Потенціал до творчості зазвичай приписують гуманітарним дисциплінам, природно науковим залишаючи аналіз, практичний підхід та суху мову формул та цифр. Математику до гуманітарних предметів не віднесеш. Але без творчості в «цариці всіх наук» далеко не поїдеш – про це людям відомо з давніх-давен. З часів Піфагора, наприклад.

Шкільні підручники, на жаль, зазвичай не пояснюють, що в математиці важливо не лише зубрити теореми, аксіоми та формули. Важливо розуміти та відчувати її фундаментальні принципи. І при цьому спробувати звільнити свій розум від штампів та абеткових істин – тільки в таких умовах народжуються всі великі відкриття.

До таких відкриттів можна віднести і те, що сьогодні ми знаємо як теорему Піфагора. З його допомогою ми спробуємо показати, що математика не тільки може, а й має бути цікавою. І що ця пригода підходить не тільки ботанікам у товстих окулярах, а всім, хто міцний розумом і сильним духом.

З історії питання

Строго кажучи, хоч теорема і називається «теорема Піфагора», сам Піфагор її не відкривав. Прямокутний трикутник та його особливі властивості вивчалися задовго до нього. Є дві полярні погляди на це питання. За однією версією Піфагор першим знайшов повноцінний доказ теореми. За іншим доказом не належить авторству Піфагора.

Сьогодні вже не перевіриш, хто має рацію, а хто помиляється. Відомо лише, що докази Піфагора, якщо воно коли-небудь існувало, не збереглося. Втім, висловлюються припущення, що знаменитий доказ із «Початків» Евкліда може належати Піфагору, і Евклід його тільки зафіксував.

Також сьогодні відомо, що завдання про прямокутний трикутник зустрічаються в єгипетських джерелах часів фараона Аменемхета I, на вавилонських глиняних табличках періоду правління царя Хаммурапі, в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» та давньокитайському творі «Чжоубі-су».

Як бачите, теорема Піфагора займала уми математиків з найдавніших часів. Підтвердженням є й близько 367 різноманітних доказів, які існують сьогодні. У цьому з нею не може тягатися жодна інша теорема. Серед знаменитих авторів доказів можна згадати Леонардо да Вінчі та двадцятого президента США Джеймса Гарфілда. Все це говорить про надзвичайну важливість цієї теореми для математики: з неї виводиться або так чи інакше пов'язана з нею більшість теорем геометрії.

Докази теореми Піфагора

У шкільних підручниках переважно наводять алгебраїчні докази. Але суть теореми в геометрії, тож давайте розглянемо насамперед ті докази знаменитої теореми, які спираються на цю науку.

Доказ 1

Для найпростішого доказу теореми Піфагора для прямокутного трикутника потрібно встановити ідеальні умови: нехай трикутник буде не тільки прямокутним, а й рівнобедреним. Є підстави вважати, що саме такий трикутник спочатку розглядали математику давнини.

Твердження "квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах"можна проілюструвати наступним кресленням:

Подивіться на рівнобедрений прямокутний трикутник ABC: На гіпотенузі АС можна побудувати квадрат, що складається з чотирьох трикутників, що дорівнює вихідному АВС. А на катетах АВ і ПС побудовано по квадрату, кожен з яких містить по два аналогічні трикутники.

До речі, це креслення лягло основою численних анекдотів і карикатур, присвячених теоремі Піфагора. Найзнаменитіший, мабуть, це «Піфагорові штани на всі боки рівні»:

Доказ 2

Цей метод поєднує в собі алгебру та геометрію і може розглядатися як варіант давньоіндійського доказу математика Бхаскарі.

Побудуйте прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c(Рис.1). Потім збудуйте два квадрати зі сторонами, рівними сумі довжин двох катетів, – (a+b). У кожному із квадратів виконайте побудови, як на рисунках 2 та 3.

У першому квадраті побудуйте чотири таких трикутники, як у малюнку 1. У результаті виходити два квадрата: один із стороною a, другий зі стороною b.

У другому квадраті чотири побудовані аналогічні трикутники утворюють квадрат зі стороною, що дорівнює гіпотенузі. c.

Сума площ збудованих квадратів на рис.2 дорівнює площі збудованого нами квадрата зі стороною з на рис.3. Це легко перевірити, вирахувавши площі квадратів на рис. 2 за формулою. А площа вписаного квадрата на малюнку 3. шляхом віднімання площ чотирьох рівних між собою вписаних у квадрат прямокутних трикутників із площі великого квадрата зі стороною (a+b).

Записавши все це, маємо: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Розкрийте дужки, проведіть усі необхідні алгебраїчні обчислення та отримайте, що a 2 +b 2 = a 2 +b 2. У цьому площа вписаного на рис.3. квадрата можна обчислити і за традиційною формулою S=c 2. Тобто. a 2 +b 2 =c 2- Ви довели теорему Піфагора.

Доказ 3

Сам же давньоіндійський доказ описаний у XII столітті в трактаті «Вінець знання» («Сіддханта широмані») і як головний аргумент автор використовує заклик, звернений до математичних талантів та спостережливості учнів і послідовників: «Дивись!».

Але ми розберемо цей доказ більш докладно:

Всередині квадрата побудуйте чотири прямокутні трикутники так, як це позначено на кресленні. Сторону великого квадрата, вона ж гіпотенуза, позначимо з. Катети трикутника назвемо аі b. Відповідно до креслення сторона внутрішнього квадрата це (a-b).

Використовуйте формулу площі квадрата S=c 2, щоб обчислити площу зовнішнього квадрата. І одночасно вирахуйте ту ж величину, склавши площу внутрішнього квадрата і площі всіх чотирьох прямокутних трикутників: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ви можете використовувати обидва варіанти обчислення площі квадрата, щоб переконатися, що вони дадуть однаковий результат. І це дає вам право записати, що c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В результаті рішення ви отримаєте формулу теореми Піфагора c 2 =a 2 +b 2. Теорему доведено.

Доказ 4

Цей цікавий давньокитайський доказ отримав назву «Стілець нареченої» - через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов:

У ньому використовується креслення, яке ми вже бачили на рис.3 у другому доказі. А внутрішній квадрат зі стороною з побудований так само, як у давньоіндійському доказі, наведеному вище.

Якщо подумки відрізати від креслення на рис.1 два зелені прямокутні трикутники, перенести їх до протилежних сторін квадрата зі стороною з і гіпотенузами прикласти до гіпотенуз бузкових трикутників, вийде фігура під назвою «стілець нареченої» (рис.2). Для наочності можна те саме зробити з паперовими квадратами і трикутниками. Ви переконаєтеся, що «стілець нареченої» утворюють два квадрати: маленькі зі стороною bі великий зі стороною a.

Ці побудови дозволили давньокитайським математикам і нам слідом за ними дійти висновку, що c 2 =a 2 +b 2.

Доказ 5

Це ще один спосіб знайти рішення для теореми Піфагора, спираючись на геометрію. Називається він "Метод Гарфілда".

Побудуйте прямокутний трикутник АВС. Нам треба довести, що НД 2 =АС 2 +АВ 2.

Для цього продовжіть катет АСта побудуйте відрізок CD, який дорівнює катету АВ. Опустіть перпендикулярний ADвідрізок ED. Відрізки EDі АСрівні. З'єднайте точки Еі У, а також Еі Зі отримайте креслення, як на малюнку нижче:

Щоб довести терему, ми знову вдається до вже випробуваного нами способу: знайдемо площу фігури, що вийшла, двома способами і прирівняємо вирази один до одного.

Знайти площу багатокутника ABEDможна, склавши площу трьох трикутників, які її утворюють. Причому один із них, ЄСВ, є не тільки прямокутним, а й рівнобедреним. Не забуваємо також, що АВ = CD, АС = EDі ВС = РЄ– це дозволить нам спростити запис та не перевантажувати його. Отже, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

При цьому очевидно, що ABED- Це трапеція. Тому обчислюємо її площу за формулою: S ABED = (DE + AB) * 1/2AD. Для наших обчислень зручніше та наочніше уявити відрізок ADяк суму відрізків АСі CD.

Запишемо обидва способи обчислити площу фігури, поставивши з-поміж них знак рівності: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Використовуємо вже відому нам та описану вище рівність відрізків, щоб спростити праву частинузапису: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2. А тепер розкриємо дужки і перетворюємо рівність: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2. Закінчивши всі перетворення, отримаємо саме те, що нам треба: НД 2 =АС 2 +АВ 2. Ми довели теорему.

Звісно, ​​цей список доказів далеко не повний. Теорему Піфагора також можна довести за допомогою векторів, комплексних чисел, диференціальних рівнянь, стереометрії тощо. І навіть фізики: якщо, наприклад, в аналогічних представлених на кресленнях квадратні та трикутні обсяги залити рідину. Переливаючи рідину, можна довести рівність площ і саму теорему у результаті.

Пару слів про Піфагорові трійки

Це питання мало чи взагалі не вивчається у шкільній програмі. А тим часом він є дуже цікавим і має велике значенняу геометрії. Піфагорові трійки застосовуються на вирішення багатьох математичних завдань. Уявлення про них може стати вам у нагоді в подальшій освіті.

То що таке Піфагорові трійки? Так називають натуральні числа, Зібрані по троє, сума квадратів двох з яких дорівнює третьому числу в квадраті.

Піфагорові трійки можуть бути:

• примітивними (всі три числа – взаємно прості);
• не примітивними (якщо кожне число трійки помножити на те саме число, вийде нова трійка, яка не є примітивною).

Ще до нашої ери стародавніх єгиптян заворожувала манія чисел Піфагорових трійок: у завданнях вони розглядали прямокутний трикутник із сторонами 3,4 та 5 одиниць. До речі, будь-який трикутник, сторони якого дорівнюють числам з піфагорової трійки, за замовчуванням є прямокутним.

Приклади Піфагорових трійок: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 48, 50), (30, 40, 50) і т.д.

Практичне застосування теореми

Теорема Піфагора знаходить застосування у математиці, а й у архітектурі та будівництві, астрономії і навіть літературі.

Спочатку про будівництво: теорема Піфагора знаходить у ньому широке застосуванняу завданнях різного рівня складності. Наприклад, подивіться на вікно у романському стилі:

Позначимо ширину вікна як bтоді радіус великого півкола можна позначити як Rі виразити через b: R=b/2. Радіус менших півкола також виразимо через b: r=b/4. У цьому завдання нас цікавить радіус внутрішнього кола вікна (назвемо його p).

Теорема Піфагора якраз і стане в нагоді, щоб обчислити р. Для цього використовуємо прямокутний трикутник, що на малюнку позначений пунктиром. Гіпотенуза трикутника складається із двох радіусів: b/4+p. Один катет є радіусом. b/4, інший b/2-p. Використовуючи теорему Піфагора, запишемо: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Далі розкриємо дужки та отримаємо b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Перетворимо цей вираз на bp/2=b 2 /4-bp. А потім розділимо всі члени на b, наведемо подібні, щоб отримати 3/2*p=b/4. І в результаті знайдемо, що p=b/6- Що нам і потрібно.

За допомогою теореми можна обчислити довжину крокви для двосхилим даху. Визначити, якою висоти вежа мобільного зв'язкупотрібна, щоб сигнал досягав певного населеного пункту. І навіть стійко встановити новорічну ялинкуна міській площі. Як бачите, ця теорема живе не лише на сторінках підручників, а й часто буває корисною у реальному житті.

Щодо літератури, то теорема Піфагора надихала письменників з часів античності і продовжує це робити в наш час. Наприклад, німецького письменника ХІХ століття Адельберта фон Шаміссо вона надихнула на написання сонета:

Світло істини розсіється не скоро,
Але, засяявши, розсіється навряд
І, як тисячоліття тому,
Не викликає сумнівів і суперечки.

Наймудріші, коли торкнеться погляду
Світло істини, богів дякують;
І сто биків, заколоті, лежать
Дар у відповідь Пифагора.

З того часу бики відчайдушно ревуть:
Навіки сполошило бичаче плем'я
Подія, згадана тут.

Їм здається: ось-ось настане час,
І знову їх у жертву принесуть
Якийсь великій теоремі.

(Переклад Віктора Топорова)

А в ХХ столітті радянський письменник Євген Велтистов у книзі «Пригоди Електроніка» доказам теореми Піфагора відвів цілий розділ. І ще півголови розповіді про двомірному світі, який міг би існувати, якби теорема Піфагора стала основним законом і навіть релігією окремо взятого світу. Жити в ньому було б набагато простіше, але й набагато нудніше: наприклад, там ніхто не розуміє значення слів «круглий» та «пухнастий».

А ще у книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара каже: «Головне у математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора - не дарма у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного і на знайомі речі подивитися по-новому.

Висновок

Ця стаття створена, щоб ви могли заглянути за межі шкільної програми з математики та дізнатися не тільки про те докази теореми Піфагора, які наведені в підручниках «Геометрія 7-9» (Л.С. Атанасян, В.М. Руденко) та «Геометрія 7 -11» (А.В. Погорєлов), а й інші цікаві способи довести знамениту теорему. А також побачити приклади, як теорема Піфагора може застосовуватись у звичайному житті.

По-перше, ця інформація дозволить вам претендувати на вищі бали на уроках математики – відомості з предмета з додаткових джерел завжди високо оцінюються.

По-друге, нам хотілося допомогти вам відчути, наскільки математика цікава наука. Переконатися на конкретні приклади, що у ній є місце творчості. Ми сподіваємося, що теорема Піфагора та ця стаття надихнуть вас на самостійні пошуки та хвилюючі відкриття в математиці та інших науках.

Розкажіть нам у коментарях, чи здалися вам наведені у статті докази цікавими. Чи знадобилися вам ці відомості у навчанні. Напишіть нам, що думаєте про теорему Піфагора та цю статтю – нам буде приємно обговорити все це з вами.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Кожен школяр знає, що квадрат гіпотенузи завжди дорівнює сумі катетів, кожен із яких зведений у квадрат. Ця твердження зветься теореми Піфагора. Вона є однією з найвідоміших теорем тригонометрії та математики в цілому. Розглянемо її докладніше.

Поняття про прямокутний трикутник

Перед тим, як переходити до розгляду теореми Піфагора, в якій квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, зведених у квадрат, слід розглянути поняття та властивості прямокутного трикутника, для якого справедлива теорема.

Трикутник - плоска фігура, Що має три кути та три сторони. Прямокутний трикутник, як випливає з його назви, має один прямий кут, тобто цей кут дорівнює 90 o .

Із загальних властивостей всім трикутників відомо, що сума всіх трьох кутів цієї фігури дорівнює 180 o , а це означає, що для прямокутного трикутника сума двох кутів, які не є прямими, становить 180 o - 90 o = 90 o . Останній факт означає, що будь-який кут у прямокутному трикутнику, який не є прямим, завжди менше 90 o .

Сторону, яка лежить проти прямого кута, прийнято називати гіпотенузою Дві інші сторони є катетами трикутника, вони можуть бути рівні між собою, а можуть і відрізнятися. З тригонометрії відомо, що чим більший кут, проти якого лежить сторона у трикутнику, тим більша довжина цієї сторони. Це означає, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза (лежить проти кута 90 o) буде завжди більше будь-якого з катетів (лежать проти кутів< 90 o).

Математичний запис теореми Піфагора

Ця теорема свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких попередньо зведений в квадрат. Щоб математично записати це формулювання, розглянемо прямокутний трикутник, у якому сторони a, b та c є двома катетами та гіпотенузою, відповідно. У цьому випадку теорема, яка формулюється, як квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, такою формулою може бути представлена: c 2 = a 2 + b 2 . Звідси можуть бути отримані інші важливі для практики формули: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) та c = √(a 2 + b 2).

Зазначимо, що у разі прямокутного рівностороннього трикутника, тобто a = b, формулювання: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі катетів, кожен з яких зведений у квадрат, математично запишеться так: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2 , звідки випливає рівність: c = a√2.

Історична довідка

Теорема Піфагора, яка свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сума катетів, кожен з яких зведений у квадрат, була відома задовго до того, коли на неї звернув увагу знаменитий грецький філософ. Багато папірусів Стародавнього Єгипту, і навіть глиняні таблички Вавилонян підтверджують, що це народи використовували зазначене властивість сторін прямокутного трикутника. Наприклад, одна з перших єгипетських пірамід, піраміда Хефрена, будівництво якої відноситься до XXVI століття до нашої ери (за 2000 років до життя Піфагора), була побудована, виходячи зі знання співвідношення сторін прямокутного трикутника 3x4x5.

Чому ж тоді нині теорема носить ім'я грека? Відповідь проста: Піфагор є першим, хто математично довів цю теорему. У вавилонських і єгипетських письмових джерелах, що збереглися, йдеться лише про її використання, але не наводиться ніякого математичного доказу.

Вважається, що Піфагор довів розглянуту теорему шляхом використання властивостей подібних трикутників, які він отримав, провівши висоту прямокутного трикутника з кута 90 o до гіпотенузи.

Приклад використання теореми Піфагора

Розглянемо просте завдання: необхідно визначити довжину похилих сходів L, якщо відомо, що вони мають висоту H = 3 метри, і відстань від стіни, в яку впираються сходи, до її підніжжя дорівнює P = 2,5 метра.

У разі H і P - це катети, а L - гіпотенуза. Оскільки довжина гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, отримуємо: L 2 = H 2 + P 2 , звідки L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3,905 метра або 3 м і 90, 5 см.

Різні способи доказу теореми Піфагора

учня 9 «А» класу

МОУ ЗОШ №8

Науковий керівник:

учитель математики,

МОУ ЗОШ №8

ст. Новоріздвяної

Краснодарського краю.

Ст. Новоріздвяна

АННОТАЦІЯ.

Теорема Піфагора по праву вважається найважливішою в курсі геометрії і заслуговує на пильну увагу. Вона є основою вирішення безлічі геометричних завдань, базою вивчення теоретичного і практичного курсу геометрії надалі. Теорема оточена найбагатшим історичним матеріалом, пов'язаним із її появою та способами доказу. Вивчення історії розвитку геометрії прищеплює любов до цього предмета, сприяє розвитку пізнавального інтересу, загальної культури та творчості, а також розвиває навички науково-дослідної роботи.

В результаті пошукової діяльності було досягнуто мети роботи, що полягає в поповненні та узагальненні знань за доказом теореми Піфагора. Вдалося знайти та розглянути різні способидокази та поглибити знання на тему, вийшовши за сторінки шкільного підручника.

Зібраний матеріал ще більше переконує в тому, що теорема Піфагора є великою теоремою геометрії, має величезне теоретичне і практичне значення.

Вступ. Історична довідка 5 Основна частина 8

3. Висновок 19

4. Використовувана література 20
1. ВВЕДЕННЯ. ІСТОРИЧНА ДОВІДКА.

Суть істини вся в тому, що нам вона - назавжди,

Коли хоч раз у її прозрінні побачимо світло,

І теорема Піфагора за стільки років

Для нас, як для нього, безперечна, бездоганна.

На радощах богам був Піфагором дано обітницю:

За те, що мудрість торкнулася нескінченної,

Він сто биків заклав, завдяки одвічним;

Моління та хвали підніс він жертві слідом.

З тих пір бики, коли вчують, тужачись,

Що до нової істини людей знову підводить слід,

Ревут розлютився, так що слухати сечі немає,

Такий у них Піфагор вселив навіки жах.

Бикам, безсилим нової правді протистояти,

Що лишається? - Лише очі заплющивши, ревти, тремтіти.

Невідомо, як доводив Піфагор свою теорему. Безперечно лише те, що він відкрив її під сильним впливом єгипетської науки. Окремий випадоктеореми Піфагора - властивості трикутника зі сторонами 3, 4 і 5 - був відомий будівельникам пірамід задовго до народження Піфагора, сам він понад 20 років навчався у єгипетських жерців. Збереглася легенда, яка свідчить, що, довівши свою знамениту теорему, Піфагор приніс богам у жертву бика, а з інших джерел, навіть 100 биків. Це, проте, суперечить відомостям про моральні та релігійні погляди Піфагора. У літературних джерелах можна прочитати, що він «забороняв навіть убивати тварин, а тим більше ними годуватись, бо тварини мають душу, як і ми». Піфагор харчувався лише медом, хлібом, овочами та зрідка рибою. У зв'язку з цим більш правдоподібною вважатимуться такий запис: «...і навіть коли він відкрив, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза має відповідність до катетами, він приніс жертву бика, зробленого з пшеничного тесту».

Популярність теореми Піфагора настільки велика, що її докази зустрічаються навіть у художній літературі, наприклад, у оповіданні відомого англійського письменника Хакслі «Юний Архімед». Такий самий Доказ, але для окремого випадку рівнобедреного прямокутного трикутника наводиться в діалозі Платона «Менон».

Казка «Будинок».

«Далеко, куди не літають навіть літаки, знаходиться країна Геометрія. У цій незвичайній країні було одне дивовижне місто – місто Теорем. Якось до цього міста прийшла красива дівчинкана ім'я Гіпотенуза. Вона спробувала зняти кімнату, але куди б вона не зверталася, їй усюди відмовляли. Нарешті вона підійшла до похилого будинку і постукала. Їй відкрив чоловік, який назвав себе Прямим Кутом, і він запропонував Гіпотенузе оселитися в нього. Гіпотенуза залишилася в будинку, в якому жили Прямий Кут і два його маленькі сини на ім'я Катети. З того часу життя в будинку Прямого Кута пішло по-новому. На віконці гіпотенуза посадила квіти, а в палісаднику розвела червоні троянди. Будинок набув форми прямокутного трикутника. Обом катетам Гіпотенуза дуже сподобалася, і вони попросили її залишитися назавжди в їхньому будинку. Ло вечорами ця дружна сім'я збирається за сімейним столом. Іноді Прямий Кут грає зі своїми дітлахами в хованки. Найчастіше шукати доводиться йому, а Гіпотенуза ховається так майстерно, що знайти її дуже важко. Одного разу під час гри Прямий Кут помітив цікаву властивість: якщо йому вдається знайти катети, то знайти Гіпотенузу не важко. Так Прямий Кут користується цією закономірністю, слід сказати, дуже успішно. На властивості цього прямокутного трикутника і заснована теорема Піфагора.

(З книги О. Окуньова «Дякую за урок, діти»).

Жартівливе формулювання теореми:

Якщо дано нам трикутник

І до того ж з прямим кутом,

То квадрат гіпотенузи

Ми завжди легко знайдемо:

Катети у квадрат зводимо,

Суму ступенів знаходимо –

І таким простим шляхом

До результату ми дійдемо.

Вивчаючи алгебру і початку аналізу та геометрію в 10 класі, я переконалася в тому, що крім розглянутого у 8 класі способу доказу теореми Піфагора існують інші способи доказу. Уявляю їх на ваш огляд.
2. ОСНОВНА ЧАСТИНА.

Теорема. У прямокутному трикутнику квадрат

гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

1 СПОСІБ.

Користуючись властивостями площ багатокутників, встановимо чудове співвідношення між гіпотенузою та катетами прямокутного трикутника.

Доведення.

а, вта гіпотенузою з(Рис.1, а).

Доведемо, що з²=а²+в².

Доведення.

Добудуємо трикутник до квадрата зі стороною а + втак, як показано на рис. 1, б. Площа S цього квадрата дорівнює (а + в) ². З іншого боку, цей квадрат складається з чотирьох рівних прямокутних трикутників, площа кожного з яких дорівнює ½ ав, і квадрата зі стороною с,тому S = 4 * ½ ав + с² = 2ав + с².

Таким чином,

(а + в)² = 2 ав + с²,

з²=а²+в².

Теорему доведено.
2 СПОСІБ.

Після вивчення теми «Подібні трикутники» я з'ясувала, що можна застосувати подібність трикутників до підтвердження теореми Піфагора. А саме я скористалася твердженням про те, що катет прямокутного трикутника є середнє пропорційне для гіпотенузи і відрізка гіпотенузи, укладеного між катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута.

Розглянемо прямокутний трикутник із прямим кутом С, СD – висота (рис. 2). Доведемо, що АС² +СВ² = АВ² .

Доведення.

На підставі твердження про кате прямокутного трикутника:

АС = СВ = .

Зведемо в квадрат і складемо отримані рівності:

АС² = АВ * АD, СВ ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * (AD + DВ), де АD + DB = AB, тоді

АС² + СВ² = АВ * АВ,

АС² + СВ² = АВ².

Доказ закінчено.
3 СПОСІБ.

На підтвердження теореми Піфагора можна застосувати визначення косинуса гострого кутапрямокутний трикутник. Розглянемо рис. 3.

Доведення:

Нехай АВС – даний прямокутний трикутник із прямим кутом З. Проведемо висоту СD з вершини прямого кута З.

За визначенням косинуса кута:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Звідси АВ * АD = АС²

Аналогічно,

cos У = ВD/ВС = ВС/АВ.

Звідси АВ * ВD = ВС².

Складаючи отримані рівності почленно і зауважуючи, що АD + DВ = АВ, отримаємо:

АС² + НД² = АВ (АD + DВ) = АВ²

Доказ закінчено.
4 СПОСІБ.

Вивчивши тему "Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника", я думаю, що теорему Піфагора можна довести ще одним способом.

Розглянемо прямокутний трикутник із катетами а, вта гіпотенузою з. (Рис. 4).

Доведемо, що с²=а²+в².

Доведення.

sin В=в/с ; cos В= a/с , то, звівши в квадрат отримані рівності, отримаємо:

sin² В=в²/с²; cos² У= а?/с?.

Склавши їх, отримаємо:

sin² У+ cos² В=в²/с²+ а²/с², де sin² У+ cos² В=1,

1= (в²+ а²) / с², отже,

с²= а² + в².

Доказ закінчено.

5 СПОСІБ.

Цей доказ ґрунтується на розрізанні квадратів, побудованих на катетах (рис. 5), та укладанні отриманих частин на квадраті, побудованому на гіпотенузі.

6 СПОСІБ.

Для доказу на катете НДбудуємо BCD ABC(Рис.6). Ми знаємо, що площі подібних фігур відносяться як квадрати їх подібних лінійних розмірів:

Віднімаючи з першої рівності другу, отримаємо

с2 = а2 + b2.

Доказ закінчено.

7 СПОСІБ.

Дано(Мал. 7):

ABС,= 90 ° , НД= а, АС=b, АВ = с.

Довести:с2 = а2 +b2.

Доведення.

Нехай катет b а.Продовжимо відрізок СВза крапку Уі побудуємо трикутник BMDтак, щоб точки Мі Алежали по одну сторону від прямої CDі крім того, BD =b, BDM= 90 °, DM= a, тоді BMD= ABCз обох боків і кутку між ними. Точки А та Мз'єднаємо відрізками AM.Маємо MD CDі AC CD,значить, пряма АСпаралельна прямий MD.Так як MD< АС, то прямі CDі AMне паралельні. Отже, AMDC -прямокутна трапеція.

У прямокутних трикутниках ABC та BMD 1 + 2 = 90 ° і 3 + 4 = 90 °, але так як = =, то 3 + 2 = 90 °; тоді АВМ= 180 ° - 90 ° = 90 °. Виявилося, що трапеція AMDCрозбита на три прямокутні трикутники, що не перекриваються, тоді по аксіомах площ

(a+b)(a+b)

Розділивши всі члени нерівності на , отримаємо

аb + с2 + аb = (а +b) , 2 ab+ с2 = а2+ 2аb+ b2,

с2 = а2 + b2.

Доказ закінчено.

8 СПОСІБ.

Даний спосіб ґрунтується на гіпотенузі та катетах прямокутного трикутника ABC.Він будує відповідні квадрати і доводить, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах (рис. 8).

Доведення.

1) DBC= FBA= 90 °;

DBC + ABC= FBA + ABC,значить, FBC = DBA.

Таким чином, FBC=ABD(Двома сторонами і кутом між ними).

2) , де AL DE, тому що BD - загальна основа, DL -загальна висота.

3) , так як FB-снування, АВ- загальна висота.

4)

5) Аналогічно можна довести, що

6) Складаючи почленно, отримуємо:

, ВС2 = АВ2 + АС2 . Доказ закінчено.

9 СПОСІБ.

Доведення.

1) Нехай ABDE- квадрат (рис. 9), сторона якого дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника ABC (АВ= с, НД = а, АС =b).

2) Нехай DK BCі DK = НД,так як 1 + 2 = 90 ° (як гострі кути прямокутного трикутника), 3 + 2 = 90 ° (як кут квадрата), АВ= BD(Буки квадрата).

Значить, ABC= BDK(з гіпотенузи та гострого кута).

3) Нехай EL DK, AM EL.Можна легко довести, що ABC = BDK = DEL = ЕАМ (з катетами аі b).Тоді КС= СМ= ML= LK= а -b.

4) SKB = 4S + SKLMC= 2ab+ (a - b),з2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Доказ закінчено.

10 СПОСІБ.

Доказ може бути проведений на фігурі, жартома званої «Піфагорові штани» (рис. 10). Ідея його полягає у перетворенні квадратів, побудованих на катетах, у рівновеликі трикутники, що становлять разом квадрат гіпотенузи.

ABCзрушуємо, як показано стрілкою, і він займає положення KDN.Частина фігури, що залишилася AKDCBрівновелика площі квадрата AKDC –це паралелограм AKNB.

Зроблено модель паралелограма AKNB. Паралелограм перекладаємо так, як замальовано у змісті роботи. Щоб показати перетворення паралелограма на рівновеликий трикутник, на очах учнів відрізаємо на моделі трикутник і перекладаємо його вниз. Таким чином, площа квадрата AKDCвийшла дорівнює площі прямокутника. Аналогічно перетворимо площу квадрата на площу прямокутника.

Зробимо перетворення для квадрата, побудованого на катете а(Рис. 11,а):

а) квадрат перетворюється на рівновеликий паралелограм (рис. 11,6):

б) паралелограм повертається на чверть обороту (рис. 12):

в) паралелограм перетворюється на рівновеликий прямокутник (рис. 13): 11 СПОСІБ.

Доведення:

PCL –пряма (Рис. 14);

KLOA= ACPF= ACED= а2;

LGBO= СВМР =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= с2;

с2 = а2 + b2.

Доказ закінчено .

12 СПОСІБ.

Мал. 15 ілюструє ще один оригінальний доказ теореми Піфагора.

Тут: трикутник ABC з прямим кутом; відрізок BFперпендикулярний СВі дорівнює йому, відрізок BEперпендикулярний АВі дорівнює йому, відрізок ADперпендикулярний АСі дорівнює йому; крапки F, С,Dналежать до однієї прямої; чотирикутники ADFBі АСВЕрівновеликі, тому що ABF = ЕСВ;трикутники ADFі АСЕрівновеликі; віднімемо від обох рівновеликих чотирикутників загальний для них трикутник ABC,отримаємо

, с2 = а2 + b2.

Доказ закінчено.

13 СПОСІБ.

Площа даного прямокутного трикутника, з одного боку, дорівнює , з іншого, ,

3. ВИСНОВОК.

В результаті пошукової діяльності було досягнуто мети роботи, що полягає в поповненні та узагальненні знань за доказом теореми Піфагора. Вдалося знайти та розглянути різні способи її доказу та поглибити знання на тему, вийшовши за сторінки шкільного підручника.

Зібраний мною матеріал ще більше переконує у тому, що теорема Піфагора є великою теоремою геометрії, має величезне теоретичне та практичне значення. На завершення хотілося б сказати: причина популярності теореми Піфагора триєдіна – це краса, простота та значущість!

4. ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА.

1. Цікава алгебра. . Москва "Наука", 1978.

2. Щотижневий навчально-методичний додаток до газети «Перше вересня», 24/2001.

3. Геометрія 7-9. та ін.

4. Геометрія 7-9. та ін.

Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну..., по-перше, є спеціальні гарні назвидля його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор у незапам'ятні часи, і з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… у темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач про прямокутний трикутник можна просто заповнити такі прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як чудово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат із стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звісно, ​​. Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Отже, площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутників усі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• по катету та прилеглому гострому кутку: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети:

В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадрат гіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожного освіченої людиниАле досить лише попросити когось її довести, і тут можуть виникнути складності. Тому давайте згадаємо та розглянемо різні способидокази теореми Піфагора.

Короткий огляд біографії

Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, яка справила її на світ, не така популярна. Це можна виправити. Тому як вивчити різні методи підтвердження теореми Піфагора, необхідно коротко познайомитися з його особистістю.

Піфагор - філософ, математик, мислитель родом із Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, які склалися на згадку про цю велику людину. Але з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а ось мати походила зі знатного роду.

Судячи з легенди, поява на світ Піфагора передбачила жінка на ім'я Піфія, на чию честь і назвали хлопчика. За її пророцтвом народжений хлопчик мав принести багато користі та добра людству. Що взагалі він і зробив.

Народження теореми

У юності Піфагор переїхав до Єгипту, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де й пізнав усі великі досягнення єгипетської філософії, математики та медицини.

Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю та красою пірамід та створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводив своєї теорії. А лише передав своє знання послідовникам, які згодом і завершили всі необхідні математичні обчислення.

Як би там не було, сьогодні відома не одна методика доказу цієї теореми, а відразу кілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме давні греки робили свої обчислення, тому тут розглянемо різні способи доказу теореми Піфагора.

теорема Піфагора

Перш ніж починати будь-які обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію доведеться довести. Теорема Піфагора звучить так: «У трикутнику, у якого один із кутів дорівнює 90 про, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи».

Усього існує 15 різних способів доказу теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим із них.

Спосіб перший

Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані будуть поширюватися і інші способи доказів теореми Піфагора, тому варто відразу запам'ятати всі наявні позначення.

Припустимо, дано прямокутний трикутник, з катетами а, в і гіпотенузою, що дорівнює с. Перший спосіб доказу полягає в тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат.

Щоб це зробити, потрібно до катета довжиною а домалювати відрізок рівний катету, і навпаки. Так має вийти дві рівні сторони квадрата. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.

Усередині фігури, що вийшла, потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною рівної гіпотенузі вихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельні відрізки рівних с. Таким чином, вийти три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутника. Залишається лише докреслити четвертий відрізок.

На підставі малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а + в) 2 . Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутні трикутники. Площа кожного дорівнює 0,5 ав.

Тому площа дорівнює: 4*0,5ав+с2 =2ав+с2

Звідси (а+в) 2 =2ав+з 2

І, отже, з 2 = а 2 + 2

Теорему доведено.

Спосіб два: подібні трикутники

Ця формула доказу теореми Піфагора була виведена на підставі затвердження з розділу геометрії про подібні трикутники. Воно говорить, що катет прямокутного трикутника - середнє пропорційне для його гіпотенузи та відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 о.

Вихідні дані залишаються самі, тому почнемо відразу з докази. Проведемо перпендикулярний стороні АВ відрізок ЦД. Ґрунтуючись на вищеописаному затвердженні катети трикутників рівні:

АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.

Щоб відповісти на питання, як довести теорему Піфагора, доказ потрібно прокласти зведенням у квадрат обох нерівностей.

АС 2 = АВ * АД і СВ 2 = АВ * ДВ

Тепер потрібно скласти нерівності.

АС 2 + СВ 2 = АВ * (АД * ДВ), де АД + ДВ = АВ

Виходить що:

АС 2 + СВ 2 = АВ * АВ

І, отже:

АС2 + СВ2 = АВ2

Доказ теореми Піфагора та різні способи її вирішення потребують різнобічного підходу до цього завдання. Однак цей варіант є одним із найпростіших.

Ще одна методика розрахунків

Опис різних способів доказу теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, доти поки самостійно не приступиш до практики. Багато методик передбачають як математичні розрахунки, а й побудова з вихідного трикутника нових постатей.

У разі необхідно від катета ВС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутники із загальним катетом ВС.

Знаючи, що площі подібних фігур мають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то:

S авс * з 2 - S авд *в 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2

S авс *(з 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S нд)

з 2 -2 = а 2

з 2 = а 2 + 2

Оскільки з різних способів доказів теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися такою методикою.

Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки

Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доказу теореми ще в стародавньої Греції. Він є найпростішим, тому що не вимагає жодних розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 + 2 = с 2 буде видно наочно.

Умови для даного способутрохи відрізнятиметься від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС рівнобедрений.

Гіпотенузу АС приймаємо за бік квадрата та докреслюємо три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в квадраті, що вийшов. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутники.

До катетів АВ і СВ також потрібно докреслити по квадрату і провести по одній діагональній прямій у кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу - із З.

Тепер потрібно уважно вдивитися в малюнок, що вийшов. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутники, рівні вихідному, а на катетах по два, це говорить про правдивість цієї теореми.

До речі, завдяки цій методиці доказу теореми Піфагора і з'явилася світ знаменита фраза: «Піфагорові штани на всі боки рівні».

Доказ Дж. Гарфілда

Джеймс Гарфілд – двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й обдарованим самоуком.

На початку своєї кар'єри він був звичайним викладачем у народній школі, але незабаром став директором одного із вищих навчальних закладів. Прагнення саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теорію доказу теореми Піфагора. Теорема та приклад її вирішення виглядає наступним чином.

Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутні трикутники таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з'єднати, щоб зрештою вийшла трапеція.

Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

S=а+в/2* (а+в)

Якщо розглянути трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площу можна знайти так:

S=ав/2 *2 + з 2/2

Тепер необхідно зрівняти два вихідні вирази

2ав/2 + с/2=(а+в) 2 /2

з 2 = а 2 + 2

Про теорему Піфагора та способи її доказу можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання не можна застосувати практично?

Практичне застосування теореми Піфагора

На жаль, у сучасних шкільних програмахпередбачено використання цієї теореми лише у геометричних задачах. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання та вміння на практиці.

Насправді ж використовувати теорему Піфагора у своїй повсякденному життіможе кожен. Причому не тільки в професійної діяльності, а й у звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора і її докази можуть виявитися вкрай необхідними.

Зв'язок теореми та астрономії

Здавалося б, як можуть бути пов'язані зірки та трикутники на папері. Насправді астрономія - це наукова сфера, у якій широко використовується теорема Піфагора.

Наприклад, розглянемо рух світлового променя у космосі. Відомо, що світло рухається обидві сторони з однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якою рухається промінь світла назвемо l. А половину часу, який необхідно світлу, щоб потрапити з точки А до точки Б, назвемо t. І швидкість променя - c. Виходить що: c*t=l

Якщо подивитися на цей промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тіл їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи рухатимуться зі швидкістю v у зворотному напрямку.

Припустимо, комічний лайнер пливе праворуч. Тоді точки А і В, між якими метається промінь, рухатимуться вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А до точки В, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде до нової точки С. Щоб знайти половину відстані, на яку змістилася точка А, потрібно швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t ").

А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати такий вираз:

Якщо уявити, що точки світла С і В, а також космічний лайнер - це вершини рівнобедреного трикутника, то відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутні трикутники. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яку зміг пройти промінь світла.

Цей приклад, звичайно, не найвдаліший, тому що тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо приземлені варіанти застосування цієї теореми.

Радіус передачі мобільного сигналу

Сучасне життя вже неможливо уявити без смартфонів. Але чи багато було б від них користі, якби вони не могли з'єднувати абонентів за допомогою мобільного зв'язку?!

Якість мобільного зв'язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті знаходиться антена мобільного оператора. Для того, щоб обчислити, яку відстань від мобільної вежі телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора.

Допустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарної вежі, щоб вона могла поширювати сигнал у радіусі 200 кілометрів.

АВ (висота вежі) = х;

НД (радіус передачі сигналу) = 200 км;

ОС (радіус земної кулі) = 6380 км;

ОВ=ОА+АВОВ=r+х

Застосувавши теорему Піфагора, з'ясуємо, що мінімальна висота вишки має становити 2,3 кілометри.

Теорема Піфагора у побуті

Як не дивно, теорема Піфагора може бути корисною навіть у побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд немає необхідності використовувати такі складні обчислення, адже можна просто зняти мірки за допомогою рулетки. Але багато хто дивується, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо всі мірки були зняті більш ніж точно.

Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і потім піднімається і встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і висотою, і по діагоналі приміщення.

Припустимо, є шафа-купе глибиною 800 мм. Відстань від підлоги до стелі – 2600 мм. Досвідчений мебляр скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо з прикладу.

При ідеальних габаритах шафи перевіримо дію теореми Піфагора:

АС=√АВ 2 +√ВС 2

АС = √2474 2 +800 2 =2600 мм - все сходиться.

Допустимо, висота шафи дорівнює не 2474 мм, а 2505 мм. Тоді:

АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.

Отже, ця шафа не підійде для встановлення у цьому приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу.

Мабуть, розглянувши різні методи підтвердження теореми Піфагора різними вченими, можна дійти невтішного висновку, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію у своєму повсякденному житті і бути цілком впевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисними, а й вірними.