Paano mahanap ang n sa pag-unlad ng aritmetika. Kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Arithmetic progression tinatawag na pagkakasunod-sunod ng mga numero (mga miyembro ng isang progression)

Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.

Kaya, ang pagtatakda ng hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito sa pamamagitan ng formula

Ari-arian pag-unlad ng aritmetika

1) Ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nakaraan at susunod na miyembro ng progression

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng katabing odd (even) na mga miyembro ng progression ay katumbas ng termino sa pagitan nila, ang sequence na ito ng mga numero ay isang arithmetic progression. Pinapadali ng pahayag na ito na suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong i-verify kung isusulat namin ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign

Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang pasimplehin ang mga pagkalkula sa mga problema.

2) Ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula ng formula

Tandaan na mabuti ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay kailangang-kailangan para sa mga kalkulasyon at medyo karaniwan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit bahagi ng sequence simula sa k -th term, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magiging kapaki-pakinabang.

4) Isang praktikal na interes na hanapin ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at magpatuloy sa paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsasanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4; 7; ...

Solusyon:

Ayon sa kondisyon, mayroon tayo

Tukuyin ang hakbang ng pag-unlad

Gamit ang kilalang formula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad

Halimbawa 2. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Solusyon:

Isulat natin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad gamit ang mga formula

Ibinabawas namin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta, nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic

Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung miyembro ng pag-unlad

Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang dami.

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng denominator at ng isa sa mga miyembro nito. Hanapin ang unang miyembro ng progression, ang kabuuan ng 50 miyembro nito na nagsisimula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.

Solusyon:

Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression

at hanapin ang una

Batay sa una, nakita namin ang 50 termino ng pag-unlad

Hanapin ang kabuuan ng bahagi ng progression

at ang kabuuan ng unang 100

Ang kabuuan ng pag-unlad ay 250.

Halimbawa 4.

Hanapin ang bilang ng mga miyembro ng isang arithmetic progression kung:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Solusyon:

Isinulat namin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga miyembro sa kabuuan

Nagsasagawa ng mga pagpapasimple

at kami ang nagpasya quadratic equation

Sa dalawang halaga na natagpuan para sa kondisyon ng problema, ang numero 8 lamang ang angkop. Kaya, ang kabuuan ng unang walong miyembro ng pag-unlad ay 111.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isulat natin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba sa progreso

Uri ng aralin: pag-aaral ng bagong materyal.

Layunin ng aralin:

pagpapalawak at pagpapalalim ng mga ideya ng mga mag-aaral tungkol sa mga suliraning nalutas gamit ang pag-unlad ng arithmetic; organisasyon ng aktibidad sa paghahanap ng mga mag-aaral kapag kumukuha ng pormula para sa kabuuan ng unang n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic;
pag-unlad ng mga kasanayan upang malayang makakuha ng bagong kaalaman, upang magamit ang nakuha na kaalaman upang makamit ang itinakdang gawain;
ang pag-unlad ng pagnanais at pangangailangan na gawing pangkalahatan ang mga katotohanang nakuha, ang pag-unlad ng kalayaan.

Mga gawain:

i-generalize at i-systematize ang umiiral na kaalaman sa paksang "Arithmetic progression";
kumuha ng mga formula para sa pagkalkula ng kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic;
upang ituro kung paano ilapat ang mga nakuhang pormula sa paglutas ng iba't ibang problema;
upang maakit ang atensyon ng mga mag-aaral sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag hinahanap ang halaga ng isang numeric na expression.

Kagamitan:

mga card na may mga takdang-aralin para sa trabaho sa mga grupo at pares;
papel ng pagsusuri;
pagtatanghal"Aritmetikong pag-unlad".

I. Pag-update ng mga pangunahing kaalaman.

1. Pansariling gawain dalawahan.

1st option:

Magbigay ng kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Isulat ang umuulit na formula na tumutukoy sa pag-unlad ng arithmetic. Hello halimbawa ng arithmetic progression at ipahiwatig ang pagkakaiba nito.

2nd option:

Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng pag-unlad ng arithmetic. Hanapin ang ika-100 termino ng pag-unlad ng arithmetic ( isang n}: 2, 5, 8 …
Sa oras na ito, dalawang estudyante sa likod ng pisara ang naghahanda ng mga sagot sa parehong mga tanong.
Sinusuri ng mga mag-aaral ang gawain ng kapareha laban sa pisara. (Ibinigay ang mga sagutang papel).

2. sandali ng laro.

Ehersisyo 1.

Guro. Nasa isip ko ang ilang pag-unlad ng arithmetic. Tanungin mo lang ako ng dalawang katanungan upang pagkatapos ng mga sagot ay mabilis mong pangalanan ang ika-7 termino ng pag-unlad na ito. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Mga tanong ng estudyante.

Ano ang ikaanim na termino sa pag-unlad at ano ang pagkakaiba?
Ano ang ikawalong termino sa pag-unlad at ano ang pagkakaiba?

Kung wala nang mga katanungan, maaari silang pasiglahin ng guro - "pagbawal" sa d (pagkakaiba), iyon ay, hindi pinapayagan na magtanong kung ano ang pagkakaiba. Maaari kang magtanong: ano ang ika-6 na termino ng pag-unlad at ano ang ika-8 termino ng pag-unlad?

Gawain 2.

Mayroong 20 numero na nakasulat sa pisara: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Nakatalikod ang guro sa pisara. Tinatawagan ng mga estudyante ang numero ng numero, at agad na tinawag ng guro ang numero mismo. Ipaliwanag kung paano ko ito ginagawa?

Naaalala ng guro ang pormula para sa ika-1 termino a n = 3n - 2 at, pinapalitan ang ibinigay na mga halaga ng n, hinahanap ang kaukulang mga halaga isang n.

II. Pahayag ng problemang pang-edukasyon.

Iminumungkahi kong lutasin ang isang sinaunang problema noong ika-2 milenyo BC, na matatagpuan sa Egyptian papyri.

Gawain:"Hayaan itong sabihin sa iyo: hatiin ang 10 takal ng barley sa pagitan ng 10 tao, ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat tao at ng kanyang kapwa ay katumbas ng 1/8 ng sukat."

Paano nauugnay ang gawaing ito sa paksa ng pag-unlad ng aritmetika? (Ang bawat susunod ay makakakuha ng 1/8 ng isang sukat na higit pa, na nangangahulugang ang pagkakaiba d = 1/8, 10 tao, na nangangahulugang n = 10.)
Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng numero 10? (Ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng progression.)
Ano pa ang kailangan mong malaman upang maging madali at simple ang paghahati ng barley ayon sa kondisyon ng gawain? (Ang unang termino sa pag-unlad.)

Layunin ng aralin- pagkuha ng dependence ng kabuuan ng mga miyembro ng progression sa kanilang numero, ang unang termino at ang pagkakaiba, at pagsuri kung ang problema ay nalutas nang tama noong unang panahon.

Bago iguhit ang konklusyon ng pormula, tingnan natin kung paano nalutas ng mga sinaunang Egyptian ang problema.

At nalutas nila ito tulad ng sumusunod:

1) 10 sukat: 10 = 1 sukat - average na bahagi;
2) 1 sukat ∙ = 2 sukat - nadoble karaniwan ibahagi.
Nadoble karaniwan ang bahagi ay ang kabuuan ng mga bahagi ng ika-5 at ika-6 na tao.
3) 2 sukat - 1/8 sukat = 1 7/8 sukat - dalawang beses ang bahagi ng ikalimang tao.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ang bahagi ng ikalima; at iba pa, mahahanap mo ang bahagi ng bawat nauna at kasunod na tao.

Nakukuha namin ang pagkakasunud-sunod:

III. Ang solusyon sa problema.

1. Paggawa sa mga pangkat

Pangkat I: Hanapin ang kabuuan ng 20 na magkakasunod natural na mga numero: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Sa pangkalahatan

II pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 100 (The Legend of the Little Gauss).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Output:

III pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 21.

Solusyon: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Output:

Ika-IV na pangkat: Hanapin ang kabuuan ng mga natural na numero mula 1 hanggang 101.

Output:

Ang pamamaraang ito para sa paglutas ng mga itinuturing na problema ay tinatawag na "Gauss Method".

2. Ang bawat pangkat ay naglalahad ng solusyon sa suliranin sa pisara.

3. Paglalahat ng mga iminungkahing solusyon para sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Hanapin natin ang kabuuan na ito sa pamamagitan ng pangangatwiran sa katulad na paraan:

4. Nalutas na ba natin ang gawaing kinakaharap?(Oo.)

IV. Pangunahing pag-unawa at paggamit ng mga nakuhang formula sa paglutas ng mga problema.

1. Sinusuri ang solusyon sa isang lumang problema gamit ang isang formula.

2. Paglalapat ng pormula sa paglutas ng iba't ibang suliranin.

3. Mga pagsasanay upang mabuo ang kakayahang ilapat ang formula sa paglutas ng mga problema.

A) Blg. 613

binigay :( a n) - pag-unlad ng aritmetika;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Hanapin: S 1500

Solusyon: , a 1 = 1, isang 1500 = 1500,

B) Ibinigay: ( a n) - pag-unlad ng aritmetika;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Hanapin: n
Solusyon:

V. Independiyenteng trabaho na may mutual na pagpapatunay.

Nagtrabaho si Denis bilang isang courier. Sa unang buwan, ang kanyang suweldo ay 200 rubles, sa bawat kasunod na buwan ay tumaas ito ng 30 rubles. Magkano ang kinita niya sa isang taon?

binigay :( a n) - pag-unlad ng aritmetika;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Hanapin: S 12
Solusyon:

Sagot: Nakatanggap si Denis ng 4380 rubles sa isang taon.

Vi. Takdang-aralin briefing.

p. 4.3 - alamin ang derivation ng formula.
№№ 585, 623 .
Lumikha ng isang problema na malulutas gamit ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Vii. Pagbubuod ng aralin.

1. Evaluation sheet

2. Ipagpatuloy ang mga pangungusap

Ngayon sa aralin na natutunan ko ...
Mga natutunang formula...
Sa tingin ko …

3. Mahahanap mo ba ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 500? Anong paraan ang iyong gagamitin upang malutas ang problemang ito?

Bibliograpiya.

1. Algebra, ika-9 na baitang. Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon. Ed. G.V. Dorofeeva. M .: "Edukasyon", 2009.

Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :)

Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, ang panloob na cap-ebidensya ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, ganito: SOOOOO!) Gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan ng mahabang pagpapakilala at agad na bumaba sa negosyo.

Magsimula tayo sa ilang halimbawa. Isaalang-alang ang ilang hanay ng mga numero:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.

Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang set ay simpleng magkakasunod na mga numero, bawat isa ay mas marami kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng hilera nakatayo na mga numero katumbas na ng lima, ngunit ang pagkakaibang ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, ang mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, at $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, i.e. at sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $ \ sqrt (2) $ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).

Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag lamang na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:

Kahulugan. Ang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod ay naiiba mula sa nauna sa eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik $ d $.

Pagtatalaga: $ \ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) $ - ang mismong pag-unlad, $ d $ - pagkakaiba nito.

At ilan lamang sa mahahalagang komento. Una, lamang maayos pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Hindi ka maaaring muling ayusin o magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng arithmetic. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isang walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat, kumbaga, ay nagpapahiwatig na mayroon pa ring ilang mga numero na nangyayari. Walang hanggan marami, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay dumarami at bumababa. Nakita na natin ang dumaraming mga - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). At narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Okay, okay: ang huling halimbawang ito ay maaaring mukhang masyadong kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, ay malinaw sa iyo. Samakatuwid, magpapakilala kami ng mga bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:

pataas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;

bumababa kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, may mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

May nananatiling isang tanong lamang: paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat ay nakasalalay sa pag-sign ng numerong $ d $, i.e. pag-unlad ng pagkakaiba:

Kung $ d \ gt 0 $, kung gayon ang pag-unlad ay tumataas;
Kung $ d \ lt 0 $, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
Sa wakas, mayroong kaso $ d = 0 $ - sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero: (1; 1; 1; 1; ...), atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $ d $ para sa tatlong bumababa na pag-unlad na ibinigay sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas ang numero sa kaliwa mula sa numero sa kanan. Magiging ganito ang hitsura:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong mga kaso, ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na higit pa o mas kaunti na nating naisip ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung ano ang mga katangian ng mga ito.

Mga miyembro ng pag-unlad at paulit-ulit na formula

Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:

\ [\ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kaliwa \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ tama \) \]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng progression. Ang mga ito ay ipinahiwatig ng isang numero: ang unang termino, ang pangalawang termino, atbp.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga katabing miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng pormula:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $ n $ th term sa progression, kailangan mong malaman ang $ n-1 $ th term at ang $ d $ na pagkakaiba. Ang ganitong pormula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan - lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas nakakalito na formula na binabawasan ang anumang mga kalkulasyon sa unang termino at ang pagkakaiba:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (n-1 \ kanan) d \]

Tiyak na natugunan mo na ang formula na ito. Gustung-gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga sangguniang aklat at reshebnik. At sa anumang makabuluhang aklat-aralin sa matematika, isa siya sa mga nauna.

Gayunpaman, iminumungkahi ko na magsanay tayo ng kaunti.

Problema numero 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ if $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang termino $ ((a) _ (1)) = 8 $ at ang pagkakaiba ng progression $ d = -5 $. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $ n = 1 $, $ n = 2 $ at $ n = 3 $:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (1-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (2-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (3-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ dulo (align) \]

Sagot: (8; 3; −2)

Iyon lang! Pakitandaan: ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, ang $ n = 1 $ ay hindi maaaring palitan - ang unang termino ay alam na natin. Gayunpaman, ang pagpapalit ng isa, tiniyak namin na ang aming formula ay gumagana kahit na para sa unang termino. Sa ibang mga kaso, ang lahat ng ito ay bumagsak sa maliit na arithmetic.

Problema numero 2. Isulat ang unang tatlong termino ng pag-unlad ng arithmetic kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabinpitong termino ay −50.

Solusyon. Isulat natin ang kondisyon ng problema sa karaniwang mga termino:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ dulo (align) \ kanan. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ tama. \]

Inilagay ko ang tanda ng sistema dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matupad nang sabay-sabay. At ngayon tandaan na kung ibawas natin ang una mula sa pangalawang equation (mayroon tayong karapatang gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50- \ kaliwa (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ dulo (align) \]

Ganyan kami kadaling natagpuan ang pagkakaiba sa pag-unlad! Ito ay nananatiling palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\ [\ begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ dulo (matrix) \]

Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ dulo (align) \]

handa na! Ang problema ay nalutas na.

Sagot: (-34; -35; -36)

Bigyang-pansin ang isang kawili-wiling pag-aari ng progression na aming natuklasan: kung kukunin namin ang $ n $ th at $ m $ th terms at ibawas ang mga ito sa isa't isa, makukuha namin ang pagkakaiba ng progression na na-multiply sa bilang na $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ kaliwa (n-m \ kanan) \]

Simple ngunit napaka kapaki-pakinabang na ari-arian, na tiyak na kailangan mong malaman - sa tulong nito, maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming problema sa mga pag-unlad. Narito ang isang pangunahing halimbawa:

Problema numero 3. Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $, at kailangan mong hanapin ang $ ((a) _ (15)) $, pagkatapos ay tandaan namin ang sumusunod :

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ dulo (align) \]

Ngunit ayon sa kondisyon $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = $ 6, samakatuwid $ 5d = $ 6, kung saan mayroon tayong:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ dulo (align) \]

Sagot: 20.4

Iyon lang! Hindi namin kailangan na bumuo ng ilang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - lahat ay nalutas sa loob lamang ng ilang linya.

Ngayon isaalang-alang natin ang isa pang uri ng mga gawain - upang makahanap ng mga negatibo at positibong miyembro ng pag-unlad. Hindi lihim na kung ang pag-unlad ay tumaas, habang ang unang termino ay negatibo, pagkatapos ay maya-maya ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At sa kabaligtaran: ang mga miyembro ng bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.

Sa parehong oras, ito ay malayo mula sa palaging posible upang hapin ang sandaling ito "head-on", sunud-sunod na dumadaan sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay idinisenyo sa paraang nang hindi nalalaman ang mga pormula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet - matutulog lang kami habang nahanap namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Problema numero 4. Ilang negatibong termino ang nasa arithmetic progression -38.5; −35.8; ...?

Solusyon. Kaya, $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $, mula sa kung saan agad naming nakita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya sa isang punto ay talagang matitisod tayo sa mga positibong numero. Ang tanong lang ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: gaano katagal (i.e. hanggang sa anong natural na numero $ n $) ang negatibiti ng mga termino ay napanatili:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ kaliwa | \ cdot 10 \ tama. \\ & -385 + 27 \ cdot \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ dulo (align) \]

Ang huling linya ay nangangailangan ng ilang paliwanag. Kaya, alam natin na $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Sa kabilang banda, masisiyahan tayo sa mga integer na halaga lamang ng numero (bukod dito: $ n \ sa \ mathbb (N) $), kaya ang pinakamalaking pinapayagang numero ay eksaktong $ n = 15 $, at sa anumang kaso ay 16.

Problema numero 5. Sa arithmetic progression $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.

Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $ ((a) _ (1)) $. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $ ((a) _ (5)) $ at $ ((a) _ (6)) $, upang madali nating mahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:

Bilang karagdagan, susubukan naming ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at ang pagkakaiba ayon sa karaniwang formula:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ dulo (align) \]

Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang gawain. Nalaman namin kung saang punto sa aming sequence magkakaroon ng mga positibong numero:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ dulo (align) \]

Ang pinakamaliit na integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay 56.

Pakitandaan: sa huling gawain, ang lahat ay nabawasan sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang $ n = 55 $ na opsyon ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, pag-aralan natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na pag-aari ng mga pag-unlad ng aritmetika, na sa hinaharap ay magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell. :)

Arithmetic mean at equal indents

Isaalang-alang ang ilang magkakasunod na miyembro ng tumataas na pag-unlad ng aritmetika $ \ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) $. Subukan nating markahan ang mga ito sa linya ng numero:

Mga miyembro ng isang arithmetic progression sa isang number line

Partikular kong binanggit ang mga arbitrary na termino $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, hindi anumang $ ((a) _ (1)) , \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $, atbp. Dahil ang panuntunan, na tatalakayin ko ngayon, ay gumagana nang pareho para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang recursion formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ dulo (align) \]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ dulo (align) \]

Well, ano? At ang katotohanan na ang mga terminong $ ((a) _ (n-1)) $ at $ ((a) _ (n + 1)) $ ay nasa parehong distansya mula sa $ ((a) _ (n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $ d $. Ang parehong ay masasabi tungkol sa mga terminong $ ((a) _ (n-2)) $ at $ ((a) _ (n + 2)) $ - inalis din ang mga ito sa $ ((a) _ (n) ) $ ang parehong distansya na katumbas ng $ 2d $. Maaari kang magpatuloy nang walang katiyakan, ngunit ang kahulugan ay mahusay na inilalarawan ng larawan.

Ang mga miyembro ng progreso ay nakahiga sa parehong distansya mula sa gitna

Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na mahahanap mo ang $ ((a) _ (n)) $ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Nahinuha namin ang isang mahusay na pahayag: ang bawat miyembro ng pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng arithmetic mean ng mga kalapit na termino! Bukod dito: maaari tayong lumihis mula sa ating $ ((a) _ (n)) $ kaliwa at kanan hindi isang hakbang, ngunit $ k $ hakbang - at ang formula ay magiging tama:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $ ((a) _ (150)) $ kung alam natin ang $ ((a) _ (100)) $ at $ ((a) _ (200)) $, dahil $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga problema ang espesyal na "pinatalas" para sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:

Problema numero 6. Hanapin ang lahat ng halaga ng $ x $ kung saan ang mga numerong $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ at $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ ay magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression (sa pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Dahil ang mga ipinahiwatig na numero ay mga miyembro ng pag-unlad, ang arithmetic mean na kondisyon ay nasiyahan para sa kanila: sentral na elemento Ang $ x + 1 $ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga katabing elemento:

\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ dulo (align) \]

Ang resulta ay isang klasikong quadratic equation. Ang mga ugat nito: $ x = 2 $ at $ x = -3 $ - ito ang mga sagot.

Sagot: −3; 2.

Problema numero 7. Hanapin ang mga halagang $$ kung saan ang mga numerong $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa ganoong pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Muli, ipinapahayag namin ang gitnang termino sa mga tuntunin ng arithmetic mean ng mga kalapit na termino:

\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ kanan .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ dulo (align) \]

Muli ang quadratic equation. At muli mayroong dalawang ugat: $ x = 6 $ at $ x = 1 $.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema ay nakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?

Halimbawa, sa problema blg. 6 nakatanggap kami ng mga sagot -3 at 2. Paano malalaman kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin ang mga ito sa paunang kundisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon tayong tatlong numero ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ at $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), na dapat bumuo ng aritmetika na pag-unlad. Palitan ang $ x = -3 $:

\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (align) \]

Mga natanggap na numero -54; −2; Ang 50, na naiiba ng 52, ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng arithmetic. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $ x = 2 $:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (align) \]

Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Maaaring suriin ng mga interesado ang pangalawang problema sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.

Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling problema, nakatagpo kami ng isa pa kawili-wiling katotohanan, na kailangan ding tandaan:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang arithmetic mean ng una at ang huli, ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang arithmetic progression.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa amin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad, batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo bumaba sa naturang "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan na.

Pagpapangkat at kabuuan ng mga elemento

Bumalik tayo muli sa number axis. Tandaan natin doon ang ilang miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. marami pang miyembro:

Ang linya ng numero ay may 6 na elemento na minarkahan

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (n)) $ at $ d $, at "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (k)) $ at $ d $ . Ito ay napaka-simple:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ dulo (align) \]

Ngayon, tandaan na ang mga sumusunod na kabuuan ay pantay-pantay:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (align) \]

Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang simula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang $ S $ na numero, at pagkatapos ay magsisimula tayong maglakad mula sa mga elementong ito sa magkasalungat na direksyon (patungo sa isa't isa o sa kabaligtaran upang lumayo) , pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$ S $. Ito ay maaaring pinaka-malinaw na kinakatawan sa graphic na paraan:

Ang pantay na indentasyon ay nagbibigay ng pantay na halaga

Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magbibigay-daan sa amin upang malutas ang mga problema sa isang mas panimula mataas na lebel mga paghihirap kaysa sa mga napag-usapan namin sa itaas. Halimbawa, tulad ng:

Problema numero 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isulat natin ang lahat ng nalalaman natin:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (align) \]

Kaya, hindi namin alam ang pagkakaiba ng pag-unlad $ d $. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay bubuuin sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ kaliwa (d + 66 \ kanan) \ cdot \ kaliwa (d + 6 \ kanan). \ end (align) \]

Para sa mga nasa tangke: Kinuha ko ang karaniwang kadahilanan ng 11 mula sa pangalawang panaklong. Kaya, ang hinahangad na produkto ay isang quadratic function na may paggalang sa variable na $ d $. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung palawakin natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent para sa nangungunang termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-usap tayo sa isang parabola na may mga sanga sa itaas:

iskedyul quadratic function- parabola
Tandaan: pinakamababang halaga ang parabola na ito ay tumatagal sa tuktok nito na may abscissa $ ((d) _ (0)) $. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito sa pamamagitan ng karaniwang pamamaraan(may formula $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), ngunit mas makatwirang mapansin na ang nais na vertex ay nasa axis ng symmetry ng parabola, kaya ang puntong $ ((d) _ (0)) $ equidistant mula sa mga ugat ng equation $ f \ left (d \ right) = 0 $:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ kaliwa (d + 66 \ kanan) \ cdot \ kaliwa (d + 6 \ kanan) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ dulo (align) \]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng ibig sabihin mga numero ng aritmetika−66 at −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]

Ano ang ibinibigay sa atin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, ang kinakailangang produkto ay kumukuha ng pinakamaliit na halaga (nga pala, hindi pa namin binibilang ang $ ((y) _ (\ min)) $ - hindi ito kinakailangan mula sa amin). Kasabay nito, ang numerong ito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng orihinal na pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)

Sagot: −36

Problema numero 9. Magpasok ng tatlong numero sa pagitan ng mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at $ - \ frac (1) (6) $ upang ang mga ito kasama ng mga ibinigay na numero ay bumuo ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Solusyon. Karaniwan, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, na alam na ang una at huling mga numero. Tukuyin natin ang mga nawawalang numero sa pamamagitan ng mga variable na $ x $, $ y $ at $ z $:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]

Tandaan na ang bilang na $ y $ ay ang "gitna" ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa parehong mga numerong $ x $ at $ z $, at mula sa mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at $ - \ frac (1) ( 6) $. At kung sa ngayon ay hindi tayo makakakuha ng $ y $ mula sa mga numerong $ x $ at $ z $, kung gayon ang sitwasyon ay iba sa mga dulo ng pag-unlad. Pag-alala sa ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $ y $, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $ x $ ay nasa pagitan ng mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at ang $ y = - \ frac (1) (3) $ na kakahanap lang. kaya lang

Nangangatuwiran din, nakita namin ang natitirang numero:

handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Problema numero 10. Magpasok ng ilang numero sa pagitan ng mga numero 2 at 42, na kasama ng mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam mo na ang kabuuan ng una, pangalawa at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas mahirap na gawain, na, gayunpaman, ay nalutas ayon sa parehong pamamaraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang ilalagay. Samakatuwid, para sa katiyakan, ipagpalagay natin na pagkatapos ipasok ang lahat ay magkakaroon ng eksaktong $ n $ na mga numero, at ang una sa kanila ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin bilang:

\ [\ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kaliwa \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ kanan \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $ ((a) _ (2)) $ at $ ((a) _ (n-1)) $ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa, ibig sabihin... sa gitna ng pagkakasunod-sunod. Ibig sabihin nito

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Ngunit ang expression na nakasulat sa itaas ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ kaliwa (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ kanan) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ dulo (align) \]

Alam ang $ ((a) _ (3)) $ at $ ((a) _ (1)) $, madali nating mahahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ kaliwa (3-1 \ kanan) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ dulo (align) \]

Ito ay nananatiling lamang upang mahanap ang iba pang mga miyembro:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ dulo (align) \]

Kaya, nasa ika-9 na hakbang ay pupunta tayo sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang numero 42. Sa kabuuan, kinakailangan na magpasok lamang ng 7 numero: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Mga problema sa salita sa mga pag-unlad

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang ilang medyo simpleng problema. Well, gaano kasimple: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring mukhang isang lata. Gayunpaman, ito ay tiyak na mga problema na makikita sa OGE at USE sa matematika, kaya inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa kanila.

Problema numero 11. Ang brigada ay gumawa ng 62 bahagi noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay gumawa ito ng 14 na mas maraming bahagi kaysa sa nauna. Ilang bahagi ang ginawa ng pangkat noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi, na naka-iskedyul ayon sa buwan, ay kumakatawan sa isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. Bukod dito:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 14. \\ \ dulo (align) \]

Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Dahil dito, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.

Problema numero 12. Ang binding workshop ay nagbibigkis ng 216 na aklat noong Enero, at bawat buwan ay nagbubuklod ito ng 4 pang aklat kaysa sa nauna. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat pare-pareho:

$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 4. \\ \ dulo (align) $

Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya hinahanap namin ang $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.

Buweno, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: matagumpay mong natapos ang "Young Fighter Course" sa mga pag-unlad ng aritmetika. Maaari kang ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad, pati na rin ang mahalaga at lubhang kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.

Unang antas

Arithmetic progression. Detalyadong teorya na may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod ng numero

Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami ng gusto mo (sa aming kaso, sila). Gaano man karaming numero ang ating isusulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng -th na numero) ay palaging isa.
Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito:.

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero na ito ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan nang higit pa. malawak na kahulugan tulad ng isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng numero. Ang pangalan na "aritmetika" ay dinala mula sa teorya ng tuluy-tuloy na mga proporsyon, kung saan ang mga sinaunang Griyego ay nakikibahagi sa.

Ito ay isang numerical sequence, ang bawat termino ay katumbas ng nauna, idinagdag sa parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika at tinutukoy ng.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Naiintindihan? Ihambing natin ang ating mga sagot:
Ay isang pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-miyembro nito. Umiiral dalawa ang paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari tayong magdagdag sa dating halaga ng bilang ng pag-usad hanggang sa makarating tayo sa ika-ika termino ng pag-unlad. Buti na lang wala na tayong masyadong maibubuod - tatlong value lang:

Kaya, ang ika-miyembro ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin tayo ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi tayo magkakamali kapag nagdadagdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi mo kailangang idagdag ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang pagguhit na iyong iginuhit ... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung paano idinaragdag ang halaga ng ika-ka miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na ito:

Sa ibang salita:

Subukang independyenteng mahanap ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic sa ganitong paraan.

Kinakalkula? Ihambing ang iyong mga tala sa sagot:

Bigyang-pansin na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dadalhin natin ito pangkalahatang anyo at makakuha ng:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay pataas at kung minsan ay bumababa.

Paakyat- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga miyembro ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Bumababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga miyembro ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Suriin natin ito sa pagsasanay.
Binigyan tayo ng arithmetic progression na binubuo ng mga sumusunod na numero: Suriin natin kung ano ang lalabas sa ika-th number ng arithmetic progression kung gagamitin natin ang ating formula para kalkulahin ito:

Simula noon:

Kaya, tiniyak namin na gumagana ang formula sa parehong pagpapababa at pagtaas ng pag-unlad ng arithmetic.
Subukang hanapin ang ika at ika-ika na mga termino ng pag-unlad ng aritmetika na ito nang mag-isa.

Ihambing natin ang mga resultang nakuha:

Arithmetic progression property

Palubhain natin ang gawain - kukunin natin ang ari-arian ng pag-unlad ng arithmetic.
Sabihin nating binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali, sabihin mo at magsimulang magbilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, a, pagkatapos:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Aminin mo, may pagkakataong magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin kung posible bang malutas ang problemang ito sa isang aksyon gamit ang anumang formula? Siyempre, oo, at siya ang susubukan naming bawiin ngayon.

Tukuyin natin ang kinakailangang termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, alam natin ang pormula para sa paghahanap nito - ito ang parehong pormula na hinango natin sa simula:
, pagkatapos:

ang dating miyembro ng progression ay:
ang susunod na miyembro ng progression ay:

Ibuod natin ang nauna at kasunod na mga miyembro ng progression:

Lumalabas na ang kabuuan ng nauna at kasunod na mga miyembro ng progression ay ang dobleng halaga ng miyembro ng progression na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang miyembro ng progression na may alam na dati at magkakasunod na mga halaga, kinakailangan na idagdag ang mga ito at hatiin sa pamamagitan ng.

Tama, pareho kami ng numero. Ayusin natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, dahil hindi ito mahirap sa lahat.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Mayroon na lamang isang pormula na natitira upang matutunan, na, ayon sa alamat, ay madaling hinihinuha para sa kanyang sarili ng isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, ang "hari ng mga mathematician" - Karl Gauss ...

Noong si Karl Gauss ay 9 na taong gulang, isang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga mag-aaral sa iba pang mga baitang, ay nagtakda ng sumusunod na gawain sa aralin: "Kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng natural na mga numero mula hanggang sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama. " Isipin ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga estudyante (ito ay si Karl Gauss) ay nagbigay ng tamang sagot sa problema sa isang minuto, habang ang karamihan sa mga kaklase ng pangahas, pagkatapos ng mahabang kalkulasyon, ay nakatanggap ng maling resulta ...

Napansin ng batang si Karl Gauss ang isang tiyak na pattern na madali mong mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong arithmetic progression na binubuo ng -th na miyembro: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga ibinigay na miyembro ng arithmetic progression. Siyempre, maaari nating manu-manong isama ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung sa gawain ay kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga miyembro nito, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Gumuhit tayo ng isang naibigay na pag-unlad. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.

Nasubukan mo na ba? Ano ang iyong napansin? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sabihin sa akin, gaano karaming mga pares ang mayroon sa ibinigay na pag-unlad? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic ay pantay, at magkatulad na magkaparehong mga pares, nakuha namin na ang kabuuang kabuuan ay:
.
Kaya, ang pormula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay ang mga sumusunod:

Sa ilang mga problema, hindi namin alam ang ika-termino, ngunit alam namin ang pagkakaiba sa pag-unlad. Subukang palitan sa pormula para sa kabuuan, ang pormula para sa ika-katawagan.
Anong ginawa mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problemang ibinigay kay Karl Gauss: kalkulahin ang iyong sarili kung ano ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th, at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th.

Magkano ang nakuha mo?
Nalaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga miyembro ay pantay, at ang kabuuan ng mga miyembro. Ganyan ka ba nagdesisyon?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay napatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ang mga matalinong tao ay gumagamit ng mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika sa sukdulan.
Halimbawa, isipin Sinaunang Ehipto at ang pinaka-ambisyoso na lugar ng pagtatayo noong panahong iyon - ang pagtatayo ng pyramid ... Ang pigura ay nagpapakita ng isang bahagi nito.

Nasaan ang progression dito na sinasabi mo? Tingnang mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.

Hindi ba ito isang pag-unlad ng aritmetika? Kalkulahin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana ay hindi ka magbilang sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng iyong daliri sa monitor, naaalala mo ba ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng arithmetic?

Sa kasong ito, ang pag-unlad ay ganito ang hitsura:.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.
Ang bilang ng mga miyembro ng arithmetic progression.
Ipalit natin ang ating data sa mga huling formula (bibilangin natin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mong kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Nagsama ba ito? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pag-eehersisyo

Mga gawain:

Si Masha ay nagkakaayos na sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses mag-squat si Masha sa mga linggo, kung sa unang ehersisyo ay nag-squats siya.
Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
Kapag nag-iimbak ng mga troso, ang mga magtotroso ay isinalansan ang mga ito sa paraang ang bawat isa itaas na layer naglalaman ng isang log na mas mababa kaysa sa nauna. Gaano karaming mga troso ang nasa isang pagmamason, kung ang mga troso ay nagsisilbing batayan ng pagmamason.

Mga sagot:

Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng arithmetic. Sa kasong ito
(linggo = araw).
Sagot: Pagkatapos ng dalawang linggo, dapat maglupasay si Masha isang beses sa isang araw.
Unang odd na numero, huling numero.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.
Ang bilang ng mga kakaibang numero sa ay kalahati, gayunpaman, susuriin natin ang katotohanang ito gamit ang formula para sa paghahanap ng -th term ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
Palitan ang magagamit na data sa formula:
Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay katumbas ng.
Alalahanin natin ang problema sa pyramid. Para sa aming kaso, a, dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, pagkatapos lamang sa isang grupo ng mga layer, iyon ay.
I-substitute natin ang data sa formula:
Sagot: May mga troso sa pagmamason.

I-summarize natin

- isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Maaari itong tumaas at bumaba.
Paghahanap ng formula Ang ika-th miyembro ng arithmetic progression ay isinulat ng formula -, kung saan ang bilang ng mga numero sa progression.
Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.
Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan sa dalawang paraan:

, kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. AVERAGE LEVEL

Pagkakasunod-sunod ng numero

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami hangga't gusto mo. Ngunit palagi mong masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, iyon ay, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at ang isa lamang. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito:.

Ito ay lubos na maginhawa kung ang ika-kataga ng pagkakasunud-sunod ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

tumutukoy sa pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba). O (, pagkakaiba).

Nth term formula

Tinatawag namin ang paulit-ulit na isang pormula kung saan upang malaman ang ika-miyembro, kailangan mong malaman ang nauna o ilang nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-kataga ng pag-unlad gamit ang gayong formula, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan. Pagkatapos:

Well, ano ang formula ngayon?

Sa bawat linya na idinaragdag namin, na pinarami ng ilang numero. Para saan? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas maginhawa na ngayon, tama ba? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-usad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-10 termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang termino ay pantay. Ano ang pagkakaiba? At narito kung ano:

(ito ay dahil ito ay tinatawag na pagkakaiba, na katumbas ng pagkakaiba ng magkakasunod na miyembro ng pag-unlad).

Kaya ang formula ay:

Pagkatapos ang ika-daang termino ay:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Karl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling bilang ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at ang huli ngunit ang isa ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at pangatlo mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Gaano karaming mga pares ang magkakaroon? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng numero, kumbaga. Kaya,

Ang pangkalahatang pormula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat dalawang-digit na numero, maramihan.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay. Ang bawat susunod ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nakaraang numero. Kaya, ang mga bilang ng interes sa amin ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Ang formula ng ika-apat na termino para sa pag-unlad na ito ay:

Ilang miyembro ang nasa progress kung lahat sila ay kailangang double digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino sa progression. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

Araw-araw, ang atleta ay tumatakbo nang mas m kaysa sa nakaraang araw. Ilang kilometro ang kanyang tatakbo sa mga linggo kung tumakbo siya ng km m sa unang araw?
Ang isang siklista ay nagmamaneho ng mas maraming kilometro araw-araw kaysa sa nauna. Sa unang araw, nagmaneho siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang maglakbay upang masakop ang km? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng paglalakbay?
Ang presyo ng refrigerator sa isang tindahan ay bumababa ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng refrigerator ay nabawasan bawat taon, kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay nabili para sa rubles.

Mga sagot:

Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang miyembro ng pag-unlad na ito:
.
Sagot:
Ito ay ibinigay dito:, ito ay kinakailangan upang mahanap.
Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
.
Palitan ang mga halaga:
Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot ay.
Kalkulahin natin ang distansyang nilakbay para sa huling araw gamit ang formula ng ika-termino:
(km).
Sagot:
Ibinigay:. Hanapin: .
Hindi ito maaaring maging mas madali:
(kuskusin).
Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Ito ay isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring pataas () at bumababa ().

Halimbawa:

Ang formula para sa paghahanap ng n-th term ng isang arithmetic progression

nakasulat sa pamamagitan ng formula, kung saan ay ang bilang ng mga numero sa progression.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Binibigyang-daan ka nitong madaling makahanap ng miyembro ng progression kung kilala ang mga kalapit na miyembro nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang halaga:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Bago tayo magsimulang magdesisyon mga problema sa pag-unlad ng aritmetika, isaalang-alang kung ano ang numerical sequence, dahil ang arithmetic progression ay espesyal na kaso numerical sequence.

Ang numerical sequence ay isang numerical set, ang bawat elemento ay may sariling ordinal number... Ang mga elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng sequence. Ang ordinal na numero ng sequence element ay ipinahiwatig ng index:

Ang unang elemento ng pagkakasunud-sunod;

Ikalimang elemento ng pagkakasunud-sunod;

- "nth" na elemento ng sequence, i.e. ang item na "nasa pila" n.

May kaugnayan sa pagitan ng value ng isang sequence element at ang ordinal number nito. Samakatuwid, maaari nating isipin ang isang sequence bilang isang function na ang argumento ay ang ordinal na numero ng isang elemento ng sequence. Sa madaling salita, masasabi natin iyan ang isang sequence ay isang function ng isang natural na argumento:

Maaaring itakda ang pagkakasunud-sunod sa tatlong paraan:

1 . Maaaring itakda ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang talahanayan. Sa kasong ito, itinakda lang namin ang halaga ng bawat miyembro ng sequence.

Halimbawa, nagpasya ang isang tao na kumuha ng personal na pamamahala ng oras, at upang magsimula sa, kalkulahin kung gaano karaming oras ang ginugugol niya sa VKontakte sa isang linggo. Isinulat ang oras sa talahanayan, makakatanggap siya ng isang sequence na binubuo ng pitong elemento:

Ang unang linya ng talahanayan ay naglalaman ng bilang ng araw ng linggo, ang pangalawa - ang oras sa minuto. Nakikita namin iyon, iyon ay, noong Lunes, May gumugol ng 125 minuto sa VKontakte, iyon ay, noong Huwebes - 248 minuto, at, iyon ay, noong Biyernes, 15 lamang.

2 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunod-sunod gamit ang nth term formula.

Sa kasong ito, ang pag-asa ng halaga ng elemento ng pagkakasunud-sunod sa numero nito ay direktang ipinahayag sa anyo ng isang formula.

Halimbawa, kung, kung gayon

Upang mahanap ang halaga ng isang elemento ng isang pagkakasunud-sunod na may isang ibinigay na numero, pinapalitan namin ang numero ng elemento sa formula ng ika-n na termino.

Gayon din ang ginagawa natin kung kailangan nating hanapin ang halaga ng isang function kung alam ang halaga ng argumento. Pinapalitan namin ang halaga ng argumento sa equation ng function:

Kung, halimbawa, , pagkatapos

Muli, tandaan ko na sa isang pagkakasunud-sunod, hindi tulad ng isang arbitrary na function ng numero, isang natural na numero lamang ang maaaring maging isang argumento.

3 ... Maaaring tukuyin ang isang sequence gamit ang isang formula na nagpapahayag ng dependence ng value ng sequence member na binibilang sa value ng mga naunang miyembro. Sa kasong ito, hindi sapat para sa amin na malaman lamang ang bilang ng sequence member upang mahanap ang halaga nito. Kailangan nating tukuyin ang unang miyembro o ang unang ilang miyembro ng sequence.

Halimbawa, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ,

Mahahanap natin ang mga halaga ng mga miyembro ng sequence sa pagkakasunod-sunod simula sa pangatlo:

Iyon ay, sa bawat oras, upang mahanap ang halaga ng n-th na miyembro ng sequence, babalik tayo sa nakaraang dalawa. Ang ganitong paraan ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag paulit-ulit, mula sa salitang Latin recurro- bumalik.

Ngayon ay maaari nating tukuyin ang isang pag-unlad ng arithmetic. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng espesyal na kaso ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Arithmetic progression tinatawag ang isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag sa parehong numero.

Tinatawag ang numero pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic... Ang pagkakaiba sa pag-unlad ng arithmetic ay maaaring positibo, negatibo, o zero.

If title = "(! LANG: d> 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} dumarami.

Halimbawa, 2; 5; walo; labing-isa;...

Kung, kung gayon ang bawat miyembro ng pag-unlad ng aritmetika ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang pag-unlad ay lumiliit.

Halimbawa, 2; -1; -4; -7; ...

Kung, ang lahat ng miyembro ng progression ay katumbas ng parehong bilang, at ang progression ay nakatigil.

Halimbawa, 2; 2; 2; 2; ...

Ang pangunahing pag-aari ng pag-unlad ng aritmetika:

Tingnan natin ang larawan.

Nakikita natin yan

, at sa parehong oras

Ang pagdaragdag ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin:

Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng 2:

Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang magkalapit:

Bukod dito, mula noong

, at sa parehong oras

, pagkatapos

, at samakatuwid

Bawat miyembro ng arithmetic progression na nagsisimula sa title = "(! LANG: k> l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula ng ika-miyembro.

Nakikita namin na para sa mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, ang mga sumusunod na ugnayan ay natutupad:

at sa wakas

Nakakuha kami ang formula ng nth term.

MAHALAGA! Ang sinumang miyembro ng arithmetic progression ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng at. Alam ang unang termino at ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika, mahahanap mo ang alinman sa mga termino nito.

Ang kabuuan ng n miyembro ng isang arithmetic progression.

Sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic, ang mga kabuuan ng mga miyembro na katumbas ng distansya mula sa sukdulan ay katumbas ng bawat isa:

Isaalang-alang ang isang arithmetic progression na may n termino. Hayaan ang kabuuan ng n miyembro ng pag-unlad na ito.

Ayusin muna natin ang mga miyembro ng progression sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga numero, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod:

Idagdag natin nang pares:

Ang kabuuan sa bawat panaklong ay pantay, ang bilang ng mga pares ay n.

Nakukuha namin:

Kaya, ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga formula:

Isipin mo paglutas ng mga problema para sa pag-unlad ng arithmetic.

1 . Ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng nth term formula: . Patunayan na ang sequence na ito ay isang arithmetic progression.

Patunayan natin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing miyembro ng sequence ay katumbas ng parehong numero.

Nakuha namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang katabing miyembro ng sequence ay hindi nakadepende sa kanilang numero at pare-pareho. Samakatuwid, ayon sa kahulugan, ang sequence na ito ay isang aritmetika na pag-unlad.

2 . Bibigyan ka ng aritmetika na pag-unlad -31; -27; ...

a) Humanap ng 31 miyembro ng progression.

b) Tukuyin kung ang bilang na 41 ay kasama sa pag-unlad na ito.

a) Nakikita natin iyan;

Let's write the formula of the nth term for our progression.

Sa pangkalahatan

Sa kaso natin , samakatuwid