib chiqaylik. To'g'ri chiziqlar parallellik belgilari 7-sinf

Bu uchburchaklar tengdir, chunki teorema shartlariga muvofiq / 1 = / 2 va uchburchaklar qurilishiga muvofiq OK tomoni = OL tomoni. Burchak MOL = / NOK, chunki bular vertikal burchaklardir. Bundan kelib chiqadiki, uchburchaklardan birining tomoni va unga tutashgan ikkita burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning yon tomoniga va unga tutashgan ikkita burchagiga teng. Shunday qilib, uchburchak MOL = uchburchak NOK va shuning uchun burchak LMO = burchak KNO, lekin biz bilamiz / LMO to'g'ri, ya'ni mos keladigan burchak KNO ham to'g'ri. Ya'ni MN to'g'ri chiziqqa AB to'g'ri chiziq ham, CD to'g'ri chiziq ham perpendikulyar ekanligini isbotlashga muvaffaq bo'ldik. Ya'ni, AB va CD bir-biriga parallel. Buni isbotlashimiz kerak edi. To'g'ri chiziqlar parallelligining qolgan mezonlarini ko'rib chiqing (7-sinf), ular isbotlash usulida birinchi mezondan farq qiladi.

Parallelizmning ikkinchi belgisi

To'g'ri chiziqlar parallelligining ikkinchi mezoniga ko'ra, EF to'g'ri chiziqning AB va CD parallel to'g'ri chiziqlarning kesishishi jarayonida olingan burchaklar teng bo'lishini isbotlashimiz kerak. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziqning parallellik belgilari, ham birinchi, ham ikkinchisi, uchinchi chiziq ularni kesib o'tganda olingan burchaklarning tengligiga asoslanadi. Biz faraz qilamiz / 3 = / 2 va burchak 1 = / 3, chunki u unga vertikaldir. Shunday qilib, u / 2 burchak 1 ga teng bo'ladi, ammo shuni yodda tutish kerakki, 1 burchak va 2 burchak ichki, o'zaro kesishuvchi burchaklardir. Shuning uchun biz o'z bilimlarimizni qo'llashimiz kerak, ya'ni ikkita segment parallel bo'ladi, agar ular uchinchi to'g'ri chiziqni kesishganda, ko'ndalang hosil bo'lgan burchaklar teng bo'lsa. Shunday qilib, biz AB || ekanligini aniqladik CD.

Tegishli teoremaga ko‘ra, ikkita perpendikulyar bitta to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqlar parallelligi mezoni aniq ekanligini isbotlashga muvaffaq bo‘ldik.

Parallelizmning uchinchi belgisi

Parallelizmning uchinchi belgisi ham mavjud bo'lib, bu bir tomonlama ichki burchaklar yig'indisi orqali isbotlanadi. To'g'ri chiziqlar parallelligi mezonining bunday isboti ikkita to'g'ri chiziq parallel bo'ladi, degan xulosaga kelishga imkon beradi, agar ularning uchinchi to'g'ri chizig'i kesishganda olingan bir tomonlama ichki burchaklar yig'indisi 2d ga teng bo'lsa. 192-rasmga qarang.

III-BOB.
PARALLEL LINE

§ 35. IKKI TILI PARALLELLIK BELGILARI.

Bitta to'g'ri chiziqqa ikkita perpendikulyar parallel bo'lgan teorema (§ 33) ikkita to'g'ri chiziq parallelligi mezonini beradi. Siz ko'proq pul olishingiz mumkin umumiy xususiyatlar ikki chiziq parallelligi.

1. Parallelizmning birinchi belgisi.

Ikki uchinchi to'g'ri chiziqning kesishmasida ko'ndalang yotgan ichki burchaklar teng bo'lsa, bu to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.

AB va CD chiziqlar EF va chiziq bilan kesishsin / 1 = / 2. O nuqtani oling - KL sekant EF segmentining o'rtasi (189-rasm).

O nuqtadan AB to‘g‘riga perpendikulyar OM ni tushirib, CD, AB_ | _MN to‘g‘ri chiziq bilan kesishishgacha davom ettiramiz. SD_ | _MN ekanligini isbotlaylik.
Buning uchun ikkita uchburchakni ko'rib chiqing: MOE va NOK. Bu uchburchaklar bir-biriga teng. Haqiqatdan ham: / 1 = / 2-teorema sharti bilan; OK = OL - qurilishi bo'yicha;
/ MOL = / NOK vertikal burchaklar kabi. Shunday qilib, bir uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagi mos ravishda boshqa uchburchakning bir tomoni va ikkita qo'shni burchagiga teng; shuning uchun, /\ MOL = /\ NOK, va shuning uchun
/ LMO = / NO, lekin / LMO to'g'ri, shuning uchun / KNO ham oddiy. Shunday qilib, AB va CD chiziqlar bir xil MN chizig'iga perpendikulyar, shuning uchun ular kerak bo'lganda parallel (§ 33).

Eslatma. MOL uchburchagini O nuqta atrofida 180 ° ga aylantirish orqali MO va CD to'g'ri chiziqlarning kesishishini aniqlash mumkin.

2. Parallelizmning ikkinchi belgisi.

Keling, AB va CD to'g'ri chiziq parallel bo'ladimi yoki yo'qligini ko'rib chiqamiz, agar mos burchaklar ularning uchinchi EF chizig'i kesishmasida teng bo'lsa.

Masalan, ba'zi mos burchaklar teng bo'lsin / 3 = / 2 (190-rasm);
/ 3 = / 1, chunki burchaklar vertikal; anglatadi, / 2 teng bo'ladi / 1. Ammo 2 va 1 burchaklar o'zaro kesishuvchi ichki burchaklardir va biz allaqachon bilamizki, agar ikkita uchinchi to'g'ri chiziqning kesishmasida ichki o'zaro burchaklar teng bo'lsa, u holda bu chiziqlar parallel bo'ladi. Shuning uchun AB || CD.

Agar ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida uchinchi mos burchaklar teng bo'lsa, bu ikki to'g'ri chiziq parallel bo'ladi.

Bu xususiyat o'lchagich va chizilgan uchburchak yordamida parallel chiziqlar qurishga asoslangan. Bu quyidagicha amalga oshiriladi.

191-chizmada ko'rsatilgandek uchburchakni chizgichga qo'llaymiz.Uchburchakni shunday harakatlantiramizki, uning bir tomoni chizg'ich bo'ylab sirg'alib ketsin, uchburchakning boshqa tomoniga esa bir nechta to'g'ri chiziq chizamiz. Bu chiziqlar parallel bo'ladi.

3. Parallelizmning uchinchi belgisi.

Faraz qilaylik, uchinchi to‘g‘ri chiziqning ikkita AB va CD to‘g‘ri chiziq kesishmasida ba’zi bir ichki bir tomonlama burchaklar yig‘indisi 2 ga teng ekanligini bilamiz. d(yoki 180 °). Bu holda AB va CD to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladimi (192-rasm).

Mayli / 1 va / 2 ichki bir tomonlama burchaklar va 2 tagacha qo'shing d.
Lekin / 3 + / 2 = 2d burchaklar qo'shni bo'lgani uchun. Demak, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Bu yerdan / 1 = / 3 va bu ichki burchaklar ko'ndalang yotadi. Shuning uchun AB || CD.

Agar ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida uchinchi bo'lsa, ichki bir tomonlama burchaklarning yig'indisi 2 d, u holda bu ikki chiziq parallel.

Jismoniy mashqlar.

Chiziqlar parallel ekanligini isbotlang:
a) tashqi ko'ndalang yotuvchi burchaklar teng bo'lsa (193-rasm);
b) tashqi bir tomonlama burchaklar yig'indisi 2 bo'lsa d(194-rasm).