Paghahanap ng pagkakaiba ng isang arithmetic progression. Arithmetic progression
O arithmetic - ito ay isang uri ng ordered numerical sequence, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ano ang pag-unlad na ito?
Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng tanong (kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika), ito ay nagkakahalaga ng pag-unawa kung ano ang tatalakayin.
Anumang pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng ilang halaga mula sa bawat nakaraang numero ay tinatawag na algebraic (aritmetika) na pag-unlad. Ang kahulugang ito, na isinalin sa wika ng matematika, ay nasa anyo:
Narito ang i ang ordinal na numero ng elemento ng serye a i . Kaya, ang pag-alam lamang ng isang paunang numero, madali mong maibabalik ang buong serye. Ang parameter d sa formula ay tinatawag na progression difference.
Madaling maipakita na ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang:
a n \u003d a 1 + d * (n - 1).
Iyon ay, upang mahanap ang halaga ng n-th elemento sa pagkakasunud-sunod, idagdag ang pagkakaiba d sa unang elemento a 1 n-1 beses.
Ano ang kabuuan ng isang arithmetic progression: formula
Bago ibigay ang formula para sa ipinahiwatig na halaga, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simple espesyal na kaso. Pag-unlad ni Dana natural na mga numero mula 1 hanggang 10, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil kakaunti ang mga termino sa progression (10), posibleng lutasin ang problema nang direkta, iyon ay, pagsama-samahin ang lahat ng elemento sa pagkakasunud-sunod.
S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.
Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isa kawili-wiling bagay: dahil ang bawat termino ay naiiba mula sa susunod sa pamamagitan ng parehong halaga d \u003d 1, pagkatapos ay ang pairwise summation ng una sa ikasampu, ang pangalawa sa ikasiyam, at iba pa ay magbibigay ng parehong resulta. Talaga:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang 5 sa mga kabuuan na ito, iyon ay, eksaktong dalawang beses na mas mababa kaysa sa bilang ng mga elemento sa serye. Pagkatapos ay i-multiply ang bilang ng mga kabuuan (5) sa resulta ng bawat kabuuan (11), mapupunta ka sa resulta na nakuha sa unang halimbawa.
Kung i-generalize natin ang mga argumentong ito, maaari nating isulat ang sumusunod na expression:
S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.
Ang expression na ito ay nagpapakita na ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang isama ang lahat ng mga elemento sa isang hilera, ito ay sapat na upang malaman ang halaga ng unang a 1 at ang huling a n , at din kabuuang bilang mga tuntunin n.
Ito ay pinaniniwalaan na unang naisip ni Gauss ang pagkakapantay-pantay na ito nang siya ay naghahanap ng solusyon sa isang ibinigay na equation. guro sa paaralan gawain: buuin ang unang 100 integer.
Kabuuan ng mga elemento mula m hanggang n: formula
Ang pormula na ibinigay sa nakaraang talata ay sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika (ng mga unang elemento), ngunit kadalasan sa mga gawain ay kinakailangang magsama ng isang serye ng mga numero sa gitna ng pag-unlad. Paano ito gagawin?
Ang pinakamadaling paraan upang masagot ang tanong na ito ay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa: hayaang kailanganin na hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa mth hanggang sa nth. Upang malutas ang problema, ang isang ibinigay na segment mula m hanggang n ng pag-unlad ay dapat na kinakatawan bilang isang bagong serye ng numero. Sa ganyan representasyon m-th Ang terminong a m ang mauuna, at ang isang n ay mabibilang na n-(m-1). Sa kasong ito, ang paglalapat ng karaniwang formula para sa kabuuan, ang sumusunod na expression ay makukuha:
S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Halimbawa ng paggamit ng mga formula
Ang pag-alam kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng halimbawa ng paggamit ng mga formula sa itaas.
Nasa ibaba ang isang numerical sequence, dapat mong hanapin ang kabuuan ng mga miyembro nito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-12:
Ang mga ibinigay na numero ay nagpapahiwatig na ang pagkakaiba d ay katumbas ng 3. Gamit ang expression para sa ika-n na elemento, mahahanap mo ang mga halaga ng ika-5 at ika-12 na miyembro ng pag-unlad. Iyon pala:
isang 5 \u003d isang 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
isang 12 \u003d isang 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.
Ang pag-alam sa mga halaga ng mga numero sa mga dulo ng algebraic progression na isinasaalang-alang, at alam din kung aling mga numero sa serye ang kanilang sinasakop, maaari mong gamitin ang formula para sa kabuuan na nakuha sa nakaraang talata. Kunin:
S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.
Kapansin-pansin na ang halagang ito ay maaaring makuha sa ibang paraan: una, hanapin ang kabuuan ng unang 12 elemento gamit ang karaniwang formula, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan ng unang 4 na elemento gamit ang parehong formula, at pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan .
Online na calculator.
Solusyon sa pag-unlad ng aritmetika.
Ibinigay: a n , d, n
Hanapin: a 1
Hinahanap ng math program na ito ang \(a_1\) ng isang arithmetic progression batay sa mga numerong tinukoy ng user \(a_n, d \) at \(n \).
Ang mga numerong \(a_n\) at \(d \) ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga integer, kundi pati na rin bilang mga fraction. Bukod dito, praksyonal na numero maaaring ipasok bilang isang decimal (\(2.5 \)) at bilang karaniwang fraction(\(-5\frac(2)(7) \)).
Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng paghahanap ng solusyon.
Ang online na calculator na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school pangkalahatang edukasyon na mga paaralan bilang paghahanda sa kontrol sa trabaho at mga pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.
Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.
Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng mga numero, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero
Ang mga numerong \(a_n\) at \(d \) ay maaaring tukuyin hindi lamang bilang mga integer, kundi pati na rin bilang mga fraction.
Ang numerong \(n\) ay maaari lamang maging isang positibong integer.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Ang integer at fractional na mga bahagi sa mga decimal fraction ay maaaring paghiwalayin ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal kaya 2.5 o kaya 2.5
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Input:
Resulta: \(-\frac(2)(3) \)
buong bahagi pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &
Input:
Resulta: \(-1\frac(2)(3) \)
Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Dapat na pinagana ang JavaScript para lumitaw ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...
kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.
Ang aming mga laro, puzzle, emulator:
Medyo teorya.
Numeric na pagkakasunud-sunod
Sa pang-araw-araw na pagsasanay, ang pagnunumero ng iba't ibang mga bagay ay kadalasang ginagamit upang ipahiwatig ang pagkakasunud-sunod kung saan sila matatagpuan. Halimbawa, ang mga bahay sa bawat kalye ay binibilang. Sa library, ang mga subscription ng mambabasa ay binibilang at pagkatapos ay isinaayos sa pagkakasunud-sunod ng mga nakatalagang numero sa mga espesyal na file cabinet.
Sa isang savings bank, sa bilang ng personal na account ng depositor, madali mong mahahanap ang account na ito at makita kung anong uri ng deposito ang mayroon ito. Hayaang magkaroon ng deposito ng a1 rubles sa account No. 1, isang deposito ng a2 rubles sa account No. 2, atbp. Ito ay lumiliko numerical sequence
a 1 , a 2 , a 3 , ..., isang N
kung saan ang N ay ang bilang ng lahat ng mga account. Dito, ang bawat natural na numero n mula 1 hanggang N ay itinalaga ng isang numero a n .
Nag-aaral din ang matematika infinite number sequences:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Ang numerong a 1 ay tinatawag ang unang miyembro ng sequence, numero a 2 - ang pangalawang miyembro ng sequence, numero a 3 - ang ikatlong miyembro ng sequence atbp.
Ang numero a n ay tinatawag nth (nth) miyembro ng sequence, at ang natural na bilang n ay nito numero.
Halimbawa, sa pagkakasunud-sunod ng mga parisukat ng mga natural na numero 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... at 1 = 1 ay ang unang miyembro ng sequence; at n = n 2 ay ika-1 miyembro mga pagkakasunud-sunod; a n+1 = (n + 1) 2 ay ang (n + 1)th (en plus ang unang) miyembro ng sequence. Kadalasan ang isang sequence ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng formula ng ika-na miyembro nito. Halimbawa, ang formula na \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) ay nagbibigay ng sequence \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Arithmetic progression
Ang haba ng isang taon ay humigit-kumulang 365 araw. Ang isang mas tumpak na halaga ay \(365\frac(1)(4) \) araw, kaya bawat apat na taon ay may naipon na error sa isang araw.
Upang isaalang-alang ang error na ito, ang isang araw ay idinagdag sa bawat ikaapat na taon, at ang pinahabang taon ay tinatawag na isang taon ng paglukso.
Halimbawa, sa ikatlong milenyo leap years ang mga taon ay 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Sa pagkakasunud-sunod na ito, ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, idinagdag na may parehong numero 4. Ang mga naturang pagkakasunud-sunod ay tinatawag mga pag-unlad ng aritmetika.
Kahulugan.
Ang numerical sequence a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... ay tinatawag na pag-unlad ng aritmetika, kung para sa lahat ng natural n ang pagkakapantay-pantay
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kung saan ang d ay ilang numero.
Ito ay sumusunod mula sa formula na ito na ang isang n+1 - a n = d. Ang bilang d ay tinatawag na pagkakaiba pag-unlad ng aritmetika.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika, mayroon tayong:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
saan
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kung saan \(n>1 \)
Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang miyembro na katabi nito. Ipinapaliwanag nito ang pangalang "aritmetika" na pag-unlad.
Tandaan na kung ang isang 1 at d ay ibinigay, kung gayon ang natitirang mga termino ng pag-unlad ng arithmetic ay maaaring kalkulahin gamit ang recursive formula na a n+1 = a n + d. Sa ganitong paraan, hindi mahirap kalkulahin ang mga unang termino ng pag-unlad, gayunpaman, halimbawa, para sa isang 100, maraming mga kalkulasyon ang kakailanganin. Karaniwan, ang nth term formula ay ginagamit para dito. Ayon sa kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
atbp.
Sa pangkalahatan,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
kasi ika-1 miyembro Ang pag-unlad ng aritmetika ay nakukuha mula sa unang termino sa pamamagitan ng pagdaragdag ng (n-1) beses sa bilang d.
Ang formula na ito ay tinatawag na formula ng ika-n miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic
Hanapin natin ang kabuuan ng lahat ng natural na numero mula 1 hanggang 100.
Isinulat namin ang kabuuan na ito sa dalawang paraan:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Idinaragdag namin ang mga pagkakapantay-pantay na ito ayon sa termino:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Mayroong 100 termino sa kabuuan na ito.
Samakatuwid, 2S = 101 * 100, kung saan S = 101 * 50 = 5050.
Isaalang-alang ngayon ang isang di-makatwirang pag-unlad ng aritmetika
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Hayaang S n ang kabuuan ng unang n termino ng pag-unlad na ito:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Pagkatapos ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Dahil \(a_n=a_1+(n-1)d \), pagkatapos ay palitan ang a n sa formula na ito, makakakuha tayo ng isa pang formula para sa paghahanap ang mga kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Itinuring ng isang tao ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napakakomplikadong termino mula sa mga seksyon ng mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng taxi counter (kung saan nananatili pa rin ang mga ito). At upang maunawaan ang kakanyahan (at sa matematika ay walang mas mahalaga kaysa sa "upang maunawaan ang kakanyahan") ng isang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay hindi napakahirap, na nasuri ang ilang mga elementarya na konsepto.
Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika
Nakaugalian na tawagan ang isang numerical sequence ng isang serye ng mga numero, na ang bawat isa ay may sariling numero.
at 1 ang unang miyembro ng sequence;
at 2 ang pangalawang miyembro ng sequence;
at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;
at n ang ika-n miyembro ng sequence;
Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng n-th na miyembro ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang dependence na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa madaling salita: ang numerical value ng nth number ay ilang function ng n.
a - halaga ng isang miyembro ng numerical sequence;
n ang serial number nito;
Ang f(n) ay isang function kung saan ang ordinal sa numeric sequence n ay ang argument.
Kahulugan
Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n miyembro ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:
a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;
a n+1 - ang formula ng susunod na numero;
d - pagkakaiba (isang tiyak na numero).
Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna, at ang gayong pag-unlad ng aritmetika ay tataas.
Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "tumataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.
Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Ang halaga ng tinukoy na miyembro
Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng ilang di-makatwirang termino a n ng isang pag-unlad ng aritmetika. Magagawa mo ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, mula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang paraang ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, ito ay kinakailangan upang mahanap ang halaga ng limang libo o walong milyong termino. Ang tradisyonal na pagkalkula ay tatagal ng mahabang panahon. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring siyasatin gamit ang ilang partikular na mga formula. Mayroon ding formula para sa nth term: ang halaga ng sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang miyembro ng progression na may pagkakaiba ng progression, na i-multiply sa bilang ng gustong miyembro, minus one .
Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.
Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na miyembro
Lutasin natin ang sumusunod na problema sa paghahanap ng halaga ng n-th na miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Kundisyon: mayroong pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:
Ang unang miyembro ng sequence ay 3;
Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.
Gawain: kailangang hanapin ang halaga ng 214 termino
Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na miyembro, ginagamit namin ang formula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Sagot: Ang ika-214 na miyembro ng sequence ay katumbas ng 258.6.
Ang mga pakinabang ng paraan ng pagkalkula na ito ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.
Kabuuan ng ibinigay na bilang ng mga termino
Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Hindi rin nito kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay buuin ang mga ito. Ang pamamaraang ito ay naaangkop kung ang bilang ng mga termino na ang kabuuan ay dapat matagpuan ay maliit. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.
Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n miyembro, na pinarami ng bilang ng miyembro n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng n-th na miyembro ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makukuha natin:
Halimbawa ng pagkalkula
Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:
Ang unang termino ng sequence ay zero;
Ang pagkakaiba ay 0.5.
Sa problema, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.
Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa pagtukoy ng kabuuan ng pag-unlad:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
Kaya ang kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic para sa halimbawang ito ay:
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5
Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression
Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunud-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang gayong halimbawa.
Ang pagpasok sa isang taxi (na may kasamang 3 km) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles / km. Layo ng paglalakbay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.
1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.
30 - 3 = 27 km.
2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng isang serye ng numero ng aritmetika.
Ang numero ng miyembro ay ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (bawas sa unang tatlo).
Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.
Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.
Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 p.
ang bilang ng interes sa amin - ang halaga ng (27 + 1)th miyembro ng arithmetic progression - ang pagbabasa ng metro sa dulo ng ika-27 kilometro - 27.999 ... = 28 km.
isang 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang di-makatwirang mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang mga numerical na pagkakasunud-sunod. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa luminary. Bilang karagdagan, ang iba't ibang mga numerical na serye ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na sangay ng matematika.
Ang isa pang uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay geometric
Ang isang geometric na pag-unlad ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang malaki, kumpara sa isang arithmetic, rate ng pagbabago. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, gamot, madalas, upang ipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, sinasabi nila na ang proseso ay bubuo ng exponentially.
Ang N-th na miyembro ng serye ng geometric na numero ay naiiba mula sa nauna dahil pinarami ito ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang miyembro ay 1, ang denominator ay 2, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng geometric progression;
b n+1 - ang formula ng susunod na miyembro ng geometric progression;
q ay ang denominator ng isang geometric progression (constant number).
Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang geometriko ay gumuhit ng bahagyang naiibang larawan:
Tulad ng sa kaso ng aritmetika, ang isang geometric na pag-unlad ay may pormula para sa halaga ng isang arbitraryong miyembro. Anumang n-th term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:
Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin ang ika-5 termino ng progression
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga miyembro ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-na miyembro ng pag-unlad at ang denominator nito at ang unang miyembro ng pag-unlad, na hinati ng denominator na binawasan ng isa:
Kung papalitan ang b n gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n miyembro ng itinuturing na serye ng numero ay kukuha ng form:
Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakdang katumbas ng 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Ano ang kakanyahan ng formula?
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman SA NUMERO NIYA" n" .
Siyempre, kailangan mong malaman ang unang termino a 1 at pagkakaiba sa pag-unlad d, mabuti, kung wala ang mga parameter na ito, hindi mo maisusulat ang isang partikular na pag-unlad.
Hindi sapat na kabisaduhin (o dayain) ang formula na ito. Kinakailangang i-assimilate ang kakanyahan nito at ilapat ang formula sa iba't ibang problema. Oo, at huwag kalimutan sa tamang oras, oo ...) Paano huwag kalimutan- Hindi ko alam. Pero paano maalala Kung kinakailangan, bibigyan kita ng pahiwatig. Para sa mga nakakabisado ng aralin hanggang sa wakas.)
Kaya, harapin natin ang formula ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression.
Ano ang isang pormula sa pangkalahatan - iniisip natin.) Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika, isang numero ng miyembro, isang pagkakaiba sa pag-unlad - ay malinaw na nakasaad sa nakaraang aralin. Tingnan mo kung hindi mo pa nababasa. Simple lang ang lahat doon. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ika-1 miyembro.
Ang pag-unlad sa pangkalahatan ay maaaring isulat bilang isang serye ng mga numero:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- nagsasaad ng unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, a 3- ikatlong miyembro a 4- pang-apat, at iba pa. Kung interesado tayo sa ikalimang termino, sabihin nating nakikipagtulungan tayo isang 5, kung isang daan at dalawampu - mula sa isang 120.
Paano tukuyin sa pangkalahatan anuman miyembro ng isang arithmetic progression, s anuman numero? Napakasimple! Ganito:
isang n
Iyon na iyon n-th miyembro ng isang arithmetic progression. Sa ilalim ng letrang n lahat ng bilang ng mga miyembro ay nakatago nang sabay-sabay: 1, 2, 3, 4, at iba pa.
At ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Isipin na lang, sa halip na isang numero, nagsulat sila ng isang liham ...
Ang notasyong ito ay nagbibigay sa amin ng isang mahusay na tool para sa pagtatrabaho sa mga pag-unlad ng aritmetika. Gamit ang notasyon isang n, mabilis nating mahahanap anuman miyembro anuman pag-unlad ng aritmetika. At isang grupo ng mga gawain upang malutas sa pagpapatuloy. Makikita mo pa.
Sa formula ng ika-na miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- ang unang miyembro ng arithmetic progression;
n- numero ng miyembro.
Iniuugnay ng formula ang mga pangunahing parameter ng anumang pag-unlad: a n ; isang 1; d at n. Sa paligid ng mga parameter na ito, ang lahat ng mga puzzle ay umiikot sa pagpapatuloy.
Ang nth term formula ay maaari ding gamitin upang magsulat ng isang tiyak na pag-unlad. Halimbawa, sa problema masasabi na ang pag-unlad ay ibinibigay ng kondisyon:
a n = 5 + (n-1) 2.
Ang ganitong problema ay maaaring kahit na malito ... Walang serye, walang pagkakaiba ... Ngunit, paghahambing ng kondisyon sa formula, madaling malaman na sa pag-unlad na ito isang 1 \u003d 5, at d \u003d 2.
At maaari itong maging mas galit!) Kung gagawin natin ang parehong kondisyon: a n = 5 + (n-1) 2, oo, buksan ang mga bracket at bigyan ang mga katulad nito? Kumuha kami ng bagong formula:
isang = 3 + 2n.
ito Tanging hindi pangkalahatan, ngunit para sa isang tiyak na pag-unlad. Dito nakasalalay ang patibong. Iniisip ng ilang tao na ang unang termino ay tatlo. Bagaman sa katotohanan ang unang miyembro ay isang limang ... Medyo mas mababa kami ay gagana sa tulad ng isang binagong formula.
Sa mga gawain para sa pag-unlad, mayroong isa pang notasyon - isang n+1. Ito ay, nahulaan mo, ang "n plus ang unang" termino ng pag-unlad. Ang kahulugan nito ay simple at hindi nakakapinsala.) Ito ay isang miyembro ng pag-unlad, ang bilang nito ay mas malaki kaysa sa bilang n ng isa. Halimbawa, kung sa ilang problema ay kinukuha natin isang n ikalimang termino, pagkatapos isang n+1 magiging ikaanim na miyembro. atbp.
Kadalasan ang pagtatalaga isang n+1 nangyayari sa recursive formula. Huwag matakot sa kakila-kilabot na salitang ito!) Ito ay isang paraan lamang ng pagpapahayag ng termino ng isang pag-unlad ng aritmetika sa pamamagitan ng nauna. Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang pag-unlad ng aritmetika sa form na ito, gamit ang paulit-ulit na formula:
isang n+1 = isang n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Ang ikaapat - hanggang sa ikatlo, ang ikalima - hanggang sa ikaapat, at iba pa. At kung paano magbilang kaagad, sabihin ang ikadalawampung termino, isang 20? Pero hindi pwede!) Habang hindi alam ang ika-19 na termino, hindi mabibilang ang ika-20. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng recursive formula at ang formula ng ika-n term. Gumagana lamang ang recursive sa pamamagitan ng dati termino, at ang pormula ng ika-n termino - sa pamamagitan ng ang una at nagpapahintulot kaagad maghanap ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Hindi binibilang ang buong serye ng mga numero sa pagkakasunud-sunod.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang isang recursive na formula ay madaling gawing regular. Bilangin ang isang pares ng magkakasunod na termino, kalkulahin ang pagkakaiba d, hanapin, kung kinakailangan, ang unang termino a 1, isulat ang formula sa karaniwang anyo, at gawin ito. Sa GIA, madalas na matatagpuan ang mga ganitong gawain.
Application ng formula ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression.
Una, tingnan natin ang direktang aplikasyon ng formula. Sa pagtatapos ng nakaraang aralin ay nagkaroon ng problema:
Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
Ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula, batay lamang sa kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika. Idagdag, oo idagdag ... Isang oras o dalawa.)
At ayon sa formula, ang solusyon ay tatagal ng mas mababa sa isang minuto. You can time it.) We decide.
Ang mga kundisyon ay nagbibigay ng lahat ng data para sa paggamit ng formula: isang 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ito ay nananatiling upang makita kung ano n. Walang problema! Kailangan nating maghanap isang 121. Dito kami sumulat:
Mangyaring bigyang-pansin! Sa halip na isang index n lumitaw ang isang tiyak na numero: 121. Na medyo lohikal.) Interesado kami sa miyembro ng pag-unlad ng aritmetika bilang isang daan dalawampu't isa. Ito ang magiging atin n. Ito ang kahulugang ito n= 121 papalitan pa natin ang formula, sa mga bracket. Palitan ang lahat ng mga numero sa formula at kalkulahin:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Hanggang dito na lang. Kung gaano kabilis mahahanap ng isa ang limang daan at ikasampung miyembro, at ang libo at pangatlo, kahit sino. Inilagay namin sa halip n ang nais na numero sa index ng titik " a" at sa mga bracket, at isinasaalang-alang namin.
Hayaan akong ipaalala sa iyo ang kakanyahan: ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman termino ng isang pag-unlad ng aritmetika SA NUMERO NIYA" n" .
Mas matalinong lutasin natin ang problema. Sabihin nating mayroon tayong sumusunod na problema:
Hanapin ang unang termino ng arithmetic progression (a n) kung a 17 =-2; d=-0.5.
Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, imumungkahi ko ang unang hakbang. Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic! Oo Oo. Magsulat ng kamay, sa iyong kuwaderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
At ngayon, tinitingnan ang mga titik ng formula, naiintindihan namin kung anong data ang mayroon kami at kung ano ang nawawala? Available d=-0.5, may ikalabing pitong miyembro ... Lahat? Kung sa tingin mo iyon lang, hindi mo malulutas ang problema, oo ...
May number din kami n! Sa kondisyon isang 17 =-2 nakatago dalawang pagpipilian. Ito ay parehong halaga ng ikalabing pitong miyembro (-2) at ang bilang nito (17). Yung. n=17. Ang "maliit na bagay" na ito ay madalas na dumaan sa ulo, at kung wala ito, (nang walang "maliit na bagay", hindi ang ulo!) Ang problema ay hindi malulutas. Bagaman ... at walang ulo din.)
Ngayon ay maaari lamang nating palitan ang ating data sa formula:
isang 17 \u003d isang 1 + (17-1) (-0.5)
oo, isang 17 alam namin na -2. Okay, ilagay natin ito sa:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Iyon, sa esensya, ay lahat. Ito ay nananatiling ipahayag ang unang termino ng pag-unlad ng aritmetika mula sa formula, at kalkulahin. Makukuha mo ang sagot: a 1 = 6.
Ang ganitong pamamaraan - pagsulat ng isang formula at simpleng pagpapalit ng kilalang data - ay nakakatulong nang malaki sa mga simpleng gawain. Well, kailangan mo, siyempre, makapagpahayag ng isang variable mula sa isang formula, ngunit ano ang gagawin!? Kung wala ang kasanayang ito, ang matematika ay hindi maaaring pag-aralan sa lahat ...
Isa pang tanyag na problema:
Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic progression (a n) kung a 1 =2; a 15 =12.
Anong gagawin natin? Magugulat ka, sinusulat namin ang formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Isaalang-alang ang alam natin: a 1 =2; a 15 =12; at (espesyal na highlight!) n=15. Huwag mag-atubiling palitan sa formula:
12=2 + (15-1)d
Gawin natin ang aritmetika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ito ang tamang sagot.
Kaya, mga gawain isang n, isang 1 at d nagpasya. Ito ay nananatiling matutunan kung paano hanapin ang numero:
Ang bilang na 99 ay isang miyembro ng isang arithmetic progression (a n), kung saan a 1 =12; d=3. Hanapin ang numero ng miyembrong ito.
Pinapalitan namin ang mga kilalang dami sa formula ng ika-n na termino:
a n = 12 + (n-1) 3
Sa unang sulyap, mayroong dalawang hindi kilalang dami dito: a n at n. Pero isang n ay ilang miyembro ng progression na may numero n... At ang miyembrong ito ng pag-unlad ay kilala natin! It's 99. Hindi namin alam ang number niya. n, kaya kailangan ding mahanap ang numerong ito. Palitan ang termino ng pag-usad 99 sa formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Nagpapahayag kami mula sa formula n, sa tingin namin. Nakukuha namin ang sagot: n=30.
At ngayon ay isang problema sa parehong paksa, ngunit mas malikhain):
Tukuyin kung ang bilang na 117 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Isulat natin muli ang formula. Ano, walang mga pagpipilian? Hm... Bakit kailangan natin ng mata?) Nakikita ba natin ang unang miyembro ng progression? Nakikita namin. Ito ay -3.6. Maaari mong ligtas na magsulat: isang 1 \u003d -3.6. Pagkakaiba d maaaring matukoy mula sa serye? Madali kung alam mo kung ano ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Oo, ginawa namin ang pinakasimpleng bagay. Ito ay nananatiling humarap sa isang hindi kilalang numero n at isang hindi maintindihan na numero 117. Sa nakaraang problema, hindi bababa sa ito ay kilala na ito ay ang termino ng pag-unlad na ibinigay. Ngunit dito hindi natin alam na ... How to be!? Well, how to be, how to be... I-on ang iyong mga creative na kakayahan!)
Kami kunwari na ang 117 ay, pagkatapos ng lahat, isang miyembro ng ating pag-unlad. Sa unknown number n. At, tulad ng sa nakaraang problema, subukan nating hanapin ang numerong ito. Yung. isinusulat namin ang formula (oo-oo!)) at palitan ang aming mga numero:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
Muli naming ipinapahayag mula sa formulan, binibilang namin at nakukuha namin:
Oops! Ang dami pala fractional! Isang daan at isa't kalahati. At mga fractional na numero sa mga pag-unlad Hindi maaaring. Anong konklusyon ang gagawin natin? Oo! Numero 117 ay hindi miyembro ng ating pag-unlad. Ito ay nasa pagitan ng ika-101 at ika-102 na miyembro. Kung ang numero ay naging natural, i.e. positive integer, kung gayon ang numero ay magiging miyembro ng progression na may nakitang numero. At sa aming kaso, ang sagot sa problema ay: hindi.
Gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
Arithmetic progression ibinigay ng kondisyon:
isang n \u003d -4 + 6.8n
Hanapin ang una at ikasampung termino ng progression.
Dito nakatakda ang pag-unlad sa isang hindi pangkaraniwang paraan. Ilang uri ng formula ... Nangyayari ito.) Gayunpaman, ang formula na ito (tulad ng isinulat ko sa itaas) - din ang formula ng n-th miyembro ng isang arithmetic progression! Pinapayagan din niya hanapin ang sinumang miyembro ng progression ayon sa numero nito.
Hinahanap namin ang unang miyembro. Ang nag-iisip. na ang unang termino ay minus apat, ay fatally nagkakamali!) Dahil ang formula sa problema ay binago. Ang unang termino ng isang pag-unlad ng arithmetic dito nakatago. Wala, hahanapin natin ngayon.)
Tulad ng sa mga nakaraang gawain, pinapalitan namin n=1 sa formula na ito:
isang 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
Dito! Ang unang termino ay 2.8, hindi -4!
Katulad nito, hinahanap namin ang ikasampung termino:
isang 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
Hanggang dito na lang.
At ngayon, para sa mga nakabasa hanggang sa mga linyang ito, ang ipinangakong bonus.)
Ipagpalagay, sa isang mahirap na sitwasyon ng labanan ng GIA o ang Pinag-isang State Exam, nakalimutan mo ang kapaki-pakinabang na formula ng n-th na miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. May pumapasok sa isip, ngunit sa paanuman ay hindi tiyak ... Kung n doon, o n+1, o n-1... Paano maging!?
Kalmado! Ang formula na ito ay madaling makuha. Hindi masyadong mahigpit, ngunit tiyak na sapat para sa kumpiyansa at tamang desisyon!) Para sa konklusyon, sapat na upang matandaan ang elementarya na kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at magkaroon ng ilang minuto ng oras. Kailangan mo lang gumuhit ng larawan. Para sa kaliwanagan.
Gumuhit kami ng isang numerical axis at markahan ang una dito. pangalawa, pangatlo, atbp. mga miyembro. At tandaan ang pagkakaiba d sa pagitan ng mga miyembro. Ganito:
Tinitingnan namin ang larawan at iniisip: ano ang katumbas ng ikalawang termino? Pangalawa isa d:
a 2 =a 1 + 1 d
Ano ang ikatlong termino? Pangatlo termino ay katumbas ng unang termino plus dalawa d.
a 3 =a 1 + 2 d
Nakuha mo ba? Hindi ako naglalagay ng ilang mga salita sa bold para sa wala. Okay, isang hakbang pa.)
Ano ang ikaapat na termino? Pang-apat termino ay katumbas ng unang termino plus tatlo d.
a 4 =a 1 + 3 d
Panahon na upang mapagtanto na ang bilang ng mga puwang, i.e. d, palagi mas mababa ng isa sa numero ng miyembrong hinahanap mo n. Ibig sabihin, hanggang sa bilang n, bilang ng mga puwang magiging n-1. Kaya, ang formula ay magiging (walang mga pagpipilian!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Sa pangkalahatan, ang mga visual na larawan ay nakakatulong sa paglutas ng maraming problema sa matematika. Huwag pabayaan ang mga larawan. Ngunit kung mahirap gumuhit ng isang larawan, kung gayon ... isang pormula lamang!) Bilang karagdagan, ang formula ng nth term ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang buong malakas na arsenal ng matematika sa solusyon - mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. Hindi ka maaaring maglagay ng larawan sa isang equation...
Mga gawain para sa malayang desisyon.
Para sa warm-up:
1. Sa arithmetic progression (a n) a 2 =3; isang 5 \u003d 5.1. Maghanap ng 3.
Hint: ayon sa larawan, ang problema ay nalutas sa loob ng 20 segundo ... Ayon sa formula, ito ay nagiging mas mahirap. Ngunit para sa mastering ang formula, ito ay mas kapaki-pakinabang.) Sa Seksyon 555, ang problemang ito ay malulutas pareho ng larawan at ng formula. Pakiramdaman ang pagkakaiba!)
At hindi na ito isang warm-up.)
2. Sa arithmetic progression (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Humanap ng 3 .
Ano, pag-aatubili na gumuhit ng larawan?) Pa! Mas maganda sa formula, oo...
3. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:isang 1 \u003d -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang isang daan at dalawampu't limang termino ng pag-unlad na ito.
Sa gawaing ito, ang pag-unlad ay ibinibigay sa isang paulit-ulit na paraan. Ngunit ang pagbibilang hanggang sa isang daan at dalawampu't limang termino... Hindi lahat ay makakagawa ng ganoong gawain.) Ngunit ang pormula ng ika-10 termino ay nasa kapangyarihan ng lahat!
4. Dahil sa pag-unlad ng arithmetic (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Hanapin ang bilang ng pinakamaliit na positibong termino ng progression.
5. Ayon sa kondisyon ng gawain 4, hanapin ang kabuuan ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong miyembro ng pag-unlad.
6. Ang produkto ng ikalima at ikalabindalawang termino ng pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika ay -2.5, at ang kabuuan ng ikatlo at ikalabing-isang termino ay zero. Maghanap ng 14 .
Hindi ang pinakamadaling gawain, oo ...) Dito ang paraan "sa mga daliri" ay hindi gagana. Kailangan mong magsulat ng mga formula at lutasin ang mga equation.
Mga sagot (magulo):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Nangyari? Maayos!)
Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari ito. Sa pamamagitan ng paraan, sa huling gawain mayroong isang banayad na punto. Ang pagiging maasikaso kapag binabasa ang problema ay kinakailangan. At lohika.
Ang solusyon sa lahat ng mga problemang ito ay tinalakay nang detalyado sa Seksyon 555. At ang elemento ng pantasiya para sa ikaapat, at ang banayad na sandali para sa ikaanim, at pangkalahatang mga diskarte para sa paglutas ng anumang mga problema para sa formula ng ika-10 termino - lahat ay pininturahan. Nirerekomenda ko.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(walo\); \(labing-isa\); Ang \(14\)… ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):
Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.
Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(sampu\); \(apat\); \(-2\); \(-8\)… ang pagkakaiba sa pag-unlad \(d\) ay katumbas ng minus anim.
At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.
Arithmetic progression notation
Ang pag-unlad ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin.
Ang mga numero na bumubuo ng isang pag-unlad ay tinatawag na ito mga miyembro(o mga elemento).
Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang pag-unlad ng aritmetika, ngunit may numerical index na katumbas ng numero ng elemento sa pagkakasunud-sunod.
Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.
Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Paglutas ng mga problema sa isang pag-unlad ng aritmetika
Sa prinsipyo, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa isang pag-unlad ng aritmetika (kabilang ang mga inaalok sa OGE).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:
Sagot: \(b_5=23\)
Halimbawa (OGE).
Ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:
|
Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba mula sa kalapit na isa sa pamamagitan ng parehong numero. Alamin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa nais na (unang negatibo) elemento. |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(-3\)
Halimbawa (OGE).
Ilang sunud-sunod na elemento ng isang arithmetic progression ang ibinibigay: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elementong tinutukoy ng titik \(x\).
Solusyon:
|
|
Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba ng pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
At ngayon nakita namin ang aming hinahanap nang walang anumang mga problema: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
handa na. Maaari kang sumulat ng sagot. |
Sagot: \(7,5\).
Halimbawa (OGE).
Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:
|
Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan, binibigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kinakalkula ang mga halaga, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Nahanap na ang hiniling na halaga. |
Sagot: \(S_6=9\).
Halimbawa (OGE).
Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:
Sagot: \(d=7\).
Mahahalagang Arithmetic Progression Formula
Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat susunod na elemento sa kadena na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).
Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kung kailan napakahirap na malutas ang "sa noo". Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa, kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Ano ito, namin \ (385 \) beses upang magdagdag ng apat? O isipin na sa penultimate na halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Nakakalito ang pagbibilang...
Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, hindi nila nalulutas ang "sa noo", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino.
Formula para sa \(n\)th miyembro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang miyembro ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
Ang \(a_n\) ay isang miyembro ng progression na may numerong \(n\).
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap ang hindi bababa sa tatlong daan, kahit na ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.
Halimbawa.
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:
Sagot: \(b_(246)=1850\).
Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan
Ang \(a_n\) ay ang huling summed term;
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang elemento, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
Kaya, ngayon ay kinakalkula namin ang kinakailangang halaga nang walang anumang mga problema. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(25)=1090\).
Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:
Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan
\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan \(n\) ng mga unang elemento;
Ang \(a_1\) ay ang unang termino na susumahin;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) - ang bilang ng mga elemento sa kabuuan.
Halimbawa.
Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15,5\); \(labing-apat\)…
Solusyon:
Sagot: \(S_(33)=-231\).
Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika
Ngayon ay mayroon ka na ng lahat ng impormasyong kailangan mo upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng arithmetic. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan kailangan mong hindi lamang maglapat ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika, maaari itong maging kapaki-pakinabang ☺)
Halimbawa (OGE).
Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Nagsisimula kami sa paglutas sa parehong paraan: una naming mahanap ang \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Ngayon ay papalitan namin ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan ... at narito ang isang maliit na nuance ay nagpa-pop up - hindi namin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi natin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Hihinto kami sa pagdaragdag ng mga elemento kapag nakarating na kami sa unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. Paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang pag-unlad ng arithmetic: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Kailangan natin ang \(a_n\) na mas malaki sa zero. Alamin natin kung ano ang mangyayari sa \(n\). |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Nagko-compute... |
|
|
\(n>65,333…\) |
…at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay may \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Kaya, kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Handa na ang sagot. |
Sagot: \(S_(65)=-630.5\).
Halimbawa (OGE).
Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\) kasama ang elemento.
Solusyon:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Sa problemang ito, kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Wala kaming formula para dito. Paano magdesisyon? |
|
|
Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, nagdaragdag kami ng apat sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-uh elemento. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\)-th na mga elemento. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Sagot: \(S=1683\).
Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.