Ang mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay umiral na noong sinaunang panahon. Lumitaw sila at humingi ng solusyon dahil mayroon silang praktikal na pangangailangan.

Kaya, sa isa sa mga papyri ng Sinaunang Ehipto, na may nilalaman sa matematika - ang Rhind papyrus (XIX siglo BC) - ay naglalaman ng sumusunod na problema: hatiin ang sampung sukat ng tinapay sa sampung tao, sa kondisyon na ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat isa sa kanila ay isa. - ikawalo ng isang sukat."

At sa mga gawaing matematika ng mga sinaunang Griyego, may mga eleganteng teorema na may kaugnayan sa pag-unlad ng aritmetika. Kaya, ang Hypsicles of Alexandria (II siglo, na bumubuo ng maraming kawili-wiling mga problema at nagdagdag ng ikalabing-apat na libro sa "Mga Prinsipyo" ni Euclid, ay bumalangkas ng ideya: "Sa isang pag-unlad ng aritmetika na may pantay na bilang ng mga miyembro, ang kabuuan ng mga miyembro ng ang ikalawang kalahati ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng mga miyembro ng unang kalahati bawat parisukat 1 / 2 bilang ng mga miyembro ".

Ang pagkakasunod-sunod ay tinutukoy ng isang. Ang mga numero ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga miyembro nito at karaniwang tinutukoy ng mga titik na may mga indeks na nagpapahiwatig ng ordinal na numero ng miyembrong ito (a1, a2, a3 ... basahin: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" at iba pa).

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang katapusan o may hangganan.

Ano ito pag-unlad ng aritmetika? Ito ay nauunawaan bilang ang nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng nakaraang termino (n) na may parehong bilang na d, na siyang pagkakaiba ng pag-unlad.

Kung d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, kung gayon ang gayong pag-unlad ay itinuturing na pataas.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na may hangganan kung iilan lamang sa mga unang miyembro nito ang isasaalang-alang. Sa sobrang isang malaking bilang ang mga miyembro ay isa nang walang katapusang pag-unlad.

Ang anumang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng sumusunod na formula:

an = kn + b, habang ang b at k ay ilang numero.

Ang kabaligtaran na pahayag ay ganap na totoo: kung ang isang pagkakasunud-sunod ay ibinigay ng isang katulad na formula, kung gayon ito ay eksaktong isang pag-unlad ng aritmetika na may mga sumusunod na katangian:

1. Ang bawat miyembro ng progression ay ang arithmetic mean ng nakaraang miyembro at ng susunod.
2. Ang kabaligtaran: kung, simula sa ika-2, ang bawat termino ay ang arithmetic mean ng nakaraang termino at ang susunod, i.e. kung ang kundisyon ay natutugunan, ang sequence na ito ay isang arithmetic progression. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay isa ring tanda ng pag-unlad, samakatuwid ito ay karaniwang tinatawag na katangian ng pag-unlad.
   Sa parehong paraan, ang theorem na sumasalamin sa property na ito ay totoo: ang isang sequence ay isang arithmetic progression lamang kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa alinman sa mga miyembro ng sequence, simula sa ika-2.

Ang katangiang katangian para sa anumang apat na numero ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng formula na an + am = ak + al, kung n + m = k + l (m, n, k ang mga numero ng pag-unlad).

Sa isang pag-unlad ng arithmetic, ang anumang kinakailangang (Nth) na termino ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula:

Halimbawa: ang unang termino (a1) sa pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay at katumbas ng tatlo, at ang pagkakaiba (d) ay katumbas ng apat. Kailangan mong hanapin ang ikaapatnapu't limang termino ng pag-unlad na ito. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Ang formula na an = ak + d (n - k) ay nagpapahintulot sa amin na matukoy nth term pag-unlad ng aritmetika sa alinman sa mga k-th na termino nito, sa kondisyon na ito ay kilala.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng arithmetic progression (ibig sabihin ang 1st n miyembro ng huling progression) ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Kung kilala rin ang unang termino, ang isa pang formula ay maginhawa para sa pagkalkula:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Ang kabuuan ng isang arithmetic progression, na naglalaman ng n mga miyembro, ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Ang pagpili ng mga formula para sa mga kalkulasyon ay depende sa mga kondisyon ng mga problema at ang paunang data.

Natural na serye ng anumang mga numero tulad ng 1,2,3, ..., n, ...- pinakasimpleng halimbawa pag-unlad ng aritmetika.

Bilang karagdagan sa pag-unlad ng aritmetika, mayroon ding isang geometriko, na may sariling mga katangian at katangian.

Arithmetic progression tinatawag na pagkakasunod-sunod ng mga numero (mga miyembro ng isang pag-unlad)

Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.

Kaya, sa pamamagitan ng pagtatakda ng hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito sa pamamagitan ng formula

Arithmetic progression properties

1) Ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nauna at susunod na miyembro ng progression

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng katabing odd (even) na mga miyembro ng progression ay katumbas ng term sa pagitan nila, ang sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression. Pinapadali ng pahayag na ito na suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng arithmetic progression, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong i-verify kung isusulat namin ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign

Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga pagkalkula sa mga problema.

2) Ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula ng formula

Tandaan na mabuti ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay kailangang-kailangan para sa mga kalkulasyon at medyo karaniwan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit bahagi ng sequence na nagsisimula sa k -th term, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magagamit

4) Ito ay isang praktikal na interes upang mahanap ang kabuuan ng n mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at magpatuloy sa paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsasanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4; 7; ...

Solusyon:

Ayon sa kondisyon, mayroon tayo

Tukuyin ang hakbang ng pag-unlad

Gamit ang kilalang formula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad

Halimbawa 2. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Solusyon:

Isulat natin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad gamit ang mga formula

Ibinabawas namin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic

Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung miyembro ng pag-unlad

Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang halaga.

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng denominator at ng isa sa mga miyembro nito. Hanapin ang unang miyembro ng progression, ang kabuuan ng 50 miyembro nito na nagsisimula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.

Solusyon:

Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression

at hanapin ang una

Batay sa una, nakita namin ang 50 termino ng pag-unlad

Hanapin ang kabuuan ng bahagi ng progression

at ang kabuuan ng unang 100

Ang kabuuan ng pag-unlad ay 250.

Halimbawa 4.

Hanapin ang bilang ng mga miyembro ng isang arithmetic progression kung:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Solusyon:

Isinulat namin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga miyembro sa kabuuan

Nagsasagawa ng mga pagpapasimple

at kami ang nagpasya quadratic equation

Sa dalawang halaga na natagpuan para sa kondisyon ng problema, ang numero 8 lamang ang angkop. Kaya, ang kabuuan ng unang walong miyembro ng pag-unlad ay 111.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isulat natin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba sa progreso

Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :)

Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, ang panloob na cap-ebidensya ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, ganito: SOOOOO!) Gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan sa mahabang pagpapakilala at diretso sa punto.

Magsimula tayo sa ilang halimbawa. Isaalang-alang ang ilang hanay ng mga numero:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.

Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang hanay ay simpleng magkakasunod na numero, bawat isa ay mas marami kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng hilera nakatayo na mga numero katumbas na ng lima, ngunit ang pagkakaibang ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, ang mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, at $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, i.e. at sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $ \ sqrt (2) $ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).

Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:

Kahulugan. Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik $ d $.

Pagtatalaga: $ \ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) $ - ang mismong pag-unlad, $ d $ - pagkakaiba nito.

At ilan lamang sa mahahalagang komento. Una, lamang maayos pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Hindi ka maaaring muling ayusin o magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring maging may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng aritmetika. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isang walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat, kumbaga, ay nagpapahiwatig na mayroon pa ring ilang mga numero na nangyayari. Walang hanggan marami, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay dumarami at bumababa. Nakita na natin ang dumarami - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). At narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Okay, okay: ang huling halimbawang ito ay maaaring mukhang masyadong kumplikado. But the rest, I think you understand. Samakatuwid, ipapakilala namin ang mga bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:

1. pagtaas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
2. bumababa kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, may mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

May nananatiling isang tanong lamang: paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat ay nakasalalay sa tanda ng numerong $ d $, i.e. pag-unlad ng pagkakaiba:

1. Kung $ d \ gt 0 $, kung gayon ang pag-unlad ay tumataas;
2. Kung $ d \ lt 0 $, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
3. Sa wakas, mayroong kaso $ d = 0 $ - sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero: (1; 1; 1; 1; ...), atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $ d $ para sa tatlong bumababa na pag-unlad na ibinigay sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas ang numero sa kaliwa mula sa numero sa kanan. Magiging ganito ang hitsura:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong mga kaso, ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na higit pa o hindi gaanong nalaman natin ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung ano ang mga katangian ng mga ito.

Mga miyembro ng pag-unlad at paulit-ulit na formula

Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:

\ [\ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kaliwa \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ tama \) \]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng progression. Ang mga ito ay ipinahiwatig ng isang numero: ang unang termino, ang pangalawang termino, atbp.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga katabing miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng pormula:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Sa madaling salita, para mahanap ang $ n $ th term sa progression, kailangan mong malaman ang $ n-1 $ th term at ang $ d $ difference. Ang ganitong pormula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan - lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas nakakalito na formula na binabawasan ang anumang mga kalkulasyon sa unang termino at ang pagkakaiba:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (n-1 \ kanan) d \]

Tiyak na natugunan mo na ang formula na ito. Gustung-gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga reference na libro at reshebnik. At sa anumang makatwirang aklat-aralin sa matematika, isa siya sa mga nauna.

Gayunpaman, iminumungkahi ko na magsanay tayo ng kaunti.

Problema numero 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ if $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang termino $ ((a) _ (1)) = 8 $ at ang pagkakaiba ng progression $ d = -5 $. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $ n = 1 $, $ n = 2 $ at $ n = 3 $:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (1-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (2-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (3-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ dulo (align) \]

Sagot: (8; 3; −2)

Iyon lang! Mangyaring tandaan: ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, hindi maaaring palitan ang $ n = 1 $ - alam na natin ang unang termino. Gayunpaman, sa pagpapalit ng isa, siniguro namin na gumagana ang aming formula kahit sa unang termino. Sa ibang mga kaso, ang lahat ng ito ay bumagsak sa maliit na arithmetic.

Problema numero 2. Isulat ang unang tatlong termino ng pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabing pitong termino ay −50.

Solusyon. Isulat natin ang kondisyon ng problema sa karaniwang mga termino:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ dulo (align) \ kanan. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ tama. \]

Inilagay ko ang sign ng system dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matupad nang sabay-sabay. At ngayon tandaan na kung ibawas natin ang una mula sa pangalawang equation (mayroon tayong karapatang gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50- \ kaliwa (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ dulo (align) \]

Ganyan kami kadaling natagpuan ang pagkakaiba sa pag-unlad! Ito ay nananatiling palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\ [\ begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ dulo (matrix) \]

Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ dulo (align) \]

handa na! Ang problema ay nalutas na.

Sagot: (-34; -35; -36)

Bigyang-pansin ang isang kawili-wiling pag-aari ng pag-unlad na aming natuklasan: kung kukunin namin ang mga terminong $ n $ at $ m $ at ibawas ang mga ito sa isa't isa, pagkatapos ay makukuha namin ang pagkakaiba ng pag-unlad na pinarami ng bilang na $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ kaliwa (n-m \ kanan) \]

Simple pero napaka kapaki-pakinabang na ari-arian, na tiyak na kailangan mong malaman - sa tulong nito maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming problema sa mga pag-unlad. Narito ang isang pangunahing halimbawa:

Problema numero 3. Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $, at kailangan mong hanapin ang $ ((a) _ (15)) $, pagkatapos ay tandaan namin ang sumusunod :

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ dulo (align) \]

Ngunit ayon sa kondisyon $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = $ 6, samakatuwid $ 5d = $ 6, kung saan mayroon tayong:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ dulo (align) \]

Sagot: 20.4

Iyon lang! Hindi namin kailangan na bumuo ng ilang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - lahat ay nalutas sa loob lamang ng ilang linya.

Ngayon isaalang-alang natin ang isa pang uri ng mga gawain - upang makahanap ng mga negatibo at positibong miyembro ng pag-unlad. Hindi lihim na kung ang pag-unlad ay tumaas, habang ang unang termino ay negatibo, pagkatapos ay maya-maya ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At sa kabaligtaran: ang mga miyembro ng bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.

Sa parehong oras, ito ay malayo mula sa laging posible upang hapin ang sandaling ito "head-on", sunud-sunod na dumadaan sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay idinisenyo sa paraang nang hindi nalalaman ang mga pormula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet - matutulog lang kami habang natagpuan namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Problema numero 4. Ilang negatibong termino ang nasa arithmetic progression -38.5; −35.8; ...?

Solusyon. Kaya, $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $, mula sa kung saan agad naming nakita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya sa isang punto ay talagang matitisod tayo sa mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: gaano katagal (i.e. hanggang sa anong natural na numero $ n $) ang negatibiti ng mga termino ay napanatili:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ kaliwa | \ cdot 10 \ tama. \\ & -385 + 27 \ cdot \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ dulo (align) \]

Ang huling linya ay nangangailangan ng paglilinaw. Kaya, alam natin na $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Sa kabilang banda, masisiyahan tayo sa mga integer na halaga lamang ng numero (bukod dito: $ n \ sa \ mathbb (N) $), kaya ang pinakamalaking pinapayagang numero ay eksaktong $ n = 15 $, at sa anumang kaso ay 16.

Problema numero 5. Sa arithmetic progression $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.

Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $ ((a) _ (1)) $. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $ ((a) _ (5)) $ at $ ((a) _ (6)) $, kaya madali nating mahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:

Bilang karagdagan, susubukan naming ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at ang pagkakaiba ayon sa karaniwang formula:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ dulo (align) \]

Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang gawain. Nalaman namin kung anong punto sa aming pagkakasunud-sunod magkakaroon ng mga positibong numero:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ dulo (align) \]

Ang pinakamaliit na integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay 56.

Pakitandaan: sa huling gawain, ang lahat ay nabawasan sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang $ n = 55 $ na opsyon ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, pag-aralan natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na katangian ng mga pag-unlad ng aritmetika, na magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell sa hinaharap. :)

Arithmetic mean at equal indents

Isaalang-alang ang ilang magkakasunod na miyembro ng tumataas na pag-unlad ng aritmetika $ \ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) $. Subukan nating markahan ang mga ito sa linya ng numero:

Mga miyembro ng isang arithmetic progression sa isang number line

Partikular kong binanggit ang mga arbitrary na termino $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, hindi anumang $ ((a) _ (1)) , \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $, atbp. Dahil ang panuntunan, na tatalakayin ko ngayon, ay gumagana nang pareho para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang recursion formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ dulo (align) \]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ dulo (align) \]

Well, ano? At ang katotohanan na ang mga terminong $ ((a) _ (n-1)) $ at $ ((a) _ (n + 1)) $ ay nasa parehong distansya mula sa $ ((a) _ (n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $ d $. Ang parehong ay maaaring sabihin tungkol sa mga miyembro $ ((a) _ (n-2)) $ at $ ((a) _ (n + 2)) $ - sila ay tinanggal din mula sa $ ((a) _ (n) ) $ ang parehong distansya na katumbas ng $ 2d $. Maaari kang magpatuloy nang walang katiyakan, ngunit ang kahulugan ay mahusay na inilalarawan ng larawan.

Ang mga miyembro ng progreso ay nakahiga sa parehong distansya mula sa gitna

Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na mahahanap mo ang $ ((a) _ (n)) $ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Nakagawa kami ng isang mahusay na pahayag: bawat miyembro ng pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng ibig sabihin ng aritmetika ng mga kalapit na termino! Bukod dito: maaari tayong lumihis mula sa ating $ ((a) _ (n)) $ kaliwa at kanan hindi isang hakbang, ngunit $ k $ hakbang - at ang formula ay magiging tama:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $ ((a) _ (150)) $ kung alam natin ang $ ((a) _ (100)) $ at $ ((a) _ (200)) $, dahil $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga problema ang espesyal na "pinatalas" para sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:

Problema numero 6. Hanapin ang lahat ng halaga ng $ x $ kung saan ang mga numerong $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ at $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ ay magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression (sa pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Dahil ang mga ipinahiwatig na numero ay mga miyembro ng pag-unlad, ang arithmetic mean na kondisyon ay nasiyahan para sa kanila: sentral na elemento Ang $ x + 1 $ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga katabing elemento:

\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ dulo (align) \]

Ang resulta ay isang klasikong quadratic equation. Ang mga ugat nito: $ x = 2 $ at $ x = -3 $ - ito ang mga sagot.

Sagot: −3; 2.

Problema numero 7. Hanapin ang mga halagang $$ kung saan ang mga numerong $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ ay gumagawa ng aritmetika na pag-unlad (sa ganoong pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Muli, ipinapahayag namin ang gitnang termino sa mga tuntunin ng arithmetic mean ng mga kalapit na termino:

\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ kanan .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ dulo (align) \]

Muli ang quadratic equation. At muli mayroong dalawang ugat: $ x = 6 $ at $ x = 1 $.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema ay nakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?

Halimbawa, sa problema blg. 6 nakatanggap kami ng mga sagot -3 at 2. Paano malalaman kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin sila at tingnan kung ano ang mangyayari. Ipaalala ko sa iyo na mayroon kaming tatlong numero ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ at $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), na dapat bumuo ng isang pag-unlad ng aritmetika. Palitan ang $ x = -3 $:

\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (align) \]

Mga natanggap na numero -54; −2; Ang 50, na naiiba ng 52, ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $ x = 2 $:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (align) \]

Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Maaaring suriin ng mga interesado ang pangalawang problema sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.

Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling problema, nakatagpo kami ng isa pa kawili-wiling katotohanan, na kailangan ding tandaan:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang ibig sabihin aritmetika muna at ang huli, pagkatapos ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa atin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad, batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo bumaba sa naturang "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan na.

Pagpapangkat at kabuuan ng mga elemento

Bumalik tayo ulit sa number axis. Pansinin natin doon ang ilang miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. marami pang miyembro:

Ang linya ng numero ay may 6 na elemento na minarkahan

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (n)) $ at $ d $, at ang "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (k)) $ at $ d $. Ito ay napaka-simple:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ dulo (align) \]

Ngayon, tandaan na ang mga sumusunod na kabuuan ay pantay-pantay:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (align) \]

Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang simula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang na $ S $, at pagkatapos ay magsisimula tayong maglakad mula sa mga elementong ito sa magkasalungat na direksyon (patungo sa isa't isa o kabaligtaran upang alisin), pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$S $. Ito ay maaaring pinaka-malinaw na kinakatawan sa graphic na paraan:

Ang pantay na indentasyon ay nagbibigay ng pantay na halaga

Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magbibigay-daan sa amin upang malutas ang mga problema sa panimula nang higit pa mataas na lebel mga kahirapan kaysa sa mga napag-usapan namin sa itaas. Halimbawa, tulad ng:

Problema numero 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isulat natin ang lahat ng nalalaman natin:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (align) \]

Kaya, hindi namin alam ang pagkakaiba ng pag-unlad $ d $. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay itatayo sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ kaliwa (d + 66 \ kanan) \ cdot \ kaliwa (d + 6 \ kanan). \ end (align) \]

Para sa mga nasa tangke: Kinuha ko ang karaniwang kadahilanan ng 11 mula sa pangalawang panaklong. Kaya, ang hinahangad na produkto ay isang quadratic function na may paggalang sa variable na $ d $. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung palawakin natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent sa nangungunang termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-usap tayo sa isang parabola na may mga sanga sa itaas:

iskedyul quadratic function- parabola

Tandaan: pinakamababang halaga ang parabola na ito ay tumatagal sa tuktok nito na may abscissa $ ((d) _ (0)) $. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito sa pamamagitan ng karaniwang pamamaraan(may formula $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), ngunit mas makatwirang mapansin na ang nais na vertex ay nasa axis ng symmetry ng parabola, kaya ang puntong $ ((d) _ (0)) $ equidistant mula sa mga ugat ng equation $ f \ left (d \ right) = 0 $:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ kaliwa (d + 66 \ kanan) \ cdot \ kaliwa (d + 6 \ kanan) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ dulo (align) \]

Kaya naman hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng ibig sabihin mga numero ng aritmetika−66 at −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]

Ano ang ibinibigay sa atin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, ang kinakailangang produkto ay kumukuha ng pinakamaliit na halaga (nga pala, hindi pa namin binibilang ang $ ((y) _ (\ min)) $ - hindi namin ito kailangan). Kasabay nito, ang bilang na ito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng paunang pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)

Sagot: −36

Problema numero 9. Magpasok ng tatlong numero sa pagitan ng mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at $ - \ frac (1) (6) $ upang ang mga ito kasama ng mga ibinigay na numero ay bumuo ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Solusyon. Karaniwan, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, na alam na ang una at huling mga numero. Tukuyin natin ang mga nawawalang numero sa pamamagitan ng mga variable na $ x $, $ y $ at $ z $:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]

Tandaan na ang bilang na $ y $ ay ang "gitna" ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa parehong mga numerong $ x $ at $ z $, at mula sa mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at $ - \ frac (1) ( 6) $. At kung sa ngayon ay hindi tayo makakakuha ng $ y $ mula sa mga numerong $ x $ at $ z $, kung gayon ang sitwasyon ay iba sa mga dulo ng pag-unlad. Pag-alala sa ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $ y $, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $ x $ ay nasa pagitan ng mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at ang $ y = - \ frac (1) (3) $ na kakahanap lang. kaya lang

Nangangatuwiran din, nakita namin ang natitirang numero:

handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Problema numero 10. Magpasok ng ilang numero sa pagitan ng mga numero 2 at 42, na kasama ng mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam mo na ang kabuuan ng una, pangalawa at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas mahirap na gawain, na, gayunpaman, ay nalutas ayon sa parehong pamamaraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng ibig sabihin ng aritmetika. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang ilalagay. Samakatuwid, para sa katiyakan, ipagpalagay natin na pagkatapos ipasok ang lahat ay magkakaroon ng eksaktong $ n $ na mga numero, at ang una sa mga ito ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin bilang:

\ [\ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kaliwa \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ kanan \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $ ((a) _ (2)) $ at $ ((a) _ (n-1)) $ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa, ibig sabihin... sa gitna ng pagkakasunod-sunod. Ibig sabihin nito

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Ngunit ang expression na nakasulat sa itaas ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ kaliwa (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ kanan) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ dulo (align) \]

Alam ang $ ((a) _ (3)) $ at $ ((a) _ (1)) $, madali nating mahahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ kaliwa (3-1 \ kanan) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ dulo (align) \]

Ito ay nananatiling lamang upang mahanap ang iba pang mga miyembro:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ dulo (align) \]

Kaya, nasa ika-9 na hakbang ay pupunta tayo sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang numero 42. Sa kabuuan, kinakailangan na magpasok lamang ng 7 numero: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Mga problema sa salita sa mga pag-unlad

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang ilang medyo simpleng gawain. Well, gaano kasimple: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring mukhang isang lata. Gayunpaman, ito ay tiyak na mga problema na makikita sa OGE at USE sa matematika, kaya inirerekomenda ko na pamilyar ka sa kanila.

Problema numero 11. Ang brigada ay gumawa ng 62 bahagi noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay gumawa ito ng 14 na mas maraming bahagi kaysa sa nauna. Ilang bahagi ang ginawa ng pangkat noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi, na naka-iskedyul ayon sa buwan, ay kumakatawan sa isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. Bukod dito:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 14. \\ \ dulo (align) \]

Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Dahil dito, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.

Problema numero 12. Ang bookbinding workshop ay nag-bound ng 216 na libro noong Enero, at bawat susunod na buwan ay nag-bound ito ng 4 pang libro kaysa sa nauna. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat pare-pareho:

$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 4. \\ \ dulo (align) $

Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya naghahanap kami ng $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.

Buweno, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: matagumpay mong natapos ang "Young Fighter Course" sa mga pag-unlad ng aritmetika. Maaari kang ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad, pati na rin ang mahalaga at lubhang kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula dito.

Unang antas

Arithmetic progression. Detalyadong teorya na may mga halimbawa (2019)

Numerical sequence

Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami ng gusto mo (sa aming kaso, sila). Gaano man karaming numero ang ating isusulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Numerical sequence
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng -th na numero) ay palaging isa.
Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-ka miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito:.

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero na ito ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan nang higit pa. malawak na kahulugan tulad ng isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng numero. Ang pangalang "aritmetika" ay dinala mula sa teorya ng tuluy-tuloy na proporsyon, na inookupahan ng mga sinaunang Griyego.

Ito ay isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito ay katumbas ng nauna, idinagdag sa parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika at tinutukoy ng.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Naiintindihan? Ihambing natin ang ating mga sagot:
Ay isang pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-miyembro nito. Umiiral dalawa ang paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari nating idagdag ang dating halaga ng bilang ng pag-unlad hanggang sa makarating tayo sa ika-ika termino ng pag-unlad. Buti na lang wala tayong masyadong ibuod - tatlong value lang:

Kaya, ang ika-miyembro ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin tayo ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi tayo magkakamali kapag nagdadagdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi mo kailangang idagdag ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang iginuhit na larawan ... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung paano idinaragdag ang halaga ng ika-ka miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na ito:


Sa ibang salita:

Subukang hanapin sa iyong sarili sa ganitong paraan ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng aritmetika.

Kinakalkula? Ihambing ang iyong mga tala sa sagot:

Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang paraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga miyembro ng pag-unlad ng arithmetic sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dadalhin natin ito pangkalahatang anyo at makakuha ng:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay pataas at kung minsan ay bumababa.

Paakyat- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga miyembro ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Bumababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga miyembro ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Tingnan natin ito sa pagsasanay.
Binigyan tayo ng arithmetic progression na binubuo ng mga sumusunod na numero: Suriin natin kung ano ang lalabas sa ika-th number ng arithmetic progression kung gagamitin natin ang ating formula para kalkulahin ito:

Simula noon:

Kaya, tiniyak namin na ang formula ay gumagana sa parehong pagpapababa at pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika.
Subukang hanapin nang mag-isa ang ika at ika-isang termino ng pag-unlad ng aritmetika na ito.

Ihambing natin ang mga resultang nakuha:

Arithmetic progression property

Palubhain natin ang gawain - kukunin natin ang ari-arian ng pag-unlad ng aritmetika.
Sabihin nating binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali, sabihin mo at magsimulang magbilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, a, pagkatapos:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Aminin mo, may pagkakataong magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin, posible bang malutas ang problemang ito sa isang aksyon gamit ang anumang formula? Siyempre, oo, at siya ang susubukan naming bawiin ngayon.

Tukuyin natin ang kinakailangang termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, alam natin ang pormula para sa paghahanap nito - ito ang parehong pormula na hinango natin sa simula:
, pagkatapos:

• ang dating miyembro ng progression ay:
• ang susunod na miyembro ng progression ay:

Ibuod natin ang nauna at kasunod na mga miyembro ng progression:

Lumalabas na ang kabuuan ng nauna at kasunod na mga miyembro ng progression ay ang dobleng halaga ng miyembro ng progression na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang miyembro ng progression na may alam na dati at sunud-sunod na mga halaga, kinakailangan na idagdag ang mga ito at hatiin sa.

Ayun, pareho kami ng number. Ayusin natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, dahil hindi ito mahirap sa lahat.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Mayroon lamang isang pormula na natitira upang matutunan, na, ayon sa alamat, ay madaling hinihinuha para sa kanyang sarili ng isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, ang "hari ng mga mathematician" - Karl Gauss ...

Noong si Karl Gauss ay 9 na taong gulang, ang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga mag-aaral sa ibang mga baitang, ay nagtanong ng sumusunod na problema sa aralin: “Bilangin ang kabuuan ng lahat natural na mga numero mula sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama ". Isipin ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga estudyante (ito ay si Karl Gauss) ay nagbigay ng tamang sagot sa problema sa isang minuto, habang ang karamihan sa mga kaklase ng pangahas, pagkatapos ng mahabang kalkulasyon, ay nakatanggap ng maling resulta ...

Napansin ng batang si Karl Gauss ang isang tiyak na pattern na madali mong mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong aritmetikong pag-unlad na binubuo ng -ika miyembro: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga ibinigay na miyembro ng pag-unlad ng aritmetika. Siyempre, maaari nating manu-manong buod ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung sa gawain ay kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga miyembro nito, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Ilarawan natin ang ibinigay na pag-unlad. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.


Nasubukan mo na ba? Ano ang iyong napansin? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sabihin sa akin, gaano karaming mga pares ang mayroon sa ibinigay na pag-unlad? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang miyembro ng isang arithmetic progression ay pantay, at magkatulad na magkaparehong mga pares, nakuha namin na ang kabuuang kabuuan ay:
.
Kaya, ang pormula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay ang mga sumusunod:

Sa ilang mga problema, hindi namin alam ang ika-termino, ngunit alam namin ang pagkakaiba sa pag-unlad. Subukang palitan sa pormula ang kabuuan, ang pormula ng ika-termino.
Anong ginawa mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problemang ibinigay kay Karl Gauss: kalkulahin ang iyong sarili kung ano ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th, at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th.

Magkano ang nakuha mo?
Nalaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga miyembro ay pantay, at ang kabuuan ng mga miyembro. Ganyan ka ba nagdesisyon?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay pinatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ang mga matalinong tao ay gumagamit ng mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika sa sukdulan.
Halimbawa, isipin Sinaunang Ehipto at ang pinaka-ambisyoso na lugar ng pagtatayo noong panahong iyon - ang pagtatayo ng pyramid ... Ang pigura ay nagpapakita ng isang bahagi nito.

Nasaan ang progression dito na sinasabi mo? Tingnang mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.


Hindi ba ito isang pag-unlad ng aritmetika? Kalkulahin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana ay hindi ka magbilang sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng iyong daliri sa monitor, naaalala mo ba ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng aritmetika?

Sa kasong ito, ang pag-unlad ay ganito ang hitsura:.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang bilang ng mga miyembro ng arithmetic progression.
Ipalit natin ang ating data sa mga huling formula (bilangin natin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mong kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Nagsama ba ito? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pag-eehersisyo

Mga gawain:

1. Si Masha ay nagkakaayos na sa tag-araw. Araw-araw ay dinaragdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses mag-squat si Masha sa mga linggo, kung sa unang ehersisyo ay nag-squats siya.
2. Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
3. Kapag nag-iimbak ng mga troso, ang mga magtotroso ay isinalansan ang mga ito sa paraang ang bawat isa itaas na layer naglalaman ng isang log na mas mababa kaysa sa nauna. Gaano karaming mga troso ang nasa isang pagmamason, kung ang mga troso ay nagsisilbing batayan ng pagmamason.

Mga sagot:

1. Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng arithmetic. Sa kasong ito
   (linggo = araw).

   Sagot: Pagkatapos ng dalawang linggo, dapat maglupasay si Masha isang beses sa isang araw.

2. Unang odd na numero, huling numero.
   Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
   Ang bilang ng mga kakaibang numero sa ay kalahati, gayunpaman, susuriin natin ang katotohanang ito gamit ang formula para sa paghahanap ng -th term ng isang pag-unlad ng aritmetika:

   Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
   Palitan ang magagamit na data sa formula:

   Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay katumbas ng.

3. Alalahanin natin ang problema sa pyramid. Para sa aming kaso, a, dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, pagkatapos lamang sa isang bungkos ng mga layer, iyon ay.
   I-substitute natin ang data sa formula:

   Sagot: May mga troso sa pagmamason.

I-summarize natin

1. - isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Maaari itong pataas at pababa.
2. Paghahanap ng formula-th miyembro ng arithmetic progression ay nakasulat sa pamamagitan ng formula -, kung saan ay ang bilang ng mga numero sa progression.
3. Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.
4. Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan sa dalawang paraan:
   
   , kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. AVERAGE LEVEL

Numerical sequence

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami hangga't gusto mo. Ngunit palagi mong masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, iyon ay, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Numerical sequence ay isang hanay ng mga numero, bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at ang isa lamang. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-ka miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito:.

Ito ay lubos na maginhawa kung ang ika-kataga ng pagkakasunud-sunod ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

nagtatakda ng pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba). O (, pagkakaiba).

Nth term formula

Tinatawag namin ang paulit-ulit na pormula kung saan upang malaman ang ika-nasa miyembro, kailangan mong malaman ang nauna o ilang nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-kataga ng pag-unlad gamit ang gayong formula, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan. Pagkatapos:

Well, ano ang formula ngayon?

Sa bawat linyang idinaragdag natin, pinarami ng ilang numero. Para saan? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas maginhawa ngayon, tama? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-unlad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-n na termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang termino ay pantay. Ano ang pagkakaiba? At narito kung ano:

(ito ay dahil ito ay tinatawag na pagkakaiba, na katumbas ng pagkakaiba ng magkakasunod na miyembro ng pag-unlad).

Kaya ang formula ay:

Kung gayon ang ika-daang termino ay:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Karl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling mga numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at ang huli ngunit ang isa ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at pangatlo mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Gaano karaming mga pares ang magkakaroon? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng mga numero, iyon ay. Kaya,

Ang pangkalahatang formula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat dalawang-digit na numero, maramihan.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay. Ang bawat susunod ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nakaraang numero. Kaya, ang mga numero na interesado kaming bumuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Ang formula ng ika-apat na termino para sa pag-unlad na ito ay:

Ilang miyembro ang nasa progress kung lahat sila ay kailangang double digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino sa progression. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Araw-araw, ang atleta ay tumatakbo nang mas m kaysa sa nakaraang araw. Ilang kilometro ang tatakbo niya sa mga linggo kung tumakbo siya ng km m sa unang araw?
2. Ang isang siklista ay nagmamaneho ng mas maraming kilometro araw-araw kaysa sa nauna. Sa unang araw, nagmaneho siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang maglakbay upang masakop ang km? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng paglalakbay?
3. Ang presyo ng refrigerator sa isang tindahan ay bumababa ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng refrigerator na nabawasan bawat taon, kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay ibinebenta para sa rubles.

Mga sagot:

1. Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang miyembro ng pag-unlad na ito:
   .
   Sagot:
2. Ito ay ibinigay dito:, ito ay kinakailangan upang mahanap.
   Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
   .
   Palitan ang mga halaga:

   Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot ay.
   Kalkulahin natin ang distansyang nilakbay para sa huling araw gamit ang formula ng ika-termino:
   (km).
   Sagot:

3. Ibinigay:. Hanapin: .
   Hindi ito maaaring maging mas madali:
   (kuskusin).
   Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Ito ay isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring pataas () at bumababa ().

Halimbawa:

Ang formula para sa paghahanap ng n-th term ng isang arithmetic progression

isinulat ng formula, kung saan ang bilang ng mga numero sa pag-unlad.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Binibigyang-daan ka nitong madaling makahanap ng miyembro ng progression kung kilala ang mga kalapit na miyembro nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang halaga:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

May nag-iingat sa salitang "pag-unlad", bilang isang napakakomplikadong termino mula sa mga sangay ng mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng metro ng taxi (kung saan nananatili pa rin ang mga ito). At upang maunawaan ang kakanyahan (at sa matematika ay walang mas mahalaga kaysa sa "pag-unawa sa kakanyahan") ng pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay hindi napakahirap, na nasuri ang ilang mga elementarya na konsepto.

Pagkakasunod-sunod ng numero sa matematika

Nakaugalian na ang pangalan ng isang serye ng mga numero sa pamamagitan ng isang numerical sequence, na ang bawat isa ay may sariling numero.

a 1 - ang unang miyembro ng sequence;

at 2 ang pangalawang miyembro ng sequence;

at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;

at ang n ay ang ika-na miyembro ng sequence;

Gayunpaman, hindi kami interesado sa anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero. Itutuon natin ang ating pansin sa numerical sequence, kung saan ang halaga ng ika-n na termino ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang dependence na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa madaling salita: ang numerical value ng n-th number ay ilang function ng n.

a - halaga ng isang miyembro ng isang numerical sequence;

n ang serial number nito;

Ang f (n) ay isang function kung saan ang ordinal sa numerical sequence n ay isang argumento.

Kahulugan

Nakaugalian na tawagan ang isang pag-unlad ng aritmetika bilang isang numerical sequence kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n miyembro ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:

a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;

a n + 1 - ang formula para sa susunod na numero;

d - pagkakaiba (isang tiyak na numero).

Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d> 0), kung gayon ang bawat kasunod na termino ng seryeng isinasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna, at ang gayong pag-unlad ng aritmetika ay tataas.

Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "pataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.

Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Ang halaga ng tinukoy na miyembro

Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng sinumang di-makatwirang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. Magagawa mo ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng sunud-sunod na mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, simula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang landas na ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, ito ay kinakailangan upang mahanap ang kahulugan ng limang-libo o walong-milyong miyembro. Ang tradisyonal na pagkalkula ay tatagal ng mahabang panahon. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring siyasatin gamit ang mga partikular na formula. Mayroon ding pormula para sa ika-n na termino: ang halaga ng sinumang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring tukuyin bilang ang kabuuan ng unang termino ng pag-unlad na may pagkakaiba ng pag-unlad, na pinarami ng bilang ng hinahanap na termino, na nabawasan ng isa.

Ang formula ay pangkalahatan para sa parehong pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na miyembro

Lutasin natin ang sumusunod na suliranin sa paghahanap ng halaga ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Kundisyon: mayroong pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:

Ang unang termino sa sequence ay 3;

Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.

Takdang-aralin: kailangan mong hanapin ang halaga ng 214 na miyembro

Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na termino, ginagamit namin ang formula:

a (n) = a1 + d (n-1)

Ang pagpapalit ng data mula sa kondisyon ng problema sa expression, mayroon kaming:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Sagot: Ang ika-214 na termino sa sequence ay 258.6.

Ang mga pakinabang ng paraan ng pagkalkula na ito ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.

Kabuuan ng ibinigay na bilang ng mga miyembro

Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng isang tiyak na bahagi nito. Hindi rin ito nangangailangan ng pagkalkula ng mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay pagbubuod. Ang pamamaraang ito ay naaangkop kung ang bilang ng mga terminong makikita ay maliit. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng arithmetic progression mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n miyembro, na pinarami ng bilang ng miyembro n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng nth term ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makukuha natin:

Halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang unang termino sa sequence ay zero;

Ang pagkakaiba ay 0.5.

Sa problema, kailangan mong matukoy ang kabuuan ng mga miyembro ng serye mula ika-56 hanggang 101.

Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa pagtukoy ng kabuuan ng pag-unlad:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 mga miyembro ng pag-unlad, pinapalitan ang data ng kanilang mga kondisyon ng aming problema sa formula:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525

Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad mula ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5

Kaya, ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Isang halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng pag-unlad ng arithmetic

Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunud-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang isang halimbawa.

Ang pagsakay sa isang taxi (na kinabibilangan ng 3 km ng pagtakbo) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles / km. Layo ng paglalakbay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.

1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa landing price.

30 - 3 = 27 km.

2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi isang pagsusuri ng isang serye ng numero ng aritmetika.

Numero ng miyembro - ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (binawasan ang unang tatlo).

Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.

Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 p.

Pagkakaiba sa progreso d = 22 p.

ang numero kung saan interesado kami ay ang halaga ng (27 + 1) -th term ng arithmetic progression - ang counter reading sa dulo ng ika-27 kilometro ay 27.999… = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang arbitraryong mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang mga numerical na sequence. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa luminary. Bilang karagdagan, ang iba't ibang mga numerical na serye ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na sangay ng matematika.

Ang isa pang uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay geometric

Ang pag-unlad ng geometriko ay nailalarawan sa pamamagitan ng malaki, kung ihahambing sa arithmetic, mga rate ng pagbabago. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, medisina, madalas nilang sinasabi na ang proseso ay lumalaki nang malaki upang ipakita ang mataas na rate ng pagkalat ng isang kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya.

Ang Nth term ng geometric numerical series ay naiiba mula sa nauna dahil ito ay pinarami ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang termino ay 1, ang denominator ay 2, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng geometric progression;

b n + 1 - ang formula ng susunod na termino ng geometric progression;

q ay ang denominator ng isang geometric progression (constant number).

Kung ang graph ng pag-unlad ng aritmetika ay isang tuwid na linya, kung gayon ang geometriko ay nagpinta ng isang bahagyang naiibang larawan:

Tulad ng sa kaso ng arithmetic, ang isang geometric na pag-unlad ay may formula para sa halaga ng isang arbitrary na termino. Anumang n-th term ng geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino ng denominator ng progression sa kapangyarihan ng n, na binabawasan ng isa:

Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin ang ika-5 termino ng progression

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga miyembro ay kinakalkula sa parehong paraan gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-n na termino ng pag-unlad at ang denominator nito at ang unang termino ng pag-unlad, na hinati ng denominator na binawasan ng isa:

Kung papalitan ang b n gamit ang formula na isinasaalang-alang sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n termino ng itinuturing na numerical series ay kukuha ng anyo:

Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakdang katumbas ng 3. Hanapin ang kabuuan ng unang walong termino.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280