Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :)

Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, ang panloob na cap-ebidensya ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, ganito: SOOOOO!) Gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan ng mahabang pagpapakilala at agad na bumaba sa negosyo.

Magsimula tayo sa ilang halimbawa. Isaalang-alang ang ilang hanay ng mga numero:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.

Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang set ay simpleng magkakasunod na mga numero, bawat isa ay mas marami kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng hilera nakatayo na mga numero katumbas na ng lima, ngunit ang pagkakaibang ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, ang mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, at $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, ibig sabihin. at sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $ \ sqrt (2) $ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).

Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag lamang na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:

Kahulugan. Ang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod ay naiiba mula sa nauna sa eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik $ d $.

Pagtatalaga: $ \ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) $ - ang mismong pag-unlad, $ d $ - pagkakaiba nito.

At ilan lamang sa mahahalagang komento. Una, lamang maayos pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Hindi ka maaaring muling ayusin o magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng arithmetic. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito ay isang walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat, kumbaga, ay nagpapahiwatig na mayroon pa ring ilang mga numero na nangyayari. Walang hanggan marami, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay dumarami at bumababa. Nakita na natin ang dumarami - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). At narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

Okay, okay: ang huling halimbawang ito ay maaaring mukhang masyadong kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, ay malinaw sa iyo. Samakatuwid, magpapakilala kami ng mga bagong kahulugan:

Kahulugan. Arithmetic progression tinatawag na:

1. pataas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
2. bumababa kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, mayroong mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

May nananatiling isang tanong lamang: paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat ay nakasalalay sa pag-sign ng numerong $ d $, i.e. pag-unlad ng pagkakaiba:

1. Kung $ d \ gt 0 $, kung gayon ang pag-unlad ay tumataas;
2. Kung $ d \ lt 0 $, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
3. Sa wakas, mayroong kaso $ d = 0 $ - sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero: (1; 1; 1; 1; ...), atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $ d $ para sa tatlong bumababa na pag-unlad na ibinigay sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas ang numero sa kaliwa mula sa numero sa kanan. Magiging ganito ang hitsura:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong mga kaso, ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na higit pa o mas kaunti na nating naisip ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung ano ang mga katangian ng mga ito.

Mga miyembro ng pag-unlad at paulit-ulit na formula

Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:

\ [\ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kaliwa \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ tama \) \]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng progression. Ang mga ito ay ipinahiwatig ng isang numero: ang unang termino, ang pangalawang termino, atbp.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga katabing miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng pormula:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $ n $ th term sa progression, kailangan mong malaman ang $ n-1 $ th term at ang $ d $ na pagkakaiba. Ang ganitong pormula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan - lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas nakakalito na formula na binabawasan ang anumang mga kalkulasyon sa unang termino at ang pagkakaiba:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (n-1 \ kanan) d \]

Tiyak na natugunan mo na ang formula na ito. Gustung-gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga sangguniang aklat at reshebnik. At sa anumang makabuluhang aklat-aralin sa matematika, isa siya sa mga nauna.

Gayunpaman, iminumungkahi ko na magsanay tayo ng kaunti.

Problema numero 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ if $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang termino $ ((a) _ (1)) = 8 $ at ang pagkakaiba ng progression $ d = -5 $. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $ n = 1 $, $ n = 2 $ at $ n = 3 $:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (1-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (2-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ kaliwa (3-1 \ kanan) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ dulo (align) \]

Sagot: (8; 3; −2)

Iyon lang! Pakitandaan: ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, ang $ n = 1 $ ay hindi maaaring palitan - ang unang termino ay alam na natin. Gayunpaman, ang pagpapalit ng isa, tiniyak namin na ang aming formula ay gumagana kahit na para sa unang termino. Sa ibang mga kaso, ang lahat ng ito ay bumagsak sa maliit na arithmetic.

Problema numero 2. Isulat ang unang tatlong termino ng pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabimpitong termino ay −50.

Solusyon. Isulat natin ang kondisyon ng problema sa karaniwang mga termino:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ dulo (align) \ kanan. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ tama. \]

Inilagay ko ang tanda ng sistema dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matupad nang sabay-sabay. At ngayon tandaan na kung ibawas natin ang una mula sa pangalawang equation (mayroon tayong karapatang gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50- \ kaliwa (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ dulo (align) \]

Ganyan kami kadaling natagpuan ang pagkakaiba sa pag-unlad! Ito ay nananatiling palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\ [\ begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ dulo (matrix) \]

Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ dulo (align) \]

handa na! Ang problema ay nalutas na.

Sagot: (-34; -35; -36)

Bigyang-pansin ang isang kawili-wiling pag-aari ng progression na aming natuklasan: kung kukunin namin ang $ n $ th at $ m $ th terms at ibawas ang mga ito sa isa't isa, makukuha namin ang pagkakaiba ng progression na na-multiply sa bilang na $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ kaliwa (n-m \ kanan) \]

Simple ngunit napaka kapaki-pakinabang na ari-arian, na tiyak na kailangan mong malaman - sa tulong nito, maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming problema sa mga pag-unlad. Narito ang isang pangunahing halimbawa:

Problema numero 3. Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $, at kailangan mong hanapin ang $ ((a) _ (15)) $, pagkatapos ay tandaan namin ang sumusunod :

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ dulo (align) \]

Ngunit ayon sa kondisyon $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = $ 6, samakatuwid $ 5d = $ 6, kung saan mayroon tayong:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14.4 = 20.4. \\ \ dulo (align) \]

Sagot: 20.4

Iyon lang! Hindi namin kailangan na bumuo ng ilang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - lahat ay nalutas sa loob lamang ng ilang linya.

Ngayon isaalang-alang natin ang isa pang uri ng mga gawain - upang makahanap ng mga negatibo at positibong miyembro ng pag-unlad. Hindi lihim na kung ang pag-unlad ay tumaas, habang ang unang termino ay negatibo, pagkatapos ay maya-maya ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At sa kabaligtaran: ang mga miyembro ng bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.

Sa parehong oras, ito ay malayo mula sa palaging posible upang hapin ang sandaling ito "head-on", sunud-sunod na dumadaan sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay idinisenyo sa paraang nang hindi nalalaman ang mga pormula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet - matutulog lang kami habang nahanap namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Problema numero 4. Ilang negatibong termino ang nasa arithmetic progression -38.5; −35.8; ...?

Solusyon. Kaya, $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $, mula sa kung saan agad naming nakita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya sa isang punto ay talagang matitisod tayo sa mga positibong numero. Ang tanong lang ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: gaano katagal (i.e. hanggang sa anong natural na numero $ n $) ang negatibiti ng mga termino ay napanatili:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ kaliwa | \ cdot 10 \ tama. \\ & -385 + 27 \ cdot \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ dulo (align) \]

Ang huling linya ay nangangailangan ng ilang paliwanag. Kaya, alam natin na $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Sa kabilang banda, masisiyahan tayo sa mga integer na halaga lamang ng numero (bukod dito: $ n \ sa \ mathbb (N) $), kaya ang pinakamalaking pinapayagang numero ay eksaktong $ n = 15 $, at sa anumang kaso ay 16.

Problema numero 5. Sa arithmetic progression $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.

Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $ ((a) _ (1)) $. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $ ((a) _ (5)) $ at $ ((a) _ (6)) $, upang madali nating mahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:

Bilang karagdagan, susubukan naming ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at ang pagkakaiba ayon sa karaniwang formula:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ dulo (align) \]

Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang gawain. Nalaman namin kung saang punto sa aming sequence magkakaroon ng mga positibong numero:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ dulo (align) \]

Ang pinakamaliit na integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay 56.

Pakitandaan: sa huling gawain, ang lahat ay nabawasan sa isang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang $ n = 55 $ na opsyon ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, pag-aralan natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na pag-aari ng mga pag-unlad ng aritmetika, na sa hinaharap ay magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell. :)

Arithmetic mean at equal indents

Isaalang-alang ang ilang magkakasunod na miyembro ng tumataas na pag-unlad ng aritmetika $ \ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) $. Subukan nating markahan ang mga ito sa linya ng numero:

Mga miyembro ng isang arithmetic progression sa isang number line

Partikular kong binanggit ang mga arbitraryong miyembro $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, hindi anumang $ ((a) _ (1)) , \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $, atbp. Dahil ang panuntunan, na tatalakayin ko ngayon, ay gumagana nang pareho para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang recursion formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ dulo (align) \]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ dulo (align) \]

Well, ano? At ang katotohanan na ang mga terminong $ ((a) _ (n-1)) $ at $ ((a) _ (n + 1)) $ ay nasa parehong distansya mula sa $ ((a) _ (n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $ d $. Ang parehong ay masasabi tungkol sa mga terminong $ ((a) _ (n-2)) $ at $ ((a) _ (n + 2)) $ - inalis din ang mga ito sa $ ((a) _ (n) ) $ ang parehong distansya na katumbas ng $ 2d $. Maaari kang magpatuloy nang walang katiyakan, ngunit ang kahulugan ay mahusay na inilalarawan ng larawan.

Ang mga miyembro ng progreso ay nakahiga sa parehong distansya mula sa gitna

Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na mahahanap mo ang $ ((a) _ (n)) $ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Nahinuha namin ang isang mahusay na pahayag: ang bawat miyembro ng pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng arithmetic mean ng mga kalapit na termino! Bukod dito: maaari tayong lumihis mula sa ating $ ((a) _ (n)) $ kaliwa at kanan hindi isang hakbang, ngunit $ k $ hakbang - at ang formula ay magiging tama:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $ ((a) _ (150)) $ kung alam natin ang $ ((a) _ (100)) $ at $ ((a) _ (200)) $, dahil $ (( a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga problema ang espesyal na "pinatalas" para sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:

Problema numero 6. Hanapin ang lahat ng halaga ng $ x $ kung saan ang mga numerong $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ at $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ ay magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression (sa pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Dahil ang mga ipinahiwatig na numero ay mga miyembro ng pag-unlad, ang arithmetic mean na kondisyon ay nasiyahan para sa kanila: sentral na elemento Ang $ x + 1 $ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga katabing elemento:

\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ dulo (align) \]

Ito ay naging klasiko quadratic equation... Ang mga ugat nito: $ x = 2 $ at $ x = -3 $ - ito ang mga sagot.

Sagot: −3; 2.

Problema numero 7. Hanapin ang mga halagang $$ kung saan ang mga numerong $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa ganoong pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Muli, ipinapahayag namin ang gitnang termino sa mga tuntunin ng arithmetic mean ng mga kalapit na termino:

\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ kanan .; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ dulo (align) \]

Muli ang quadratic equation. At muli mayroong dalawang ugat: $ x = 6 $ at $ x = 1 $.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema ay nakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?

Halimbawa, sa problema blg. 6 nakatanggap kami ng mga sagot -3 at 2. Paano malalaman kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin ang mga ito sa paunang kundisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon tayong tatlong numero ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ at $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), na dapat bumuo ng aritmetika na pag-unlad. Palitan ang $ x = -3 $:

\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (align) \]

Mga natanggap na numero -54; −2; Ang 50, na naiiba ng 52, ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng arithmetic. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $ x = 2 $:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (align) \]

Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Maaaring suriin ng mga interesado ang pangalawang problema sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.

Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling problema, nakatagpo kami ng isa pa kawili-wiling katotohanan, na kailangan ding tandaan:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang ibig sabihin aritmetika muna at ang huli, pagkatapos ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa amin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad, batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo bumaba sa naturang "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan na.

Pagpapangkat at kabuuan ng mga elemento

Bumalik tayo ulit sa number axis. Tandaan natin doon ang ilang miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. marami pang miyembro:

Ang linya ng numero ay may 6 na elemento na minarkahan

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (n)) $ at $ d $, at "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $ ((a) _ (k)) $ at $ d $ . Ito ay napaka-simple:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ dulo (align) \]

Ngayon, tandaan na ang mga sumusunod na kabuuan ay pantay-pantay:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (align) \]

Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang simula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang $ S $ na numero, at pagkatapos ay magsisimula tayong maglakad mula sa mga elementong ito sa magkasalungat na direksyon (patungo sa isa't isa o kabaligtaran upang lumayo) , pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$ S $. Ito ay maaaring pinaka-malinaw na kinakatawan sa graphic na paraan:

Ang pantay na indentasyon ay nagbibigay ng pantay na halaga

Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magbibigay-daan sa amin upang malutas ang mga problema sa isang mas panimula mataas na lebel mga paghihirap kaysa sa mga napag-usapan namin sa itaas. Halimbawa, tulad ng:

Problema numero 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isulat natin ang lahat ng nalalaman natin:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (align) \]

Kaya, hindi namin alam ang pagkakaiba ng pag-unlad $ d $. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay bubuuin sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ ay maaaring isulat muli tulad ng sumusunod:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ kaliwa (d + 66 \ kanan) \ cdot \ kaliwa (d + 6 \ kanan). \ end (align) \]

Para sa mga nasa tangke: Kinuha ko ang karaniwang kadahilanan ng 11 mula sa pangalawang panaklong. Kaya, ang hinahangad na produkto ay isang quadratic function na may paggalang sa variable na $ d $. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung palawakin natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent para sa nangungunang termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-usap tayo sa isang parabola na may mga sanga sa itaas:

iskedyul quadratic function- parabola

Tandaan: pinakamababang halaga ang parabola na ito ay tumatagal sa tuktok nito na may abscissa $ ((d) _ (0)) $. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito sa pamamagitan ng karaniwang pamamaraan(may formula $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), ngunit mas makatwirang mapansin na ang nais na vertex ay nasa axis ng symmetry ng parabola, kaya ang puntong $ ((d) _ (0)) $ equidistant mula sa mga ugat ng equation $ f \ left (d \ right) = 0 $:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ kaliwa (d + 66 \ kanan) \ cdot \ kaliwa (d + 6 \ kanan) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ dulo (align) \]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng arithmetic mean ng mga numero −66 at −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]

Ano ang ibinibigay sa atin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, ang kinakailangang produkto ay tumatagal sa pinakamaliit na halaga (sa pamamagitan ng paraan, hindi namin binibilang ang $ ((y) _ (\ min)) $ - hindi ito kinakailangan mula sa amin). Kasabay nito, ang numerong ito ay ang pagkakaiba sa pagitan ng orihinal na pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)

Sagot: −36

Problema numero 9. Magpasok ng tatlong numero sa pagitan ng mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at $ - \ frac (1) (6) $ upang ang mga ito kasama ang mga ibinigay na numero ay bumuo ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Solusyon. Karaniwan, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, na alam na ang una at huling mga numero. Tukuyin natin ang mga nawawalang numero sa pamamagitan ng mga variable na $ x $, $ y $ at $ z $:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]

Tandaan na ang numerong $ y $ ay ang "gitna" ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa parehong mga numerong $ x $ at $ z $, at mula sa mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at $ - \ frac (1) ( 6) $. At kung sa ngayon ay hindi tayo makakakuha ng $ y $ mula sa mga numerong $ x $ at $ z $, kung gayon ang sitwasyon ay iba sa mga dulo ng pag-unlad. Pag-alala sa ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $ y $, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $ x $ ay nasa pagitan ng mga numerong $ - \ frac (1) (2) $ at ang $ y = - \ frac (1) (3) $ na kakahanap lang. kaya lang

Nangangatuwiran din, nakita namin ang natitirang numero:

handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Problema numero 10. Magpasok ng ilang numero sa pagitan ng mga numero 2 at 42, na kasama ng mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam mo na ang kabuuan ng una, pangalawa at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas mahirap na gawain, na, gayunpaman, ay nalutas ayon sa parehong pamamaraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang ilalagay. Samakatuwid, para sa katiyakan, ipagpalagay natin na pagkatapos ipasok ang lahat ay magkakaroon ng eksaktong $ n $ na mga numero, at ang una sa kanila ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin bilang:

\ [\ kaliwa (((a) _ (n)) \ kanan) = \ kaliwa \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ kanan \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $ ((a) _ (2)) $ at $ ((a) _ (n-1)) $ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa, ibig sabihin... sa gitna ng pagkakasunod-sunod. Ibig sabihin nito

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Ngunit ang expression na nakasulat sa itaas ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ kaliwa (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ kanan) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ dulo (align) \]

Alam ang $ ((a) _ (3)) $ at $ ((a) _ (1)) $, madali nating mahahanap ang pagkakaiba ng pag-unlad:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ kaliwa (3-1 \ kanan) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ dulo (align) \]

Ito ay nananatiling lamang upang mahanap ang iba pang mga miyembro:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ dulo (align) \]

Kaya, nasa ika-9 na hakbang ay pupunta tayo sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang numero 42. Sa kabuuan, kinakailangan na magpasok lamang ng 7 numero: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Mga problema sa salita sa mga pag-unlad

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang ilang medyo simpleng problema. Well, gaano kasimple: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring mukhang isang lata. Gayunpaman, ito ay tiyak na mga problema na makikita sa OGE at USE sa matematika, kaya inirerekomenda ko na maging pamilyar ka sa kanila.

Problema numero 11. Ang brigada ay gumawa ng 62 bahagi noong Enero, at sa bawat susunod na buwan ay gumawa ito ng 14 na mas maraming bahagi kaysa sa nauna. Ilang bahagi ang ginawa ng pangkat noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi, na naka-iskedyul ayon sa buwan, ay kumakatawan sa isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. Bukod dito:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 14. \\ \ dulo (align) \]

Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

Dahil dito, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.

Problema numero 12. Ang binding workshop ay nagbibigkis ng 216 na aklat noong Enero, at bawat buwan ay nagbubuklod ito ng 4 pang aklat kaysa sa nauna. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat pare-pareho:

$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ kaliwa (n-1 \ kanan) \ cdot 4. \\ \ dulo (align) $

Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya hinahanap namin ang $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.

Buweno, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: matagumpay mong natapos ang "Young Fighter Course" sa mga pag-unlad ng aritmetika. Maaari kang ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang pormula para sa kabuuan ng pag-unlad, pati na rin ang mahalaga at lubhang kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.

Unang antas

Arithmetic progression. Detalyadong teorya may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod ng numero

Kaya't umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:
Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami hangga't gusto mo (sa aming kaso, sila). Gaano man karaming numero ang ating isusulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero
Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang itinalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa sequence. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng -th na numero) ay palaging isa.
Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito:.

Sa kaso natin:

Sabihin nating mayroon tayong numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.
Halimbawa:

atbp.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero na ito ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika.
Ang terminong "pag-unlad" ay ipinakilala ng Romanong may-akda na si Boethius noong ika-6 na siglo at naunawaan nang higit pa. malawak na kahulugan tulad ng isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng numero. Ang pangalang "aritmetika" ay dinala mula sa teorya ng tuluy-tuloy na mga proporsyon, kung saan ang mga sinaunang Griyego ay nakikibahagi sa.

Ito ay isang numerical sequence, ang bawat termino ay katumbas ng nauna, idinagdag sa parehong numero. Ang bilang na ito ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika at tinutukoy ng.

Subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang pag-unlad ng aritmetika at alin ang hindi:

a)
b)
c)
d)

Naiintindihan? Ihambing natin ang ating mga sagot:
Ay isang pag-unlad ng aritmetika - b, c.
Ay hindi pag-unlad ng aritmetika - a, d.

Bumalik tayo sa ibinigay na pag-unlad () at subukang hanapin ang halaga ng ika-miyembro nito. Umiiral dalawa ang paraan upang mahanap ito.

1. Pamamaraan

Maaari tayong magdagdag sa dating halaga ng bilang ng pag-usad hanggang sa makarating tayo sa ika-ika termino ng pag-unlad. Buti na lang wala na tayong masyadong maibubuod - tatlong value lang:

Kaya, ang ika-miyembro ng inilarawang pag-unlad ng aritmetika ay katumbas ng.

2. Pamamaraan

Paano kung kailangan nating hanapin ang halaga ng ika-taon ng pag-unlad? Ang pagsusuma ay aabutin tayo ng higit sa isang oras, at hindi isang katotohanan na hindi tayo magkakamali kapag nagdadagdag ng mga numero.
Siyempre, ang mga mathematician ay gumawa ng isang paraan kung saan hindi mo kailangang idagdag ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga. Tingnang mabuti ang pagguhit na iyong iginuhit ... Tiyak na napansin mo na ang isang tiyak na pattern, katulad:

Halimbawa, tingnan natin kung paano idinaragdag ang halaga ng ika-ka miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na ito:


Sa ibang salita:

Subukang independyenteng mahanap ang halaga ng isang miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic sa ganitong paraan.

Kinakalkula? Ihambing ang iyong mga tala sa sagot:

Bigyang-pansin na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, nang sunud-sunod naming idinagdag ang mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika sa nakaraang halaga.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - dadalhin natin ito pangkalahatang anyo at makakuha ng:

Arithmetic progression equation.

Ang mga pag-unlad ng aritmetika ay pataas at kung minsan ay bumababa.

Paakyat- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga miyembro ay mas malaki kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Bumababa- mga pag-unlad kung saan ang bawat kasunod na halaga ng mga miyembro ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa:

Ang hinangong formula ay ginagamit sa pagkalkula ng mga termino sa parehong pagtaas at pagbaba ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Suriin natin ito sa pagsasanay.
Binigyan tayo ng arithmetic progression na binubuo ng mga sumusunod na numero: Suriin natin kung ano ang lalabas sa ika-th number ng arithmetic progression kung gagamitin natin ang ating formula para kalkulahin ito:

Simula noon:

Kaya, tiniyak namin na gumagana ang formula sa parehong pagpapababa at pagtaas ng pag-unlad ng arithmetic.
Subukang hanapin ang ika at ika-ika na mga termino ng pag-unlad ng aritmetika na ito nang mag-isa.

Ihambing natin ang mga resultang nakuha:

Arithmetic progression property

Palubhain natin ang gawain - kukunin natin ang ari-arian ng pag-unlad ng arithmetic.
Sabihin nating binibigyan tayo ng sumusunod na kondisyon:
- pag-unlad ng aritmetika, hanapin ang halaga.
Madali, sabihin mo at magsimulang magbilang ayon sa formula na alam mo na:

Hayaan, a, pagkatapos:

Ganap na tama. Ito ay lumiliko na una naming mahanap, pagkatapos ay idagdag ito sa unang numero at makuha ang aming hinahanap. Kung ang pag-unlad ay kinakatawan ng maliliit na halaga, kung gayon walang kumplikado tungkol dito, ngunit kung bibigyan tayo ng mga numero sa kondisyon? Aminin mo, may pagkakataong magkamali sa mga kalkulasyon.
Ngayon isipin kung posible bang malutas ang problemang ito sa isang aksyon gamit ang anumang formula? Siyempre, oo, at siya ang susubukan naming bawiin ngayon.

Tukuyin natin ang kinakailangang termino ng pag-unlad ng aritmetika bilang, alam natin ang pormula para sa paghahanap nito - ito ang parehong pormula na hinango natin sa simula:
, pagkatapos:

• ang dating miyembro ng progression ay:
• ang susunod na miyembro ng progression ay:

Ibuod natin ang nauna at kasunod na mga miyembro ng progression:

Lumalabas na ang kabuuan ng nauna at kasunod na mga miyembro ng progression ay ang dobleng halaga ng miyembro ng progression na matatagpuan sa pagitan nila. Sa madaling salita, upang mahanap ang halaga ng isang miyembro ng progression na may alam na dati at magkakasunod na mga halaga, kinakailangan na idagdag ang mga ito at hatiin sa pamamagitan ng.

Tama, pareho kami ng numero. Ayusin natin ang materyal. Kalkulahin ang halaga para sa pag-unlad sa iyong sarili, dahil hindi ito mahirap sa lahat.

Magaling! Alam mo halos lahat tungkol sa pag-unlad! Mayroon na lamang isang pormula na natitira upang matutunan, na, ayon sa alamat, ay madaling hinihinuha para sa kanyang sarili ng isa sa mga pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, ang "hari ng mga mathematician" - Karl Gauss ...

Noong si Karl Gauss ay 9 na taong gulang, ang guro, na abala sa pagsuri sa gawain ng mga mag-aaral sa ibang mga baitang, ay nagtanong ng sumusunod na problema sa aralin: “Bilangin ang kabuuan ng lahat natural na mga numero mula sa (ayon sa iba pang mga mapagkukunan hanggang sa) kasama ". Isipin ang sorpresa ng guro nang ang isa sa kanyang mga estudyante (ito ay si Karl Gauss) ay nagbigay ng tamang sagot sa problema sa isang minuto, habang ang karamihan sa mga kaklase ng pangahas, pagkatapos ng mahabang kalkulasyon, ay nakatanggap ng maling resulta ...

Napansin ng batang si Karl Gauss ang isang tiyak na pattern na madali mong mapapansin.
Sabihin nating mayroon tayong aritmetika na pag-unlad na binubuo ng -th na mga miyembro: Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng mga ibinigay na miyembro ng arithmetic progression. Siyempre, maaari nating manu-manong isama ang lahat ng mga halaga, ngunit paano kung sa gawain ay kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga miyembro nito, tulad ng hinahanap ni Gauss?

Gumuhit tayo ng isang naibigay na pag-unlad. Tingnang mabuti ang mga naka-highlight na numero at subukang magsagawa ng iba't ibang mga operasyong matematika sa kanila.


Nasubukan mo na ba? Ano ang iyong napansin? Tama! Ang kanilang mga kabuuan ay pantay

Ngayon sabihin sa akin, gaano karaming mga pares ang mayroon sa ibinigay na pag-unlad? Siyempre, eksaktong kalahati ng lahat ng mga numero, iyon ay.
Batay sa katotohanan na ang kabuuan ng dalawang miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic ay pantay, at magkatulad na magkaparehong mga pares, nakuha namin na ang kabuuang kabuuan ay:
.
Kaya, ang pormula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay ang mga sumusunod:

Sa ilang mga problema, hindi namin alam ang ika-termino, ngunit alam namin ang pagkakaiba sa pag-unlad. Subukang palitan sa pormula para sa kabuuan, ang pormula para sa ika-katawagan.
Anong ginawa mo?

Magaling! Ngayon bumalik tayo sa problemang ibinigay kay Karl Gauss: kalkulahin ang iyong sarili kung ano ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th, at ang kabuuan ng mga numero na nagsisimula sa -th.

Magkano ang nakuha mo?
Nalaman ni Gauss na ang kabuuan ng mga miyembro ay pantay, at ang kabuuan ng mga miyembro. Ganyan ka ba nagdesisyon?

Sa katunayan, ang pormula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika ay napatunayan ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Diophantus noong ika-3 siglo, at sa buong panahong ito, ang mga matalinong tao ay gumagamit ng mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika sa sukdulan.
Halimbawa, isipin Sinaunang Ehipto at ang pinaka-ambisyoso na lugar ng pagtatayo noong panahong iyon - ang pagtatayo ng pyramid ... Ang pigura ay nagpapakita ng isang bahagi nito.

Nasaan ang progression dito na sinasabi mo? Tingnang mabuti at maghanap ng pattern sa bilang ng mga bloke ng buhangin sa bawat hilera ng pyramid wall.


Hindi ba ito isang pag-unlad ng aritmetika? Kalkulahin kung gaano karaming mga bloke ang kailangan upang makabuo ng isang pader kung ang mga bloke ng brick ay inilalagay sa base. Sana ay hindi ka magbilang sa pamamagitan ng pagpapatakbo ng iyong daliri sa monitor, naaalala mo ba ang huling formula at lahat ng sinabi namin tungkol sa pag-unlad ng arithmetic?

Sa kasong ito, ang pag-unlad ay ganito ang hitsura:.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.
Ang bilang ng mga miyembro ng arithmetic progression.
Ipalit natin ang ating data sa mga huling formula (bibilangin natin ang bilang ng mga bloke sa 2 paraan).

Paraan 1.

Paraan 2.

At ngayon maaari mong kalkulahin sa monitor: ihambing ang nakuha na mga halaga sa bilang ng mga bloke na nasa aming pyramid. Nagsama ba ito? Magaling, pinagkadalubhasaan mo ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad ng arithmetic.
Siyempre, hindi ka makakagawa ng isang pyramid mula sa mga bloke sa base, ngunit mula sa? Subukang kalkulahin kung gaano karaming mga sand brick ang kailangan upang makabuo ng pader na may ganitong kondisyon.
Inayos mo ba?
Ang tamang sagot ay mga bloke:

Pag-eehersisyo

Mga gawain:

1. Si Masha ay nagkakaayos na sa tag-araw. Araw-araw dinadagdagan niya ang bilang ng mga squats. Ilang beses mag-squat si Masha sa mga linggo, kung sa unang ehersisyo ay nag-squats siya.
2. Ano ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa.
3. Kapag nag-iimbak ng mga troso, ang mga magtotroso ay isinalansan ang mga ito sa paraang ang bawat isa itaas na layer naglalaman ng isang log na mas mababa kaysa sa nauna. Gaano karaming mga troso ang nasa isang pagmamason, kung ang mga troso ay nagsisilbing batayan ng pagmamason.

Mga sagot:

1. Tukuyin natin ang mga parameter ng pag-unlad ng arithmetic. Sa kasong ito
   (linggo = araw).

   Sagot: Pagkatapos ng dalawang linggo, dapat maglupasay si Masha isang beses sa isang araw.

2. Unang odd na numero, huling numero.
   Pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic.
   Ang bilang ng mga kakaibang numero sa ay kalahati, gayunpaman, susuriin natin ang katotohanang ito gamit ang formula para sa paghahanap ng -th term ng isang pag-unlad ng arithmetic:

   Ang mga numero ay naglalaman ng mga kakaibang numero.
   Palitan ang magagamit na data sa formula:

   Sagot: Ang kabuuan ng lahat ng mga kakaibang numero na nakapaloob sa ay katumbas ng.

3. Alalahanin natin ang problema sa pyramid. Para sa aming kaso, a, dahil ang bawat tuktok na layer ay nababawasan ng isang log, pagkatapos lamang sa isang grupo ng mga layer, iyon ay.
   I-substitute natin ang data sa formula:

   Sagot: May mga troso sa pagmamason.

I-summarize natin

1. - isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay. Maaari itong tumaas at bumaba.
2. Paghahanap ng formula Ang ika-th miyembro ng arithmetic progression ay isinulat ng formula -, kung saan ang bilang ng mga numero sa progression.
3. Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression- - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.
4. Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan sa dalawang paraan:
   
   , kung saan ang bilang ng mga halaga.

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. AVERAGE LEVEL

Pagkakasunod-sunod ng numero

Umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring mayroong kasing dami hangga't gusto mo. Ngunit palagi mong masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa, iyon ay, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Sa madaling salita, ang bawat numero ay maaaring iugnay sa isang tiyak na natural na numero, at ang isa lamang. At hindi namin itatalaga ang numerong ito sa anumang iba pang numero mula sa set na ito.

Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito:.

Ito ay lubos na maginhawa kung ang ika-kataga ng pagkakasunud-sunod ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng ilang formula. Halimbawa, ang formula

tumutukoy sa pagkakasunud-sunod:

At ang formula ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Halimbawa, ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod (ang unang termino dito ay pantay, at ang pagkakaiba). O (, pagkakaiba).

Nth term formula

Tinatawag namin ang paulit-ulit na pormula kung saan upang malaman ang ika-miyembro, kailangan mong malaman ang nauna o ilang nauna:

Upang mahanap, halimbawa, ang ika-kataga ng pag-unlad gamit ang gayong formula, kailangan nating kalkulahin ang nakaraang siyam. Halimbawa, hayaan. Pagkatapos:

Well, ano ang formula ngayon?

Sa bawat linya na idinaragdag namin, na pinarami ng ilang numero. Para saan? Napakasimple: ito ang bilang ng kasalukuyang miyembro na binawasan:

Mas maginhawa ngayon, tama? Sinusuri namin:

Magpasya para sa iyong sarili:

Sa isang pag-usad ng arithmetic, hanapin ang formula para sa ika-10 termino at hanapin ang ika-100 termino.

Solusyon:

Ang unang termino ay pantay. Ano ang pagkakaiba? At narito kung ano:

(ito ay dahil ito ay tinatawag na pagkakaiba, na katumbas ng pagkakaiba ng magkakasunod na miyembro ng pag-unlad).

Kaya ang formula ay:

Pagkatapos ang ika-daang termino ay:

Ano ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula hanggang?

Ayon sa alamat, ang mahusay na matematiko na si Karl Gauss, bilang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, ay kinakalkula ang halagang ito sa loob ng ilang minuto. Napansin niya na ang kabuuan ng una at huling mga numero ay pantay, ang kabuuan ng pangalawa at ang huli ngunit ang isa ay pareho, ang kabuuan ng ikatlo at pangatlo mula sa dulo ay pareho, at iba pa. Gaano karaming mga pares ang magkakaroon? Tama, eksaktong kalahati ng bilang ng lahat ng numero, kumbaga. Kaya,

Ang pangkalahatang pormula para sa kabuuan ng mga unang termino ng anumang pag-unlad ng arithmetic ay:

Halimbawa:
Hanapin ang kabuuan ng lahat dalawang-digit na numero, maramihan.

Solusyon:

Ang unang ganoong numero ay. Ang bawat susunod ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag sa nakaraang numero. Kaya, ang mga bilang ng interes sa amin ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino at ang pagkakaiba.

Ang formula ng ika-apat na termino para sa pag-unlad na ito ay:

Ilang miyembro ang nasa progress kung lahat sila ay kailangang double digit?

Napakadaling: .

Magiging pantay ang huling termino sa progression. Pagkatapos ang kabuuan:

Sagot: .

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Araw-araw, ang atleta ay tumatakbo nang mas m kaysa sa nakaraang araw. Ilang kilometro ang kanyang tatakbo sa mga linggo kung tumakbo siya ng km m sa unang araw?
2. Ang isang siklista ay nagmamaneho ng mas maraming kilometro araw-araw kaysa sa nauna. Sa unang araw, nagmaneho siya ng km. Ilang araw ang kailangan niyang maglakbay upang masakop ang km? Ilang kilometro ang lalakbayin niya sa huling araw ng paglalakbay?
3. Ang presyo ng refrigerator sa isang tindahan ay bumababa ng parehong halaga bawat taon. Tukuyin kung magkano ang presyo ng refrigerator ay nabawasan bawat taon, kung, ilagay para sa pagbebenta para sa rubles, anim na taon mamaya ito ay nabili para sa rubles.

Mga sagot:

1. Ang pinakamahalagang bagay dito ay kilalanin ang pag-unlad ng aritmetika at matukoy ang mga parameter nito. Sa kasong ito, (linggo = araw). Kailangan mong tukuyin ang kabuuan ng mga unang miyembro ng pag-unlad na ito:
   .
   Sagot:
2. Ito ay ibinigay dito:, ito ay kinakailangan upang mahanap.
   Malinaw, kailangan mong gumamit ng parehong sum formula tulad ng sa nakaraang problema:
   .
   Palitan ang mga halaga:

   Ang ugat ay halatang hindi magkasya, kaya ang sagot ay.
   Kalkulahin natin ang distansyang nilakbay para sa huling araw gamit ang formula ng ika-termino:
   (km).
   Sagot:

3. Ibinigay:. Hanapin: .
   Hindi ito maaaring maging mas madali:
   (kuskusin).
   Sagot:

ARITMETIKONG PAG-UNLAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Ito ay isang numerical sequence kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay pareho at pantay.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring pataas () at bumababa ().

Halimbawa:

Ang formula para sa paghahanap ng n-th term ng isang arithmetic progression

nakasulat sa pamamagitan ng formula, kung saan ay ang bilang ng mga numero sa progression.

Pag-aari ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Binibigyang-daan ka nitong madaling makahanap ng miyembro ng progression kung kilala ang mga kalapit na miyembro nito - nasaan ang bilang ng mga numero sa progression.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression

Mayroong dalawang paraan upang mahanap ang halaga:

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Nasaan ang bilang ng mga halaga.

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na iyon!

Ngayon ay dumating ang pinakamahalagang bagay.

Naisip mo ang teorya sa paksang ito. At, muli, ito ay ... ito ay super! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Upang matagumpay na makapasa sa pagsusulit, upang makapasok sa institute sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi rin ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataong nagbubukas sa kanila at nagiging mas maliwanag ang buhay? Hindi alam...

Ngunit isipin mo ang iyong sarili ...

Ano ang kailangan para maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?

KUMUHA NG KAMAY NA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema nang ilang sandali.

At, kung hindi mo nalutas ang mga ito (MARAMING!), Tiyak na pupunta ka sa isang lugar na tanga na nagkakamali o hindi magkakaroon ng oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulit-ulitin para siguradong manalo.

Maghanap ng koleksyon kung saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang mapuno ang iyong kamay sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng aklat-aralin na YouClever na kasalukuyan mong binabasa.

paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. Ibahagi ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 r
2. I-unlock ang access sa lahat ng nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - RUB 999

Oo, mayroon kaming 99 na mga artikulo sa aming aklat-aralin, at ang pag-access para sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay maaaring mabuksan nang sabay-sabay.

Sa pangalawang kaso bibigyan ka namin simulator "6000 mga problema sa mga solusyon at sagot, para sa bawat paksa, para sa lahat ng antas ng kahirapan." Ito ay tiyak na sapat na upang makakuha ng isang hawakan sa paglutas ng mga problema sa anumang paksa.

Sa katunayan, ito ay higit pa sa isang simulator - isang buong programa ng pagsasanay. Kung kinakailangan, maaari mo ring gamitin ito nang LIBRE.

Ang access sa lahat ng mga teksto at programa ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang mag-isip sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin!

Arithmetic progression tinatawag na pagkakasunod-sunod ng mga numero (mga miyembro ng isang progression)

Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.

Kaya, ang pagtatakda ng hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito sa pamamagitan ng formula

Arithmetic progression properties

1) Ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nakaraan at susunod na miyembro ng progression

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng katabing odd (even) na mga miyembro ng progression ay katumbas ng term sa pagitan nila, ang sequence na ito ng mga numero ay arithmetic progression. Pinapadali ng pahayag na ito na suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong i-verify kung isusulat namin ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign

Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang pasimplehin ang mga pagkalkula sa mga problema.

2) Ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula ng formula

Tandaan na mabuti ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay kailangang-kailangan para sa mga kalkulasyon at medyo karaniwan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit bahagi ng sequence simula sa k -th term, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magiging kapaki-pakinabang.

4) Isang praktikal na interes na hanapin ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at magpatuloy sa paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsasanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4; 7; ...

Solusyon:

Ayon sa kondisyon, mayroon tayo

Tukuyin ang hakbang ng pag-unlad

Gamit ang kilalang formula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad

Halimbawa 2. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Solusyon:

Isulat natin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad gamit ang mga formula

Ibinabawas namin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta, nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic

Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung miyembro ng pag-unlad

Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang dami.

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng denominator at ng isa sa mga miyembro nito. Hanapin ang unang miyembro ng progression, ang kabuuan ng 50 miyembro nito na nagsisimula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.

Solusyon:

Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression

at hanapin ang una

Batay sa una, nakita namin ang 50 termino ng pag-unlad

Hanapin ang kabuuan ng bahagi ng progression

at ang kabuuan ng unang 100

Ang kabuuan ng pag-unlad ay 250.

Halimbawa 4.

Hanapin ang bilang ng mga miyembro ng isang arithmetic progression kung:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Solusyon:

Isinulat namin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga miyembro sa kabuuan

Nagsasagawa ng mga pagpapasimple

at lutasin ang quadratic equation

Sa dalawang halaga na natagpuan para sa kondisyon ng problema, ang numero 8 lamang ang angkop. Kaya, ang kabuuan ng unang walong miyembro ng pag-unlad ay 111.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isulat natin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba sa progreso

Ang kabuuan ng isang arithmetic progression.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa formula. Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula elementary hanggang medyo solid.

Una, alamin natin ang kahulugan at ang formula para sa kabuuan. At pagkatapos ay ayusin namin ito. Para sa iyong kasiyahan.) Ang kahulugan ng kabuuan ay simple, tulad ng isang ugong. Upang mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga miyembro nito. Kung kakaunti ang mga terminong ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami ... nakakainis ang karagdagan.) Sa kasong ito, nakakatipid ang formula.

Ang sum formula ay mukhang simple:

Alamin natin kung anong mga letra ang kasama sa formula. Maglilinaw ito ng marami.

S n - ang kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic. Resulta ng karagdagan sa lahat mga miyembro na may ang una sa huling. Ito ay mahalaga. Idagdag nang eksakto lahat mga miyembro sa isang hilera, walang gaps at jumps. At, ibig sabihin, simula sa una. Sa mga gawain tulad ng paghahanap ng kabuuan ng ikatlo at ikawalong termino, o ang kabuuan ng ikalima hanggang ikadalawampung termino, ang direktang aplikasyon ng formula ay magiging kabiguan.)

a 1 - una miyembro ng progreso. Ang lahat ay malinaw dito, ito ay simple una numero ng hilera.

isang n- huli miyembro ng progreso. Ang huling numero ng row. Hindi masyadong pamilyar na pangalan, ngunit, kapag inilapat sa halaga, ito ay kahit na napaka-angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.

n - ang numero ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa formula ang numerong ito kasabay ng bilang ng mga idinagdag na miyembro.

Tukuyin natin ang konsepto ang huli miyembro isang n... Tanong sa backfill: sinong miyembro ang magiging huli kung ibibigay walang katapusan pag-unlad ng aritmetika?)

Para sa isang tiwala na sagot, kailangan mong maunawaan ang elementarya na kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic at ... basahin nang mabuti ang takdang-aralin!)

Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang huling termino ay palaging lilitaw (direkta o hindi direkta), na dapat ay limitado. Kung hindi, ang pangwakas, tiyak na halaga wala lang. Para sa solusyon, hindi mahalaga kung aling pag-unlad ang ibinigay: may hangganan o walang katapusan. Hindi mahalaga kung paano ito itinakda: sa pamamagitan ng bilang ng mga numero, o ng formula ng n-th term.

Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang formula ay gumagana mula sa unang termino ng pag-unlad sa numero c. n. Sa totoo lang, ganito ang hitsura ng buong pangalan ng formula: ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ang bilang ng mga pinakaunang miyembro na ito, i.e. n, ay eksklusibong tinutukoy ng gawain. Sa gawain, ang lahat ng mahalagang impormasyong ito ay madalas na naka-encrypt, oo ... Ngunit wala, sa mga halimbawa sa ibaba ay ibubunyag namin ang mga lihim na ito.)

Mga halimbawa ng mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Una sa lahat, kapaki-pakinabang na impormasyon:

Ang pangunahing kahirapan sa mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay nakasalalay sa tamang pagpapasiya ng mga elemento ng formula.

Ang mga may-akda ng mga gawain ay naka-encrypt ng mga mismong elementong ito na may walang hanggan na imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, sapat na upang maunawaan ang mga ito. Tingnan natin ang ilang halimbawa. Magsimula tayo sa isang takdang-aralin batay sa isang tunay na GIA.

1. Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng kondisyon: a n = 2n-3.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 miyembro nito.

Magandang assignment. Madali.) Ano ang kailangan nating malaman upang matukoy ang halaga sa pamamagitan ng formula? Unang termino a 1, huling termino isang n, oo ang numero ng huling miyembro n.

Kung saan makukuha ang numero ng huling miyembro n? Oo doon, sa kondisyon! Sinasabi nito: hanapin ang halaga unang 10 miyembro. Well, kung ano ang magiging numero huling, tenth term?) Hindi ka maniniwala, ang numero nito ay ikasampu!) So, instead of isang n sa formula na papalitan natin isang 10, at sa halip na n- sampu. Muli, ang bilang ng huling miyembro ay kapareho ng bilang ng mga miyembro.

Ito ay nananatiling tukuyin a 1 at isang 10... Madaling kalkulahin sa pamamagitan ng formula ng nth term, na ibinigay sa pahayag ng problema. Hindi sigurado kung paano gawin ito? Bisitahin ang nakaraang aralin, kung wala ito - wala.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

isang 10= 210 - 3.5 = 16.5

S n = S 10.

Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng elemento ng formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ito ay nananatiling palitan ang mga ito, at bilangin:

Iyon lang ang mayroon. Sagot: 75.

Isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:

2. Bibigyan ka ng arithmetic progression (a n), ang pagkakaiba nito ay 3.7; a 1 = 2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 miyembro nito.

Agad naming isinulat ang formula para sa halaga:

Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang halaga ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Naghahanap kami ng isang simpleng pagpapalit:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

Ito ay nananatiling palitan ang lahat ng mga elemento sa formula para sa kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic at kalkulahin ang sagot:

Sagot: 423.

Sa pamamagitan ng paraan, kung sa formula ang kabuuan sa halip ng isang n palitan lamang ang formula para sa ika-n na termino, makukuha natin:

Nagbibigay kami ng mga katulad, nakakakuha kami ng bagong formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:

Tulad ng nakikita mo, hindi ito kinakailangan dito nth term isang n... Sa ilang mga gawain, ang formula na ito ay nakakatulong nang malaki, oo ... Maaalala mo ang formula na ito. O maaari mo lang itong ipakita sa tamang oras, tulad dito. Pagkatapos ng lahat, ang pormula para sa kabuuan at ang pormula para sa ika-n na termino ay dapat tandaan sa lahat ng paraan.)

Ngayon ang gawain ay nasa anyo ng isang maikling pag-encrypt):

3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na nahahati sa tatlo.

Paano! Ni ang unang miyembro, o ang huli, o ang pag-unlad sa lahat ... Paano mabuhay !?

Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at bunutin ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic mula sa kondisyon. Alam natin kung ano ang dalawang-digit na numero. Binubuo ang mga ito ng dalawang digit.) What two-digit number will be ang una? 10, sa palagay ko.) huling bagay dalawang digit na numero? 99, siyempre! Susundan siya ng mga tatlong-digit ...

Multiples of three ... Hm ... Ito ay mga numero na kahit na nahahati sa tatlo, narito! Ang sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati ... 12 ... ay nahahati! Kaya, may isang bagay na umuusad. Posible nang isulat ang isang serye ayon sa kondisyon ng problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Magiging arithmetic progression ba ang seryeng ito? Syempre! Ang bawat miyembro ay naiiba mula sa nauna nang mahigpit na tatlo. Kung magdagdag tayo ng 2 o 4 sa termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang bagong numero ay hindi na ganap na mahahati sa 3. Sa heap, matutukoy mo kaagad ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic: d = 3. Ito ay magiging kapaki-pakinabang!)

Kaya, maaari mong ligtas na isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:

Ano ang magiging numero n huling miyembro? Ang sinumang mag-aakalang 99 ay malubha na nagkakamali ... Mga Numero - palagi silang magkakasunod, at ang aming mga miyembro ay tumalon sa nangungunang tatlo. Hindi sila magkatugma.

Mayroong dalawang solusyon. Ang isang paraan ay para sa sobrang masipag. Maaari mong ipinta ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga miyembro gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa maalalahanin. Kailangan nating tandaan ang formula para sa ika-n na termino. Kung ilalapat natin ang formula sa ating problema, makukuha natin na ang 99 ay ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad. Yung. n = 30.

Tinitingnan namin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic:

Tumingin kami, at masaya kami.) Inilabas namin ang lahat ng kailangan upang kalkulahin ang halaga mula sa pahayag ng problema:

a 1= 12.

isang 30= 99.

S n = S 30.

Elementary arithmetic remains. Pinapalitan namin ang mga numero sa formula at binibilang:

Sagot: 1665

Isa pang uri ng mga sikat na puzzle:

4. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Hanapin ang kabuuan ng mga miyembro mula ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat.

Tinitingnan namin ang sum formula at ... nagkakagulo kami.) Ang formula, hayaan mong ipaalala ko sa iyo, kinakalkula ang kabuuan mula sa una miyembro. At sa problema kailangan mong kalkulahin ang kabuuan mula ikadalawampu... Hindi gagana ang formula.

Maaari mong, siyempre, ipinta ang buong pag-unlad nang sunud-sunod, at magdagdag ng mga miyembro mula 20 hanggang 34. Ngunit ... ito ay katangahan at tumatagal ng mahabang panahon, tama ba?)

May mas eleganteng solusyon. Hatiin natin ang ating row sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay magiging mula sa unang miyembro hanggang sa ikalabinsiyam. Ikalawang bahagi - mula ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat. Malinaw na kung kalkulahin natin ang kabuuan ng mga miyembro ng unang bahagi S 1-19, oo idinaragdag namin ang kabuuan ng mga tuntunin ng ikalawang bahagi S 20-34, nakukuha natin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang termino hanggang sa tatlumpu't apat S 1-34... Ganito:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ito ay nagpapakita na upang mahanap ang kabuuan S 20-34 maaaring simpleng pagbabawas

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Ang parehong mga halaga sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay lubos na naaangkop sa kanila. Nagsisimula?

Kinukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa pahayag ng problema:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Upang kalkulahin ang mga kabuuan ng unang 19 at unang 34 na miyembro, kakailanganin natin ang ika-19 at ika-34 na miyembro. Binibilang namin ang mga ito ayon sa pormula ng nth term, tulad ng sa problema 2:

isang 19= -21.5 + (19-1) 1.5 = 5.5

isang 34= -21.5 + (34-1) 1.5 = 28

Walang natira. Ibawas ang 19 na miyembro mula sa kabuuang 34 na miyembro:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Sagot: 262.5

Isang mahalagang tala! Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na trick sa paglutas ng problemang ito. Sa halip na direktang pag-aayos kung ano ang kailangan mo (S 20-34), binilang namin kung ano, tila, ay hindi kailangan - S 1-19. At saka lamang nila natukoy at S 20-34, itinatapon ang hindi kailangan mula sa kumpletong resulta. Ang "panlilinlang sa mga tainga" na ito ay madalas na nakakatipid sa masasamang gawain.)

Sa araling ito, sinuri namin ang mga problema, para sa solusyon kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Well, kailangan mong malaman ang ilang mga formula.)

Praktikal na payo:

Kapag nilulutas ang anumang problema para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, inirerekumenda ko kaagad na isulat ang dalawang pangunahing formula mula sa paksang ito.

Ang formula para sa ika-n na termino ay:

Ang mga formula na ito ay agad na magsasabi sa iyo kung ano ang hahanapin, kung saan direksyon mag-iisip upang malutas ang problema. Nakakatulong ito.

At ngayon ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon.

5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi nahahati sa tatlo.

Cool?) Nakatago ang tip sa tala sa gawain 4. Well, makakatulong ang gawain 3.

6. Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng kondisyon: a 1 = -5.5; a n + 1 = a n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na miyembro.

Hindi karaniwan?) Ito ay isang recursive formula. Mababasa mo ito sa nakaraang aralin. Huwag balewalain ang link, ang mga ganitong gawain ay madalas na matatagpuan sa GIA.

7. Nag-ipon ng pera si Vasya para sa Holiday. Hanggang 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang aking pinakamamahal na tao (ang aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Upang mamuhay nang maganda, nang hindi tinatanggihan ang iyong sarili ng anuman. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at gumastos ng 50 rubles nang higit pa sa bawat kasunod na araw kaysa sa nakaraang araw! Hanggang sa maubos ang supply ng pera. Ilang araw ng kaligayahan ang nakuha ni Vasya?

Mahirap?) Makakatulong ang karagdagang formula mula sa problema 2.

Mga sagot (magulo): 7, 3240, 6.

Kung gusto mo ang site na ito ...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Instant na pagsubok sa pagpapatunay. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

O arithmetic ay isang uri ng ordered numerical sequence, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Ano ang pag-unlad na ito?

Bago magpatuloy upang isaalang-alang ang tanong (kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika), ito ay nagkakahalaga ng pag-unawa kung ano ang tatalakayin.

Anumang pagkakasunod-sunod ng mga tunay na numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng ilang halaga mula sa bawat nakaraang numero ay tinatawag na algebraic (aritmetika) na pag-unlad. Ang kahulugang ito, na isinalin sa wika ng matematika, ay nasa anyo:

Narito ang i ay ang ordinal na numero ng elemento ng row a i. Kaya, sa pag-alam lamang ng isang buto, madali mong mabuo muli ang buong serye. Ang parameter d sa formula ay tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad.

Madaling maipakita na ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Iyon ay, upang mahanap ang halaga ng nth elemento sa pagkakasunud-sunod, idagdag ang pagkakaiba d sa unang elemento a 1 n-1 beses.

Ano ang kabuuan ng isang arithmetic progression: formula

Bago magbigay ng isang formula para sa ipinahiwatig na halaga, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simple espesyal na kaso... Dahil sa pag-unlad ng mga natural na numero mula 1 hanggang 10, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil kakaunti ang mga miyembro sa progression (10), posibleng lutasin ang problema nang direkta, iyon ay, upang buuin ang lahat ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isa kawili-wiling bagay: dahil ang bawat termino ay naiiba mula sa susunod na isa sa pamamagitan ng parehong halaga d = 1, pagkatapos ay pairwise summation ng una sa ikasampu, ang pangalawa sa ikasiyam, at iba pa ay magbibigay ng parehong resulta. Talaga:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang 5 sa mga kabuuan na ito, iyon ay, eksaktong dalawang beses na mas mababa kaysa sa bilang ng mga elemento sa serye. Pagkatapos ay i-multiply ang bilang ng mga kabuuan (5) sa resulta ng bawat kabuuan (11), mapupunta ka sa resulta na nakuha sa unang halimbawa.

Kung i-generalize natin ang pangangatwiran na ito, maaari nating isulat ang sumusunod na expression:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ang expression na ito ay nagpapakita na ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang sum up ang lahat ng mga elemento sa isang hilera, ito ay sapat na upang malaman ang halaga ng unang a 1 at ang huling a n, pati na rin ang ang kabuuan mga tuntunin n.

Ito ay pinaniniwalaan na unang naisip ni Gauss ang pagkakapantay-pantay na ito nang siya ay naghahanap ng solusyon sa ibinigay nito guro sa paaralan gawain: idagdag ang unang 100 integer.

Kabuuan ng mga elemento mula m hanggang n: formula

Ang pormula na ibinigay sa nakaraang talata ay nagbibigay ng sagot sa tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika (mga unang elemento), ngunit kadalasan sa mga problema ay kinakailangan na buod ng isang serye ng mga numero sa gitna ng pag-unlad. Paano ito gagawin?

Ang pinakamadaling paraan upang sagutin ang tanong na ito ay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa: hayaang kailanganin na hanapin ang kabuuan ng mga termino mula m-th hanggang n-th. Upang malutas ang problema, ang isang ibinigay na segment mula m hanggang n ng pag-unlad ay dapat ipakita sa anyo ng isang bagong serye ng numero. Sa ganyan representasyon ng mth Ang terminong a m ang magiging una, at ang isang n ay magiging n- (m-1). Sa kasong ito, ang paglalapat ng karaniwang formula para sa kabuuan, makukuha mo ang sumusunod na expression:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Isang halimbawa ng paggamit ng mga formula

Ang pag-alam kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng halimbawa ng paggamit ng mga formula na ibinigay.

Nasa ibaba ang isang numerical sequence, dapat mong hanapin ang kabuuan ng mga miyembro nito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-12:

Ang mga ibinigay na numero ay nagpapahiwatig na ang pagkakaiba d ay 3. Gamit ang expression para sa ika-n na elemento, mahahanap mo ang mga halaga ng ika-5 at ika-12 na termino ng pag-unlad. Lumalabas itong:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Ang pag-alam sa mga halaga ng mga numero sa mga dulo ng itinuturing na pag-unlad ng algebraic, at pag-alam din kung aling mga numero sa hilera ang kanilang sinasakop, maaari mong gamitin ang formula para sa kabuuan na nakuha sa nakaraang talata. Ito ay lalabas:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Kapansin-pansin na ang halagang ito ay maaaring makuha sa ibang paraan: una, hanapin ang kabuuan ng unang 12 elemento gamit ang karaniwang formula, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan ng unang 4 na elemento gamit ang parehong formula, pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan.