Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga parallel na linya, magbigay ng mga kahulugan, italaga ang mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo. Para sa kalinawan ng teoretikal na materyal, gagamitin namin ang mga guhit at ang solusyon ng mga tipikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Depinisyon 1

Parallel lines sa eroplano ay dalawang tuwid na linya sa eroplano na walang mga karaniwang punto.

Kahulugan 2

Mga parallel na linya sa 3D space- dalawang tuwid na linya sa tatlong-dimensional na espasyo na nasa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.

Dapat pansinin na upang matukoy ang magkatulad na mga linya sa kalawakan, ang paglilinaw na "nakahiga sa parehong eroplano" ay napakahalaga: dalawang linya sa tatlong-dimensional na espasyo na walang mga karaniwang punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay hindi. parallel, ngunit intersecting.

Upang tukuyin ang mga parallel na linya, karaniwang gamitin ang simbolo ∥ . Iyon ay, kung ang mga ibinigay na linya a at b ay magkatulad, ang kundisyong ito ay dapat na maikli na isulat tulad ng sumusunod: a ‖ b . Sa salita, ang paralelismo ng mga linya ay ipinahiwatig tulad ng sumusunod: ang mga linya a at b ay magkatulad, o ang linya a ay parallel sa linya b, o ang linya b ay parallel sa linya a.

Bumuo tayo ng isang pahayag na gumaganap mahalagang papel sa paksang pinag-aaralan.

Axiom

Sa pamamagitan ng isang punto na hindi kabilang sa isang naibigay na linya, mayroon lamang isang linya na kahanay sa ibinigay na linya. Ang pahayag na ito ay hindi maaaring patunayan sa batayan ng mga kilalang axiom ng planimetry.

Sa kaso pagdating sa espasyo, totoo ang theorem:

Teorama 1

Sa pamamagitan ng anumang punto sa espasyo na hindi kabilang sa isang ibinigay na linya, magkakaroon lamang ng isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.

Ang theorem na ito ay madaling patunayan batay sa itaas na axiom (geometry program para sa mga grado 10-11).

Ang tanda ng paralelismo ay isang sapat na kondisyon kung saan ang mga parallel na linya ay ginagarantiyahan. Sa madaling salita, ang katuparan ng kundisyong ito ay sapat na upang kumpirmahin ang katotohanan ng paralelismo.

Sa partikular, may mga kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa paralelismo ng mga linya sa eroplano at sa kalawakan. Ipaliwanag natin: kinakailangan ay nangangahulugan ng kondisyon, ang katuparan nito ay kinakailangan para sa magkatulad na linya; kung hindi ito nasiyahan, ang mga linya ay hindi parallel.

Ang pagbubuod, ang isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya ay isang kondisyon, ang pagsunod sa kung saan ay kinakailangan at sapat upang ang mga linya ay magkatulad sa isa't isa. Sa isang banda, ito ay isang tanda ng paralelismo, sa kabilang banda, isang ari-arian na likas sa magkatulad na mga linya.

Bago magbigay ng isang tumpak na pagbabalangkas ng kinakailangan at sapat na mga kondisyon, naaalala namin ang ilang karagdagang mga konsepto.

Kahulugan 3

secant line ay isang linya na nagsasalubong sa bawat isa sa dalawang ibinigay na linyang hindi magkatugma.

Sa interseksyon ng dalawang tuwid na linya, ang secant ay bumubuo ng walong hindi pinalawak na mga anggulo. Upang bumalangkas ng kinakailangan at sapat na kondisyon, gagamitin namin ang mga uri ng mga anggulo tulad ng cross-lying, kaukulang, at one-sided. Ipakita natin ang mga ito sa ilustrasyon:

Teorama 2

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay nag-intersect sa isang secant, kung gayon para sa mga ibinigay na linya ay parallel ito ay kinakailangan at sapat na ang mga crosswise lying na anggulo ay pantay, o ang mga kaukulang anggulo ay pantay, o ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 degrees.

Ilarawan natin sa graphical na paraan ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa mga parallel na linya sa eroplano:

Ang patunay ng mga kundisyong ito ay nasa geometry program para sa mga baitang 7-9.

Sa pangkalahatan, ang mga kundisyong ito ay nalalapat din sa tatlong-dimensional na espasyo, sa kondisyon na ang dalawang linya at ang secant ay nabibilang sa parehong eroplano.

Ituro natin ang ilan pang theorems na kadalasang ginagamit sa pagpapatunay ng katotohanan na ang mga linya ay parallel.

Teorama 3

Sa isang eroplano, ang dalawang linya na parallel sa isang third ay parallel sa isa't isa. Ang tampok na ito ay pinatunayan sa batayan ng axiom ng parallelism na binanggit sa itaas.

Teorama 4

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang dalawang linya na parallel sa isang third ay parallel sa isa't isa.

Ang patunay ng katangian ay pinag-aralan sa 10th grade geometry program.

Nagbibigay kami ng isang paglalarawan ng mga theorems na ito:

Ipahiwatig natin ang isa pang pares ng theorems na nagpapatunay sa paralelismo ng mga linya.

Teorama 5

Sa isang eroplano, ang dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay parallel sa isa't isa.

Bumuo tayo ng isang katulad para sa isang three-dimensional na espasyo.

Teorama 6

Sa tatlong-dimensional na espasyo, ang dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay parallel sa isa't isa.

Ilarawan natin:

Ang lahat ng mga theorems sa itaas, mga palatandaan at kundisyon ay ginagawang posible upang maginhawang patunayan ang parallelism ng mga linya sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng geometry. Iyon ay, upang patunayan ang paralelismo ng mga linya, maaaring ipakita ng isa na ang mga katumbas na anggulo ay pantay, o ipakita ang katotohanan na ang dalawang ibinigay na linya ay patayo sa pangatlo, at iba pa. Ngunit tandaan namin na madalas na mas maginhawang gamitin ang paraan ng coordinate upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo.

Paralelismo ng mga linya sa isang rectangular coordinate system

Sa isang ibinigay na rectangular coordinate system, ang isang tuwid na linya ay tinutukoy ng equation ng isang tuwid na linya sa eroplano ng isa sa posibleng mga uri. Katulad nito, ang isang tuwid na linya na ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system sa tatlong-dimensional na espasyo ay tumutugma sa ilang mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo.

Isulat natin ang kailangan at sapat na kundisyon para sa parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system, depende sa uri ng equation na naglalarawan sa mga ibinigay na linya.

Magsimula tayo sa kondisyon ng parallel lines sa eroplano. Ito ay batay sa mga kahulugan ng vector ng direksyon ng linya at ang normal na vector ng linya sa eroplano.

Teorama 7

Upang ang dalawang di-nagkataon na linya ay magkatulad sa isang eroplano, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya ay collinear, o ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay collinear, o ang vector ng direksyon ng isang linya ay patayo sa normal na vector ng kabilang linya.

Ito ay nagiging malinaw na ang kondisyon ng mga parallel na linya sa eroplano ay batay sa kondisyon ng collinear vectors o ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors. Iyon ay, kung ang a → = (a x , a y) at b → = (b x , b y) ay ang mga vector ng direksyon ng mga linya a at b ;

at nb → = (nbx , nby) ay mga normal na vector ng mga linyang a at b , pagkatapos ay isusulat namin ang kinakailangan at sapat na kondisyon sa itaas tulad ng sumusunod: a → = t b → ⇔ ax = t bxay = t by o na → = t nb → ⇔ nax = t nbxnay = t nby o a → , nb → = 0 ⇔ ax nbx + ay nby = 0 , kung saan ang t ay ilang totoong numero. Ang mga coordinate ng nagdidirekta o direktang mga vector ay tinutukoy ng mga ibinigay na equation ng mga linya. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing halimbawa.

1. Ang linya a sa isang rectangular coordinate system ay tinutukoy ng pangkalahatang equation ng linya: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; linya b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Pagkatapos ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay magkakaroon ng mga coordinate (A 1 , B 1) at (A 2 , B 2) ayon sa pagkakabanggit. Isinulat namin ang kondisyon ng parallelism tulad ng sumusunod:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Ang tuwid na linya a ay inilalarawan ng equation ng isang tuwid na linya na may slope ng anyong y = k 1 x + b 1 . Tuwid na linya b - y \u003d k 2 x + b 2. Pagkatapos ang mga normal na vector ng mga ibinigay na linya ay magkakaroon ng mga coordinate (k 1 , - 1) at (k 2 , - 1), ayon sa pagkakabanggit, at ang kondisyon ng parallelism ay isusulat tulad ng sumusunod:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Kaya, kung ang mga parallel na linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system ay ibinibigay ng mga equation na may slope coefficients, kung gayon ang slope coefficient ng mga ibinigay na linya ay magiging pantay. At ang kabaligtaran na pahayag ay totoo: kung ang mga di-nagtutugmang linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay tinutukoy ng mga equation ng isang linya na may parehong mga coefficient ng slope, kung gayon ang mga ibinigay na linya ay parallel.

1. Ang mga linya a at b sa isang rectangular coordinate system ay ibinibigay ng mga canonical equation ng linya sa eroplano: x - x 1 ax = y - y 1 ay at x - x 2 bx = y - y 2 by o ang mga parametric equation ng linya sa eroplano: x = x 1 + λ axy = y 1 + λ ay at x = x 2 + λ bxy = y 2 + λ by .

Kung gayon ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya ay magiging: a x , a y at b x , b y ayon sa pagkakabanggit, at isinusulat namin ang parallelism na kondisyon tulad ng sumusunod:

a x = t b x a y = t b y

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1

Ibinigay ang dalawang linya: 2 x - 3 y + 1 = 0 at x 1 2 + y 5 = 1 . Kailangan mong matukoy kung sila ay parallel.

Solusyon

Isinulat namin ang equation ng isang tuwid na linya sa mga segment sa anyo ng isang pangkalahatang equation:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Nakikita natin na ang na → = (2 , - 3) ay ang normal na vector ng linya 2 x - 3 y + 1 = 0 , at ang nb → = 2 , 1 5 ay ang normal na vector ng linya x 1 2 + y 5 = 1 .

Ang mga resultang vectors ay hindi collinear, dahil walang ganoong halaga ng t kung saan ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Kaya, ang kinakailangan at sapat na kondisyon ng parallelism ng mga linya sa eroplano ay hindi nasiyahan, na nangangahulugan na ang mga ibinigay na mga linya ay hindi parallel.

Sagot: ang mga binigay na linya ay hindi parallel.

Halimbawa 2

Ibinigay na mga linyang y = 2 x + 1 at x 1 = y - 4 2 . Parallel ba sila?

Solusyon

Ibahin natin ang canonical equation ng tuwid na linya x 1 \u003d y - 4 2 sa equation ng isang tuwid na linya na may slope:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Nakikita namin na ang mga equation ng mga linyang y = 2 x + 1 at y = 2 x + 4 ay hindi pareho (kung hindi man, ang mga linya ay magiging pareho) at ang mga slope ng mga linya ay pantay, na nangangahulugan na ang mga ibinigay na linya ay parallel.

Subukan nating lutasin ang problema sa ibang paraan. Una, sinusuri namin kung ang mga ibinigay na linya ay nag-tutugma. Ginagamit namin ang anumang punto ng linya y \u003d 2 x + 1, halimbawa, (0, 1) , ang mga coordinate ng puntong ito ay hindi tumutugma sa equation ng linya x 1 \u003d y - 4 2, na nangangahulugang hindi nagtutugma ang mga linya.

Ang susunod na hakbang ay upang matukoy ang katuparan ng kondisyon ng paralelismo para sa mga ibinigay na linya.

Ang normal na vector ng linyang y = 2 x + 1 ay ang vector n a → = (2 , - 1) , at ang vector ng direksyon ng pangalawang ibinigay na linya ay b → = (1 , 2) . Ang scalar product ng mga vector na ito ay zero:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Kaya, ang mga vector ay patayo: ito ay nagpapakita sa amin ng katuparan ng kinakailangan at sapat na kondisyon para sa orihinal na mga linya upang maging parallel. Yung. ang mga binigay na linya ay parallel.

Sagot: ang mga linyang ito ay parallel.

Upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo, ang sumusunod na kinakailangan at sapat na kundisyon ay ginagamit.

Teorama 8

Para magkaparehas ang dalawang di-nagkataon na linya sa tatlong-dimensional na espasyo, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay collinear.

Yung. para sa mga ibinigay na equation ng mga linya sa tatlong-dimensional na espasyo, ang sagot sa tanong: sila ba ay magkatulad o hindi, ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya, pati na rin ang pagsuri sa kondisyon ng kanilang collinearity. Sa madaling salita, kung ang a → = (ax, ay, az) at b → = (bx, by, bz) ay ang mga vector ng direksyon ng mga linyang a at b, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon upang maging magkatulad ang mga ito, ang pagkakaroon ng gayong tunay na bilang t ay kinakailangan, upang ang pagkakapantay-pantay ay may hawak na:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Halimbawa 3

Given lines x 1 = y - 2 0 = z + 1-3 at x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3-6 λ . Ito ay kinakailangan upang patunayan ang paralelismo ng mga linyang ito.

Solusyon

Ang mga kondisyon ng problema ay ang mga canonical equation ng isang tuwid na linya sa espasyo at ang parametric equation ng isa pang tuwid na linya sa espasyo. Mga vector ng direksyon a → at b → ang mga ibinigay na linya ay may mga coordinate: (1 , 0 , - 3) at (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , pagkatapos ay a → = 1 2 b → .

Samakatuwid, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa mga parallel na linya sa espasyo ay nasiyahan.

Sagot: napatunayan ang paralelismo ng mga ibinigay na linya.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Layunin ng aralin: Sa araling ito, makikilala mo ang konsepto ng "parallel lines", alamin kung paano mo matitiyak na ang mga linya ay parallel, at kung ano ang mga katangian ng mga anggulo na nabuo ng magkatulad na linya at isang secant.

Mga parallel na linya

Alam mo na ang konsepto ng "tuwid na linya" ay isa sa tinatawag na hindi natukoy na mga konsepto ng geometry.

Alam mo na na ang dalawang linya ay maaaring magkasabay, iyon ay, mayroong lahat ng mga karaniwang punto, maaari silang mag-intersect, iyon ay, may isang karaniwang punto. Magsalubong ang mga linya iba't ibang anggulo, habang ang anggulo sa pagitan ng mga linya ay itinuturing na pinakamaliit sa mga anggulo na kanilang nabuo. Ang isang espesyal na kaso ng intersection ay maaaring ituring na kaso ng perpendicularity, kapag ang anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya ay 90 0 .

Ngunit ang dalawang linya ay maaaring walang mga karaniwang punto, iyon ay, maaaring hindi sila magsalubong. Ang mga ganitong linya ay tinatawag parallel.

Makipagtulungan sa isang elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Upang maging pamilyar sa konsepto ng "parallel lines", magtrabaho sa mga materyales ng aralin sa video

Kaya, ngayon alam mo na ang kahulugan ng parallel lines.

Mula sa mga materyales ng fragment ng aralin sa video, natutunan mo ang tungkol sa iba't ibang uri ang mga anggulo ay nabuo kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang pangatlo.

Mga pares ng mga anggulo 1 at 4; 3 at 2 ang tawag panloob na isang panig na sulok(nakahiga sila sa pagitan ng mga linya a At b).

Mga pares ng mga anggulo 5 at 8; 7 at 6 ang tawag panlabas na isang panig na sulok(nakahiga sila sa labas ng mga linya a At b).

Mga pares ng mga anggulo 1 at 8; 3 at 6; 5 at 4; Ang 7 at 2 ay tinatawag na isang panig na anggulo sa kanan a At b at secant c. Tulad ng makikita mo, sa pares ng kaukulang mga anggulo, ang isa ay nasa pagitan ng kanan a At b at ang iba sa labas nila.

Mga palatandaan ng magkatulad na linya

Malinaw, gamit ang kahulugan, imposibleng tapusin na ang dalawang linya ay magkatulad. Samakatuwid, upang mapagtanto na ang dalawang linya ay magkatulad, gamitin palatandaan.

Maaari mo nang bumalangkas ang isa sa mga ito, na naging pamilyar sa mga materyales ng unang bahagi ng aralin sa video:

Teorama 1. Dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay hindi nagsalubong, iyon ay, sila ay parallel.

Makikilala mo ang iba pang mga palatandaan ng parallelism ng mga tuwid na linya batay sa pagkakapantay-pantay ng ilang mga pares ng mga anggulo sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa mga materyales ng ikalawang bahagi ng aralin sa video"Mga palatandaan ng magkatulad na linya".

Kaya, dapat mong malaman ang tatlo pang palatandaan ng magkatulad na linya.

Theorem 2 (ang unang tanda ng magkatulad na linya). Kung sa intersection ng dalawang linya sa pamamagitan ng isang transversal, ang mga nakahiga na anggulo ay pantay, kung gayon ang mga linya ay parallel.

kanin. 2. Ilustrasyon para sa unang tanda parallel lines

Muli ulitin ang unang tanda ng magkatulad na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Kaya, kapag pinatutunayan ang unang tanda ng paralelismo ng mga linya, ang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila) ay ginagamit, pati na rin ang tanda ng paralelismo ng mga linya bilang patayo sa isang linya.

Ehersisyo 1.

Isulat ang pagbabalangkas ng unang tanda ng paralelismo ng mga linya at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Theorem 3 (pangalawang criterion para sa mga parallel na linya). Kung sa intersection ng dalawang linya ng isang secant ang kaukulang mga anggulo ay pantay-pantay, kung gayon ang mga linya ay parallel.

Muli, ulitin ang pangalawang tanda ng magkatulad na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Kapag pinatutunayan ang pangalawang pamantayan para sa magkatulad na mga linya, ang pag-aari ng mga patayong anggulo at ang unang pamantayan para sa magkatulad na mga linya ay ginagamit.

Gawain 2.

Isulat ang pagbabalangkas ng pangalawang tanda ng paralelismo ng mga linya at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Theorem 4 (ang ikatlong criterion para sa mga parallel na linya). Kung sa intersection ng dalawang linya ng isang secant ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 0, kung gayon ang mga linya ay parallel.

Ulitin muli ang ikatlong tanda ng magkatulad na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Kaya, kapag pinatutunayan ang unang criterion para sa mga parallel na linya, ang pag-aari ng mga katabing anggulo at ang unang criterion para sa parallel na linya ay ginagamit.

Gawain 3.

Isulat ang pagbabalangkas ng ikatlong tanda ng paralelismo ng mga linya at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Upang makapagsanay sa paglutas ng mga simpleng problema, magtrabaho kasama ang mga materyales ng elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Ang mga palatandaan ng magkatulad na linya ay ginagamit sa paglutas ng mga problema.

Ngayon isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema para sa mga palatandaan ng parallelism ng mga linya, na nagtrabaho sa mga materyales ng aralin sa video"Paglutas ng mga problema sa paksang "Mga palatandaan ng magkatulad na linya".

Ngayon suriin ang iyong sarili sa pamamagitan ng pagkumpleto ng mga gawain ng control electronic educational resource « ».

Ang sinumang gustong magtrabaho sa paglutas ng mas kumplikadong mga problema ay maaaring magtrabaho sa mga materyales ng video tutorial "Mga problema sa mga palatandaan ng parallel na linya".

Mga katangian ng parallel na linya

Ang mga parallel na linya ay may isang hanay ng mga katangian.

Malalaman mo kung ano ang mga katangiang ito sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa mga materyales ng video tutorial "Mga Katangian ng Parallel Lines".

Sa ganitong paraan, mahalagang katotohanan, na dapat mong malaman ay ang axiom ng parallelism.

Axiom ng paralelismo. Sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang linya parallel sa ibinigay na isa, at higit pa rito, isa lamang.

Tulad ng iyong natutunan mula sa mga materyal ng aralin sa video, batay sa axiom na ito, dalawang kahihinatnan ang maaaring mabuo.

Bunga 1. Kung ang isang linya ay nag-intersect sa isa sa mga parallel na linya, pagkatapos ito ay intersects ang isa pang parallel na linya.

Bunga 2. Kung ang dalawang linya ay parallel sa isang pangatlo, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

Gawain 4.

Isulat ang pagbabalangkas ng mga nabuong corollaries at ang kanilang mga patunay sa iyong kuwaderno.

Ang mga katangian ng mga anggulo na nabuo ng magkatulad na mga linya at isang secant ay mga theorems na kabaligtaran sa kaukulang mga palatandaan.

Kaya, mula sa mga materyales ng aralin sa video, natutunan mo ang pag-aari ng mga cross lying angles.

Theorem 5 (theorem, inverse sa unang criterion para sa parallel lines). Kapag ang dalawang parallel na linya ay nagsalubong sa isang transversal, ang mga nakahiga na anggulo ay pantay.

Gawain 5.

Ulitin muli ang unang pag-aari ng mga parallel na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Theorem 6 (theorem, kabaligtaran sa pangalawang criterion para sa mga parallel na linya). Kapag ang dalawang magkatulad na linya ay nagsalubong, ang mga katumbas na anggulo ay pantay.

Gawain 6.

Isulat ang pahayag ng teorama na ito at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Ulitin muli ang pangalawang pag-aari ng mga parallel na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Theorem 7 (theorem, kabaligtaran sa ikatlong pamantayan para sa magkatulad na linya). Kapag nagsalubong ang dalawang magkatulad na linya, ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 0 .

Gawain 7.

Isulat ang pahayag ng teorama na ito at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Ulitin muli ang ikatlong pag-aari ng mga parallel na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa isang elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Ang lahat ng mga katangian ng parallel na linya ay ginagamit din sa paglutas ng mga problema.

Isaalang-alang ang mga tipikal na halimbawa ng paglutas ng problema sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa mga materyales sa video tutorial "Mga parallel na linya at problema sa mga anggulo sa pagitan nila at ng secant".

Mga parallel na linya. Mga katangian at palatandaan ng magkatulad na linya

1. Axiom ng parallel. Sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto, hindi hihigit sa isang tuwid na linya ay maaaring iguguhit parallel sa ibinigay na isa.

2. Kung ang dalawang linya ay parallel sa parehong linya, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

3. Dalawang linya na patayo sa parehong linya ay magkatulad.

4. Kung ang dalawang parallel na linya ay intersected ng isang third, pagkatapos ay ang panloob na cross-lying na mga anggulo na nabuo sa parehong oras ay pantay; ang mga katumbas na anggulo ay pantay; ang panloob na isang panig na anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180°.

5. Kung sa intersection ng dalawang tuwid na linya ang pangatlo ay bumubuo ng pantay na panloob na crosswise lying na mga anggulo, kung gayon ang mga tuwid na linya ay parallel.

6. Kung sa intersection ng dalawang linya ang pangatlong anyo ay katumbas ng katumbas na mga anggulo, kung gayon ang mga linya ay magkatulad.

7. Kung sa intersection ng dalawang linya ng pangatlo, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay 180 °, kung gayon ang mga linya ay magkatulad.

Teorama ni Thales. Kung ang pantay na mga segment ay inilatag sa isang gilid ng anggulo at ang magkatulad na mga tuwid na linya ay iguguhit sa kanilang mga dulo, na nagsalubong sa pangalawang bahagi ng anggulo, pagkatapos ay ang mga pantay na segment ay idedeposito din sa pangalawang bahagi ng anggulo.

Theorem sa proporsyonal na mga segment. Ang magkatulad na mga tuwid na linya na nagsalubong sa mga gilid ng anggulo ay pinutol ang mga proporsyonal na segment sa kanila.

Tatsulok. Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

1. Kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatugma.

2. Kung ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isang tatsulok ay magkapareho sa gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

3. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho.

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

1. Sa dalawang paa.

2. Kasama ang binti at hypotenuse.

3. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle.

4. Kasama ang binti at isang matinding anggulo.

Ang theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok at ang mga kahihinatnan nito

1. Halaga panloob na sulok ang tatsulok ay 180°.

2. Ang panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng dalawang panloob na anggulo na hindi katabi nito.

3. Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok n-gon ay

4. Halaga mga sulok sa labas ang ha-gon ay 360°.

5. Ang mga anggulo na may magkabilang panig na patayo ay pantay-pantay kung pareho silang talamak o parehong mahina.

6. Ang anggulo sa pagitan ng mga bisector ng mga katabing anggulo ay 90°.

7. Ang mga bisectors ng panloob na isang panig na anggulo na may parallel na linya at isang secant ay patayo.

Ang mga pangunahing katangian at palatandaan ng isang isosceles triangle

1. Ang mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle ay pantay.

2. Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

3. Sa isang isosceles triangle, ang median, bisector at taas na iginuhit sa base ay pareho.

4. Kung ang anumang pares ng mga segment mula sa triple - median, bisector, taas - nag-tutugma sa isang tatsulok, kung gayon ito ay isosceles.

Ang hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok at ang mga kahihinatnan nito

1. Ang kabuuan ng dalawang panig ng isang tatsulok ay mas malaki kaysa sa ikatlong panig nito.

2. Ang kabuuan ng mga link ng putol na linya ay mas malaki kaysa sa segment na kumukonekta sa simula

ang unang link na may dulo ng huli.

3. Sa tapat ng mas malaking anggulo ng tatsulok ay matatagpuan ang mas malaking bahagi.

4. Laban sa mas malaking bahagi ng tatsulok ay may mas malaking anggulo.

5. Hypotenuse kanang tatsulok pang skate.

6. Kung ang patayo at hilig ay iguguhit mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, kung gayon

1) ang patayo ay mas maikli kaysa sa mga hilig;

2) ang isang mas malaking slope ay tumutugma sa isang mas malaking projection at vice versa.

Ang gitnang linya ng tatsulok.

Ang segment ng linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng dalawang gilid ng isang tatsulok ay tinatawag na midline ng tatsulok.

Triangle midline theorem.

Ang median na linya ng tatsulok ay parallel sa gilid ng tatsulok at katumbas ng kalahati nito.

Triangle median theorems

1. Ang mga median ng isang tatsulok ay bumalandra sa isang punto at hatiin ito sa isang ratio na 2: 1, pagbibilang mula sa itaas.

2. Kung ang median ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng gilid kung saan ito iginuhit, kung gayon ang tatsulok ay right-angled.

3. Median ng isang right triangle na iginuhit mula sa isang vertex tamang anggulo katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Property ng perpendicular bisectors sa mga gilid ng isang tatsulok. Ang mga perpendicular bisector sa mga gilid ng tatsulok ay nagsalubong sa isang punto, na siyang sentro ng bilog na nakapaligid sa tatsulok.

Triangle altitude theorem. Ang mga linya na naglalaman ng mga altitude ng tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.

Triangle bisector theorem. Ang mga bisector ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto, na siyang sentro ng bilog na nakasulat sa tatsulok.

Bisector property ng isang tatsulok. Hinahati ng bisector ng isang tatsulok ang gilid nito sa mga segment na proporsyonal sa iba pang dalawang panig.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tatsulok

1. Kung ang dalawang anggulo ng isang tatsulok ay magkapareho sa dalawang anggulo ng isa pa, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

2. Kung ang dalawang gilid ng isang tatsulok ay magkasunod na proporsyonal sa dalawang panig ng isa pa, at ang mga anggulo na nakapaloob sa pagitan ng mga panig na ito ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

3. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakasunod-sunod na proporsyonal sa tatlong panig ng isa pa, kung gayon ang mga tatsulok ay magkatulad.

Mga Lugar ng Magkatulad na Triangles

1. Ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.

2. Kung ang dalawang tatsulok ay may pantay na anggulo, pagkatapos ang kanilang mga lugar ay magkakaugnay bilang mga produkto ng mga panig na nakapaloob sa mga anggulong ito.

Sa isang kanang tatsulok

1. Ang binti ng isang right triangle ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at ang sine ng kabaligtaran o ang cosine ng acute angle na katabi ng binti na ito.

2. Ang binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kabilang binti na pinarami ng padaplis ng kabaligtaran o ang cotangent ng matinding anggulo na katabi ng binti na ito.

3. Ang binti ng isang kanang tatsulok na nakahiga sa tapat ng isang anggulo ng 30 ° ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

4. Kung ang binti ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse, kung gayon ang anggulo sa tapat ng binti na ito ay 30°.

5. R = ; g \u003d, kung saan ang a, b ay mga binti, at ang c ay ang hypotenuse ng isang right triangle; Ang r at R ay ang radii ng inscribed at circumscribed na bilog, ayon sa pagkakabanggit.

Ang Pythagorean theorem at ang kabaligtaran ng Pythagorean theorem

1. Ang parisukat ng hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

2. Kung ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig nito, kung gayon ang tatsulok ay right-angled.

Mean proportionals sa isang right triangle.

Ang taas ng right triangle, na iginuhit mula sa vertex ng right angle, ay ang average na proporsyonal sa mga projection ng mga binti papunta sa hypotenuse, at ang bawat binti ay ang average na proporsyonal sa hypotenuse at ang projection nito sa hypotenuse.

Mga panukat na ratio sa isang tatsulok

1. Teorama ng mga cosine. Ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig nang hindi dinodoble ang produkto ng mga panig na iyon sa pag-uulit ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

2. Corollary mula sa cosine theorem. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng panig nito.

3. Formula para sa median ng isang tatsulok. Kung ang m ay ang median ng tatsulok na iginuhit sa gilid c, kung gayon m = kung saan ang a at b ay ang natitirang mga gilid ng tatsulok.

4. Sine theorem. Ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa mga sine ng magkasalungat na anggulo.

5. Generalized sine theorem. Ang ratio ng isang gilid ng isang tatsulok sa sine ng kabaligtaran na anggulo ay katumbas ng diameter ng bilog na pumapalibot sa tatsulok.

Mga formula ng lugar ng tatsulok

1. Ang lugar ng isang tatsulok ay kalahati ng produkto ng base at ang taas.

2. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng dalawang panig nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

3. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng semiperimeter nito at ang radius ng inscribed na bilog.

4. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng produkto ng tatlong panig nito, na hinati sa quadruple radius ng circumscribed na bilog.

5. Formula ng Heron: S=, kung saan ang p ay ang semiperimeter; a, b, c - mga gilid ng tatsulok.

Mga elemento ng isang equilateral triangle. Hayaang ang h, S, r, R ay ang taas, lugar, radii ng inscribed at circumscribed na bilog ng isang equilateral triangle na may gilid a. Pagkatapos
Quadrilaterals

Paralelogram. Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkaparehas na magkatulad.

Mga katangian at tampok ng paralelogram.

1. Hinahati ng dayagonal ang paralelogram sa dalawang pantay na tatsulok.

2. Ang magkabilang panig ng paralelogram ay magkapares.

3. Ang magkasalungat na mga anggulo ng paralelogram ay magkapares.

4. Ang mga diagonal ng parallelogram ay nagsalubong at naghahati sa punto ng intersection.

5. Kung ang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay pantay sa mga pares, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

6. Kung ang dalawang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay pantay at parallel, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

7. Kung ang mga dayagonal ng isang may apat na gilid ay nahahati ng intersection point, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

Pag-aari ng mga midpoint ng mga gilid ng isang quadrilateral. Ang mga midpoint ng mga gilid ng anumang quadrilateral ay ang mga vertices ng isang parallelogram na ang lugar ay kalahati ng lugar ng quadrilateral.

Parihaba. Ang parihaba ay isang paralelogram na may tamang anggulo.

Mga katangian at palatandaan ng isang parihaba.

1. Ang mga dayagonal ng isang parihaba ay pantay.

2. Kung ang mga diagonal ng isang paralelogram ay pantay, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang parihaba.

parisukat. Ang parisukat ay isang parihaba na ang lahat ng panig nito ay pantay.

Rhombus. Ang rhombus ay isang quadrilateral na ang lahat ng panig ay pantay.

Mga katangian at palatandaan ng isang rhombus.

1. Ang mga dayagonal ng rhombus ay patayo.

2. Hinahati ng mga diagonal ng rhombus ang mga sulok nito.

3. Kung ang mga diagonal ng isang parallelogram ay patayo, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang rhombus.

4. Kung ang mga diagonal ng isang parallelogram ay hatiin ang mga anggulo nito sa kalahati, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang rhombus.

Trapeze. Ang trapezoid ay isang may apat na gilid kung saan dalawang magkabilang panig lamang (mga base) ang magkatulad. Ang median na linya ng isang trapezoid ay isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga di-parallel na gilid (lateral sides).

1. Ang median na linya ng trapezoid ay kahanay sa mga base at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan.

2. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base.

Kapansin-pansing pag-aari ng isang trapezoid. Ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, ang punto ng intersection ng mga extension ng mga gilid at ang mga midpoint ng mga base ay namamalagi sa parehong tuwid na linya.

Isosceles trapezoid. Ang trapezoid ay tinatawag na isosceles kung ang mga gilid nito ay pantay.

Mga katangian at palatandaan ng isang isosceles trapezoid.

1. Ang mga anggulo sa base ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

2. Ang mga dayagonal ng isang isosceles trapezoid ay pantay.

3. Kung ang mga anggulo sa base ng trapezoid ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

4. Kung ang mga diagonal ng isang trapezoid ay pantay, kung gayon ito ay isosceles.

5. Ang projection ng lateral side ng isang isosceles trapezoid papunta sa base ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base, at ang projection ng diagonal ay kalahati ng kabuuan ng mga base.

Mga formula para sa lugar ng isang quadrilateral

1. Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng produkto ng base at taas.

2. Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing gilid nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

3. Ang lugar ng isang parihaba ay katumbas ng produkto ng dalawang magkatabing gilid nito.

4. Ang lugar ng isang rhombus ay kalahati ng produkto ng mga diagonal nito.

5. Ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at taas.

6. Ang lugar ng isang quadrilateral ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga diagonal nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila.

7. Ang formula ng Heron para sa isang may apat na gilid kung saan maaaring ilarawan ang isang bilog:

S \u003d, kung saan ang a, b, c, d ay ang mga gilid ng quadrilateral na ito, ang p ay ang semi-perimeter, at ang S ay ang lugar.

Katulad na mga pigura

1. Ang ratio ng mga katumbas na linear na elemento ng magkatulad na figure ay katumbas ng similarity coefficient.

2. Ang ratio ng mga lugar ng magkatulad na mga numero ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.

regular na polygon.

Hayaang ang a n ang gilid ng isang regular na n-gon, at ang r n at R n ang radii ng inscribed at circumscribed na mga bilog. Pagkatapos

Bilog.

Ang bilog ay ang locus ng mga punto sa isang eroplano na nasa parehong positibong distansya mula sa isang partikular na punto, na tinatawag na sentro ng bilog.

Mga pangunahing katangian ng isang bilog

1. Ang diameter na patayo sa chord ay naghahati sa chord at ang mga arko na binabawasan nito sa kalahati.

2. Ang diameter na dumadaan sa gitna ng chord na hindi diameter ay patayo sa chord na iyon.

3. Ang median na patayo sa chord ay dumadaan sa gitna ng bilog.

4. Ang mga pantay na chord ay tinanggal mula sa gitna ng bilog sa pantay na distansya.

5. Ang mga chord ng isang bilog na katumbas ng layo mula sa gitna ay pantay.

6. Ang bilog ay simetriko na may paggalang sa alinman sa mga diameter nito.

7. Ang mga arko ng isang bilog na nakapaloob sa pagitan ng magkatulad na mga kuwerdas ay pantay.

8. Sa dalawang chord, mas malaki ang hindi gaanong layo sa gitna.

9. Ang diameter ay ang pinakamalaking chord ng isang bilog.

Tangent sa bilog. Ang isang linya na may isang punto na karaniwan sa isang bilog ay tinatawag na isang padaplis sa bilog.

1. Ang tangent ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact.

2. Kung ang linyang a na dumadaan sa isang punto sa bilog ay patayo sa radius na iginuhit sa puntong ito, kung gayon ang linya a ay padaplis sa bilog.

3. Kung ang mga linyang dumadaan sa puntong M ay dumampi sa bilog sa mga puntong A at B, pagkatapos ay MA = MB at ﮮAMO = ﮮBMO, kung saan ang puntong O ay ang sentro ng bilog.

4. Ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang anggulo ay nasa bisector ng anggulong ito.

padaplis na bilog. Ang dalawang bilog ay sinasabing magkadikit kung mayroon silang isang karaniwang punto (tangent point).

1. Ang punto ng pakikipag-ugnay ng dalawang bilog ay nasa kanilang linya ng mga sentro.

2. Ang mga bilog ng radii r at R na may mga sentro O 1 at O ​​2 ay kumakapit sa labas kung at kung R + r \u003d O 1 O 2 lamang.

3. Mga bilog ng radii r at R (r

4. Ang mga bilog na may mga sentrong O 1 at O ​​2 ay kumakapit sa labas sa puntong K. Ang ilang tuwid na linya ay dumadampi sa mga bilog na ito sa magkaibang mga punto A at B at nagsasalubong sa isang karaniwang tangent na dumadaan sa puntong K sa puntong C. Pagkatapos ﮮAK B \u003d 90 ° at ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. Ang segment ng karaniwang panlabas na tangent sa dalawang tangent na bilog ng radii r at R ay katumbas ng segment ng karaniwang panloob na tangent na nakapaloob sa pagitan ng mga karaniwang panlabas. Pareho sa mga segment na ito ay pantay.

Ang mga anggulo na nauugnay sa isang bilog

1. Ang halaga ng arko ng isang bilog ay katumbas ng halaga ng gitnang anggulo batay dito.

2. Ang naka-inscribe na anggulo ay kalahati angular magnitude arko kung saan ito nakapatong.

3. Ang mga nakasulat na anggulo batay sa parehong arko ay pantay.

4. Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting chord ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng magkasalungat na arko na pinutol ng mga chord.

5. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang secant na nagsasalubong sa labas ng bilog ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga arko na pinutol ng mga secant sa bilog.

6. Ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang chord na iginuhit mula sa punto ng contact ay katumbas ng kalahati ng angular na halaga ng arc cut sa bilog sa pamamagitan ng chord na ito.

Mga katangian ng mga chord ng bilog

1. Ang linya ng mga sentro ng dalawang intersecting na bilog ay patayo sa kanilang karaniwang chord.

2. Ang mga produkto ng mga haba ng mga segment ng chords AB at CD ng bilog na intersecting sa punto E ay pantay, iyon ay, AE EB \u003d CE ED.

Inscribed at circumscribed circles

1. Ang mga sentro ng inscribed at circumscribed na bilog ng isang regular na tatsulok ay nag-tutugma.

2. Ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang right triangle ay ang midpoint ng hypotenuse.

3. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang may apat na gilid, kung gayon ang mga kabuuan ng magkabilang panig nito ay pantay.

4. Kung ang isang may apat na gilid ay maaaring nakasulat sa isang bilog, kung gayon ang kabuuan ng mga magkasalungat na anggulo nito ay 180°.

5. Kung ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang may apat na gilid ay 180°, kung gayon ang isang bilog ay maaaring bilugan sa paligid nito.

6. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid, kung gayon ang lateral na bahagi ng trapezoid ay makikita mula sa gitna ng bilog sa isang tamang anggulo.

7. Kung ang isang bilog ay maaaring ma-inscribed sa isang trapezoid, kung gayon ang radius ng bilog ay ang average na proporsyonal sa mga segment kung saan ang tangent point ay naghahati sa lateral na bahagi.

8. Kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang polygon, kung gayon ang lugar nito ay katumbas ng produkto ng semiperimeter ng polygon at ang radius ng bilog na ito.

Ang tangent at secant theorem at ang kaakibat nito

1. Kung ang isang tangent at isang secant ay iguguhit mula sa isang punto patungo sa bilog, kung gayon ang produkto ng buong secant sa pamamagitan ng panlabas na bahagi nito ay katumbas ng parisukat ng padaplis.

2. Ang produkto ng buong secant sa pamamagitan ng panlabas na bahagi nito para sa isang partikular na punto at isang binigay na bilog ay pare-pareho.

Ang circumference ng isang bilog na may radius R ay C= 2πR

Ang paralelismo ng dalawang linya ay maaaring patunayan sa batayan ng teorama, ayon sa kung saan, dalawang patayo na iginuhit na may paggalang sa isang linya ay magkatulad. Mayroong ilang mga palatandaan ng magkatulad na mga linya - mayroong tatlo sa kanila, at isasaalang-alang namin ang lahat ng mga ito nang mas partikular.

Ang unang tanda ng paralelismo

Ang mga linya ay parallel kung, sa intersection ng kanilang ikatlong linya, ang nabuong panloob na mga anggulo na nakahiga sa kabuuan ay pantay.

Ipagpalagay, sa intersection ng mga linya AB at CD na may tuwid na linya EF, nabuo ang mga anggulo /1 at /2. Magkapantay ang mga ito, dahil ang tuwid na linya na EF ay tumatakbo sa parehong slope na may paggalang sa iba pang dalawang tuwid na linya. Sa intersection ng mga linya, inilalagay namin ang mga puntong Ki L - mayroon kaming isang segment ng secant EF. Natagpuan namin ang gitna nito at inilagay ang isang punto O (Larawan 189).

Sa linyang AB ibinabagsak natin ang patayo mula sa puntong O. Tawagin natin itong OM. Ipinagpapatuloy namin ang patayo hanggang sa mag-intersect ito sa linyang CD. Bilang resulta, ang orihinal na linyang AB ay mahigpit na patayo sa MN, na nangangahulugang ang CD _ | _ MN, ngunit ang pahayag na ito ay nangangailangan ng patunay. Bilang resulta ng pagguhit ng patayo at ang linya ng intersection, nakabuo kami ng dalawang tatsulok. Ang isa sa kanila ay AKIN, ang pangalawa ay NOK. Isaalang-alang natin ang mga ito nang mas detalyado. mga palatandaan ng parallel lines grade 7

Ang mga tatsulok na ito ay pantay-pantay, dahil, alinsunod sa mga kondisyon ng teorama, /1 = /2, at alinsunod sa pagtatayo ng mga tatsulok, ang gilid na OK = ang gilid na OL. Anggulo MOL =/NOK dahil ito ay mga patayong anggulo. Mula dito sumusunod na ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa sa mga tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa sa mga tatsulok. Kaya, ang tatsulok MOL \u003d tatsulok NOK, at samakatuwid ang anggulo LMO \u003d anggulo KNO, ngunit alam namin na / LMO ay isang tama, na nangangahulugan na ang kaukulang anggulo KNO ay tama din. Ibig sabihin, napatunayan naming pareho ang linyang AB at ang linyang CD ay patayo sa linyang MN. Ibig sabihin, ang AB at CD ay parallel sa isa't isa. Ito ang kailangan nating patunayan. Isaalang-alang natin ang natitirang mga palatandaan ng magkatulad na linya (klase 7), na naiiba sa unang tanda sa paraan ng patunay.

Ang pangalawang tanda ng paralelismo

Ayon sa pangalawang tanda ng parallelism ng mga linya, kailangan nating patunayan na ang mga anggulo na nakuha sa proseso ng pagtawid sa mga parallel na linya AB at CD sa pamamagitan ng linya EF ay magiging pantay. Kaya, ang mga palatandaan ng parallelism ng dalawang linya, ang una at ang pangalawa, ay batay sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na nakuha kapag sila ay tumawid sa ikatlong linya. Ipinapalagay namin na /3 = /2, at ang anggulo 1 = /3, dahil patayo ito dito. Kaya, at /2 ay magiging katumbas ng anggulo 1, gayunpaman, dapat itong isaalang-alang na ang parehong anggulo 1 at anggulo 2 ay panloob, cross-lying na mga anggulo. Samakatuwid, nananatili para sa amin na ilapat ang aming kaalaman, ibig sabihin, na ang dalawang mga segment ay magkatulad kung, sa kanilang intersection sa isang ikatlong linya, ang nabuo, cross-lying na mga anggulo ay magiging pantay. Kaya, nalaman namin na ang AB || CD.

Nagawa naming patunayan na sa ilalim ng kondisyon na ang dalawang patayo ay kahanay sa isang tuwid na linya, ayon sa kaukulang teorama, ang tanda ng magkatulad na mga linya ay halata.

Ang ikatlong tanda ng paralelismo

Mayroon ding ikatlong pamantayan para sa paralelismo, na pinatunayan sa pamamagitan ng kabuuan ng isang panig na panloob na mga anggulo. Ang ganitong patunay ng tanda ng parallelism ng mga linya ay nagpapahintulot sa amin na tapusin na ang dalawang linya ay magkatulad kung, sa intersection ng kanilang ikatlong linya, ang kabuuan ng nakuha na isang panig na panloob na mga anggulo ay magiging katumbas ng 2d. Tingnan ang figure 192.

KABANATA III.
PARALLEL LINES

§ 35. MGA ALAMAT NG PARALLELITY NG DALAWANG DIREKTA NA LINYA.

Ang teorama na ang dalawang patayo sa isang linya ay parallel (§ 33) ay nagbibigay ng senyales na ang dalawang linya ay parallel. Maaari kang mag-withdraw ng higit pa karaniwang mga palatandaan paralelismo ng dalawang linya.

1. Ang unang tanda ng paralelismo.

Kung, sa intersection ng dalawang linya na may isang pangatlo, ang mga panloob na anggulo na nakahiga sa kabuuan ay pantay, kung gayon ang mga linyang ito ay parallel.

Hayaang mag-intersect ang mga linyang AB at CD sa linyang EF at / 1 = / 2. Kunin ang punto O - sa gitna ng segment KL ng secant EF (Fig. 189).

Ibagsak natin ang patayo na OM mula sa puntong O hanggang sa linyang AB at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa linyang CD, AB_|_MN. Patunayan natin na ang CD_|_MN.
Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang tatsulok: MOE at NOK. Ang mga tatsulok na ito ay katumbas ng bawat isa. talaga: / 1 = / 2 sa pamamagitan ng kondisyon ng teorama; OK = OL - sa pamamagitan ng pagtatayo;
/ MOL = / NOK bilang mga patayong sulok. Kaya, ang gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng gilid at dalawang anggulo na katabi nito ng isa pang tatsulok; Dahil dito, /\ MOL = /\ NOK, at samakatuwid
/ LMO = / kno pero / Direkta ang LMO, samakatuwid, at / Direkta rin ang KNO. Kaya, ang mga linyang AB at CD ay patayo sa parehong linya MN, samakatuwid sila ay parallel (§ 33), na dapat patunayan.

Tandaan. Ang intersection ng mga linyang MO at CD ay maaaring maitatag sa pamamagitan ng pag-ikot ng tatsulok na MOL sa paligid ng puntong O ng 180°.

2. Ang pangalawang tanda ng paralelismo.

Tingnan natin kung ang mga linyang AB at CD ay magkatulad kung, sa intersection ng kanilang ikatlong linya EF, ang mga katumbas na anggulo ay pantay.

Hayaang magkapantay ang ilang kaukulang mga anggulo, halimbawa / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, dahil ang mga sulok ay patayo; ibig sabihin, / 2 ay magiging pantay / 1. Ngunit ang mga anggulo 2 at 1 ay panloob na crosswise lying na mga anggulo, at alam na natin na kung sa intersection ng dalawang linya ng isang ikatlo, ang panloob na crosswise lying na mga anggulo ay pantay, kung gayon ang mga linyang ito ay parallel. Samakatuwid, AB || CD.

Kung sa intersection ng dalawang linya ng pangatlo ang kaukulang mga anggulo ay pantay, kung gayon ang dalawang linyang ito ay magkatulad.

Ang pagtatayo ng mga parallel na linya sa tulong ng isang ruler at isang drawing triangle ay batay sa property na ito. Ginagawa ito bilang mga sumusunod.

Ikabit natin ang tatsulok sa ruler gaya ng ipinapakita sa drawing 191. Ililipat natin ang tatsulok upang ang isa sa mga gilid nito ay dumulas sa ruler, at gumuhit ng ilang tuwid na linya sa alinmang panig ng tatsulok. Magiging parallel ang mga linyang ito.

3. Ang ikatlong tanda ng paralelismo.

Ipaalam sa amin na sa intersection ng dalawang linya AB at CD ng ikatlong linya, ang kabuuan ng anumang panloob na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d(o 180°). Magiging parallel ba ang mga linyang AB at CD sa kasong ito (Fig. 192).

Hayaan / 1 at / 2 panloob na isang panig na anggulo at magdagdag ng hanggang 2 d.
Pero / 3 + / 2 = 2d bilang magkatabing mga anggulo. Dahil dito, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Mula rito / 1 = / 3, at ang mga sulok na ito ay nasa loob na nakahiga nang crosswise. Samakatuwid, AB || CD.

Kung sa intersection ng dalawang linya ng isang pangatlo, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d, kung gayon ang dalawang linya ay magkatulad.

Ang ehersisyo.

Patunayan na ang mga linya ay parallel:
a) kung ang mga panlabas na cross-lying na anggulo ay pantay (Fig. 193);
b) kung ang kabuuan ng mga panlabas na unilateral na anggulo ay 2 d(demonyo 194).